（计算数学专业论文）约束矩阵方程（组）的最小二乘问题研究.pdf

摘要 约束矩阵方程及其相应的最小二乘问题存科学研究领域有广泛的应用例 如，在粒子物理学和地质学，自动控制 型沦的逆问题，振动理沦的逆问题，数码 影像和信号处理，航空投影测量学，多维逼近问题等方面都有重要的应用 本文分别使用直接法和递准法研究矩阵方程的约束最小二乘问题主要内容 如下： ( 1 ) 利用矩阵的“义奇异值分解导出了矩阵方程a 1 x b b 7 x 7 a = d 的加 j p 权最j 、z _ 乘解的一般表达式，以及最佳逼近问题的解同时利用矩阵的标准卡目关 分解给出了线性流形上矩阵方程b 7 x b = d 的对称正交反对称最小二乘解 ( 2 ) 建立了求矩阵方程( 组) 约束解的递推算法首先，讨论了矩阵方程组 a l x b 。= d i ，a ：x b ：= d 2 的对称最小二乘解的递推算法t 该算法4 i 仅能够用丁求 矩阵方程组的对称最小二乘解，而且在选取特殊的初始矩阵时，该算法还能够给 出矩阵方程组的极小范数对称最小j 乘解，以及对给定矩阵进行最佳逼近的对称 解；然后给出了求矩阵方程组a j “= c ，b 1 x b = d 的反对称最3 x - 乘解及其最 佳逼近的递推算法；最后讨沧了矩阵方程a x b + c x d = f 的中心对称解及茛最 佳逼近的递推算法 关键词：约束矩阵方程；加权最小二乘解；极小范数解：最佳逼近解 对称最小二乘解；反对称最小二乘解；中心对称解 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n e dl i n e a rm a t r i xe q u a t i o n sa n dr e l a t e dl e a s t s q u a r e sp r o b l e m sh a v e b e e no fi n t e r e s tf o rm a n ya p p l i c a t i o n si ns c i e n t i f i cf i e l d s ，i n c l u d i n gp a lt i c l ep h y s i c s a n dg e o l o g y , i n v e r s ep r o b l e m so fv i b r a t i o nt h e o r y ，d i g i t a li m a g ea n ds i g n a lp r o c e s s i n g p h o t o g r a m m e t r y ，m u l t i d i m e n s i o n a la p p r o x i m a t i o n i nt h i sp a p e r , w es t u d yl e a s ts q u a r e sp r o b l e m so fc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n sf r o m r e c u r s i v ea l g o r i t h m sa n dd i r e c tm e t h o d s t h em a i nw o r ki sa sf o l l o w s b ya p p l y i n gt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，t h ee x p r e s s i o no ft h e w e i g h t e dl e a s t s q u a r es o l u t i o n so ft h em a t r i xe q u a t i o na 1x b 一小x 1a =di so b t a i n e d i na d d i t i o n ，t h ee x p r e s s i o no ft h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt ot h eg i v e nm a t r i x i so b t a i n e d a tt h et i m e ，b ya p p l y i n gt h ec a n o n i c a lc o r r e l a t i o nd e c o m p o s i t i o no f m a t r i xp a i r s ，w ed i s c u s st h es y m m e t r i co r t h o a n t i s y m m e t r i cs o l u t i o n so ft h em a t r i x e q u a t i o nb r x b = d o ns o m el i n e a rm a n i f o l d sa n di t so p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s e v e r a lr e c u r s i v ea l g o r i t h m sa r ep r e s e n m dt os o l v ec o n s t r a i n e dl i n e a rm a t r i x e q u a t i o n s f i r s t ，w e d i s c u s st h el e a s ts q u a r e ss y m m e t r i cs o l u t i o n so ft h em a t r i x e q u a t i o n s a l x b i = d 1 ，a2 x b2 = d 2 b yt h i sr e c u r s i v ea l g o r i t h m ，t h es o l u t i o nw i t hl e a s t n o i t oc a r lb eo b t a i n e db yc h o o s i n gas p e c i a lk i n d o fi n i t i a ls y m m e t r i cm a t r i x i n a d d i t i o n ，t h eu n i q u eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt oag i v e nm a t r i xi nf r o b e n i u s n o r mc a nb eo b t a i n e db yf i n d i n gt h el e a s tn o r ms o l u t i o no ft h en e wm i n i m u mr e s i d u a l p r o b l e m s e c o n d ，w ed i s c u s st h el e a s ts q u a r e ss k e w - s y m m e t r i cs o l u t i o n so fm a t r i x e q u a t i o n sa 7 x a = c ，b 7 x b = da n di t so p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n ，a tl a s t ，t h e r e c u r s i v ea l g o r i t h mt ot h em a t r i xe q u a t i o na x b 十c x d = fo v e rc e n t r o s y m m e t r i c s o l u t i o ni sa l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n ；w e i g h t e dl e a s t s q u a r es o l u t i o n ； l e a s t n o r ms o l u t i o n ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n ； l e a s ts q u a r e ss y m m e t r i cs o l u t i o n ；l e a s ts q u a r e ss k e w s y m m e t r i cs o l u t i o n ； c e n t r o s y m m e t r i cs o l u t i o n 第一章绪论 1 1 约束矩阵方程问题概述 矩阵方程足数值代数的重要研究问题之一，在满足一定约束条件的矩阵集合 中求矩阵方程( 组) 的解称为约束矩阵方程问题约束条件不同，或者矩阵方程 ( 组) 不同，会导出不同的约束矩阵方程问题由j 二在结构模型修正等实际问题t 礼 已知矩阵的元素通常是由实验获得，一般难以保证矩阵方程( 组) 的可解性，此时 需要求约束矩阵方程问题的f r o b e n i u s 范数最小_ 乘解例如，己知矩阵a 和曰， 求满足一定约束条件的矩阵戈，使得j | 爿萱一曰= - n i n f | a x 一占 约束矩阵方程及其相应的最小二乘问题在诸多方面都有应用，例如，在粒子 物理学和地质学，自动控制理论的逆问题，振动理论的逆问题，数码影像和信号 处理，航空投影测量学，有限元及多维逼近问题等方面都有重要的应用 与约束矩阵方程的最小二乘问题相联系的是矩阵的最佳逼近问题，其一般提 法是：给定矩阵x r ，求某矩阵集合s ，中的元素贾，使得 0 宕一戈k = m ，。i n ，i x 一霁n 此时称贾为夏在& 中的最佳逼近矩阵 1 9 8 8 年，a l l w r i g h t 在研究非线性规划问题的算法时提出了具有半正定约束 的不相容的矩阵方程求解问题“3 ；在电学、光学或自动控制的线性系统进行测试 或复原时，由于原有资料不全或要求对已有资料进行检核等原因，提出了谱约束 下的矩阵最佳逼近问题”1 ；在研究结构振影，系统的校正、有限元模型修正等问题 时，也遇到了类似的问题。“1 正是这些领域提出的许多不同类型的问题促进了 约束矩阵方程理论的快速发展，使得约束矩阵方程问题成为当今计算数学领域的 热门研究课题之一 迄今，关于约束矩阵方程问题的研究已经取得了一系列的成果所讨论的约 束矩阵方程问题涉及的约束矩阵集合有对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、 中心反对称矩阵、自反矩阵、反自反矩阵、双对称矩阵、对称次反对称矩阵、对 称半正定矩阵、非负矩阵等”1 所使用的方法有奇异值分解( s v d ) ”、广义奇 异值分解( g s v d ) 1 ”、标准相关分解( c c d ) 1 ”、商奇净值分解( q s v d ) 等 对于矩阵方程a 7 x 8 一b 【x 7 a = d ，1 9 8 9 年c h u “利用广义奇异值分解讨 论了它的可解性，并给出了一般解；2 0 0 1 年袁水新“”利用标准相关分解给出了 该矩阵方程有解的充分必要条什及其一般解的表达式当矩阵方程不相容时，给 出了矩阵方程的最小二乘解；2 0 0 2 年袁永新”1 利用矩阵的f 义奇异值分解和标 准相关分解，给出了该矩阵方程桐容的条件及丰 | 容方程的极小范数解；2 0 0 5 年 袁永新 从正规方程出发，借助于奇异值分解导出了该矩阵方程的最小二乘解和 极小范数最小二乘解 此外，对于来源于振动理论的矩阵方程b 7 x b = d 也有大量的研究结果如 1 9 9 6 年戴华“”利用矩阵的奇异值分解研究了该矩阵方程有对称解、对称半正定 解、对称正定解的条件和解的表达式；2 0 0 0 年廖安平等“和屠文伟”1 分别研究 了该矩阵方程的双对称解问题；2 0 0 3 年彭振赞“”研究了该矩阵力程的中心对称 解、中心反对称解及其最佳逼近问题，还研究了该矩阵方程在双结构矩阵类如双 对称、双反对称、对称次反对称、反对称次反对称中的最佳逼近问题；2 0 0 2 年 廖安平和白中治”“利用矩阵的标准柑关分解，研究了该矩阵方程在双对称矩阵集 合类中的最小二乘问题；2 0 0 3 年谢冬秀”3 研究了该矩阵方程在正定矩阵集合类 中的最小：二乘问题；2 0 0 3 年邓远北。”研究了该矩阵方程在线性流形上的对称解、 反对称解、对称半正定解及其最佳逼近问题 对于矩阵方程组的求解问题，也有很多研究成果如m i t r a “”1 在1 9 7 3 1 9 9 0 年先后研究了矩阵方程组a x = c ，x b = d 和a ，x 8j = c ，a 2 x b 2 = c ：的求解问 题；c h u ”在1 9 8 7 年给出了矩阵方程组a x b = e ，f x g = h 的可解性条件； n a v a r r a 等”在2 0 0 1 年研究了矩阵方程组a i 船】= c l ，a 2 x b 2 = c 2 的求解问题， 并利用拉直映射和拉直逆映射给出了新的通觯表达式：陈永林等1 在1 9 9 1 年利 用k r o n e c k e r 积和广义逆矩阵给出了矩阵方程组爿裆j = c ，a ：x b 2 = c ：f i 一般 解的充分必要条件和通解的新烈表达式 组a x a = c ，b 7 x b = d 的对称解问题， c h a n g 等在1 9 9 3 年研究了矩阵方程 邓远北”在2 0 0 3 年利用矩阵的标准相 关分解得到了该矩阵方程组有对称解的条件及通解表达式，并给出了极小范数刑 州北州l 人学碰l 学位论文 称解和最佳逼近解，此外，还利用矩阵的商奇异值分解得到了该矩阵方程组的反 别称解和反对称最小二乘解；姚建康。“1 在2 0 0 1 年利用递推算法解决了当矩阵方 程组4 ，x b i = c ，a 2 x b ：= c 2 相容，且爿1 与a ：，b i 与b ：分别为同型矩阵时一般 解的计算问题尽管约束矩阵方程问题的研究已经取得了大量的成果，但还有一 些问题没有解决或者研究不够完整，如对于矩阵方程组的约束最小二乘问题及其 最佳逼近问题还没有解决，本文拟对这类问题进行讨论 1 2 论文研究的问题 本文使用直接法和递推法研究矩阵方程的约束最小_ 乘问题，研究内容分为 四个部分： 、首先利用矩阵的广义奇异值分解导出矩阵方程a 1 x b b 1 x 1 a = d 的加 权最小= 乘解的一般表达式及最佳逼近问题的解，然后利用矩阵的标准相关分解 给出线性流形上矩阵方程b 7 x b = d 的对称正交反对称最小二乘解 二、讨论求矩阵方程组a l x b 。= d 】，a ：x b 2 = d 2 的对称最小二乘解的递推算 法，该算法不仅能够用于求解矩阵方程组的对称最小二乘解，而且在选取特殊的 初始矩阵时，该算法还能够给出矩阵方程组的极小范数对称最小二乘解，以及对 给定矩阵进行最佳逼近的对称解 三、讨论求矩阵方程组a 1 x a = c ，b 7 x b = d 的反对称最小二乘解的递推算 法，而且在选取特殊的初始矩醇时，该算法还能够给出矩阵方程组的极小范数反 对称最小二乘解，以及对给定矩阵进行最佳逼近的反对称解 四、讨论求矩阵方程a x b + c x d = f 的中心对称解的递推算法，在选取特 殊的初始矩阵时，该算法能够给出矩阵方程的极小范数中心对称解，以及对给定 矩阵进行最佳逼近的中心对称解 约定：用r ( c ) 表示n x m 实( 复) 矩阵集合：o r “”表示n 阶正交矩阵集 合；s r “”表示 阶澍称矩阵集台；a s r ”表示 阶反对称矩阵集合；c s r 表 示 阶中心对称矩阵集合；a + 表示矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 逆；i 。表示 阶单位 矩阵，e ，表示j 。的第i 列，s 。= 【e 。，p 。，p ，】表示r 阶次单位矩阵ir ( 爿) 表示 一些! ! l ! ! 查芏竺| ：竺! ! ：竺苎 矩阵a 的值域；a o b 表示矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 移 ；只= ，一a + a ， 只= j a a + ；定义实矩阵a = ( 口 。，与b = ( ) 的内积为( 爿，曰) = t r ( b 1 一) = ：。：1 b , i ，e hj l - l 导出矩阵的f r o b c n i u s 范数| i a i i = 舨瓦面；定义矩阵 a = ( 口，) 与b = ( 6 。) 的h a d a m a r d 乘积为a + b = ( d 。b 。) ；i 面) 表示将矩 阵a 按行拉赢构成的列向鼍：v e c ( a ) 表示将矩阵a 按列拉赢构成的列向量 第二章求解矩阵方程的直接法 本章讨论矩阵方程a 1 x 四一b 1 x a = d 的加权最小二乘解问题，并利用矩 阵的标准相关分解给出线性流形上矩阵方程b 1 x b = d 的对称正交反对称最小 二乘解 2 1 求矩阵方程的加权最小二乘解 文献【1 5 1 7 】对矩阵方程a 1 x b b 1 x 1 a = d 的求解问题进行了多方面的研 究比如，利用矩阵分解方法讨论了它的一般解，最小二乘解以及极小范数解 等本节讨论该类矩阵方程的加权最小二乘解 问题p ：给定a r ，b r 9 一，d r ，求x r “9 ，使得 f = 归1 x b b 7 x 7 a d 忆= m i n 其中i 。表示矩阵的加权范数( 见定义2 1 ) 本节借助矩阵对的广义奇异值分解，给出问题p 的通解表达式，并导出矩 阵方程a x b b 7 x a = d 有解的充分必要条件 2 1 1 预备知识 引理2 1 3 设r r ，则矩阵y 使得中= l lj ，一y 7 一r e = m i n 的充分必要 条件是 l ，一y = ；( 7 1 一t 7 ) 其中卜妊表示矩阵的f r o b e n i u s 范数 引理2 2 m 3 设a r ，d r ，则矩阵方程a 1 x x a = d 有解的充 分必要条件是d + j d l 。0 ，f a d 只；0 ：在有解的条件下，其通解为 x = 圭( 1 d + 圭( 一+ ) x d f 。+ y 一丢州；( v t a - 圭朋+ 峨 其中v 为任意矩阵 引理2 3 3 设三= d i a g ( a l ，口2 ，口。) 为正对角矩阵，j r “，r “。，则 堕! 堕些型塑生! 塑! 生垒兰 存在z r “，使得妒= 1 1 2 z 一| ，+ 忙7 三一上e = m i n 成立，且 z = 昙三一( 1 ，+ r ) 引理2 4 “”设三= d i a g ( a ，五， 。) o ，d 1 4 ”“，若w r “5 使得 妒= l l 一三“7 三十d = m i n 贝0w 一占。w 1 z = k ( 2 2 ) ”三一d z 2 ) r1、 舯肚l 南l 证明记= ( ) ，d = ( 一，) 。，则妒问。写为 伊= 吝( 一和+ 呜) 2 考虑二元函数 q c w 。，。，= ( 一等w ，+ 吒 2 + ( w ，一每w ，+ d ， 2 作变量代换y = 丑w 。一w j i a ，则上式成为 ) 2 专( _ y + 2 + 击( y 一 从而口( 力= m i n 的充分必要条件是y = 互紫，由此可得 一扣l = 警 令置= ( 南卜赃上式成为缈z l n c 皿n 峭c 证毕， 解为 2 1 2 问题p 的解及其最佳逼近解 设ae r “”，b r 一，根据文献【3 6 】，可设矩阵对( 爿7 ，b 7 ) 的，。义奇异值分 a = 膨u ，b 7 = m , z 口v 1 ( 2 1 ) 弭北i b l k 火产硕f “# 位i 仑文 其中m r 为可逆矩阵，u r 和v r 一为舀矩矗车，而 z = j oo 0 s 0 oo o j o o o s ，乞= 丘一r j ， m k 吼d ( r 0 s 口0i s 0 0 lf k 一，一j dddf m k rs玎一r s p k + r sk 一，一s k = r a n k ( a r , b 1 ) ，r = k r a n k ( b 7 ) ，s = r a n k ( a ) + r a n k ( b ) + k ，i a ，b 是单位 矩阵，0 ，o n t o 是零矩阵，s 。= d i a g ( a l ，口。，瓯) ，s 。= d i a g ( f l l ，岛，屈) 1 口l 口2 - 口， 0 ，0 届岛s 忍 口l 口2 + - 睇， 0 ) e = d i a g ( 届，屈，鼠) ( 0 o ) 4 。2 d i a g ( 8 , 川，巧。+ z ，巧，+ ) ( o 4 川每+ 2 4 ， = l i r , i i2 ( f = 0 , 1 ，2 ，) ( 证毕) 2 1 艚北川k 凡学领位l 仑文 于臣论盯递孺算缓甲的孢阵r 捌尸，看r z o ，j ! | j p o ( ，= 1 , 2 ) ， 引理3 3 对递推算法中的矩阵置和p ，如果存在正数女，使得 冠o ( ，= 0 , 1 ，2 ，) 那么( 墨，e ) = 0 ，( p ，p j ) = 0 ( f ，；f ，= 0 , 1 ，2 ，) 证明对任意矩阵a ，b r ，都有( a ，b ) = ( b ，a ) 第1 步：证明( 置，r j + ) = 0 ，( p ，p + 。) = 0 ( i = 0 , 1 ，女) 采用数学归纳法当 i = 0 时，有 ( ) _ ( 舭。一雠a ，p o b , b 卜一j a 2 p o b 2 b j + b i 丑j b 爿j 4 i + 马霹p o a t a ，) = i i 詹o l l 2 一群( 刖j a , p o b t b j a 2 p o b 2 b j + 占l a ：e o a ：a 。+ 岛露2 t 月：t 4 ：) = i r o i2 一丽i i r o l l 2 ( a 曰一b j + 一b z b j + b , b ：r o a j a 。+ b ：鹾r 爿j 一：，1 0 ) = 1 1 置o l l 2 一1 2 = o ( 只，只) = ( 只，a ：a r ，b i b t + a t a ：r i b ，硝+ b 。研胄j 爿j 一，+ 纠即飘+ 黯只， 3 器( 眦) + ( _ j a i p o b i b h 锅霹十 b 。b ：p o a ：a 。+ 置蟛只卅a ：，r ，) ：畔掣+ 翳p , 2 ( 耵) _ o 1 2蚓、“” 西北1 业大学硕i ：学位论文 假定对i j ( 0 s 女) 结论成立，则 ( 城1 ) - ( 贾 一群( 群a i p , b , b ；r + 咖。骢硝+ b 。b i 。只4 j 爿+ b ：四j 只一j 一：) ) 媳驴雠，小h 聃咖 b l 丑i t a i t 爿i + b 2 b ：p 。a t a 2 ) 刊则卜雠卵 n a 2 r , b 2 b j + b 。b t r 。以j 爿。+ b 2 霹皿。4 j _ ：，只) 刮删2 一簿c 只一器 ( 只，只+ 。) = ( 只，_ j 以r + ，b ，b j + a ：a ：e + 。马霹+ 即阻j a l + b z b 沁h + 群只) 5 静( 眦) + ( 们脚j a 2 p ，b 2 b ；+ b i b ；r p , a t a i + b 2 b tt a ，a 。t a 2 ，r ，+ 1 ) 5 皆+ 器“以j o 根据归纳法原理，对i = 0 ，1 ，2 ，t ，都有( 置，e + ) = 0 ，( p ，只+ 。) = 0 第2 步：假定当0 i 女，1 ， 时，( 置，曩+ ，) = 0 ，( p ，p 。) = 0 ，则 ( m 1 ) - ( 她厂群( 和t 啪珂州h 垦蟛+ 叫北j ) fj i 入学碳“节位| 它文 一辫a 、r , b j b j a 2 r i b 2 b j + b i b j 胄。a ：a 。+ b ：嚣j 胄，a ：t ，4 ：，p + ，) 一辫睁器。却 ( p ，只。) = ( r ，a ：a ，墨m l b ，b i + 爿j 爿：r i 。，b 2 霹+ 聃+ ，+ 衍”马帆一 群岛 = ( 爿j 月i p 曰l 占j + a a 2 只嚣：占j + 嚣，丑j p 爿j 4 ，+ 郫m 厶m ，+ 群c ， 。器嵋m 由归纳法原理可得( 墨，r ) = 0 ，( p ，只) = 0 ( f ；f ，= 0 ，1 ，2 ，t ) ( 证毕) 定理3 1对任意初始对称矩阵x o ，矩阵方程( 3 4 ) 的解可在有限步计算后得 到 证明如果霄，o ，由引理3 2 的推论知相应的p 0 ( f = i ，2 ，n2 ) ，按 照递推算法得到x ，和r ：+ ，结合引理3 3 有 ( 置，r ，) = 0 ( f ；f ，j = 0 , 1 ，2 ，”2 ) 故r 。，r ：，r 。：是矩阵空间r 的正交基凼为( 置，r ) = 0 所以r 。= o ， 从而t ：+ 是矩阵方程( 3 4 ) 的解因此矩阵力程( 3 4 ) 的解最多在厅2 步计算后得到 ( 证毕) 引理3 4 “1 1 设a r ，b r ”，线性力程组a x = b 有解，则极小范数解x + 惟一，且x 。n ( a 7 ) 索义3 1 对于列向建工r ，定义m 矩阵 m a t ( x ) = k ( 1 ：) ：x ( + 1 ：2 m ) 其中x ( i ：、表示向量x 中第i 个分量到第j 个分量构成的列向量 将矩阵方程( 3 4 ) 按弼泣直得到线性方程组 ( 占【矸o a t taj + a ? a l 圆b 1 点j + 岛毋j a ：a 2 + a t a 2 b 2 8 2 r ) v e c x = v e t ( a d l 丑j + _ j 上) 2 占；+ 口。d ? a i 十b 2 d j 爿2 ) 易见 v e c ( a i a l l i b 【口j + a t a 2 峨霹+ b i b i t h a , t a 。+ 垦霹删j 4 ) = ( b ，四j 爿j 爿。+ b 2 b ： a ：a 2 + a ：a i b i 口j + 爿j 4 ：o b ：b ) v e c ( h ) n ( b ，b j p a v a 。+ b ：b ；o a ：a ：+ a ：a l o b 。b i + 爿j 一2 0 8 2 曰；) 因此，由递推算法和定理3 1 知，若选取初始矩阵 x 。= a ：a 。h b j b r + a ：a 2 h b 2 口j + b 。n ? u a t a 。+ b z b ：h a ：a ：( h s r ) ( 易见x 。是对称的) ，则在有限步计算之后得到矩阵方程( 3 4 ) n n x + ，且x 也 具有和甄相同的表示形式( 对应的圩一般不同) ，根据递推算法，剥某个矩阵 l ，s r ，有 v e c ( x ) = ( 占，b io j 爿，+ b ：丑jo 4 ；一2 + 爿j 一o b l 占j + 月j a 2o b ：b j ) v e c ( y ) r ( b ，口j o j 4 、+ 嚣：b j o 爿j a + a ；a ，o b ，嚣j + 爿j 4 2 b 2 _ 8 j ) 由引理3 4 知 x + = m a t ( b ，口io 爿i 月1 + 曰2 口j a t a2 + 爿j 4 lo 丑j 占j + a v 2 a 2o 占2 丑j ) + v e c ( a j d l 丑j + 4 j d 2 b j + b i o ? a 1a - 8 2 d ；4 2 ) 1 3 i 是矩阵方程( 3 4 ) 的极小范数对称解综上所述，可得下面的结论 定理3 2 矩阵方程( 3 4 ) 总是有解的，若选取初始对称矩阵 x 。= a ：a l l i b 衙b + a ：a 2 h b 2 b j + b , b i r h a t aj + b 2 霹h a a 2 ( h s r ) 则递推算法可在有限步计算后得到矩阵方程( 3 4 ) 的极小范数对称解 堕! ! 型! 叁兰堡! ：竺堡堡苎 一一 则有 因为 3 2 问题2 的解 对任意给定的矩阵贾r ，问题1 的解集合s 。非空，若x s 。 s r 所以 x 一又叫一半卜华 卜塑2 ，塑2 - oij i i x - 碧1 1 2 = 卜墨h 竿8 因此，i x - 又1 1 2 = r a i n 价于x 一等l 竿 1 卜爿卜 r a i n ，也就是 改写矩阵方程( 3 4 ) 为 枷x 一竿) b i b m h ( x 一竿蚴j + 啦x 一墨埘a i + b 2 b j ( x 一墨姚 ：4 j ( d 2 吗华剐即t4 ：r ( d 1 - a 1 华b i ) 嚣i + 引珥皤竿椭鹕( 班霹竽砒 令爱一竿， 西，：d ，一4 ，掣口 ( 3 1 1 ) 厦：d ：一 壁三马 则上式可写为 一j 一，j 治b j + 4 j _ ：趣霹+ 口。曰j 拍j a 。十坟b j 翰j 爿： _ j 西；b j 十4 j 西：占j 十b ，西j 爿+ b ：西j 爿： f 3 1 2 ) 根据( 3 1 1 ) 式，问题2 等价于求矩阵方程( 3 ，1 2 ) 的极小范数对称解贾取初始矩阵 2 6 一 一 些! ! 型! 查堂竺土堂堡堡兰 x o = a ：a h b t b ，+ 蜀占j 月爿j 爿1 + 爿j 一。n z t b 。+ b b ：i t a t ia ，( 月7 s r ) 使用递推算法可求得矩阵方程( 3 1 2 ) 的惟一极小范数对称解岩+ ，从而得到问题2 的解贾：贾+ 篓茎! ， 2 3 。3 数值实验 用本章提出的递推算法求矩阵方程组( 3 1 ) f l 删、范数列称最小二乘解和给 定矩阵的最佳逼近对称解，其中 a l = a 2 = b 。； x = 43一l3l 3 2l 一45 42 10l 213一l4 43131 350一l3 4 04 5 一l5o一2 3一lo3 03l2 2731 一l23l 2133 333l 2332 322 3 d i = d 2 = b 2 = 终止准则i 限l l 2 ) 时，( 4 1 0 ) 式成立，则当k = s + 1 时，有 叫c 卜刚一t r 卜一一黔h 西北工、夫学碾f 学位i a 文 一t r 峭汜卜群呱蚴 叫2 + 豁r2 “啦卜。 缸c 一。则一t r ( x - ( e , + , - r l 一一眢q 一t r 坠坠逝迎2 五咝卜i 铲o t r 【 叫一兆】 jj j 2 “ ”一“ = t r ( x 一墨+ 1 ) 只+ 。】 下面证明t r ( x x 。) 只+ 。】：- i i r 。+ 。n t r ( x x 。+ 1 ) 只+ 1 1 = t r ( x x 。+ 1 ) ( 爿月7 r 。+ l a a l + b b 7 r ，+ 】b b 7 ) 】 = m ( a a 7 r 川ta a 7 + b b 7 r 二i b b 7 ) ( x x 川) 7 = t r ( a a l ( x 一鼍+ 。) a a l + b b 。( x x 。) 7 b b l ) 曩t + ，】= _ 1 陋+ 。j 2 根据归纳法原理，( 4 1 0 ) 式成立( 证毕) 定理4 1 对任意初始矩阵x 。a s r ，矩阵方程( 4 5 ) 的解可在有限步汁 算后得到 证明如果丑0 ，由引理4 7 知相应的q ，0 ( i = 1 , 2 ，m 2 ) ，按照递推 算法得到x + l 和且。：+ i ，结台引理4 6 知 t r ( 琏7 皿，) = 0 ( f j ；i , j = l ，2 ，晰2 ) 而 t r ( e ) = o ( ，= j “2 ，脚2 ) 故置，r 2 ，r 一是矩阵空间r 中的一组正交基，从而r 小。= 0 ，即x ；2 十j 是矩 阵方程( 4 5 ) 的解凶此，矩阵方程( 4 5 ) 的解最多在埘2 步计算后得到( 证毕) 将矩阵方程( 4 5 ) 按列拉直得到线性方程组 ( 州。0 州1 + 肋1 0 b b 7 ) v e c ( x ) = v e c ( a c a 7 + b d b l ) pl i = | 、m 人学颂l ：学位沦文 v e c ( a a h a a + b b 。h b b 。1 _ ( a a 7 0 a a l + b b 7 圆b b l ) v e c ( h ) e 且( 删7 a a l + b b 7 b b l ) 因此，根据递推算法和定理4 1 知，若选取初始矩阵 托= a a 7 h a a 7 + b b h b b 7 ( a s r ) ( 易见瓦是反对称的) ，则在有限步计算之后得到矩阵方程( 4 5 ) 的解x + t 且x 也 具有与x o4 1 j 同的表示形式( 对应的日般不同) ，根据递推算法，对某个矩阵 y a s r ，有 v e c ( x ) = ( 刖。o a a 。+ b b lo b b 。) v e c ( r ) 仨r ( a a l o a a + b b 7 b b 1 引用定义3 i 中的记号，根据引理3 4 可得 x + = m a t ( a a o a a 7 + b b l0 b b l ) + v e c ( a c a 7 + b d b l ) 】 是矩阵方程( 4 5 ) 的极小范数反对称解综上所述，可得下面的结论 定理4 2 矩阵方程( 4 5 ) 总是有解的，若选取初始反对称矩阵 凰= a a 7 h a i l 7 + b b 7 h b b 。( 日a s r ) 则按照递推算法可在有限步计算后得到矩阵方程( 45 ) 的极小范数反对称解 4 2 问题2 的解 对任意给定的矩阵又r ，问题l 的解集合s 。非空，当x s ，c a s r 时，有 撕= ( x 一竿) _ 竿 因为 卜竿，华 = o 所以 l i x i = 即1 阻一又 1 2 = m i n 等价于 卜竿警1 2 曲北h 丈学硕卜学。屯论文 卜竿卜n ( 4 1 i ) 改写矩阵方程( 4 5 ) 为 州1 卜a a t + b b t ( x 一孥) 科 = 月c - a t 一i - r t 爿卜b 卜7 竿b p 令贾：x 一茎2，c = c - a t 墨二2 墨二爿，西= d - b t 墨二2 墨二占，则上式町 写为 州7 妞a 7 + b b 7 妇曰7 = a 幽7 + 曰施7( 4 1 2 ) 根据( 4 1 1 ) 式，问题2 等价于求矩阵方程( 4 1 2 ) l 狲j d 、范数反对称解 取初始反对称矩阵 x o = a a l h a a l + b b l h b b l ( h a s r ) 使用递推算法可求得矩阵方程( 4 1 2 j 的惟一极小范数反对称解足，从而得到问题 2 的解文：戈+ 壁里 4 3 数值实验 用本章提出的递捧算法求矩阵方程( 4 4 ) 的极小范数反对称最小二乘解和给 定矩阵的最佳逼近反对称解，其中 a = x = b ： d = 404 5 1 50 2 3 103 03l2 273 1 06 7 3 6 701 5 31 50 7 33 7 1 2 2 9 23 4 2 2 1 2 9 2 3 4 2 2 1 2 2 2 5 0 lj 7 7 2 ) j纠剖=吡。猫 5，33 0 4 6 2 一 一 一 一 一 一 2 6 7 o ，o 3 6 5 4 1 2 2 4 3 o 2 4 一 一 一 一 一 3 o 之6 5 2 2 0 。0 ，3 o o _ 一2 q 一 些：坐：些鉴：! ! 型! 羔坚堕苎 c = o1 7 61 4一1 0 5 6 1 1 7 60 1 6 一j 6 5l 7 1 41 601 4 48 4 1 0 51 6 51 4 40 8 4 6 l一1 1 78 4 8 40 终止准则k i i 1 o e 一1 0 ( 1 ) 求极小范数反对称最小二乘解 x ls 。 01 5 2 2 7 1 6 1 1 9 2 5 2 1 90 6 1 7 7 1 5 2 2 7 02 5 4 7 4 0 5 7 4 l3 6 0 0 l 1 6 1 1 9 25 4 7 403 17 4 23 7 6 8 4 2 5 2 1 90 5 7 4 1 3 i7 4 2 03 9 l1 7 0 6 1 7 7 3 6 0 0 1 3 7 6 8 4 3 9 l1 70 慨。0 = 9 6 9 5 6 x 1 0 。1 ( 2 ) 求矩阵的最佳逼近解：给定矩阵牙，令 e = c - a t 量三4 ， 取初始矩阵爱= 0 ，求矩阵方程 西：d b t 至丛四 2 a ? a ；妇科b + 髯4 ：妇，占j + e 廖j 翩j a 。+ b 2 矗j 勋j 4 ： = a 1 西l b l + 趣蟊：b j + 甄避a l + b 2 醚如 的极小范数反对称最小二乘解贾可得 x 1 4 = 03 0 7 7 8 0 4 8 4 3 4 118 0 5 1 3 0 i 一3 0 7 7 8 02 5 4 2 1 03 5 1 03 3 3 7 8 0 4 8 4 3 2 5 4 2 l0 i 9 0 3 01 2 3 2 1 4 118 00 3 5 1 0 1 9 0 3 0 00 11 4 0 5 1 3 0 l 一3 3 3 7 8 1 2 3 2 1 0 1 1 4 0 0 矗1 4 = 1 2 6 5 3 x 1 0 4 贾：豆。十譬 o 4 5 7 7 8 3 4 8 4 3 2 1 1 8 0 3 1 3 0 i 45 7 7 834 8 4 3 2 1 1 8 0 o 59 8 1 6 5 9 8 1 6o 1 3 5 1 0 4 8 3 7 8 4 4 0 3 0 5 2 3 2 l m i ，n 、i x 一又8 = 文一又| 1 = 1 3 1 8 0 4 1 3 5 l o 4 4 0 3 0 0 5 8 8 6 0 3 1 3 0 l 4 8 3 7 8 5 2 3 2 1 5 8 8 6 0 0 第五章求矩阵方程的中心对称解的递推算法 文献 4 3 ，4 4 分别讨论了求矩阵方程a x b + c x d = f 惟一解的参数迭代法和 分组迭代法，并给出了迭代格式的收敛性条件本章讨论求其中心对称解的递推 算法，以及最佳逼近问题 问题1 设a ，c r ，b ，d r ，f r ，求x c s r ”使得 a x b + c x d = f( s 1 ) 问题2 给定又e r ，s _ ，y 表示问题1 的解集合，求贾s 。使得 0 戈一又6 = m i n x 一舅 ( 5 2 ) 定义5 1 设矩阵x = ( x 。) 。r ”“，若x 。= x 。( f ，= 1 , 2 ，n ) ，则称 矩阵x 为中心对称矩阵 引理5 i 4 5 1 矩阵x c s r ”的充分必要条件是s 。x s 。= x 引理5 。2 若矩阵x c s r ”“，则x + s 。x s 。c s r 事实上，由引理5l 知s 。( x + s 。x s 。) s = s 。x s 。+ x = 2 x c s r “1 引理5 3若矩阵x ，y c s r ”，丑，丑2 r ，则五1 x + 旯2 y c s r “”，即 c s r ”为r 的子空间， 事实上，由引理5 1 知 s 。( x + 五2 r ) s 。= i s 。x s 。+ 五2 s 。y s 。= 丑1 x + 如l r c s r 舭” 5 1 求解问题l 的递推算法 下面建立求解问题1 的递推算法： 第1 步给定初始矩阵x c s r ”，计算 r t = f a x l b c x l d 鼻= a 1 r l b l + c 1 r 。d 1 ，q = 去( 置十s o e , s 。) 型坠型芝型竺丝苎 靴步2 k + 黯幺 r 2 p 一戕k + 1 b c x d ，只+