（计算数学专业论文）第二类线性积分方程的galerkin区间小波解法.pdf

人连理t 大学硕十学位论文 摘要 积分方程是描述物理问题的重要数学工具。在静电学、电动力学、弹性力学、流体 力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探等学科中，许多问题的解决可化为解对应的 积分方程。常微分方程和偏微分方程的定解问题也可以化为等价的积分方程，解偏微分 方程反问题的数值方法，常常导出第一类f r e d h o l m 方程。 第二类f r e d h o l m 方程是线性非齐次的积分方程。它在理论上已经非常成熟。它的 理论对于泛函分析理论起了非常重要的作用。 本文应用g a l e r k i n 方法对第二类f r e d h o l m 积分方程进行讨论。用d a u b e c h i e s 紧支 撑区间小波做基底对待求函数进行逼近。在计算到一定基础上之后，再进行迭代，得到 了很好的数值效果，达到1 0 - ”以下。这样做不仅精度得到了显著的提高，并且有效地减 少了计算量。 本文第一章介绍第二类线性积分方程的理论。首先简要介绍了第二类线性积分方程 的基础理论，包括了收敛性和唯一性的证明和特殊的第二类线性积分方程解析解法。然 后介绍了第二类线性积分方程的一些经典的数值解法，并对部分解法给出了误差估计。 第二章介绍小波分析方面的理论。先介绍了小波的发展过程，然后介绍小波定义及 小波变换。在本章的第三小节介绍了多分辨分析的概念和m a l l a t 算法。在最后的两章分 别介绍了紧支撑小波和区问小波。 第三章为硕士学位论文的主要章节。先给出了本文的基本算法，然后给出一个误差 估计，得到用本文提到的方法可以达到线性收敛。最后给了数值例子说明效果非常好。 关键词：第二类f r e d h o l m 方程；多分辨分析；g a l e r k i n 方法；d a u b e c h i e s 紧支撑正交 小波；y m e y e r 区间小波 ， 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区问小波解法 a p p l i c a t i o no f w a v e l e t so nt h ei n t e r v a lt os o l v es e c o n d - k i n dl i n e a r i n t e g r a le q u a t i o n su s i n gg a l e r k i nm e t h o d a b s t r a c t t h ei n t e g r a le q u a t i o ni s 锄i m p o r t a n tt o o lo fd e s c r i b i n gp h y s i c a lp r o b l e m t h e r ea r e m a n yp r o b l e m s i nt h ef i e l do f e l e t r o s t a t i c s ，d y n a m o e l e c t i c ，e l a s t i c i t ym e c h a n i c s ， h y d r o d y n a m i c s ，g e o p h y s i c a la n dt h et h e o r yo fe l e c t r o m a g n e t i ca n dr a d i c a l i z a t i o n sw h i c hc a n b ec h a n g e di n t ot h ep r o b l e m so fi n t e g r a le q u a t i o n d e f i n i t ep r o b l e mo fo d ea n dp d ec a n a l s ob ec h a n g e di n t ot h ee q u i v a l e n c ei n t e g r a lp r o b l e m t h en u m e r i c a lm e t h o do fs o l v i n gp d e i n v e r s ep r o b l e mo f t e nl e a d si n t ot h ef i r s tk i n df r e d h o l me q u a t i o n t h es e c o n dk i n df r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o ni st h el i n e a ri n h o m o g e n e o u si n t e g r a le q u a t i o n i t st h e o r yi sv e r yc l a s s i c a l i tp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h ed e v e l o p m e n to ft h ef u n c t i o n a l a n a l y s i st h e o r y t h i sp a p e ru s e sg a l e r k i nm e t h o dt os o l v es e c o n dk i n df r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n s d a u b e c h i e sc o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o n o r m a lw a v e l e t sh a sb e e na p p l i e d t h es k i l lo f y m e y e ri n t e r v a lw a v e l e t si se m p l o y e d an e wm e t h o di si n t r o d u c e d t h i sm e t h o dc a n i m p r o v ep r e c i s i o ng r e a t l ya n da tt h es a e f l et i m eu l e s sc o m p u t a t i o ni ns o m es i t u a t i o n t h e e r r o rc a nl i m i tb e l o w l 0 1 0 n u m e r i c a le x a m p l e sa l ep r o v i d e da n da p p r o v et h em e t h o db ei n e f f e c l t h ef i r s tc h a p t e ro ft h ep a p e ri n t r o d u c e st h et h e o r yo ft h es e c o n dk i n dl i n e a ri n t e g r a l e q u a t i o n , i n c l u d i n gt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ee q u a t i o n , t h es o l v i n gm e t h o do fs o m e s p e c i a lf u n c t i o n , t h ee n u m e r i c a lc o m p u t a t i o no f t h ef u n c t i o na n dt h ee s t i m a t i o no f e r r o r t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h et h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i s i tf m s tp r e s e n t st h ec o n c e p t o ft h ew a v e l e ta n dw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h e nt h ec o n c e p to fm r aa n dm a l l a ta l g o r i t h m i nt h e l a s tt w op a r t so ft h ec h a p t e r , i ti n t r o d u c e st h et h e o r yo fc o m p a c ts u p p o r t e dw a v e l e t sa n d i n t e r v a lw a v e l e t s t h et h i r dc h a p t e ro ft h ep a p e ri st h em a i nc h a p t e ro ft h em a s t e r a ld i s s e r t a t i o n i tf i r s t i n t r o d u c e st h eg e n e r a la l g o r i t h m , a n dt h e ne s t i m a t e st h ee r r o r , i nt h el a s t , i tg i v e st h r e e e n u m e r i c a le x a m p l e sa n dp r o v e st h em e t h o db ee f f e c t i v e k e yw o r d s ：s e c o n d k i n df r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n s ；m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；d a u b e c h i e s w a v e l e t s ；g a l e r k i nm e t h o d ；y m e y e rw a v e l e t so nt h ei n t e r v a l 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究_ t - - 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工人学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 导师签名： 加立财 垒厶 ! 竺垫年l 月生日 大连理工大学硕士学位论文 引言 本文用小波作基底来解第二类线性积分方程。小波分析理论自上世纪8 0 年代兴 起后，到9 0 年代已经非常成熟。特别是m a l l a t y m e y e r 提出了多分辨分析理论以及 d a u b e c h i e s 6 构造出具有紧支撑的正交小波后，小波分析在信号处理、图像处理、数 值计算、量子理论、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉等方面得到了广 泛的应用。 小波方法第一次引入解积分方程是上世纪90 年代初，自此以后，各种积分方 程都有讨论。而小波方法用于解第二类线性积分主要是围绕下面几方面来展开的： ( 1 ) 用不同的小波基对积分方程进行讨论。在小波基的选取和改进】 1 5 j 【1 6 】【2 5 让 做文章。 ( 2 ) 一般用g a l e r k i n 法或者是配点法都将得到一个阶数很大的非稀疏系数矩 阵。很多文章都用阈值对系数矩阵进行稀疏化处理 1 5 】 矧。 上面这样做可以得到相对比较好的误差。 本文在已有工作的基础上，先用g a l e r k i n 小波方法做到一定的精度，然后在做 迭代，得到了非常好的精度，同时计算量也减少了很多。 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区间小波解法 1第二类f r e d h olm 积分方程及其数值计算 1 1 第二类f r e d h o i m 积分方程 本文要考虑的第二类f r e d h o l m # j - 程为： o ) = 五f 七( x ，f ) ”( f ) 魂+ 厂( 工) ( 1 1 ) 假设k ( x ，) 与，( x ) 分别在【o ，l 】 o ，l 】与【o ，1 】内连续，因而是有界函数：l k ( x ，f ) i a ； l 厂( 圳b ，并且当五充分小时，则可以用逐次逼近法证明方程( 1 1 ) 的解存在。更一 般地，当厂( x ) r 0 ，1 】且t ( z ，f ) r ( 【o ，l 】 o ，1 】) ，并且存在正常数c ，使得： f i t ( 暑f ) 1 2 d t s c ( h 【o ，1 】) ，上述结论也是成立的。 下面我们用逐次逼近法给出方程( 1 i ) 在上述条件下的存在唯一性的主要结果及 证明。 取( 曲= h ) ，将其代入( 1 1 ) 式的右端，把所得结果作为一次近似： 屿( 功= z f 七( x ，f ) ”。( r ) 出+ ，( x ) ， 依次类推，即按下列规则作函数序列 h n ) in 奶 ( x ) 2 a j ：七( z ，咖。一( o a t + 厂( x ) o 。2 , 3 ，) 定理l l 1 1 设核七瓴f ) 及自由项， ) 连续，l a l 三，则函数列 ( 功| ”研在 区间 o ，l 】上一致收敛于积分方程( 1 1 ) 的解：( x ) 。并且解是唯一的。 证明： “2 ( x ) = f 七( x ，r ) o ) 破+ ，( 功 = 五f 七( 列) 【丑f 七( 舢) ，o ) a s + f ( t ) d t + ，( 曲 = ， ) + 2fk ( x ，t ) f ( t ) d t 十五2f _ j ( 州) ft ( ”) m ) d s d t = ，( x ) + 丑f 毛( x ，t ) f ( t ) d t + 五2 f 如( x ，t ) f ( t ) d t 其中 毛( x ，f ) = | ( 工，f ) 大连理工大学硕士学位论文 屯 ，f ) = f 与( ”崦( s ，t ) d s 类似地可得 虬( x ) = 五f j 】 ( 墨t ) u ，l ( t ) d t + ，( x ) = ，( x ) + 五f 墨( 工，t ) f ( t ) d t + 五2f 屯( 工，t ) f ( t ) d t + 4 f k ( z ，t ) f ( t ) d t + 引e o ，t ) f ( t ) d t 其中 k ( 州) = f 南j 心一。( 以t ) d s t ( x ，t ) 称为n 次迭代核。 如果( 曲当疗寸m 时的极限“( 力存在，则 二( 工) = ，( 功+ 2 f l q ( x , t ) f ( t ) d t + + f k ( t ) f ( t ) d t + ( 1 2 ) 为了证明上述级数的一致收敛性，估计积分f 以 ，t ) f ( t ) d t ，显然 i 屯( x ，f ) i f 旧( x ，曲毛( s ，f ) 陋彳2 i 毛( 五f ) l f i 毛( 五s ) 岛( s ，f ) l 出彳3 i t ( 工，f ) l f i 墨( z ，s ) 吒- ( s ，r ) i 凼4 ” 因此 悱帅坤j 们 因而常数项级数二口似i ”是级数( 1 2 ) 的强级数，当h j 1 时，此级数收敛，因而， 对这样的a ，级数式( 1 2 ) 一致收敛于函数：( 曲。 对式 ( 石) = z f ，f ) 。( f ) 出+ ，( 曲， 令玎一o o ，得到 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区间小波解法 ；( x ) = 丑f 女( x ，t ) u ( t ) d t + f ( x ) 因为序列饥( x ) i n ) 一致收敛，所以积分号下取极限是合理的。于是“( z ) 是方程 ( 1 1 ) 的解。 还可以证明u ( x ) 是方程( 1 1 ) 的唯一解。这是因为，从证明过程可以发现：假如 不用，( x ) 作初始迭代项，而用其它的一个连续函数结果是一样的，仍然为( x ) 。 假如方程( 1 1 ) 有另外一个解妒( x ) ，现在用妒( 曲作初始迭代函数，那么上述的迭代序 列为“。( x ) = y ( x ) ，v n n ，由于其极限仍为u ( x ) ，所以有“( x ) = p ( 曲。 下面我们给出解核的概念： 记 ， r ( x ，f ；五) = 二。五“k a x ，f ) ( 1 _ 2 ) 式可以表示为： 二( 功= ，( x ) + 丑f 与( 工，t ) f ( t ) c h + + 五”f b ( n 厂o ) a t + = ，o ) + 五f 二。丑”1 k o ，) ( f ) 西 2 ，( x ) + f r ( x ，t ；2 ) f ( t ) d t ( 1 - 3 ) 函数月o ，r ；五) 称为方程( 1 1 ) 或k ( x ，t ) 的解核。 下面介绍一个基本定理。 定义1 2 使积分方程( 1 1 ) 的齐次积分方程 “( 砷2a j ：( x ，t ) u ( t ) d t 有非零解的五的值，称为上述方程或核k ( x ，t ) 的特征值，对应的非平凡解，称为上述 方程或核k ( x ，t ) 的特征函数。 定理1 3 ( f r e x t h o l m 第一定理) 如果五不是核k ( x , t ) 的特征值，即对应的齐 次方程 “( 曲2 f k ( x , t ) u ( t ) d t 只有零解，则对于任意( 连续的) 自由项， ) ，非齐次方程( 1 1 ) 的解存在且唯一。 下面介绍一种特殊的第二类f r e d h o l m 积分方程的解法。 大连理工大学硕士学位论文 当 七( 而f ) = 二q ( j ) 4 ( f ) 方程( 1 1 ) 称为退化核方程。它可表示为： “( x ) ：x ：c e t ：, a x z 地( r 弦( f ) 讲+ ，( 曲 即： “( 功= 五：。q ( j ) f6 j ( f 如( t ) d t + ，( 曲 ( 1 4 ) 设q ( 曲( f = l 2 ，一) 线性无关；q ( 工) ，6 ( f ) ( f = l 2 ， ) 在o z ，t 1 连续，记 j ：6 ( f 如( t ) d t 2c ，( f 。1 , 2 ，拧) ( 1 5 ) 则( 1 4 ) 式可化为： “o ) = ，( x ) 十五：。c f q ( z ) ( 1 固 因此为了确定( 1 4 ) 式的解，只要确定未知常数c i 即可。 将( 1 6 ) 代入( 1 5 ) 得： f 包( f ) 【，( f ) + 五2 。c j a j ( t ) d t = q 即 f ，( ，) 西+ 五：i 。qf 匆。一( f ) 馥= q 记 ：b b i ( t ) f ( t ) d t = ， f 点p ) 吩( f ) 西= 嘞 就可以得到c 的线性方程组： q 一五：，吩o = z 1 2 第二类f r e d h o ii l l 积分方程的近似解法 实际中遇到的积分方程，大部分不能或难以求出它的精确解析解， 情况下，可以求出它的近似解。 1 2 1 用退化核近似任意核 考虑任意核的第二类f r e a h o l m 方程： ( = 五【七( x ，f ) “( f ) d t + f ( x ) 但在大多数 ( 1 7 ) 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区间小波解法 由于求退化核方程的解比较简单，很自然地想到，把己知的任意核k ( x ，f ) 用与它接近 的退化核l ( x ，t ) 代替，再把代替后的退化核方程 u ( x ) = 五【l ( x ，t ) u ( t ) d t + f ( x ) 的解“作为原方程( 1 7 ) 的近似解。 可以取七( x ，) 的泰勒级数的部分和，或k ( x ，t ) 关于研o ，1 】中任何完备的标准正交 函数系的傅立叶级数的部分和等，作为逼近于已知核七扛，f ) 的退化核，( z ，f ) 。 下面给出，用退化核代替已知核所引起解的误差的估计。 定理1 4 【1 3 设对于核k ( x ，f ) ，z o 有 肚( x , t ) - l ( x , r ) i 出 h 而对于以，( x ，t ) 为核之方程的解核焉 ，t ；2 ) ，成立 f 1 日( 州；五) 陋 r 此外还有 l ，( 功一石( x ) l 0 成立，则方程( 1 7 ) 有唯一解，而此解与方程 “( 功= 五【，( x ，f ) ”( ，) 出+ 石( 曲 之解“( z ) 的差的绝对值，满足 l ”c 砷一；c i ；糕+ - c - + i 丑j r ， 式中b i f ( x ) l 的一个上界。 还可以给出另外一种估计。设 k ( x ，f ) = ，( 薯f ) + r ( x ，f ) k ( x ，f ) ，l ( x ，f ) 的解核分别为r a x ，) ，弓o ，f ) ，相应的算子范数分别为0 r l j ， i 她| i ，f ) 的范数为1 1 , 1 【，此时有 大连理工大学硕士学位论文 l ”( z ) 一：( z ) i j i i i ( 1 + i i r 3 ) o + i i 弓i i ) h t i i 上式中的范数可以取自任意的函数空间。 1 2 2 用数值积分法求积分方程的近似解 仍然考虑方程( 1 7 ) ，假设k ( x ，f ) 及， ) 存在一定阶数的连续导数，这样能保证 相应的数值积分公式有效。 取任一种数值积分公式 g ( x ) d r = 二4 9 ( x ) ( 1 8 ) 式中x j ，毪，i n 为区间【0 ，1 】中点的坐标，系数4 ，4 ，4 l 与函数g ( 曲的形式无关。 对于( 1 7 ) ，令j = ( ，= l ，2 ，帕，得到 u ( x j ) 2 a k ( x j ，t ) u ( t ) d t + f ( x j ) _ ，2 l ，2 ，- ，疗 由数值积分公式( 1 8 ) ，上式右端的积分可以用和式代替 u ( x j ) = a ：。a k ( x j ，( ) + ，吒) 考虑方程组 “( _ ) = 旯：。a k ( x j ，) “( ) + ，q ) _ ，= 1 ，2 ，弹 上述方程组是由r 1 个未知数“( 而) ，u ( x o ， ( ) 的n 个代数方程组成的线性方程组。 解此方程组，所得到的解“( 而) ，“( 而) ，“( 矗) 可以作为“( x ) 在节点x a ，x 2 ，x n 的近似 值，从而可以把方程( 1 7 ) 在区间 0 ，1 】的近似解取为： ”( 功= 五二 _ j ) “( ) + ，( j ) 在节点处u ( x ) = u ( x ) ，节点取得越多，照例误差越小，但由于节点个数增多，解线性 方程组的难度增加，累积误差也增大。因此，为了减小误差，要选取较精确的数值 积分公式，例如选用高斯公式或切比雪夫公式，虽然高斯公式更准确，但是由于切 比雪夫公式中的4 是相同的，所以用切比雪夫公式求积分方程的近似解要简便些。 1 2 3 待定系数逼近法 待定系数法，亦称为展开法。它的基本思想是，把f r e x i h o l m 方程的解u ( x ) ，用 有n 个在 0 ，l 】上线性无关的函数仇( 力的和式 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区间小波解法 ( 曲= ：。q 吼( 功 ( 1 9 ) 来逼近，只要确定了系数吼，近似解“( x ) 就可以确定。a k 的值可以这样确定，使式 ( 1 9 ) 在区间 o ，1 上在某种意义下尽可能近似地满足原方程。 对于方程( 1 7 ) ： u ( x ) = 五【七( z ，t ) u ( t ) d t + f ( x ) 把式( 1 9 ) 代入，就有 ：。q 纯o ) 一丑：。a kf 七( 五f 硫( f ) 出一( 砷= r ( 功 ( 1 z o ) 只要能确定系数a k ，由式( 1 9 ) 就可以得到方程( 1 7 ) 的近似解“。( x ) 。 q 的值可以这样来确定：式( 1 1 0 ) 乘以权函数唯( x ) ( 七= l ，2 ，功，使得对每个k ， r ( z ) 与咋( z ) 的内积都是零。当选取v a x ) = 占o 一心) ，称为配置法；当设 唯( x ) = 矿职= 1 ，2 ，m ) ，称为矩量法；当设权函数v a x ) = 国( 曲c a x ) ，式中( x ) 是适 当的权因子，称为g a l e r k i n 方法。 下面简单介绍一下配置法和o a l e r k i n 方法。 1 ) 配置法 在区间 0 ，1 】上适当选取o 而 恐 一- x n 1 ( 毛称为配置点) ，使式( 1 1 0 ) 左端 在x = t ( f = 1 , 2 ，n ) 都等于零，即 乙q 纯( 薯) 一五：。a kf 七( 薯，t 耽( t ) d t 一，( 薯) = o( ，2 棚) 上式是以q ( i = l ，2 ，栉) 为未知数的线性代数方程组，如果它的解q 存在，求出后代 入( 1 9 ) ，就可以得到方程( 1 7 ) 的近似解。 2 ) g a l e r k i n 方法 设( 1 9 ) 为方程( 1 7 ) 的近似解，且设纠0 ) ，兜( 曲，纯0 ) ，是在所o ，1 】内完备的标 准正交函数系。系数q ( 七= l ，2 ，哟这样来确定，使得式( 1 1 0 ) 两端与上述函数系的 前r 1 个函数吼0 ) ( t = 1 ，2 ，功在【o ，l 】上正交。于是要求系数a a k = 1 , 2 ，”) 满足下列 线性方程组： ( ( 工) ，依 ) ) = 2 ( 【( 五f k ( o a t ，( 功) + u ( x ) ，纯( z ) ) ( k = l ，2 ， ) 式中符合( ，) 表示内积，即( ，o ) 吼( 功) = c f ( x 硫( x ) 出。 大连理工大学硕士学位论文 如果( 1 7 ) 式中的 的值不是特征值，则对充分大的1 1 ，上述方程组解存在唯一， 且当n 斗a o ，由式( 1 ，9 ) 确定的近似解在n o ，1 的度量下平方平均收敛于方程( 1 7 ) 的 精确解。 第二类线性积分方程的g a l e r k i n 区间小渡解法 2 小波分析 2 1小波分析的由来及发展 小波分析的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交基，不过当 时还没有“小波”这个概念。2 0 世纪3 0 年代，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建 立的二进制频率分量分组理论( l - p 理论) ，这是多尺度分析思想的最早来源。1 9 4 6 年，g a b o r 提出的窗口f o u r i e r 变换( 也称短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变换的 不足起到了一定的作用。后来c a l d e r o n ，z y g m u n d , s t e i n 和w e i s s 等人将i , - p 理论推 广到高维，并建立了奇异积分算子理论。1 9 6 5 年，c a l d e r o n 给出了再生公式。1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对h a r d y 空间h p 给出了原子分解。1 9 7 5 年，c a l d c r o n 用他早先提出 的再生公式给出了h 1 的原子分解，这一公式已经成为许多函数分解的出发点，它的 离散形式已经接近小波展开，只是还没有得到组成一正规正交系的结论。1 9 8 1 年， s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，构造了一组具有指数衰减且具有限次连续可微的正 交基，这些工作微小波分析奠定了基础。1 9 8 4 年，m o r l e t 在分析地震博的局部性时， 发现传统的f o u r i e r 变换不具有时频局部性，很难达到实际需要，因此他首先提出 了小波分析( w a v e l e t a n a l y s i s ) 这一概念，并把它用于信号分解中。随后，g i r o s s m a n 对m o r l e t 的方法进行了研究。 真正的小波热开始于1 9 8 5 年。当时m e y e r 创造性地构造出了一个具有一定衰减 性的光滑函数v ( x ) ，其二进制伸缩和平移生成的函数系 缈( x ) ：= 2 “2 p ( 2 x 一七) ；，k z 构成了r ( r ) 的规范正交基，后来被成为m e y e r 基， 这对小波分析的发展起到了非常重要的作用。1 9 8 8 年，m m l m 提出了多分辨分析 ( m u l t i r e s o h t i o na n a l y s i s ) 的概念，在统一此前的s t r o m b e r g ，m e y e r ，l e m a r i e 和 b a t t l e 工作的基础上，给出了构造正交小波基的一般方法。m a l l a t 受金字塔算法的启 发，以多分辨分析为基础，提出了著名的快速小波变换算法m a l l a t a 算法( f a s t w a v e l e tt r a n s f o r m ) ，这是小波理论的突破性的成果，其作用和地位相当与f o u r i e r 分 析的f f t 算法。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造出了具有紧支撑的光滑正交小波基 - - d a u b e c h i e s 紧支集正交小波基，这种小波得到了广泛的应用。1 9 8 9 年，作为正交 小波基的推广，c o i f m a r m ，m e y e r 和w i c h e r h a u s e r 等又引入了正交小波包的概念。 1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓半正交小波函数( s e m i - w a v e l e t ) 并讨论了具有最好局部性的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。1 9 9 1 年， 大连理工大学硕士学位论文 g o o d m a n ，l e e 和t a n g 给出了多小波的概念，即尺度函数和小波和由多个函数构成。 随后，g e r o a l m o ，h a r d i n ，d o n o v a n 和m a s s o p u s t 给出了用分形函数构造多小波的方 法和例子。m i c c e l l i 和x u 给出了构造区间上的不连续正交多小波的一般方法。c o h e n ， d a u b e e h i e s 和v i a l 讨论了利用直线上的d a u b e e h i e s 小波改造成有限区间上的小波的 方法。1 9 9 2 年，c o h e n ，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 给出了紧支集双正交小波的构造方 法。多小波和双正交小波克服了正交单小波的一些缺点，可使小波同事兼顾更多的 实际应用中需要的性质。另外，m e y e r ，s l l e e ，g p l o n k a 和陈翰麟等人的重要工作 推动了周期小波的发展。 目前，小波分析的理论和应用都得到了迅速的发展，被广泛应用与数值分析、 信号处理、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、c t 成像、机 械故障诊断等领域，已成为众多学科共同关注的焦点。 2 2 小波与小波变换 2 2 1 小波的定义 定义2 1 如果函数y ( 力l 2 ( r ) 满足容许条件： q = l 且满足规范化条件m = i ，则称v 0 ) 为基本小波。 若更设( d ) 在点t o = 0 连续，则由容许条件得： 上y o ) 出2 y ( o ) = 0 也就是说i ( 力必是有正有负的震荡的波形，使其均值为零。这也是称其为小波的原 因。 2 2 2 连续小波变换 定义2 2 设，( 功r ( 胄) ，p ( x ) 为基本小波，口，b r ，定义，( 曲的连续小波 变换为： ，( 口，驴上m ) 旷”妒( 三子 一般来说，满足容许条件的( x ) 便可以作为基本小波了。但实际上我们还要求 ( x ) 具有一定的正则条件，以便 ) 在频域上表现出较好的局部性。为此，要求y ( j ) 具有一定的消失矩性质，即： 上x f ( 曲出2 0 ，p 2 o ，1 2 t ，一 此条件等价于 旦半盟b ；o ，p ：o l ，2 ，卅 n 越大越好。 定理2 3 1 2 设0 ) 为容许小波，对任意的f ，g r ( 胄) ，有 睨胞6 ) 瓦厕了d a 西= c a r ，g ) 此外，如果，在z r 处连续，则： 删= 百1 睨，( 口删旷y _ x - b 事如 事实上，上面两式分别与f o u r i e r 变换中的p a r s e v a l 恒等式和逆变换相对应。 2 2 3 标架 定义2 4 设h 是一个h i l b e r t 空间，j 是一个含可数个元素的指标集合， 矿，) ，。c h ，定义线性变换f ：h - - 1 2 ： ( 可) ，= ( ， ) ，竹( 曲) ，j j ，v f ( x ) h 若存在a 、b ，满足0 a s b o o ，使得： a 2 - 0 为给定的两个常数。若函数y 0 ) r ( 邱的伸缩和平移