（计算数学专业论文）数值微分及其应用.pdf

指导小组成员： 张力j q 剐教授 魏益民剐教授 y 7 6 9 6 4 2 摘要 数值微分是一个在h a d a m d 意义f 的典型的不适定问题在测量过程中的微 小误差有可能造成数值结果的巨大误差一些方法已被用来解决这个问题在这篇 论文中，我们讨论了用吉洪诺夫正则化方法来求解数值微分问题结果表明，一维 问题的正则化解是分片样条函数；二维问题的正则化解是基于格林函数的另外， 通过一个非常简单的基于条件稳定性估计的选取正则化参数的方法，我们可以节省 很大的计算量 在本文中我们分别讨论了一维以及二维问题难则化解的存在性，唯一性，同时 还给出了相应的误差估计对于一维问题，我们讨论了高阶导数的数值微分；对于 二维问题，我们讨论了一阶与二阶导数的数值微分二维的高阶导数的数值微分， 处理方法与二阶导数类似，但表现形式比较复杂，在此不作详细的论述对于高维 情况，处理方法与二维类似 通过分析正则化解的性质，我们还发现正则化解在原函数不连续点附近具有b l o w l i p 现象利用这个性质我们可以确定原函数的不连续点，这是一个非常重要的结果， 我们将在一些应用中表明这个结果的实用性 最后，我们还给出一维与二维数值微分的一些应用结果表明我们的方法具有 简单，稳定和可快速实现的特点。 关键词：吉洪诺夫正刚化方法，佯条函数，格林函数，d e l t a 函数，不适定问题 数值微分 中图分类号：0 2 4 1 4 塞里：盔堂蔓圭堂焦丝茎 2 a b s t r a c t n u h l p r i ( - a 1d i f b r e n t i a t i o ni sa ( l a s s i ( a li l l p o dp v 0 1 ) e i iji nfh es e n s eo fh a d a m a r d t h ps i y l a i i i o r bi nt h eu l e t t s n l p n l e l l tn n q 、c + a l t s eh u g ee r i o r si nt h en u m e r i c a l r e s u l t s t h i sp r o b l e mh a sb e e ntr e a t e db ys e v e r a lm e t h o d s i nt h i sp e 。p e r w e d i m 1 t h ei l l i m ( ? r i t “ld i f f , 、h - n t i t l t i c l np r o b l ( 、i ni 、7 l i k h o n o vr e g l a r i z 洲i i o nt h er e g u l a r i z e ds u h i ii t n sb “s e do ns p l i n eh i n t 1i o n sa 1 ec o u h lr l ( t e ( 1i i it h eo n e d i m e n s i o n a l e t l s ea n d t i er e g l l l a i z e ds o l u t i t m sb a e do ng e mf n n t l i o na , r ec o n s l r u c t e di nt h e t w o d i m e n , s i o n a l ( t - k s e b yu s i n gas i m p l es t r a t e g yo fc h o o s i n gt h er e g u l ar i z a t i o up a r a m e t e r w h k hi sb a s e do i lt h ec o n ( 1 i f t ( ) h a ls t a b i l i t yo ft h ed i t t r t ：t 】t i a t i o l tl a j ) , l e m w es h o wt h a to u ra l g o r i t h mc a nb er e a l i z e de a s i l ya n df a s t ， w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q l l e n e s so ft h er e g u l a r i z e ds o l u t i o n sb o t hf o rt h e o n e d i m e n s i o n a le f l s ea n dt w o d i m e n s i o n a lc a s ( ，t h ee r r o re s t i m a t e 8a r ea l s og i v e n f o r ( ) l i e d i m e n s i o n a lc a s et he 、h i g h o i d er u h i i i ( - r i ta ld e t i v a t i y e sa i ea l s od i s c 。u s s e d 1 e o rt w o - d i m e n s i o n a l 【- a s e st h ef i r s ta i l ( ts e t - e n do r d e rd e r i v a t i v e sa r ed i s c u s s e df o r t h ec a s et h a tt h ed i m e n s i o ni sg r e a t e rt h a n2 t h es a m ea r g u m e n tg i v e ni nt h i sp a p e r s t i l lw o r k s t h ep io p e r t i e so ft h er e g u l a r i z e ds o h t i o ua i ea n a l y z e d i ti ss h o w nt h a tt h e r e g u l a r i z e ds o l u t i o n sw i l lb l o wu pi nt h en e i g h b o r h o o do ft h ed i s c o n t i u u o u sp o i n t s t h i sl o c a lp r o p e r t yc a nb eu s e dt ol o c a t et h ed i s c o n t i n u o u sp o i n t sf o rn o n - s m o o t h f u n c t i o n sn l l m e r i e “l yw es h o wt h i sh ys e v e r a le x a m p l e s w eg i v en u m e r i c a le x a m p l e sa n da p p l i e a t i o n sf o rb o t ht h eo n e - d i m e n s i o n a la n d t w o - d j i n e n s j o n a je a s e s k e y w o r d s ：t i k h o n o r e g u l a r i z a t i o n s p l i n e u l c t i o n 、g r e e n t r a c t i o n d e l t a f u n c t i o n ，i l l p o s e dp r o b l e m ，m u n e r i c a ld i t e r e n t i a t i o n 已发表或即将发表的与博士论文有关的文章 1 j c h e n ga n dybw a n g ，n m n e r i ( 。a ld i f f e r e n t i a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s 、i n v e r s ep r o b l e m si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ( s c i ) 已基本接收，修改中 2ybw a n ga n dtw e in u n l e r i ( a ld i f f i t r e n t i a t i f n lf o rt w o d i n m n s i o n a ls ( a t t e r e d d a la ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ( s c i ) 已接 收。 3ybw a n g ych o nl i d j c h e n g r e ( o l l s tf i i ( t i o n o fh i g ho r d e rd e r i v a t i v e s f r o mi n p u td a t a 、j o u r n a lo fi n v e r s ea n d1 1 l - p o s e dp r o b l e m s ( e 1 ) 已接 收 4t w e i ，y ch o na n dyb v c a n g ，r e c o n s t r u c t i o no t 。n u m e r i c a ld e , i v a t i v e s f r o i j ls c a t t e r e dn o i s yd a l a ，i n v e r s ep r o b l e m s2 1 ( 2 0 0 5 ) ，p p 6 5 6 7 2 ( s c i ) ( 通讯作者) 5ybw a n g xzi i a j c h e n g al l l n n p i 。i t ：a ld i f f e r e n l i a t i o um e t h o da n di t s a p p l k a 1 i o nt or e ( + o il s r l l c l i o no td i s ( 1 】l l f i n t t i t 3 。i n v e r s ep r o b l e m s1 8 ( 2 0 0 2 ) i ) p 1 4 6 1 1 4 7 6 ( s c i ) 6 j c h e n g ，y ，ch o n ，y bw a n g ，an u m e r i c mm e t h o df o rt h ed i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n so fa b e li n t e g r a le q u a t i o n s c o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s ( a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o ( 。i e t y ) 3 4 8 p p 2 3 3 2 4 3 7 陆帅，王彦博，用t i k h o n o v 正则化方法求一阶和两阶的数值微分，高等学校 计算数学学报，v o l2 6n o1 ( 2 0 0 4 ) p i ) 6 2 7 4 8 贾现正，王彦博，程晋，散乱数据的数值微分及其误差估计，高等学校计算数 学学报，v o l2 5n o 1 ( 2 0 0 3 ) p p8 1 9 0 9jc h e n gx z h j i aa n dy b 、 a i l s n i i i i k 、1i c a ld i f f u l g i l t i a t i o no i lt h en o n u n i f o r mg r i da n di t se r r or e s t i m a t e p r o c e e d i n go fi n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c e o ni n v e r s ep r o b l e m s ，h o n gk o n gc h i n a ( 2 0 0 3 ) ，p p 2 2 5 2 3 6 1 0 yc h o n y b w a i l ga n djc h e n gan u m e r i ( a ld i f f e r e n t i a t i o nm e t h o df o r e d g ed e t e c t i o np r e p r i n tc i t yu n i _ e r s i ! 、o fh o n gk o n g h o n gk o n g2 0 0 3 1 lgn a k a m u l a szw a n ga n dybw a n g 、u n t e r i c a ld i f f e r e u li a t i o nf o rt h e 3 复旦大学博士学位论文 s e e o i q do r d e d e r i 、r a t , i v eo ft i m ( t i o n 8w i t l 1 2 j c h e n g xqw a n | 1 n dy b 、 d l l g s o l u t i o n si nt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n 4 ”、r e r a lv a r i a b l e s 已投稿 t h el o c a lp t o p e t f vo ft h er e g u l a r i z e d 简介 求解数值微分问题，就是通过测量函数在一些离散点上的值，来求得函数的 近似导数这个问题，产生于许多数学模型中，以及实际问题中，例如，地下水的 寻找问题；金融数学中的期权风险确定的d u p i r e 公式；图像处理中的边界识别问题 ( 1 4 】) ；解a b e l 积分方程问题( 【2 2 ) ；化学中的波谱的波峰识别问胚( 【3 2 ) ；力学中 力与力距的关系( 6 】) ；在腐蚀探测中( 【3 4 】，f 4 5 】， 5 8 】) 以及数学物理方程中的一些 反问题( 1 3 1 1 ) 找到一个稳定的求解微分问题的方法，无论是对科学研究，还是实 际应用，都是非常重要的数值微分问胚碰别的最主要的问题是，这是一个不适定 问题即如果用一些已有的数值方法来算的话，测量中的微小误差可能会造成数值 结果的巨大误差( 2 3 】，【3 1 】， 5 6 】) 当理论研究不考虑数据的误差时，这- - n 胚较 好解决，一般的有限差分方法就能求得近似的导数，并且已经有很多人对有限差分 法的收敛性做了研究，但如果数据有误差，则用有限差分法求解有可能造成误差非 常大一般的解决方法就是，要求划分的间距不能太小，换句话说，测量点不能太 多在此条件下，计算结果还能接受，否则的话，有可能测量点取得越多越细，结果 越差而这一要求跟人类的思维习惯是不相符的，人们习惯于认为，测量数据越多， 越能帮助得到更精确的结果因此，很多学者从其他角度来考虑求解数值微分问题。 方法多种多样( 如1 2 6 】， 2 7 ，【2 8 】， 4 4 】，f 5 7 等) 一些学者也对数值算法做了收敛估 计( 如 2 4 】 【3 1 】，f 4 9 】等) 另一种求解数值微分的方法就是用吉洪诺夫正则化方法， 这个方法已被证实，对于解不适定问题以及反问题是非常有效的( i 1 6 】，【2 3 】，【4 3 1 ) 当然在应用这种方法的时候，也有许多技术性的问题需要讨论和研究，例如正则化 泛函如何选取，正则化参数如何选取等问题还有学者通过将微分作为青洪诺夫正 则化项中的一个算子来考虑问题，也有一些相关的理论结果与方法( 【3 9 】，【4 0 ) 最近h a n k e 和s c h e r z e 在他们的文章f 3 1 1 中提出了一个非常漂亮的用吉洪诺夫正 则化方法来求解一阶数值微分的方法，并给出了相应的误差估计这个方法的好处 是，正则化解简单明了，是一个分片三次样条函数，求解系数的计算方法简单，正则 化解本身是一个二阶可导的连续函数，对正则化解的求导也非常之方便因此，非 常有实用价值受这个方法的启发，我们对这个方法作了适当的修改，继续了这方 5 复旦大学博士学位论文 6 面的研究工作我们将数值微分问题的讨论建立在不等距划分的基础上，使得对数 据采样的要求更加简单并且基于反问题及不适定问题的条件稳定性，我们用了一 种非常简单易行的选出正则化参数的方法，得到了类似于【3 1 j 中的误差估计，不过计 算量大为减少同时我们也讨论了真实解的光滑性4 ：太好时的情况，我们发现，不 连续函数的数值微分的正则化解的二阶导数的范数会出现趋向无穷的现象并且我 们还证明了这种趋向无穷的现象发生在不连续点附近因此，这种现象可以用来识 别不连续点的位置鉴于在一些实际应用中，不光要求一阶导数的数值微分，有时 候有可能要求二阶甚至更高阶的导数的数值微分所以我们还将问题推广至一维的 任意阶情况，发现解仍然是分片的多项式函数同样，我们也得到了高阶情况下的 误差估计，这个误差估计表明我们的算法是收敛的以上的工作我们将在第一章中 详细讨论。 目前，大部分学者所做的数值微分问题，都是局限在一维的情况，但在实际应 用中，往往问题的本身是二维，三维，甚譬更高维的当然我们可以将一些模型简 化为一维，但一般这样的简化会造成一些信息的丢失。所以这就使得有必要讨论高 维的数值微分问题在第二章中，我们将讨论二维的情况我们发现，正则化解是 基于格林函数的，并且是唯一的，算法也是收敛的同时，基函数与测量数据无关 这里我们主要讨论了二维的一阶与二阶导数的数值微分，至于更高阶更高维的数值 微分问题，解法是类似的数值解法的另一个关键的地方是格林函数，对于一些特 殊区域，格林函数的表达式是显式给出的，因此基函数的求解相对来讲是比较容易 的，对于格林函数的表达式无法显式给出的区域，我们也给出了相关的算法针对 不同的情况，我们都并给出了相应的例子例子表明，我们的算法结果是非常好的 在第三章中，我们主要讨论了一些数值微分的应用，如计算机层析成像，图像 边界识别，解a b e l 积分方程，薄板的腐蚀问题，以及直管道的内壁腐蚀问题数值 微分的应用是非常广泛的结果表明，我们的算法确实是行之有效的 第一章一维数值微分 在本章中，我们将讨论一类典型的不适定问题一一维数值微分问题 已经有相当多的学者对一维的数值微分问题做了研究，并对其的不适定性做了 一些说明，即假定口= ( r ) 是定义在区间( o ，1 上的一个函数，= 0 = z n z 1 ， l 。= l 是【0 1 1 的一个等距划分函数在点岛处的带有误差的测量值玩是已知 的令h = 。，+ l z 为划分的间距，并假设 这里j 是已知常数，称为误差水平。则 望掣一( z ) jsd ( + d ) ， 也t 戤+ ，2 而且这个上界是可以达到的上式表明，当h 一邮寸，误差估计的上限会趋于无穷， 这说明数值微分是一个不适定的问题( 【2 4 ， 3 1 】) 到目前为止，已经发展出了很多 方法来求一维的数值微分问题，大致可分为：基于光滑化的( 【4 4 】，【5 7 】) ，基于过滤 的( 【3 】， 3 0 】) ，基于最小二乘法的( 3 8 】) “及基于正则化方法的( 【1 3 】 3 1 】， 3 7 j ) 我们 主要讨论的是，用吉洪诺夫正则化方法处理数值微分问题正则化方法是前苏联吉 洪诺夫院士在上个世纪5 ，6 0 年代提出的求解不适定问题的一种方法这是一种一般 性的方法可以被用来解决一般的不适定问题和反问题其中正则化参数的选取是 一个关键问题 h a n k e 和s c h e r z e r 在文章3 lj 中用吉洪诺夫正则化方法非常漂亮地求解了一阶数 值微分问题在f 3 1 1 的基础一l - ，我们对数值微分问豚进行了更深入的讨论与研究在 这一章中首先我们将叙述一下文章f 3 l 】中的结果，然后讨论不等距划分的数值微分 问题，以使得对数据采样的要求更加简单基于反问题及不适定问题的条件稳定 性，我们用了一种非常简单易行的选出正则化参数的方法，结果显示，当真实解属 于胪( 0 1 ) 时，这种选取方法有着近平最优的误差估计跟已有方法相比，我们能得 到类似的计算结果，但节省了大部分计算量，使得这种数值微分方法更具有实用价 值另外在实际应用过程中，我们往往无法知道原来的函数是否具有我们理论结果 中所要求的光滑性，即不知道真实解是否属于2 ( 0 1 ) ，所以无法确定是否可以应用 所给出的算法为此我们专门讨论了真实解的性质不太好时的情况，给出了另一个 复旦大学博士学位论文 8 非常重要的结果，我们发现，不光滑函数的数值微分的正则化解的二阶导数的范数 会出现趋向无穷的现象并且我们还征明了这种趋向尤穷的现象发生在不连续点附 近这就使得数值微分方法除了能够得到近似的导数估计外，还能用来识别不连续 点的位置。这是一个非常有用的性质，在第三章中，我们有多个例子是用了这一性 质来解决问题 鉴于在一些实际应用中，不光要求一阶导数的数值微分，有时候有可能要求二 阶甚至更高阶的导数的数值微分，而对于高阶导数的数值微分算法的时论较少，因 此我们将问题推广至一维的任意阶情况，在原函数具有k 阶导数平方可积这一性质 的前提下，我们给出了任意幻阶导数的重构方法，其中0sj k 1 同时也给出 了相应的误差估计数值例子表明我们的方法是有效的在第三章中，我们还给出 了一个关于薄板腐蚀的问题来说明高阶数值微分的用处本章中的部分内容也呵参 见1 1 1 】 在开始具体内容之前，我们先给出一些以后要用到的记号： ，l l 2 【o ，1 ) = g l ( 9 2 ( z ) ( “) 1 7 2 。 j 【j h ( 【) 1 ) = gr 口l 2 ( oi ) 。l 2 ( 0 1 ) c 1 0 、1 = gl 是【o1 j 区间上的连续函数) 这些空间上的范数定义为 ，1 l l , q 1 1 1 ) = ( f 加) m t + ) 2 9 1 1 h ( 。，= ( 口 l i 。，+ l | 口。1 1 ；。( 。，1 ) 5 i q l c 】- ：吕懿圳 这里上标( 6 ) 指的是关于r 的 阶导数 1 1已有结果 首先我们叙述一下文【3 1 1 中的结果假定“= t j ( ，r ) 是定义在区n ( o 1 1 上的一个函 数，a 一 o = r f 】 ，l “= 1 是【o1j 的一个等距划分函数在点z 波b 的测 复旦大学博士学位论文 量值玩是已知的。令 = z 一。- 。为划分的间距，并假设 9 这里j 是已知常数，称为误差水平 假定面= y ( o ) ，孔= ( 1 ) ，即在两个端点的测量值是精确的 数值微分的目的就是要根据已知的带有误差的数据蕊，来构造一个函数，( z ) ， 使得一( z ) 是函蜘7 ( z ) 的一个近似，这里f 0 1 】并且这个近似要保证一定的精 度 在文 3 l i 中，这个问题被转化成以下问题： 问题1 1 1 对任意的光滑函数，( z ) ，满足，( 0 ) = ( 0 ) f 1 ) = ”( 1 ) ，定义泛函 州) 一击堇( 州川m “眠吣， 并记该泛函的极小元为厶这里u 是使得极小元 满足 高( 玩吖正 ) ) 2 划 的元素则极小元的导函数厶就是7 的一个近似 上述参数n 的选取方法叫作差异准则法 误差估计则在下面的定理中给出： 定理1 1 1 若口”在( n 1 ) 上平方可积：是问题，的极小元则 忧圳叫。，茎瓶( 似忆。，+ 而。i 州2 ，) 从这个误差估计中，我们可以看出，这个数值微分的算法是收敛的文 3 1 】中还 给出了 的构造算法，并指出：是一个分片的三次样条函数系数可以通过求解一 个线性方程组得到 1 2 一般问题的正则化解及其性质 在文( 3 l 】中，h a a k e i l l s c h e r z e r ：果了差异准则法来确定正则化参数仉但这个方 法需要大量的计算，因此其实用性受到一定的限制通常工程师们会根据经验选择 复旦大学博士学位论文 l o 一个正则化参数这里我们将给出一个简单的选取正则化参数的方法，结果显示。我 们的方法与差异准则法有着类似的收敛率，这就使得结果在保证收敛率的情况下， 大大减少了计算时间，这使得数值微分算法更具有实用价值另外，我们还将讨论 更一般性的情况下的这个问题，即不等距划分情况下的解，结果表明，在不等距划 分情况下，数值微分算法仍然是收敛的最后我们也对解的一些性质进行了讨论 分析了当精确解的光滑性不好时，正则化解在整个l o ，1 1 区间，以及局部小区间上的 性质我们得到了一个非常有用的理论结果，我们将在后面给出详细的说明 这一节中的部分工作是与贾现正一起完成的，并已被发表在 5 9 】， 6 2 】其中部 分工作在第一届国际反问题会议上做过报告( 参见( 9 】) 关于正则化解的性质的讨 论，可参见f 5 9 1 ，f 1 0 1 。 1 2 1 问题 我们重新给出问题的表述设= ( f ) 是定义在【o 1 上的一个函数，n 是一个自 然数，a = 0 = x 0 j l c 。= l 是i o 、1 1 的一个划分设d 是一给定的常数 用来表示数据的误差水平 记 h ，= 。r 。一t p l -7 = l ，2 - ，n h = i h a , xh 。， l 如” 我们考虑以下的数值微分问题： 给定函数在点z 。处的测量数据甄，满足 f 玩一口( ，) i d ，7 = 0 1 ，2 ，n 我们希望找到函数六( - t ) ，使得正( z ) 是函数( r ) 的一个近似 这里7 指的是关于c 的导数。 不失一般性，我们假设面= y ( o ) ，磊= ( 1 ) ，即在两个端点的测量值是精确的 否则的活，我们可以定义一个新的函数 y ( r ) = 9 ( fj 十崭，一y ( o ) + ( 阢，一( 1 ) 十y ( o ) 一面) ：c 来代替v ( 。) 易证y ( o ) = 五】y ( 1 ) = 虱 复旦大学博士学位论文 定义泛函 蜊卜萎哔旦( 玩州7 2 仙伊哦， ( 1 2 - ) 这里n 是正则化参数 易知 业箬2 ：，一必9 o ，问题7 2 j 有唯一的解 在这个定理的证明过程中，我们将给出，t 的重构算法 龇1 2 4 相；失均熏桷算法也可以每丸曼章e 3 1 1 | 5 ) l 和 5 3 i 复旦大学博士学位论文 1 2 另外，我们还有以下的关于一阶导数的误差估计： 定理1 2 5 设 是问题j2 的极小解，我们有 ”v 忆n 。，s ( 。一+ ；h ) 阿忆，+ n 菩十筹 。 如果取( ￥= 萨则有 惨一”忆m 。， ( 2 十a 砸+ 圳。”舭，+ n + 2 而 ( 1 z 棚 注记1 2 6 定理25 的收敛率与文章f 3j 中的结果类似但我们选释正则化参数的 方法简单，与文章p 中的算法相比，可以节省很大的计算量 在证明定理之前，我们先引入几个关于样条与插值的已有结果 定义1 2 7 若函数 ( z ) 在区间【0 1 】上二次可导，并满足 j h ( x ) 在区间i z ；，l ：i + 1 上是三次多项式； 2 h “( 0 ) = h , i ( 1 ) = 0 则称 ( z ) 为区间 o 1 】上的三次自然样条 引理1 2 8 设g 是( o ，1 ) 上的一个光滑函数，并且8 是划分上的一个三次自然样条， 满足s ( z ，) = 口( 。，) ，。= 0 ，1 - ，n ，m 1 i p 忆。，+ 胪忆= 阿旺。 参见文章 1 9 l ， 2 9 】 ( 1 2 5 ) 引理1 2 9 设是( 0 ，1 ) 上的一个光滑函数，并且r 是划分上的一个三次自然样条， 满足s ( 妨) = ”( r 。) ，。= 0 1 n ，则 i l s 。一可i l 。，； 1 目“l l l 。眈， ( - 2 - 6 ) 这里h = m a x h ， 参见 5 5 】 引理1 2 1 0 设9 日2 ( 0 ，1 ) ，定义分片常数函数y ： 札。州= x ，= 瓦1 上x 一, 9 ( z ) 出， 复旦大学陴士学位论又 1 3 则 h g - x 慨s k 、1 ) ( 12 7 ) 参见 5 4 注记1 , 2 1 1 在很多参考文献中，以上的结果是在划分是等距的情况下被证明的 对于不等距的划分，证明是类似的 首先我们证明定理1 2 3 我们将分二步来进行证明： 第一步：构造 可以通过以下方法构造： 1 ：是划分上的一个二次可导的三次自然样条函数，即 ( 篁。十) = ：( z ，一) z ( 。，+ ) = 正( z ，一) 正( r ，+ ) = 一( ：q 一) i = 1 ，2 ，- n l 这里f ( z 。+ ) = l i r a 。一，+ f ( z ) ，7 。+ ( z 。一) = l i m 。一，( t ) 2 z ( o ) = ( 1 ) = 0 3 在点z ，i = 1 ，2 ，”一1 处，。的三阶导数满足以下条件： ”( ? 。+ ) 一 ”( 一) ：三毕( 甄一，：( 如) ) 。：l 、2 ，一，n 一1 ( yz 关于详细的重构方法，请参见文章 5 0 】， 5 3 】 第二步：证明 是泛函垂的唯一的极小元 首先，由于，”是一个分片常数函数，由分部积分，我们可以证明 引理1 2 1 2 著g h 2 ( 0 ，1 ) ，g ( 0 ) = 9 ( 1 ) = 0 ，则 加r = 喜( 学咖川磊圳训，) 8 9 2 2 l l 复旦大学博士学位论又 然后，由( 12 1 ) 以及 i 理1 2 1 2 ，有 币( ，) 一中( ) = n - 1 毕( ，( a ) 一工( “) ) ( ，( 岛) + ( 翰) 一2 甄) + r r i ，”一f 7 i | ：。，- - 2 ( r z 。( ，”一f ) z a z ：芝毕( m ，) 一“引) ( ，( + ( q j 一2 承) + 2 毕( 儿州一“) ( 甄一川训) 扣扩峨。 因此，我们有 吣m 限) = 喜华【) _ m 啪n 小圳_ 。，o ( 1 _ 2 1 0 ) 这就证明了 是泛函( p 的极小元 接下来再证明极小元的唯一性：若存在另一个函数f h 2 ( 0 ，1 ) 满足，( o ) = ( o ) ，f ( 1 ) = ( 1 ) ，且由( ，) = 士( 工) f , j i ( 12 ，1 0 ) ，有 ”一亿。，= ( ) ，( = 胁aj _ 1 ，2 ，n _ 1 因此 f = 0 即 l 一| 。= n t + b m 于f ( o ) = ( 0 ) 以及，( 1 ) = ( 1 ) ，所以 i = | 。 证毕 接下来我们证明定理1 25 ： 设s 是( 孔) ，i = 0 ，n 的三次自然样条插值函数，i e e ( x ) = ，( 。) 一s ( z ) 显 然e ( 1 ) = e ( 0 ) = 0 复旦大学博士学位论文 1 5 定义分片常数函数x l 2 ( o ，1 ) ： x ( z ) = 三鱼蔓掣= 、。，r ( 一岛) ，i = 1 ，2 ，n l ( 1 2 1 1 ) 由( 121 1 ) ，我们有 y ) d e ( 日) ( x ，一x 计1 ) 因此误差估计就转成估计( 1 21 2 ) 中的- 和，2 由l 的表达式与引理121 0 ，可以得到 t l l e l l 。，。，l l e 一) ( i l 。，。， j e i l 。、，l l e ”l l l 。 由于 是泛函中的极小元，且；三1 生土笋 l ，则可以证明 因此 所以 玑n 。，警w 他。 | | e ”| i 。：。，= ：j f 一s “| i 。， | | ：j i l 。m 。，+ fj s ”j f l 。m 。， s ( v ”峨，) 5w 忆帆。， 等+ z 阿忆。 ( 1 2 1 2 ) ( 12 1 3 ) 出 x ，0 r 轧 “ z d ， “ 一 “ p 、 ，。 z = h 妇 曲 严 一 忙 ，m k 如 f 十z | l i l 一 ， 半帆 k j阳 | | 一 复旦大学博士学位论文 再结合前面的不等式，我们有 坯仆j i 纠仉。，( 厍诽”i i 纠，) 对，2 用c a u c h y - s c h w a r z 不等式，得 由y 的定义，有 、7 一x 7 + 因此 ，h 。+ h 、2 i 一 毕。( 矗 ； ( ( 、( 。一 去cr 。出一去，e ，出 三二二i ；二生z 1 ( ，r + n 一- ) d r 一等 l 眠圹刊打 ，1 ( e ( ，r + z ，一。) 一e ( 。+ ，+ z ；) ) d ， 1 k ”“ 0，h + lr + o 由于 是泛函币的极小元，所以 l ( ：r ) ld x d t ) 2 圳e ”哦仉。， ( j 川卅忆。 氨) 2 垂( 可) ( j 2 十u 根据玩的假设条件，容易验证 芝譬净吲。拶 忙l 一 6 2 、) 剥一 bj，i、三 ，一，一 叶 o r厂厶一 z 研 一 一 2 + ? 、 一 、 半 壅呈盔堂竖圭堂焦煎塞 1 7 所以 因此 甚业 z j0 ( 几+ “) ( ( ( 如) 一亟) 2 十( 甄一( ) ) 2 ) z 岫芝譬竽( 蟊刊硝 2 d 2 2 d 2 蟹( 蒌半文) s 。2 ( 。+ 孙”哦。 ，+ 暴l y 。+ 孙“慨。 熹( 十圳e ”存：西( 十) 护 s a 2 ( 以+ 侗”，) 2 ( 层十。l s 小( 。( “”。，) 4 由f t 和蚴拘估计式，我们有 ( 胪i i l ：( o , t ) - h ( 杪k ，十层) ) 2 ( 小”t l l 2 ( o a ) + 候) “而( z ；( z ( “”峨叫) ) 2 因此 。啪忆似十 层椰( 罢) 5 + a ( 墨) 5 仲他。 ( 。川( ) 5 西) 妙，十 层椰( 苦) 5 出 半 2 p 02 + 、， o 小 ，一，、 一 一 一 0 ，使得 j _ 0 h _ 0 、f t , 9 竹l _ o 。 日 f 这里h “是划分“的最大划分间距，即 ”= l l l g x b 。h 7 我们用记号 f ( t ；j ”， 7 ”) ” u “ j 胪忆 i i i i ，p 一、， h 一丌 叫 帆 4 驴 + i i i k r 0 一 o 以及序列氓，k = l ，2 ，使 得 ( k _ 0 ， r l s _ 。 并且 西( 五。) c ， 由于y 在c o 1 中稠密，对于c o ，1 】2 ( o ，1 ) ，存在函数：y 使得 驴( 2 ) = 弘一圳( 1 】1 1 0 使得 b 去昧譬， t 冰 因此 伊叫， 去 复旦大学博士学位论文 由 的定义，有 觚胚北t o 使得对于任意的m m ，有 怕蚓l i 。( 0 。) 5 童1 坠粤( 9 ( 叫州) 。十。 由( 1 2 1 4 ) 和( 1 2 1 5 ) ，存在常数m l o 使得当m 时 i i ( z ；d “，h “) 一9 ( z ) | | n 1 1 如时 l 巾( ) i n l a x ( m ， ，l ，a 2 ) 时 怕刮2 一。善1 学( 咖卜m 妒，胁，) 2 + 。喜1 学( 脚r ；5 m , h m 。，) 2 + s 善1 学( 辩叫圳) 2 + e 3 e 十3 4 ( l ( x ；d ”， ”) ) + 3 ( 5 ”) 2 c + e 1 0 由于e 是一任意正数，所以 而从第一步中，我们知道g h 2 ( 0 ，1 ) ，这跟口隹2 ( o ，1 ) 的假设矛盾 证毕 1 2 4 正则化解在不光滑点附近的性质 前面我们证明了当精确解不光滑的时候，正则化解的两阶导数在 o ，1 】区间上 的2 范数会出现趋向无穷的情况我们希望这个性质可被用来确定不连续点但如 果用定理1 2 1 3 中的结果的话，我们只能知道 0 ，1 区间内是否有不光滑点，而具体不 光滑点在什么位置，我们不清楚。如果要想确定不光滑点的位置，我们可以采用二 分法将搜索范围逐步减小，最后可以得到不连续点的大致位置但这么做带来的一 个问题是，每次改变区间的大小，我们都需要重新定义泛函，并重新求解这就使 得计算太复杂，实用性不强因此我们考虑，能否只通过一次泛函的求解，就能找 到不连续点的大致位置下面的定理表明，正则化解的趋向无穷的现象，是会发生 在不连续点附近的 复旦大学博士学位论文 2 5 因此，我们有 s l l pl l ，( m ；以，h k ) i i t 1 0 ，存在l 1 0 ，当f l l 时， ) 一( 州：。们 曼 k ；( g ( z ，) 一九q ) ) 2 + t 3 h 乜( ( 9 ( q ) 一玩) 2 + ( 玩一 ( q ；dh ，h h ) ) 2 + ( 工( q ；d m n “) 一氕) ) 2 ) + e 3 d ：。+ 6 疃+ 薏枷一3 “t 又存在如 0 ，当2 l 2 f t 寸， t 老 m a x l 1 ，l 2 ，时， f l ( z ) j z ) | f 2 l 。，。，! 11 8 e 2 + 4 c 由e 的任意性，知怙( z ) 一，( z ) 幢。= o ，所以f ( z ) = 氕z ) ，。陋，纠，矛盾 1 2 5 算法一：一阶导数的重构算法 在这- - j - , 节中，我们给出泛函( 1 2 1 ) 中的极小元正的重构方法我们已经证明 了 是个分片的三次样条函数，在子区间h ，：r 。1 上的表达式为： ( z ) = a i + b 忙一码) 十c j ( z q ) 2 + 由( z q ) 3 ，j = 0 ，一n l 因此总共有4 n + 待定系数，这些系数可以通过求解以下的方程组求得，并且解 是唯一的： 复旦大学博士学位论文2 6 一。( z j + ) 一以”( x j 一) = 0 ，j = 0 ，1 ，2 ；j = 1 ，- 一，礼一1 ，( 1 2 2 9 ) 一3 ( + ) 一一3 ( 一) = 萨百圭可( 玩一 ( ) ) ，j = l ，n 一1 ，( 1 2 3 。) 一2 ( o ) = 0 ，一2 ( 1 ) = 0 ， f ( o )