（概率论与数理统计专业论文）简化原理及其应用.pdf

摘要 文章研究了简化原理的一些应用全文共分为三个部分：第一部分为序言， 综合阐述了简化原理的发展历史和前景第二部分为预备知识，分为两节， 第一节阐述了简化原理的基本内容第二节则是本论文需要用到的一些重要 的定理和结论主要是d i r i c h l e t 级数中的增长性和值分布中的相关知识和结 论，为第三部分简化原理应用打下基础，做好铺垫第三部分分为三节，阐述 了简化原理的一些应用以及一些已经被证明过的一些重要的结果，为求文章 的完整性我们也将其加以引入 第一节讨论了独立对称随机级数的收缩原理 第二节讨论了简化原理在b - 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性中的一些应用 第三节综述了简化原理在级数的值分布及h - 值随机d i r i c h l e t 级数收敛横坐 标中的应用 关键词 简化原理；收缩原理；b 一值d i r l e h l e t 级数；增长性；收敛性；值分布 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es y u d ys o m eo p p l i c a t i o n so fp r i n c i p l eo fr e d u c t i o n t h i st h e s i sc o n - s i s t so ft h r e ep a r t s ，t h ef i r s tp a r ti sp r e f a c e t h es e c o n dp a r tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s ， r e a ds m o o t h l ys o m eb a s i cr e s u l to fp r i n c i p l eo fr e d u c t i o na n ds o m eo t h e ri m p o r - t a n tr e s u l ta n dp r i n c i p l e s t h em o s ti m p o r t e n tr u s u l t si ss o m et h i n ga b o u tg r o w t h i nd i r i c h l e ts e r i e s t h et h i r dp a r tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t or e a ds o m eo p p l i c a t i o n s o fp r i n c i p l eo fr e d u c t i o n w es t u d yc o n t r a c t i o np r i n c i p l ea b o u ti n d e p e n d e n c ea n d s y m m e t r i cr a n d o ms e r i e s i nt h ef i r e tp a r t i nt h es e c o n dp a r t ，s o m eo p p l i c a t i o n s o fp r i n c 虹) l eo fr e d u c t i o na r es t u d i e di nt h eg r o w t ho fb v a l u ed i r i c h l e ts e r i e s a n d i nt h el a s tp a r t ，i n c l o u d ss o m ea p p l i c a t i o n so ft h ed i s t r i b u t i o no fv a l u e so fr a n d o m e n t i r ef u n c t i o na n da b s c i a s s ao fc o n v e r g e n c eo fh v a l u ed i r i c h l e ts e r i e s k e yw o r d s c o n t r a c t i o np r i n c i p l e ；p r i n c i p l eo f r e d u c t i o n ；b - v a l u e d d i r i c h l e ts e r i e s ；g r o w t h ：0 r d e r o fg r o w t h ；c o n v e r g e n c e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：互清 时间；弘年r 月馏日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：王寿终 签名日期：耐年，月勰日 导师签名 签名日期： 同范荛 伽许 月c 7 目 一序言 许多涉及独立对称随机变量序列的命题的证明，可以转化到只涉及一 个特殊的随机变量序列的相应命题的证明，这就是所谓的简化原理这种思 想曾多次被应用过，其中比较系统的阐述简化原理及其应用的是范爱华1 9 8 9 年在数学年刊上发表的简化原理及其应用一文，其定量的阐明了简化 原理，即，简化原理a ：设( n l ，五，只) 和( n 2 ，危，p 2 ) 是两个概率空间， b 。) 是一列可分的b a n a c h 空间， 。 是定义于n 1 上的r a d e m a c h e r 序列，再设 ：n 2 _ + 风m 1 ) 是一列独立对称的随机元，p + ，p ”是两个关于序列的命 题，其中p 由分布完全确定，如果 那么 o n ) 1 1 日。， a 。) l = p + 辛 e 。n 。) i = p ”，p 1 一o s n = 1 ( 墨州= p +恳一a , 8 = x 。) i = p ”p 2 一 简化原理b ：设1 ，五，p 1 ) 和z ，乃，p 2 ) 是两个概率空间 晶) 是一列可分 的b a n a c h 空间， ) 是定义于n i 上的s t e i n h a u s 序列，再设再设墨。：q 2 _ b n m 1 ) 旋转对称分布且相互独立，p ，p + 是两个关于序列的命题，其中 p + 由分布完全确定，如果 那么 a n ) 1 - i b 。) ， ) i = p + 净 e 2 m 8 n n 。) j = p “，p l 一。 i = p + p 2 一= ) i _ p “p 2 一o s 用以证明简化原理的工具是重要的s o u s h n - l u s i n 定理，应用该定理，它将许 多以r a d e m a c h e r 序列为系数的随机t a y l o r 级数和随机d i r i c h l e t 级数的结果 推广到一般的具有独立对称分布系数的级数，并且特别的讨论了g a s s 系数的 情形另外比较原理也是简化原理的一种应用，其最先是由k a h a n e 引进，后 来j a i n 和m a r c u s 等人加以发展的一系列定理他们在研究随机级数时有着 广泛的应用，其基本思想是要从具有某一性质来推断n j 也具 有同样的性质此外 ) 是b 中的( 定义于某概率空间上的) 随机元序列 f 矗) ， 仉) 则是定义于上述空间的两实随机变量序列另外，考虑以r a d e m a c h e r 序列为系数的随机整函数 假定 o 。) 满足下列条件： 郇。扩 n = o 甄l i r a 佣= o 。 一= 燕嵩 m 那么( 3 3 1 ) a - s 以每一条从原点出发的射线为其p 级b o r e l 方向，并且没有例外 值，这是l i t t l e w o o d 和o f f o r d 于1 9 4 8 年证明的结果，余家荣研究丁r a d e m a c h e r 系数的随机d r i c h l e t 级数所定义的随机整函数的值分布，类似结论利用简化原 理范爱华将其推广到系数独立对称分布的随机整函数上去对于单位圆内随 机解析函数的值分布，o i f o r d 在研究了随机整函数的僵分布之后，又开始研 究单位圆内随机解析函数的值分布，1 9 7 2 年，他证得：假定s t e i n h a u s 级数 。 e 2 “驴 n = 0 之系数 n 。) 满足 0 0 甄l i r a 佩= 1 ，蚓2 = 。 n = o 2 则级数a s 在每个扇形内取每一值无穷多次，范爱华也用简化原理将其结果 做了推广。1 9 5 1 年余家荣研究了具有r 2 _ d e m a c h e r 系数的随机d i r i c h l e t 级数 所定义的随机整函数的值分布，后又就g a u s s 情形证明了相同的结果这些结 果同样可以推广到独立对称系数的随机d i r i c h l e t 级数所定义的整函数 1 9 9 7 年，田范基在数学杂志上发表了在h i l b e r t 空间和可分的b a n a c h 空间关于 随机级数的收缩原理一文，在h i l b e r t 空间和可分的b a n a c h 空间用独立随 机元收敛准则或三级数定理的思想，证明了关于随机级数的收缩原理 本文在以上研究成果的基础上，研究了简化原理更为广泛的应用，全文共 分为三个部分；第一部分为序言，综合阐述了简化原理的发展历史和前景第 二部分为预备知识，分为两节，第一节阐述了简化原理的基本内容第二节则 是本论文需要用到的一些重要的定理和结论主要是d i r i c h l e t 级数中的增长 性和值分布中的相关知识和结论，为第三部分简化原理应用打下基础，做好铺 垫第三部分分为三节，阐述了简化原理的一些应用以及一些已经被证明过 的一些重要的结果，为求文章的完整性我们也将其加以引入 第一节讨论了独立对称随机级数的收缩原理 第二节讨论了简化原理在b 一值随机d i r i c h l e t 级数的增长性中的一些应用 第三节综述了简化原理在级数的值分布和h - 值随机d i r i c h l e t 级数的收敛横 坐标中的应用 至于简化原理是否有更加广泛的应用，还需要我们进一步的深入研究和 探讨，相信会有更加满意的结果1 3 二预备知识 2 1 简化原理的有关知识 随机元x 的分布记为x ，设x 和y 是两个取值于同一个可分的b a n a c h 空 间的随机元，若胀= p y ，记此事实为x 与y 等价设 j h ) h e n 和 k h e n 是两列独立的随机元，如果对每个h e n ，x 。和y n 相似，则称 x 。) 和 k ) 相似，显然其是一个等价关系 如果随机元x 满足船= p x ，则称它是对称分布的，进一步，若对任何的 a 0 ，2 ”) ，x 满足肛x = p 。x ，则称它是旋转对称分布的 设p 是一个有关序列的命题，我们用符号 o 。) l = p 来记下列事实：序列 o 。 满足命题p ，命题p 由分布完全确定，意即，任给一对相似的独立的随机元 序列 妊) 和 ) ，下列关系成立： 蜀i ) | = pa s 当且仅当 k ) l = p a a 定理2 1 1 【l 】：( 简化原理a ) 设( n 1 ，矗，p 1 ) 和( q 2 ，蜀，恳) 是两个概率空间， b 。) 是一列可分的b a n a c h 空间， ) 是定义于n 1 上的p , h d e m a c h e r 序列， 再设弱：n 2 _ b n m21 ) 是一列独立对称的随机元，p + ，p ”是两个关于序列 的命题，其中p + 由分布完全确定，如果 。 o n ) i j 马；， n n ) l = p = e 。n 。) i = p ”，p 1 一 那么 x n ) i = pp 2 一a 8 辛 矗) l = p ” 2 一口s 定理2 1 2 【1 ：( 简化原理b ) 设m 1 ，五，p 1 ) 和( n 2 ，乃，p 2 ) 是两个概率空间 巩) 是一列可分的b a n a c h 空间， ) 是定义于n 1 上的s t e i n h a u s 序列，再 设再设x n ：q 2 _ b n ( n 1 ) 旋转对称分布且相互独立，p ，p 是两个关于序 列的命题，其中p 4 由分布完全确定，如果 o 。 o 。) 1 7b n ， 。) i = p 4 = 争 e 2 - o n g n ) l ：p + 十，p 1 一o s ，t = 1 4 x , j i = p +p 2 一a 8 号 蜀 i = p ” p 2 一a 8 定理2 1 3 1 2 3 】：如果随机级数 o 。 e 。p 。 n = 0 几乎处处收敛或有界，并且a 。是有界纯量序列，( a 。是实的或者是复的由我 们所考虑的b a n a c h 空间而定) 则随机级数 0 0 瞄。p 。 n = 0 几乎处处收敛或有界 定理2 1 4 【2 3 】：在复b a n a c h 空间中，考虑随机级数 s 。e 2 “p 。 n = 0n = o 其中e l ，9 2 e n ，是r a d e m a c h e r 序列，u 1 ，她，u n ，是s t e i n h a u s 序列 如果他们中有个几乎处处收敛或有界，那么另个也几乎处处收敛或有界 5 2 2 重要的定理与结论 定理2 2 1 2 3 】：( 叶果洛夫定理) ： 设e 是可测集，m e 0 ，存在 集助c e ，使序列( a ( 。) ) 在助上一致收敛于f ( x ) ，而m 一e 6 ) 6 定理2 2 2 【2 3 】：( p a l e y - z y g m u n d 定理) ： c m + ) n = o 先假设s u p ( e ( 霹) e _ 2 ( 瑶) 。，若四( 霹) 0 ，e f 2 工1 若e ( 霹) = 。则( 1 1 1 ) 几乎处处，几乎必然发散，并且( 1 1 1 ) 几乎必然 不是一个f o u r i e r - s t i e l t j e s 级数 在一般情况下，没有条件 s u p ( e ( x 4 ) e _ 2 ( 霹) 。 记矗为在闭区间 - 1 ，1 】上的射影，用o oe ( 砖) 代替曼刀( 霹) ，同样结论 成立 此定理涉及到以下性质： ( 1 ) 式( 1 1 1 ) 是一个f o u r i e r - s t i e l t j e s 级数 ( 2 ) 式( 1 1 1 ) 表示口中的一个函数 ( 3 ) 式( 1 1 1 ) 几乎处处收敛 定理2 2 3 【2 】：( f u b i n i l e v i 定理) 设n = 丌q 。，且x 厶1 ( n ) 贝4 昱陋) 。恕z 。z 。上。x ( u ) p l ( d w ) p 2 ( 山) 肌( 幽) 。s 6 特别的，如果q 是标准概率空间，则 职) = 撬小z 1z 1 x ( w l w 2 w n w n + 1 u s 在当x 是独立随机变量的乘积时，公式比较简单 如果x 1 ，尥，矗是一列属于l 1 ( n ) 的有限的独立随机变量，则nl x n i l 1 ( q ) 并且 曰( i i 蜀) = i ie ( ) 定理2 2 4 2 8 ：( b o r e l - c a n t e l l i ) 引理 如果 则 p ( a 。) o o 即 s i r e 8 = a a o 上绝对收敛 ( 2 ) 若级数( 2 2 1 ) 在直线口= u 0 上即 5 l r e s = 口= o 0 ，i m s ( 一o 。，+ 。) ) 上 一致收敛，那么它在闭半平面a 印上一致收敛 我们定义级数( 2 2 1 ) 的收敛，绝对收敛，一致收敛横坐标 7 a ，一u 如下： o c = i n f a o i 级数( 2 2 1 ) 在口 0 0 内收敛，o 0 脚 口。= i n f c r lj 级数( 2 2 1 ) 在口 口1 内绝对收敛，口l 埘 口。= i n f t 口2 l 级数( 2 2 1 ) 在口 0 2 内绝对收敛，毋埘 显然o - 。吼盯。 定理2 2 7 【2 8 ：对于级数( 2 2 1 ) 有瓦里隆公式： 面生：型。盯。面生；生生+ 面箕竺 “ n1 1 - - - i i x ) a n_ + ( a n 其中砚，一。分别为级数( 2 2 1 ) 的收敛横坐标，一致收敛横坐标，绝对收敛 横坐标 定理2 2 8 【2 8 1 ：( 克若普一小岛铁藏公式) 对于级数( 2 , 2 1 ) 有： 一燕警 一l i r at n 2 ，s n - 4 0 0 七 = 甄警 8 vk n 如果 那么令 【南，k + 1 ) n n ) = a n 。，a ”。斗1 a n k 十p k ) o 血2 呦m a 孙x i 麓伽 也一e 篙：叫q 嚣2 。p m a x t 叫胛l i j “= 却n k 3 一抽i 、j 系( 2 2 1 ) ： ( 1 ) 若戛掣= 。 o 那么a 。= 。， ( 2 ) 若面k , - 4 v o 掣= 。” 0 ，vn n ，使 i 口矗= o t e ；l i x i f 1 9 ( 2 2 2 ) 且定义其级 p ：一l i r a l n l n m “, ( o ) 口_ 一。 一仃 其中 儿( 口) = s u p t 冗1 丸( 口+ i t ) i 定理2 2 9 2 8 】： ( 1 ) 当甄等= 。，级数( 2 ，2 2 ) 收敛横坐标等于绝对收敛横坐标 ( 2 ) 当 o 。，甄等 + 。0 。，热i + ” 定理2 2 - 1 0 2 8 1 ：当翼西絮 + o o 时( 2 2 ，2 ) a s 有增长级p 甘 燕l i m - - 鲁1 p 冀= o 。 且 定理2 2 1 1 2 8 】：当 甄丽l n l n n = 0 p o 。 口2 + 一脚- = - - i r 斌：0 n 叶o 。a n o 。 级数矗( u ) e k 8 a s 有增长级p ，营 n = o 面坚! 塑 n - 4 0 。 l n a n _ 舟，0 p ， 。 1 ，p = + o 。 = 唬一k 甄 ，南k 定理2 , 2 1 2 2 8 j ：当 一l i m 婴 + 。 。+ o 。i 元焉 + 。 1 i i n d , 。：0 n - - 0 0a n 时，级数( u ) e h 。a s 有增长级p 甘 n = o 瓢警= 南 1 ， 0 o 。 p2 + o o 令z = e ，h = 则有 定理2 - 2 1 3 2 8 ) ：级数曼五；( u ) 扩与曼氏z n 8 8 有相同的收敛半径和增长 n = un = 0 级，具体的说： ( 1 ) 收敛半径几乎处处r ： 蠢= 悟 百i 镢一1 p n 1 0 面i 镢 + 。 面i 蹶= 0 百i 瓶= + 。o ( 2 ) 当再e 瓤焉= o 时，塞矗( u ) 扩有增长级p 甘 面堡生 n - + 竹厶n 札 ( 3 ) 当甄蹶= 1 时， f m ，p ：0 一；， 。 户 。 【o jp = + - - - - m - m l n + l n + 西n n - + c y o l n a n ft = ，p 。+ l 【l ， 1 1 0 j o k ) p = + ” 下面我们考虑整函数的值分布的有关内答： 考虑d i r i c h l e t 级数 n n e 3 ( o k 十+ o 。) ( 2 2 3 ) ”= 0 其中 n 。) 是一列复数，并且 面竺 0 。马”( 。，。a ，i l m s t l f e ) = + 这里n ( 口，= n ， i r e s t 1 i 。 n - 一盯 一 定理2 2 1 6 2 目：设级数( 2 2 3 ) 满足条件( 2 2 5 ) ( 2 2 7 ) ，并设该级数定义的整 函数f ( s ) 有无穷级p = + o 。那么在宽度为2 7 rd 的任何水平闭带形中，“s ) 有 一条无穷级的水平b o r e l 线 设d i r i c h l e t 级数( 2 2 3 ) 满足 面三 o ) 内的和“8 ) 是全纯函数我们先有下列引理： 引理2 2 1 1 2 8 ：设级数( 2 2 3 ) 满足( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ，那么 ，l i - r a o 。f “m ，) = + o o ( 2 2 1 0 ) 成立的必要与充分条件是 面i 竺鲤 引理2 2 2 】：设g 【z ) 在单位圆u = 扛：吲 0 ，即 甄等= 一 那么vo c ，至多有一个例外值， 甄絮秽= 川 其中， 咖) = 去厅叫卅) f d o 定理2 2 1 7 2 8 】：设级数( 2 2 3 ) 满足( 2 2 8 ) 一( 2 2 1 0 ) 及( 2 2 7 ) ，那么8 平面 的虚轴上任何宽度大于簪的闭区间上，必有“s ) 的p i c a r d 点 定理2 2 1 8 2 8 】：设级数( 2 2 3 ) 满足( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 及( 2 2 7 ) 及 i l i r al n + m l n + 。l a nl - = 寿1 ( p 1 )n _ + 。0 n a n口+ ” 那么在s 平面的虚轴上任何宽度大于簪的闭区间上，必有“s ) 的至少p 级 b o r e l 点 1 4 三简化原理的一些应用 3 1 应用( 1 ) 独立对称随机级数的收缩原理 简化原理的基本思想是；级数。p 。a | 8 收敛( 有界) ，当a 。是有界纯量 n = 0 m 序列时，( h 是实的或者复的依我们所考虑的b a n a c h 空间而定) ，则a 。s 。肛。 a a 收敛( 有界) ，本部分在可分的b a n a c h 空间中，用一般独立对称的随机元 序列 墨；) 代替。或者是一般独立对称的随机元序列 k ) 代替e 。脚得到了 可分b a n a c h 空间随机级数的收缩原理，以及一些相关的结论，本节设b 为一 b a n a c h 空间，h 是h i l b e r t 空间，随机变量或者随机向量假定在某一完备的概 率空间( n ，p ) 上 定理3 1 1 ：b 是一b a n a c h 空间， 弱) 是b 中独立对称的随机向量序列， 且随机变量列k 满足 s u pf n ( ) i + o o ， n s n t 【i 0 00 。 若墨。收敛或有界，则h 一收敛或有界 证明z 设q 是一个概率空间， 矗) 定义在n 上，n 是另一个概率 空间， e 。) 是定义在n 7 上的r e d e m a c h e r 序列，考虑乘积空间( qxq ) 上的 随机级数 e 。 n = 0 因为萎与曼。弱相似，且曼。矗收敛，所以 n = i ；- - - - - 0 e 。矗 n = 0 在( q ) 上n 8 收敛 又 s u p a n ( ) j + 。，o 8 n - 叫 5 所以对于一个固定的u 而言， h ( ”) ) 是一有界纯量序列，由收缩原理知 o 。 a 。( u ) e 。( u ) ( u ) n = o 在n7 上收敛因此 o o 。e 。矗 n = o 在( q n ) 上n - s 收敛而 a 。矗 n = o 与 o o a 砌 n = o 相似，所以 。在q 上0 s 收敛 同理可证有界的情形证毕 定理3 1 2 ： k ) 是独立对称的随机变量序列，b 是一个b a n a c h 空 间， m ) 是b 上的一向量序列，且随机变量列a 。满足 + o 。，o s 若y n p 。n s 收敛或有界，则k k p 。一，收敛或有界 证明：在定理1 中取x n = k “。即可 定理3 1 3 ：设 墨) 是可分的复b a n a c h 空间的随机元序列，f 。) 为 r 柏e m a c h e r 序列， ) 是s t e i n h a l l s 序列，则随机级数萎6 n x n e 洲与曼e i n ( t 一2 ，l 的收敛性( 有界性) a - 8 相同 证明：设n l 是概率空间，e 。定义在n ，上，q 2 也是概率空间，定义 在q 2 上，考虑乘积空间( q 1 q 2 ) 的随机级数 矗一“( 瑚 ( 3 1 1 ) 因为e n e q “。“是在圆周上等分布的独立随机变量，所以由简化原理知级数 1 6 ( 31 1 ) 与五；砂( t - 2 ”“) 相似 n = 0 o 。 若e ”a s 收敛，不论p 1 ，日2 ，口n 是什么值，级数( 3 1 1 ) a 收敛 n = o 到( q 1 ) ，因此级数( 3 1 1 ) a s 收敛到( n lxn 2 ) 于是 弱e i n t - 2 “ n = 0 a s 收敛如果用有界代替收敛，也可同样论证 反之，若 e 州。2 n ) n = 0 a s 收敛则级数( 3 1 1 ) a s 收敛到( q l q 2 ) ，选取以，如，饥使级数( 3 1 1 ) a a 收敛到( a 1 ) ，设入。= e “1 。n 由收缩原理得 s 。e 矧 t l = 0 a s 收敛，如果用有界代替收敛结论同样成立 推论3 1 1 ：b 是一个b a n a c h 空间， p 。) 是b 中的一个向量序列 磊 及 k ) 是两个独立对称的随机变量序列，且满足 及 s u p l 磊) i o ，8 “ 则如果墨k ho 。收敛或有界，那么关于耋_ | i l 磊也有同样的结果， n = u n = o 证明：令z n = a 。碥 则 l = 粼裂 慨。 即 k ) 是一a 8 有界的序列而 o 。o o 磊鼽= 。k 脚 n = 0n = o o o0 0 由定理1 可知若碥a 8 收敛或有界，则磊a 8 收敛或有界证 n = 0n = 0 毕 推论3 1 2 ：设b 是一个复b a n a c h 空间， 置。) 是b 中一独立对称的随 机向量序列， s 。) 是r e d e m a c h e r 序列， u 。) 是s t e i n h a l l s 序列，则曼e 。 o o n = o 与e 2 n “x na 8 收敛或有界等价 n = 0 证明； 令a 。e n = e 2 r i “，或h e 打= e 。则i 。) j 1 + o o n s 可知 。) 有界，再由定理1 可知本推论成立证毕 推论3 1 3 ：设 是一独立对称的复随机变量序列， ) 是b 中的 一向量序列， e 。r e d e m a c h e r 序列， c j 。) 是s t e i n h a u s 序列则曼e 。k 鼽 o 。 n = o 与e 2 一n y n p 。a 8 收敛或有界等价 n = o 证明：在推论2 中取x n = y n “。即可 下面我们来讨论随机d i r i c h l e t 级数o o ( ) e 一 n a 的情形其中 n = 0 0 1 ) l 2 a 。内收敛，由瓦里窿公式知 一l i r a 掣( 。) 面! 掣+ 丽罂 n - 4 o e a n n a nl a _ - z r o 。a n 而 一l i m 掣：面型型趔! ：面掣+ 一l i mh 7 魁- - n 叶o o a n n - - o o a n n - - + o o a n n - + o o “ 又 s 。u p 吒内收敛证毕+ n = 0 下面我们对h 值独立对称随机变向量列 ) 及 ) 进行讨论 定理3 1 4 ：设h 是h i l b e r t 空间， 蜀 及 碥) 是两个h 值独立对称 随机向量列，且满足 s 。u p + * 们 若e 碥o - s 收敛或有界，则曼o a 收敛或有界 n = u n = 0 而 o o 证明；由k n s 收敛 等价于萎l i k | 1 2 + o 。 n = 0 妻”矗22 薹氍带2 n = o 慨2 鬻监舞举薹慨酽 + 。n s n = o | 1 1 n i iu ，n | | 1 n 叫j l i “二= 二 1 9 噬k d 札一 = 一n 辫 诬 n i 一 蒜 掣 故瓦ns 收敛 n = 0 证毕。 由级数收敛与前面的有限项无关，再由定理3 可得如下结果 推论3 1 5 ：设h 是h i l b e r t 空间， 矗) 及 k ) 是两个h 值独立对称 随机向量列，且满足 甄 + m n s 若曼。s 收敛或有界，则萎墨。收敛或有界 n = o n = 0 3 2 应用( 2 ) b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 田范基将b 值d i r i c h l e t 级数的增长性转化为d i r i c h l e t 级数的增长性，得 到了关于b 一值d i r i c h l e t 级数的增长级下级的充要条件这些结果我们应用简 化原理可以将其推广到b 一值随机d i r i c h l e t 级数中去， 设b - 值随机d i r i c h l e t 级数 o 。 m ，u ) = ( u ) e “n 5 ( 3 2 1 ) 其中0 = a o a 1 a 2 盯。( ，) ， 其中为b 的范数 另外令 m ，u ) = i l x 。 ) l l e “n 8( 3 2 2 ) n = o 定义f 的级 l i r a l n l n m ( a , f ) f 卜一o 。 一盯 及下级 及 = o m l n l n m ( c r , f ：， a - - d - - f l o 一口 定理3 2 1 ：设级数( 3 2 1 ) 满足条件 面i _ i n t o ；e o o n 。 。 ( 3 2 3 ) 甄- 4 掣：一。 ( 3 2 4 ) n 、 7 2 1 f ( s ) 和，( s ，u ) 有相同的增长级和下级，即 一l i m l n l n m ( a , f ) 石j 2 丽一口 面l n l n m ( a , f ) i j = 丽一口 _ 豇i 型! 竺垫2 f f - - - ， - - 0 0一口 ：r - h - d - t n t n m ( a , f ) i ；= 鬲 一口 证明：取b 一值d i r i c h l e t 级数i ( s ) = a n e 。n 。及d i r i c h l e t 级数，( s ) = n = o | | a t , e 。”，其中0 = a o h 2 0 内有级p 7 铮 甄l i r at n + i n m + l l x 。 ( w ) l l = 泞；： 0 内有下级r 等，( s ，u ) 在口 0 内有下级r 热掣= 乎篓 2 3 3 3 应用( 3 ) 在值分布和收敛横坐标中的应用 考虑以r a d e m a c h e r 序列为系数的随机整函数 假定 o 。 满足下列条件： 郇。扩 n = 0 甄l i r a 佣= 0 。 p = 燕舞筹 o 。 ( 3 3 1 ) 那么( 3 3 1 ) a s 以每条从原点出发的射线为其p 级b o r e l 方向，并且没有例外 值，这是l i t t l e w o o d 和o f f o r d 于1 9 4 8 年证明的结果，余家荣研究了r a d e m a c h e r 系数的随机d r i c h l e t 级数所定义的随机整函数的值分布，类似结论利用简化原 理范爱华将其推广到系数独立对称分布的随机整函数上去得到下面的定理： 定理3 3 1 【1 】：设 矗) 是一列独立对称分布的随机变量，如果下列级数 f 矗( u ) 扩( 3 3 2 ) 定义了一个p ( o p o 。) 级随机整函数，则它a s 以每一条从原点出发的射 线为其p 级b o r e l 方向，并且没有例外值 1 9 5 1 年余家荣研究了具有r a d e m a c h e r 系数的随机d i r i c h l e t 级数所定义的 随机整函数的值分布，后又就g a u s s 情形证明了相同的结果这些结果同样可 以推广到独立对称系数的随机d i r i c h l e t 级数所定义的整函数 对于单位圆内随机解析函数的值分布，o f f o r d 在研究了随机整函数 的值分布之后，又开始研究单位圆内随机解析函数的值分布，1 9 7 2 年，他证 得：假定s t e i n h a u s 级数 之系数 n 。) 满足 e 2 ”z “ n = o ( 3 3 3 ) 甄佩。1 ，薹蚶 3 3 4 则级数( 3 3 3 ) a s 在每个扇形内取每一值无穷多次，范爱华将其结果推广如 下： 定理3 3 2 【1 】：设 ) 是完全独立对称分布的随机变量，考虑 ( u ) z ” ( 3 3 5 ) 假如 丽俪= 1 则级数( 3 3 5 ) 所定义的单位圆内的解析函数a s 在每一个扇形内取每一复值 无穷多次 及 本节最后将简化原理用于半平面内解析的值分布的成果叙述如下： 考虑随机狄里克莱级数 o 。 f 1 ( 8 ， ) = 吣。( u ) e k 5 ( 3 3 6 ) n = o 0 0 ，2 ( s ， ) = n 。e 2 ”讪n ( 。) e h 5 ( 3 3 7 ) n = o 其中实数序列 a 。) 及复数序列 o 。) 满足 0 a o a 1 2 0 内的随机全纯函数 余家荣在随机狄里克莱的一些性质中得到如下两个定理： 定理3 3 3 ：设 。) 及 o 。) 满足条件( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 以及 - - 器百l o g + l a n l = + o o ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 那么f k ( 8 ，u ) ( k = 1 ，2 ) a a 具有下列性质： 对于任一点锄( 一o o 如 0 ) 为何值，a ( s ，口) 在l s 一“。i q 内取任何有限复数值无穷多次，至多只有一个例外值 这时我们说 ( s ，叫) a 8 以i o o 为其p i c a r d 点，即f k ( 8 ， ) a _ s 以口= 0 上每 一点其p i c a r d 点( k = l ，2 ) 定理3 3 4 ：设 a 。) n 。) 满足条件( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 燕掣= 南p ( 刊 n _ + o 。 1 0 9 n 十l 那么f k ( s ， ) a s 具有以下性质：对于任一点i t 0 ( 一o 。 t o p + 1 时，对任何有限复数e 级数。h ，。( e ，i t o ，口，；胡2 收敛；无 论正数”怎么样小，当r p 时，对任何有限复数e ，至少只有一个例外值 级数。【口。( e ，乱o ，”，；胡2 发散 这时我们说 ( s ， ) a _ 8 以 t o 为至少p 级至多p + 1 级的b o r e l 点即 ，k ( s ，w ) a 以口= 0 上每一点为其至少p 级至多p + 1 级的b o w e l 点 现在考虑随机d i r i c h l e t 级数 仃+ i t )( 3 3 1 1 ) 其中 盖。 独立对称分布，( h ) 满足 。编俩甄芸 o 。 应用简化原理范爱华将上述两个定理推广如下： 定理3 3 5 ：如果 一l i r a l o g i x 、 ) 1 ：o n s ( 3 3 1 2 ) n + a , a 戛鲨舆趔：。口 ( 3 f 3 1 3 ) ”_ 、a ” 那么( 3 3 1 1 ) a s 以直线p = 0 上每一点为p i c a r d 点 定理3 3 6 ：如果( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 及下式成立 甄坚掣=币p(0po。)(3314an ) n _ + 。 l o gp 十l 那么( 3 3 1 t ) a s - 以直线口= 0 上每一点为至少p 级至多p + 1 级b o r e l 点 对于是否存在更加广泛的应用还有待继续的研究l 最后我们再讨论一下简化原理在h 一值随机d i r i c h l e t 级数的收敛横坐标中 的应用 考虑h - 值随机d i r i c h l e t 级数 ( u ) e 5 o = 口+ f )( 3 3 1 5 ) t 1 = 0 其中 五) 是相互独立的h 值随机元序列，0 a 。t + c o ，口，t 为实数