（计算数学专业论文）对流扩散方程的差分解法.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 根据已发展的二阶微商三次样条四阶逼近公式，提出了基于线性插值的求 解对流扩散方程的特征差分格式。通过f o u r i e r 方法讨论了该格式的稳定性。数 值结果表明，本文对对流扩散方程给出的特征差分格式明显优于一般的基于线 性插值的特征差分格式。 利用第二类s a u l y e v 非对称格式给出了对流扩散方程的一类交替分组显格 式。该方法具有并行本性，并且绝对稳定。数值结果表明，本文对对流扩散方 程给出的a g e 算法明显优于e v a n s 和a b d u l l a h 1 5 所提出的交替分组显格式， 因此本文方法是一种有效算法。 将特征线法和有限差分法相结合，借助于斜线性插值，分别给出了求解线性 和非线性对流占优扩散方程的一种新的特征差分格式，并研究了算法的收敛性。 该算法的优点是特别适用于求解变系数的对流占优扩散方程，能更有效地消除 数值振荡现象。 关键词：对流扩散方程，特征差分格式，非对称差分格式，线性插值，斜 线性插值，交替分组显式方法，高精度，并行计算，稳定性，收敛性 对流扩散方程的特征差分格式 a b s t r a c t an e wk i n do fc h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n c es c h e m ei sp r o p o s e df o rs o l v i n gc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t ht h el i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d t h em e t h o di sb a s e do n t h ec u b i c s p l i n ed i f f e r e n c ef o r m u l a ro ff o u r t h - o r d e ra c c u r a c yf o rs e c o n do r d e rd e r i v a f i v e sd e v e l o p e db y t i a nz h e n f u t h es t a b i l i t yo ft h ec h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c es c h e m e i ss t u d i e d t h er e s u l t sp r o v et h a to u rm e t h o di sb e t t e rt h a nt h eo r d i n a r yc h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n c es c h e m ew i t ht h el i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d b a s e do nt h es a u l y e va s y m m e t r i cs c h e m e s ，an e wa l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t ( a g e ) m e t h o df o rs o l v i n gc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni sd e r i v e d i nt h i sp a p e r t h e m e t h o dh a st h eo b v i o u sp r o p e r t yo f p a r a l l e l i s m ，a n di su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nw h i c hi l l u s t r a t e dt h a tt h ep r e s e n tm e t h o di si np r e f e r e n c et o e v a n sa n da b d u l l a h a g em e t h o df o rs o l v i n gt h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o ni n 1 5 1 a n e w k i n do f c h a r a c t e r i s t i c - d i f f e r e n c es c h e m ef o rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s - i o n e q u a t i o n s i sc o n s t r u c t e db yc o m b i n i n gc h a r a c t e r i s t i cm e t h o dw i t ht h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o da n dw i t ht h es k e wl i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d t h ec o n v e r g e n c e o ft h ec h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n c es c h e m ei ss t u d i e d t h ea d v a n t a g eo ft h i ss c h e m ei s v e r ya d a p t a b l et oo b t a i nt h es o l u t i o no f t h ee q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n ta n d c a ne l i m i n a t et h en u m e r i c a lo s c i l l a t i o n sm o r e e f f i c i e n t l y k e y w o r d s ：c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，c h a r a c t e r i s t i c d i f f e r e n c es c h e m e ，a s y m m - e t r i cd i f f e r e n c e s c h e m e s ，l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ，s k e w l i n e a r i n t e r p o l a t i o n ，a l t e r n a t i n g g r o u pe x p l i c i ts c h e m e ，h i g ha c c u r a c y , p a r a l l e lc o m p u t i n g ，n u m e r i c a ls t a b i l i t y , c o n v e r g - e n c e 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件， 允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日期： 堕孟垒 南京航空航天大学硕士学位论文 1 1 问题的背景 第一章绪论 对流和扩散现象大量的出现在自然界及各个工程领域中，其具体的表现形 式多种多样“。从放液漏斗上的热传递到水渗入土壤的过程，从多孔渗水介质 的散布追踪到可溶物在河口和近海的扩散，从污染物在浅湖的蔓延到河床对化 学药品的吸收，从可溶物在流动的液体内的溶解到污染物质在大气中的远程传 布，无不都与对流和扩散过程密切相关；而各种生产电力的方法几乎都是以对 流及扩散作为其基本过程的。所有这些变化万千的对流和扩散过程的数学模型 可以归纳为所谓的对流扩散方程。其一般形式为 a 一 c ( 弓，为，毛，f ) 善+ 6 ( j o 为。 ，砷w - v - ( 4 x , ，乏，i ；毛，砷别= 一弓，毛，一j 而砖 ( 1 - 1 ) u 式中“为通用变量，可以代表流体的速度矢量在空间坐标系上的分量和温度等求 解变量；6 ( ，而，矗，砷2 ( 6 j ( 西，x 2 ，矗，“) ，也( 而，而，毛，甜) ，如( 而，而，毛，“) ) ； a ( x t ，b ，矗，“) 为广义扩散系数；，( z ，屯，矗，“) 为广义源项。这里引入“广 义”二字，表示处在a ( x j ，x 2 ，x n ，“) 与f ( x t ，x z ，再，“) 上的项不必是原来物理 意义上的量，而是数值计算模型中的一种定义。 对于上述对流扩散问题，数学界已经发展了不少获得其精确解的数学方法。 这些精确解是在整个求解区域内连续变化的函数。但是直到目前，这些分析解 还只能对少量的简单的情形得出，对于大量具有工程实际意义的对流扩散问题， 数值计算的方法越来越广泛地得到应用。在过去的几十年内已经发展出了多种 数值方法，其间的主要区别在于区域的离散方式、方程的离散方式及代数方程 求解的方法这三个环节上。在对流扩散问题的计算中应用较广泛的是有限差分 法，有限元法，有限分析法0 1 ”及有限容积法“3 1 。 在各种对流扩散过程中，有许多对流相对于扩散来说在问题中起主导作用。 这些过程呈现出几乎双曲的性质。对流占优性给问题的数值求解带来了许多困 难。因此，对流占优问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容。 从纯数学的观点来看，对流项是一阶导数项，其离散处理似乎不存在什么困难。 对流扩散方程的特征差分格式 但从物理过程的特点来看，这是最难进行离散处理的导数项。这主要与对流作 用带有强烈的方向性有关。从数值计算及其计算结果而言，对流项离散方式构 造得是否合适影响到下列三个方面的特性： ( 1 ) 数值解的准确性众所周知，扩散项的二阶截差的离散格式能很好地 反映扩散过程的特点，对大多数有实际意义的i ；7 题，这一离散格式已完全能满 足需要，数值计算结果误差的主要来源，在于对流项的离散格式，例如当对流 项采用一阶截差格式时会使数值计算的结果中包含扩散过程被夸大了的误差 ( 称为假扩散误差) 。 ( 2 ) 数值解的稳定性某些离散格式，例如传统的迎风或者中心差分格式， 在一定条件下( 如流速较高或网格划分较粗等) 会导致数值解发生振荡，这称 为数值解的不稳定性。 ( 3 ) 数值解的经济性所谓经济性是指求解过程所需的计算机内存及时间 的多寡。有不少格式，大多是2 0 世纪9 0 年代以后发展起来的高阶格式，既有 较好的准确性又不会发生解的振荡，但由于格式构造过程比较复杂，使所形成 的代数方程的求解无论在内存与时间上都比较多，因而如何加速由这些格式形 成的离散方程的求解过程，也是最近1 0 余年来对流项离散格式研究中的一个重 要内容。 1 2 问题的研究现状 用标准的差分方法或有限元方法来处理对流扩散问题常常失效，会出现较 大的数值扩散或数值振荡等现象，其根本原因就在于对流项的存在。针对对流 占优扩散问题这一数值求解困难，许多作者研究了不同的方法。例如，j d o u g l a s 等提出的特征线差分和有限元方法o ”、基于修正等价偏微分方程的差分方法1 、 待定系数法等。 j d o u g l a s 等提出的特征线差分和有限元方法是一类很有效的方法。这一方 法是沿着特征方向( 流动方向) 对时间离散，利用对流扩散问题的物理力学性 质，有效地克服了数值振荡，尤其对“对流占优”问题，特征法有突出的优越 性。而特征差分格式的成功与否，关键在于插值方式的选择。线性插值可以避 免数值振荡，但却有较大的数值扩散。普通的二次l a n g r a n g e 插值可以减少数 值扩散，但却有严重的数值振荡。高阶单调插值虽然可以避免数值振荡，减少 南京航空航天大学硕士学位论文 数值扩散，但一般计算量偏大。为了提高计算的精度，陆金甫、由同顺、秦新 强、田振夫、程爱杰等人对特征差分法进行了修正和改进，提出了精度更高的 特征差分算法。 求解对流占优问题的另一有效数值解法就是基于修正等价偏微分方程的差 分方法。修正等价偏微分方程是1 9 7 4 年w a r i m i n g 和h y e t t 提出的，利用这一 方法可以简单直接地判断差分格式的误差，同时可以提出精度更高的有限差分 格式。m e h d id e h g h a n 以修正等价偏微分方程为基础，构造了若干求解常系数对 流扩散方程的无振荡无数值扩散高精度两层加权差分格式“1 。 另外，待定系数法也是构造高精度差分格式的一个很有效的方法。利用这 一方法，文献 2 0 构造了一系列求解对流扩散方程的高精度差分格式。 在近3 0 年内，关于对流扩散方程离散格式的稳定性与准确性问题的讨论一 直是计算数学中一个活跃的课题。为了找出既稳定又有足够准确性的离散格式， 各国研究者已提出了数以十计的离散格式，并对其中一些主要格式结合某些具 体问题进行过相互比较。但迄今为止，还不能提出一种在稳定性、准确性与经 济性各方面对各类对流扩散问题都较理想的格式。在最近1 0 余年中，已经发展 出一批称为高分辨率组合格式的离散方式，并建立起了相应的分析方法。所谓 的组合格式是指离散格式的定义要根据节点的不同分段进行。从这个意义上来 说，我们把只用一个公式表示的离散格式称为非组合格式。组合格式在稳定性、 准确性方面已经可达到比较满意的结果，但代数方程求解的工作量要比非组合 格式大。 目前，人们提出的数值解法还只能解决带有简单初值条件和边界条件的对 流扩散问题，而大量具有工程实际意义的对流扩散问题，往往都带有复杂初值 条件和边界条件，如何求解带有复杂初值条件和边界条件的对流扩散问题还需 要进一步研究。 1 3 本文的工作 对流扩散问题最常用的数值方法之一是特征有限差分方法“，其中最具代 表性的当属基于线性插值的特征差分格式，该格式在空间上的精度只能达到一 阶，数值扩散较大。作为提高数值模拟可靠性保证的有效途径之一就是在保持 原有差分格式结构不变的前提下，改善数值方法的精度。作者在第二章利用修 对流扩散方程的特征差分格式 正技术”“，先对微分方程进行一定的修改，然后从修正的微分方程出发，根据 己发展的二阶微商三次样条四阶逼近公式。“，采用线性插值方法，提出了数值 求解对流扩散方程的特征差分格式。数值试验结果表明，该方法可以很好地解 决对流占优的扩散问题。 求解对流扩散问题已有很多显式和隐式差分方法。显式方法很适合于并行 计算，但由于稳定性条件的限制，必须采用非常小的时间步长来计算。隐式格 式一般无条件稳定，但在每一时间层上要求解线性方程组，实现并行计算有一 定困难。d j e v a n s 和a r b a b d u l l a b 口3 。2 盯巧妙地利用s a u l y e v 非对称格式， 设计了适合于并行计算的交替分组显式( a c e ) 方法。张宝琳等“3 又提出了交替 分段、分块的显一隐方法。王文洽”利用第二类s a u l y e v 非对称格式，构造 了扩散方程的一类分组显格式。作者在第三章根据 3 2 中关于扩散问题的方 法，并采用不同于 2 s 的对流项处理方式，给出了对流扩散方程的一类交替分 组显格式，分析了方法的稳定性。数值试验结果表明，方法使用方便，适合并 行计算，并且有较好的精度。 我们知道特征差分格式的成功与否，关键在于插值方式的选择。线性插值 可以避免数值振荡，但却有较大的数值扩散。普通的二次l a n g r a n g e 插值可以 减少数值扩散，但却有严重的数值振荡。高阶单调插值虽然可以避免数值振荡， 减少数值扩散，但一般计算量偏大。作者在第四章、第五章将特征线法和有限 差分法相结合，借助于斜线性插值，分别给出了求解线性和非线性对流占优扩 散方程的一种新的特征差分格式，并研究了算法的收敛性。该算法的优点是特 别适用于求解变系数的对流占优扩散方程，能更有效地消除数值振荡现象。 1 4 本文的主要创新点 近几年，有许多研究是在特征线一有限差分方法的拓展上，尽管这些方法列 非对流占优问题能够产生比较好的效果，但是对于对流占优问题常常失效，另 外，计算的复杂性给广大使用者带来不便处。为此，找出一个简单而实用的差 分格式成为迫切需要解决的问题。 本文的创新点主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 利用修正技术。“，先对微分方程进行一定的修改，然后从修正的微分 方程出发，根据己发展的二阶微商三次样条四阶逼近公式“，采用线性插值方 南京航空航天大学硕士学位论文 法，提出了数值求解对流扩散方程的特征差分格式。 ( 2 ) 利用第二类s a u l y e v 非对称格式给出了对流扩散方程的一类交替分 组显格式。该方法具有并行本性，并且绝对稳定。 ( 3 ) 将特征线法和有限差分法相结合，借助于斜线性插值，分别给出了求 解线性和非线性对流占优扩散方程的一种新的特征差分格式。 对流扩散方程的特征差分格式 第二章对流扩散方程的一种高精度特征差分格式 2 1 引言 对流扩散方程是一类基本的运动方程。它可以描述如质量，热量的输运过 程及反应扩散过程等众多物理现象“。因此研究对流扩散方程的数值解法具有 非常重要的理论和工程应用价值。 对流扩散问题最常用的数值方法之一是特征有限差分方法“，其中最具代 表性的当属基于线性插值的特征差分格式，该格式在空间上的精度只能达n - 阶，数值扩散较大。作为提高数值模拟可靠性保证的有效途径之一就是在保持 原有差分格式结构不变的前提下，改善数值方法的精度。本章利用修正技术。， 先对微分方程进行一定的修改，然后从修正的微分方程出发，根掘己发展的二 阶微商三次样条四阶逼近公式。“，采用线性插值方法，提出了数值求解对流扩 散方程的特征差分格式。数值结果表明，该方法可以很好地解决对流占优的扩 散问题。 2 2 差分格式的建立 本章考虑的对流扩散问题为 宴+ 。宴：。垂 百w 面邓丽 u ( x , 0 ) = ，( x ) ， 0 玉x l ，0 r z “( o ，t ) = g ( r ) ，“( l t ) = ( ，) o x l o f 0 。 首先建立差分网格：x j = j h , = 阮j = 0 , 1 一，正n = 0 , 1 ，满足 d h = l 司 然后对对流扩散方程进行扩散摄动： 一o u + v 丝：船磐， f 2 2 1 一十v 一= 船_ ， i2 一z l 南京航空航天大学硕士学位论文 其中口= i 忐，吃= 芸为网格r e y n o l d s 数。 l + 月4 + ：月。2 2 占 当h 斗0 时，式( 2 2 ) 是逼近式【2 1 ) 的。 令= ( v 。+ 1 ) 12 ，则与算子言+ v 昙相伴的特征方向为： 瓦o = 吉鲁+ i v 夏o ， 于是式( 2 2 ) 可化为 庐鲁：船鲁( 2 - 3 ) 妒瓦2 船万 根据二阶微商三次样条四阶逼近公式，则有 u x x ) j - 1 + l o ( ) ，+ ( ) 川2 等( u - l - 2 u i + u + ) ，( 2 - 4 ) 其中( u 。) ，表示二阶偏导数“。在点，f ) 处的近似值。 由于方程( 2 - 1 ) 在整个求解区域内成立，故在点x = u 一1 ) h ，庐，u + i 弘等三 点上也成立，即 ( 孰= 船斟( 2 - 5 ) ，= 簖l ( _ j 0 2 u 、，( 2 - 6 ) ( 一孰= 船斟+ 1 ，( 2 - 7 ) 在第n 时间层上，将式( 2 5 ) 、( 2 - 6 ) 和式( 2 7 ) 相加，并考虑到式( 2 4 ) ，可 得 ( 筹l 圳( 庐罟 ：弋r 瓦o u ) j 川“= 丁1 2 a ! e h r 。一：u ，n + ) ，( 2 - 8 ) 设由点a ，( ，+ 1 ) 、a ：( 巧，+ 。) 和a ，( 强，乙+ ，) 出发，沿反特征方向与直线 ，= 交点分别为b l ( i 乙) 、b ：( i ) 和b 3 ( i ) 其中i = 每。刑，i = _ 一r v ， 军：x 。一r v ( 如图2 1 所示) 。 对流扩散方程的特征差分格式 j 0 1 j - 1 图2 1 特征差分嘲格 对式( 2 8 ) 中的沿特征线的方向导数用向后差商逼近，得： 盟n + l n + 1 0 堡a + l 二! - - “n 型二亟! = 1 2 c 暇型兰尘堕，( 2 - 9 ) frrh 。 式中u 一；、彩、曰分别为对“( i f 。) 、“( i f 。) 、“( i o ) 用u ( x , t 。) 的近似值 u 对插 值逼近得到的值。当f = o ( 4 ) 时，格式( 2 9 ) 在空间方向上达到四阶精度。 有时，自a 。逆着特征方向到前一时间层之前，可能己到边界( 如图2 2 所 示) ，这时候有： 呸型墅+ 1 0 堡n + l 二生- - n + u 型n + l 型= 1 2 r z g 型二! 挲鲨，( 2 - 1 0 ) 其叫( j - - 1 ) h 叫b 艚边值条件绌巾沪小+ 1 ) r 一学 j 髟 一 k 图2 2 边界结构一 有时，自a ；、a 。逆着特征方向到前一时间层之前，可能已到边界( 如图2 3 所示) ，这时候有： 掣n+lt 譬掣+ 华地簖学( 2 - 1 1 ) 其中乍学，喾叫b ，) 叫蚴由边值条件继啦) = 卜学 ， 南京航空航天大学硕士学位论文 “( b ：) t ：( n + 1 ) 譬 鹦 髟 多 一 墟 形 图2 3 边界结构二 有时，自a 。、a ：、a 3 逆着特征方向到前一时间层之前，可能已到边界( 如图 2 4 所示) ，这时候有： 霉掣观傩竖竿盟( 2 - 1 2 ) 其中：立喾，呓：等，：立专业，。( b ：) 、。( b ：) 、。( b ；) 由边值条件给出 vvv 巾护水州r 一学卜耻蜀( 咖一警 叫耻r 一学 t = ( n + 1 ) 上 髟 ll剐 l 且； 图24 边界结构三 式( 2 9 ) 中的“( i ) 、“( i 。) 、“( 量) 用线性插值来逼近，就得到如下特 征差分格式： 型：巳堕：! 尘盟堕 枷鲨二巳坠! ! ! 二望坠 +!一=挚：。孔糟三墨!二三江，：，一：213 热p = 一阿黜娜，这啦k 等的整数骱 学 华 对流扩散方程的特征差分格式 设，2 船矿t ，式( 2 - 1 3 ) 也可以写成 ( 1 - 1 2 r ) 吲+ ( 1 0 + 2 4 ，) + ( 1 一l 孙) 吲 + 0 0 一9 p ) u ；j - k + ( 1 一p ) 互。 p 一z + ( 1 + 9 p ) u ；j _ “( 2 - 1 4 ) ，= 2 ，j 一2 ， 下面用f o u r i e r 方法来分析上述差分格式的稳定性。格式( 2 1 4 ) 的增长因 子可以表示成如下形式： g ，玎邮面而m sc 砑( 2 - 1 5 ) 1 0 2 c o s 2 4 r ( 1 c o s 3 + 卢+ 一 口) 式中：f 为虚数单位，m ；为对“( i ) 、“( i o ) 和“( i ) 进行插值计算时f o u r i e r 变换的因子。不难求得： m ；= p e 。4 + ( 1 + 9 p k + ( 1 0 - 9 p ) + ( 1 一p ) e 啦 ( 2 - 1 6 ) 由式( 2 1 5 ) ，有 i 1 = 肝丽兴b ( 2 - 1 7 ) 因为0 墨p 告，其中o p 1 ( 2 - 1 8 ) 厶 2 3 数值实验 为了说明本章给出的方法可用于对流扩散方程的计算，并有据可比，我们选 用了与文献 2 3 相同的算例。定解问题 南京航空航天大学硕士学位论文 詈+ t 罢= s 等，乱a xa 一。 u ( x ，0 ) = 0 ， , 4 0 ，f ) = o ，“( 1 ，f ) = 1 0 x 1 0 t 0 o x 1 ( 2 1 9 ) 0 f t 的精确解是d 虬 小一= 锗+ m 宝= t 羔e k ( x - t ) , 2 5 s i n ( m 桫耐m ”( 2 - 2 0 ) l 惭j + 怯j 以下我们把直接根据二阶微商三次样条四阶逼近公式基于线性插值的特征差分 格式称为格式( a ) ，把一般的基于线性插值的特征差分格式称为格式( b ) ，把本 章的格式f 2 1 4 ) 即先采用修正技术再根据二阶微商三次样条四阶逼近公式基于 线性插值构造的特征差分格式称为格式( c ) 。对此分别采用格式( a ) 、格式( b ) 和 格式( c ) 进行了计算，计算结果分别列在表2 1 和表2 2 中。 表21 = 1 os = 1 or = o o 。4 = o 0 2 r = 芸= o 0 1 f = 。4 时的数值结果 b ，) 格式( a )格式( b ) 精确解 数值解绝对误差相对误差数值解绝对误差相对误差 500 6 0 4 3 000 0 0 2 9 l0 0 0 4 8 3 90 0 6 0 4 3 l00 0 0 2 9 20 0 0 4 8 5 500 6 0 1 3 9 1 001 2 7 2 600 0 0 5 400 0 4 2 6 10 1 2 7 2 600 0 0 5 40 0 0 4 2 6 l01 2 6 7 2 1 50 2 0 1 2 800 0 0 7 60 0 0 3 7 9 00 2 0 1 2 80 0 0 0 7 60 0 0 3 7 9 002 0 0 5 2 2 0o 2 8 3 3 30 0 0 0 9 200 0 3 2 5 80 2 8 3 3 30 0 0 0 9 20 0 0 3 2 5 802 8 2 4 1 2 503 7 4 3 300 0 1 0 10 0 0 2 7 0 50 3 7 4 3 40 0 0 1 0 20 0 0 2 7 3 20 3 7 3 3 2 3 004 7 5 2 70 0 0 1 0 40 0 0 2 1 9 30 4 7 5 2 8o 0 0 1 0 50 0 0 2 2 1 404 7 4 2 3 3 50 5 8 7 1 800 0 0 9 70 。0 0 1 6 5 50 5 8 7 1 80 0 0 0 9 70 0 0 1 6 5 50 5 8 6 2 1 4 00 7 l l l 500 0 0 80 0 0 1 1 2 6o 7 l l l 50 0 0 0 800 0 1 1 2 60 7 1 0 3 5 4 508 4 8 3 40 0 0 0 4 80 0 0 0 5 6 60 8 4 8 3 500 0 0 4 90 0 0 0 5 7 808 4 7 8 6 表2 2 女：1 os ：o 0 1f ：o 0 0 4 ：o 0 2 咒：兰：1 r _ o 4 时的数值结果 2 【，b ，) 数值解 精确解 格式( a )格式( b )格式( c ) 。2 2 3 3 6e 一0 2 8l _ 1 6 9 le 一0 2 42 9 5 9 2e - 0 4 041 2 0 6 e 一0 4 0 对流扩散方程的特征差分格式 表2 2 ( 续) 女：1 0 占：o o lr ：o ，0 0 4a ：o 0 2r a ：_ k h ：l f ：o4 日j 自q 翁累 2 j b ，) 数值椒 精确解 格式( a )格式( b )格式( c ) l o17 4 6 4e - 0 2 41 4 4 9 6e 0 2 l65 5 2 6e - 0 3 690 2 4 8e - 0 3 6 1 581 8 1 2e 一0 2 l1 3 6 8 4e 一0 1 8l4 4 3 7e 一0 3 ll9 8 8 7e 一0 3l 2 022 0 7 4e0 1 796 7 3 9e 一0 1 63 1 7 9 9e - 0 2 74 4 4 6 5e 一0 2 7 2 533 9 5 le 一0 1 460 8 3 9e 一0 1 369 9 7 7e 一0 2 3l _ l l l 7e 一0 2 2 3 03 0 5 9 5e 一0 l l2 0 0 9 7e - 0 1 01 7 4 6 7e - 0 1 83 2 7 9 9e 0 1 8 3 5l _ 7 6 0 1e - 0 0 86 2 5 0 4e - 0 0 86 9 5 6 8e0 1 488 6 6 7e - 0 1 4 4 07 5 4 8 7e - 0 0 61 ，6 5 9 2e - 0 0 52 1 4 8 0e - 0 0 920 5 30 e 一0 0 9 4 50 0 0 2 8 6 3 80 0 0 4 1 0 7 953 7 9 7e - 0 0 545 3 9 7e 一0 0 5 数值结果表明：用格式( a ) 求解非对流占优扩散问题时，无数值振荡，数值 扩散小，具有较高的精度。而对于对流占优扩散问题，采用本章的格式( 2 1 4 ) 即 格式( c ) 是有效的，无数值振荡，由于利用了修正技术，减少了数值扩散，提 高了计算的精度。本章对对流扩散方程给出的特征差分格式明显优于一般的基 于线性插值的特征差分格式。 2 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章求解对流扩散方程的一类交替分组显式方法 3 1 引言 本章考虑的对流扩散问题为 害+ 岛罢= d 嘉， u ( x ，0 ) = ，( x ) ， o x 三o t t u ( o ，f ) = g l ( ) ，u ( l ，f ) = 9 2 ( f ) 0 x 三， o t o ，矩阵g 非负实阵，则 i i ( ，+ ，g ) - 1 | | ：茎t ，1 1 ( ，一，g x ，+ ，g ) 。l l ：1 定理3 1 求解对流扩散问题( 3 1 ) ，( 3 - 2 ) 和( 3 - 3 ) 的交替分组显式方法 ( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 年d ( 3 1 5 ) 是绝对稳定的。 证明：容易知道，交替分组显式方法( 3 1 2 ) 的增长矩阵为 g = c ，+ r g ：) 。1c ，一r g l ) u + r g 。) 。1 0 一r g ：) ， 定义g = ( i + r g ：) g ( + r g ：) ，则g 和g 相似，故它们具有相同的特征值，因此 ：= ：墨炉，g x i + ，g 。凡肛一，g ：+ r g ：) 。卜， 可见，交替分组显式方法( 3 1 2 ) 是绝对稳定的。 类似可证，交替分组显式方法( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 和( 3 - 1 5 ) 也是绝对稳定的。 3 4 数值例子 为了说明本章给出的方法可用于对流扩散方程的计算，并有据可比，我们选 用了与文献 2 3 相同的算例。定解问题 生o t 尝嚣，缸敏 u ( x ，0 1 = 0 ， 0 x 1 ，0 r 0 ， “( o ，f ) = o ，“( 1 ，f ) = 1 ， 的精确解是汹1 o 工 1 ( 3 1 6 ) 0 m a x 口b ) ，c g ) c 0 0 。 记算子c b ) 罢+ 6 g ) 豢的特征方向为旯：兄( z ) ，则特征方向导数定义为 嘉= 志 c b ) 鲁+ 6 0 ) 昙l ，这里矿g ) = b g ) 2 + c g ) 2 j ”。这时，式( 。一z ) 中的 第一个方程可写成下述形式： ( x ) 考一昙 a ( x ) 罢i = s ( x ，如o x 三，o 0 ，节点0 = 加，= o ，1 ，m = 【l h 】，时间步长r 0 ， 节点f 。= n r ，n 2 0 ，1 ，”= 0 , 1 ，n = 【t r ，沿特征线异只作如下差商离散： ( 黔办学， ( 4 _ ，) 这里x ，r ) 为点只的坐标，t = x ，一b y f c ，= b ，) 。再令c ，= c b ，) ， 对流扩散方程的特征差分格式 旷蝴旷“b a 川，m 删由锱= 网t p , q i 一丽c j h r 这时r 。= 盯一亍。于是由 局外= 托了了了= c ， 可以写出( 4 - 3 ) 式的精确表达式 ( 一辨办学中 c ，h + b ，r “g ，) 一“g + ) 式中r ? 为局部截断误差，记二阶中心差商 + ，( 4 - 4 ) 占：l b ，) 】= 去 。，。! ! ：型掣一a ，一。，：兰i 生挚 并对扩散项用二阶中心差商来逼近 鼠g 嘶= 棚 其中巧“为二阶中心差商的局部截断误差。这样由( 4 - 4 ) 、( 4 - 5 ) 式便得 c j h + b ，fu ( x ，t 。) 一“0 t ) hf 其中 r ：= r i 七， 仁心割一坐竽。 d 一 九 k g 。) 】= 刀一r ； “b ，o ) 一“x ，f ) ( 4 - 6 ) ( 4 7 ) ( 4 - 8 ) 爵。剀一。，( 4 - 9 ) 略去( 4 6 ) 式中的彤，则得到求解初边值问题系( 4 1 ) 的特征差分格式 半半一m 坼 川：x j ) ， ，= o ，1 ，2 ，尬胛= 1 ，2 ，( 4 - 1 0 ) u ；= g 。( ) ，= g ：( t n ) 一一 亘塞堕至塑墨奎堂堡圭堂垡笙苎 其中u j 为“x ，f 。) 的数值解。 4 3 斜线性插值 糌瓦1 4 1 0 ) 中的u ：由q 。、只，这两点的值通过斜线性插值得到，令 = w ( e ，r + ) ，其中w b ，f ) = 妙二。，u j 一1 虹，r ) 表示用插值数据矽二l ，u ，n t 求得的 线性插值函数。其中，为线性插值算子。其结果如下： 啦舻心。) = 网i q o e , i + 网i p _ , p , i ，( 4 - 1 1 ) 其中 丽tqop=蹦=熹，(4-12)qq c t = _ t = i 一， f p - lo ifop o i i h + b s f 。 】只t 引一，j q o 只 c ，h 丽叫一两2 万可 将( 4 1 2 ) 、( 4 1 3 ) 式代入( 4 1 1 ) 式，得 仰纠n 。乒丽b y r d 吒+ 羔 亦即 啦卫c l h + b j r + 蔫 将( 4 1 5 ) 代入( 4 1 0 ) 式便可得到具体的数值计算格式为 华蔫啊蒜圳删= 即 巳华+ 屯华一m ： 4 4 收敛性分析 对于固定的n 和，定义光滑函数“”g ) 的如下范数 ( 4 - 1 4 ) 2 3 对流扩散方程的特征差分格式 i 。= m 叫“( 列j m l 。= m 陆j ， 卜嵯矧。 蚓卜l 。+ 善m 斛( 9 i b l nl。 引4 妒“o l l 。h 砍2 , ：i 三： ( 4 娟) 利用带积分余项的t a y l o r 公式可计算出 = ( 一耕一c j h + b j r 掣= 焘一圳， 这里l 筹i 是“沿线段蜀只的二阶切向导数在r 只上某点的值，结合( 4 7 ) ， ( 4 1 6 ) 及( 4 - 1 7 ) 式，便有 恻o + 1 1 珈一卜 墨恻“m 。一卜 当“c 3 - o o ，+ 。) 日寸， ( 4 1 8 ) 当“”c 4 ( _ o 。，+ ) 日寸， 其中t 为正常数，忙丽- ”= m a x 旧2 “i 令p ；= “x , jf 。) 一u ；，则由( 4 6 ) 与( 4 1 1 ) 式得到误差函数所满足的方程 ( 4 1 9 ) 其中e ：= “b 。) 一w ( x 。，f 。) ，这样由0 9 ) j ： e ；一赤h ：e a 屯粥w z 磅+ a j _ l 2 9 批e ：一c j h 且+ b f f 月j r - 对于已固定的n ，设e 如n = 孕阿1 o 则在，2 。处。，畦e 工；一【口，+ + a 一 ；一一e 二l o ， 于是推胍e 二e 二一万h 可胄进而得戮n2 甲悱”杷 ，从而 有： 华 瓮 南京航空航天大学硕士学位论文 m 警蚓m 警蚓+ m 。m a x l r ；t ，( 4 2 0 ) 此处m - 为正的常数。下面讨论如何用m a x 阿。i 黼a x l e ；i ，进而由式( 4 2 0 ) 导出m 警阿。l 与m 警k l 之间的递推关系式。由于： e = 如，t ) 一如，f ) = 如，t - 4 扩j - 1 ，u l k ，f _ ) = 如，r ) 一。f 如，o 溉，f ) + 地。 l 如，o 敝，f ) 一五睐，吁1 k ，f ) ( 4 2 1 ) = 可+ e - 1 ，哼1 k ，f 1 由式( 4 1 5 ) 及式( 4 - 2 1 ) 可得 孕协甲酬+ 羔甲伊n | + 纛甲阿 将式( 4 2 2 ) 代入式( 4 2 0 ) 得到 甲悱甲伊i + 竿叫彳m 叫彤卜 ( 4 - 2 2 ) ( 4 - 2 3 ) 这里还需估计斜线性插值误差， 阿i = 卜g ) 一乜b 川 l “0 ， 一肌，f 1 = 将p 姚i 卜剖阱 。_ 2 4 其中p 表示直牡啪方向，( 害) ：表示沿线姐胁的二阶切向导数在 尸一，a o 上某点的值。则当h = o ( f ) 时，由( 4 2 4 ) 式可估计出 乎l 彳1 啦h 蹴一剖虹 式中m ：为正的常数。将式( 4 2 5 ) 代入式( 4 2 3 ) 得 ( 4 - 2 5 ) r 肌 一0 l v 、厶 三、 ，f白 一 、jg “ = 可 中： 式到 之 旧 萋、 打 叫 钟岬 一专力飘m h。吖n鸠塑驴华刊卜k 矿 驴眇啪 卜 矿 叫 彤甲 对流扩散方程的特征差分格式 令q = h 雕+ 。i 劳l ( c ， + 6 ，) + 乎忙j i 注意到e ，o = o ，则由式( 4 2 6 ) n - 得- 递推式 m a ，x l e ， ! i 0 的情形；当屯 0 时，可类似进行讨论并得出相应的 4 5 数值例子 考虑定解问题 塑o t + 七塑o x = 占鲁o x ， 2 。 u ( x ，0 1 = o ， u ( o ，f ) = o ，“( 1 ，t ) = 1 ， 0 z 1 ，0 t 0 ， o 工 1 ( 4 一z s ) 0 f t 其精确解是m 1 如f ) - 两e n ! - i + 耋盂耨8 n 1 ) h 咖泓b 帕晰( 4 _ 2 9 ) 我们分别采用基于本章的斜线性插值以及相应的双线性插值和文【1 6 】中的线性 南京航空航天大学硕士学位论文 h = 0 0 2 两种情况下计算r = o 3