（计算数学专业论文）生命表及选择—终极生命表修匀.pdf

生命表及选择一终极生命表修匀 摘要 本文主要提出选择终极生命表的一种变形的w h i t t a k e r 修匀，这种变形的 w h i t t a k e r 修匀假设选择群体在选择期内的死亡效力符合c o m p e r t z e 模型，该方法 能够变二维修匀为一维修匀，其计算量大大的减少，方法也相对简单化。另外， 对陈卫宏l 】提出的小波修匀实际可行性提出一点看法。 第一章介绍了修匀的几种定义，并指出修匀主要指对初始估计的拟合和光 滑性修正，并简要的介绍了修匀的几种方法。 第二章介绍了构造生命表的基本方法和框架，以及选择终极生命表的基本 形式。 第三章具体介绍了生命表修匀的几种方法：移动加权平均法、w h i t t a k e r 修 匀法、b a y e s i a n 修匀法、参数修匀法、样条修匀。 第四章对小波修匀不可行性进行了讨论。 第五章先介绍了选择终极生命表传统的二维w h i t t a k e r 修匀，接着提出了对 选择终极生命表修匀的一种新方法，该方法假设选择群体在选择期内的死亡效 力符合c o m p e r t z e 模型下的参数修匀，先用最小二乘法对各个群体死力函数的参 数进行粗估计，再利用变形的一维w h i t t a k e r 修匀对它们的参数进行修匀。本文 的方法比传统的修匀方法公式简单，计算量大大减少，且修匀效果不低于传统 的方法，最后给出的实际例子也验证了本方法的有效性。 关键词选择终极生命表，死亡效力，修匀，c o m p e r t z e 模型。 t h eg r a d u a t i o no fl i f et a b l ea n ds e l e c t a n d u l t i m a t e t a b l e s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n 。a u t h o ra p p l i e sam o d i f i e d o n e - d i m e n s i o n a lw h i t t a k e r g r a d u a t i o nt os e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e s t h i sm o d i f i e dw h i t t a k e rg r a d u a t i o ni s b a s e do nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ef o r c e so fm o r t a l i t yo fs e l e c t i o no fg r o u p si su n d e r c o m p e r t z em o d e l t h ee f f e c to ft h i sm o d i f i e do n e - d i m e n s i o n a lm e t h o di st h es a m e a st h eo n eo ft w o d i m e n s i o n a lw h i t t a k e rg r a d u a t i o n ，a n dt h e r e f o r et h em e t h o di s s i m p l e ra n dc o s t sm u c hl e s sc a l c u l a t i o n i na d d i t i o n ，a u t h o rd o u b t st h ef e ：a s i b i l i t yo f w a v e l e tg r a d u a t i o ng i v e nb yc h e nw e i g h i n g 1t 1 c h a p t e rli sd e v o t e dt ot h ed e f i n i t i o n so fs e v e r a lg r a d u a t i o n sw h i c hm a i n l yr e f e rt o t h e f i t t i n g a n ds m o o t h n e s so fa m e n d m e n to ft h ei n i t i a le s t i m a t e ab r i e f i n t r o d u c t i o nt ot h eg r a d u a t i o no fs e v e r a lw a y si sg i v e na tt h ee n do ft h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2 t h eb a s i cm e t h o d sa n dt h ef r a m e w o r ko fl i f et a b l ea n dt h eb a s i cf o r m o fs e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e sa r ei n t r o d u e e d i nc h a p t e r3 。s e v e r a lm e t h o d so f g r a d u a t i o no fl i f et a b l ea r ei n t r o d u c e d ：m w a ， w h i t t a k e r ，b a y e s i a n ，p a r a m e t e ra n ds p l i n eg r a d u a t i o n i nc h a p t e r4 t h ei n f e a s i b i l i t yo fw a v e l e tg r a d u a t i o ni sd i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r5 a u t h o rf i r s t l yi n t r o d u c e st h et r a d i t i o n a lt w o d i m e n s i o n a lw h i t t a k e r g r a d u a t i o no ns e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e s 。a n dt h e ng i v e san e wm e t h o do f g r a d u a t i o no ns e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e s a f t e rt h a ta u t h o rg i v e sam e t h o dt o e s t i m a t et h e p a r a m e t e r s o ft h ef u n c t i o n so ft h ef o r c eo f m o r t a l i t y o n s e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e sb a s e do nt h ec o m p e r t z em o d e l t h i sm e t h o df i r s tu s e s t h ei e a s ts q u a r em e t h o dt op r e - e s t i m a t et h e s ep a r a m e t e r s a n dt h e na p p l i e sa m o d i f i e do n e d i m e n s i o n a lw h i t t a k e rg r a d u a t i o nt ot h e mt oo b t a i nt h eg r a d u a t i o n p a r a m e t e r s c o m p a r e d w i t ht h et r a d i t i o n a i m e t h o d ， w h i c hf i r s tu s e s t w o d i m e n s i o n a lw h i t t a k e rg r a d u a t i o no nt h ed a t ao fs e l e c t a n d - u l t i m a t et a b l e s ， a n dt h e na p p l i e st h el e a s ts q u a r em e t h o dt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r st h ef u n c t i o n so f t h ef c l r c eo fm o r t a l i t y o u rm e t h o di ss i m p l e ra n dm u c hl e s sc a l c u l a t i o nw i t ht h e s a m eg o o dr e s u l t s a tl a s t ，a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h i s m e t h o d k e y w o r d s ：s e l e c t a n d u l t i m a t et a b l e s ，f o r c eo fm o r t a l i t y ，g r a d u a t i o n , c o m p e r t z e 插图清单 图3 卜3 4m - w - a 修匀1 4 图3 5 - 3 6w h i t t a k e r1 彦匀18 图3 7 - 3 8b a y e s i a n 修匀“2 2 图3 9 参数修匀2 4 图3 10 样条修匀“2 7 图4 卜4 8 小波修匀31 图5 1 - 5 2 变形的w h i t t a k e r 与标准的w h i t t a k e r 修匀效果3 7 图5 3 5 4 h 小f - - - e q m 参数修匀前后4 1 图5 5 传统二维w h i t t a k e r 修匀4 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得金目巴王些太堂或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签字 警字日砂og、 ， u年f 月厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金把王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定。有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金篷兰些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 签字日期：2 肛乡月 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： f 日 名：扣劾 签字日期：伊莎年石月7 日 电话： 邮编： 致谢 转眼之间在合肥工业大学学习了7 年，我怀着对合肥工业大学依依不舍的 心情离开了合肥工业大学，走向了工作岗位，在合肥工业大学的7 年的时间里， 我学到了很多很多，曾经合肥工业大学的秀丽的风景让我倾倒，让我发愤在这 美好的环境中努力学习，做一个对自己，对家庭，对学校，对社会有用的人才。 事实上，7 年的时间里我学到了很多知识，在7 年的学习中，我得到了许多老师 和同学的帮助，使得我解决了很多困难。 在这里我要感谢我的导师朱晓临教授，此外还有朱功勤教授，郭清伟副教 授，他们都给了我许多有益的教导，他们那平易近人的形象将对我产生深远的 影响：他们对我的淳淳教导，将使我受益终生：他们严谨治学的作风，让我养成 了谦虚谨慎，认真学习的好习惯：他们渊博的学术水平，将是我以后追求的目 标。总之，他们给了我很多很多。 人生是短暂的，在一个地方呆7 年也是很难得的，在合肥工业大学的7 年时 间里，她把我从一个不懂世事的高中生，培养成一个顺利毕业的硕士研究生， 她将永远是我心中的学习圣殿，学习乐园，在那7 年的悲欢喜乐的时候是我终生 的财富。在即将离开合肥工业大学之际，有太多的留恋之情，有太多的话急欲 表达，有很深的情怀需要表达，有很高的理想需要起航，有很多很多的同窗之 谊值得怀恋，总之，就让我从这开始吧。 世界是美好的，前途也是光明的。 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 林伟然 2 0 0 8 年6 月6 日 第一章绪论 1 1 修匀的定义 随着科学技术的迅速发展，近年来关于修匀理论和方法研究受到人们的关 注。本章对修匀基本概念、性质、方法作扼要介绍。许多作者曾对修匀过程下 过定义，a n d r e w s 矛d n e s b i t t 把修匀定义为：“根据一个有其自身规律的自然现 象的若干观察值，经过有规则的修正，力求能代表这个现象。 这个定义需要 建立一个模型，这就是说，我们己经有了一个观察值的集合，它给予我们关于 这个模型的初始信息，然后，去修正这些观察值，尽力改进我们的模型，使它 可以作为基现象的代表。 m i l l e r 把修匀定义为：“修匀是这样一种可靠的方法，根据一个连续变量 的不规则的观察序列，用这种方法，可得到一个光滑的有规则的修正序列，与 观察值序列相和谐。 m i l l e r 定义方法和a n d r e w s 和n e s b i t t 定义方法一样，都 认为对于某个基规律( 或基现象) 都给出了一个“不规则”的值序列，这些值应 该被修正。把修正值序列取作基规律的代表。但是，m i l l e r 方法仅仅在“修正 观察值”这个要求上，就有两个重要的形式，优于前一种方法。 首先他提出修正值不应离初始( 观察) 值太远这种被称为拟合的考虑，在修 匀过程中，显然是所希望的。其次，m i l l e r 的定义明显地假设基规律本身是光 滑的，有规则的和连续的。因为在修匀过程中通常的目标是修正那些观察值， 以便产生作为基规律的“更好 的代表，所以，m i l l e r 关于基规律的性质的假 设，更明确的给出修匀过程的方向。 需要注意如下事实：这两种定义都把修匀与修正初始观察数据看作是一回 事，而并没有首先考虑如何得到这些数据。 因此建模过程至少应由以下两步组成： 1 、设法得到观察值序列； 2 、按照预先制定的准则，对数据进行修匀，而产生所假定的基规律的“较 好”的代表。 m i l l e r 关于修匀的定义说明修匀过程由两个方面组成，既要有光滑观察数 据，又要保持对观察数据的一定的拟和度。这在技术上是可行的，但这是远远 不够的，它未能认识到修匀过程的统计性质。 早在1 8 8 7 年，k i n g 就注意到这个问题，他说：“什么是修匀的真正目的? 许 多人回答，去得到一个光滑曲线。但这是不十分正确的，应该这样回答， 去得到最可能的死亡率。 八十年后，k i m e l d o r f 和j o n e s 说：“我们看待这 个修匀，不仅仅是作为光滑过程，而是更一般的作为对真变化率的估计过程， 这个真变化率就是在人群中实际存在的变化率。 w h i t t a k e r 十分简明地叙 述了修匀的本质。他说：“修匀问题本质上属于关于概率的数学理论。 最后 我们给出m i l l e r 关于修匀的非常有说服力的定义：“我们仅仅有一个由有限次 观察得到的观察概率序列，我们必须根据这个序列估计出未知的真的死亡率。 采用这种观点，修匀问题是一个数学问题，它要求我们去估计或者得到真死亡 率序列的一个代表，它被认为是根据观察概率的不规则序列而得到的。一 m i l e r 的这段引文，连同k i m e l d o r f 和j o n e s 的引文，给出了关于修匀的合乎 理想的定义。它允许我们把修匀问题纳入统计估计的范围，并属于序列估计的 情形。由于承认了这个统计基础，我们就可用大家熟悉的统计概念来介绍修匀。 需要说明的是，在本文中用初始估计代替术语“观察值 ，因此当修匀时，我 们修正这个初始估计，于是得到真基值的一个修正估计o 1 2 修匀作为统计估计的特殊性质 在我们己经得到初始估计序列后，为什么还要去修正他们呢? 为什么我们 不把这些初始估计看成是那些要去估计的未知值的“最佳”估计呢? 如果我们 用的估计过程是合理的，无可非议的，为什么还要去改变那些估计昵? 其回答就在于那些数据本身的性质。每一个初始估计是某个特种序列的一 个元素，在这个序列的各个元素之间我们怀疑存在着一种很强的关系。按照这 种说法，并不是所有的数列都可以作为修匀的对象，只有某些类型的数列才适 合于修匀，那就是这样的一种数列，相信在其各元素之间存在某些关系。各个 年龄的死亡率就是一个明显的例子。e l p h i n s t o n e 在处理死亡率时，也认为修匀 必须有这种假设，就是在邻近的死亡率之间存在某种关系。如果不要求这种关 系存在，那么修匀将是不妥当的，不能把初始估计修正成“最佳 估计。 e l p h i n s t o n e 直截了当的说：“修匀理论是相邻变化率之间的相互关系的理 论。” 现在我们可以弄明白为什么我们的初始估计序列需要修正了。在大多数情 况下，这个序列中的每一个元素是彼此独立地得到的，也就是说，不承认“相 邻变化率之间有关系 。而当我们修匀这些初始估计时，这些关系是被承认存 在的，且将反映在它们的修正估计上。 从上可以看出，我们现在要处理的是知识( 也许我们应该说成是信念) ，它 就是我们所知道的关于所考虑的序列的性质。这些知识是不依赖于初始估计所 包含的信息的，也就是说，我们所说的知识( 或者信念，观点) 在获得初始估计 之前就己经有了。所有这些知识的总体，我们称为先验观点。可以看出，统计 估计是基于观察数据本身( 它不考虑或几乎不考虑其他因素) ；因而初始估计可 以作为最终估计。而在修匀过程中，最终估计是基于初始估计( 观察数据) ，也 基于关于所考虑序列的先验观点。后面我么可以看到，所有的修匀方法，都以 不同的方式或多或少的反映了应用先验观点这个原则。 一个简单的例子： 2 设有一枚不均匀的硬币，把它上抛一次出现正面的概率记为，为了估计r ， 把硬币上抛刀次，记下出现“正面 的比例，记为u ( 这里用u 代替尹，其中表 示，的样本值) ，那么可以把u 看成是f 的一个估计。重复上述试验，可以得到不 同的u ，所以记日为出现正面的次数，且可知它是一个随即变量，并且服从二 项分布，其参数为刀和，引入随机变量【，它是把硬币上抛刀次出现正面的比 例，则有 u ：旦 疗 可知u 是，的一个估计量，并且它是无偏的。接着假设有1 0 0 枚不同的硬币，且 每枚硬币有不同的不均匀度，将这些硬币从1 到1 0 0 编号。e 从是第f 个次数随 机变量，它的取值是将第f 枚硬币上抛次，其中出现正面的次数。配是出现 正面的比例随机变量，t 是第f 枚硬币上抛一次出现正面的真基概率， f 也是二 项分布e 的参数，如前所述，以是，f 的二项比例估计量，且是无偏估计量，因 而有e ( u ) = t 。我们的目的是要估计的值，f = 1 ，2 ，1 0 0 。将第f 枚硬币上抛n j 次，对所有f ，这些未必相等，考察所得结果坼= j ：，对u 。进行修匀，它得到 修匀结果v j 并且认为m 比u 1 好，在这里应该注意，修匀通常处理的是由若干个 估计组成的序列，而不是单个的值u ，这里并不需要所有的m 和u i 相等。这里 就给出为什么要进行修匀的简单的原因。如果我们认为除了初始估计玑以外， 没有其他的先验信息，那么u i 将会是t 的“最佳 估计，当事实上，我们具有 一定的先验信息，例如，假设我们相信这些不均匀的硬币已经适当重排，使得 出现正面的基概率是递增的，也就是说，是珀勺增函数，而事实上，初始估计很 有可能不是递增的，所以上述先验观点给出了修匀这些估计的判断方向。这一 点在生命表修匀中经常采用。进一步的，如果我们有足够的理由相信那些硬币 的递增的不均匀性在f 的整个范围内是非常有规则的，也就是那些真基值t 形成 了一个光滑的前进模式，这就是光滑性要求，如果我们认为这些基值严格的表 示成白变量的某个数学函数，此时修匀过程就是“曲线拟合 过程，如果我们 对t 的实际数值己经有了某些想法，它与其他方法一起去表示我们的先验观点， 也就是关于t 序列中各个值之间的关系，这其中运用了先验观点和己经得到的 试验数据，这就是b a y e s i a n 修匀过程。 1 3 修匀的光滑性要求和光滑性检验 在所有的先验观点中，光滑性是重要的要求之一，即真变化率形成一个在 某种意思上光滑的序列。光滑性要求也在实践中所证实。为了说明光滑性目标 有一个明确的实际的要求，我们在这引用m i l l e r 的话进行说明：“为了计算保 费，责任准备金，年金等等，精算师总希望运用他的死亡率表。如果这些死亡 率不是有规则的和连续性的，那么他将什么也得不到。在表中各个年龄的死亡 率变幻莫测的不规则性搅乱了保费等有规则的增长趋势，这些数字应该是有某 种规律性的，这样就显得不协调了。另外，这种不规则性也将引起对整个死亡 率表的合理的怀疑。 由于不管在理论上还是在实际中，无可争议的要求有某 个光滑性准则，所以在修匀方法中应用先验观点时，光滑性要求一直是举足轻 重的事情，有时甚至是仅有的要求。光滑性作为最终估计的特征是如此重要， 使得在许多情形下，在完成修匀过程之后，还要做一些合理的附加的光滑性工 作。因而可以说，光滑性的某种概念通常是包含在先验观点中的。 如何衡量光滑性? 在这里主要是计算光滑性的一个数值度量。传统的做法 是计算修匀值的某些阶有限差分。当那些差分的某个阶( 通常是3 或者4 阶) 是“较 小值时，我们就说得到了某个光滑度。取差分平方和，就可以得到光滑度的 某个单个指标数。例如： s = ( 4 _ ) 2 ， s 是光滑性的一个度量，m 是在指标微b 的修匀值，这里暗示了这样一种假设， 即把某个三次多项式作为光滑性的一个标准，因为当修匀值是在某个三次曲线 上时，这个度量s 的值将是零。因此，当使s 值尽可能小时，也就是力求迫使 修匀值接近在一条三次曲线上。如果所考虑的数据不象是在一个三次曲线上， 那么应该另外设计一个光滑性度量，他应该比基于这个4 阶差分的度量要好。 1 4 修匀方法简介 修匀方法有参数修匀和非参数修匀之分，参数修匀是指在修匀过程中有确 定的函数形式，例如c o m p e r t z 模型和m a k e h a m 模型。这两个模型是参数修匀的 主要方法，这将在后面提到。可以看出，在参数修匀中，关于相邻死亡率之间 的关系的先验观点将用选定的特殊的函数形式来表示，同时，可注意到光滑准 则自动地被包含在选定的函数形式中。因此，对于初始估计和修正估计之间的 拟和问题有大量的需要注意的地方。c o m p e r t z 模型和m a k e h a m 模型是在整个数 据范围内使用唯一的函数形式，而另一种方法是在数据的若干子范围上分别用 分段函数去拟合，这样做的好处是可以用一些简单的函数形式( 相比于c o m p e r t z 和m a k e h a m 模型函数形式) ，例如低次多项式。于是拟合数据能归纳在这个分段 参数形式中。和参数修匀不同的是非参数修匀。非参数修匀包括传统的移动加 权平均修匀，以及后来发展起来的w h i t t a k e r 修匀，这是非常流行的方法，以及 后来方展起来的b a y e s i a n 修匀方法，这是一种较新的方法，这种方法直接使用 先验观点，并直接把修匀纳入统计估计领域中，因而被越来越多的使用。 1 5 本文主要内容 本文介绍了一元生命表的各种修匀方法，并运用实际例子说明把小波运用 4 于生命表修匀的不可行性。最后提出了一种二元生命表修匀的新方法。全文内 容安排如下，其中从第四章开始是作者的主要研究结果。 第一章介绍了修匀背景以及理论基础，并对修匀的方法作了一个简单的介 绍。 第二章介绍了一元及二元生命表的构造，并引进了有关的生命表函数。 第三章介绍了一些传统的一元生命表修匀，并在每一节运用实际的例子对 修匀的效果作一个简单的说明对比。 第四章针对是否可以把小波应用于生命表修匀的说法，运用上百种小波函 数对两组典型的死亡率数据进行修匀，根据一定规则说明实际的效果 并没有达到相关的要求。 第五章先介绍了传统的二元生命表一选择终极生命表的修匀方法二元 w h i t t a k e r 修匀，在这基础上，提出了一种新的选择终极生命表的修 匀方法，这种方法变二维修匀为一维的修匀，大大降低了修匀的数据 量及其复杂性。 第六章对全文的工作、创新点和理论、实际意义做总结，对今后的研究工 作提出了浅显的想法。 5 第二章生命表 生命表是用于描述某人口群体死亡规律的概率分布表，形式上是针对某一 区域、某一职业、或某一性别的一类人口集合，考虑这群人自出生( 或一定年龄) 开始，直到全部去世为止的生存与死亡的记录。通常以1 0 万( 1 0 0 万) 人作为0 岁 的生存人数，在生命表中死亡率是最基本的指标，其它指标都可以派生计算出 来。早在1 6 6 1 年，英国数学家g r a u n t 在英国瘟疫横行的地区将死亡率当作一项 科学研究，产生了有历史可查的最早死亡机率统计表。1 6 9 3 年，英国天文学家 哈雷将s i l e s i ab r e s l a n 城的人f l 统计资料加以整理，制作了著名的哈雷生命 表，之后，各国也开始重视国民寿命的统计工作。随着社会的进步，生命表 也逐渐地细分化，按照不同的标准可把生命表划分为许多不同的种类。根据年 龄分组的不同，生命表可分为完全生命表和简略生命表。年龄分组以1 岁为一组 的叫完全生命表，以5 岁或1 0 岁为一组的叫简略生命表。从覆盖范围来看，生命 表分为国民生命表和经验生命表。国民生命表是使用全体国民或特定地区的人 口统计资料编制，反映整个国家或地区人口的死亡规律；经验生命表是人寿保 险公司按照投保人的实际死亡资料编制而成的，反映的是投保于该公司的被保 险人的死亡规律。生命表按照使用要求又分为多种类型：有寿险生命表和年金 生命表；有男性女性生命表；有选择生命表，终极生命表和综合生命表等等。 2 1 生命表函数 定义2 1 1 新生儿能活到x 岁的概率：s ( x ) = p r ( x 石) ，与分布函数f ( x ) 的 关系：s ( x ) = 1 一f ( x ) ，与密度函数的关系：f ( x ) = 一s 7 ) ，新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率：p r ( x f ) = p r ( x 石+ f l x ，) = 未笋 特别：，p o = s ( x ) 以：x 岁的人至少能活到z + l 岁的概率见= 1 见 6 q ，：x 岁的人将在1 年内去世的概率q ，= 。q x ，t q x ：x 岁的人将在z + ，岁至x + ，+ 材岁之间去世的概率 池q x 2t + h q x l q l 2t p x i + h p i o 期望剩余寿命：( x ) 剩余寿命的期望值( 均值) ，简记e ， 0 哩 二 巳= e ( r ( x ) ) = ，t d ( 1 - ，以) = l ，p ，c l t 剩余寿命的方差：助( 丁( x ) ) = e ( 丁o ) 2 ) 一e ( 丁( x ) ) 2 = 2 s t t p a t 一毒2 “ 定义2 1 3 未来存活的完整年数，简记k ( x ) ，其中 k ( y ) = k ，k 5 丁( 石) k + l ，k = o ，1 ， 概率函数：p r ( k ( x ) = 七) = p r ( ks 丁( x ) 七+ 1 ) = 七+ l q x i q x = i 见一p x 2 t 见q x “2 尉吼 期望整值剩余寿命：0 ) 整值剩余寿命的期望值( 均值) ，简记 巳= e ( k ( x ) ) = 七。以吼“= 。+ l 见 整值剩余寿命的方差：v a r ( k ( x ) ) = e ( k 2 ) 一e ( k ) 2 = ( 2 后+ 1 ) 川见一气2 定义2 1 4 的瞬时死亡率，简记为以，以一等= 器一l i l 瞰瑚。 工l+l 死亡效力与生存函数的关系：s ( z ) = e x p - j u , d s ，见= e x p - ，从凼) 死亡效力与密度函数的关系：厂( x ) = 以s ( x ) = 以e x p - j u a s ， 死亡效力表示剩余寿命的密度函数g ( ，) ：g ( f ) = 1 一，见= 掣 学+ 一双 x 一 “一 簟 2 2 生命表的构造 生命表构造的原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的 生存概率。( 用频数估计频率) 常用符号： 新生生命组个体数：厶，年龄：z ，极限年龄：彩， 毛个新生生命能生存到年龄z 的期望个数i ：乞= 乇j ( x ) ， t o + 新生生命中在年龄x 与x + r t 之间死亡的期望个数：疗吃， 特别：n = l 时，记作或，以= 一+ 。= t 。吼，以= l 一乞+ 。= 吼， 厶个新生生命在年龄x 至x + ，区间共存活年数，厶：，= r w o 方， 乇个新生生命中能活到年龄x 的个体的剩余寿命总数瓦：互= f 方j 乏= 生命表实例( 美国全体人口生命表) 年龄区死亡比 期初生存数 期间死亡年龄区间共存剩余寿命总 期初存活者平均剩 间例数活年数数余寿命 工一x + t t q i| il d it l l 瓦 巳 o l 天 0 0 4 6 31 0 0 0 0 04 6 32 7 3 7 3 8 7 7 5 8 7 3 8 8 卜7 天 0 0 2 4 69 9 5 3 72 4 51 6 3 57 3 8 7 4 8 57 4 2 2 7 - 2 8 天 0 0 l3 99 9 2 9 213 85 7 0 87 3 8 5 8 5 07 4 3 8 o 一1 年 0 1 2 6 0 1 0 0 0 01 2 6 09 8 9 7 37 3 8 7 7 5 8 7 3 8 8 卜2 年 0 0 0 9 39 8 7 4 09 29 8 6 9 47 2 8 8 7 8 5 7 3 8 2 2 - 3 年 0 0 0 6 59 8 6 4 8 6 49 8 6 1 7 7 1 9 0 0 9 l7 2 8 9 表一 8 2 3 选择一终极生命表 由文 7 1o 】知，在现实的保险世界里，为了消除投保人的逆选择，通常保 险人对投保人进行核保( 通常对3 0 6 0 岁的投保人进行核保) ，选择具有良好健 康历史的人作为可以承保的对象。我们称经过了核保的投保人当年的承保年龄 为选择年龄，用【x 】来表示选择年龄为x 的投保群体。由于核保的影响，相同死 亡年龄的死亡率对于不同的选择年龄群体是不相同的。例如，q t 3 ，】 q 3 3 1 + 2 表示 个3 5 岁的新保户比一个有两年的投保历史的现年3 5 岁保户的死亡率小。但 实际表明，随着时间的推移，选择年龄对死亡率的影响渐渐的减少，最后就完 全取决于死亡年龄。选择年龄对死亡率的作用年限就称为选择期限，一般用符 号，来表示选择期。超过选择期限的死亡率就叫做终极死亡率，如下表的选择 终极生命表中，= 3 ，f = 0 ，1 ，2 ，则有：9 1 5 l l + l q 5 卟2 ，g l l + 4 = 9 1 5 l 卜3 = 9 5 4 。 选择终极生命表 选择期( r ) 选择年龄【叫到达年龄 0 12 3 q 1 5 0 l嘶5 0 卜lq l s o r , 2 q 5 3 5 05 3 5 15 4 q l s i lq l sn + lq l sn + 2缸 q 1 5 2 1嘶5 2 卜lq 1 5 2 , - 2 q s s 5 2 5 5 q t 5 3 1q 1 5 3 1 + 1q 1 5 3 6 2 5 3 5 6 表二 2 4 有关分数年龄的假设 生命表提供了整数年龄上的寿命分布，但有时我们需要分数年龄上的生存 状况，于是通常依靠相邻两个整数生存数据，选择某种分数年龄的生存分布假 定，估计分数年龄的生存状况，基本原理应用插值法，常用的具体方法是： ( 1 ) 均匀分布假定( 线性插值) ： s ( x + t ) = ( 1 一t ) s ( x ) + t s ( x + 1 ) ，0 ， 1 ( 2 ) 常数死亡力假定( 几何插值) ：s c x + t ) = s c x ) 卜) j 0 + 1 ) ，0 ， 1 ( 3 ) b a l d u c c i 假定( 调和插值) ：而1= i 1 - 西t + i 三百，o ，但是却有： 老 意 所以彳的元素至少要满足这一条件，其三，出于计算的考虑，由于我们要求彳的 逆，所以如果a 中有些元素为零，a 的逆就比较好求，事实上，由于口。= 0 可推 出q ，= 0 。因此，当，和相距甚远时，可以判定z 和r 是不相关的，这是一个 主观的判断。基于以上三点考虑，可以适当的选择彳中的元素值，k i m e l d o r f 和 j o n e s 提出了一个简单的公式为： = p 2 少，p 0 ，o ， 0 ，0 ， l 给出，其中，= 0 8 ，且任意限制矩阵中非零元素的个数， 改变p 2 表示的常数方差可产生不同的修匀方法，在这里取p 2 ：0 0 0 2 作为所需的 值，确定这些值后就可以得到修匀结果 我们能任意限制矩阵a 中非零元素的个数，取 0 二；：一刊：；二；富薹和 0 二三：一埘：；二爿三三，得到的修匀曲线分 别为下列两图( 红曲线为初始死亡率曲线，蓝曲线为修匀后的死亡率曲线) ： 图3 7 图3 8 从上述的两个图可以看出，我们要根据修匀的效果选择限制矩阵彳中非零 元素的个数。 3 4 参数修匀 在介绍参数修匀前，需要介绍生命表中的一个概念：死亡效力( 或死力) ，它 的定义如下： f ( x )s ( x )厂( x ) 段2 1 - f ( x ) 2 畜2 上1 - f 一( x ) p r ( x 0 ，c 1 如果取对数变换为：l o g = l o g b + ( 1 0 9 c ) x 可以看出，这里假定初始估计是死力以，用死亡概率吼表示死力 一+ ；2 石q 瓦x 1 ， 斛iu ) 吼 c o m p e r t z i 丞l 数形式明显的特点是l o g t 相对于x 的图像应近似为一条直线，所以 如果得不到这种近似的直线，应该考虑其他的函数形式。用生存概率见表示的 c o m p e r t z 形式为：见= g ，川) ，g , c 为参数， 其对数变换为：l o g p ，= ( c - 1 ) ( 1 0 9 9 ) c 。，也就是l o g p ，是x 的指数函数形式。 w e i b u l l 形式，其函数表达式为：段= k ( x 一口) ”，x a ，k 0 ，” 0 一般的为 了简单，常常考虑口= 0 的特殊情形：从= k x ”， 做对数变换有：l o g p ，= l o g k + n l o g x 。可以看出w e i b u l l 方法认为l o g a x 相对于 l o g x 的图像是一条直线，如果用生存概率表示就为： 1 - 见= e x p ( - 鲁( o + 1 ) ”1 - - x 肿1 ) ) 刀十i 有了以上二种函数形式，就可以用最小二乘方法估计参数，求得修匀值，。 以下是采用c o m p e r t z 形式的修匀，利用表三死亡率数据修匀： 图3 9 注：红曲线为初始死亡率曲线，蓝曲线为修匀后的死亡率曲线 最后，通过前面的讨论，我们可以看出修匀值，是由x 的一个连续函数所给 定的，因而它适用于所有的x ，尽管有时我们仅对整数x 才有要求，所以这一方 法的特点是它可以在更多的x 值得到修匀值，而不仅仅限于给定u ，值的x 上。 当然由于以上给出的是所有样本点上的函数形式，这使得这种方法的应用受到 局限，主要是因为很难有某一种函数形式能够适合实际的生命表数据，所以， 在实际中常采用分段估计技术，在这里就不作讨论了。 3 5 样条修匀 前面讨论的参数形式都是单一的函数形式，但这样做很难得到满意的修匀 结果。更一般的做法是在的不同区域上，用不同形式的含参函数去拟合它，这 种方法叫分段参数修匀，又叫样条修匀。 样条修匀的基本特征是：那些不同区域上的拟合函数有比较简单的形式， 如二次或三次多项式，在结点( 相邻区域的交点) 处，有光滑性要求，如连续， 一次可微等。 3 5 1 最小二乘三次样条 假设有初始估计值u x - a ，a + l ，6 ) ，先验观点是( 或近似可表示成) 一个 三次多项式，令 = q + c 2 x + c 3 x 2 + q x 3 问题是，如何去估计参数q ，c 2 ，c 3 ，气 有最小二乘法，可构造函数 s s = w a u ，- q - c 2 x - c 3 x 2 - c 4 x 3 ) 2 ， 令孚：o ( f ：1 ，2 ，3 ，4 ) ，可得矩阵方程x w x c = x w u ， 其中x = 1 a亏+11b ( 口量b ) 2 ( 口i b1)3j。一口一。k。，矿= ( 口+ 1 ) 2 ( 口+ 1 ) 3im i；ij l 2 3 i c = ( c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ) 。，求得c ，完成修匀。 3 5 2 两弧三次样条 若先验观点是：是【口，6 】上的分段三次多项式，既 = ： 暑 ：三二主主： c 3 5 ， 根据二乘法构造函数 豁= k p o ( x ) 】2 + 屹k a ( x ) 】2 ( 3 5 2 ) 这里h 为不大于k 的最大样本下标值。 为了得到光滑连接，要求在两个函数的连接处，有相同的函数值和一阶， 二阶导数，既 ip o ( k ) = a ( 七) pw 0 ( 七) = p l ( 七) ( 3 5 3 ) 【p 0 ( 七) = p ”i ( 七) 式( 3 5 3 ) 是确保在整个区间上二阶连续可微，由此可令 fp o ( x ) = q + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 【a ( 工) = q + c 2 x - i - c 3 x 2 + c 4 x 3 + c s ( x j ) 3 ( 3 5 4 ) a c q 代入式( 3 5 2 ) ，并令半= 0 ( 扛1 ，2 ，5 ) ，可得关于c 的线性方程组并完成修匀。 3 5 3 一般情形 关于的先验观点的一般情形是 p o ( x )a 石毛， p a x )七f x 毛+ l ， 见( x )吒x5b ， 这里幺叫做结点 全部光滑性( 二阶连续可微) 条件可表示成 l 易一( 龟) = b ( 局) p t l _ i ( 岛) = p 。( 向) o = l ，刀) 【p i 一。( 毛) = p ? ( 岛) 由此可设 只( x ) = p o ( x ) + c s ( x 一毛) + + q + 4 ( z 一毛) 3 其最小二乘函数为 船= 峨【蚝- - c i - c 2 x - c 3 x 2 - c 4 x 3 】2 + 比【蚝一q c 2 x - - c 3 x