（计算数学专业论文）隐互补问题.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 、首先通过线性规划、二次规划等最优化问题引出了文章要解决的对象。讨论了 各种互补问题如何应用于最优化问题中，通过线性互补问题与非线性互补问题，引入 了隐互补问题。 在得出隐互补问题的一般形式后，西文簟讨论了利用各种方法来解决隐互补问题。 第一种方法利用互补函数将隐互补问题转化为约束最优化问题和无约束最优化问题， 在无约束最优化问题中，讨论了在何种条件下局部极小点成为隐互补问题的解，解决 了解的唯一性；在约束最优化问题中，讨论了在何种条件下k k t 点是隐互补问题的 解。第二种方法利用投影算子与正切投影对隐互补问题进行转化，解决了解的存在性。 在一定的条件下，隐互补问题与广义的变分不等式是等价的，利用k ：m 定理对 广义的变分不等式进行讨论，得到了解的存在性条件，进而得到了新的有关非线性互 补问题的结果。 关键词：堕互圭b 闻题一 无约束最优化 约束最优化 经典投影算子 一正奶坦影一 广义的变分不等式 删定理 堕里i ! 塑璧 a b s t r a c t f i r s t l y ，i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ( a b b r i c p ) i si n t r o d u c e db y s o m eo p t i m i z a t i o np r o b l e m ss u c ha s1 i n e a rp r o g r a m m i n g ，q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sa n dn o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sa r e u s e di nt h o s ee x a m p l e sa n di c pi st h u sa b s t r a c t e d i c pi ss o l v e db ys e v e r a lm e a n si nt h i sp a p e rs u c ha su n c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n ，c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n a n dp r o j e c t i o no p e r a t o r t h ec o n d i t i o n t h a te n s u r e st h el o c a lo p t i m a lp o i n t so rk k tp o i n t st ob et h es o l u t i o n so f i c pi sd i s e u s s e di nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o na n dc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n r e s p e c t i v e l y c l a s s i cp r o j e c t i o no p e r a t o ra n dan e wt e n g e n tp r o j e c t i o na r e a l s ou s e dt os o l v ei c p u n d e rs o m ea s s u m p t i o n s ，i c pi se q u i v a l e n tt og e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ( h b b r g y p t h ef a m o u sk l ( mt h e o r yi su s e dt os o l v et h ee x i s t e n c e o ft h es o l u t i o no fi c p l a t e r ，n e wr e s u l t so nn o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e ma r e d e d u c e d k e yw o r d s ：i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m u n c o n s t r a i n e do d t i m i z a t i o np r o b l e m c o n s t r a i n e d0 d t i m i z a t i o np r o b l e m c l a s s i cp r o j e c t i o no p e r a t o r t e n g e n tp r o j e c t i o n g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y k l ( mt h e o r e m - 2 - 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 背景介绍 互补问题在政治、经济、军事以及科学技术等领域具有广泛的应用。狭义的说 来，互补问题可以分为线性互补问题、非线性互补问题和隐互补问题。线性互补问题 已经存在多种比较成熟的解法，例如单纯形算法、切平面算法、椭球算法等，关于互 补问题算法的时间复杂性也已经有研究；非线性互补问题的研究刚刚起步，在最近的 文献中也出现了一些新的解法，例如利用互补函数，将非线性互补问题转化为无约束 极小化问题或者约束极小化问题；利用投影算子构造的算法，值得指出的是，在这些 方法中，利用与非线性互补问题等价的经典变分不等式的结果来解决非线性互补问题 解的存在性显得特别有效；与线性互补问题和非线性互补问题不同的是，隐互补问题 的研究几乎尚无人涉及，已有的算法要么是转化为非线性互补问题来解决，要么是转 化为无约束极小化问题，但是直接的解的存在性研究和算法尚未出现。 本文利用投影算子和广义变分不等式对隐互补问题进行转化，并在此基础上，给 出了一些解的存在性结果，对各种转化形式进行了讨论。 1 2 互补问题的引入 互补问题在最优化中有着广泛的应用，例如，在线性规划中考虑对偶问题、或者 在非线性规划中求稳定点的k k t 条件可以转化为互补问题；在应用变分不等式的领 域中可以利用二者的联系进行求解；在实际中也可以应用互补问题，例如，均衡网络 设计、信号最优化问题、以及交通布置问题等。 1 2 1 线性规划 考虑原始的线性规划问题( p l p ) ： m i n ( c ，x ) = c t x s j x o ，a x b ，其中a r ”。”，b r m , c r “，x r “ 它的对偶问题( d l p ) 可以描述为： m a x ( b ，y ) = 6 7 y s j y 0 ，a 1 y sc ，y r ” 引理1 2 1 设，乩分别是( p l p ) 和( d l p ) 的可行解，则x 0y 。同为最优解的充要条件是： ( 叫) = ( b , y ) 隐互补问题 设z = ； ，厂c z ，= ：一：7 z + 二 = c - a r y 则 z ，厂( z ) ) = b 7 y 7 1 - c 一- x a r 6 b j = x r c x 7 彳7 y + y 7 爿x y 7 6 = x r c y 7 6 = c r x 一6 7 _ y 在，y 。同为最优解的条件下，可以构造如下的互补问题 求z 。r ”，使得厂( ) r ? ”，且( ，f ( z 。) ) = 0 ( l c p ) = 蠹 是c l c p ，的解当且仅当，y 。分别是( p l p ，和c 。l p ，的最优解。 1 2 2 二次规划 考虑二次规划问题( q p p ) ： i i l i n 体) = 三1 ( x ，缈) + ( 州) j f x o ，4 工b ，其中q r ”。”，c r “，a e r m x nb r ” 引入松弛变量v r ”，则由k k t 条件，找到向量乘子a 鲜，“彤，使得： q 譬+ c + a 7 旯一“= 0 ； 4 x + v = b ： “r ：，v o ( e r ? ) ，五r ? ，x 胄：； ( “，x ) = o ，( v ，五) = 0 将上面的条件改写成如下的形式： 甜曼御 若令 ： 。c r ? + ”， ： 胄? 州，( ： ， i ) = 。 z = i ，厂c z ，= ： = ； + ! 乞等 z 南京航空航天大学硕士学位论文 则k k t 条件等价地可以写为： 求z r ? ”，使得厂( ：) r ? “，且( z ，厂( z ) ) = 0 而这正是线性互补问题的形式。 1 2 3 非线性规划 考虑非线性规划0 忆p ) ： m i n f ( x ) j j 岛( x ) o ，i = 1 ，埘，x 0 ，其中最，连续可微，i = 1 ，m 令三( x ，“) = ，( x ) + g 。( x ) ，则由约束最优化的k k t 条件： 盯( 工) + 魄。o ) 一旯= 0 ； x - o ，“= k 。，“。r o ，( 五) = o ，( “，g ( x ) ) = o ，g ( 功= k ，( x ) ，g 。( 功r 将上面的式子展开写成： _ o l ( x , u ) ：啊( x ，“) ，了o l ( x , u ) ：吃+ ，( 工，“) ； o x ，瑚l 。 掣州砌) ，掣o u 吨小盘”m 若令z = i ：i ，而( z ) = k o ，以+ 。，甜) r 则k k t 条件等价于： 求：r ? ”，使得厅( z ) 胄：”，且( z ， ( z ) ) = 0 这也是互补问题的形式。 1 2 4 空间价格均衡模型 首先定义一些记号： 万：在节点f 处的同类商品的价格，其中f 矿，万= ( 石：i 矿) ； d ，( 石) ：在节点f 处对商品的需求，其中i y ，d ( 石) = ( d f ( ，r ) ：i y ) 隐互补问题 _ s ，( 石) ：节点i 处对商品的供给，其中f y ，s ( 厅) = ( s ，( 玎) ：i 矿) ； 厅( p ) ：路径p 上的流量，其中p p ，h = ( h p ：p 尸) ， p 是所有路径的集合； c 。( ，) ：在弧d 上的平均运输费用，其中a a ，c ( ，) = ( c 。( ，) ：d 4 ) ， 爿是所有弧的集合； c ，( 厂) ：在路径p 上的平均运输费用，其中p p ，c ( ) = ( c ，( ) ：p p ) ； 彬：网络中所有的节点对，w = ( i ，j ) w ； 只：连接网络中一对节点对的所有路径的集合，w e 缈； p = u 只； 如果路径p p 包含弧口a ，则定义吒为l ，否则为o ； a - - - k ，弧路径一致矩阵。 空间价格均衡模型可以描述为：如果货物在两个地区之间流动，则竞争将会 使得网络的利润趋于零，而当网络利润是负值时，则地区之间将不会有货物来往， 用数学的语言可以描述为： 定义1 2 1 ( 6 ) 一对流量价格对( ，石) 称为是空间价格均衡s p e ( c ，s ，d ) ，如果下面条件满足： s ，( r r ) - d 。( 石) + ，一一= o ，乃o ，v i v ， w 一( t r 扣p e 足w ；( ，m ，o k 。+ c ，( 厅) 一石，k ，= 0 ，石，+ c ，( ) 一疗， - - 0 ，o ， v w = ( f ，) w ，p 己 假设在任意一条弧上的运输费用严格大于零，并且假设每个节点的供需函数满足： 疗。= 0 = d i ( 厅) s ( 石) 则上面的空间价格模型可以用一个非线性互补问题来描述： 引理1 2 2 ( 6 】) 假设c 。( 厂) 的严格正的，v a a ，并且上面的条件满足，v i v ，则( 厂，万) 是 一个空间价格均衡模 s p e ( c ，s ，d ) 当且仅当( 厂，t ) 是下面n c p ( f ) 的解： 南京航空航天大学硕士学位论文 f ( ，石) 一+ g ( h ，玎) ，= 0 i e v w e w p e p f ( ，疗) o ，万。0 ； 巴( ，万) o ，h p 0 这里 f = a f ，c ( ) = a r c ( f ) ； e ( ，石) = s i ( 石) 一d 。( 石) + ，一 ，； w 2 咔，1 ) e wp “j ) e w 非 巴( ，厅) = 石，+ c p ( 厅) 一石，p 最u ) 撑 互补问题可以分为许多类，本文主要讨论其中的一种：隐互补问题，它的一般 形式为： 求x k ，使得g ( x ) k ，( 戈+ ) k ，且( g ( x + ) ，( x ) ) = 0 这里k 是h i l b e r t 空间中的锥，g ，f ：h 斗打为任意的函数。 对于线性互补问题和非线性互补问题，本文不作过多的讨论，因为由隐互补问 题可以看出： ( a ) 当g ( x ) zx ，厂具有仿射的形式时，则隐互补问题退化成线性互补问题： 求x k ，使得( x ，厂( x ) ) = o 这里厂( x ) = 胁+ g ，m 是日中的矩阵，g e 日 ( b ) 当g ( x ) ；x ，f 是非线性算子时，则隐互补问题退化成非线性互补问题： 求x k ，使得( x ，f ( x ) ) = o f ：h 专日是非线性算子。 1 3 预备知识 1 3 1 锥的基本概念 设日是一个h i l b e r t 空间，( ，) 和分别是定义在日上的内积和范数。 定义1 3 1 1 称k 是h 中的锥，如果k c h ， v x k 以及非负实数五0 ，有缸k 定义1 3 1 2 隐互补问题 称k 是h 中的凸锥，如果k c h ，并且对于v x 、y k ，以及非负实数五、“0 有 缸+ k 定义1 31 3 设k 是锥，则称k + 是k 的对偶锥，其中k 定义为 k + = 侈i ( 五y ) o ，v x k 若k + = 足，则称k 是自对偶锥。 定义1 3 1 4 设k 是锥，则称k 是点的q o i n t e d ) ，如果必n ( 一k ) = o ) 当k = 彤时，足是一个闭的点凸锥，并且足是自对偶的。# 1 3 2 单调的基本概念 函数f ( x ) ：h h ，x c h 是日中的一个集合。 定义1 3 2 1 称f 在x 上是单调的，如果 ( f ( x ) 一f ( y ) ，工一y ) 0 ，v x ，y j 定义1 3 2 2 称f 在z 上是严格单调的，如果 ( f ( x ) 一f ( y ) ，x y ) 0 ，巩，y r 且z y 定义1 3 2 3 称f 在z 上是强单调的，如果存在 0 ，使得： ( f ( 功一f ( y ) ，z y ) l k y l l 2 ，v x ，y x 定义1 3 2 4 称f 在x 上是伪单调的，如果对于垤，y z ，x y ，有 定义1 3 2 5 ( f ( x ) ，y x ) o 等( ，( y ) ，y x ) 0 南京航空航天大学硕士学位论文 称f 在x 上是严格伪单调的，如果对于搬，y x ，x y ，有 ( f ( z ) ，y x ) 0 = ( f ( y ) ，y x ) 0 定义1 3 2 6 称f 在x 上是拟单调的，如果对于v x ，y x ，x y ，有 ( f ( x ) ，y x ) 0 = 亭( f ( y ) ，y x ) 0 定义1 3 2 7 称f 在x 上是严格拟单调的，如果对于执，) j x ，x y ，有 ( ，( 工) ，y x ) o j ( f ( y ) ，y x ) 0 定义1 3 2 8 映射f ：r ”- - - 4 r ”称为是r - 函数，如果 v x ，y r ”，z _ y ，j f ，x ，) ，。，b ，一y 。i ，：( 曲一z ( _ y ) 】o 等价地，可以定义只- 矩阵： 定义1 3 2 9 若对于任意的非零向量z e r ”，存在| j ( 1 s k n ) ，使其满足： h ( 场c ) t o ，z ：+ ( 幺) ：0 则m 称为只- 矩阵。 定义1 3 2 1 0 函数f ：r “r 埽k 为是模度为的一致p 一函数，如果以下条件成立： v x ，y r ”，。? 梦【x 。一y 。】 ；( x ) 一z ( y ) 】0 工一y 旷 1 e 1 3 3 互补问题的分类 ( 1 ) 广义互补问题( g e n e m l i z e dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设( e ，f ) 是局部凸空间的对偶系统，足是e 中的闭凸锥，f ：k j f ，广 义互补问题( g c p ) 是指： 求x k ，使得，( x ) k t 并且( x + ，f ( x ) ) _ 0 7 隐互补问题 如果厂是仿射，即厂( x ) = ( x ) + 6 ，其中l 是一个线性函数：e 斗f ，b f ， 则称( g c p ) 为线性互补问题( l c p ) ，否则称为非线性互补问题( n c p ) 。 ( 2 ) 广义多值互补问题( g e n e r a l i z e d m u l t i v a l u e dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设( e ，f ) 是一个局部凸空间的对偶系统，k e 是占中的一个闭凸锥， ，：k _ 2 ，广义多值互补问题( g m c p ) 是指： 求x k 和y f ，使得y ( f ( x + ) n k ) ，且h + ，y ) = o ( 3 ) 参数互补问题( p a r a m e t e rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设( e ，f ) 是一个对偶系统，k 是一个凸锥，r 是一个拓扑空间( 参数集 合) ，厂：髟t f ，参数互补问题( p c p ) 是指： 对参数t t ，求x ( f ) k ，使得f ( x ( f ) ，) k ，且 ( f ) ，f ( x ( ，) ，f ) ) = 0 ( 4 ) 隐互补问题( i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设( e ，) 是对偶系统，k e 是闭凸锥，m ：e _ e ，a ：e f ，b f 隐互补问题( i c p ) 是指： 求x e ，使得瞳( x ) 一x 】ek ，( 6 4 ( x ) 】k ，且 ( m ( x ) 一x + ，b a ( x ) ) = 0 如果令，( 力= b - a ( x ) ，g ( x ) = m ( x ) - x ，则：e f ，g ：e 斗e ，则上 面的隐互补问题可以化为： 求x k ，使得，( x ) 足，g ( x ) k ，且( ，( x ) ，g ( x ) ) - 0 ( 5 ) 占- 互补问题( 占c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设( e ，f ) 是一个对偶系统，k e 是闭凸锥，f ：k _ f ，占互补问题 ( s c p ) 是指： 对给定的占 0 ，球x k ，使得厂( 工) k ，且( z ，( z ) ) 兰占 ( 6 ) 序互补问题( o r d e r e dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 设e 是一个向量格，k = 扛e 毋x o k ，：k j e ，序互补问题( o c p ) 是 南京航空航天大学硕士学位论文 指 求x k ，使得x a f ( x + ) = 0 - 9 隐互补问题 第二章隐互补问题转化为最优化问题 设h 是一个h i l b e r t 空间，( ，) 与是定义在日上的内积与范数，k 是中的一 个闭的点凸锥，考虑如下的隐互补问题： 求x + k ，使得g ( x ) k ，f ( x + ) k + ，且( g ( x ) ，f ( x ) ) _ 0 g 、f ：h 日是任意的两个函数。 彤是r ”中的一个闭的点凸锥，在以下的讨论中令h = r ”，k = 彤 2 1 隐互补问题转化为无约束极小化问题 对于任意两个函数厂、g ：r ”jr ”，考虑如下的隐互补问题： 求x + r ”，使得g ( x + ) o ，f ( x ) o ，( g ( x ) ，( x + ) ) = 0 ( 2 1 1 ) 或者等价的有 求x r ”，使得邑( x ) 0 ，z ( x ) o ，g 。( x ) z ( z ) = 0 ，对于所有f ， 这里9 1 , ，分别是g ，f 的分量，指标集= 1 ，n 1 这里假设厂、g 具有下面的形式： ， ) = 工( x ) ( x ) g ( x ) = g l ( x ) g 。( x ) 利用f i s c h e r ( 4 ) 提出的互补函数： 伊( 口，b ) = 口2 + 6 2 一口一b f i s c h e r 已经证明了这个函数具有下面的性质： 妒( 口，6 ) = 0 a = o ，b = o ，a b = 0 当然妒( 口，b ) 可能出现负值，因此我们采用如下形式的互补函数： i r 一 妒( 口，6 ) = 去( d 2 + 6 2 一口一6 ) 2 ( 2 1 2 ) k a n z o w 和f u k u s i l i m a ( 【3 】) 已经证明了妒( 口，b ) 具有下面的一些性质： 南京航空航天大学硕士学位论文 引型2 】1 ( 3 d ( a ) 妒在r2 上连续可微，v o ( o ，o ) = ( 0 ，0 ) ； ( b ) 妒( 口，6 ) 0v ( a ，6 ) r 2 ； ( c ) 妒( 口，6 ) = 0 ：亨a 0 ，b o ，a b = 0 ； ( d ) 譬( m b ) a q ( a ，6 ) ov ( “，6 ) r2 ； o ad d ( e ) 娑( 以6 ) 譬( d ，6 ) = 0 q o ( a , 6 ) ：0 群 o a 把上面的价值函数应用于，g 的各个分量，则有： 妒，( z ) = 妒( g ，( x ) ，z ( x ) ) ， i ， 从而互补问题可以转化为如下的无约束最优化问题： m i n 5 v ( x ) = 吼( x ) = 妒( 岛( x ) ，( x ) ) ( 2 1 3 ) 定理2 1 1 如果( 2 1 1 ) 有非空的解集，则x r ”是( 2 1 1 ) 的解当且仅当x 是问题( 2 1 3 ) 的解， 即x 是非负函数y 的总体极小点。 证明：由于矿( x ) 在整个定义域中是非负的，从而y ( x ) = 0 的点是其总体极小点。 j 假设x r ”是问题( 2 1 1 ) 的解，从而有： g ( x ) o ，( x ) o ，( g ( x + ) ，( z ) ) = o 由矿( x ) 的性质( c ) 有y ( 工) = 0 而x r “，从而工是问题( 2 1 3 ) 的解。 e 假设x 是问题( 2 1 3 ) 的解，从而有 y ( x ) = 0 由y ( x ) 的性质( c ) ，有 g ( x ) o ，厂( x ) o ，( g ( x + ) ，( x ) ) = o 一 堕里i ! 问墼 一一一 一一一一 而x r ”，从而x 是i 司题( 2 1 1 ) 的解。 # 将问题( 2 1 3 ) 改写成如下的最优化问题： m i ny ( x )( 2 1 4 ) 显然，当x + r 一是问题( 2 1 4 ) 的总体极小点时，如果有y ( x + ) 0 ，则x + 并不是 问题( 2 1 1 ) 的解，因此必须要判断在何种情况下，y ( x ) 的稳定点也是它的总体极 小点。 引理2 1 2 ( 【3 ) 如果f ，g 连续可微，假设x r “是缈的稳定点，使得g 。( x ) 非奇异，并且 厂。( x ) g 。( x ) 一1 是r - 矩阵，贝l j x 是问题( 2 1 1 ) 的解。 证明：假设x r “是y 的一个稳定点，从而有： v ( z ) = 善警( ，( x ) ，“x ) ) w ( x ) + 善警( z ( x ) ，“x ) ) ( x ) - 0 也就是： 八x 丫警( m ) ，g ( x ) ) + g b ) r 等( ，( x ) ，g ( x ) ) = 0 p 似w 这里警( ，( z ) ，g ( x ) ) 、等( ，( x ) ，g 。) ) 分别定义为： 警( 厂( x ) 贴) ) = ( 等( z ( z ) 球x ) ，警( 以( x ) ，“x ) ) ) 7 - 豢( ，( x ) ，g ( x ) ) = ( 等( ( x ) ，“x ) ，等( ( x ) ，“x 妒掣 由于g 。( x ) 非奇异，在( ) 式两边同乘以( g ( x + ) 7 ) ，得到： ( ，( x ) g ( z ) 一1 ) 7 挈o c tu ) ，g ( x + ) ) + 挈o o ( ，( z ) ，g ( 工) ) = o 由- y ( f ( x ) ( x ) 一1 ) 7 是r - 矩阵，由f a c c h i n e i 的结果( 【1 1 】) 有： 警( m ) ，贴) ) + 譬o o ( m ) ，g ( x ) ) _ o 由引理2 1 1 的( e ) 可以知道： x 是问题( 2 1 1 ) 的解。 # 假设，g 满足下面的条件： 南京航空航天大学硕士学位论文 。：笋 厂( x ) 一：( y ) 【晶( x ) 一g 。( y ) p 忙一y 2 l ，p 是常数，p 0 ( 2 1 5 ) 显然，当g ( x ) zx 时，即要求厂是一个一致p - 函数，而这正是n c p ( f ) 有唯一解 的充分条件。 定理2 1 2 ( 唯一性) 假设f ，g ：r “斗r ”满足条件( 2 1 5 ) ，问题( 2 1 1 ) 有解，则解唯一。 证明：若x ，y 是问题( 2 1 1 ) 的两个解，则由条件( 2 1 5 ) 以及问题( 2 1 1 ) 的条件，存在 i ，使得： o p l l x + 一y + 1 1 2 【，( x ) 一z ( y ) 【g ，( z ) 一g 。( y + ) 】 = - f ，( y + ) g 。( z ) 一z ( x ) g ，( y ) 0 因此有： x = j ， 撑 事实上，解的唯一性条件可以由f 关于g 强单调条件来代替。 定义2 1 1 厂，g ：h 专h ，是h i l b e r t 空间中的两个映射，k 是日中的锥，如果： 3 a 0 ，使得( g ( x ) 一g ( y ) ，厂( x ) 一，( j ，) ) - , z l l x y l l ，v x ，y k 则称，在足上关于g 强单调。 存在性的证明在参考文献【3 中已有证明。 2 2 隐互补问题转化为约束极小化问题 下面考虑如下的隐互补问题： 求x + 群，使得g ( z ) o ，f ( x ) - 0 ，( g ( x ) ，厂o ) ) = 0 ( 2 2 1 ) 由于求解无约束极小化问题与求解约束极小化问题有着本质的不同，因此不能再 用与上面相同的方法来讨论问题( 2 2 1 ) 。 将问题( 2 2 1 ) 转化为如下的约束极小化问题，同样的利用了互补函数： 妒：；防一口一a f ，o ，。) r e r z 可以得到： 隐互补问题 m ，。i n ：y ( x ) = z 。，o ( g - ( x ) ，( z ) ) 7 = 1 一，n ( 2 2 _ 2 ) 引理2 2 1 ( 1 ) 娑( 口，6 ) 0 营等( 吼6 ) 0 ，0 ，6 ) 7 r 2 o ao o ( 2 ) 譬( 以6 ) 0 ，2 e = o ，2 0 从上面的叙述可以看出，与经典的正则定义相比，定义2 2 2 增加了对于函数g 的 要求，特别地，当g ；，( 单位映射) 时，上述定义退化为经典的正则定义。 引理2 2 3 挈( 口，6 ) 0 营a o , b 0 证明：p ：妻陋一a 一6 y ，妇，6 ) r 震2 挈6)_(厮-a-boa) ( 南b _ 1 ) 、口十 曲f 丽一4 1 2 忑磊而i 鬲j 当譬( 口，6 ) o 时，显然有口 o ，b o d 口 乍当日 o 。b 0 时， 当口 o ，b o ； o c t 譬( 口，6 ) 0 ； 砌 亿，b y r 2 隐互补问题 当口 0 时，娑( 以6 ) o ； 当口 o ，6 o , b 0 群 为了得到主要的结果，以下先做一些假设： ( a 1 ) ( z ) 7 可逆； ( a 2 ) 当x ，= 0 时，g ( x ) 。，( 警c g c n ，c 瑚) 。= 。，( 警c g c n ，c 砌) 。 0 从而得到了右边的估计，即： ；占jj2=y7挈(g(x)，厂(x)+y7(g(z)7)“f(x)r譬(g(x)，(x)ooa 酏。 左边= y t ( g ( x ) 7 ) 一1 v y ( x ) 由k k t 条件，v y ( z ) 0 ，将v 妒( 工) 分为两部分，同时y 7 ( g 。( x ) 7 ) 一1 也作相 隐互补问题 应的处理，司以得到： 左边= y 7 ( g ( x ) 7 ) “v i ；f ( x ) = 丁1 ) + ，( y r ( g ( x ) r ) - i ) o ( 船n 这里y ( x ) 】+ 表示v ( x ) o ，i ，；矿( 石) 0 表示v ( x ) = o ，i i 由k k t 条件，当v ( x ) 0 时，z 。= 0 ，由假设( a 2 ) 有： g ，( 石) 0 或者l ( x ) 0 ，i e u 由引理2 2 1 的证明过程可知： 譬( ( x ) ，工( x ) ) o 由引理2 1 1 可知： 警( & ( x ) ，( x ) ) 1 1 # 引理3 1 1 设x h ，则以下条件等价： ( 1 ) 1 i x 一只( 忙i i x - y l l ，v y k ； ( 2 ) ( x 一只( x ) ，丑( x ) 一y ) 0 ，v y k 引理3 1 2 设x h ，则& ( x ) 是x 在k 上投影的充要条件为： ( 3 ) ( 只( z ) 一x ，y ) 0 ，v y k ； ( 4 ) ( 只( x ) 一x 9 最( x ) ) = 0 # 以下利用投影算子来解这样的隐互补问题： 求z k ，使得g ( x ) 毫k ，厂( x ) k ，并且( g ( x ) ，( x ) ) = 0 ( i c p ( g ，f ) ) 在非线性互补问题中，可以转化为不动点问题求解： 引理3 1 3 x 是非线性互补问题的解，当且仅当x + = , a x 一p f ( x ) ) ，即 0 # 在隐互补问题中，也有类似的结果。 定理3 1 1 x 是i c p ( g ，f ) 的解，当且仅当x k ，f t g ( x ) = p k ( g ( x ) 一f f ( x ) ) ，v , o 0 隐互补问题 证明：记7 ( x ) = 最( g ( x ) 一, o f ( x ) ) j 设x + k 是( i c p ( g ，f ) ) 的解，则有g ( x ) k ，f ( x ) k ，( g ( x ) ，f ( x ) ) = 0 由投影算子的性质： ( p k ( g ( x ) 一p f ( x ) ) 一( g ( x + ) - p f ( x ) ) ，g ( x ) ) 0 0 = ( r ( x + ) 一( g ( z ) f f ( x + ) ) ，r ( x ) ) = ( 丁( x ) 一g ( x + ) + ( 工) ，r ( x ) 一g ( x ) + g ( x ) ) = ( r ( x ) 一g ( x ) + ( x ) ，t ( x ) 一g ( x ) ) + l t ( x ) 一g ( x + ) + f l f ( x ) ，g ( x ) ) 由于( r ( x ) 一g ( x ) + 厨r ( x ) ，g ( x ) ) 0 ，因此 0 ( t ( x + ) 一g ( x + ) + ( x ) ，t ( x ) 一g ( x ) ) = 慨x ) 一g ( x ) n 声( ，( x + ) ，t ( x ) ) 一f l ( f ( x ) ，g ( x ) ) _ 由于( g ) ，m + ) ) = o ，( 厂( z ) ，r ) ) o ， o ，因此有 o | l r ( x ) 一g ( x ) | 1 2 所以t ( x ) = g ( x ) ，即g ( x + ) = 最( g ) 一o ) ) ， 0 仁设x k ，满g ( x ) = 只( g ( x ) 一( x ) ) ， 0 由投影算子的性质有： ( t ( x + ) 一g ( x ) + ( x ) ，y ) 0 ，v y k ( e a g ( x ) 一b y ( x ) ) 一( g ( x ) 一( x ”，e a g ( x ) 一( x ) ) ) = o 从而有： ( ( x ) ，y ) 0 ，砂kj f ( x ) k + ( f f ( x ) ，g ( x ) ) = 0j ( g ( x ) ，厂( x ) ) = 0 g ( x + ) = 最( g ( x ) 一月r ( x + ) ) j g ( x ) k 所以x k 是i c p ( g ，f ) 的解。 # 南京航空航天大学硕士学位论文 考虑f 面的式子： r ( x ) = g ( x ) 一最( g ( x ) 一厂( x ) ) ，这里取卢= 1 显然，当且仅当r ( x ) = 0 时，x + 是i c p ( g ，f ) 的解。 定理3 1 2 若厂( x ) 在k 中存在零点x ，并且g ( x ) k ，则x + 也是i c p ( g ，f ) 的解。 证明：i i r ( x ) l i = i k ( x ) 一& ( g ( x ) 一厂( x ) 0 = i i g ( x ) - f ( x ) 一足( g ( x ) 一厂( x ) ) + 厂( x ) j | s i k ( x ) 一( x ) 一& ( g ( x ) 一f ( x ) ) l l - q f ( x ) 1 1 由投影算子的定义有： i i g ( x ) 一f ( x ) - y 1 | | g ( x ) 一，( x ) 一& ( g ( x ) 一厂( x ) ) l i ，v y k 从而有： i i r ( x ) l i l k ( x ) 一( x ) 一y l l + l l f ( x ) l l ，v y k ( 3 1 1 ) 若x + 是厂( x ) 的零点，并k g ( x ) k ，在式( 3 1 1 ) 中取： y = g ( x ) 并且注意到： f ( x ) = 0 则有： + ) 忙0 从而有忆x ) 1 1 = o ，因此x ；黾i c p ( g ，f ) 的解。 存 在上面的定理中，要求g ( x ) k ，这里z 是，( z ) 的零点，事实上，这一点并不 必要。 定理3 1 3 若工是厂( 工) 在k 中的零点，n x 也是i c p ( g ，f ) 的解。 证明：由于 ，( x ) = g ( x ) 一斥( g ( x ) 一厂( x ) ) 隐互补问题 从而有 g ( x ) 一r ( x ) = ，：( g ( x ) 一厂( z ) ) k ，v x h 由引理3 1 1 的( 2 ) 可知： ( x 一只( x ) ，p a x ) 一y ) 0 ，v y k ，v x h 取 x = g ( x ) 一f ( x ) 代入上式，则有 ( g ( x ) 一厂( x ) 一只( g ( x ) 一厂( x ) ) ，y p k ( g ( x ) 一厂( x ) ) ) o ，v y k 即： ( r ( x ) 一厂( x ) ，y g ( x ) + ，( x ) ) o ，v y k 卜( x ) | 1 2 一( r ( x ) ，y g ( x ) ) 一i f ( x ) ，y g ( x ) ) 一( g ( x ) ，( x ) ) 0 ( 3 1 2 ) 若x + 是厂( x ) 的零点，则有f ( x ) = 0 ，代入式( 3 1 2 ) ，得到 注意到 ， 1 帆x + ) 一：，( x + ) ，y g ( x ) ) o ，v y k ( 3 1 3 ) g ( x ) 一r ( x ) = ，；( g ( z ) 一，( x ) ) k ，v x h 特别地，取： y = g ( x ) 一r ( x ) 代入式( 3 1 3 ) ，得到： f p ( x ) i | 2 一( r ( z ) ，一，( x 。) ) so 2