（计算数学专业论文）微分求积trefftz方法及其应用.pdf

摘要 摘要 微分求积法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ，d q i v t ) 是一。种有效的求解线 性和非线性偏微分方程的数值方法。由于它的有效性和精确性，已被广泛应用 于许多工业和数学领域。微分求积法对比传统的数值方法，优点在于其简单易 行，可以更灵活地选择网格点。缺点在于解决复杂的不规则区域问题时存在一 定困难。传统的微分求积法能够被直接用于规则区域，例如矩形和圆形定义 域。对于复杂的几何形状，必须依赖坐标变换的技术。这种方法首先将物理空 问中的不规则区域映射到计算空间中的规则区域，然后将微分方程和相应的边 界条件也变形为计算空间中的相应形式，数值离散就只须在计算空间中进行。 尽管这种技术对复杂区域问题能够得到非常好的结果，但是仍不得不承认其过 程复杂，也没有有限元法灵活。但是，由于多项式有许多有用的性质，而微分 求积法在矩形区域上的高效性，我们考虑使用其逼近方程的特解。 w r e f f t z 法是一种边界型解法，使用满足控制方程的w r e f f t z 基函数逼近函 数值。t r e f f t z 方法可分为t t r e f f t z 法和f t r e f f t z 法，区别在于选用了不同的 基函数。f t r e f f t z 方法，也就是基本解方法( m e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ， m f s ) ，其一个- 丰要限制在于由于选用了带奇性的基函数，需要在计算区域外加 上人工边界。我们选用了非奇性的w - t r e f f t z 基函数来逼近方程的特解。 在这篇文章里，我们将介绍微分求积w r e f f t z 法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e w r e f f t zm e t h o d ，d q t m ) ，这是一种耦合了微分求积法和t r e f f t z 方法的数值方 法。首先我们将求解原问题的函数值u 转变为分别求解特解u 。和通解u ，l ，然 后分别通过微分求积法和w r e f f t z 法求解特解和通解。由于这种分解，一方面在 应用微分求积法逼近特解时，可以把节点分布在一个套住原计算区域的规则辅 助区域中，避免了坐标变换，可以比较灵活地选择节点坐标，并且保留了微分 求积法高精度的优点；另一方面t w r e f f t z 函数系的引入使得这种方法可以应用 于多种常用微分算子，并且可以灵活地选择边界点。我们用这种方法解决不规 则区域上的p o i s s o n 型问题，通过相对少的内部和边界节点来获得相对高的精 确度。 关键词：p o i s s o n 型问题，微分求积法，t r e f f t z 方法，不规则区域 i 同济大学硕士学位论文 a bs t r a c t d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( d q m ) i sa l le f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o df o r t h es o l u t i o n so fl i n e a ra n dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ea d v a n t a g e s o ft h ed q mo v e rt h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d sl i ei nt h ee a s eo fi t si m p l e m e n - t a t i o na n dm o r ef l e x i b i l i t yt oc h o o s eg r i dp o i n t s t h es h o r t c o m i n go fd q mi st h e l a c ko fg e o m e t r yf l e x i b i l i t y w h e nd e a l i n gw i t hp r o b l e m so ni r r e g u l a rd o m a i n s c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nh a st ob ec o n d u c t e dt om a pan o n r e c t a n g u l a rp h y s i c a l d o m a i ni n t oan o r m a h z e dc o m p u t a t i o n a ld o m a i n a sar e s u l t ，as i m p l eg o v e r n i n g e q u a t i o ni so f t e nt r a n s f o r m e di n t oal e n g t h ya n dc o m p l i c a t e do n ee s p e c i a l l yf o r h i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h o w e v e r ，b e c a u s ep o l y n o m i a l sh a v em a n yu s e f u l p r o p e r t i e sa n dd q mw o r k se f f i c i e n t l yi nr e c t a n g u l a rd o m a i n s ，w ew i l lr e c o n s i d e r t h e i ru s ef o ra p p r o x i m a t i n gs o u r c et e r m s t r e f f t zm e t h o di st h eb o u n d a r y - t y p es o l u t i o np r o c e d u r e su s i n gt r e f f t zf u n c - t i o n ss a t i s f y i n gt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n t h et r e f f t zm e t h o dc a nb ec l a s s i f i e di n t o t h et t r e f f t za n dt h ef - t r e f f t zm e t h o dd e p e n d i n go nt h ek i n do fb a s i sf u n c t i o n s e m p l o y e d t h ef t r e f f t zm e t h o di sa l s or e f e r r e da st h em e t h o do ff u n d a m e n t a l s o l u t i o n s ( m f s ) am a j o rl i m i t a t i o no ft h em f s i st h eu s eo fa r t i f i c i a lb o u n d a r y o u t s i d ep h y s i c a ld o m a i nd u et ot h eu s eo ft h es i n g u l a rf u n d a m e n t a ls o l u t i o n s i n t h i sa r t i c l e w e 1 1u s et h en o n - s i n g u l a rt - n e 吼zb a s i sf u n c t i o n si na p p r o x i m a t i n gt h eh o m o g e n e o u ss o l u t i o ni no r d e rt oa v o i dt h es i n g u l a r i t yo ff u n d a m e n t a l s o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ew i l lp r e s e n tt h ed i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r et r e f f t zm e t h o d ( d q t m ) ，c o u p l i n gt h ed i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( d q m ) a n dt h et r e f f t z m e t h o d f i r s t l y , w ew i l ld i v i d et h es o l u t i o no ft h eg e n e r a lp d e si n t ot w oc o m p o - n e n t so fh o m o g e n e o u sa n dp a r t i c u l a rs o l u t i o n s a sac o n s e q u e n c e ，i nt h ep r o c e s s o fa p p r o x i m a t i n gt h ep a r t i c u l a rs o l u t i o n ，w ed on o tr e q u i r ec o l l o c a t i o np o i n t so n l y i nt h ep h y s i c a ld o m a i na n dt h e yc a nb ec h o s e nf r e e l yi nt h ec o n t r o l l i n gd o m a i no f ar e g u l a rs q u a r ei nr 2 s e c o n d l y , f o rs e v e r a li m p o r t a n tc l a s s e so fo p e r a t o r ss u c h a st h ep o i s s o n - t y p eo p e r a t o r ，w ea r ea b l et oo b t a i ne f f i c i e n ta l g o r i t h m sf o rf i n d i n g n u m e r i c a lp a r t i c u l a rs o l u t i o n sb a s e do nd q m t h i r d l y , t h et r e f f t za p p r o x i m a t i o n w i l lb eu s e dt oo b t a i nt h ee v a l u a t i o no ft h eh o m o g e n e o u ss o l u t i o n k e y w o r d s ：p o i s s o n - t y p ep r o b l e m ；d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ；t r e f f t z m e t h o d ；i r r e g u l a rd o m a i n s i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩 印、扫描、数字化或其他手段保存论文；学校有权提供目录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定 向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以营利 为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学 术活动。 学位论文作者签名： 年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论 文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发 表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法 律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第1 章前言 第1 章前言 众所周知，对工程系统的分析包括两个重要步骤，即合理反映物理现 象的数学模型的建立和数学方程的求解。一般来说，工程问题是由线性或 非线性的偏微分方程描述的。因此，很多工程学科中用数值逼近法求解偏 微分方程。最常用的有：有限元法、有限差分法、边界元法等，只要选择 合适的网格点数就可求得所要求精度的数值解。有限元法是迄今为止应用 最广泛，最有效的数值计算方法，但是所用的网格点比较多，计算起来不 方便，有必要寻找更为有效的数值计算工具。 微分求积法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ，d q m ) 自提出以来，已 被成功运用到许多工程物理中去，是最近几年引起广泛注意的一种数值方 法。这个方法数学原理简单，计算精度高，计算量少，使用方便，不依赖 泛函和变分原理，边界条件不用另外考虑，是瑞利一里兹法、迦辽金法、 配点法和拟谱法的一种有竞争力的替代方法。对规则区域问题，微分求积 法比有限元，有限差分和边界元法有高得多的效率1 3 5 1 。它已在包括流 体力学、结构静动力学、热传导、生物科学、运输过程、静态弹性动力 学、润滑力学以及石化工程等许多研究领域得到了成功的应用。与传统的 数值求解方法相比，微分求积法所具有的高精度和低耗时的优点已经显 现。 虽然微分求积法有很多优点，但是要处理不规则区域问题，坐标变换 不可缺少。微分求积法的缺点在于对复杂的不规则区域问题的解决存在一 定困难。微分求积法中的函数逼近( 多项式或傅立叶级数展开) 是沿直线 的，这就意味着用微分求积法进行导数的数值离散也是沿直线的。由于这 种特性，微分求积法能够被直接用于规则区域，例如矩形和圆形定义域。 对于复杂的几何形状，微分求积法不能被直接应用，而必须依赖坐标变换 的技术3 0 3 5 1 。这种方法首先将物理空间中的不规则区域映射到计算空间 中的规则区域，然后将微分方程和相应的边界条件也变形为计算空间中的 相应形式，数值离散就只须在计算空间中进行，然后在计算空间中求解的 过程就和不进行坐标变换时的微分求积法一样了。尽管这种技术对复杂区 域问题能够得到非常好的结果，但是仍不得不承认其过程复杂，也没有有 同济大学硕士学位论文 限元法灵活。 t r e t f f z 方法应归属于边界型解法f b o u n d a r y - t y p es o l u t i o np r o c e d u r e s ) ， 当物体由线性齐次微分方程控制时，仅对边界进行离散就可以得到问题的 解。因此，求解问题维数降低是这一方法的一大优点，因此无论是数据准 备还是输出结果分析均较区域型解法( d o m a i n - t y p es o l u t i o np r o c e d u r e s ) 有 了较大的简化。t r e f f t z 方法由于在插值函数上的灵活选择性使其比传统方 法更能有效地处理带有奇异性或局部效应的问题。通过适当选择插值函数 可以在同等条件下提高计算精度f 3 6 - 4 8 1 。 鉴于此，我们将微分求积法和t r e f f t z 方法相结合，提出了一种新的 求解方法一一微分求积t r e f f t z 法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r et r e f f t zm e t h o d ， d q t m ) 。这种方法的出发点是分别对特解和通解进行逼近，以发挥两种 方法各自的优点。我们讨论了这种新方法的误差分析，并在不规则区域上 做了数值试验。结果表明这种方法具有很好的灵活性和高效性。 1 1 微分求积法的提出及发展 微分求积法是r i c h a r db e l l m a n 和他的同事们在2 0 世纪7 0 年代初期提 出的求解非线性偏微分方程的一种新方法1 3 1 。自提出以来微分求积法已 被成功运用到许多工程物理中去。这个方法数学原理简单，计算精度高， 计算量少，使用方便，不依赖泛函和变分原理，边界条件不用另外考虑。 是瑞利一里兹法、迦辽金法、配点法和拟谱法的一种有竞争力的替代方 法。当问题具有全局性光滑解时，微分求积法因为其精度高，且只需较少 的网格点而成为优于有限元和有限差分的更佳选择阻3 5 1 。近年来，对微 分求积法的理论和应用的研究，国内外都取得了很大进展。 美国曼哈顿k a n s a ss t a t e 大学的m i n g l e 和他的同事们应用微分求积法 求解非线性扩散方程4 1 ；美国o k l a h o m a 大学的c i v a n 和s l i e p c e v i c h 等应 用广义的微分求积法处理输运过程、t h o m a s - f e r m i 方程、泊松方程、以 及多维问题等阻8 】；近几年，美国的b e r t 和他的同事们大力推崇微分求 积法，他们第一次把微分求积法作为一种数学工具用到结构力学中进行结 构分析 9 - 1 3 1 。l i e w 和他的合作者对微分求积法的理论和实际应用都作了 深刻的研究，他们最近的研究主要是对板的三维振动，弯曲和稳定性进行 2 第1 章前言 分析f 1 4 ，15 】。 近年来对微分求积法的研究还体现在适当选取基函数，使其应用更为 广泛且得到更为准确的数值解。在清华大学的钟洪志的文章中提到用广义 拉格朗日插值函数作为微分求积逼近的基函数，精度高，所需网格点少， 运算比较简单f 1 6 - 1 8 】。我们知道微分求积法是一种导数逼近的数值离散方 法，它起源于传统的积分求积思想。传统的微分求积法实际上是基于一维 函数的逼近，而在文献f 1 9 1 中，s h u 和他的同事又研究使用径向基函数作 为插值基函数，将微分求积逼近的思想推广到一般情形，打破了传统微分 求积法中沿网格线使用函数值的限制。根据这个方法，任意空间导数都可 以用整个物理空间中所有函数值的加权线性和来逼近。 在传统的微分求积法的基础上，学者们还研究出了很多新的微 分求积法。l i e w 等提出了移动最小二乘微分求积方法( m o v i n gl e a s t s q u a r e sd i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ，m l s d q m ) f 2 0 。l i e w 还提出了 微分求积单元法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ee l e m e n tm e t h o d ，d q e m ) ，用这 种方法对r e i s s n e r - m i n d l i n 板进行了静态分析2 1 1 。此外l i e w 还提出了 d q u ，d q n ，d q z 等新的微分求积法，参考文献 2 2 2 9 】展示了这些方法 的有效性。除此之外，还有很多的国内外专家学者，对微分求积法的研究 也有着重要的显著的成果。 吴雄华、丁志宏、沈烨、孔伟斌等人用微分求积法研究了美式期权定 价问题，体现了微分求积法在金融领域的应用和发展3 0 ，3 1 1 。根据微分求 积法的思想，在传统的微分求积法的基础上并结合区域分裂法，吴雄华老 师和他的学生李晨、吴芸、沈烨、刘书婷等人提出了微分求积区域分裂法 ( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，d q d d m ) ，来求 解三角形等不规则区域上的偏微分方程边值问题、非线性奇异摄动问题以 及抛物型方程自由边界问题【3 2 3 5 1 。他们的工作表明这种方法十分高效， 很好地发挥了微分求积法和区域分裂法各自的优点。 微分求积法作为解决理论和工程实际中的初、边值问题的一种独特的 求解方法，得到了越来越多学者的重视，已在包括流体力学、结构静动力 学、热传导、生物科学、运输过程、静态弹性动力学、润滑力学以及石化 工程等许多研究领域得到了成功的应用。与传统的数值求解方法相比，微 3 同济大学硕士学位沦文 分求积法所具有的高精度和低耗时的优点已经显现。 1 2t r e 舐z 法的研究进展 t r e f f t z 法最先由t r e f f t z 在1 9 2 6 年创立，可以归结为边界型数值解 法f 3 6 1 。作为一种较新的边界元解法，近年来越来越受到学术界的重 视。1 9 9 5 年为了纪念t r e f f t z 法创立7 0 周年，a d v a n c e si ne n g i n e e r i n g s o f t w a r e 杂志出版了一期专刊：在1 9 9 6 年、1 9 9 9 年和2 0 0 2 年，先后召开 了三届t r e f f t z 法的国际会议，研讨t r e f f t z 法的最新发展和成果。 早期的t r e f f t z 法将控制方程的齐次解作为插值试函数，代入相 应的变分方程中，得到只含有边界积分的表达式。1 9 2 6 年，t r e f f t z 最早将该方法应用于求解l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题。其后n e - f f t z 法在b i r m a n 3 7 - 3 9 】、r a f a l s o n 4 0 1 等人的研究中得到了推广。在早 期的t r e f f t z 法中，t r e f f t z 函数( t 函数) 表示的近似解中，待定系数 通过边界条件的某种加权残数方式确定，称为t r e f f t z 间接法。1 9 8 9 年，c h e u n g 、j i n 、z i e n k i e w i c z 等提出了t r e f f t z 直接法f 4 1 1 ：其后，金吾 根等将t r e f f t z 直接法应用于势流、平面弹性、平板弯曲、波浪载荷、薄板 振动和中厚板分析等问题4 2 4 5 1 。 随着t r e f f t z 法研究的不断深入，这种以满足控制微分方程的齐次解为 权函数的思想渐渐得到采纳，使t r e f f t z 法不仅仅局限于边界元的范畴。以 其为指导思想，与有限元法相结合的数值方法也逐渐发展起来。z i e l i n s k i a p 和z i e n k i e w i c zo c 将t r e f f t z 完备函数引入有限元法，求解广义调 和方程【4 6 1 ；j i r o u s e k 和g u e x 提出杂交t r e f f t z 单元，建立了杂交t r e f f t z 有限元法( h y b r i dt r e f f t zf e m ) 【4 7 1 ；q i n 的专著对于t r e f f t z 有限元有详尽 的阐述4 8 1 。可以说t r e f f t z 有限元己经被广泛的应用于平面弹性问题、薄 板弯曲、厚板弯曲、p o i s s o n 方程、壳体问题和热传导等各个力学领域。 近年来，t r e f f t z 法因其避免奇异、计算效率和积分精度高、边界附近 数值稳定等优点逐渐引起了学术界的重视，得到越来越广泛的应用。 4 第1 章前言 1 3 本文的主要工作 本文以微分求积法作为基础，结合t r e f f t z 方法，提出了一种新的数 值解法一一微分求积t r e f f t z 法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r et r e f f t zm e t h o d ， d q t m ) 。本文的主要工作及章节安排简要介绍如下： 第一章是本文的绪论，详细论述了微分求积法以及t r e f f t z 方法的产 生、发展和研究现状。 第二章介绍了微分求积法的理论，总结了该方法中权系数矩阵的推导 方法，插值基函数的选取方法，节点的选取方法等。 第三章介绍了t r e f f t z 方法及其完备解系t - t r e f f t z 基函数，推导了 t - n e f r t z 完备解系的构造方法，然后推导了如何用t t r e f f t z 基函数逼近 p o i s s o n 型问题的解。 第四章详细介绍了微分求积t r e f f t z 方法，讨论了该方法的实施过程， 误差分析和数值算例。通过在不规则区域上的数值算例及结果分析可以看 出，本文提出的微分求积t r e f f t z 法在求解不规则区域上的偏微分方程时十 分有效，只需要相当少的节点就可以得到相当精确的数值解。而且这种方 法原理简明，便于操作，具有高精度和高效率的特点，便于在计算机上实 现并行计算，提高了效率。 第五章对本文的工作进行了总结和展望。 5 同济大学硕士学位论文 第2 章微分求积法 第一章己经介绍了微分求积法的发展概况，我们对这种数值方法有了 初步的了解。本章将系统地介绍微分求积法的基本理论，为后面的章节介 绍微分求积n e 吼z 法打下理论基础。 2 1 微分求积法的基本概念 微分方程数值解就是将微分方程的求解区域进行网格剖分，然后构造 算法求节点处函数值的近似值，算法构造的关键就是如何将节点处的微分 或积分用节点处的函数值来表示。微分求积法本质上是用整个计算区域上 所有节点处的函数值的加权和来近似代替函数在各节点处的导数值。因此 微分求积法可以将微分方程转化为以节点处函数值为未知量的代数方程 组，求解该代数方程组，即可得微分方程数值解。下面对微分求积法的构 成作一般介绍。 不失一般性，考虑在区间 a ，6 】上的连续可微函数，( z ) ，设区间 a ，6 】 上个互不重合的节点为a = x 1 z 2 2 ( 4 3 3 ) 根据定理4 3 1 ，近似边界点上的函数值时，我们可以得到如下的误差 1 9 弼济大学硕士学位论文 分析： l lu h 钆l i 砚( q ) e 2 ， o n f ( 4 3 4 ) 为简单起见，我们认为特解札p 只满足如下的控制方程： 心u p = _ 0 ，g ( 为们篡 ( 4 3 5 ) 根据定理4 3 2 ，通过微分求积法近似特解时，我们可以得到对特解仳p 的误差分析： i i 坳一ni i 现( q ) e 1 ， i n q ( 4 3 6 ) 而通解u | l 满足如下的方程 auh：=0,uhru l r u p l r ，o 洫n q f l ( 4 3 7 ) 【 = 一 ， r 7 考虑方程组( 4 3 7 ) 的第二个方程：一方面u p l r 是通过对计算区域q 上 的边界点插值得到。以边界a b 为例，其上分布有k 个g a u s s l o b a t t o 节 点，对于每个节点，对u v l r 的c h e b y s h e v 插值的误差是e 2 ，因此对于边 界a b 上的k 个节点，总的误差即k 2 ；另一方面，乱p i r 本来在区域q 上 有误差e 1 ：综上所述，边界a b 上u h l r 的总误差为3 = 1 + k e 2 。因此， 在整个边界r 上，u l r 的误差为3 。 根据最大值原理，区域q 上乱 的总误差为： l lu 一u zl i 毗( q ) 3 ， i nq ( 4 3 8 ) 根据上述分析，我们知道整个区域q 上函数值乱的误差为= 1 + 铅。 4 4 数值算例 当计算区域不规则或者边界条件很复杂的情况下，p o i s s o n 型方程的求 解通常是比较困难的。下面我们使用d q t m 方法，通过相对少的内部和 边界节点来获得相对高的精确度。 为检验方法的有效性，通过下述算例，比较了数值解与解析解之间的 误差，记 e m o z = m a x l u e u n i ， e ，= i 豢一等i ， ( 4 4 1 ) e 22 m a x l a u e 一饥n i ， 2 n 第4 章d q t m 方法求解p o i s s o n 型问题 这里u e 和u n 分别表示问题的精确解和d q t m 数值解。 我们下面考虑具有不同计算区域的p o i s s o n 型问题，其解析解如下： u ( x ，y ) = s i n ( x ) s i n ( y ) ( 4 4 2 ) 例1 本例题的计算区域q 是图4 2 中的三角形区域a c d ，辅助区域 q o 还是矩形区域a b c d 。 误差分析见表4 1 。这里佗表示应用微分求积法近似特解时在辅助区域 q o 的z 方向和y 方向上分布的g a u s s l o b a t t o 节点的数目。在三角形的边 界上每边分布1 1 个g a u s s l o b a t t o 节点，所以边界点的总数是b = 3 0 。 y 。 一 ，。 一一一 。b ； 硼 + 嘲 d 一兰 fx 葺i 玉 k 昏- 曙 k - 。t - ， 一7 一d 图4 2 ：例1 的计算区域节点分布示意图 表4 1 ：例1 的误差 几681 01 2 上1 m o z 6 5 1 5 0 e _ 0 0 5 6 7 1 8 6 e 一0 0 91 4 7 6 5 e 一0 1 06 7 6 1 8 e - o ll e 1 9 5 2 8 1 e _ 0 0 4 8 0 5 2 3 e 一0 0 83 1 7 7 2 e - 0 0 8 1 4 6 9 1 e 一0 0 9 e 2 2 2 7 8 6 e - 0 ( j 4 6 0 7 1 9 e - 0 0 8 4 9 4 0 9 e 一0 0 94 3 9 1 8 e - 0 1 2 例2 本例题具有和例1 一样的控制方程、边界条件和解析解。例 2 1 同济大学硕士学位论文 2 的计算区域q 是图4 3 中的不规则区域a b c d e ，曲边a b 的方程是 扛+ 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = l ( x - - 1 ，y - - 1 ) ，辅助区域q o 还是矩形区域 c d e f o 误差分析见表4 2 。这里n 表示应用微分求积法近似特解时在辅助区域 q o 的z 方向和y 方向上分布的g a u s s l o b a t t o 节点的数目。在不规则区域 的每边上分布1 1 个g a u s s l o b a t t o 节点，所以边界点的总数是b = 5 0 。从 表4 2 可以看出，数值解的结果是很令人满意的。 y 。 e 一 一 。， p ，qf ”。7 。 7 。早鼍-y 膏 ， 卡+一h ， 毒 jk 一 电 唪睾睾擎 一 +辛! 峰 期 h fx 一f 融，o 螭 i 幸 幸膏! 融 0 ， 一 翻 i 下-_ - i誊 - f 一 1 ：飞”c 图4 3 ：例2 的计算区域节点分布示意图 表4 2 ：例2 的误差 n681 01 2 e n 3 0 5 8 6 争0 0 4 4 7 0 2 2 争0 0 7 3 0 1 2 2 争0 0 97 3 1 2 8 e - 0 1 2 例3 考虑如下的控制方程： a u + x _ o u ：9 ( z ，可) ，( 4 4 3 ) o x 。、 其计算区域是图4 4 中带d i r i c h l e t 边界条件的矩形。这里计算区域q 和辅 2 2 第4 章d q t m 方法求解p o i s s o n 型问题 助区域q o 是同一个矩形a b c d 。 本例题的精确解如下： u ( x ，y ) = e 矿切( 4 4 4 ) 误差分析见表4 3 。这里n 表示应用微分求积法近似特解时在辅助区域 q o 的z 方向和可方向上分布的g a u s s l o b a t t o 节点的数目。在矩形区域的 每边上分布1 1 个g a u s s l o b a t t o 节点，所以边界点的总数是b = 4 0 。 y b i f 7 ，wf f v ” ，v p、羽 *+4t一 i i + + 鼋 o ，x 斗+ 和+毒 t十十t kt t “i。l _h 一一c 一f 图4 4 ：例3 的计算区域节点分布示意图 表4 3 ：倒3 的误差 n1 31 51 71 9 上o z 1 3 6 3 8 e - 0 0 31 0 6 0 9 e _ 0 0 57 0 4 4 4 e 一0 0 69 4 3 9 0 e 一0 0 7 4 5 本章小结 本章详细介绍了微分求积t r e f f t z 方法，讨论了该方法的实施过程，误 差分析和数值算例。通过在不规则区域上的数值算例及结果分析可以看 出，本文提出的微分求积t r e f f t z 法在求解不规则区域上的偏微分方程时十 分有效，只需要相当少的节点就可以得到相当精确的数值解。而且这种方 2 3 同济大学硕士学位论文 法原理简明，便于操作，具有高精度和高效率的特点，便于在计算机上实 现并行计算，提高了效率。因此，我们认为微分求积n e 矾z 法将会在数值 计算领域得到更深入的应用。 2 4 第5 章总结与展望 第5 章总结与展望 本文提出了一种全新的数值解法一一微分求积n e 矾z 法( d i f f e r e n t i a l q u a d r a t u r en e f r t zm e t h o d ，d q t m ) ，考察了这种方法在不规则区域上的 应用。第一章回顾了微分求积法以及n e 纸z 方法的产生、发展和研究现 状。第二章介绍了微分求积法的理论，总结了该方法中权系数矩阵的推导 方法，插值基函数的选取方法，节点的选取方法等。第三章介绍了n e i t z 方法及其完备解系t - n e 玳z 基函数，推导了t n e 舐z 完备解系的构造方 法，然后推导了如何用t - n e 矾z 基函数逼近p o i s s o n 型问题的解。第四章 详细介绍了微分求积n e 硪z 方法，讨论了该方法的实施过程，误差分析和 数值算例。回顾全文，本文的工作主要包括以下几个方面： 1 从l a p l a c e 方程出发，结合微分求积法和n e 矾z 方法，推导出了微 分求积n e 矾z 方法求解p o i s s o n 型问题的过程。这是一种耦合了微分求积 法和皿e 虢z 方法的数值方法。首先我们将求解原问题的函数值u 转变为分 别求解特解u 口和通解让 ，然后分别通过微分求积法和n e 矾z 法求解特解 和通解。由于这种分解，方面在应用微分求积法逼近特解时，可以把节 点分布在一个套住原计算区域的规则辅助区域中，避免了坐标变换，可以 比较灵活地选择节点坐标，并且保留了微分求积法高精度的优点；另一方 面t - t r e f f t z 函数系的引入使得这种方法可以应用于多种常用微分算子，并 且可以灵活地选择边界点。 2 通过在不规则区域上的数值算例验证了用微分求积，n e 矾z 方法求解 不规则区域上p o i s s o n 型问题的优势。从对数值结果的分析可以看出，我 们的方法十分有效，只需要相当少的节点就可以得到相当精确的数值解。 而且这种方法原理简明，便于操作，具有高精度和高效率的特点，便于在 计算机上实现并行计算，提高了效率。因此，我们认为微分求积n e 肌z 法 将会在数值计算领域得到更深入的应用。 2 5 同济大学硕士学位论文 致谢 在本论文的完成过程中，我得到了很多方面的关心、鼓励、支持和帮助。 首先应该感谢我的导师吴雄华教授师从吴老师的三年多时间里，我的每 一个进步都凝聚着吴老师的心血吴老师严谨的治学态度、高尚的敬业精神使 我深受感触，成为我奋发向上的动力吴老师渊博的知识和诲人不倦的治学态 度促使我在学术上不断取得进步，并为今后的发展奠定了坚实的基础吴老师 的教导，让我终身受益谨此向导师表达最衷心的感谢! 其次，我还要感谢陈素琴教授和班主任张莉老师、李少华老师等多位同济 大学的老师，他们在学习，工作和生活等各方面给予了我很大的帮助和支持! 感谢孔伟斌、任玉娥、王玺承、刘旭等诸位同学，他们对我的学习也给予了很 大的帮助! 今天我能顺利完成学业更离不开我的家人的无私奉献。他们对我默默的鼓 励和全心的支持，使我能够安心求学。我的成长和任何一点进步都有着他们的 无私奉献 本文得到国家自然科学基金( n o 1 0 6 7 1 1 4 6 ，n o 5 0 6 7 8 1 2 2 ) 的资助，特此致 谢! 最后，对所有关心和支持我的人们再一次表示由衷的感激之情，谢谢你 们1 2 0 0 8 年2 月 参考文献 参考文献 1 】b e l l m a nr ，k a s h e fb ，v a s u d e v a nr ，t h ei n v e r s ep r o b l e mo fe s t i m a t i n g h e a r tp a r a m e t e r sf r o mc a r d i o g r a m s m a t h b i o s c i ，1 9 7 4 ，1 9 ：2 2 1 2 3 0 【2 】b e l l m a nr ，k a s h e fb ，k a s t ij ，d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e ：at e c h n i q u ef o r t h er a p i ds o l u t i o no fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c o m p u t p h y s ，1 9 7 2 ，1 0 ：4 0 5 2 【3 】b e l l m a nr ，k a s t ij ，d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ea n dl o n gt e r mi n t e g r a t i o n j m a t h a n a l a p p l ，1 9 7 1 ，3 4 ：2 3 5 2 3 8 【4 】m i n g l ej o ，t h em e t h o do fd i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ef o rt r a n s i e n tn o n l i n e a r d i f f u s i o n jm a t ha n a la p p l ，1 9 7 7 ，6 0 ：5 5 9 5 6 9 【5 】c i v a nf ，s l i e p c e v i c hc m ，a p p l i c a t i o no f d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r et ot r a n s - p o r tp r o c e s s jm a t ha n a la p p l ，1 9 8 3 ，9 3 ：2 0 6 - 2 2 1 【6 】c i v a nf ，s l i e p c e v i c hc m ，d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ef o rm u l t id i m e n s i o n a l p r o b l e m s ，jm a t ha n a la p p l ，1 9 8 4 ，1 0 1 ：4 2 3 - 4 4 3 【7 】c i v a nf ，s l i e p c e v i c hc m ，s o l u t i o no ft h e p a s s i o ne q u a t i o nb yd i f f e r e n t i a l q u a