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三类四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究 硕士学位论文 中文摘要 常微分方程边值问题在理论和应用上，都有着非常重要的作用，它可以用 来描述很多物理、生物和化学现象。目前，对常微分方程边值问题的研究大部 分集中在二阶常微分方程两点边值问题或多点边值问题，并且边值条件大都为 简单的类型，而研究高阶且复杂边值条件的常微分方程边值问题的文章还较少。 本文研究了三类广义的s t u r m l i o u v i l l e 型四阶非线性常微分方程边值问题，主 要是针对广义的s t u r m l i o u v i l l e 型边值条件，在非线性项满足不同的条件或奇 异等假设前提下，利用不同的证明方法，分别得到了三类四阶非线性常微分方 程两点或四点边值问题正解的存在性结果、唯一存在性结果及多重正解性结果， 从而获得了四阶边值问题有关于正解存在性的一些新的研究成果。本文共分为 五章，第一章为绪论，叙述了本文所研究的四阶微分方程边值问题的研究背景、 研究意义、本文所要研究的内容、研究方法以及处理此类问题时需要的一些定 义与引理。第二章，利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理和b a n a c h 压缩映像原理， 讨论了一类四阶四点边值问题正解的存在性与唯一存在性结论。第三章中，我 们在非线性项满足四种非线性条件下研究了一类四阶两点边值问题正解的存在 性，首先应用k r a s n o s e l l s k i i 不动点定理得到该问题至少一个正解的存在性结果； 再运用k r a s n o s e l l s k i i 不动点定理的推论获得了该问题至少两个正解的存在性结 果。在第四章中研究了一类四阶奇异常微分方程的边值问题，应用指数不动点 定理和l e g g e r w i l l i a m s 不动点定理给出了该问题至少一个和至少三个正解的 存在性结果。第五章为结束语，对全文的内容进行总结，并对未来的工作进行 设想。 关键词：广义的s t u r m - l i o u v i l l e 边值条件，四阶非线性常微分方程，奇异， 正解，不动点。 三类p q 阶常微分方程边值问题正解的存在性研究 硕士学位论文 a b s t r ac t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sp l a y av e r y i m p o r t a n tr o l ei nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n s t h e ya r eu s e dt o d e s c r i b ea l a r g e n u m b e ro f p h y s i c a l ，b i o l o g i c a la n dc h e m i c a lp h e n o m e n a r e c e n t l y ，t h e r eh a sb e e n ag r e a td e a lo fr e s e a r c hw o r k so nb o 啪d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do rh i g h e r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e rw ea r eg o i n gt oi n v e s t i g a t et h r e ek i n d so f m o r ee x t e n s i v et w o - p o i n ta n df o u r - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf o u r t h o r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea r ef o u rm a i nc h a p t e r si nt h i sp a p e r c h a p t e r o n ei st h ei n t r o d u c t i o n ，w en a r r a t et h eh i s t o r ys t a t u sq u oo ft h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h a tw e r e s e a r c h e da n dt h eg e n e r a l l yw a yo f w h i c hw es o l v e dt h e s ep r o b l e m si no u rp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w er e s e a r c ht h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rak i n do ff o u r t h o r d e rf o u r - p o i n tp r o b l e m ，w eg i v ea c o u n t e r e x a m p l et oi l l u s t r a t eae x i s t e dt h e o r e mi sw r o n g ，a n da p p l yl e r a y s c h a u d e r f i x e dp o i n tt h e o r e ma n dc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l et og e tap o s i t i v es o l u t i o no f t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h i sp r o b l e m f u r t h e rm o r e ，i nc h a p t e rt h r e ew e r e s e a r c ht h ec a s eo ft h i sk i n do fe q u a t i o nw i t ht w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，b y k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n dm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o rm e t h o d s ，t h e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t ya r ee s t a b l i s h e df o rt h i sp r o b l e m i nc h a p t e rf o u r ，w e r e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rak i n do fs i n g u l a rf o u r t h o r d e r t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n t w oc a s e s f i r s t l y ，w eg i v et h ec o n d i t i o n n o n l i n e a rf u n c t i o nf o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sc o n t i n u o u sa n dg e tt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o nf o ra p p l y i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fi n d e x ，t h e nw eu s e l e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e mg e tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h a tp r o b l e m k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e d s t u r m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n ； f o u r t h o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s i n g u l a r ；p o s i t i v es o l u t i o n ；f i x e dp o i n t 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：立 日期：蝉： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：立 日 期：麴仝：i ： 三类四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 常微分方程边值问题起源于各种应用学科中，例如：数学、核物理、经济学等。而出现 在气体动力学、流体力学、非线性光学等学科中的非线性常微分方程边值问题，更是备受关 注。其中广泛应用于非线性弹性梁方程的正解、非线性椭圆方程的径向对称解、边界层理论 等数学和物理领域的非线性奇异边值问题，无论在理论上还是在应用上都极为重要。由此可 见，常微分方程边值问题逐渐成为微分方程中一个十分重要的研究领域( 见【l 一5 】) 。 常微分方程两点或多点边值问题附加的定解条件比较多，如：d i r i c h l e t 边值条件 ( “( o ) = u ( 1 ) = 0 ) ；r o b i n 边值条件 ( o ) = ur ( 1 ) = o ) ；n e u m a n n 边值条件 ( 甜( o ) - - - - - d 7 ( 1 ) = 0 ) ；周期边值条件 ( o ) = 甜( 1 ) ，u p ( o ) = “( 1 ) ) ；e u l e r - b e m o u l l i 边值条 件( 甜( o ) = “( o ) = “艚( o ) ，“( 1 ) = 甜( 1 ) = o ) 以及s t u r m - l i o u v i l l e 边值条件 ( 口u ( o ) - p u ( o ) = 0 ，y u ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = o ) 等，到目前为止己获得深入而广泛的研究，并 取得了系统而深刻的结果( 见【6 - 1 0 】) 。然而，大部分有关这类文章的研究大多集中在两阶的 边值问题，而针对四阶边值问题的研究较少。事实上，微分方程的四阶边值问题( 尤其是非 线性四阶边值问题) 在理论和实际中有着广泛的应用，正吸引着众多的研究者的视线。这类 四阶边值问题主要是源于弹性梁模型，是现代飞机、轮船、建筑等最基本的结构之 一，u s m a n i 于1 9 7 9 年研究了线性弹性梁方程的可解性( 见 1 1 】) ，此后关于非线性弹性梁方程 可解性及正解存在性的研究也相继出现。人们通常研究的非线性弹性梁方程有如下形式： u 4 ) = 厂( f ，u ，甜，u 。) ，f ( o ，1 ) ，“4 ) = 厂( f ，u ，u ，z f ”) ，f ( o ，1 ) ，在附加各种边值或初值条 件后，这类问题便对弹性梁的各种状态有了很好的描述。人们已经在这些问题的研究中取 得了大量的成果。需要说明，在四阶微分方程边值问题的研究中，多数文章的研究仅局限于 前述较为简单的d i r i c h l e t 6 1 ，r o b i n 【7 1 ，或n e u m a n n 【8 1 等边值条件。但是，对于 e u l e r - b e m o u l l ip 1 边值条件：甜( o ) = “”( o ) = 甜”( o ) ， 甜( 1 ) = ur ( 1 ) = 0 ，以及 s t u r m l i o u v i l l e p o 边值条件：a 甜( o ) 一卢“7 ( o ) = 0 ，y u ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = o 等较为复杂的 边值条件下的研究还很少。可见，目前对四阶常微分边值问题解存在性的研究成果非常有 限。事实上，正如e u l e r - b e r n o u l l i 边值条件：u t ( o ) = “”( o ) = u m ( o ) ，甜( 1 ) = u r ( 1 ) = o 下的 1 三类四阶常微分方程边值问题正解的存在性砀多帧士学位论文 边值问题一样，近年米关于非线性s t o r m l i o u v i l l e 型边值问题的研究也倍受关注。 由于广泛的数学与物理研究背景，近年来人们对于二阶或高阶常微分方程边值问题的 研究非常活跃，特别是二阶非线性常微分方程在两点边值条件下( 如：d i r i c h l e t 边值条件 ( u ( o ) = “( 1 ) = o ) ；一般的s t u r m - l i o u v i l l e 型两点边值条件( a “( o ) 一卢“( o ) = 0 ， y u ( 1 ) + s u ( 1 ) = o ) 解的存在性研究已经引起了很多研究者的兴趣。例如h e n d e r s o n 和 t h o m p s o n 在文献 1 2 t 9 对d i r i c h l e t 型二阶边值问题： p ( t ) - f ( u ( ，) ) = o ，f 【0 ，1 】， 【u ( o ) = “( 1 ) = 0 进行了讨论，其中f ：r 一【0 ，+ ) ，得到了至少三个正解的存在性结果。此j l - ，d a v i s 和 e l o e 在文献 1 3 1 q b 运用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理建立了至少三个对称凹解的存在性准 则。最近，r u y u n ，b e v a nt h o m p s o n 以及刘嘉奎分别在 1 4 1 、【1 5 】中利用分歧定理以及变分 方法分别对下列d i r i c h l e t 型二阶奇异边值问题： p + a ( f ) 厂( “( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) 【u ( o ) = u ( 1 ) = 0 的多重正解给予了研究。然而，这些问题的非线性项厂均与 无关，并且边界条件也比较简单。j 面对于f ( t ，u ) 的s t o r m - l i o u v i l l e 边值问题，过去只有 c h y a n 和h e n d e r s o n 在文献 1 6 q p 禾o 用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理进行过讨论，最近，孙和李 在文献 1 7 】中运用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理建立了偶数阶s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的多 个正解。而对于二阶奇异的s t u r m l i o u v i l l e 型边值问题： ( t ) - g ( t ) f ( t , u ) = o ，f ( o ，1 ) ， a “( o ) 一卢“( o ) = 0 ， ( 1 1 ) i y u ( 1 ) + 6 “( 1 ) = 0 也已有许多学者进行过研究，参见【1 8 2 2 。例如e r b e ，w a n gh a i y a n 利用锥拉伸和压缩 不动点定理，证明了形如( 1 1 ) 的非奇异( g ( f ) c o ，1 】) 边值问题的正解的存在性：马如云 利用紧算子逼近的方法，将上面的结果巧妙地推广到奇异的边值问题。关于这方面最近 的些结果，参见【2 0 一2 2 】。近年来，有不少研究者开始对四阶微分系统开始进行研究，如 q i n g l i uy a o ，y o n g x i a n gl i 俐( 2 0 0 7 年) 分别对下列四阶两点边值问题： 2 三鲞些堕堂丝坌查堡望篁塑望里壁塑堡垄堡里! ! !堡主堂篁堡茎 j 4 1 7 ) 一1 7 ，( ，) ，甜”( ，) ) = o ，f o ，1 】 ( 1 2 ) 【u ( o ) = “( 1 ) = 甜”( o ) = 甜”( 1 ) = 0 。 以及w e iz h o n g l i 2 5 1 ( 2 0 0 4 年) 利用上下解的方法对下列四阶两点边值问题： f 甜p ( ，) = 厂( f ，甜( f ) ，一“”( f ) ) ，t ( o ，1 ) ， “( o ) = “( 1 ) = 0 ， ( 1 3 ) h ”( o ) 一b u ”( o ) = o ，c u “( 1 ) + 幽”( 1 ) = 0 进行了讨论，并得到了相关的一些解的存在性定理。然而，对于这类方程的边值问题我们 通过令1 ，( f ) = z f ( f ) ，可以将( 1 2 ) 、( 1 3 ) 代换为二阶方程组的两点边值问题： f v 。( f ) 一( 柚( f ) ，v ( f ) ) = 0 ，t 【o ，1 】， z ，”( ，) 一v ( ，) = 0 ， l ”( o ) = “( 1 ) = o ，v ( o ) = v ( 1 ) = 0 f v 。( f ) 一( 柚( f ) ，v ( ，) ) = 0 ，f ( f ) 一，( f ) = 0 ， l 甜( o ) = 甜( 1 ) = 0 ， 【a v ( o ) 一b v ( o ) = o ，c 1 ，( 1 ) + 咖7 ( 1 ) ，1 】， = 0 使这类问题解的研究变得相对简单。 然而，到目前为止，讨论广义的s t u r m l i o u v i l l e 型非线性四阶两点或多点边值问题的 文献并不是很多。而本文即将研究的便是非线性函数厂不带导数项的四阶广义 s t u r m l i o u v i l l e 型四点边值问题： f “p ( f ) 一厂( f ，“( f ) ) = 0 ，f 【o ，1 】， 扰( o ) = a , ( 1 l “i i ) ，“( 1 ) = 切( ) ， a “”( 考，) 一p 甜胛( 考。) = o , y u ”( 毒：) + 6 “胛( ：) = 0 ( 1 4 ) 由于本文所要研究的问题( 1 4 ) 不能象( 1 2 ) 与( 1 3 ) 那样转化成二阶系统，因此，处理二阶边 值问题的好多方法再也不能适用于研究问题( 1 4 ) 。故对于( 1 4 ) ，即使是在厂非奇异( 即 厂( f ，“( f ) ) 连续) 的情况_ f 解的存在性结果也是很少的，参见 2 6 - 2 8 。 3 三类四阶常微分方程边值问题j 下解的存在性研究硕士学位论文 众所周知，四阶常微分方程：u ( q ( t ) - f ( t ，“( f ) ) = o ，( o ，1 ) 来源于力学中一类典型 的静态弹性梁方程，参见【1 7 2 2 ，u s m a n i 2 9 3 0 1 最早于1 9 7 8 年开始在不同的边值条件( 如 u ( o ) = “( 1 ) = “( o ) = 甜( 1 ) = 0 ) 下，曾对此类问题给予了研究，并得到解的唯一性结果， 1 9 8 4 a g a r w a l p l l 等人利用b a n a c h 压缩映像原理做过研究。但是，多数针对此类问题的 讨论，大都是在两点边值条件下进行的，并限制有较强的条件，而本文将在四点的 s t u r m l i o u v i l l e 型边值条件下证明此类方程正解的存在性及唯一存在性结论，并且，还将 在两点的 s t u r m l i o u v i l l e 型边值条件( u ( o ) = 彳( 叫1 ) ，甜( 1 ) = b ( 叫1 ) ， a n 。( o ) 一卢甜”( o ) = 0 ，7 u ”( 1 ) + 6 “”( 1 ) = 0 ) 下，即： ( f ) 一厂( 劬( f ) ) = o , t e 【o ，l 】， 甜( o ) = 彳( i i 扰l i ) ，“( 1 ) = b ( i i “0 ) ， i 口甜。( o ) 一3 u 胛( o ) = o ，) ，“”( 1 ) + 6 甜胛( 1 ) = 0 研究这类方程存在至少一个和至少两个正解。 此外，l e g g e t t w i l l i a m s 【3 2 1 不动点定理为解决高阶常微分方程的多解性问题提供了有力 的工具，于是本文还将对四阶奇异边值问题： i “( 4 ( f ) 一乃( f ) ( “( f ) ) = 0 ，f ( o ，1 ) ， “( o ) = i ( 1 l u1 ) ，u ( 1 ) - - b ( ) ， la 甜”( o ) 一p 甜胛( o ) = o ，y “”( 1 ) + 6 “胛( 1 ) = 0 进行讨论，对于h ( t ) f ( u ) 的广义s t u r m l i o u v i l l e 型边值问题的研究很少。鉴于四阶边值f - j 题多解研究的有限性，本文将对四阶奇异的s t u r m l i o u v i l l e 边值问题继续进行探讨。 需要指出的是，本文有关四阶常微分方程正解的存在性、唯一存在性与多解性结果均是 在广义的s t u r m l i o u v i l l e 型边值条件下获得的，若将边值条件中的系数a ，卢，y ，6 分别附 以特殊值，便是简单的d i r i c h l e t ，r o b i n ，, , 或n e u m a n n 型四阶边值问题，可见，本文的研究更具 有普遍性和一般性。 1 2 本文的研究方法及研究结果 近几年来，国内外许多学者使用了多种方法对四阶常微分方程进行了研究，得到了大 4 三耋婴堕萱垡坌垄堡望堡塑望互鳖塑堡垄竺堕茎竺主兰垡堡苎 量有价值的结果，参见文献 卜3 2 。受以上文献的启发，本文主要对广义的s t u r m l i o u v i l l e 型四阶非线性常微分方程边值问题正解的存在性结果进行了研究。本文主要的研究方法及 研究结果如下： 第二章：研究四阶四点非线性s t u r m l i o u v i l l e 型边值问题： p ( f ) 一厂( 柚( f ) ) = o ，f 【o ，l 】， “( o ) = 研( 1 l u1 ) ，u ( 1 ) = b r ( 4 ) ， l 口“”( 考。) 一卢“”( 毒，) = o ，) ，扰”( 善：) + 6 “胛( 考：) = 0 其中常数口，卢，y ，6 0 ，0 专l 0 ， o o b 口6 1 ， o 0 ，p = a y + 伊+ 6 口 o ，二b t b ( t ) b t ， m 0 0 ，y + 6 0 ，p = a y + 邝+ 沈 o ，o a t a ( t ) a t ， o b t _ b ( f ) 6 f ，o a 6 口6 1 ，o 日 三1 ，么，b ：【o ，佃) 专【6 ，+ o 。) 为连续函数， ：【o ，佃) 专 o ，佃) 为非线性连续函数，h ：( o ，1 ) 专【o ，+ ) 在( o ，1 ) 上连续，允i e ；h ( t ) 在t = 0 和，= 1 处奇异。在某些适当的条件下，利用指数不动点定理，获得至少一个正解的 存在性结果；再应用l e g g e t t w i l l i a m s 定理，证明其至少存在三个正解的存在性结果。 1 3 预备知识 设巨和岛是两个b a n a c h 空间，d c 置，设算子丁：d 专易。 定义1 3 4 1 若丁将d 中任意有界集s 映成e 2 中的列紧集丁( s ) ，则称丁是映d 入易中的 紧算子。 定义2 3 4 1 若算子丁：d j 最是连续的而且又是紧的，则称丁是映d 入丘中的全连续算 子。 定义3 3 4 1 如果边值问题中的函数乃( f ) 在端点，= 0 和f = 1 处的极限不存在，或存在但无 界，则称该边值问题是奇异的。 定义4 t 3 4 1 设x 是b a n a c h 空间，称非空凸闭集pcx 是一个锥，如果 ( 1 ) x p 且0 a r ，贝0a x p ； ( 2 ) x p 且一x p ，则x = 0 定义5 3 4 1 设x 是b a n a c h 空间，pcx 是x 的一个锥，v ，：pj 【o ，+ o o ) 称为凹泛函， 如果v ( t x + ( 1 - t ) y ) ，l f ， ) + ( 1 一，) l f ，( y ) ，其中t 【o ，1 】，五y p ；如果对垤，y 尸， t 0 ，1 】，有q t ( t x + ( 1 - t ) y ) 缈( x ) + ( 1 一t ) v ( y ) ，则称v ，为凸泛函。 由x 的一个锥诱导出的偏序记为”，即”x y ”当且仅当y - - x p 。 定义6 3 4 1 映射妒是一个锥尸上的非负连续凹泛函，如果满足妒：po 0 ，佃) 是连续的， 且 6 二类p q 断r 常微分万程边值问题正解的存在性研冗 硕士学位论文 6 p ( t u + ( 1 一t ) v ) t q o ( u ) + ( 1 一r ) 妒( v ) ， 对于v “，v 尸，f o ，1 】成立。 类似可以定义锥尸上的非负连续凸泛函。 下面我们给出相关的引理。 引理1 如果存在p = a 7 + 垆+ 阮( 考2 一喜1 ) 0 ，且有g ( ，) c ( 【o ，1 】， o ，佃) ) ，则边值问 题： “”( f ) 一g ( f ) = o ， o ，1 】， ( 1 ) a “( 考，) 一卢“( 考。) = o ，y “( 考：) + 6 “( 髻：) = o ( 2 ) 有解 “o ) = f ( s f ) g ( s ) 出+ 石1 2 【a ( 考。一f ) 一卢】 6 ( 善：一s ) + y 】g o ) 凼 + f ( f s ) g ( j ) 凼 ( 3 ) 其中 p = a 7 + 伊+ 5 a ( 考2 一毒1 ) 证明由方程( 1 ) 易得到 “( f ) = c l + 印+ f ( ，- j ) g o ) a s ( 4 ) 其中c l ，c 2 是两个任意的常数。将边值条件带入上式( 4 ) ，通过简单的计算，可得 c l = r 蹭( s ) 出+ 石1 ( q 考。一卢) 鬟2 p ( 考：一s ) + y g 。) 幽， ( 5 ) 和 q = 一f 1 g ( 了) 凼一旦pf 2 p ( 毒z 一了) + y 】g ( j ) 出 ( 6 ) 将上两式( 5 ) 和( 6 ) 代入( 4 ) 式，便可得( 3 ) 式，即引理得证。 注l 令毛= 0 ，考2 = 1 ，那么( 3 ) 式可化简为 甜( f ) = f g ( 凇) g o ) a s 其中 7 二荚四髟r 常傲分万程边值问题正解的存在性珂 冤硕士学位论文 g ，= 箬：差菇：勰篡瓮 注2 如果存在p = a y + 伊+ 施( 2 一毛) 0 ，且有线性函数g ( f ) c ( 【o ，1 ，【o ，佃) ) ， 则边值问题： 妒( f ) 一g ( f ) = o ，【0 ，l 】， ， “( o ) = “( 1 ) = 0 ， 【a “”( 善。) - p u - ( 考，) = o ，y “。( 考：) + 艿”( 考：) = o 有解 甜( f ) 5 【g l ( s ) v ( s ，o a s 其中 q 以垆黜兰蛩 v ( j ) = ( 一) g ( r ) 出+ 哲1 一s ) 一邪( 乞一f ) + ，k ( f ) 幽 p = a y + 伊+ 阮( 考2 一岛) 注3 如果在注2 中令考l = o ，考2 = 1 ，且有g ( f ) c ( o ，1 ，【o ，佃) ) ，则边值问题： f ( f ) 一g ( f ) = o ，f 0 ，1 】， “( o ) = “( 1 ) = 0 ， 【a “”( o ) 一卢“”( o ) = o ，y u ( 1 ) + 6 “”( 1 ) = 0 有解 “( f ) = fg l ( f ，s ) fg 2 ( 即) g o ) d z d s 其中 g 1 ( f ，s ) = is t ( ( 1 1 - 一s f ) ) ，, 。o j t s f 1 l , 晰，= 丢：兰菇：黑慧暑 p = a y + 邪+ 6 a 8 引理2 若j p ( o , 1 3 ，有下面命题成立： 蚴：肛阳g 肛汹g 9 刚足d 峰1 呱鲻- b 呱娜【一j 。l 1 一j ( 2 ) 对v 叫叫，存在臼( 。，妙， o , l - o l ，使得g 2 ( f 川8 6 2 ( 蹦) 证明( 1 ) 易证o 0 ，所以有 f 鱼! ! ! 二! ! ，0 s ，1 她：j 6 + ) ，( 1 一s ) g 2 ( 蹦) l 坐盟，0 f s 1 l 口+ a s 。 所炒g 帆脯秽= 等高黼兆同理稍幽时， 有g 2 ( f ，s ) 臼g 2 ( s ，s ) 。 引理4 3 3 1 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理) 令e 是b a n a c h 空间且cce 是闭凸集。假设u 是c 的相对开子集，且0 u ，a ：u 一专c 是连续的紧映射，那么下面结论之一成立： ( 1 ) a 在d 中有一个不动点；或者 ( 2 ) 存在甜a u 和a ( o ，1 ) j f l u = a , a u 。 引理5 ( b a n a c h 压缩映象原理) 设k 为b a n a c h 空间e 的一个非空闭子集，而丁是k 到 其自身内的任一映射，它在k 内满足l i p s c h i t z 条件，即对任意的x ，y k ，有 i i 戤一砂0 a0 x y 0 ( o a 0 ，定义k = x k ：l l x i i ， 。 设彳：耳一k 是紧算子，使得对x 晖= x k ：i i x l = r ) ，有出x 。 ( i ) 如果对任意x ，有l x l - l 么x l l ，贝j ji ( a ，巧，k ) = 1 。 引理1 1m 1 ( l e g g e t t 。w i l l i a m s 定理) 设彳：乏哼曩全连续，且存在尸上的非负连续凹泛 函仅( x ) ，满足仅( x ) 恻i ( 觇乏) 。又设存在o d 口； ( 2 ) 当x 艿时，恒有0 么x 4 6 时，恒有a ( 彳x ) 口 那么么在互中至少有三个不动点_ ，x 2 ，b ，满足8 薯| | 口，i i x 3 0 d ，a ( x 3 ) 口。 引理1 2 3 3 1 ( a s c o t i a r z e l a 定理) 空间c h b 】中的子集a 是列紧的，当且仅当，a 中的函 数一致有界且等度连续。 引理1 3 【4 5 】( 常微分方程解的存在唯一性定理) 已知 支三f ) ：( x , y ( 尸) ，若厂( 五y ) 在 闭矩形域r ：x o - a x + 口，儿一b y y o + 6 上连续，且关于变量少满足l i p s c h i t z 条件，即存在常数n ，使得对r 上任意的( x ，y ) 和( x ，歹) 均有： l f ( x ，y ) - f ( x ，萝) l n i i y - y 1 ， 则初值问题( 尸) 在区间x 0 一h x + 办( 办a ) 上必存在唯一解。 引理1 4 3 4 1 ( 全连续算子的延拓定理) 设五，岛是实b a n a e h 空间，d 是互中的某闭集， a ：d 专易全连续，必存在算子匀：置一最全连续，使得当x d 时恒有五= 血，并 且j ( 巨) c c o a ( d ) ，这里c o a ( d ) 表示4 的值域4 ( d ) 在色中的凸闭包。 1 2 三类四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究硕士学位论文 第二章一类四阶四点s t u r m l i o u v i l l e 边值问题正解的存在性理论 2 1 引言 近几年来，关于四阶两点s t u r m l i o u v i l l e