（计算数学专业论文）符号模式矩阵幂零性的研究.pdf

摘要 摘要 全文共四章，主要是讨论蕴含幂零性的符号模式矩阵的性质和构造，解决了蕴 含幂零的符号模式的矩阵的一般存在性问题全文重要阐述了两个方面：( 1 ) 至多 2 次蕴含幂零性和至多3 次蕴含幂零性的符号模式矩阵的性质及研究现状；( 2 ) 至 多k 次蕴含幂零的符号模式矩阵的性质和构造其中创新部分主要在第三章，更好的 解决了至多k 次蕴含幂零的符号模式矩阵的存在性问题，给出了任意有限次蕴含幂 零的符号模式矩阵的构造方法 第一部分( 第二章) 主要介绍了至多2 次和至多3 次蕴含幂零的符号模式矩 阵的研究：给出了一般蕴含幂零的3 个等价条件，如定理2 3 1 在这个基础上对至多 2 次和至多3 次蕴含幂零的符号模式矩阵的性质进行了研究进而给出了五种构造 至多2 次和至多3 次蕴含幂零符号矩阵的方法 第二部分( 第三章) 把至多2 次和至多3 次蕴含幂零的一些性质推广到了至 多k 次，如至多k 次蕴含幂零的最小秩问题并在此基础上给出了五种至多k 次蕴含 幂零的构造方法，并证明了构造方法的正确性其中第二种方法是一种构造性的；相 对于其他几种而言，条件更强些第三和第四种方法是在至多2 次和至多3 次的基 础上的得到的 关键词：符号模式矩阵，约当形，蕴含幂零性 a b s t r c p 汀 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s ，a n di t m a i n l ys t u d i e st h ec h a r a c t e ra n d c o n s t r u c t i o no fa l l o w i n gn i l p o t e n t s i g np a t t e r nm a u i x , m e a n w h i l e ，i tp r o v e st h e e x i s t e n c eo fa l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r nm a t r i x t h i sp a p e ri n c l u d e st w o a s p e c t s ：( 1 ) c h a r a c t e ra n dc o n s t r u c t i o no f a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r nm a t r i xo fi n d e xa tm o s t2 a n da tm o s t3 ；( 2 ) c h a r a c t e ra n dc o n s t r u c t i o no f a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r nm a t r i xo f i n d e xa tm o s tk c h a p t e rt h r e ei si m p o t e n tp a r ti nt h i sp a p e r , i tp r o v e st h ee x i s t e n c eo f a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r nm a t r i xo fi n d e xa tm o s tk ，a n dg i v e st h ee o n s l x u c t i n g m e t h o do f a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r nm a t r i xw i t ha r b i t r a r yi n d e x i nt h ef i r s tp a r t ( c h a p t e rt w o ) ，t h ep a p e rm a i n l yi n t r o d u c e st h er e s e a r c ho na l l o w i n g n i l p o t e n ts i g np a t t e r n so fi n d e xa tm o s t2a n da tm o s t3 ，g i v e st h ee q u a lt h r e ec o n d i t i o n s o fn o r m a la l l o w i n gn i l p o t e n t ，s u c ha st h e o r e m2 3 1 b a s e do nt h i s ，w es t u d yc h a r a c t e r o f a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r n so fi n d e xa tm o s t2a n da tm o s t3 ，a n dt h e no b t a i nf i v e m e t h o d so fc o n s t r u c t i n ga l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r n so fi n d e xo fa tm o s t2a n da t m o s t3 i nt h es e c o n dp a r t ( c h a p t e rt h r e e ) ，w eo b t a i ns o m ec h a r a c t e ro fa l l o w i n gn i l p o t e n t s i g np a t t e r no fi n d e xa tm o s t kb a s e do i lt h er e s u l to fi n d e xa tm o s t2a n da tm o s t3 ， s u c ha st h em i n i m a lr a n ko fn k f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nf i v em e t h o d so fc o n s t r u c t i n g a l l o w i n gn i l p o t e n ts i g np a t t e r n so fi n d e xa tm o s t ka n dp r o v et h ec o r r e c t n e s so f c o n s t r u c t i n gm e t h o d a m o n gt h e s em e t h o d s ，t h es e c o n do n eh a st h ec o n s t r u c t i n g c h a r a c t e r , t h et 1 1 i r da n df o u r t ho n e sa r et h ee x t e n to ft h er e s u l ti nc h a p t e rt w o k e yw o r d s ：s i g np a t t e r nm a t r i x ，j o r d a nf o r m ，a l l o w i n gn i l p o t e n t n 主要符号表 主要符号表 m 。表示n x n 的实矩阵 彳o b 矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 积 q 表示刀刀的符号模式矩阵类 a = ( a 甜) 表示矩阵a 的( f ，_ ，) 元素 表示具有性质符号蕴含幂零性 m 表示具有性质k 次符号蕴含幂零性 d ( 么) 表示符号模式矩阵的定号图，其中当彳是组合对称符号模式时，定号图 d ( a ) 指无向图；否则，定向图d ( a ) 指定号有向图 s g n y 表示厂( 矩阵彳的k x k 的主子式) 的符号 邑( 彳) 表示所有被表示了符号的长度恰好为k 的回路厂的和也就是 e ( 么) = ，( s g n r ) r t r ( a ) 表示矩阵的迹 w 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：孚l 吼占一降，月幽 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：毒一、 日期：啷沪厂彤日 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绪论 彳= 旺主 c 或 ) 电子科技人学硕十学位论文 处理当时国际经济出现的经济问题而提出的经济数学模式线性动力系统，研究其 符号可解性和符号稳定性，1 9 4 7 年p a s a m u e l s o n 系统总结了他的经济数学理论，写 成( ( f o u n d a t i o n se c o n o m i ca n a l y s i s ) ) 一书，由哈佛大学出版社出版，并于1 9 7 1 年再 版【2 1 1 9 7 0 年代数学家及生物学家r m m a y , c j e f f r i e s ，y u m s v i r e z e r 和d o l o g o f e t 等人先后发现生物学中的生态系统和经济学中数学模型的许多定性性质是一致的， 而符号稳定性概念也在化学家( 如7 0 年代b l c l a r k e ，j j t y s o n ) 和社会学家( 如8 0 年 代y s h i r a k u r a ) 的各自研究领域中出现这表明符号模式矩阵的研究在经济学、生物 学、化学和社会学以及理论计算机科学中具有广泛的实际应用背景许多国际知名 的数学家如r a b r u a l d i 、v k l e e 、c r j o h n s o n 、j s m a y b 、c a e s c h e n b a c h 、 c j e f l 6 r i 鼯、l e s l i eh o g b e n 、z h o n g s h a nl i 等都加入了这一研究领域，新成果不断涌 现19 9 5 年r a b m a l d i 和b l s h a d e r 的专著( ( m a t r i c e so fs i g n s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) 系统总结了到1 9 9 5 年为止这一领域中所取得的研究成果，将本课题的研究推向一 个新的层面目前，国内这方面的研究尚处于起步阶段，但部分工作已处于国际先进 水平，特别是，同济大学邵嘉裕教授等人近年来的工作引起了国际同行的广泛关注 1 2 研究现状及自己工作 符号模式矩阵的蕴含幂零性是具有某些特定性质的符号模式矩阵类中的一种 他是符号模式矩阵的符号可解性中关于特征值的研究某符号模式矩阵的特征值任 意称为任意谱，符号模式矩阵任意谱中特征值的符号任意称为符号模式矩阵的任意 惯量，符号模式矩阵的幂零性是指符号模式矩阵任意惯量中正惯性指数和零惯性指 数为零 j h d r e w , c r j o h n s o n ，d d o l e s k y 和p v a nd e nd r i e s s c h e 在文献 3 】中研究了树 符号模式的任意谱问题，特别是对应的图是路的情形j j m c d o n a l d ，d d o l e s k y 等在 文献 4 q b 利用s o u l e s 矩阵给出了一种任意谱模式类的构造在文献 5 中利用隐函数 的方法给出- t h e s s e n b e r g 符号模式中的一些最小任意谱模式在文献 6 】中也利用隐 函数给出了其他一些任意谱的符号模式类的构造在文献 7 】中给出了所有蕴含稳定 的星符号模式的性质在文献【8 】中给出了组合对称的星符号模式矩阵的惯量的特性 质在文献 9 】中给出了蕴含幂零的星符号模式的性质在文献 1 0 】中给出了符号模式 矩阵蕴含幂零的条件，2 次蕴含幂零的性质和构造方法，并给出了所有蕴含幂零的 3 x 3 符号模式的等价形式在文献 1 l 】中给出了3 次蕴含幂零的符号模式的性质和构 造，所有3 次蕴含幂零的3 x 3 符号模式的等价形式，并给出了星符号模式的一般矩阵 第一章绪论 形式在文献 1 2 】中给出了任意惯量的非幂零符号模式 本文主要给出了k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵的5 种构造方法并针对每种 构造方法，对方法的正确性进行了证明这5 种方法的正确性的证明，在理论上更好 的解决了任意的有限次蕴含幂零符号模式矩阵的存在性问题 1 3 论文的结构 本学位论文共分四章，创新成果着重体现在第三章 第一章是引言，主要概述了本文的选题背景，研究对象的当前研究现状和创新 点 第二章主要是介绍指数为2 的符号模式矩阵的蕴含幂零性和指数为3 的符号 模式矩阵的蕴含幂零性，以及相应的2 次蕴含幂零性和3 次蕴含幂零性符号模式矩 阵的性质 第三章是对符号模式矩阵的蕴含幂零性的研究在指数为2 和3 的符号模式矩 阵的蕴含幂零性的基础上，给出了指数为k 的符号模式矩阵的蕴含幂零性的几个简 单性质并在2 次蕴含幂零性和3 次蕴含幂零性的基础上给出了5 种k 次蕴含幂零 性的构造方法并给出证明 第四章是对本文的总结和蕴含幂零性的展望 3 电子科技火学硕士学位论文 第二章2 次和3 次蕴含幂零的符号模式矩阵 2 1 符号模式矩阵的一些基本概念 在介绍符号模式矩阵的蕴含幂零性之前，我们首先来看几个关于符号矩阵的基 本概念 定义2 1 1 符号模式矩阵( s i g np a t t e r nm a t r i x ) 一个矩阵它的元素取自集合 + ，一，0 ) ，我们则称这个矩阵为符号模式矩阵( 或者简称为符号模式) ，对于实矩阵 b ，s g n ( b ) 是指符号模式矩阵它的元素取与矩阵b 的元素相对应的符号 定义2 1 2 定性符号模式矩阵类( s i g np a t t e r nq u a l i t a t i v ec l a s s ) i t 3 1 定性符号模 式矩阵a 是一个m n 的符号模式矩阵，我们用q ( a ) 表示符号模式矩阵类a ( 或者 说等价类a ) ，是指 q ( 爿) = 徊：s g n ( b ) = a ，b 是聊，矩阵) 如果c 是一个实矩阵，它的等价类则记为q ( c ) = q ( s g n ( c ) ) 定义2 1 3 广义符号模式矩阵( g e n e r a l i z e ds i g np a t t e r nm a t r i x ) 【1 0 】广义符号模 式矩阵a 是指，它的元素取自集合 + ，一，0 ， ) ，这里是指元素的符号不能确定( 如是 正数与负数的和) 如 = = 2 = 醐 定义2 1 4 子符号模式矩阵( s u b p a t t e mm a t r i x ) 【1 4 】子符号模式矩阵a 是指，符 号模式矩阵a 是通过用0 来代替符号模式矩阵a 的某些( 也许没有) 非零元素而得 到的新符号模式矩阵因此我们记a _ a 定义2 1 5 对角符号模式矩阵( d i a g o n a lp a t t e r nm a t r i x ) 【i 】对角符号模式矩阵 是指，方符号模式矩阵它的所有非对角元素全为零与之相对应我们有三角符号模 式矩阵、上三角符号模式矩阵和下三角符号模式矩阵等 定义2 1 6 置换符号模式矩阵( p e r m u t a t i o np a t t e r nm a t r i x ) 【i 】置换符号模式矩 阵是指，方符号模式矩阵它的元素是0 或+ ，而且元素+ 在每一行和每一列，出现且仅 出现一次 定义2 1 7 符号模式矩阵的置换相似( p e r m u t a t i o n a ls i m i l a r i t y ) 1 0 】符号模式 4 第二章2 次和3 次蕴含幂零的符号模式矩阵 矩阵b 与符号模式矩阵彳置换相似是指，符号模式矩阵彳，b 满足b = p 7 彳p ，这里尸 是置换符号模式矩阵，a ，b 是方符号模式矩阵 定义2 1 8 符号模式矩阵的置换等价( p e r m u t a t i o n a le q u i v a l e n c e ) 【1 】符号模式 矩阵b 与符号模式矩阵a 置换等价是指，符号模式矩阵a ，b 满足b = 曰4 ，这里 曰，只是置换符号模式矩阵，彳，b 是方符号模式矩阵 定义2 1 9 单位符号模式矩阵( i d e n t i t yp a t t e r nm a t r i x ) 【i 】以阶的单位符号模式 矩阵是指，对角元为+ 的刀刀的对角符号模式矩阵我们把刀阶的单位符号模式矩阵 记为l 定义2 i 1 0 调号符号模式矩阵( s i g n a t u r ep a t t e r nm a t r i x ) 【l 】调号符号模式矩阵 是指，对角元是+ 或者一的对角符号模式矩阵 定义2 1 1 1 符号模式矩阵的调号相似( s i g n a t u r es i m i l a r i t y ) 【1 】符号模式矩阵曰 与符号模式矩阵彳调号相似是指，符号模式矩阵彳，b 满足b = s a s ，这里s 是调号符 号模式矩阵，彳，曰是方符号模式矩阵 定义2 1 1 2 符号模式矩阵的幂零性( n i l p o t e n c e ) 【1 5 】符号模式矩阵a 的幂零性 是指，存在某个正整数k ，满足a = 0 定义2 1 1 3 符号模式矩阵的幂零指数( i n d e xo f n i l p o t e n c e ) 坦】符号模式矩阵彳 的幂零指数是指，满足a = 0 的最小正整数k 定义2 1 1 4 符号模式矩阵的最小秩( m i n i m u mr a n k ) 0 6 1 符号模式矩阵彳的最 小秩是指， m r ( a ) = r o _ i n r a n k b ：b q ( 彳) ) 定义2 1 1 5 符号模式矩阵的强迫性( r e q u i r e s ) 1 9 1 符号模式矩阵a 的强迫性是 指，设尸是实矩阵具有或者不具有的一条性质，若在q ( a ) 中每一个矩阵都具有性质 p ，我们称为符号模式矩阵a 强迫性质p 定义2 1 1 6 符号模式矩阵的蕴含性( a l l o w s ) 【9 】符号模式矩阵a 的蕴含性是指， 设尸是实矩阵具有或者不具有的一条性质，若在q ( a ) 中存在某些矩阵具有性质p ， 我们称为符号模式矩阵么蕴含性质p 定义2 1 1 7 符号模式矩阵的蕴含幂零性( a l l o w i n gn i l p o t e n to rp o t e n t i a l l y n i l p o t e n t ) 【9 l 符号模式矩阵彳的蕴含幂零性是指，对符号模式矩阵a ，存在正整数k 蕴含= 0 ，我们称符号模式矩阵a 蕴含k 次幂零性我们称符号模式矩阵彳满足蕴 含幂零性为符号模式矩阵彳蕴含记所有满足k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵类 记为m ，既 电子科技大学硕士学位论文 m = a ：s g n ( a ) = s g n ( b ) ，b = o ) 定义2 1 1 8 广义符号模式矩阵的相容性( c o m p a t i b l e ) 0 0 广义符号模式矩阵五 与广义符号模式矩阵4 相容是指，如果存在矩阵b ，满足 b q ( a ) n q ( 4 ) 记为 4 山4 ； 否则称为不相容，记为 4 白4 定义2 1 1 9 符号非奇异( s i g nn o n s i n g u l a r ) 【1 】符号非奇异是指任意的实矩阵 b q ( a ) 都是符号非奇异记为s n s 定义2 1 2 0 矩阵的k r o n e c h e r 积【1 8 】矩阵的k r o n e c h e r 积是指，如果矩阵 a = ( a i j ) ，z 甩，b = ( b i ：) p xq ，则称a0 b 是矩阵的k r o n e c h e r 积，它是一个m p xn q 的 矩阵，它是把a 的每个元素a 盯代之以块b 而得到矩阵的k r o n e c h e r 积，又称为矩阵 的张量积 定义2 1 2 1 定号图a = ( 口f ，) q ，a 对应于一个定号有向图d ( 彳) = ( y ，e ) ， 其中v = ，e = ( f ，j ) ：a 打0 ，f j ) d ( 彳) 中顶点f 的符号为a h ( 若a i i = 0 ，称i 为 零顶点) ，弧( f ，j ) 的符号为口f ， 定义2 1 2 2 矩阵的定号图的途径( w a l k ) 1 9 】d ( a ) 中一条途径是指一个弧序 列( i o ，) ，( ，i 2 ) ，( ，) ，简记为w = ( i o ，f l ，) ，k 称为w 的长度，记为t ( w ) = k 若矽包含偶数条负弧则称形是j 下的，记为s g n ( w ) = + ，否则称肜是负的，记为 s g n ( w ) = 一；若乇= ，称矽为闭途径；若，是互不相同的，则称 p = ( o ，攻) 是一条路( p a t h ) ，特别，当乇= 时，称p 为( 简单) 圈( c y c l e ，也称 为回路) ，长为k 的( 简单) 圈或闭途径称k 一圈或k 一途径 上述关于d ( a ) 的有关概念也对应矩阵a 的相应概念，如d ( a ) 的弧也是a 的 弧，d ( 彳) 的点也是a 的点，再如，以下形式的乘积，= 口f i 2 口鸲气 称为a 的一个长为 k 的圈( k 一圈) 若 y = 乃兄( 这里乃，江1 ，2 ，m 是简单回路) ， 则 s g n 7 = ( s g n y , ) ( s g n y 2 ) ( s g n z , ) 6 第二章2 次和3 次蕴含幂零的符号模式矩阵 定义2 1 2 3 幂零性回路条件( c y c l ec o n d i t i o n sf o rn i l p o t e n c e ) i o 】如果a 有一个 长为尼的圈乃，则a 一定存在一个长为七的圈儿，满足( s g n 乃) 乃= - ( s g ny 2 ) 7 2 我们称 这个条件为幂零性回路条件 定义2 1 2 4 幂零性迹条件( t r a c ec o n d i t i o n sf o rn i l p o t e n c e ) o o 】如果彳具有性质 ，则t r ( a ) 山o ，对k = 1 ，2 ，以成立，这个条件称为幂零性迹条件 2 2 符号蕴含幂零性的基本结论 由符号蕴含幂零性的定义我们很容易有下面的定理 定理2 2 i i 驯令彳是一个f l x f t 的矩阵则存在一个n x n 的置换矩阵p 和正整数 t 1 满足 p a 矿= 44 ： 0 4 00 4 ， 4 ， ： 4 ( 这里4 ，4 ，4 是方的不可约矩阵，且4 ，4 ，4 作为对角块被它们的线性置 换所同时决定，但是它们的位置并不一定是不变的) 定理2 2 2 1 1 0 l 集合在下列运算下是封闭： ( i ) 置换相似； ( i i ) 调号相似： ( i i i ) 转置相似； ( i v ) 负变换； ( v ) 直和； m )张量积 一个可约的矩阵置换相似于f r o b e n i u s 型的矩阵因此一个可约矩阵具有蕴含 幂零性当且仅当组成它的每个不可约块具有蕴含幂零性所以在后面的一些结论中。 我们只考虑不可约的符号模式矩阵 定理2 2 3 1 1 哪如果a m 具有蕴含幂零性，则 ( i ) a 山0 ，对正整数尼，0 k n ( i i ) 如果a 包含长为尼的回路乃，则必包含长为尼的回路乃，满足 ( s g n 以) 万= 一( s 萨儿) 托 7 电子科技人学硕士学位论文 ( i i i ) t r ( a ) 山0 ，对所有的正整数k = 0 ，l ，n 都成立 2 32 次符号蕴含幂零性 由上节的定理我们得到关于2 次符号蕴含幂零性的几个条件 引理2 3 1 1 1 0 i 设彳q 2 ，则下列命题等价： ( i )存在一个矩阵b q ( 彳) 满足b 2 = 0 ； ( i i )a 满足回路条件； ( i i i ) a 2 山0 ； ( i v ) 护( 彳) 山o ，t r ( a 2 ) 山o 定理2 3 2 如果彳q 且具有2 次符号蕴含幂零性，则 聊，( 彳) 昙 定理2 3 2 中我们知道，a q 且具有2 次符号蕴含幂零性则，a 的约当块只能 是下列两种情形中的一个： ，( o ) 更一般地，如果a q ，具有k 次符号蕴含幂零性，我们利用约当标准型，, - - jp a 得 至0 结论m r ( 彳) k _ - 一1 ，z 定理2 3 3 1 1 0 1 设彳q ，满足m ，( 彳) = 1 则a = u v 7 ，这里“，1 ，：是n x l 的符号模式， 且下列关于的条件等价： ( i ) a 2 ； ( i i ) a 2 山0 ； ( i i i ) t r ( a 2 ) 山o ； ( i v ) “7 1 ，山o 定理2 3 4 如果b 是一个珂刀实矩阵，满足b 2 = 0 而且旭，z 尼( b ) = ，则存在向 量组甜l ，坞，“，h ，吃，v 彤，且对所有的f ，j e 都有衫，= o ，使 b = 吩哆 定理2 3 5 1 1 0 i 假设 第二章2 次和3 次蕴含幂零的符号模式矩阵 爿= 转鸩 这里4 ，4 是方阵坝0 对任意的正整数七有 a = = 44 4 44 4 44 4 2 ( j 有( 七+ 1 ) 2 个块矩阵) 定理2 3 6 令b 和c 分别是啊惕和也他的2 次符号蕴含幂零性的矩阵p 是一个正整数设 “i ，u 2 ，o9 “口k e r ( b ) ，y i ，吃，k e r ( c 7 ) 则 雪= ( 是2 次符号蕴含幂零的 2 43 次符号蕴含幂零性 同2 次符号蕴含幂零性一样，我们先来看一个基本定理，这个定理为我们后面进 行证明作铺垫 引理2 4 1 j 1 1 i 若曰具有蕴含幂零性，其幂零指数最大为3 ，j 为b 的约当标准形 的约当块贝0b 的每个约当块为下列情形中的一种： ( i )以= ( o ) ， ，o1 、 ( n ) 以一【ooj ， r o l 0 、 ( i i i ) 以= l0 0l i l 0 0 0 j 由定理2 4 1 和约当标准形，我们可以得到一种3 次蕴含幂零性的构造方法即 每一个拧刀的蕴含幂零的矩阵，都可以写成d 叫j d 的形式( 这里d 是一个，l ”的符 号非奇异的实矩阵) 当幂零指数不超过3 的时候，约当矩阵j 由约当块以，以，以组 成因此，只要我们变换d 和，我们就可以得到3 次蕴含幂零的实矩阵 9 电子科技人学硕士学位论文 引理2 4 2 令彳q 如果a 3 ，则 肌，( 彳) _ 2 n 同样，定理2 4 2 是一个蕴含幂零性的必要条件，但不是充分条件 定理2 4 3 i n 如果曰是一个万九实矩阵，满足：r a n k ( b ) - - f 则b 3 = 0 当且仅当存 在一个非负整数z ，以及玎x l 非零实向量组 q ，哆，q ，局，屐，屏，且，三，2 r - i 刀 和 彰q = 三觊是偶数1 篓蔷以即乖1 使得 b = a i 醒= a 。口 + a 2 醴+ + o c r 簿 成立 由定理2 4 3 ，我们可以得到3 次蕴含幂零的符号模式矩阵的第二种构造方法 定理2 4 4 1 1 1 i 假设 么= ( 置乏 m c4 ，4 是方阵， 则对任意的正整数k 有 a = 444 44 4 ： 4 44 m ( 彳有( 七+ 1 ) 2 个块矩阵) 由定理2 4 4 ，我们可以得到3 次蕴含幂零的符号模式矩阵的第三种构造方法 定理2 4 5 川设b 和c 分别是，l l 啊和伤xn 2 的实矩阵，且它们的幂零指数至多 为3 次，p 是一个正整数如果下列情形之一成立： ( i ) “i ，“2 ，“p k e r ( b ) r v , ，吃，k e r ( c r ) ； ( i i ) “i ，“2 ，”p k e r ( b 2 ) 且v i ，v 2 ， v pe k e r ( c r ) ； ( i i i ) 甜i ，“2 ，“，e k e r ( b ) r v , ，屹，k e r ( ( c 2 ) r ) 1 0 第二章2 次和3 次蕴含幂零的符号模式矩阵 令 x = “一+ “2 吃7 + + “| 口r 则( 玎l + 嘞) ( 啊+ 甩2 ) 阶分块实矩阵 的幂零指数至多为3 次，且 d ：f ，b l o a m s g n ( d ) 3 由定理2 4 5 ，我们可以得到3 次蕴含幂零的符号模式矩阵的第四种构造方法 电子科技大学硕士学位论文 第三章k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵 3 1 几个结论推广到k 次蕴含幂零性 在第二章中我们知道了蕴含幂零的符号模式矩阵的一些基本结论，如他们的约 当标准形，最小秩的上限，几个符号蕴含幂零性矩阵的构造理论的证明等等在这里 我们首先将其中的一些结论推广到k 次蕴含幂零性下面我们先给出一个将要用到 的定义 定义3 1 1 整数的同余关系( c o n g r u e n c e ) 2 2 】对于整数a ，b 和正整数m ，如果 存在整数k ，满足 a = b + m k 我们说整数a 和b 关于模m 同余，记为 a 兰b ( m o d ，玎、 定义3 1 2 符号模式的惯量( i n e r t i ao fm a t r i xa ) 【3 】对于符号模式彳，我们记 三维有序数组 i ( a ) = ( f + ( 彳) ，t ( 彳) ，i o ( a ) ) ， ( 这里f + ( 彳) ，t ( 彳) 和毛( 彳) 分别表示符号模式爿的特征值中j 下，负和零实部的数目) 为符号模式彳的惯量 由文献 2 3 】中的约当标准形的理论以及第二章中的内容，我们可以得到下面的 引理 引理3 1 1 若b 具有蕴含幂零性，其幂零指数最大为k ，j 为b 的约当标准形( 块 约当标准形) 则b 的每个约当块为下列情形中的一种： ( i ) - - ( 0 ) ： ( i i )以= 01o o o 01o 0o0 l ooo o 当i = 2 ，3 ，k 1 2 第三章k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵 证明：略( 由特征值的概念易得) 由引理3 1 1 我们可以给出定理3 1 2 的一种证明 定理3 1 2 若彳q 如果彳m ，则 州郇竿刀 证明：由于彳q 和a m ，所以存在一个实矩阵b q ( a ) ，满足 b = 0 由引理3 1 1 ，我们可以设矩阵曰的约当标准形，的约当块为砖个以( 这里 i = l ，2 ，k ) 的和，这里我们取 幄= 刀 则 r a n k ( b ) = r a n k ( j ) = ( i - 1 ) k , = 乞+ 2 k 3 + + ( 后一1 ) k k 盟k 毛+ 盟k2 红+ + 盟k 坛。 iz k - 1 = 刀 k 因此我们有 m ，( 彳) ，口触( 曰) t k - 1 刀 命题成立口 同样的，定理3 1 2 也不是充分必要条件，也只是一个必要条件，我们可以通过下 面的例子来了解 例3 1 3 设符号模式彳为： a = l11 11一l loo 0一l0 ooo 电子科技人学硕士学位论文 ，z 州) 4 a 4 o ，a 萑4 ， ，二，m一r，2，一2132 一聊甩 ， f 1 ，笥兰l ( m o d3 ) ，1 _ ， 3 l 一1 且i = j + l ， q = 1 ，当j - 2 ( m o d 3 ) ，l _ j 3 1 1 且f = + 1 【0 ， 其他 b = c c i 域= a c 。反+ o 【2 跌+ + a r 院 b = 仅l 反+ a 2 醴+ + 仅? 雕 b 2 = 沁。戳+ 仅1 醴+ + 0 c ? 雕、) 幢、域+ 仅2 醴+ + 仅r 毽、) = 仅l p ：+ 仅2 醴+ 口4 醴+ + 位3 | _ | b 毛 b 3 = 胎2 = 她l 磷+ a 2 陡+ + o c r 醴t 醴+ 仅2 醴+ 位4 醴+ + 仅l 醴 = o c l p ；+ a 4 l b ：+ + 晓k 。2 醴? 1 4 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 第三章k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵 和 b 4 = 幢。8 1 - i - 口2 8 + + c t r 碑、) 咄l 醴七o c 4 酲+ + o t 3 i - 2 醴一 = 0 充分性成立 必要性若b 4 = 0 r a n k ( b ) = ，由引理3 1 2 ，我们知道矩阵b 的约当块由，个 、m 个以、r - 3 l - 2 m 个以和咒一郇一3 聊一2 ( ，一3 ，一2 研) = n - 2 r + 2 l + m 个以组成， r 这里0 ，；，0 m 三和2 r - 2 l - m 刀也就是说存在非奇异的n xn 的实矩阵d ， 满足 这里 和 我们记 d b d = j = 以： 以一卜r _ i = 以：= = ，= 以， + i ，+ i = + 2 f + 2 = + 。f + 。= 以 j 一一一，一一r + 。+ 1 “。+ i = + 。+ 2 “。+ 2 = = 以一2 。- ，2 。一，= 以 j r ，一肘一2 ，+ 1 ，一用一2 ，+ i= j r ，m 一2 ，+ 2 ，一m 一2 ，+ 2 = = j 。一，。一，= j i 州以舢协 这里，u ：，u 。是d 的列向量，_ r ，v 2 r ，屹r 是d - 1 的行向量，显然 令 7 = l ， i = 1 ，2 , - - - , 一和r = o ， f j 1 5 ( 3 - 3 ) 电子科技人学硕士学位论文 5 3 ，一22 u 4 ，一3 ，5 3 ，一i2 u 4 卜2 ，a 3 f = “4 f i ，i = 1 ，2 ，； 鸣，+ 2 ，一12u 4 1 + 3 ，一2 ，+ 2 ，。”4 ，+ 3 ，一i ， _ ，2i ，2 ，m ； 一 q ，+ 2 m + j = u 4 ，+ 3 m + 2 j i ，s = 1 ，2 ，一3 l 一2 m ； 屈h = 匕h ，屈h = v 4 h ，屈f = 匕h ，f = l ，2 ，； 屈f + 2 ，一i = 心f + 3 产2 ，压+ 2 ，= v 4 ，+ 3 ，- i _ ，= 1 ，2 ，o m ； 屈f + 2 。+ j = y 4 ，+ 3 。+ 2 川，s = l ，2 ，oo $ y - - 3 1 2 m 我们很容易计算得n 5 ，和届满足条件( 3 1 ) 由( 3 - 3 ) ，我们可以得到 b = d j d = q 层r + 5 , 8 2 r + + 5 r 8 , r 必要性成立所以命题成立口 我们通过观察定理2 3 6 、定理2 4 5 和定理3 1 5 ，可以发现在从2 次幂零性到 4 次幂零性的过程中主要是关于口，和孱的构造上的不同而得到了不同的结果但是 他们的目的都是一样的，就是在进行矩阵乘幂的过程中将其对应的约当标准形中的 约当块降阶由此出发我们得到相应的关于k 次蕴含幂零性的构造方法下面我们给 出其构造和证明 定理3 1 5 如果b 是一个n n 实矩阵，满足 r a n k ( b ) = r 则 b = 0 当且仅当存在一组共k 个非负整数 ，乞，厶， 以及n x l 非零实向量组 5 。，哆，缉，和层，屐，屏， 满足 七 y , i l i = 刀， i = 1 正 ( i - 1 ) l ，= 厂 i = 1 1 6 第三章k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵 和 夕歹q = 爱兰驴暑s ( m 。d 七一1 ) s = 1 2 ，, 其k - 他2 。, 1 ( 七一1 ) 厶一1 和f = + 1 c 3 4 ， 使得 证明：充分性若 由式( 3 - 4 ) ，我们有 和 b ：y r 1 k i k ra i 反= a l 域+ o 【2 醴+ + o c r 磙 b = 仪l 崴+ 2 醴+ + 仪r 配 b 2 = 啦l j | b i + 0 c 2 醴+ + a r p ：m 1 。c i 域+ 。c 。醴+ + a r 僻、 = ( q 彤+ 口2 + + 一2 展i r ) + ( 吒展+ i r + + 七- 3 p 2 k - 2 t ) ， + + ( q 女一i x 一1 ) + i 层女一l x 一i 卜2 r + + 嗷t i ) 一l 届( k - r ) l j r ) b 卜1 = ( 喁群+ 历+ + 口，) ( 艇：+ 藤i ) + ( 吒彪一3 + a k + 。舷一2 ) + + ( 甜( t 一2 儿+ l 联一1 ) 一i + 呸i 一2 ) + 2 磁一1 ) ) 】 = q 照l + 吒麒i + + q h ) 厶+ i 厩- 1 ) 厶 b = b b 一1 = ( q 所+ 口：厦+ + 嘭) ( 口i 艇。+ 吒舷l + + q 心”i 联_ i ) ) = 0 ( 3 5 ) 充分性成立 必要性若b = 0j | r a n k ( b ) = ，由引理3 1 2 ，我们知道矩阵b 的约当形中的约 当块是由个以( 这里f = 1 ，2 ，k ) 组成，这里 七七 珥= 疗且( f 一1 ) = ， f = if = i 由约当标准形，我们知道存在非奇异的n x n 的实矩阵d ，满足 1 7 电子科技大学硕七学位论文 这里 我们记 d b d = j = 以2 j t 、= = 。 以一l 。，一i = 以， + l + i = 2 + “ = 以， j 。r = j 1 3 一n - r ， 叫心舯懈 这里“。，掰2 ，“。是d 的列向量，v l t ，吃r ，r 是d 叫的行向量，显然 令 这里 v f u f = 1 ，i = 1 ，2 ，胛 v ；u i = q ，i * j 口( s - i ) i + m + ( s - i ) i + m 扣 ( 一1 ) o 一一+ 兰以 p ，+ i 一。 卜啦扣，- v r 甜) j _ ， j = 1 ，2 ，七；i = l ，2 ，丘一1 且m = 1 ，2 ，s i 我们很容易计算得到口，和层满足条件( 3 - 4 ) 由( 3 6 ) ，我们可以得到 1 8 ( 3 - 6 ) 0 砬 + 。越 + ， 第三章k 次蕴含幂零性的符号模式矩阵 b = d j d 一1 = 旺b j 七。【u b ：+ 七仪r b ! 。 必要性成立命题成立口 注：在式( 3 - 1 ) 和( 3 4 ) 中其实并不一定要求q = 1 ( 这里的f ，j 和上面的 要求一样) ，只需要= + 即可，当他们不是1 的时候，我们可以通过系数加权来使 之为1 3 2k 次蕴含幂零的符号模式矩阵的构造 由3 1 ，我们也可以得到关于k 次蕴含幂零性的构造方法下面我们给出k 次蕴 含幂零性的5 种构造方法 3 2 1 构造方法一 由引理3 1 1 ，我们知道由约当标准形，我们可以得到k 次蕴含幂零性的一种构 造方法如果我们给出了非奇异的矩阵d 及其的逆矩阵d 一，我们就可以由约当块， 的不同来得到相应的不同的蕴含幂零的矩阵也就是说，如果我们要得到k 次蕴含幂 零性的符号模式矩阵，我们只需要给出一个相应的约当块和相应的非奇异矩阵d 及 其的逆矩阵d 一就可以了下面以4 次蕴含幂零性为例，来看看