（计算数学专业论文）多小波图像降噪技术研究.pdf

韭基窑通太堂缝堂焦i 幺室生塞煎霆 中文摘要 摘要：图像降噪一直是图像处理领域一个研究比较多的课题，也是一个热点领域。 在近十多年的研究中，许多新的算法被提出。在这众多算法中，大致可以分为以 下四大类：空闯域降噪、f o 嘶c r 变换降噪、小波变换降噪以及独立主分量降噪。 其中小波变换降噪技术是被研究的最多种技术，它大致又可以分为以下四类： 线性滤波降噪、阀值降噪、小波系数模型降噪和非正交小波变换降噪。本文主要 讨论的近几年兴起的多小波降噪技术，便属于非正交小波变换降噪技术。图像融 合技术是在采集多源信息的基础上，通过协同利用原始的多源信息，获得同一事 物或目标的更客观、更本质认识的综合处理技术，图像数据融合技术的研究方法 很多，其中小波变换便是其中一个不错的方法。一般情况下，是先对图像进行降 噪，然后进行图像融合。而本文采用了相反的方法，利用图像融合技术来对图像降 噪处理。 鉴于现有多小波降噪方法大多只谈及降噪思想，没给出具体的实现方法。本 文给出了三种用于图像处理的多小波变换方法，并对它们变换后的效果和计算量 进行了比较。并将它们与单小波的降噪方法结合起来实现了多小波的图像降噪的 具体方法。并将它们的降噪效果同d 4 单小波进行了比较。讨论了各种方法的优点 与缺陷。 关键词：多小波；图像降嗓；空域；频域；图像融合 分类号：1 胛5 1 ，1 找基交通盍望亟圭兰焦盐塞堡至塞堡工 a b s t r a c t a b s t r a ? r r e d u c i n gn o i s e 丘0 m 加1 a g ei sa l w a y sa 如b j e c tb e i n g 碓s e a r c h 甜v 盯ym u c h ，w l l i c h i sa l ah o t 他s c h a r e 色m u c ha l g o r i t l l i l 强w 盯c p u t f o 】n 怕r d d 戚n g t h e 删t e l ly e a r s 1 ea r ea _ b o mf o l l rl 【i n d sa m o n gs o 矾妫a l g 耐也m s ：s p a t i a ld o m a i nd e n o i s 吨， f o l l r i 盯t 瑚i l l s f o md e i s 堍，w a v e k1 s f o 衄d e n o i s i n g ，i n d 印e n d e n tc o 掣n e n t 觚i y s 担d o i s i n g w 曩v e l e tt r 蠲s 妇nd e h 0 i s i n gi sf c s e a r c h c dm u c h 【r ma n di tc a n b ec e n t i 伊a d e di i l t 0f o u rk i n d s ：l i 舯缸f i l t e r i n gd o i s i l l g ，1 1 l r e s h o l dd e s 王1 1 9 ， w a v c l c tc o e 伍c i e n tm o d e ld o i s i n g 眦d n o n 0 n i l o g o n a lw a v e l e tn 明s f o 吼 d e i l o i s i n g m u l 缸w a v e l e t 艮l l l s f o md e l l o i s 崦t c c l l ! 1 0 1 0 野i sm a i n l yd i s c u s s e di i lt b i s p a p c r ，“b d o n g st 0n o n - 帆9 0 n a lw 矾，e l e t1 1 r a i i s f b 咖d 即o i s i n g i m a g e 脑i i l gi st l l e t e c t i l l 0 i o g yo f 龇i n gt h em o r ee x t e m a la n di n l 矗n s i c a lu n ( i c r s t a r no f 也es 锄e 邬【b j e c to r o b j e c lb yl l s i n gs e v e r a lo r i g i j l a li m a g e so nt 1 1 eb 邵i so fg e 仳i n gs e v e 删o r i g i n a li m a g e s ， t h e r e 孤em 姐yr c s e a r c h e sd fi m a g ef h s i l l gt e c l l n o l o g y w a v e l e tt r a n s f 0 衄i sag o o d m c t h o da l o n g 也e 辩a r c h e s u s u a l l y ，i i i l a g ed c n o i s i n gi sb e f o r ci m a g e 如s i n g b u tm i s p 印盯t a ：k et h et c c 如o l o g ) ，o f 岫a g ef i l 咖gt 0d o i s ei m a g er e v e r s e l y m u l c i w a w l e ti sn 培d e v c l o p n l e n to f w a v e i e tm e o 哆i n p m c t i c a la p p “c a 如t l s ，i tc 矾 m a ：k et h es h 咖s u p p o r t ，o n ：b o g o n a i i 锹s y r n m c 廿y ，柚dv a j l i s h i n g n j u n c ti m p e 睡c l t h ee 】【i s t i n ga l g o r i t l l m so fm u l 吐w a v e l e t sd e n o i s i i l go n l yp r o v i d et h e o r i e so fd e n o i s i i 】g b u tt 1 1 e r ci s c o n c r e t ep e d b m i n gn l e t h o d i nt l l i sp a p e r t l l em e t h o d so fi m a g e p r o c e s s i n gu s i n gm l l l t i w a 、，e l e ta 糟p u tf o r w 羽a n dt h e 酣f b c to f 订a i i s f 湎缸dt h e a c c o u n to fc o f n p m i f 唱a r ec o m p a 涮t h er e s u l t so fd e n o i s i n ga 比m p a r e dw 吐d 4 w a v e l e t t h ea ( 1 v a l l _ t a g ea n dt h ed i s a ( 1 v a n t a g eo f t l l e ma f ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：m u l t i w a v e l e ! t s ；h i l a g ed e n o i s i n g ；s p a t i a ld o m a i n ；f r e q u e n c yd 咖a i n ； i n l a g e f l i s i i l g c l a s s n o ：n 叮5 1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：录明侈 签字日期：刀伽月舯 努肼秘如 锄 一 致谢 本论文的工作是在我的导师黄晓鸣副教授的悉心指导下完成的，在此衷心感 谢两年来黄老师对我的关心和指导。 在两年多的学习和生活中，黄老师给了我许多有益的指导和细致入微的关怀， 没有他的帮助，我根本不可能完成本文。黄老师严谨的治学态度，广博的知识， 精益求精的科研作风，敏锐的学术思想和忘我的工作精神极大的影响并鞭策了我。 更重要的是使我学到了许多治学和做人的道理，将使我受益终生。我将铭记黄老 师的教诲，努力工作，不断进取。 另外也感谢我的父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 | e夏窑煎太堂亟堂焦j 金 奎! ! l 言 1 引言 数字图像在我们的日常生活中起着很重要的作用。例如在卫星电视、核磁共 振、计算机视觉、地球信息系统以及天文学中应用非常广泛。 数字图像经常含有噪声。主要由以下两个原因造成：( 1 ) 获取图像时，图像传 感器的质量不高( 2 ) 传输过程中和压缩图像时产生的误差。对于第一个原因我们 可以尽量提高硬件设备以获取质量更高的图像。对于第二个原因，必需采取降噪 技术以获得高质量的图像。 图像降噪是图像预处理中一项应用较广泛的技术，其作用是为了提高图像的 信噪比，突出图像的期望特征。图像降噪成功与否对图像压缩、图像分割、边缘 检测、特征提取、模式识别、计算机视觉的影响特别大。 图像降噪可以在空间域内进行，也可以在频率域内进行。但归根到底它们都 是基于噪声和信号在频域上的不同分布规则，即信号主要分布在低频区域，而噪 声主要分布在高频区域，然而由于图像的细节也分布在高频区域，因此如何在降 低图像噪声的同时保留图像的细节便成为图像降噪技术的研究目标。 最初对图像进行降噪主要是在空域内进行的，主要是通过各种滤波器对图像 进行降噪。例如均值滤波器、顺序统计滤波器、维纳滤波器等。后来通过对图像 进行f o 谢e r 交换，然后和一些滤波器结合，在频域内对图像进行降噪。由于f 0 嘶e r 变换无论在时域还是在频域，它的定义域都是在r 上的，它不能分析耐域信号的 局部频谱特性，它没有时频局部化功能，所以此种方法在去除图像噪声的同时也 将图像的细节去除了。上个世纪八十年代m a l l e t 提出了m r 鲥m u l t i 黜s o l u t i o n a m a l y s i s ) ，为小波变换用于图像处理奠定了基础。其基本原理：一幅图像经过小波 变换后，会分解成低频部分、水平高频部分、垂直高频部分和对角高频部分。低 频部分还可以逐级分解，分解的各级子图像都包含着原始图像的空间结构信息。 在此基础上1 9 9 5 年j o h 璐t o n e 和d o n o h o 提出了小波阀值降噪。图像降噪技术 从空间域和f o 嘶e r 变换域转到了小波域，出现了多种在小波域降噪的算法。 小波变换既保留了f o 嘣盯变换的优点，又弥补了它的不足之处，小波变换在 时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采取逐渐精细的分 解，因而在数字图像降噪领域有着得天独厚的条件。小波变换在图像降噪中的算 法大体分为三类：线性滤波器降噪法、小波阀值降噪法和小波系数模型法。 线性滤波器降噪法：该类方法、算法简单、易于实现。直接将空问域的各种 滤波器直接作用于小波域。但用该类方法处理过的图像视觉效果一般。跟原图有 较大的差距。 小波阀值降噪法：该类方法是目前研究最为广泛的方法，小波阀值法又分成 如下两类：硬阀值法和自适应阀值法。阀值降噪主要基于如下事实，即比较大的 小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度上是噪声。因此 可以通过设定合适的阀值，将小于阀值的系数置为零，而保留大于阀值的小波系 数，然后对处理过的小波系数进行逆变换，就可以实现降噪和重建。硬阀值法和 自适应阀值法各有优缺点，总的来说硬阀值方法计算量比较小，可以很好的保留 图像边缘等局部特征，但图像会出现视觉失真等现象，而自适应阀值方法计算量 比较大，处理结果则相对平滑得多，但是软阀值可能会造成边缘模糊等失真现象。 小波系数模型法：该类方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之 问往往具有很强的相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进 行降噪的。主要有以下算法：t r e ea p p r o x i m a t i o n 、m n i 、g g d 、砌虾等。该类 方法计算量比较大，但效果比阀值降噪法要好一些。 近年来，随着多小波研究的深入，多小波开始应用于图像降噪。由于多小波 既保持了单小波的诸多优点，又克服了单小波的缺点，而且它把十分重要的正交 性、光滑性、紧支性、对称性等完美地结合了起来。在图像处理中，这些特性具 有重要作用，如正交性可保持能量；对称性使信号在边界易于处理；与紧支性小 波对应的滤波器是有限脉冲响应( f i l l i t ei m p u l s em s p o n ，f 取) 滤波器，它能使得相 应的快速小波变换之和是有限的。由于以上优点，利用多小波进行图像降噪的效 果要比单小波好。数字图像的多小波降噪成了图像降噪研究的一个新领域。 本文提出了两种新的多小波图像分解的方法：直接法和复制法。直接法是用 多小波的滤波器矩阵直接和图像矩阵进行卷积，而复制法则采用了复制同一行 ( 列) 数据同多小波的滤波器矩阵进行卷积。在重构时采用了图像融合技术。针 对多小波图像分解的特点，本文还给出了一种针对多小波降噪的方法：自适应多 阀值法，它是在用于小波降噪的b a y e s s n 薛法的基础上改进的。 2 踅塞銮逼太堂亟堂焦盈塞2 垒d ! 遗变毯照熬堂薹碴 2 1 小波变换 2 多小波变换的数学基础 在本节和2 2 节中提到的小波变换均指的是单小波交换。 。 2 ，1 1 连续小波变换 定义2 1 把对函数t ) 的积分交换 w r 忱b ) = 【0 ) 刁o ( f ) 西 称为小波变换，其中 ( f ) = 口f “2 国( a t - b ) 是由盯( f ) 经平移和放缩的结果。o ) 被称为小波母函数或小波函数。从小波函数 铣。( o 钓参数选择方面观察，当a 较大时，时频窗的形状变为“瘦窄”状，因为 高频信号在很短的时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“瘦窄”时 频窗正符合高频信号的局部时频特性；当a 较小时，时频窗的形状变为“扁平” 状，因为低频信号在较宽的时域范围仅有较低的频率含量，所以这种“扁平”时 频窗正符合低频信号的局部时频特性。 2 1 2 离散小波变换 在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化，因此 有必要讨论连续小波n 神( f ) 和连续小波变换w ，( 如b ) 的离散化。这一离散化是针对 连续的尺度参数a 和连续的平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。通常将) 中的连续变量a 和b 取做整数离散形式，一般取a = 2 ，b = k ( 其中j ，k 均为整数。) 将( d 表示为： m ( f ) = 2 川2 国( 2 ，一j ) 离散小波毋，j o ) 是由小波函数m ( f ) 经2 7 整数倍放、缩和经整数k 平移所生成 的。 相应的小波变换表示为离散小波变换 w r o 妁= ( f ，m ( f ) ) 2 1 3 多分辨分析 韭塞銮通塞堂亟坐位j 金塞2 垒尘渡变燕啦筮堂基础 1 9 8 6 年，s m a l l a l 和y m e y 盯提出了多分辨率逼近( m l l l t i - 黜s o l u 衔o n a n a l y s i s ， 简称m r a ) 的概念，它是理解和构造小波的统一框架，无论在理论分析还是在构 造、理解和应用小波方面，它都是十分重要的。 定义2 2 设 v ， j z 是空间l 2 ( r ) 空间的一个闭子空间列， v ，) 被称为多 分辨率逼近( m r a ) ，如果 v ，) 满足以下条件： ( 1 ) 单调性：v ，cv + lv j z ( 2 ) 逼近性：iv ，= o ) y v ，= l 2 ( r ) j z ( 3 ) v = s p m ( 矿j ( f ) l 吼上( f ) - 27 他妒( 2 卜_ | ) j ，k z ) ( 4 ) 伊( f ) = 矿( 2 f 一力，h 。l 2 ( 5 ) 存在烈r ) 毫vo ，使得 须，一| i ) 构成v o 的黜e s z 基。即存在o a 是高通数字滤波器，其频域表现为g ( w ) ，它在频域中的高通滤波效果是通过时域 中的离散卷积邑伊( 2 f 一以) 来实现的。 低通、高通数字滤波器，为下一节介绍的快速小波变换奠定了基础，如同 f o 谢e r 变换一样，小波变换在计算机中实现一般也采取快速算法( f w l ) ，在f w t 使用的并不是离散化的尺度函数，而是低通、高通数字滤波器。 2 2 快速小波变换 快速小波变换( f w t ) 是一种实现离散小波变换( d 、) l ，t ) 的高效计算方法， 该变换找到了相邻尺度d w r 系数阊的一种令人惊喜的关系。它也称为m a l l a t 人字 形算法( m a l l a l 于1 9 8 9 年提出的) 。它为小波变换应用于现实奠定了基础。在2 2 1 节讨论了一维小波的快速变换，由于数字图像在计算机中是用矩阵表示的，对图 像进行处理要用到二维小波变换，所以在2 2 2 节二维小波变换及其快速变换。 2 2 1 一维快速小波变换 6 | 塞塞壅鑫堂亟堂焦垃塞2 墨尘越变基艘錾堂基硝 小波变换的快速算法大致如下： 设f 【n ) 为有限长度的信号，首先用低通滤波器，和坟n ) 做卷积运算，在傲卷积 运算时将，不断右移2 个采样点，直到信号长度的结束。然后用高通滤波器 对f ( n ) 做同样的运算。低通滤波器，和施) 作用得到的是信号低频部分1 ，高通滤波器矗和 娴作用得到的是信号高频部分爿。z 1 还可以和f 一样继续分解下去。示意图 如下( 图2 - 3 ) ： 图2 3 快速小波变换的示意图 其中f ( n ) 表示有限长度的信号函数，为低通滤波器，乃为高通滤波器，z 1 为 第一次分解得到的低频部分，露为第一次分解得到的高频频部分，z 2 为第二次分 解得到的低频部分，群为第二次分解得到的高频频部分。 具体算法如下： 设厂( t ) 表示j 尺度层的低频部分函数，j 尺度层的采样节点编号2 以对应着 j + l 尺度层编号厅的采样节点。以j 尺度层为基础来观察j + 1 尺度层，则j 尺度层上 隔2 取样的节点正好对应着j + l 尺度层上的采样节点。假设，仅有6 个元素，则j + 1 尺度层上编号为厅的采样节点的值c ：“通过以下公式计算得到的。 c ：+ 1 = 2 2 ( t 2c 厶一2 + t ic ；。- 1 十z oc 厶+ c 厶+ 1 + ，2c 厶+ 2 + 毛c 厶+ 3 ) 按以上公式，将隔2 右移，便可得到j + 1 尺度层上的各采样节点。同理将，换成磊 可以得到d ：“的值( j + 1 尺度层的高频部分) 。 f w t 对应的回复算法如图2 4 所示 图2 4f w t 一1 示意图 _ l 7 回复算法是分解算法的逆过程，此时c 和彤“变为已知数据，回复算法可用 如下公式表示 2 2 。”厶。 t 2 2 。1 ”咧“吸。 c ：= c ：+ c ： 不难看出，计算可分为两步进行，仍然假设，仅有6 个元素 第一步计算j 尺度层上的偶数编号采样点处的c 幺，此时可对j + l 尺度层采样 结点循序推进，用 ，：，o ，l ) 按公式 c 刍= 如c 搿+ 矗c ：“+ z 一2c 搿 ( 2 2 ) 计算出j 尺度层上的偶数编号节点处的相应值。 第二步计算j 尺度层上的奇数编号采样点处的c 厶+ l ，其循序推进过程仍同于第 步，但需另用 ， 按公式 c ! 。+ 1 = 屯c 爿+ c ，1 + t 1c 搿 ( 2 3 ) 来计算出j 尺度层上的奇数编号节点处的相应值。 使用式2 2 和式2 3 便可将“计算出来，将式2 2 和式2 - 3 中的换成 即可。 2 2 2 二维小波变换及其快速变换 在前面讨论的一维小波变换很容易扩展到二维。在= 维情况下，需要一个二 维尺度函数 伊( x ，y ) 和三个二维小波函数口” ，y ) ，国”( x ，y ) 和埘。( 而力。它们每一个都可 以分解成一维尺度函数妒和相应的小波函数国的乘积。 烈x ，y ) = 伊( x ) 烈y ) 甜“( 五y ) = 甜( 力烈力 珊( x ，y ) = 妒( x ) 0 ) 国”( x ，力= 讲( x ) o ) 这些小波函数会有变化沿着不同方向的图像强度或灰度的变化：”( x ，力沿着 列的变化( 例如，水平边缘) ，玉”( x ， ，) 响应沿着行的变化( 例如，垂直边缘) ， 缈。( 托y ) 对应于对角线方向的变化。 二维小波变换的快速算法的示意图如图2 5 ，分解结果如如图2 6 ，回复算法 如图2 7 所示： 毡宝銮逼太堂亟堂焦途塞2 垒d ! 速变逸的熬堂基趟 ，u ，m ，n 图2 5 二维小波变换的快速算法的示意图 无( ，+ l ，用，力譬u + 1 ，埘，以) ( ，+ l ，所，托)譬( ，+ 1 ，辨，力 图2 6 分解结果 9 厂( ，m ，功 韭基至重鑫堂亟主堂焦监塞2 垒尘遗奎燕啦熬堂基碴 图2 5 二维小波变换的回复算法的示意图 2 3 多小波变换 多小波是多个小波母函数，并对应有多个尺度函数。多小波同样满足m r a 。 此时v 。的基是由n 个尺度函数仍( ，一七) 。仍o 一七) ，伊。( f 一七) 经过变化而得 到的。向量( f ) = 仍( f ) ，纨o ) 】满足一个矩阵形式的尺度函数扩张方程。 ( r ) = 芝：i e 馥】( 2 ，一j i ) 系数q 七】是一个n 乘n 矩阵。 与尺度函数仍( f ) ，o ) 对应的是n 个小波函数q ( f ) ，国，它 们也满足对应的小波函数方程。 ( ，) = 乏：d 【七( 2 f 一七) 同样形( f ) 是向量【国。( f ) ，国。0 ) 】，系数d 明是一个n 乘n 矩阵。 g c r o n i i n o ，h a r d i i l ，卸dm a s s o p u s t 构造了一个非常重要的多小波，就是非常著 名的g 瑚垤多小波。g h m 多小波含有两个尺度函数仍，妒：o ) 它们的大致图像 如图2 6 所示。 对应着尺度函数，g h m 多小波含有两个小波函数劬，国2 ( f ) 。 2 1 o o 。 八 o ，2 ；0 ，5o 筠l1 药1 5 i 7 5 ：一八 n 1 5 2 图2 6g h m 多小波尺度函数图像 尺度函数和小波函数对应的扩展方程如下： 她) = 幽_ c 【哗忡【1 】纰_ 1 ) l o 2 i o o + c 【2 】矿( 力一2 ) + c 【3 】妒( 力一3 ) 。幽训蹴2 2 南。各一 其中 ， 一 c 肾k 煞笺绸c = 酚箍 c 2 】：lo 。 o f。 1 9 1 0 2 3 10 l c 吲= 压3 喇= 出压别盱击f 9 箩一1 峒2 击f 9 一划叩，= 水fi 从这里明显可以看出g 蹦河m o h a r d i n m 鹊s o p u s t 尺度函数有以下三个特征： 1 每一个尺度函数都有非常的短的紧支集( 一个在 0 ，l 】上，另一个在 o ，2 】 上) 2 每一个尺度函数都是对称的。 3 尺度函数的平移整数个后得到的函数是正交的 另外，除了0 h m 多小波外，还有双对称多小波和c h u i l i 觚多小波。在本文 中使用的是g n “多小波，对其他多小波不做研究。多小波的实现与单小波不同， 比较复杂，将在下一节做具体研究分析。 3 1 直接算法 3 多小波图像分解及重构 多小波的数字滤波器分别为c 【k 】( 低通滤波器) ，d 噼】( 高通滤波器) k = 0 ， 1 ，2 ，3 。它们的具体数值在上一章中已经给出。其中c 【k 】，d 【k 】是一些2 2 的 矩阵，这与单小波有所不同。单小波的数字滤波器是两个一维向量。因而单小波 的数字滤波器可以和数字图像的数值矩阵的每一行、每一列直接进行卷积运算。 多小波的数字滤波器是2 2 的矩阵，不可能像单小波那样，每行、每列的迸行卷 积，而需要同时有两行或两列同时进行运算。因此多小波的分解算法比较复杂， 虽然有人已经给出了多小波的分解方法，但多小波的分解算法仍有许多人在做研 究。 由于用小波处理的图像一般都是2 “x 2 ”，所以我们很容易想到直接用多小波 的数字滤波器处理图像的两行或两列。这样便可形成多小波分解的一种最简单的 也是最直接的方法。我们把它称为直接算法。在有些论文中也提到过该算法，但 没给出具体算法，本文给出了具体实现方法。 我们设l = | ，：| 其中为多小波低通滤波器c 阍( k = o ，1 ，2 ，3 ) 中每个矩 阵的第一行，即= ( 3 5 ，4 2 5 ，3 ，5 ，o ，o ，o ，o ，o ) 。，2 为多小波低通滤波器c k 】 ( k = o ，l ，2 ，3 ) 中每个矩阵的第二行，即不= ( 1 1 0 2 ，3 1 0 ，9 1 0 2 ，l ，9 l o 2 ， 一3 1 0 ，一1 1 0 2 ，o ) 。设h = i ：| ，其中魄为多小波高通滤波器d 【k 】( k = o ，l ，2 ，3 ) 中每个矩阵的第一行，即髓= 1 1 0 ( 1 2 ，3 ，9 2 ，1 0 ，9 ，2 ，- 3 ， - 1 2 ，o ) 。坞为多小波高通滤波器c 【k 】( k = o ，1 ，2 ，3 ) 中每个矩阵的第二 行，即h ，= l l o ( 1 ，3 2 ，9 ，o ，9 ，3 2 ，1 ，o ) 。由于多小波每次扫描数字图像的 两行，所以，和矗扫描的是图像的奇数行，而，：和坞扫描的是图像的偶数行。这 样，我们可以对数字图像的矩阵，- ( ，) ( 利用小波处理的图像一般行数和列数相 等，并且都为2 8 形式。) 傲一些预处理。保持矩阵的列不变，对矩阵厂( ，) 进行 隔行采样，也就是将矩阵厂( 。) 的奇数行抽出形成了一个矩阵，记为 口 ( 2 玎一1 ，) 】；将矩阵厂( ，) 的偶数行抽出形成了另一个矩阵，记为6 【( 2 门，) 】。 其中胛【l ，n ，2 】。将和 作为一组滤波器对口 ( 2 聍一1 ，v ) 】进行小波分解，将，2 和 鸩作为另外一组滤波器对6 【( 2 珂，) 】也进行小波分解。分解的方法和单小波分解一 样。列方向的分解类似行方向的分解。对于分解结果的重构也和单小波重构一样。 和 滤波器组对它们的分解结果进行重构得到矩阵口。【( 2 以一l ，) 】：f ：和滤波器 组对它们的分解结果也进行重构得到矩阵6 【( 2 ，) 】。然后合并矩阵口【( 2 ，l l ，柳】 和6 【( 2 ，l ， d 】得到矩阵厂( ，) 。，( ，) 矩阵的奇数行为矩阵口 ( 2 ，l l ，忉】的行； 1 2 韭塞窑通塞堂臻堂僮i 金塞3垒d ! 遮国篮盆鲣厘重捡 厂( ，忉矩阵的偶数行为矩阵6 【( 2 ，l ，) 】的行。这样厂( ，) 便是最终所需要的矩 阵。总结该算法如下： 1 从多小波的低通滤波器c k 】和高通滤波器d 阁中得到两组数字滤波器、 和z ：、 2 。 2 处理数字图像的矩阵厂( ，忉，将其变为两个矩阵讲( 知一l ，) 】和 6 【( 2 ) 】。 3 z - 和 对d 【( 2 甩一1 ，) 】进行小波分解，2 和对6 ( 2 ，2 ，) 】进行小波分解。 4 进行列方向上的小波分解，方法类似行方向。 5 ，l 、鱼和，2 、岛分剐对它们自己的分解结果进行重构，得到矩阵 n 【( 2 h l ，) 】和6 。【( 2 ，l ，) 】。 6 合并矩阵口【( 2 肝一1 ，) 】和6 ( 2 栉，忉】得到最终需要的矩阵，。( ，) 。 直接算法的实验结果如图3 1 所示 (a)(” 图3 1 ( a ) 【棚a 2 5 6 x 2 5 6 原图多小波直接算法处理后的图像 由图3 1 可以看出多小波直接算法产生的图像，视觉上跟原来的图像有一些差 别，看起来比原图变得较柔和。 3 。2 预处理算法 预处理算法对图像的矩阵进行预滤波，再进行多小波变换，整个过程中，总 象素数保持不变。设，( ，) 为数字图像的矩阵，( ，) 预滤波后，生成c i 1 、q ” 岛。和c ：4 个n ，2 n ，2 的矩阵，然后对这4 个矩阵块进行多小波变换。其分解与 重构的框图如图3 4 所示。 j e 夏窑煎太堂亟堂僮诠童垒尘这图像盆鲤愿重捡 f “m 、h 预滤波卜- - c l ，2 ，c l l 一外波变换怔 吒，l ，c 2 0 ( a ) 多小波分解 q 2 q 1 i m h 小波逆变换卜 c 2 。l c 2 。2 副刑，忉 ( b ) 多小波重构 图3 4 多小波分解与重构框图 3 。2 1 一维信号预滤波 文献【8 】提出了严格采样预滤波方法，它的思想是将输入信号k ) 分裂成2 1 的 向量序列 k p 。) 邑( 。h 】7 ，然后再进行预滤波，生成向量信号 瑶。= m ，锻】7 ，对于g 壬丑多小波来说满足 啦= 赢嘞+ 赤屯“一焉+ z 啦2 南h 以 就相当于向量序列l ：= ：。】透过预滤波器声( 劝= 妾。e - i ，其中舀= r 誓 ，b o + i m j 盏4。l ooj 毋= l 卒：l 。相应地经过逆离散多小波变换后，要通过后滤波重构原始信号，即 h 。= v 翘。d ，( 1 ) 1 4 韭塞窑亟太堂亟堂焦j 金塞垒尘波国丝盆鲣霆重掏 。= 1 ，5 1 2 峨( 上) + 坦。哆g ) + 嘏哆( 1 ) 就相当于向量信号- o ，= k 2 】r 通过后置滤波器 ( 田) ：圭qe 一t ，其中 蜴= ( 品0 ， ，蜴七矧。妒l 呜( 1 ) 哆皓) j q 12 l oi 苗户 3 2 2 二维信号预滤波 首先，对m 的二维信号x = b uj 的每一行进行预滤波 俨焉籍”志协，一番协： 彬5 赤肿 g ：k u 】：l “曼a ，“2 i “誊a 甜弦。l 【甜：1 oa “嚣：- 畅一“铉，。a 甜器，j “一- j 蟛= 焉勋+ 志砜一焉。 蟛2 南9 2 f + ：一 ，1 ，5 ：；av 谢人曝，。1 7 ，- 眩k 2 怯a 蠢瑶菱ad 逆变换后必须经过后置滤波才能够重构原始信号。后置滤波时先对逆变换后的信 号按列迸行后置滤波，再对处理后信号按行进行后置滤波，这样在不考虑误差的 情况下，后置滤波后的信号与原始信号相同。 3 2 3 行多小波变换 在进行行多小波变换之前，首先要进行行预滤波和列预滤波。进行行预滤波 时，首先保持列不变，对矩阵厂( ，忉进行隔行采样，首先生成的两个矩阵为口：。 和口2 。，l ，s ，2 。行预滤波的表达式为 p 巴 2 鼢。卜 其中，p ( 垆l 丽 r 3 l o 州炉陆0 l 1 o j 在进行列预滤波时，行保持不变，对瓦和吒+ 。， ，进行隔列采样，首先生成 四个矩阵吒m 一，和，2 。，巩+ ，2 2 。- 1 和吒+ ，2 山，其中1 行s 2 。列预滤波的结果 是q 1 、岛，2 、乞，t 和色2 。 p 瞄m 廿跚。 j = 1 2 莩聃 锻= = 0 = ，： - 臣 纠。 进行多小波变换时，首先对c ( ，忉进行行方向采样，生成矩阵。州和气+ 。，2 l 。 l 玎2 然后对c 。，_ 和c 。 r ，2 进行行多小波变换。 弘匕， = l 幺， 。匕。 2 l 袭， ，i io + ，2 ii f 月+ ， rl 1 6 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 韭塞奎煎太堂亟堂焦途塞 !垒尘这国傻盆鲣霪重翅 l s 疗4 i ，i 如果记l = 川，其中毛为多小波低通滤波器c 【k 】( k = o ，i 。2 ，3 ) 中每个矩 阵的第一行，为多小波低通滤波器c 【k 】( k = o ，1 ，2 ，3 ) 中每个矩阵的第二 行；设h 芦k i ，其中啊为多小波高通滤波器d q ( k = o ，l ，2 ，3 ) 中每个矩阵 的第一行，如为多小波高通滤波器c k 】( k = o ，l ，2 ，3 ) 中每个矩阵的第二行。 那么和魄作用于。州，那么，2 和作用于c 。_ ，2 3 2 4 列多小波变换 设 c 。，= c f 1 一4 c 二肿，4 ，= c 1 押4 c h 。“= c ? l s n s n 4 c hn + n h n = c ：、s n 曼n | 4 c ；、c ，、畔进行列方向采样，生成相应的矩阵组 c l 工。一 l q 。+ ，- ，z + 。j c 2 ”。 1 l r 删m 。一 其中 l s 玎，4 ，l m 2 然后对以上四个矩阵块进行列方向多小波变换，低通滤波器分解的形式如式 3 1 ，高通滤波器分解的形式如式3 2 。和啊以及如和作用的对象和式3 1 和式 3 2 相似。 3 2 5 多小波重构 多小波的逆变换，将以上各步逆过来，先进行多小波的列重构，再进行多小 波的行重构。每一步要将处理过的矩阵迸行相应的反处理。最后对多小波变换后 的矩阵，进行后滤波，后滤波器为q ) | i = o ，l 肿阵一鞫心啦笥 q ( 垆i4 压 3l ，q ( 1 产ln 一三l l5l o j l1 0 j 1 7 1j “ 一 一 ” 4工：刖 c l 乞_。l ，一 州 州 。q b一 3 3 复制算法 目前，用多小波进行图象处理一般采用的是预处理算法，本文给出了一种新 的算法，本文将它称为复制算法。它的基本思想是：用多小波滤波器对图像进行 小波分解时，每次也只处理一行或一列，把图像的这行( 列) 复制下来。这样图 像的一行( 列) 就变成了两行( 列) ，可以直接和多小波的滤波器进行卷积运算了。 由于对图像数据进行了复制，使得图像的象素点比原来多出了许多。为了能进行 图像的重构，必须去掉一些象素点，在本文中，采用了数据融合技术，将一些象 素点进行融合，以达到要求。具体算法将在3 3 3 中详细叙述。以下首先简要的讨 论一下数据融合技术。 3 3 。1 数据融合技术 图像数据融合是通过一个数学模型把来自不同传感器的多幅图像综合成一幅 满足特定应用需求的图像的过程，从而可以有效地把不同图像传感器的优点结合 起来，提高对图像信息分析和提取的能力。图像数据融合技术可以从多幅图像中 抽取出比任何单一图像更为准确可靠的信息。由于各幅图像间的有用信息是相关 的，而干扰是不相关的，因而通过比较分析就排除干扰获取准确的图像信息。图 像数据融合是近年来研究的一个热点，在医学、机器视觉、环境保护、农业产量 评估、遥感技术和军事领域得到了广泛的应用。 图像数据融合技术包含三个不同的层次，即象素层、特征层和决策层，分别 对应象素级融合、特征级融合和决策级融合。如果按图像融合的对象，可以分为 两大类：即多光谱图像( 通常为r g b 彩色图像) 与灰度图像之间的融合以及灰度 图像之间的融合。这里我们只讨论的是灰度图像之间的融合。灰度图像之间的融 合的融合方法，大体上可分为三大类： 一简单融合方法，不对图像做任何分解和变换，直接将空间对准的两幅( 或 多幅) 图像进行选择、平均或加权平均等。这种算法实现简单，但融合后的效果 较差。 二基于金字塔形分解和重建算法的融合方法，主要包括梯度金字塔法。对比 度和比率金字塔法以及拉普拉斯金字塔法等，它们首先构造输入图像的金字塔， 再按一定的特征选择方法取值形成融合金字塔，通过对金字塔实施逆变换进行图 像重构，最终生成融合图像，它们的融合效果要远优于第一类方法，然而也有许 多不尽如入意的地方。 三基于小波变换的图像融合方法，它是近几年兴起的一种融合方法，通常采 用多分辨分析和m a l l a t 快速算法，通过各层的特征域上进行有针对性的融合，比 较容易的提取原始图像的结构信息和细节信息，所以融合效果要好于基于金字塔 形变换的图像融合法。其流程如图3 2 所示。这是因为小波变换更为紧凑；小波表 达式提供了方向信息，而金字塔表达式未将空间方向选择性引入分解过程；由于 可以选择正交小波，因此不同分辨率包含的信息式唯一的，而金字塔分解在两个 不同尺度之间含有冗余，另外金字塔不同级的数据相关，很难知道两级之间的相 似性是由于冗余还是图像本身的性质引起的；金字塔的重构过程可能具有不稳定 性，特别是两幅图像存在明显差异区域时，融合图像会程序斑块，而小波变换具 有完善重构能力，保证了信号在分解重构过程中没有信息损失和信息冗余产生。 一般来说图像融合之前要进行时图像降噪以得到更好的效果，但本文却有“反 弹琵琶“之意，使用图像的数据融合技术来完成图像的降噪，其原理：如果两幅 一样的图像融合时，对应象素进行了融合，类似于一些均值滤波器的作用，对图 象的噪声起到了一定的抑制作用。本文中主要用到了简单融合方法和小