（计算数学专业论文）特殊三角剖分上的多元样条及其应用.pdf

特殊三角剖分上的多元样条及其应用 摘要 多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计和有限元等领域中均有很 广泛的应用在本文中，我们一方面继续研究某些有根重要应用价值的特殊三角削分上 的多元样条，着重讨论了均匀2 型三角剖分上样条空间的性质同时也考虑了一般三角 化四边形剖分和三维空问中四面体剖分的情况另一方面积极地将多元样条理论方面 获得的结果应用到实际工程中，如计算机辅助几何设计和有限元方法主要二l ：作如下： 在第二章中我们讨论了2 型三角割分上异度样条空问的性质考虑当剖分是均匀 的情况，这种剖分是一类特殊的贯穿剖分，也称为四方向剖分，因为其结构简单，对称性 好，在实际中有很广泛的应用为了摆聪刹划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式 的限制，考虑分别在矩形剖分线和对角剖分线上采用不同的光滑度。从而获得了更多样 条空问上的丰富结果我们主要讨论了应用比较广泛的三次和四次样条空问的情况借 助光滑余因子协调法，我们构造了各个空问的具有局部支集的样条基函数，并利用这些 基函数构造保持高阶精度的样条拟插值算子，深入讨论了它们的逼近性质，给出了逼近 误差的估计，同时利用拟插值算子讨论了样条空间的逼近阶 在第三章中，我们研究了二元样条函数在计算机辅助几何设计中的应用非均匀 有理b 样条( n u r b s ) 方法已经成为用于曲线曲面描述的广为流行的技术但是，采用 张量积形式的传统n u r b s 方法也存在一些不足其一，由于基函数是一元b 样条基 的张量积，使得其参数域只能是矩形区域而对于非规则的参数域，只能由矩形域上 的n u r b s 曲面经过裁剪和拼接得到但是，一方砸裁剪是昂贵的，而且有数值误差； 另一方面，要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的平滑也是困难的从控制顶点 的角度看，张量积型的基函数使得控制顶点在拓扑上必须位于矩形网格上这意味着， n u r b s 曲面的大部分控制顶点的存在只是为了满足这种拓扑约束，它们并不含有特 别的几何信息，因此是冗余的其二，张量积的基函数使得曲面的次数升高例如，一 张p q 次的b 样条曲面虽然在等参数线上是p 或者q 次的参数曲线，但整个曲面的次数却 为p + 口次代数次数较高的曲面使得与之相关的运算变得更复杂甚至影响曲面的几何 性质，如出现多余的拐点等这些缺陷，都是张量积型曲面本身不能克服的而现阶段 对非张量积型参数曲面的研究只限于三角域( 单纯形) 上的b e r n s t e i n - b d z i e r ( b b ) 曲 面，由于参数域的不同，不可能直接将三角域上的b b 曲面转化到四边形区域上去 为了解决上述问题，我们采用具有局部支集的二元b 样条基函数构造非张量积型 的n u r b s 曲面对于矩形参数域，我们利用冬型三角剖分上各样条空问中的基函数系 统地构造了二次、三次和四次非张量积型n u r b s 曲面由于每个二元b 样条基具有单 独的局部支集，并可以根据各种参数域的形状选取满足相应光滑度和支集形状的样条 基，而且整体次数较低，从而能够很好地克服上述传统n u r b s 曲面由张量积引起的问 题与这些基函数所对应的控制顶点也不再要求必须位于矩形网格上因此，从根本上 突破了张量积型曲面对参数域和控制顶点的拓扑限制曲面除局部性质更好以外，还具 有参数个数少的优点由于二元b 样条基是基于2 型三角割分上分片定义的多项式，对 于不规则的参数域，我们可以直接得到相应的b 样条曲面，而无需先构造矩形域上的曲 a l 大连理工大学博士学位论文 面再经过特别的裁剪得到我们选取具有单位分解性，而且有高逼近阶的样条基函数， 由它们生成的曲面具有许多良好的几何、逼近性质，如几何不变性、仿射不变性及凸包 性质，并且在边界上与张量积型n u r b s 曲面保持了一致性适当地选取节点向量，或 者通过减少b 样条基函数的支集范围，能使曲面的所有边界( 包括对角剖分线) 退化为相 应的n u r b s 曲线或者b 6 z i e r 峨线，使得曲顽具有良好的边界性质，并且可以直接利用 传统n u r b s 曲面中的关于控制顶点与权因子的调节技术来方便地控制曲面此外，通 过对部分b 样条基的分解，可以在曲面的内部对参数域和控制顶点进行局部细化，使得 曲面满足相应的几何性质 在第四章中，我们讨论了样条有限元方法现阶段，样条函数在有限元方法中的应 用多数是一元的b 样条或者张量积型的b 样条，而对于多元样条，只有少数的文献研究 了2 氆! 三角剖分上二元二次b 样条的简单应用。对于三维空间中的金字塔单元至今为 止，还没有构造出同时满足协调性和非奇异性条件的多项式单元形状函数 我们提出利用样条的方法，通过降低单元内部的光滑度，构造一族具有高精度的样 条单元来解决这一问题首先，我们利用三角化四边形剖分上保持2 次精度的二元二次 样条函数构造了一种新的四边形上的8 节点样条元将任意凸四边形单元转化为四个满 足内部c 1 连续的三角形单元，在每个三角形单元上采用面积坐标的b 网表示方法，使得 单元函数同时具有了对剖分适应性强、精度高、计算简便等优点我们通过弹性力学 中的一些算例对其进行数值实验，得到了满意的结果继续这一思路把三维空间中的 金字塔单元和六面体单元分解为几个满足内部某种连续条件的四面体单元，在每个四面 体单元上采用体积坐标的b 网表示方法我们得到了两种新的1 3 节点金字塔单元和2 1 节 点六面体单元这些单元的形状函数都是保持2 次精度的三元二次样条，它们满足协调 性，并且完全克服了顶点处的奇异性和多值 关键词：多元样条；2 - 型三角捌分；拟插值算子；n u r b s ；样条有限元 特殊三角剖分上的多元样条及其应用 a b s t r a c t m u l t i v a r i a t es p l i n e sa r ea p p l i e dw i d e l yi na p p r o x i m a t i o nt h e o r y , c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g na n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i n t h i st h e s i s ，w es t u d ys o m e i m p o r t a n ts p l i n es p a c e sd e f i n e do ns p e c i a lt r i a n g u l a t i o n s w e f o c u so nu n i f o r m t y p e - 2t r i a n g u l a t i o n ，t r i a n g u l a t e dq u a d r a n g u l a t i o n a n ds o m e s p e c i a lt e t r a h e d r a l e l e m e n t si n3 d m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rt h ea p p l i c a t i o no ft h o s es p l i n e si nc a g d a n df e m 。t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s ss o m es p l i n es p a c e so nu n i f o r mt y p e - 2t r i a n g u l a - t i o n i ti sas p e c i a lc r o s s c u tp a r t i t i o n ，o raf o u r - d i r e c t i o n a lm e s h ，w h i c hi s u s e dw i d e l yb e c a u s eo fi t ss i m p l ec o n s t r u c t i o na n dg o o ds y m m e t r y w jc o n s i d e rd i f f e r e n ts m o o t h n e s so nd i f f e r e n tg r i ds e g m e n t s b yu s i n gt h es m o o t h i n g c o f a c t o r 。c o n f o r m a i i t ym e t h o d ，w e o b t a i ns p l i n eb a s e so fc u b i ca n dq u a r t i cs p l i n e s p a c e s 。r e s p e c t i v e l y 。f u r t h e r m o r e t h ec o r r e s p o n d i n gq u a s i - i n t e r p o l a t i o no p e r 。 a t o r sw i t hh i g ha p p r o x i m a t i o np o w e ra r ec o n s t r u c t e d ，a n dt h e i ra p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tak i n do fb i v a r i a t eq u a d r a t i c ，c u b i ca n dq u a r - t i cn u r b ss u r f a c e sb yu s i n gt h eb i v a r i a t eb - s p l i n eb a s e ss y s t e m a t i c a l l y a sw e k n o w ，t h en o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e s ( n u r b s ) h a v eb e c o m e t h es t a n d a r d f o rt h er e p r e s e n t a t i o n ，d e s i g n ，a n dd a t ae x c h a n g eo fg e o m e t r i ci n f o r m a t i o np r o c e s s e db yc o m p u t e r s u s u a l l y , t h en u r b ss u r f a c e sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h e t e n s o rp r o d u c tb s p l i n e s f o re x a m p l e ap qb s p f i n es u r f a c ei so fd e g r e ep o rqi nt h euo r d i r e c t i o n h o w e v e r ，i ts h o u l db eas u r f a c eo fd e g r e ep + q i no t h e rw a y s a sar e s u l t ，t h ec u r v e so nt h es u r f a c ea r eo fh i g hd e g r e e ，a n d t h e r em a yb es o m ei n f l e c t i o np o i n t so nt h es u r f a c e b e s i d e s ，as e r i o u sw e a k n e s s w i t hn u r b sm o d e l si st h a tn u r b sc o n t r o lp o i n t sm u s tl i et o p o l o g i c a l l yi na r e c t a n g u l a rg r i d t h i sm e a n st h a tt y p i c a l l y , al v _ r g en u m b e r o fn u r b sc o n t r o l p o i n t ss e r v en op u r p o s eo t h e rt h a nt os a t i s f yt o p o l o g i c a lc o n s t r a i n t s t h e yc a r r y n os i g n i f i c a n tg e o m e t r i ci n f o r m a t i o n t h en u r b sc o n t r o lp o i n t sa r e ，i nt h i s s e n s e ，s u p e r f l u o u s i no r d e rt or e s o l v et h e s ep r o b l e m s ，w ec o n s t r u c tak i n do fn o n t e n s o rp r o d u c tn u r b ss u r f a c e sb yu s i n gt h eb i v a r i a t eb s p l i n eb a s e s t h en e ws u r f a c e sa r e o fl o w e rd e g r e et h a nt h ed e g r e eo ft h eu s u a ln u r b ss u r f a c e s m e a n w h i l e ，t h e f o r m e rr e t a i n sm a n y g o o dp r o p e r t i e sa n dc o n s i s t e n c yw i t ht h el a t t e r s i n c et h e b - s p l i n eb a s e ss a t i s f yt h ep a r t i t i o no fu n i t ya n dh a v eh i g ha p p r o x i m a t i o np o w e r ， t h e s es u r f a c e sh a v ec o n v e xh u l l p r o p e r t y a n dt r a n s f o r m a t i o n i n v a r i a n c e ，a n da l s o h a v eg o o da p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e s e s p e c i a l l y ，e a c hb i v a r i a t eb - s p l i n eb a s ei s ap i e c e w l s ep o l y n o m i a la n dh a si t ss i n g l es u p p o r tb a s e do nt h et y p e - 2t r i a n - 一奎垄堡三查堂堡主堂堡垒奎 g u l a t i o n s o t h es u r f a c e sc a j l b ec o n s t r u c t e do ni r r e g u l a rp a r a m e t r i cd o m a i n s w i t h o u tt r i m m i n g f u r t h e r m o r e ，t h eb o u n d a r i e s ( i n c l u d i n gd i a g o n a lg r i ds e g m e n t s ) o f t h eb i v a r i a t en u r b ss u r f a c e sa r eu n i v a r i a t en u r b s o rb d z i e rc u r v e s w i t hc o r r e s p o n d i n gc o n t r o lp o i n t s 。s ot h a tt h es u r f a c e sh a v es i m i l a rp r o p e r t i e s t ot h o s eo fu s u a ln u r b ss u r f a c e s ，a n dt h es u r f a c e sc a nb ec o n t r o l l e dc o n v e - n i e n t l ya sw e l l m o r e o v e r ，t h ec o n t r o lp o i n t sc a nb el o c a l l yr e f i n e db yu s i n g t h e d e c o m p o s i t i o no fb s p l i n eb a s e s i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h es p l i n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d u pt on o w ， t h eu n i v a r i a t cb s p l i n e sa n dt e n s o rp r o d u c tb s p l i n e sa r ec o n s i d e r e di nf e m h o w e v e r ，a sf o rm u l t i v a r i a t es p l i n e ，t h e r ea r eo n t yaf e wp a p e r sw h i c hs t u d i e d t h es i r e p l e a p p l i c a t i o no ft h eb i v a r i a t eq u a d r a t i cb - s p l i n e sd e f i n e do nt y p e - 2 t r i a n g u l a t i o n b e s i d e s ，f o rp y r a m i de l e m e n ti n3 dc a s e ，e l e m e n ts h a p ef u n c t i o n i nt e r m so fp o l y n o m i a l ，w h i c hs a t i s f i e sb o t hc o m p a t i b i l i t ya n dn o n - s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n s ，h a sn o tb e e nc o n s t r u c t e d b yu s i n gt h eb i v a r i a t eq u a d r a t i cs p l i n e so nt h et r i a n g u l a t e dq u a d r a n g u l a - t i o n ，w ec o n s t r u c tan e w 8 - n o d eq u a d r i l a t e r a le l e m e n t ，w h i c hr e p r o d u c e sp o l y - n o m i a l so f d e g r e e2 t h ec o m p u t a t i o n i ss i m p l i f i e dg r e a t l yb yu s i n gt h e i rb d z i e r c o e f f i c i e n t so ne a c ht r i a n g l ec e l l s o m ea p p r o p r i a t ee x a m p l e sa r ee m p l o y e dt o e v a l u a t et h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e de l e m e n t ，a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r e s a t i s f i e d f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c t1 3 - n o d ep y r a m i de l e m e n ta n d2 1 n o d eh e x a h e d r a le l e m e n ti n3 db yp a r t i t i o n i n gt h e mi n t os e v e r a lt e t r a h e d r a le l e m e n t s w i t hs o m ec o n t i n u o u sc o n d i t i o n s t h ee l e m e n ts h a p ef u n c t i o n sa r et r i v a r i a t e q u a d r a t i cs p l i n e sw h i c hr e p r o d u c et r i v a r i a t ep o l y n o m i a l so fd e g r e e2 m o r e - o v e r ，t h e ys a t i s f yb o t hc o m p a t i b i l i t ya n dn o n s i n g u l a r i t yc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e ；t y p e 一2t r i a n g u l a t i o n ；q u n s i - i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r ；n u r b s ；s p l i n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d a 4 特殊三角剖分上的多元样条及其应用 1 绪论 我们先在第一节中对多元样条函数的研究概况进行简单的介绍。而后在第二节中对 本文的工作给出扼要的概括 1 1多元样条函数简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项 式函数1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条函数的理论基 础( 【6 s ) 但是，s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展，样条函数也褥到了迅速的发展和广泛的应用。鉴于客观事物的 多样性和复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用上都有着t 分重要的意义现在，它在函致逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波 等领域中均有较为重要的应用一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子西 调法、b 网方法及多元b 样条方法下面我们分别对它们做简要的介绍 1 1 1光滑余因子协调法 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g ，b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研 究并建立了系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a r t e s i a n 乘积型多元样条 虽然有定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简 单推广 1 9 7 5 年，王仁宏在文【1 1 中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下多元 样条函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法( s m o o t h i n gc o f a c t o r c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) 从这种基本观点出发多元样条函数的任何问题均可转化为 与之等价的代数问题来研究 设d 为二维e u c f i d 空间r 2 巾的给定区域以峨记二元k 次实系数多项式集合： kk t p 女：= p = ：c i j x 矿j 。对r 扛0 = 0 一个二元多项式p p 竹称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多 项式可以整除它( 在复域中) 代数曲线 r ：z ( o ，y ) = 0 ，f ( z ，y ) ， 称为不可约代数曲线，如果z ( z ，) 是不可约多项式显然直线是不可约代数曲线 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分。将剖分记为，于是d 被分为有限个 子区域d t ，d 2 ，d ，它们被称为p 的胞腔形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线 的交点称为网点或顶点若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点是相邻嘲点 我 f 】将链于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界弼点如果条网线的内部属 于区域d 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线 对区域d 施行剖分以后，所有以某一网点v 为顶点的胞腔的并集称为网点y 的关联 区域或星形区域，记为s t ( v ) 大连理工大学博士学位论文 多元样条函数空问定义为 彤( ) ：= s ( d ) is l d 。政，i = 1 ，) ， 事实上，5 雕( ) 为一个在d 上具有p 阶连续偏导数的分片次多项式函数 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏在文 1 中指出了多元样条函数光滑连接的内 在本质表现为如下定理： 定理1 1 ( 1 1 ) 设2 = s 如，g ) 在两相邻胞腔戗和d j 上的表达式分别为 z = p l ( x ，y ) 和z = p j ( x ，g ) ， 其中弘( z ，岛扛。们取，为使s 扛，y ) ec ”( 面i 丐巧) ，必须且只须存在多项式蚧江，) 畋一f “+ 1 ) d ，使得 p i ( x ，y ) p j ( x ，y ) = ( z ，) 1 时1q l j ( x ，) ，( 1 1 ) 其中瓦与瓦的公共网线为 ：b ( 。，y ) = 0 ，( 1 2 ) 且不可约代数多项式 t = ( 。，) 耽 由定理1 1 中( 1 1 ) 式所定义的多项式因：j i q i j ( x ，) 称为内网线r “：k ( 。，y ) = o 上 的( 从口到日的) 光滑余l 习= j = ( s m o o t h i n gc o f a c t o r ) ( 1 ) 说明内网线上的光滑余因 子存在，恒指形如( 1 1 ) 的等式成立 设4 为任一给定的内网点今按下列顺序将过a 的所有内网线 f 。，) 所涉及的 和j 进 行调整：使当一动点沿以a 为心的逆时针方向越过r 1 ，时，恰好是从d ，跨入d ， 设a 为一内网点，定义a 点处的“协调条锌”( c o n f o r m a l l t yc o n d i t i o n ) ：x 3 ( 1 1 芝：峙( z ，) r 1 - ( z ，y ) ；0 ， ( 1 3 ) a 其中a 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而蚰( z ，g ) 为工1 玎上的光滑余因子 设的所有内同点为a 一，a m ，则“整体协调条件”( g l o b mc o n f o r m a l i t yc o n d i - t i o n ) 为( 【l 】) ( z ，g ) r 1 ( z ，y ) i0 ，u = 1 ，m ， ( 1 4 ) 。 其中相应于内网点a 的协调条件之( z ，) 满足( 1 3 ) 所作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架： 定理1 2 ( f l 】) 对给定剖分，多元样条函数s ( z ，y ) e 罐( ) 存在，盛须且只须s ( z ，”) 在 每条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足由( 1 ，4 ) 所示的整体协调条件 壬仁宏还在文嘲中建立了多元样条函数的一般表达形式 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔d 一，d 任意选定一个胞腔，例 如d z 作为“源胞腔”，从d 1 出发，画一一流向图口使之满足： 1 a 流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次； 2 d 穿过每条内网线的次数不多于一次： 2 特殊三角剖分上的多元样条及其应用 3 疗不允许穿过网点 流线0 所经过的内网线称为相应于舀本性内网线，其它的内网线则为相应于e 的可 去内网线显然所谓本性内网线与可去内网线都只是一个相对概念 设：b ( 。，) = 0 为a 的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿舀前进时，只有 越过r ，后才髓进入的所有闭胞腔的并集记作l r ( r 去) ，将从源胞腔出发沿a 前进时，在越 过之前所经过的各闭胞腔的并集记为矿( ) 称u ( r 去) u ( 与) 为网线的“前方”， 记作 ( r 。j ) 定义1 1 ( 【2 1 ) 设：b ( z ，9 ) = o 为相应于流向a 的本性内网线多元广义截断多项 式定义为 训? = 渺0 础m ”：冀参：当泓嗡 ( 1 s ) 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理1 3 ( 1 2 】) 任一s ( z ，口) s ( ) 均可唯一地表示为 s ( 删) = p ) + 瞰删) + q u ) ，( 啪) d ， ( 1 6 ) 0 其中p ( z ，”) n ) 0 s ( x ，口) 在源胞腔上的表达式，o 表示对所有本性内网线求和，而且 沿勰过r t ，的光滑余因子为( z ，) p k p _ 1 在文献【3 】中，王仁宏给出了n 维样条函数的基本理论框架这些结果与上面关于二 元样条的结果类似在专著【8 】和 7 4 】中，详细介绍了光滑余因子协调法在多元样条中的 理论及其应用，包括各种多元样条空间的维数，基函数组，特别是具有局部支集的样条 基函数组等等 1 1 2b 网方法 所谓引嘲方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形j = b e r n s t e i n 表达形式的系 数之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式推j 1 一到二二元情形的 是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理论 的研究，当酋推g f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作g f a r i n 在博士论文中考 虑了多元样条的b 6 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样条的 重要方法之一d eb o o r ，h 6 1 1 i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用此外，中国学 者苏步青、刘鼎元、郭竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但由于 剖分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止， 单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元样条函数空间的 维数问题，多是由b 网方法得到的下面简单介绍二元b 网方法的基本思想，详细内容可 参考【3 2 】和 5 1 】关于面积坐标与b 网方法的具体计算，会在后面的章节中继续介绍 设”h u 2 ，0 3 是三角形d 按逆时针方向摊列的三个顶点，则任意zer 2 可唯一表示为 z = n v l + 力口2 + n v 3 ， 3 大连理工大学博士学位论文 其中，n + 几十伯= l ，并不难得到 d e t ( v 2 一z ，地 。1 一d e t ( v 2 - v l , v 3 o ) d e t ( v l z ，v 3 赤m2 d e t ( v l - v 2 , v a z ) d e t ( v l z ，w 2 一$ ) v 2 ) 乃2 d e t ( v l - v a , v 2 - v 3 ) 称n ，n ，饴为z 关于三角形d 的面积坐标，面积坐标变换具有仿射不变性 令= z 2 一z l ，的面积坐标为f ( ；) = ( 矗“，矗”，矗”) ，i = 1 ，2 ，并记。= ( n 1 ，0 2 ，0 3 ) = r ( 2 ) r ( ”两数，( 。) 的自变量。用面积坐标r 替换后得到的函数仍用，( r ) 表示，替换前后 函数的偏导数与方向导数有如下关系： 晰) = d a f ( r h t 等讹掣+ 岫等， d ：，( r ) = ：b i ( a ) d 3 ，p ) p , l = r 其中，上臻( 下) = 可n l 一= 赢寸1 寸2 寸3 ，a i + a 2 + a 3 = n ，a i z + 称口雾( r ) 为n 次b e r n s t e i n 基 函数其具有如下性质： 1 磁( r ) 0 ，丁占= ? j 1 ，v 2 ，甜3 i 2 ：。磁( r ) ；1 3 耿( r ) ，= n ) 是多项式空问p 。的一组基底 4 毋( 7 - ) 在点r = j 处取唯一极大值 由性质3 可知，任一n 次多项式p 可唯一表示成 p ( r ) = ：6 磁( r ) ， i n = - b a ，j a i = n 称为p ( r ) 关于6 的b 6 z i e r 坐标，插值于 ( i ，6 ) ：i aj = n ) 的分片线性函数称 为p ( r ) 关于6 的b d z i e r 网，简称b 网下述定理显示了b e r n s t e i n 形式的升阶公式 定理1 4 4 e 1 = ( 1 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，0 ) ，一= ( 0 ，0 ，1 ) 6 3 1 2 寿3 m l 川2 n 十1 1 则 6 磁( r ) = | = “ 6 i 1 磁“( r ) 川n + l 窄理1 5 ( d ec a s t e l j o , u 算法) 假设n 次多项式p ( r ) = i j ：。b 研( r ) 若令6 擘( r ) = h ，b 譬( 丁) = ；= 。勺姑= n r ，则 尸( r ) = ：蚶b h r ) ，0 r 5n ， 协 * r 特别地，取r = n ，则得p ( r ) = 6 3 n ( r ) 下述定理给出了n 次多项式尸( f ) 的方向导数 定理1 6 d r p ( r ) = 禹攻1 ( 佃融) 、 i 川= 7 4 特殊三角剖分上的多元样条及其应用 设t 为以 1 ， 2 ，地为顶点的三角形，于为以岔l ，u 2 ，如为顶点的三角形，于与t 有公拭 边啦地两个相邻三角形上的n 次多项式之间的c 7 光滑连接条件为 定理17 设p ( r ) 与声( r ) 分别是定义在相邻三角形丁= i v ，忱， 3 】和于= l ，w 2 ，”3 上 的n 次多项式， h ，l a l = n 和矗，i a l = n 分别是p p ) 和p ( r ) 关于t 和亍的b z i e r 坐标， 则p ( r ) 与芦( r ) 之间光滑拼接的充要条件是 瓦一6 嚣( f ) ，s = 0 ，l ，r ( 1 7 ) 其中，谈 1 关于t 的面积坐标，”= ( s ，a 2 ，a 3 ) ，a o = ( 0 ，沁，a 3 ) ，a 2 + 扎= n s 1 1 3多元b 样条 b 样条方法起源：t - c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一一元样条的工作，是一种定义b 样条的 几何直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多碱体在较低维空间投影的测度 函数一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的1 9 7 6 年d eb o o r 将其推到 多元样条但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究盼泛函形式推广 的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛函形式的推广有多种形式， 如单纯形样条，b o x 样条，锥样条等分别由m i c c h e l l i ，d eb o o r d ev o t e ，d a h m e n 等 人给出与卜面方法相比，b 样条方法对削分的要求更为严格，通常为均匀的剖分下面 我们作一些简单介绍 令v = t 吡，lsi n cr 3 ，其中讧可重复，使得s p a n v = 科多) a b 样条m 。( x l v ) 定 义为 7 m 。( z w ) f ( x ) d x = 卜( t ) ，( t _ ! v i ) d t ，v f c o ( r 8 ) j r ，0 ：二i 其中d t = d t l d t 。，0 为彤的凸区域 若取w ( t ) = n ! ，q = p ，则由此定义的b 样条就是m i c c h e l l i 弓i 入的单纯形样条，记 为m ( x l v ) 若取w ( t ) = 1 ，q = 一l 2 ，1 2 1 “且。簪v 则由此定义的b 样条就是d eb o o r - d e v o r e 弓i 入的b o x 样条，记为b ( z i y ) 若取w ( t ) = l ，q = r ! 且。隹v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 弓f 入的锥样条， 又称为多元截断幂，记为r v 1 下面以b 0 x 样条( 【3 3 】) 为例，介绍多元b 样条的基本性质 定理1 8 b o x 样务b ( 圳y ) 具有如下性质： 1 s u p p b ( x l v ) = ：l t ；饥i 一 t i ； ； 2 b ( x l 矿) 的函数值非负，且在支集内部严格大于0 3 b ( x l y ) 是次数不走于n s 的分片多项式 4 令p = m i n n ( v ) l s p a n ( x v ) 即) 一2 ，则b ( z l y ) 是p 阶光滑的 5 _ b ( z 1 v ) b ( z i w ) = b ( z i v t jw ) 5 查堡墨三奎兰堡主堂焦垒壅 1 2本文主要工作 在本文中，我们一方面继续研究某些有狠重要应用价值的特殊三角剖分上的多元样 条，着重讨论了均匀2 型三角剖分上样条空问的性质，同时也考虑了一般三角化四边形 剖分和三维空问中四面体割分的情况另方面积极地将多元样条理论方面获得的结 果应用到实际工程中，如计算机辅助几何设计和有限元方法主要工作如下： 在第二章中，我们讨论了2 型三角割分上异度样条空间的性质考虑当剖分是均匀 的情况，这种剖分是一类特殊的贯穿剖分，也称为四方向剖分，因为其结构简单，对称性 好。在实际中有很广泛的应用为了摆脱刻划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式 的限制，考虑分别在矩形剖分线和对角剂分线上采用不同的光滑度，从而获得了更多样 条空问上的丰富结果我们主要讨论了应用比较广泛的三次和四次样条空问的情况借 助光滑余因子协调法，我们构造了各个空间的具有局部支集的样条基函数，并利用这些 基函数构造保持高阶精度的样条拟插值算子，深入讨论了它们的逼近性质，给出了逼近 误差的估计同时利用拟插值算子讨论了样条空间的逼近阶 在第三章中，我们研究了二元样条函数在计算机辅助几何设计中的应用非均匀 有理b 样条( n u r b s ) 方法已经成为用于曲线曲面描述的广为流行的技术但是，采用 张量积形式的传统n u r b s 方法也存在一些不足其一，由于基函数是一元b 样条基 的张量积，使得其参数域只能是矩形区域而对于非规则的参数域，只能由矩形域上 的n u r b s 曲面经过裁剪和拼接得到但是，一方面裁剪是昂贵的，而且有数值误差； 另一方面，要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的平滑也是困难的从控制顶点 的角度看，张量积型的基函数使得控制顶点在拓扑上必须位于矩形网格上这意味着， n u r b s 曲面的大部分控制顶点的存在只是为了满足这种拓扑约束，它们并不含有特 别的几何信息，因此是冗余的其二，张量积的基函数使得曲面的次数升高例如，一 张p q 次的b 样条曲面虽然在等参数线上是p 或者口次的参数曲线，但整个曲面的次数却 为p + 口次代数次数较高的曲面使得与之相关的运算变得更复杂，甚至影响曲面的几何 性质，如出现多余的拐点等这些缺陷，都是张量积型曲面本身不能克服的而现阶段 对非张量积型参数曲面的研究只限于三角域( 单纯形) 上的b e r n s t e i n - b 6 z i e r ( b b ) 曲 面，由于参数域的不同，不可能直接将三角域上的b b 曲面转化到四边形区域上去 为了解决上述问魏，我们采用具有局部支集的二元b 样条基函数构造非张量积型 的n u r b s 曲面对于矩形参数域，我们利用2 - 型三角剖分上各样条空问中的基函数系 统地构造了二次、三次和四次非张量积型n u r b s 曲面由于每个二元b 样条基具有单 独的局部支集，并可以根据各种参数域的形状选取满足相应光滑度和支集形状的样条 基，而且整体次数较低，从而能够很好地克服上述传统n u