（计算数学专业论文）正方形和立方体上chandrasekhar方程边值问题对称正解的计算.pdf

摘要 本文运用“a p u n o v s c h m i d t 约化和对称破缺分歧的方法，计算并画出了了正方形 和立方体区域上c h a n d r a s e k h a r 方程边值问题的对称正解，上述方程在恒星结构和演化理 论中有重要的作用。分歧方法有两个优点：首先它能够有效地解决迭代初值选取困难的 问题。其次根据对称性能有效地降低计算工作量。 本文的柜架如下： 第一章介绍研究背景： 第二章计算正方形区域上c h a n d m s e l 【i l a r 方程的分歧方法； 第三章计算立方体区域上c h a n d r a s e k h a r 方程的分歧方法： 第四章小结。 关键词：c h a n d r a s e l 【l l a r 方程；对称正解；l i a p u n o v s c h r n j d t 约化：分歧方法。 第1 页 卜海师范大学硕上论文 a b s t r a c t u s i n gt h el y a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n 柚ds y m m e t i y b r e a k i n gb i f u r c a t i o nt l l e o r y ，w ec 咖一 p u t e 锄dv i s u a l i z et h es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n s0 ft l l eb o u n d a 叮v a l u ep r o b l e mo ft h ec h 锄- d 豫s e k h 盯c q u a t i o no nt i i eu n “s q u a 他o fm ep l a ，t i i eu n i tc u b eo ft l l es p a c e t h e yp l a y 锄i m p 0 卜 t 锄tr o l ei ns t e l l a rs t m c t l l r e 卸de v o l u t i o nt l l e o r y t l 他b i f u r c a t i o nm e t h o d ，c o m p 种e dw i t l lt l l eo t l l e r 腓i m o d s ，c 锄c o m p u t et h ep o s i t i v es o l u t i o no ft l l ec h 卸d r a s e k h 缸e q u a t i o nw i m o u t t l l ed i 衔c u l to f c h 0 0 s i n gt h ei i l i t i a lg u e s sf o rt t l ei 锄r a t i o n a l s o ，t 量l eb i f u r c a l i 伽m e t h o dc a n 川u c e t l l ee m p u t a t i o n a c c o r d i n g l es y m m e t l 7 k e yw b r d s ： c h a n d r a s e k i i a re q u a t i o n ；p o s i t i o ns o i u t i o n ；l i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n ；b i f u r - c a 石o nm e t 】1 0 d 第1 i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名：量牡日期： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 第一章绪论弟一旱珀了匕 1 1研究背景 考虑非线性椭圆型方程的边值问题： t + ，p ，t 1 ) = o ， z q ， 【t i i 舳= o ， 这默r 。q 为n 维有界区域，a q 是它的正则边界它们大量出现在物理、工程、生物学、 生态学等领域，例如l a 舱一e m d e n 方程、h e n o n 方程、c h a n d r 觞e l d l 盯方程、非线性反映扩散 方程等 问题( 1 1 ) 解的存在性从2 0 世纪6 0 年代起逐渐成为偏微分方程的一个重要研究领域一 开始的工具是有序b 柚a c h 空间中的上、下解方法，后来就是临界点理论方法把临界点 理论中的山路引理和极大极小定理应用到问题( 1 1 ) 去证明它们解的存在性和多解性对 于( 1 i ) 中出现的非线性函数，伍，t ) 的正则性和增长性，典型的假设是： 1 )，p ，铭) 关于材在区间( 一，+ o o ) 中连续且分段光滑； 2 )， ，u ) 是超线性增长的，即存在正常数g 和岛，使得 i ，仁，t ) i g + 岛i 缸l p ，l p 2 ，当m 之m 时 有不等式 o o ) 的不稳定解失败 了事实上不稳定解在实践中很重要( 实际上它可能也是相对稳定的) 在最近的l o 年中，仿照山路定理和最大最小定理的思想，在国外还发展了3 种新的计 算方法 1 山路算法( m p a ) ：它由c h o i m c k e n n a l l l 提出一般地说，此算法只能找到m o 娼e 指标 为0 或l 的两个解，当区域q 关于空间r 中的某平面对称，且厅x “j 关于m 是奇的( 称为奇非 线性) ，m p a 通过区域的对称性也可找到某些变号解从那时起，m p a 广泛用于解其他 偏微分方程，如半线性弦振动方程t t t u 档+ 夕( u ) = ， ，t ) 的周期解【2 j ：有名的吊桥方 程u t t + t 卫喾船+ 阮+ = w 伍) + e 0 ，) 的大振幅解和行波解1 3 1 2 高环绕算法( h l a ) ：由d i n g ，c o s t a ，c h e n l 4 1 所建立，以便得到某些变号解此法在 第l 水平上使用了代约束的最大化，和第2 水平上用局部最小化数值实验表明，h l a 最多 得到两个节点解如果不假定触j 是奇的和区域的对称性，能计算得到多于三个解，对数 学家证明有更多的解是有希望的，这无疑是原创性的工作 3 极大极小算法( m n a ) ：为寻找一般的m o 璐e 指标的临界点，“和z h o u l 5 】设计了这种新 算法首先他们提出了一个极大极小定理f 6 1 它只要求在第1 水平上的一个无约束最大化和 第2 水平上的局部最小化，于是它比传统的极大极小定理在数值算法上更具构造性，并能 计算某些高指标的m o r s e 指标的解 山路定理或最大最小定理在一般框架中给出了多解的存在性证明若按照此定理的思 想，人们不得不在一般的无穷维集合中寻找山路解，这如同大海捞针，而且数值计算上 来说也是比较困难的 由于高m o r s e 指标的临界点具有多重性和不稳定性，m p a 和瑚l a 及m n a 在收敛性分析 都遇到了内在的困难 4 搜索延拓法( s e m ) 1 7 】f 8 】【9 】：此方法与山路定理及极大极小算法无关它用若干个特征基 的线性组合搜索所有解的初值，然后利用一种谨慎而有效的延拓法和有限元法迭代完成 精密化计算此法能计算高m o 娼e 指标的多重解，但是对于方程和区域的选择要求较高 以上介绍的四种方法都存在对于初值的选取的困难，这在某种程度上限制了其成为更 为有效的算法 1 2 我们的研究方法【1 0 | 【1 l | 我们主要考虑如下在天体物理中有重要应用的以下非线性椭圆型c h 柚d r 勰e _ l d l 盯1 1 2 】1 1 3 1 方程的边值问题： 第2 页 1 2 。1 在正方形区域上 脚，= = 铲诤扎一。 m 2 ， 正解的计算，这里x = ( z 1 ，z 2 ) ，= 器+ 为，q 是平面上的单位正方形【o ，1 1 【0 ，l 】，a q 是q 的边界 1 2 2 在立方体区域上 眦，= 三冀护诤_ 0 联g m 3 ， 正解的计算，这戥= ( z l ，z 2 ，z 3 ) ，= 为十为+ 为，q 是平面上的单位立方形 【0 ，1 1 l o ，1 1 1 0 ，1 l ，讹是q 的边界 我们提出了求解此类方程的2 种算法 1 2 3两种算法 以c h a n d r a s e k l l a r 方程在正方形区域上的边值问题为例： 算法l 通过引进参数a 将问题( 1 2 ) 嵌入到如下非线性分歧问题为例： 眦) = = “2 奶k 0 蚝q ( ) 根据分歧理论1 1 4 1 ，从问题( 1 4 ) 关于零解的线性化问题 西+ 入垂= 0 ，工q ， ( 1 5 ) 【圣i = o 的特征值出发，问题( 1 _ 4 ) 出现与相应特征函数对称性相同的非平凡解枝，沿着这条非平 凡解枝将入延拓到o 就得到问题( 1 2 ) 的一个非平凡解于是我们可以找到尽可能多的具有任 意m o r 指标和不同对称性的解 算法2 通过l i a p 蚰o v s c h 面d t 约化求出( 1 4 ) 的近似分歧方程表达式给出用n c w 幻n 方 法求解问题( 1 2 ) 的迭代初值后直接求解从而有效地解决初值选取困难的问题，极大地减 少计算的工作量 第3 瓦 卜海师范大学硕士论文 本文在第2 章中给出了计算正方形区域上c h a n d r a s e l 【i l 盯方程仇对称正解的分歧方 法，第3 章中给出了计算正方体区域上c h a n d r 懿e k h 甜方程风( 3 ) 对称正解的分歧方法及其 剖面图，第4 章为小结。 第4 页 第二章计算正方形区域上c h a n d r a s e k h a r 方程的分 歧方法 本章主要讨论一类在天体物理中有重要应用的c h a n d m s e k l l 盯方程的边值问题 m ，= 砼= 纠沁0 k q 弘- ， 的数值计算，这里是l a p l a c e 算子，量= ( z l ，勋) ，q 是平面上的单位正方形【o ，1 l 【0 ，1 1 a q 是q 的边界 2 1 l i a p u n o v s c h m i d t 约化 2 1 i l i a p u n o v - s c h i i l i d t 约化和对称破缺分歧 把问题( 2 1 ) 嵌入到如下非线性分歧问题 m ，= 托竺+ 4 嘲蚪铲声- o 一曲 仁2 ， q 是平面上的单位正方形f o ，1 】f o ，1 】，魂是q 的边界，入r 是分歧参数由分歧理 论1 1 4 1 1 1 5 1 知( 2 2 ) 有非平凡的解枝从分歧点分岔出来，那么沿着平凡解枝延拓到入= 0 可以 求得问题( 2 一1 ) 正解的数值解考虑q 上的对称群d 4 = ，兄l ，冗2 ，兄3 ，& ，岛，曷，g ) ，其中 冗1 t ( z l ，2 2 ) = t ( 1 一z 2 ，z 1 ) ，奶q ( z l ，z 2 ) = t ( 1 一z 1 ，1 一z 2 ) ， j 琵u ( z l ，z 2 ) = ；缸( 霉2 ，l z 1 ) ，j u ( z l ，0 2 ) = 诚z l ，z 2 ) ， 两t ( z l ，z 2 ) = u ( z l ，l z 2 ) ， 研t i ( z l ，$ 2 ) = u ( 1 一z 1 ，$ 2 ) ， 岛缸( z l ，a 眨) = 牡( z 2 ，z 1 ) ，母t ( 霉1 ，z 2 ) = u ( 1 一l 您，1 一z 1 ) 问题( 2 2 ) 是d 4 等变的【1 5 】【堋对于v 入r ，也兰0 是问题( 2 2 ) d 4 对称正解d 4 的迷向子群 为：皿= j ，只l ，r 2 ，r 3 ，& ，岛，研，岛) ；r = f ，r l ，r 2 ，r 3 ) ；r = f ，r 2 ) ；l = j ，岛) ； ：= j ，g ) ：2 = j ，岛；：= j ，岛) ：d = j ，岛，岛，曷) ；材= ，飓，最，蜀) 它们 的不动点子空间及基底可以表示为： 第5 页 一卜海师范大学顾上论文 不动点空间基 x 队 8 i n ( 2 七一1 ) 7 r z ls i n ( 2 七一1 ) r z 2 o r s i n ( 2 七l 一1 ) 7 r z ls i n ( 2 一1 ) 7 r z 2 + s i n ( 2 艮l 1 ) 7 r z 28 i n ( 2 如一1 ) 霄z l x ds i n2 南丌z 1s i n2 七7 r z 2o r s i n2 七1 7 r z ls i n2 尼2 7 r z 2 + s i n2 七1 7 r z 2s i n2 七2 7 r z l x e l s i n2 七1 7 r z ls i n ( 2 七2 1 ) 7 r z 2 x is i n2 忌1 丌z 2s i n ( 2 七2 一1 ) 7 r zl x ，s i n2 七1 7 r z ls i n2 七2 7 r z 2 x 村 s i n ( 2 一1 ) 7 r z ls i n ( 2 后2 1 ) 7 r z 2 x 20 rx ：s i n2 七1 7 r z ls i n ( 2 如一1 ) 7 r z 2 士s i n2 南1 7 r z 2s i n ( 2 七2 1 ) 7 r z l 表2 1d 4 迷向子群的不动点子空间及基底。 其中南，南1 ，乜z + ，后1 后2 在计算过程中考虑对称性，不必离散整个区域，而是根据 对称性把区域分割，再加上相应的边界条件来求解，最后根据对称性扩充到整个区域， 得到全域上的解下面是各种情况： 对称性子区域边界条件 d 4 【o ，1 】【o ，l 】训茁l ；o = 牡l z l ：l = 牡i 。2 ：o = 让l 霉2 ：l = o r 【0 ， 】【o ，1 】仳l 舻o = t i 舻0 - 训舻1 = o ，舞i 舻扩o二，l f 【o ，1 】f o ， 】乱i 舻o = u l 舻l = u l 舻o = o ，老i 舻丢= o j r 【o ， 1 【o ，1 】t 正1 2 l ：o = 札i 罩2 ：o = t 正i 窖2 ；1 = o ，月2 0 r f f o ， 】【o ，；】u i z l = o = t 正i z 2 ：o = t 正i 王l ： = t 正i 霉2 ：鲁= o r【o ，；】【0 ， 】 t l 王l ：o = t k 2 ；o = 0 ，冗1 ，兄2 ，r 3 2【o ，l 】【o ，1 】且，正2 z lu i 舭t = 缸i 驴o = o ，等l 铲霉：= 差i 轳物 r 7 【o ，1 】【o ，l 】且，z 2 1 一z l札i 舻l = 缸k 1 = o ，岳i 卅舻1 = 一差l 酣沈：1一，2 l【o ，1 】【o ，封训霉，= o = o ，舞l 霉。嘞= 啬l 霉。鄙。， 且z 2 z l 且z 2 1 一z 1 i i f l z l + 。2 2 1 十百i 翥l z l + 善2 = 12 u 表二2区域对称剖分及边界条件 边值问题( 2 - 2 ) 关于平凡解钍兰o 的线性化问题是： 令+ a 1 2 o ， ，q，(23) l l 鼬= o 、。 k 。m = ( 佗2 + m 2 ) 7 r 2 是( 2 - 3 ) 的特征值，相应的特征函数为：机。m = s i n n 7 r 写l8 i n 仇7 r z 2 注意到问题( 1 - 3 ) 和( 1 4 ) 中的非线性项，我们感兴趣的是它们的正解，于是考虑问 题( 2 3 ) 从分歧点入1 1 = 2 7 r 2 出发的非平凡正解枝，它的d 4 对称性由相应的特征函数 e = 妒1 。l = s t n ( 7 r z l ) s t n ( 7 r z 2 ) 决定 第6 页 1 一一 令 x = 牡l 让c 2 ( q ) ，“l a n = o ) ， y = t l i 牡伊( q ) ) 于是 l o = + 2 7 r 2 是x y 的一个零指标的自共轭f 硎h o l m 算子1 1 4 1 ，且l o 的零空间 ( l o ) = s p 帆 e ) 空间x ，y 可分解为 x = ( l o ) om ，y = ( l o ) or ( l o ) ， 这里m = ( ( 己o ) ) 上nx ，兄( l o ) 是o 的值域 令p 为空间y 到r ( l o ) 的一个正交投影， p z = z 一 e 这里内积 = 4 z 1z 1 u ( z ，z ：) ( z t ，z 。) d z d z 2 由l i a p u n o v s c h “d t 约化，边值问题( 1 3 ) 等价于 尸f ( 7 e + 加，p + 2 7 r 2 ) = 0 ， 下冗，叫m ， = o ， 这里 p = a 一2 7 r 2 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 由于p 晰( o ，2 7 r 2 ) = p = ，它限制在m 上是正则的，用隐函数定理从方程( 2 _ 4 ) 中 可解出唯一的硼= t ，( r ，p ) ，满足t ，( o ，0 ) = o 将伽( r ，p ) 代入( 2 - 5 ) 可得分歧方程 其中 夕( r ，p ) = = o ， ( 2 6 ) f ( r e + t 工，p + 2 7 r 2 ) = t ，+ 2 7 r 2 t ，+ ( r ，p ，t t ，) ， ( 2 7 ) 第7 页 p 海师范大学顾上论文 这里 ( 7 ，p ，们) = p ( 7 - e + t l j ) + 4 7 r 【2 ( 7 e + 加) + ( 1 e + t 正7 ) 2 】 由于 = = 0 ，从而分歧方程( 2 6 ) 可简化为 夕( 1 ，p ) = = o ( 2 8 ) 下面将求出t t ，( ，弘) 和分歧方程( 2 8 ) 的近似表达式将方程( 2 4 ) 关于丁求导得到 p ( f u ( 下e + t t ，p + 2 7 r 2 ) ( e + 嘶) ) = o ( 2 9 ) 上述方程在( 7 ，p ) = ( o ，o ) 处求值，考虑到r ( 0 ，2 7 r 2 ) = l o ，e ( l o ) ，p l o = l o ，可得 l o 埘，( 0 ，0 ) = o 因为嘶( 0 ，0 ) m ，限制在m 上是正则的，由此推出 埘，( 0 ，0 ) = o ，埘( r ，p ) = d ( 7 ) 另外 办( r ，p ) = ， 于是 类似地可求得 办( o ，o ) = o 办p ( o ，o ) = 1 ， 轧- ( o ，o ) = 0 垤= 1 ，2 于是可得式( 2 8 ) 的近似表达式为 r p + q f l = 0 ， 这里 口= 第8 页 ( 2 l o ) ( 2 - 1 1 ) 2 1 2 差分格式的等变性 用五点差分格式离散问题( 2 2 ) 1 1 7 l ，可得： f 业吐纽型铲坠业+ 入+ r c ，= 咖篡翟三剽三，戋1 川- 1 _ 1 川_ 1 c 2 也， l ”，o = u t 。n = o ， = o ，n ， 这里 ，l = 去，铷j = t t ( 观川， 容易验证上述问题是d 4 等变的，即满足 风( ，y t ，入) = 7 r ( 位，a ) ，v 7 a q 这里d 4 = j ，r 1 ，r 2 ，兄3 ，s 1 ，岛，s i ，是) ，r 1 他j = t i j ，i ，冗2 讹j = t ，i 一，n 一，风j = ，n i ，研u 坩= t i n o ，毗j = 吻i ，研= 一幻，曷t 蚶= t ，l j ，n 一 2 2 数值方法 算法主要分为三步： 第一步：离散化 第二步：求在分歧点附近的非平凡解枝 第三步：沿着非平凡解枝延拓a 到o j 关键是第二步，用l i a p u v s c h m i d t 约化方法来解( 2 2 ) 的非平凡解枝 算法l ： 第一步：将q 均匀剖分成舻个小正方形 第二步：令u = 7 e + 硼，7 = 入一k ，m 这里e 按照对称性质分别取九，m ，。n 或者如，m + 加是需要求解的，具有与e 同样对称性质的函数，且( e ，加) = o ，r 是小参数，然后求解 j i 硼+ + 2 丌2 ) t 正，+ r 鹏+ 4 7 r 【2 ( r e + t ，) + ( 丁e + t l ，) 2 】= 0 ， z q 叫i a q = 0 ，( 2 1 3 ) ( e ，伽) = 0 第9 页 卜海师范大学硕上论文 用五点差分算子，l 离散l a p l a c e 算子，得其离散化方程为： 毗+ l j + t t ，一l j + t 以j + l + t 仇j l 一4 t t ，t j + ( p + 2 7 r 2 ) t j 2 + r 弘岛j 危2 + 4 7 r 【2 7 ( e t j + 2 砒j + ( 下e j + i j ) 2 】i 2 = o ， t = 1 ，佗一l ，歹= l ，i l ， 叫o j = 仰n j = o ，j = 0 ，l ， 叫t o2 叫 ，n = 0 ，t = o ，n ， n 一1n l ( e t 水j ) = o ( 2 1 4 ) 这里 = 丢，姚j 量加( i i l ，j ) ，哦j = 妒“ ，歹 ) ，对于e = o 1 ，可以用n e w t o n 迭代法求出非线 性方程组( 2 1 3 ) 的解毗，以及7 7 将延拓到足够大，例如= l ，可以得到远离平凡解的u 和a 第三步：用上述方法得到的t 和a 作为初始出发点，直接以a 为参数，将离散化后的方 程( 2 1 4 ) 的解枝延拓到入= 0 这时就得到了( 2 i ) 的具有各种对称性质的解 算法2 ： 在近似分歧方程( 2 1 0 ) 中令p = 一2 7 r 2 可解出 r = 罚= ( 等) 2 这里口由式( 2 1 1 ) 给出将让o = 知e 作为迭代初值，直接用n e w t o n 方法迭代求解边值问题 ( 2 1 ) 的离散化形式 u 件l j + 蛳一l j + t t j + l + t q l 一4 牡i j + 4 7 r 【2 j + 吃】 2 = o ， ( 2 1 5 ) t ，歹= 1 ，n l ， 同样可以成功地计算出边值问题( 2 1 ) 的d 4 对称正解 2 3 数值结果 图2 - l 表示问题( 2 - 1 ) 的特征值为2 7 r ，特征函数为8 饥7 r z l 8 i n ，r z 2 的d 4 对称正解 第1 0 页 04 03 s02 01 0 1 0 0 x 图2 1 边值问题( 2 1 ) 的d 4 对称正解 第l l 页 卜海师范大学硕上论文 第三章计算立方体区域上c h a n d r a s 锄a r 方程边值 问题的正解 本章主要讨论立方体区域上c h 觚d r a s e k h 觚方程边值问题 m ，= 篇 们k o 蚝q 仔l ， 这里是l a p l a c e 算子，工：( z l ，z 2 ，z 3 ) ，q 是空间单位立方体( 0 ，1 1 【0 ，1 1 【0 ，1 1 ，a q 是q 的 边界 3 1 l i 印u n o v s c h m i d t 约化方法和对称破缺分歧 把问题( 3 1 ) 嵌入到如下非线性分歧问题 m ，= 竺仙( 2 江0 蚝g p 2 ， 这里q 是空间单位立方体【o ，1 1 【o ，l 】【0 ，1 】，舰是q 的边界，a r 是分歧参数由分 歧理论f 1 4 1 知( 3 2 ) 有非平凡的解枝从分歧点分岔出来，那么沿着这些非平凡解枝将a 延拓 到0 ，可以求得问题( 3 1 ) 多个具有不同对称性质的数值解 考虑q 上的对称群d 4 ( 3 ) = d od 孑o 硝1 1 8 】【圳， d ：1 ) ： j ，r ，硝) ，r ，研1 1 ，鳄，讣，露1 ) ， d ： f ，r ；2 ，砰，r 孑，砖2 1 ，卵，踯，s 登2 ) ， d ：3 ) = i ，r p ，霹，r 5 3 ，s 3 ，s 5 3 ，s 烈路3 ) ， 其中f 为恒等算子， r 5 1 ) t 正( z 1 ，z 2 ，z 3 ) = u ( 1 一z 2 ，z 1 ，z 3 ) ， j 毋) u ( 。l ，z 2 ，z 3 ) = 1 正( z 2 ，1 一z 1 ，z 3 ) ， 研1 ) u ( $ 1 ，9 2 ，z 3 ) = 仙( z l ，1 一z 2 ，z 3 ) ， s 9 t ( 。1 ，z 2 ，茁3 ) = t ( z 2 ，z 1 ，z 3 ) ， r p ) u ( 。l ，z 2 ，z 3 ) = 缸( 1 一z 3 ，z 2 ，z 1 ) ， j 学札( z l ，z 2 ，z 3 ) = 仳( z 3 ，z 2 ，l z 1 ) ， s i 2 ) u ( z l ，z 2 ，z 3 ) = t 正( z 1 ，z 2 ，1 一z 3 ) ， s 乒让( z l ，z 2 ，。3 ) _ 缸( z 3 ，z 2 ，z 1 ) ， r 5 3 ) u ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) = t 正( z l ，l z 3 ，z 2 ) ， r 孑) u ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) = t 正( z 1 ，z 3 ，1 一z 2 ) ， 第1 2 页 f 弩t ( 茁1 ，z 2 ，茁3 ) = t ( 1 一z l ，l z 2 ，z 3 ) ， j t l ( z l ，z 2 ，z 3 ) = 1 ( z l ，霉2 ，$ 3 ) ， s ；1 ) u ( z l ，z 2 ，z 3 ) = t i ( 1 一霉1 ，霉2 ，霉3 ) ， 秘1 ) u ( z l ，霉2 ，z 3 ) = u ( 1 一z 2 ，l z l ，霉3 ) ， j 弩u ( z l ，z 2 ，黝) = 牡【1 一z l ，z 2 ，1 一z 3 ) ， f t ( 茁l ，z 2 ，z 3 ) = t l ( z l ，z 2 ，z 3 ) ， 叠( 2 ) u ( z l ，z 2 ，z 3 ) = 缸( 1 一z 1 ，z 2 ，z 3 ) ， s 2 ) 牡( z l ，z 2 ，霉3 ) = u ( 1 一写3 ，z 2 ，l 一霉1 ) ， j 弩) t 正( z l ，z 2 ，z 3 ) = 钍( z 1 ，1 一z 2 ，1 一z 3 ) ， j 乱( z i ，z 2 ，霉3 ) = t ( z l ，z 2 ，z 3 ) ， s i 3 t i ( z l ，z 2 ，z 3 ) = t ( z l ，z 2 ，1 一z 3 ) ， 建3 ) t ( z l ，z 2 ，z 3 ) = 缸( z l ，z 3 ，写2 ) r = 上_ ( 3 ) 历，问题( 3 2 ) 是r 等变的，即 g 3 ) t 上( $ l ，z 2 ，z 3 ) = u ( z l ，l z 2 ，z 3 ) ， s 3 ) t ( z l ，z 2 ，z 3 ) = u ( z l ，1 一z 3 ，1 一z 2 ) f ( ，y t ，a ) = ，y f ( t l ，入) ，v 7 r 对于v 入r ，t l 兰0 是问题( 3 2 ) r 对称的解 边值问题( 3 2 ) 关于平凡解u 兰0 的线性化问题是： 令+ 入竺2 o ，工q ， ( 3 3 ) i 纠舳= o 、 入靠，m 奄= ( 礼2 + m 2 + 后2 ) 丌2 是( 3 3 ) 的特征值，相应的特征函数为：n ，m 。七2 s i n 诧7 r z ls i nm 7 r z 2s i n 老7 r z 3 由对称破缺分歧理论可知a n t m t 蠡= 扣2 + m 2 + 老2 ) 矿是( 3 3 ) 的分 歧点，在这些分歧点处，可以分歧出具有各种不同对称性质的非平凡解枝 3 2 差分格式的等变性 用中心差分格式离散问题( 3 2 ) 【1 7 】1 2 0 】，可得： 这里 r ( t ，入，r ) = 继幽苎皿型逝世迎誓也丝雎鱼出垃姒+ 入地拈 + 4 7 r 【2 u 钮+ t 毛1 i = o ， t = 1 n l ，歹= l n l ，七= l n l ， t i l d j ，七= t n j ，知= 0 ，歹= o ，n ，七= o ，n ， t i ，o 。奄= 他，n ，知= 0 ，i = 0 ，n ，七= 0 ，n ， 撕j o = t j ，n = 0 ，t = 0 ，n ，歹= 0 ，仃， = 去，地j i = 牡( 观讥圳 容易验证上述问题是r = 伪( 3 ) 汤等变的，即满足 这里仇( 3 ) = d i l o d = j d 乒) = j d ：3 ) = f 其中 晶( 弘，入) = ，y r ( t ，柚，蜥r d 2 o 凹， ( 3 4 ) 冗：1 t 珊= “n 一， 知，硝七= 一t - n - j ，知，硝七= n i 。七，j 七= 七， 鼋1 知= t 衲吐知，式1 t 正巧七= 一i j 加 是1 奄= 嘶矗知霹1 七：一j 矿，七， 第1 3 页 ，l-、，1于 l 2 3 馨路罄 l 2 3 ，毋，s，岛鳄蟹背 l 2 3 两研错硝砰背 0 2 q 2 p 2硌砰背0，但 r 冗冗 卜海师范大学硕士论文 兄：2 t 巧七= t i n 一坛t ， 研2 ) 让玎七= 地咖一七， r ：3 u 口七= 地加幻， s 1 3 七= t t j n 一七， 砰七= t ，l 一j ，竹一蠢 带) t l 巧七= 一j ，七， r 笋知= 蛳，n 一，。n 一七， 酽u 玎知= u 锄咄知， 兄孑七= t 七咖而 鼋2 t 巧七= 缸，砖2 七= t l l 一忭“ 兄f t 巧七= 地 n 。， 霹晰= u 讪j ，鳄3 ) u 玎七= 撕，n 吨州 3 3 d 4 ( 3 ) 对称正解的计算 取第一个特征值及对应特征向量，将分岐参数a 延拓到0 第一步：将q 均匀剖分成佗3 个小立方体 第二步：由l i a p 蚰0 v s c h i m i d t 约化，令让= s i i l7 r ls i n7 r z 2s i n7 r z 3 + 伽，7 = 入一3 7 r 2 ， 这里e 是小参数，叫是需要求解的对称函数，它们满足 f + ( ，7 + 3 7 r 2 ) 伽+ e ，7 s i n7 r z ls i i l7 r z 2s i i l ，r z 3 + 4 7 r 【2 忙s i n7 r z ls i n7 r z 2s i n 霄z 3 + 叫) + ( e s i n 7 r z l8 i n7 r z 2s i l l7 r z 3 + 彬) 2 l = o ，工q ， ( 3 5 ) l 训l 鲫= o ， 【詹片片8 i n 7 r z l8 i n7 r z 28 i n 丌z 3 叫( $ l ，z 2 ，z 3 ) 如l 出2 如3 = 0 用中心差分算子 离散l a p l a c e 算子，保持原问题的对称性。得上述方程的离散化方程为 塑丝正旦竺址丛点竺墼趔生c 垒案p 立墼生五旦竺旺出点业+ 细+ 3 丌2 ) 叫i j ，知。 + e 7s i n o 丌) s i n ( 歹 7 r ) s i n ( 七危7 r ) + 4 7 r 【2 ( s i l l ( i 九7 r ) s i n ( 歹 7 r ) s i n ( 尼，1 7 r ) + t 以j ，七) + ( s i n ( i 7 r ) s i n ( 歹，1 7 r ) s i n ( 七危7 r ) + t 以j ，知) 2 】；= o ， i = 1 ，n l ，歹= 1 ，n l ，= l ，n 一1 ， 咖j ，七= j ，七= 0 ，歹= o ，n ，七= 0 ，t l ， 蚍o ，南= 桃，竹，七= 0 ，l = 0 ，n ，七= 0 ，n ， 姚j ，o = t i i j ，o = 0 ，i = 0 ，n ，歹= o ，n ， n ln ln l ( s i n ( t 7 r ) s i l l ( j 危7 r ) 8 i n ( 忌腩) 毗拈) = o t _ lj = l 岛= l ( 3 6 ) 这里妣j 七= t i ，( i ，歹 ，七九) ，t ，歹，七= l ，n l ，i l = 丢，可以用n e w t o n 迭代法求出非线性方 程组( 3 6 ) 的解姚j ，知以及，7 将延拓到足够大，例如s = 1 ，可以得到远离平凡解的t 和a 第三步：将上述方法得到的u 和入作为初始出发点，直接以入为参数，将方程( 3 劲的解 枝延拓到a = 0 ，这时就得到了问题( 3 - 1 ) 的仇( 3 ) 对称的正解枝 3 4数值结果 图3 1 表示在正方体区域内作平行于! ，d z 平面取z = 0 2 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的h 对 称正解，右图为等高线图图3 2 表示在正方体区域内作平行于z 平面取秒= 0 2 5 所得正方 第1 4 页 图3 1 x = o 2 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 2 y = 0 2 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 o 0 2o40 6o 81 图3 - 3 z = o 2 5 正方形截面上的工) 4 对称正解，右图为等高线图 体上问题( 3 1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图图3 3 表示在正方体区域内作平行于z 则平 面取名= 0 2 5 所得正方体上问题( 3 一1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图图3 4 表示在正方体 第1 5 页 黑川铡幽 _啊嘲溯旧_铡缓_ 苎! 竺! ! ! ! ! 竺竺! ! 苎竺! = = ! = = 竺苎! ! ! ! ! = 竺! ! 竺! 竺! ：，：，主塑塑垫- 火兰堡主笙壅 图3 4 扫o 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 5 户0 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 6 z = o 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 区域内作平行于可d z 平面取z = 0 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 - 5 表示在正方体区域内作平行于z 平面取耖= 0 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的d 4 对称 第1 6 页 黝黝豳幽_ 图3 7 j = o 7 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 8 y ：0 7 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 9 z = o 7 5 正方形截面上的d 4 对称正解，右图为等高线图 正解，右图为等高线图图3 6 表示在正方体区域内作平行于。叼平面取z = 0 5 所得正方体 上问题( 3 一1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图图3 7 表示在正方体区域内作平行于y d 名平面 第1 7 页 _翮罔二_=嘲豳_墨嬲罔矧幽誓_ j 二海师范大学硕士论文 取z = 0 7 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图图3 8 表示在正方体区 域内作平行于z d 2 平面取可= o 7 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的d 4 对称正解，右图为等高线图 图3 - 9 表示在正方体区域内作平行于z 凹平面取z = 0 7 5 所得正方体上问题( 3 1 ) 的风对称正 解。右图为等高线图 第1 8 页 第四章小结 非线性椭圆方程的d i r i c h i e 问题( 1 1 ) ，可能有多个解，它们的结构相当复杂这些解具有 何种性质和结构，如何数值上求解它们，这些都是具有挑战性的课题 在本文中，方程( 1 - 1 ) 当，扛，o ) = 0 时，通过引进参数入将其嵌入到如下非线性问题： 舭+ a t + ，往，牡) = o ，工q ( 4 1 ) 【u i a n = 0 方程( 4 1 ) 关于t = 0 的线性化方程为 矽+ a + 九征，t t ) i = o = o ， 工q ( 4 2 ) 【纠锄= o 我们通过确定( 4 2 ) 的特征值和特征函数，应用l i a p u n o v s c h r n i d t 约化得到分歧点附近 分歧方程的强等价形式，同时进行数值求解，得到( 4 1 ) 的非平凡解，再将a 延拓到0 ，就 得到了闯题( 4 1 ) 的非平凡解此外，我们在本文的第三部分对单位立方体上c h a n d r a s e l ( 1 l a r 方程的的齐次d i r i c h l e t 边界条件的边值问题( 3 1 ) ，解出方程( 3 1 ) 的d 4 ( 3 ) 对称正解 由于方程( 1 1 ) 大量出现在物理、工程、生物学、生态学等领域，例如l a 鹏e l n d 髓方 程、h e n o n 方程、c h a n d f a s e k h a r 方程、非线性反应扩散方程等，因此本文介绍的此类方 法，尽管是针对c h 锄d r 懿e l 【l l 时方程正方形区域上及立方体区域上正解计算，但对于其它 方程和不同区域也是行之有效的 第1 9 页 上海师范大学硕上论文 参考文献 【l 】c h o iys ，m c k e n n ap j am o u n t a i np a s sm e t h o df o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n0 fs e m i - l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m s 【j 】n o n l i n e 缸a n a l ，1 9 9 3 ，2 0 ：4 1 7 4 3 7 【2 】a l l o g o w e r e l k g e o r g ，n u m 丽c a ic 伽t i n u a t i o nm e m o d s ，a ni n 们d u c t i o n ，s 砸n g e rs e - r i e si i lc o m p u t a t i o n a lm e t l i e m a l i c s ( s p r i n g e r b e r l i n ) ，1 9 9 0 【3 】c h a n g p i n “，g u a n r o n gc h ，b i f u r c 撕o n g o f e d i m i t i o n a lr e a c 矗o n - d i 觚s i e q u 撕o n s ， i n t e m a t i o n a lj o u m a lo fb i f h r c a t i o n sa n dc h a o s ，v o ll l ，n o 5 ( 2 0 0 1 ) 1 2 9 5 - 1 3 0 6 【4 】c h e nc h u a n m i a o ，x i ez i q i n g ，s t r u c t u r eo fm u l t i p l es o l u t i o nf o rn o n l i n e 盯d i f ! 1 e r e n t i a le q u a - t i o n s s c i e n c ei nc h i n as c f am a t l l e m 撕c s2 0 0 4v 0 1 4 7s u p p 17 2 - 18 0 【5 】c dm ，n o u s s a i res 孤dy a ns e x i s t e n c e 粕du n i q u 锄e s sr e s u l t so ns i n g l e p e