（计算数学专业论文）比例延迟积分微分方程向后euler方法的散逸性.pdf

摘要 科学与工程的许多问题具有散逸性，即系统具有一个有界吸引 集，从任意初始条件出发的解经过有限时间后进入该吸引集并随后 保持在里面散逸性研究一直是动力系统研究中的重要课题，当数值 求解此类系统时自然希望数值方法能保持系统的该重要特征 比例延迟积分微分方程广泛出现在生物学，生态学，医学和物理 学等科学领域，此类方程在工程学及自然科学的各种问题建模中起 重要作用，由于其解析解难以获得，故引起了研究者对其进行数值分 析及计算的兴趣从数值角度来说，数值方法是否能保持原方程的解 析解的散逸性是很重要的 本文主要研究求解非线性比例延迟积分微分方程的几类数值方 法的散逸性在第一章，对非线性比例延迟积分微分方程研究背景及 现状进行了综述在第二章，研究了非线性多比例延迟微分方程的散 逸性，证明了向后e u l e r 方法求解非线性多比例延迟微分方程数值解 仍保持散逸性在第三章，研究了非线性比例延迟积分微分方程及其 数值方法的散逸性，给出了比例延迟积分微分方程是散逸的一个充分 条件，证明了向后e u l e r 方法能够保持系统的这种性质在第四章，这 一章是对第三章相关内容的推广，研究了非线性多比例延迟积分微分 方程散逸性，给出了非线性多比例延迟积分微分方程散逸的充分条 件，并获得了e u l e r 方法的散逸性结论 关键词比例延迟积分微分方程，散逸性，e u l e r 方法 a b s t r a c t m a n yp r o b l e m s i ns c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g a r em o d e l e d b y d i s s i p a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m s t h e s es y s t e m s a r ec h a r a c t e r i z e db y p o s s e s s i n g ab o u n d e da b s o r b i n gs e tw h i c ha l ls o l u t i o no b t a i n e db y a r b i t r a r yi n i t i a lv a l u e se n t e ri nt h ef i n i t et i m ea n dt h e r e a f t e rr e m a i ni n s i d e d i s s i p a t i v eo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d e si sa ni m p o r t a n ti s s u ea ta l l t i m e s ，w h i c hh a sb e e ns t u d i e db ym a n yp a p e r s w h e nw ec o n s i d e rt h e a p p l i c a b i l i t yo f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e s es y s t e m s ，i ti sn a t u r a l l yh o p e d t h a tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd y n a m i c a ls y s t e m sc a ni n h e r i td i s s i p a t i v i t yo f s y s t e m s t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hap r o p o r t i o n a ld e l a ya r i s e w i d e l yi ns c i e n t i f i cf i e l d ss u c ha sb i o l o g y , e c o l o g y , m e d i c i n ea n dp h y s i c s t h e s ec l a s s e so fe q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm o d e l i n gd i v e r s e p r o b l e m so fe n g i n e e r i n ga n dn a t u r a ls c i e n c e b e c a u s ei ti sd i f f i c u l tt o g a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s ，t h er e s e a r c h e r sm a k en u m e r i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lc o m p u t a t i o no ft h ee q u a t i o n s o nan u m b e rp o i n to f v i e w ，i t i s i m p o r t a n tt h a tw h e t h e rt h en u m e r i c a l m e t h o d sc a ni n h e r i tt h e d i s s i p a t i v i t yo ft h ea n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s t h i st h e s i si sc o n c e m e dw i t ht h ed i s s i p a t i v i t yo fs e v e r a lk i n d so f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a ri n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ha p r o p o r t i o n a ld e l a y i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o n a r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e df o rt h es t u d yo fn o n l i n e a rd e l a y - - i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hap r o p o r t i o n a ld e l a y i nc h a p t e rt w o ，w ed e a l w i t ht h e d i s s i p a t i v i t y o fn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h m u l t i p r o p o r t i o n a ld e l a y i ti sp r o v e dt h a tt h eb a c k w a r de u l e rm e t h o d i n h e r i t st h ed i s s i p a t i v i t yo ft h eu n d e r l y i n gs y s t e m i nc h a p t e rt h r e e ，w e d e a lw i t ht h ea n a l y t i ca n dn u m e r i c a ld i s s i p a t i v i t yo fi n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hap r o p o r t i o n a ld e l a y as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e dt o e n s u r et h a tt h ea b o v en o n l i n e a rs y s t e mi sd i s s i p a t i v e i ti sp r o v e dt h e b a c k w a r de u l e rm e t h o di n h e r i t st h ed i s s i p a t i v i t yo ft h eu n d e r l y i n gs y s t e m i nc h a p t e rf o u r , w ed e a lw i t ht h ed i s s i p a t i v i t yo fn o n l i n e a rd e l a y i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm u l t i p r o p o r t i o n a ld e l a y , i tc a l lb er e g a r d e da s a ne x t e n s i o no ft h a ti nt h ec h a p t e rt h r e e as u 衢c i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e dt oe n s u r et h a tt h ea b o v en o n l i n e a rs y s t e mi sd i s s i p a t i v e k e yw o r d st h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hap r o p o r - t i o n a ld e l a y , d i s s i p a t i v i t y ，e u l e rm e t h o d s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：望丛挈丝 日期：邂年止月堑日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名耻导师签名：筐鲥日期：! 监年盟月 第一章绪论 本章首先综述了比例延迟积分微分方程稳定性研究现状，然后叙述了几类 微分方程系统解析解的散逸性及几类数值方法的散逸性研究情况，最后扼要介 绍了本文的主要工作 1 1 问题提出的背景和意义 在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、地球物理勘探等 学科中，许多问题的解决都可归纳为解其对应的积分微分方程( i d e s ) 的初值 问题： y ( f ) = 厂( f ，y ( ，) ，j ：g ( ，s ，y ( s ) ) ) ，o ， i y ( t o ) = y o ( 1 1 1 ) 这里y ( ，) 表示与时间变量有关的物理量同一问题有时既可以用微分方程的定解 问题又可以用积分方程或者积分微分方程来描述，而微分方程本身又可以化为积 分微分方程因此，积分微分这一数学工具正日益受到重视，随着人们对积分微 分方程系统的认识越来越深入，从而发现在某些情况下，与时间变量有关的物理 量y ( t 1 不仅依赖于当前的状态，还依赖于它之前的一些数据为了使所建模型更 加精确的描述实际现象，人们在系统( 1 1 1 ) 中，引入了延迟项，从而获得新的模 型： y ( ，) = f ( t , y ( ，一f ) ，f - ，g ( ，凡y ( s ) ) ) ，o ，( 1 1 2 ) i y ( t o ) = ， 一f ，0 对于此类问题，人们常称之为延迟积分微分方程( d i d e s ) 初值问题 由于延迟积分微分系统具有广泛的应用背景，因此无论在理论方面还是数值 算法方面都很有必要对其做系统的研究但是由于延迟积分微分方程的复杂性， 从理念上获得其解析表达式几乎是不可能的，因此研究这类系统的数值算法显得 十分必要从2 0 世纪6 0 年代丌始随着计算机技术的发展，人们借助于计算机对 这类复杂系统进行数值仿真而获得了系统的数值解近四十年来，在数值求解常 微分方程( o d e s ) 的数值算法的基础之上，有大量文献探讨了求解延迟微分方 程( d d e s ) 的数值理论，主要包括稳定性、收敛性和散逸性并有许多开创性 成果尽管许多理论可以直接推广到积分系统与积分微分系统，但是，相对于我 们习惯的微分方程系统，后者仍具有其自身的特点与复杂性因此，对于延迟积 分微分方程系统的理论解与数值方法的研究是十分必要的 数值方法的稳定性和散逸性在延迟微分方程的数值研究中是非常重要的。 对于动力系统，人们在构造其数值方法时总是希望数值方法能很好地保持原动力 系统的重要性质稳定性的概念源于力学，起初是用来刻画系统能够在各种干扰 之下稳妥地保持预定的工作状态一般来说，稳定性的研究包括两个方面的内容 一方面是对微分方程稳定性的分析：另一方面是求解微分方程的数值方法的稳定 性分析这两方面的研究相辅相承，缺一不可实际上，只有对稳定的微分方程， 进行数值处理才有意义：而同时又只有选取稳定的数值算法，才能很好保持微分 方程的性质 对微分方程的稳定性定性研究可以追溯到1 8 8 5 年法国著名数学家庞加莱的 名著微分方程所定义的积分曲线继而在1 8 9 2 年，俄国著名数学家李雅普 诺夫发表了杰出的博士论文运动稳定性的一般问题，开创了对稳定性的研究 而对延迟微分方程的稳定性分析则相对较晚同时，稳定性主要分为线性和非线 性部分，但是大部分成果集中在线性或半线性上实际上，微分方程的稳定性是 指如果初值波动足够小，解的波动就可以被限制在事先规定的范围内，解的渐近 稳定性则是指解的波动随着时间的增大而趋于消失 1 9 5 7 年，秦元勋【l 】首先研究了简单的延迟微分方程 ”( ，) = p u ( t ) + q u ( t - r ) ，( 1 1 3 ) 的稳定性指出当p + q o 时，存在a = ( p ，q ) ，使得当0 0 ，方程( 1 1 1 ) 的零解不稳定 1 9 6 3 年，b e l l m a n 和c o o k e 2 研究了初值问题 ) = - a y ( ) ，川，( 1 1 4 1 【y ( t ) = 矽( f ) - r t 0 的渐近稳定性对标量试验方程 f 少( ，) = 2 y ( t ) + l y ( t f ) ，t 0 ，、 1 1 1 5 l i y ( t ) = 矽( f ) ， 一f ，o 、。 1 9 5 0 年，h a y e s 【3 】给出了方程( 1 1 3 ) 与延迟f 有关的渐近稳定区域 墨= h ) i 从- , u ，厣 0 时，当且仅当川 - 2 时，方程( 1 1 5 ) 的解 是渐近稳定的，即y ( f ) 满足! 骢y ( f ) = 0 1 9 7 5 年，b a r w e l l 5 l 将方程( 1 1 5 ) 已有 结果推广到复系数的情形证明了当川 0 ( 1 1 6 ) 【y ( f ) = ( f ) ， 一f f o ， 证明当i 。 ( 1 1 7 ) l 少( f ) = ( ，) ， 一r t 0 ， 、 【二 1 9 8 8 年，b e l l e n , j a c k i e w i c z 与z e n n a r o 【7 】讨论了复系数中立型延迟微分方程 ( 1 1 7 ) 与延迟r 无关的渐近稳定性证明当陋矿一乒i + i 舢+ i - 2 r e ( 2 ) 时，方程 ( 1 1 7 ) 的解是渐近稳定的1 9 9 3 年，k u a n g 8 给出了方程( 1 1 7 ) 的系数为实数 时，与延迟f 有关的渐近稳定区域 峰= 卜卜小n 乒x = 昙a r c m 等, x r , a 0 ( 1 1 8 ) 【y ( f ) = ( f ) ， 一r f o ， 给出了方程组( 1 1 6 ) 渐近稳定的一个充分必要条件1 9 9 9 年，o i u ，y a n g 与k u a n g 1 0 在文献 9 的基础上，进一步研究了中立型延迟微分方程组( 1 1 8 ) 渐近稳定 的充要条件 1 9 9 9 年，h u 和c a h l o n 11 把中立型延迟微分方程组( 1 1 8 ) 推广到多延 y ( f ) = 缈( ，) + 羔i = 1 。y ( ，一。) + m y ( ，一。) ，f 0 ( 1 1 9 ) 【少( f ) = 矽( f ) ， 一f f 0 ( 1 1 1 。) 【y ( ，) = ( ，) ， 一f ， o 与延迟f 无关的渐近稳定性并给出了方程组( 1 - 1 1 0 ) 渐近稳定的一个充分必要 条件 2 0 0 3 年，h u a n g 和v a n d e w a l l e 1 3 研究了线性延迟积分微分方程 弘) - 则( ，) + 酬) + 7 ，巾) 虮晓0 ( 1 1 11 ) 【y ( ，) = 矽( f ) ，- r o 是步长，令= 缈( o ) ，y 。是系统真解在，。= n h 的值j ，( ) ( r t = o ，1 ，2 ，) 的 逼近，f ，z ”分别逼近j ，( 乙+ q ) ，y ( o + c s h f ) ，获得了( 七，) 一代数稳定的 r u n g e k u t t a 方法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在有限维空间h = x = c 上的散逸性结 论，同时证明了当h 是无限维复希尔伯特空间时，( 七，) 一代数稳定的r u n g e k u t t a 方法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 具有无限维散逸性 同年，h u a n g 2 5 考虑了求解系统( 1 2 5 ) 的k 步单支方法( p ，o r ) p ( ) 此= 矽( 盯( ) 儿，或) ，刀= o ，l ，2 ， ( 1 2 8 ) 这里h 之。是步长，e 是位移算子，= 儿+ 。，p ( f ) = 哆f 。( o ) 和 仃( f ) = 膨f 是生成函数，设二者无公因子，且满足p ( 1 ) 苟，( 1 ) = 盯( 1 ) = 1 y 。是系7 统真解在r 。= n h 的值y ( t 。) 的逼近，只逼近j ，( 仃( e ) 乙一f ) ，获得了 g ( c ，p ，o ) - 代数稳定的单支方法( p ，仃) 对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在有限维空间 日= x = c 上的散逸性结论，同时证明了当h 是无限维复希尔伯特空间时， g ( c ，p ，0 ) 一代数稳定的单支方法( p ，o r ) 对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 具有无限维散 逸性特别地，不可约的单支方法( p ，o r ) 是有限维散逸的当且仅当该方法是a 一 6 稳定的：不可约的单支方法( ，仃) 是无限维散逸的当且仅当该方法是强4 一稳定 的 同年，黄乘明和陈光南 2 6 考虑求解系统( 1 2 5 ) 的线性秒一方法 见+ i = 儿+ p 矿( 以+ l ，只+ 1 ) + ( 1 + 矽) 矽( 见，只) ，刀= 0 , 1 ，2 ， ( 1 2 9 ) 其中h o 是步长，y 。是系统真解在f 。= n h 的值y ( ，。) 的逼近，0 【o ，l 】，只逼 近j ，( 乙一f ) 设f = ( m - 8 ) h ，m 为正整数，万【o ，1 ) 证明了线性秒一方法对于有限维系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 是散逸的充要条件是 1 2 9 1 ，从而表明代数稳定并不是方法散逸的必要条件 同年，h u a n g 和c h a n g 2 7 考虑求解系统( 1 2 5 ) 的多步r u n g e k u t t a 法 r ) - q 儿+ 川+ 办( 佃，z 伽) ，i = l ，2 ，j ， 07 ( 1 2 1 0 ) ，| ”= 嘭+ 川+ 办乃( 匕伽，e 佃) j = l1 = 1 其中h o 是步长，系数嘞，6 ：f ，e 和7 ，是实常数，儿是系统真解在f = n h 的值 少“) ( 甩= o ，1 ，2 ，) 的逼近，艺“逼近y ( 厶+ 巳1 i ) ，e 伽逼近y ( 厶+ c j h - r ) ， 并 假设o c ，l ( f - l ，2 ，s ) ，设f = ( 坍一s ) h ，m 为正整数，艿【o ，1 ) ，e ”) 可 由下面线性插值获得 z ”) = s 5 月一”“) + ( 1 一万) 巧”一，= l ，2 ，j ， ( 1 2 1 1 ) 其中当r 。+ q h o 时，”) = 缈( 乙+ c 矗) ，”= + q 办，j = l ，2 ，s ，并且研究了 带有约束网格和线性插值( 后，) 一代数稳定的多步r u n g e k u t t a 法的散逸性，并 且获得了( 七，) 一代数稳定，不可约的多步r u n g e k u t t a 法对系统( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 在 有限维空间h = x = c 上的散逸性结论另外，由单支方法和线性多步法的关 系，文献 2 7 得到了a 一稳定的线性多步法的散逸性结论 随后，余越听，李寿佛 2 8 考虑了双延迟微分方程初值问题 舭) 2 m ( r ) ，少t - z t ) ，y ( t - r 2 ) ) f 0 ( 1 2 1 2 ) 【y ( r ) = ( ，) ， 一f f 0 ， 其中t 1 ) 吃为j 下常量，r = m a x t i ，t 2 ) ，( f ) 是已知的连续函数，x 是一实的或复 的有限维空间，f ：x xx x 是一满足l i p s c h i t z 连续函数，并满足条件 r e ( u ，厂( “，h ，v ：) ) 0 ，甜，h ，v ：x ， ( 1 2 1 3 ) 这里他们讨论了应用到系统( 1 1 1 2 ) 一( 1 1 1 3 ) 的0 一方法的散逸性考虑 了求解系统( 1 2 1 2 ) 的线性秒一方法 7 儿+ l = 儿+ o h f ( y + l ，以3 ，螂) + ( 1 + 口) 矽( 儿，以a i ) ，z 2 ) ，n = 0 ，l ，2 ，( 1 2 1 4 ) 其中h o 是步长，夕。是系统真解在，。= n hi 舱y ( t 。) 的逼近，秒【o ，1 1 ，以”逼 近y “一) ，以2 逼近j ，“一吒) ，卅，以2 可由下面插值获得 z ”= 磊一啊“+ ( 1 一磊) 一竹， z 2 = 岛以一鸭+ l + ( 1 一磊) 一肘2 证明了当且仅当i 2 0 1 时，双延迟微分方程线性0 一方法是g d 一散逸的 2 0 0 3 年，t i a n 2 9 研究了带有有界变延迟项的奇异摄动延迟微分方程 j 秒：力翟( ，( ，芦) ) ( ，吖( ，) 呦弘， ( 1 2 15 ) i 灭f ，g ) = ( f ) ，t o f t t o ， 、 其中f ：r + - t o ，。o ) xc 5 c 专c 5 ，充分可微，0 f ( f ) r ，r 是常数，初值函 数( f ) 对气一f 宰r ，0 是连续的，y ( t ，g ) ：r + r + jc 3 ，证明了如下结论： 假设系统( 1 2 1 5 ) 满足 r e ( f ( t ，j ，”) ，y ) - t o 满足 0 y o ) 0 ，0 f l ( t ) q o t ( t ) ，0 q o 使得 系统( 1 2 1 5 ) 对充分小的s ( o ，岛】是一致散逸的 同时，t i a n 3 0 考虑了线性0 一方法 占y 0 。= 占群+ h ( 1 - g ) f ( t ，蟒( 0 一r ( ”) + 办乡( + ，y ：。，蝣( + 。一r ( 厶+ 。) ) ) ， 其中h s o 当f - o 当t t o 时，孵( f ) 由分片线性插值 ( 1 2 1 8 ) 给出，证明了线性0 一方法及单支0 一方法的数值解对充分小的f 0 是 8 一致散逸的和一致指数稳定的当且仅当0 = 1 2 0 0 4 年，t i a n 3 0 1 研究了有界变延迟微分动力系统 少( f ) = 厂( l y ( ，) y ( f f ( ，) ) ) ，f 。，( 1 1 1 9 ) 【少( f ) = 伊( f ) ，一f r o 的散逸性，这里y 和是p 维向量值函数，延迟函数f ( f ) 满足o s r ( f ) f ，f 0 7 r 满足以下条件 r e ( u ，f ( t ，) ) y ( f ) + 口( f ) l w + p ( t ) l l v l l 2 ，v t 【0 ，o o ) ，u ，c ， 其中口( f ) ，f l ( t ) ，7 ( f ) 是连续的函数，且存在 o ，0 q o 使得 0 r ( t ) ，。 口( f ) a o o ，o f l ( t ) o ， 9 由于问题( 1 2 2 1 ) 的真解的导数在整数点处间断，为了减少计算误差，我们取 积分步长 ：! ，这里所为正整数， m k - i 并记a = 罗f 口i i ，应用线性多步法( p ，盯) 于 一一l ，i 、。7 j - - o 问题( 1 2 2 1 ) 得到 t，、 丢1 = 0 口，j 。+ ，2 2 1 7 l + t ，j 。+ t ，_ 警 j i”。l 肼lj 这里是问题的真解在节点f 。= n h 的值y ( r 。) 的逼近，刀= 0 ，l ，文献 3 2 得到 了此类求解分片延迟微分方程线性多步方法( p ，盯) 的数值散逸性结果，此结果 表明所考虑的数值方法继承了方程本身的散逸性并且数值试验进一步验证了 理论结果的正确性 同年，w e n 和l i 3 3 研究了希尔伯特空间上沃尔泰拉范函微分方程的散逸 性，考虑了沃尔泰拉泛函微分方程 j y 7 ( ，) = 厂( ，y ( ，) ，j ，( ) ) ，o ， ( 1 2 2 3 ) 【y ( t ) = 畎f ) ，f t 0 ， 、7 其中r 是一j 下常数，妒( f ) q 卜f ，0 】是给定的初始函数，h 是实或复的希尔伯 特空间，( ，) 是中的内积，i f i i 是该内积导出的范数，x 是日中稠密的连续嵌 入子空间对任意给定的闭区间，cr ，令巴( ，) 表示由所有连续映射x ：，专x 组成的巴拿赫空间，i i x l l 。= m a x 是该空间上的范数厂：鸭删掀g h 刊j h 是一局部l i p s c h i t z 连续函数，满足以下条件 2 r e ( “，f ( t ，“，少( ) ) ) y ( r ) + c z ( ，) 0 “0 2 + ( ，) 卜肫( j m ，a ，x 一一f ，) l i 少( ，) 2 ， 甜x ，y q 【一f ，佃l ，【o ，佃) ， 其中厂( f ) ，口( ，) ，( ，) 在区_ f s j 【o ，佃) 上是有界连续函数“( f ) ，：( ，) 满足条件 o 0 连续映射g ：1 0 ，悯) x xx 专x 满足 2 r e ( u ，g ( t ，甜，x ) ) y ( ，) + 口( f ) i i “1 1 2 + f l ( t ) x2 ，v t 1 0 ，佃) ，甜，x x ( 1 2 3 0 ) 文献 3 3 获得了比以前文献所得相关结论更一般更深刻的散逸性结果 2 0 0 6 年，g a n 3 4 研究了希尔伯特空间h 上的积分微分方程的散逸性，并樽 到线性口一方法的散逸性结论 g a n 3 4 考虑积分微分方程( i d e s ) 加m ( m g ( t , s , y ) 出) ，f 。， ( 1 2 3 1 ) 【j ，( r ) = 缈( ，) ，t o ， 的散逸性其中f 是一j 下常数，( ，) 是日中的内积，i | i l 是该内积导出的范数， x 是日中稠密的连续嵌入子空间，缈( f ) 连续，f ：x x x 专日是一局部l i p s c h i t z 连续函数，g ：【0 , + 0 0 ) x 【一r ，佃) x 专x 是连续函数，厂和g 分别满足以下 条件 r e ( u ，f ( u ，v ) _ r + 口l l u l l 2 + 刚v n 材，x ， ( 1 2 3 2 ) i i g ( t ，s ，甜) l l - 0 ，只是系统真解y ( ，。) 的逼近，g 逼近c ，g ( t ，s ，y ( s ) ) 凼，q 可由下面 插值1 3 5 1 获得 g 。：兰! ! j 盟g ( ，。，。一所，y 。一。) + ! 三_ ；堡：上g i n t n - m + l y n - m + i ) + 办t f f - ig ( o 。，昧。+ 。) + 要g ( o o 乙) ， 23 5 。 ， 。 ( 1 ) 其中当， o 时，乃= 缈( 腑) ， r = ( m l t 罗) h ，整数朋1 ，万【o ，1 ) g a n 3 4 证明 了任意a 一稳定的0 一方法保持了积分微分方程( i d e s ) 的散逸性 同年，g a n1 3 6 研究了希尔伯特空间日上的p a n t o g r a p h 方程( 1 2 3 6 ) 的 散逸性，并得到了向后e u l e r 方法的散逸性结论 g a n 3 6 首先考虑了p a n t o g r a p h 方程 x ( ，) 2g ( x ( ，) ，x ( g f ) ) ，r o ， ( 1 2 3 6 ) 【x ( o ) = x o ， 其中q 是一个常数且0 0 ，州x 其中口，和y 是实常数，然后通过( 1 2 3 6 ) 与( 1 2 3 7 ) 的等价关系证明了方 程( 1 2 3 6 ) 是散逸的 最后g a n 3 6 考虑了向后e u l e r 方法 = 只一l + h y ( t ，以，或) ，刀= 1 ，2 ， ( 1 2 3 8 ) 其中h 0 ，咒是系统真解y ( t 。) 的逼近，只可由下面插值过程获得 或= 万蜴一胛+ l + ( 1 一万) 儿一。 其中m 为一正整数，f - - ( m 一8 ) h ，万| _ o ，1 ) ，证明了向后e u l e r 方法保持了希尔 伯特空间日上的p a n t o g r a p h 方程的散逸性 2 0 0 7 年，g a n 3 7 研究了沃尔泰拉延迟积分微分方程( v i d i d e s ) jj ，( f ) = = 。7 ( ) ，( f ) ，) ，( ，。z ? ) ，【，g ( ，。，y ( r ) ) 凼) ，f ；! 。， ( 1 2 3 9 ) 【y ( f ) ：认，) t 0 ， 其中f 是一正常数，( ，) 是日中的内积，| i 1 i 是该内积导出的范数，x 是h 中稠 密的连续嵌入子空间，伊( r ) 连续，f ：x x xx 专h 是一局部l i p s c h i t z 连续 函数，g ： o , - t - o d ) 【一r ，佃) x 专x 是连续函数，和g 分别满足以下条件 r e ( “，m ，v ，w ) ) y + 口恤1 1 + 1 1 l ，n 缈| 1 w | 1 2 ， ，w x ， ( 1 2 4 0 ) i i g ( t ，5 ，u ) l l o l l u l l ，te o ，+ ) ，se - r ，+ ) ，”x ， 其中y ，口，c o 和u 是常数 g a n 3 7 考虑了单支秒一方法的变形 f y 伽ly 。+ 办可( y 佃，歹伽，g 伽) ， 【y 肿l = y 。+ 矽( y ，歹伽，g 一) 其中y 川是系统真y ( t 川) 的逼近，y ”逼近y ( ，。+ 锄) ，歹”和g ”分别逼近 y ( 厶+ 锄一f ) 和朦，g ( 乙+ 眠叫) 出 g a n 3 7 还考虑了线性0 一方法的变形 乙+ l = 乙+ h ( 1 一目) 八乙，乏，以) + 矗p 厂( 乙+ l ，乏+ l ，乜+ 1 ) n = o ，i ，2 ， 其中乙是系统真解y ( f 。) 的逼近，乏和日”分别逼近y ( 一力和，g ( ，j ，贝s ) ) 出- g a n 3 7 】证明了希尔伯特空间上沃尔泰拉延迟积分微分方程的散逸性结论，并证 明了当口【v 2 ，1 l 时，任意单支口一方法和线性口一方法保持系统的散逸性 1 3 本文的主要工作介绍 本论文研究了非线性多比例延迟微分方程和非线性比例延迟积分微分方程 的散逸性及向后e u l e r 方法的散逸性 第二章针对多比例延迟微分方程 x 羔? 2 g ( x ( f ) ，工( 吼f ) ，工( 仍，) ) ， ( 1 3 1 ) 【x ( o ) = r 其中吼，q 2 是常数且满足：o q i ，q 2 l ，g 满足： r e ( u ，g ( u ，m ，v 2 ) ) 厂+ 口恤ij 2 + 届v l 2 + 岛i i v 20 2 “，h ，屹ex ( 口，届，属，y 是实常数) ，证明了向后e u l e r 方法能够保持多比例延迟微分方程的散 逸性 第三章考虑了非线性比例延迟积分微分方程 z ( r ) = 夕( j ( r ) ，x ( g ，) ，g ( ，i ，j ( j ) ) d j ) ，o ， ( 1 3 2 ) 【x ( o ) = ， 的散逸性这里q 为常数且0 q o ，j o u ，1 ，w x 并且证明了向后e u l e r 方法能够保持非线性比例延迟积分微分方程( 1 3 2 ) 的散 逸性 第四章考虑了非线性多比例延迟积分微分方程 jx ( ，) = 夕( 工( ，) ，x ( g ，) ，z ( g z ，) ，g - ( ，j ，x ( j ) ) d i ，j c 2 ，g z ( ，i ，x ( j ) ) 撕) ，。， ( 1 3 3 ) l x ( o ) - x o ， 的散逸性这里q lq 2 为常数且0 g l ，q 2 l ，并且方程( 1 3 3 ) 满足条件 fr e ( “，夕( 材，v i ，v 2 ，w ，w 2 ) ) y + 口1 2 + 届l l v l2 + 厦忆1 1 2 + qo 0 2 + 哆。比n 材，v ，w j 函( ，j ，z ，) 忙qi l u l l ，0 ( ，j ，) t l - o ，j o 并且证明了向后e u l e r 方法能够保持非线性多比例延迟积分微分方程( 1 3 3 ) 的 散逸性 1 4 第二章非线性多比例延迟微分方程向后e uie l 方法散逸性 本章考虑了多比例延迟微分方程的散逸性，证明了向后e u l e r 方法能够保持 非线性多比例延迟微分方程的散逸性。本文结果可视为文献 3 7 中相应结果的推 广 2 1 非线性多比例延迟微分方程的散逸性 设h 是- - k h i b e r t 空f b ，x 是日中稠密的连续嵌入子空间，( 。，) 是x 中的内 积，i i | i