（计算数学专业论文）渗流力学模型的多步特征数值方法.pdf

山东大学博士学位论文 渗流力学问题的特征多步方法 龙晓瀚 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 油藏的运移聚集、油气资源的开采、地下水的污染、海水入浸问题以及其它众多的 渗流问题，从物理本质上考虑，它们都是流体在地下复杂的多孔介质间的运移，这种运 移常常是对流占优或强对流占优的扩散( 包括机械弥散) 运动对于这些大规模长时间 的应用问题，数值方法求解其数学模型常常遇到很大的困难显著的困难在于强对流 占优对流扩散方程的解具有移动的陡峭的前沿，求解一般抛物方程所用的标准有限元 或有限差分法会产生难以接受的数值震荡和数值弥散为克服数值震荡，工业中求解 这类问题所使用的加权迎风法又会产生较强的数值弥散上世纪八十年代，美国著名 计算数学家j i md o u a s 等提出了修正特征方法( 简称m m o c ) ，该方法很大程度上消 除了数值震荡和数值弥散等不足可用于大步长大规模数值计算，并成功应用于油藏 问题的数值模拟然而，特征方法也存在自身酌不足；尤其它不能保持物理问题所故有 的质量守恒特性在接下来的时间里，特征方法又得到了不断的改进，在原有的思想 上又提出了带局部修正的特征方法( 简称m m o c a a ) ，该方法能保持流体的局部质量守 恒特性上述两种方法的缺点主要表现在对边界条件的处理很不方便e u l e r l a 妒g e 局部共轭方法( 简称e l l a m ) ，作为改进的特征方法不仅保持质量守恒，而且能够方便 地处理边界条件m m o c a a 方法和e l l a m 方法都已成功的应用于渗流问题的数值 求解 作为提高运算效率的重要方法，多步方法已广泛应用于常微分方程和抛物型偏微 分方程的数值求解经典的向后差分法( 简称b d f ) ，是一类全隐的离散格式著名计 算数学家g r o u z e i x 于上世纪八十年代初提出的基于算子分解的隐一显多步方法在最近 得到了发展，成为求解某些抛物方程的高效方法该方法对时间的离散基于线性多步 法，离散方程的一部分为隐格式，另一部分为显格式这种隐、显结合的多步方法每 一步求解的线性方程组系数矩阵是相同的，因而其格式非常高效另外，还是稳定和 相容的 作者在袁益让教授的指导下，本文所做研究工作集中以下两个方面：首先，对两 类典型的渗流问题提出并分析了向后多步特征方法它们分别是强化采油问题的向后 多步特征有限元方法、向后多步特征混合元和向后多步特征差分法，海水入浸问题的 问题的向后多步特征有限元方法其次，基于m m o c 方法，提出和分析了对流占优扩 散方程的隐一显多步特征有限元方法，该方法具有特征法的思想，而且是非常高效、 稳定和相容的我们还明显的注意到：一方面，隐显多步特征有限元方法，可以直 1 1 1 山东大学博士学位论文 接的推广为基于m m o c a a 方法的修正隐一显多步特征有限元方法，从而质量守恒得 以保持另一方面，隐显多步特征法可以直接应用于渗流问题的数值模拟对于这 两个方面，我们将在未来研究工作作仔细讨论本文还讨论了有限体积元方法，该方 法介于有限元和有限差分法之间，具有接近有限元的精度却只需要接近有限差分法的 计算量；而且，体积元方法能够保持局部质量守恒，这对求解流体问题的是很重要的 特点由于实际渗流问题数学模型中对流扩散方程的扩散( 弥散) 系数矩阵可能是半 正定的，而本文其他地方均附加了正定性假设，因此，我们也给出海水入浸问题在扩 散系数矩阵半正定情形下特征有限元方法的收敛性分析最后，我们改进了最近出现 的对于一般对流扩散方程的隐一显多步有限元法一个结果 最后要说明的是：我们认为本文的基于m m o c 的多步方法，推广到基于m m o c a a 或其他特征法没有实质困难 关键词：渗流问题，对流扩散，修正特征法，隐一显多步法，有限元，有限差分 有限体积元，半正定 ， 山东大学博士学位论文 m u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d sf o rp o r o u sf l u i df l o w s l o n gx i a o h a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g p 5 0 1 0 0 , p e o p l e sr e p u b l i co c h i n a a b s t r a c t p e t r o l e u mr e s e r v o i r s e a w a t e ri n t r u s i o na n dm a n yo t h e rp h y s i c a lp h e n o m e n aa r e 盼 s e n t i a l l yc o n v e c t i o n - d o m i n a t e df l o w si nu n d e r g r o u n dp o r o u sm e d i a n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s o ft h e s ep r o b l e m si n v o l v es o l v i n gn o n l i n e a rc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n d u s u a l l yf a c ec o n s i d e r a b l ep r a c t i c a ld i f f i c u l t i e s c o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o ne q u a t i o np o s s e s s e sp r o p e r t yo fh y p e r b o l i co n e s s t a n d a r dn u m e r i c a lm e t h o d ss o l v i n gt h e s ee q u a t i o n s o f t e np r o d u c en o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n s ，a n du p w i n dm e t h o d su s u a l l yc a u s ee x c e s s i v en u m e r - i e a ld i f f u s i o nw h i c hs m e a rt h es h a r pf r o n t s t os e e kn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs u c hp r o b l e m s t h a tr e f l e c tt h e i ra l m o s th y p e r b o l , i cn a t u r e d o u g l 8 s 甙a 1 d e v e l o p e dt h es o - c a l l e dm o d i f i e d m e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ( m m o c ) ，w h i c hi n v o l v e st i m es t e p p i n ga l o n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h eh y p e r b o l i cp a r to ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n s t h em m o c p r o c e d u r e ，h o w e v e r ，f a i l st op r e s e r v ei n t e g r a lc o n s e r v a t i o nl a w s i t sv a r i a n t ， c a l l e dt h em o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw i t ha d j u s ta d v e c t i o n ( m m o c a a ) p r e s e r v e s t h ec o n s e r v a t i o nl a wa tam i n o ra d d i t i o n a lc o m p u t a t i o nc o s t b o t ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tm m o c a ah a sa d v a n t a g e so v e rt h em m o c b u tb o t ht h em m o c a n dt h em m o c a ah a v ed i f f i c u l t i e si nd e a l i n gw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n t h ee u l e r i a n - l a g r a n g i a nl o c a l i z e da d j o i n tm e t h o d ( e l l a m ) ，a sa ne m i n e n tc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ，h a s t w oa d v a n t a g e so v e rm m o c ：p r e s e r v i n gt h ec o n s e r v a t i o nl a wa n dt r e a t i n gg e n e r a lb o u n d a r y c o n d i t i o ne a s i l y m u l t i s t e pm e t h o d sh a v eb e e ne x t e n s i v e l yu s e da se f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sf o ro d e s a n dp a r a b o l i cp d e s b a c k w a r dd i f f e r e n c em e t h o d s ，t r a d i t i o n a l l yc a l l e db a c k w a r dd i f f e r e n c e f o r m u l a ( b d f ) ，a r ei m p l i c i tm u l t i s t e pm e t h o d s i m p l i c i t e x p l i c i tm u l t i s t e pm e t h o d s ，i n t r o - d u c e db yg r o u z e i xi nt h ee a r l y1 9 8 0 s ，h a v eb e e nw e l ld e v e l o p e dt os o l v ep a r a b o l i cp r o b l e m s i nr e c e n ts e v e r a lv e a r s t h ed i s c r e t i z a t i o no ft i m ei sb a s 甜o nl i n e a rm u l t i s t e ps c h e m e s o n e p a r to ft h ee q u a t i o ni sd i s c r e t i z e di m p l i c i t l ya n dt h eo t h e re x p l i c i t l y s i n c et h e i ri m p l e m e n - t a t i o nr e q u i r e sa te a c ht i m es t e pt h es o l u t i o no fl i n e a rs y s t e mw i t ht h es a m em a t r i xf o ra l l t i m el e v e l s ，t h er e s u l t i n gs c h e m e sa r ev e r ye f f i c i e n t f u r t h e r m o r e ，t h es c h e m e sa r es t a b l ea n d c o n s i s t e n t t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei nt h ef o l l o w i n gt w oa r e a s ：f i r s t ，w ed e - v 山东大学博士学位论文 v e l o pa n da n a l y z et h eb a c k w a r dd i f f e r e n c em u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d sf o rt h es i m u l a t i o n o ft w ot y p i c a lp r o b l e m so fp o r o u sf l u i df l o w s ：t h ee n h a n c e do i l - r e c o v e r ya n ds e a w a t e ri n t r u s i o n s e c o n d ，w ep r e s e n ta n da n a l y z et h ei m p l i c i t e x p l i c i tm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d s f o rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o ne q u a t i o n s t h ep r o b l e mo fe n h a n c e do i l - r e c o v e r yi sm o d e l l e db yan o n l i n e a rs y s t e mo ft w oc o u p l e d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：t h ee l l i p t i cp r e s s u r ee q u a t i o na n dt h ep a r a b o l i cc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n f o rt h eb a c k w a r dd i f i f e f e n c e m u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i c m e t h o d s ，w eg i v et h r e em e t h o d sb yi n c o r p o r a t ei nt h r e ek i n d s o fd i s c r e t i z a t i o ni ns p a c e ： f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n df i n i t ed i f i e r e n c em e t h o d s o p t i m a l o rs u b o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e df o rt h e s em e t h o d s ，r e s p e c t i v e l y t h es e a w a t e ri n t r u s i o np r o b l e mi sm o d e l l e db yan o n l i n e a rs y s t e mo ft w oc o u p l e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：t h ep a r a b o l i c p r e s s u r ee q u a t i o na n dt h ep a r a b o l i cc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n t h eb a c k w a r dd i f f e r e n c em u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sa r ed e v e l o p e da n da n a l y z e d o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e di n t h ed i s p e r s i o n f r e ec a s e a st h ef i n i t ev o l u m em e t h o d ，w h i c hi sa l s oc a l l e dg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d ，s h a r e ss o m ea d v a n t a g e so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a n dh a st h ep r o p e r t yo fc o n s e r v i n gm a s sl o c a l l y f o rt h ea b o v er e a s o n s ，t h em e t h o dh a sb e e n e x t e n s i v e l yu s e di nc o m p u t a t i o n a lf l u i di nr e c e n ty e a r s h e r e ，w ec o n s i d e rac o m b i n a t i o no f c h a r a c t e r i s t i cm e t h o dw i t ht h ef i n i t ev o l u m em e t h o df o rs e a w a t e ri n t r u s i o np r o b l e m i nr e a l i t i e so fp o r o u sf l o w s ，t h ed i f f u s i o n d i s p e r s i o nc o e f f i c i e n t sc a l lb ep o s i t i v es e m i d e f i n i t e ，u n l i k e t h ea s s u m p t i o ni nt h er e s tp a r to ft h ed i s s e r t a t i o n t h u s ，w ea l s og i v ea ni m p r o v e da n a l y s i 8f o rt h ec h a r a c t e r i s t i c - g a l e r k i nm e t h o d sf o rs e a w a t e ri n t r u s i o np r o b l e m s a n ds u b o p t i m a l e r r o ra n a l y s i si sd e r i v e d w ed e v e l o pi m p l i c i t e x p l i c i tm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o ra p p r o x - i m a t i o no fc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s ：i ti sac o m b i n a t i o no fa na ( 0 ) 一s t a b l e i m p l i c i tm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cp r c e d u r e ，a l le x p l i c i tm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i cp r o c e d u r ea n d t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd i s c r e t i z a t i o no fs p a c ev a r i a b l e s t h em e t h o de x t e n d st h e m m o cm e t h o dt oi m p l i c i t e x p l i c i tm u l t i s t e pc h a r a c t e r i s t i co n e ，w h i c hi ss t a b l ea n dv e r ye f f i c i e n t a tt h ee n do ft h i sp a p e r ，w ew i l li m p r o v ear e c e n t l ya p p e a r e dr e s u l to ni m p l i c i t e x p l i c i t m u l t i s t e pf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s f i n a l l y , i ti s d e s e r v e st on o t et h a tw ep r e s e n tt h em u l t i s t e pm e t h o d sb a s e do nt h e m m o c a n dw eb e l i e v et h a ti t se x t e n s i o nt ot h em m o c a a b a s e do ro t h e rc h a r a c t e r i s t i c m e t h o d si ss t r a i g h t f o r w a r d k e yw o r d s ：f l u i df l o w si np o r o u sm e d i a ，c o n v e c t i o n d i f f u s i o n ，m o d i f i e dc h a r a c t e r i s t i c m e t h o d ，i m p l i c i t e x p l i c i tm u l t i s t e pm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n t ，f i n i t ed i f f e r e n c e ，f i n i t ev o l u m e ， p o s i t i v es e m i d e f i n i t e 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：重峰遮墨 日期论文作者签名：丝”兰! 望! !日期 玉6 。c 2 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇 编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：乏堡煎导师签名禽羔日期 _ 6 e ，z 山东大学博士学位论文 第一章引言 1 1 渗流问题的数学模型 油藏在地下的运移聚集、油气资源的开采、地下水的污染、海水入浸问题等众多 的渗流问题，从物理本质上考虑，它们都是流体在地下复杂的多孔介质间的运移，这 类运移常常是对流占优或强对流占优的扩散( 包括机械弥散) 运动它们的数学模型是 一组偶合的非线性偏微分方程组用高效高精度的数值方法求解其中的对流扩散( 弥 散) 方程成为这类问题数值模拟的关键本文讨论这类问题中两个典型：不可压缩可 混溶驱动问题和海水入浸问题 油藏数值模拟的主要目标是发现地下油藏的物理运动规律和化学性质，为石油的 开发和开采提供理论参考和依据而在强化采油过程中，水或者其他化学溶剂从某些 油井注入到地下，与地下原有的流体混合，从其它的采油井被采出多孔介质中可混 溶不可压缩驱动问题的数学模型为f 1 ，2 ，3 ，4 ，5 】： 书( 南( v p - 7 ( c ) v d ) ) ；可【n ( v p - 7 v d ) 】 三v u = q ，z n ，t z 西塞一v ( d ( 妒c - - l t t c ) 咱，z 呱t z t 正n = ( d ( u ) v c u c ) n = 0 ，z a n ，t z c ( z ，0 ) = c 0 ( 茹) ， z n 我们假设流动沿垂直方向各相同性，因此，可以取ncr 2 系统( 1 1 1 ) 的两个未知函 数p ( x ，t ) 和c ( z ，t ) ，分别表示流体内部的压力和某一溶质的饱和度系统中系数和数据 的意义为： ( z ) 和庐( z ) ，分别代表介质的渗透率和孔隙度；肛( c ) ，7 ( z ，c ) 和d ( z ) ，分 别代表流体的粘度、比重和高度；u ( ，) = ( u 1 ，u 2 ) 代表达西速度；矩阵d ( z ，u ) 代表 分子扩散和机械弥散系数；口( z ，) 代表井口的流速；i ( ，t ) 为注入流体的浓度c 0 ( z ，t ) 为混合流体浓度初值 矩阵d ( z ，u ) 通常具有如下的形式： d ( x ，u ) = 咖( 霉) ( c k 。t i + d t m 9 l u l e + d t ，。l u l e 上) ( 1 1 2 ) 其中矩阵e 是沿着流动方向的投影， e = ( e i j ( u ) ) = ( 砰u i u j ) e 上= j e 为e 的余阵；扩散系数d t 。，为沿流动方向的弥散度虽，而d 。为垂直于 流动方向的弥散度量系统( 1 1 1 ) 的提出，详细可参考文献【2 ，5 】_ 、；) a b c d l 1 1 l 1 1 l 1 1 1 l 1 1 ，l( 山东大学博士学位论文 方程( 1 1 1 a ) 和方程( 11 1 b ) 分别被称为压力方程和饱和度方程实际问题感兴趣 的是饱和度c ，所以，数值求解对流占优的扩散( 弥散) 方程( 1 1 1 b ) 成为该问题数值模 拟的关键 海水入浸问题是关系到环境和水土资源的重大问题 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 由于在海 岸带附近过量的开采地下淡水，打破了长久以来形成的淡水和海水之间的平衡态势， 造成大量海水渗流到淡水地带，使原有的淡水资源和周边的土壤盐碱化数值模拟海 水入浸问题的目的就是弄清海水入浸的机理，从而预防和减少海水入浸带来的危害 因为海水和淡水完全可混溶，流体以单相流在地下多孔介质中渗流弥散该问题的数 学模型为一偶合的非线性抛物方程组f 1 2 ，9 ，1 0 ，1 3 1 ： s 。o 优h v ( n v h ) = g ， z q ，t 正 ( 1 1 3 a ) 蟾协v c * ( 、b d v c ) + 蜘筹= a c * - - c ) h ( x ，0 ) = h o ( ) ，c ( z ，0 ) = c 0 ( 。) v h n = 0 d v c n = 0 七n 茁n z a n t 上 t j ( 1 1 3 b ) ( 1 1 3 c ) ( 1 1 3 d ) 其中n 是r 2 中的有界区域，j = ( 0 ，卅为时间区间系统的未知函数为h ( 戤) 和 c ( x ，t ) ，h = p p o g + d 为压力水头，c ( z ，t ) 为盐的浓度系统( 1 l 3 a ) 一( 1 1 3 d ) 中的系数 和数据的意义为：p 表示流体内的压力；p n 为水的参考密度；s s = a p o g 为一正数； p 流体的密度，仅与浓度c 有关；g 为重力加速度；d 为含水层的高度；p 为流体的 粘度；k 为介质的渗透率另外， a ( c ) = p 0 拈( 2 ) 肛( c ) ；u = 一k , ( v p + p g v d ) 表达西 速度；妒= 妒( z ) 为孔隙度；j y 为边界a n 的单位外法向量矿( z ，) 和g = q ( x ，t ) 为 已知函数 d ( z ，“) 为扩散弥散矩阵，且具有形式 d ( x ，t 正) = 1 】f ，( 茁) ( d m 。l i + d l 9 i t 正l e + d t r n n j u i e 上) ， ( 1 1 4 ) 其中的各类系数均如( 1 1 2 ) 中所定义方程( 1 1 3 a ) 被称为压力方程，方程( 1 1 3 b ) 称 为浓度方程关于模型( 1 1 3 ) 的建立，详细可参考文献【7 ，1 3 渗流问题可以简单地抽象为对流占优的扩散问题在给定初值和d i r i c h l e t 边界条 件后，问题可以描述为( 参考 1 4 】) ： c ( 。) 象+ 6 ( 叫，u ) v “一v ( a ( x ，u ) v u ) = ，( ，t ，u ) ， “( 。，0 ) = u 0 ( z ) ， ( z ，t ) = 0 ， 茁n ，t z( 1 1 5 a ) n ，( 1 1 5 b ) z a n ，t 工( 1 1 5 c ) 其中n 为r 2 中具有光滑边界a n 的有界区域，j = ( 0 ，t 1 为时间区间 c ：n r ， a ：n r r ；b ，f ：而jxr r ；“o ：n 一豫均为已知函数作为对流扩散方程， 2 山东大学博士学位论文 b ( x ，t ，u ) - v u 称为对流项，v ( n ( z ，u ) v u ) 为扩散弥散项若流动是强对流占优的，则 n 相对于b 是很小的为方便后面的理论分析，我们假设a + 和c 。满足： 0 a + n ( z ，札) ，0 c + sc ( z ) ， 茁n 1 2已有的数值方法 如所周知，数值方法求解对流占优的扩散问题遇到较大的困难显著的困难在于 强对流占优对流扩散方程的解具有移动且陡峭的前沿，求解一般抛物方程所用的标准 有限元或有限差分法会产生难以接受的数值震荡和数值弥散关于这类问题较前面的 资料可参考【1 9 】为克服数值震荡，工业中求解这类问题所使用的加权迎风法又会产 生较强的数值弥散 1 7 其它许多方法从某种程度上都考虑强对流占优对流扩散方程 的双曲特性例如流线扩散方法 1 8 】，内部加罚的g a l e r k i n 方法等f 2 0 ，2 1 1 ，这些方法都 有自身的优点和不足 1 5 ，1 6 l _ 到上世纪八十年代，美国著名计算数学家j i md o u g l a s 等提出了修正特征方法( 简称m m o c ) 2 2 ，该方法很大程度上消除了数值震荡和数值 弥散等不足可用于大步长大规模数值计算，并成功应用于油藏等问题的数值模拟 3 ，1 3 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 然而，特征方法也存在自身的不足，尤其它不能保持物理问 题所固有的质量守恒特性 在接下来的时间里，特征方法又得到了不断的改进，在原有的思想上又提出了带 局部修正的特征方法( 简称m m o c a a ) 2 8 该方法稍稍增加运算量却能保持流体的局 部质量守恒特性，也被应用到不可压缩渗流问题的数值模拟f 2 9 1 上述两种方法的缺 点主要表现在对边界条件的处理很不方便由c e l i a 和e w i n g 等人首先提出了e u l e r - l a g r a n g e 局部共轭方法( 简称e l l a m ) 3 0 ，作为改进的特征方法不仅保持质量守恒， 而且能够方便地处理边界条件e l l a m 方法也已成功的应用于渗流问题的数值求解 5 ，3 1 ，3 2 多步法作为提高微分方程数值求解计算效率的有效方法已被广泛应用于求解常微 分方程和抛物型偏微分方程f 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 这里我们考虑向后多步特征法和隐一显多 步特征法e w i n g 和r u s s e l l 在文献2 7 1 中，对于线性对流扩散方程，结合有限元提出 了沿特征的向后多步法，并作了细致的数值试验和分析其理论分析得到了关于日一 模的最优误差估计数值试验表明当空间离散精度足够好时，对于强对流占优的扩散 方程，向后特征多步法较单步特征方法有较大地优势文献 3 7 】则结合空间的有限差 分法离散，给出了对流扩散方程的向后多步有限差分法，并得到了最优阶离散2 2 一模误 差估计抛物方程的隐一显多步有限元法由著名计算数学家g r o u z e i x 于上世纪八十年 代初提出 4 0 ，该方法基于算子的分裂，对时间采用线性多步离散，其中一部分为隐格 式，另一部分为显格式隐一显多步有限元法最近几年得到了很大的发展并广泛应用 解决实际问题 4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】隐一显多步法中的隐格式要求是强a ( 0 ) 稳定的a ( e ) 一 稳定是由w i d l u n d 于上世纪六十年代提出f 3 8 1 ，这种稳定性克服了d a h l q u i s t 关于a 一稳 3 山东大学博士学位论文 定的二阶障碍【3 9 】，使得抛物方程的时间和空间可以独立地进行离散用隐一显多步法 离散抛物方程所得到的线性方程组的系数矩阵在每一个时间步都是相同的因此，该 方法是非常高效的，同时又是稳定和相容的 作者在袁益让教授的指导下，本文中所做研究工作集中以下两个方面：首先，对 两类典型的渗流问题提出并分析了向后多步特征方法它们分别是可混溶驱动问题的 向后多步特征有限元方法、向后多步特征混合元和向后多步特征差分法，海水入浸问 题的问题的向后多步特征有限元方法其次，基于m m o c 方法，提出和分析了对流占 优扩散方程的隐一显多步特征有限元方法，该方法具有特征法的思想，而且是非常高 效、稳定和相容的我们还明显的注意到：一方面，隐一显多步特征有限元方法，可以 直接的推广为基于m m o c a a 方法的修正隐一显多步特征有限元方法，从而质量守恒 得以保持另一方面，隐一显多步特征法可以直接应用于渗流问题的数值模拟对于 这两个方面，我们将在未来研究工作中作仔细讨论本文还讨论了有限体积元方法j 该方法介于有限元和有限差分法之间，具有接近有限元的精度却只需要接近有限差分 法的计算量；而且，体积元方法能够保持局部质量守恒，这对求解流体问题的是很重 要的特点由于实际渗流问题数学模型中对流扩散方程的扩散( 弥散) 系数矩阵可能 是半正定的，而本文其它地方均附加了正定性假设，因此，我们也给出海水入浸问题 在扩散系数矩阵半正定情形下特征有限元方法的收敛性分析最后，我们改进了最近 出现的对于一般对流扩散方程的隐显多步有限元法一个结果 4 山东大学博士学位论文 第二章强化采油模型的特征多步法 2 1 预备知识 本章我们讨论可混溶驱动问题，结合三种空问离散形式，给出并分析向后多步特 征方法考虑如下形式的非线性方程组 l v ( 矢( v v 一1 ( c ) v d ) ) - v a ( v p 一 t v d ) 兰v u = 口，z n ，t j ，( 2 1 1 a ) 杀一v ( d ( u ) v c 一c ) = e q ， z n ，z ( 2 1 1 b ) t n = ( o ( u ) w u c ) n = 0 ，z a n ，t 正( 2 1 1 c ) c ( z ，0 ) = c 0 ( z ) ， z n ( 2 1 1 d ) 关于空间的离散，我们将采用有限元法、有限混合元法和有限体积元法首先给出对 系统( 2 1 1 ) 的系数和解的有界性和正规性假设 对于阶的正规性，我们设：对于l 1 ，自1 d l 。( 日f + 1 ) n 1 ( 日h 1 ) n l o or i 矿1 1 n h 3 ( n j - - 、, o oj ) r ) p l m ；日+ ：) nl 二( 畦；n 仉也( l o 。) ， 其中z 和分别为逼近c 和p 的多项式空间的次数 对于( 21 1 ) 的系数我们假设： 0 a + 兰n ( 霉，c ) a + ，0 。西( 。) 咖+ ，0 d + d ( 茁，札) d + ， c g ， i 塞c z ，t ) | + i 裳c z l + i v c 刮+ 瞰z ，圳+ i 裳c z ，l + i 箬c z ，u ) | + 俐+ 俐+ 矧+ l 嘉丽0 2 uh 差p ， ， 其中k l o ，1 ，o + ，矿，以，矿，d + ，d ，k + 为常数， 为n 周期的，即其系数和解均为n 一周期的 i = m a x ( q ，o ) 本章中我们总假定( 2 1 1 ) 另外，为保证( 2 1 1 ) 解的唯一性，我们 设矗q ( x ，t ) d x = 0 本章的内容是这样安排的在2 1 ，给出并分析系统( 2 ：1 1 ) 的向后多步特征有限 元法，并给出算例在2 2 ，给出并分析系统( 2 1 1 ) 的向后多步特征混合有限元法，其 中，压力方程采用混合元离散空间，饱和度方程则采用有限元离散空间在2 3 ，给出 并分析系统( 2 1 1 ) 的向后多步特征差分法 我们将使用通常的定义在n 和n j 上的s o b o l e v 空间和模，它们的定义和记号 可参考【3 ，2 2 ，6 3 】等文献，这里就不再一一列举 本章中，蚝以及s 均表示正数和小的正数，不同处有不同的含义 5 山东大学博士学位论艾 2 2 多步特征有限元法 本节的讨论可以看作是文献 3 ，2 7 向多步法和非线性方程组的推广系统( 2 1 1 ) 的压力方程用标准的有限元法离散，饱和度方程先做特征处理，然后，沿特征方向向 后多步差分离散方向导数，用有限元离散空间理论分析得到了与单步特征方法相同 的次优阶工2 误差估计本节最后给出一个简单的数值试验 2 2 1 离散格式的形成 我们先来处理方程( 2 1 1 b ) 的一阶双曲部分c o o l & + u v c 记s 为沿特征方向 ( “- ，u z ，咖) 的单位向量，且记 妒( z ) = f u ( z ) f 24 - 妒( z ) 2 j 1 2 = 阻1 ( z ) 24 - 札2 ( z ) 2 + ( z ) 2 j 1 2 则方程( 2 1 1 b ) 可改写为下面的形式， 咖塞一v ( d v c ) 仲= 面 ( 2 2 1 ) 将( 2 1 1 a j 两端同乘以妒ch 1 ( n ) ，( 2 2 1 ) 两端同乘以xch 1 ( n ) 并且将( 2 21 ) 的扩散 项应用分部积分，我们得到( 2 11 ) 的弱形式： ( n ( c ) v p ，v 妒) = ( a ( c ) ( c ) v d ，v 妒) + 国( t ) ，妒) ，妒h 1 ( n ) ，t z( 2 2 2 a ) 塞，) ( ) + ( d v c ，v x ) + ( 托x ) = ( 阮x ) x 玳f 2 ) ，t j 】 ( 2 2 2 b ) 4 0 ) = c o ，( 2 2