（计算数学专业论文）间断有限元求解奇异摄动反应扩散方程.pdf

摘要 近年来，间断有限元是科学计算界一个很热门的研究方向与连 续有限元相比，间断有限元用完全间断的分片多项式进行数值逼近， 因此有高并行性、高阶精度、灵活的自由度选取性以及更好的局部 紧致性，能很好地模拟那些局部剧烈变化的解的性质 本文主要讨论利用间断有限元方法，在s h i s h k i n 网格和等级网格 下数值求解带d i r i c h l e t 边界条件的奇异摄动反应扩散方程，同时从 数值算例出发，研究其超收敛性质。本文首先对问题的研究背景进 行了介绍，接下来，给出间断有限元方法及其离散格式。本文采用 局部间断有限元方法，给出其数值通量形式并证明了其数值解的存 在唯一性。最后，在s h i s h k i n 网格和等级网格下，我们给出一维和二 维的数值算例，一维情况下，解在节点处的数值通量有2 p + 1 阶的 一致超收敛性质，数值解在l 。模意义下有p + 1 阶一致收敛性质。二 维线性元情况下，解在节点处的数值通量有印+ 1 阶的一致超收敛 性质。 关键词：间断有限元方法；数值通量；奇异摄动反应扩散问题 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( d g ) m e t h o d sh a sb e e nh o t l yd i s - c u s s e di ns c i e n t i f i cc o m p u t i n gc o m m u n i t y c o m p a r e dw i t ht h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，d gm e t h o d sa p p r o x i m a t et h ea c c u r a t es o l u t i o n sb yt o t a l l yd i s c o n - t i n u o u sp i e c e w i s ep o l y n o m i a l s a sar e s u l ti tp e r f o r m sw e l li nh i g hp a r a l l e l i z - a b i l i t y , h i g h - o r d e ra c c u r a c y ，f l e x i b i l i t yi nc h o o s i n gt h ed e g r e eo ff r e e d o ma n d l o c a lc o m p a c t n e s s m o r e o v e rt h e yc a ns i m u l a t et h el o c a l l ys h a r po s c i l l a t i o n v e r yw e l l t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h es i n g u l a r l yp e r - t u r b e dr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o nb yd i s - c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o do ns h i s h i k i nm e s ha n dg r a d em e s h b e s i d e s ，s u - p e r c o n v e r g e n c ei sa n a l y z e db yt h en u m e r i c a le x a m p l e s f i r s t l y , t h eb a c k g r o u n d o ft h es i n g u l a r l yp e r t u r b e dr e a c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m sa r ei n t r o d u c e d s e c - o n d l y , t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o da n di t sd i s c r e t ef o r m u l a t i o na r ep r o - p o s e d i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h en u m e r i c a lf l u xo ft h el d gm e t h o d ( 1 0 c a l d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ) a n dp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h el d gn u m e r i c a ls o l u t i o n f i n a l l y , n u m e r i c a le x p e r i m e n t si no n ed i m e n s i o n s h o wt h a tt h en u m e r i c a lf l u x e sh a v et h eu n i f o r ms u p e r c o n v e r g e n c eo r d e ro f 劫+ 1a tn o d e sa n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o nh a v et h eu n i f o r mc o n v e r g e n c eo r d e r o fp + 1i nt h es e n s eo fl 2n o r mu n d e rb o t hs h i s h k i na n dg r a d em e s h e s f o r l i n e a rp o l y n o m i a l so ft w od i m e n s i o n s ，t h en u m e r i c a lf l u x e sa tn o d e sh a v et h e u n i f o r ms u p e r c o n v e r g e n c eo r d e ro f2 p + 1 k e y w o r d s ：d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；n u m e r i c a l f l u x ；t h es i n g u l a r l yp e r t u r b e dr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：。擞洒i 蜩 加z d 年占月2 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密讲 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名：粥自 楣加几年多月日 导师签名：；押匕c 葛芦，口年易月彦日 湖南师范大学硕士学位论文 1 1 模型问题的研究背景 1 绪论 在科学和工程计算中，我们经常遇到带小参数的反应扩散问题， 即奇异摄动问题，这个小参数又不能简单的设置为0 ，这种问题广泛 存在于弹性力学、流体力学、量子力学、化学反应和最优控制等领 域，其特性是解会出现边界层或内部层。 最基本的奇异摄动反应扩散方程形式为如下两点边值问题 i e + = ， z ( 0 ，1 ) ， ，1 、 i 让( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 ， 、7 其中，和a 是给定的函数，e 为很小的正参数。数值计算这类问题的 困难之一就是所谓的边界层现象，即其解函数具有大梯度变化的过 度层和边界层，在所谓边界层区域出现跳跃或者伪振荡，直接使用 传统的有限元方法存在很大的困难，往往会产生剧烈的非物理数值 振荡。而且在参数e 非常小的情况下，要达到必要的精度，必须强制 地使网格步长非常小，而过度的加密网格会带来计算量的猛增，因 此，数值求解这类奇异摄动问题极富挑战性 2 9 ，3 0 ，3 5 ，3 6 ，4 4 ，4 5 】 对于奇异摄动问题的边界层的计算，一般有两种基本处理途径。 第一种就是采用局部加密的策略，如s h i s h k i n 网格 4 2 ，4 3 以及等级网 格，也就是本文将要讨论的两种特殊的局部加密网格。另一种方法 就是采用p - v e r s i o n 或者h p v e r s i o n 有限元方法【3 8 ，3 9 ，4 8 5 0 】对奇异 摄动问题的求解，近年来也出现了一些好的数值求解方法。b a b u s k a 等在文【3 】和【4 】中通过引入基于方程微分算子的特殊基函数，提出 了广义有限元方法。侯一钊等在文 2 3 】和文 2 4 】中针对强振荡的变系 数问题提出了多尺度有限元方法，在其每个单元上求解子问题，以 构造多尺度基函数，在粗网格内得到了好的结果，有较好的精度。侯 一钊等人在文【3 2 中研究了奇异摄动对流扩散问题的多尺度方法并 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 给出了收敛阶的渐进误差分析，在文【2 2 】中定义了全新的试探函数 空间和检验函数空间，提出了一类p e t r o v - g a l e r k i n 格式，该格式也是 处理边界层的一个有效方法。 间断有限元的研究背景 这一节将介绍间断有限元的研究背景间断有限元( t h ed i s c o n - t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简记为d g ) 首先是由r e e d 和 h i l l 【3 7 1 9 7 3 年在求解中子输运方程 e u + v ( 她) = f ，( z ，y ) q ，( 1 - 2 ) 时提出，其中e 和a 分别是实数和常向量。具体的求解方法如下 首先，对q 进行三角形网格剖分五= 【t ) ，用任意试验函数v 乘 方程( 1 - 2 ) 的两端，并在任意剖分的单元t 上分部积分得到 e ( u ，v ) t 一( 孔，a w v ) r4 - ( a n t u ，秽) 砑= ( f ，v ) t ，( 1 - 3 ) 其中n t 是单元t 边界的单位外法向量，且 fr ( 铭，v ) t = u v d x ，( w ，秽) 卯= w v d s ( 1 4 ) j tj 舰 定义有限元空间k 如下，即 v h = v ：口i t p p ( t ) ，v t 磊，( 1 - 5 ) 其中p p ( t ) 表示单元t 上次数不超过p 次的多项式集合。若用有限 元空间中的近似函数u ，代替u 和v ，因为在有限元空间坛中近似 解u 和试验函数v h 在单元边界处是间断的，因此方程( 1 - 3 ) 中的第 三项必须给出具体而明确的定义，以保证解的稳定性和高精度。为 此定义数值通量 也( z ) = a n k ( x ) 枷l i m 十u h ( x s a ) ( 1 - 6 ) 用数值通量砬代替边界处值a r t t u ，这样d g 方法的离散的弱形式为 e ( u h ，v h ) t 一( u ，a v v h ) t + ( 砬，v h ) o t = ( f ，v h ) r ，vv h p ( t ) ( 1 7 ) 2 间断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 数值通量色一般同时依赖于u 在单元边界两边的极限值，根据有限 体积法中的迎风机制，按特征线的迎风方向取值，又因为方程( 1 7 ) 是一个线性方程，所以我们能够按特征线方向逐单元求解。然而在 求解非线性双曲问题时，这种方法不能逐单元求解，从而使得计算效 率很低。直到2 0 世纪8 0 年代后期和9 0 年代，c o c k b u r n 和s h u 【1 5 1 9 】 等结合t v dr u n g e - k u t t a 时间离散方法和数值通量、r i e m a n n 解算子 及有界变差( t v b ) 非线性限制器等思想，将d g 方法推广到非线性 一维和多维的守恒律方程和方程组，并给出了部分收敛性证明。随 后d g 方法开始被应用于许多实际领域，如气象学、天气预报、海洋 学、气动力学、湍流、粒子流、石油勘探、疏松介质中的粒子输运、 粘弹性流体、半导体装置、电磁学、磁动力学等。特别是在计算流体 力学领域，d g 方法得到了广泛的应用。在专著【2 7 】中，刘儒勋，舒 其望专门介绍了d g 方法在计算流体力学中的应用。1 9 9 9 年，在美国 r h o d ei s l a n d 召开了首届d g 方法国际会议，会议出版的论文集 2 0 】 收录了关于d g 方法的综述【2 1 】和应用方面的文章 尽管间断有限元方法应用非常广泛，然而这样的完全间断的有 限元空间没有足够的光滑性处理高阶导数的问题，所以不能直接将 d g 方法直接运用到求解含高阶导数的偏微分方程。s h u 1 3 ，4 0 ，5 6 】等 曾经尝试将d g 方法直接运用于求解含二阶导数的热传导方程，虽 然获得了稳定而漂亮的数值结果，但事实上，该格式与方程是不相 容的。1 9 9 2 年，r i c h t e r 【3 4 】将d g 方法推广到线性对流扩散方程，并 且证明了当对流占优并且扩散系数与网格参数同阶时，对p 阶的 多项式逼近有p + 百1 阶的拟丰满阶驴模误差估计1 9 9 7 年，b a s s i 和 r e b a y 5 利用完全间断的分片多项式逼近u 和v u ，提出了一个新的 d g 方法求解n a v i e r - s t o k e s 方程。为了用d g 方法求解包含高阶导数 的偏微分方程，在b a s s i 和r e b a y 5 】求解n a v i e r - s t o k e s 方程的成功数 值实验的启发下，c o c k b u r n 和s h u 1 4 】提出了局部间断有限元( 1 0 c a l d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ，简记为l d g ) 方法。而徐岩和舒其望 4 6 ，4 7 ，5 5 】 应用l d g 方法对一系列的含高阶导数的非线性波动方程进行了研 究 根据间断有限元的性质，即它是用完全不连续的分片多项式逼 近方程的解，允许单元与单元之间存在间断，因此这种方法有更好 3 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 的灵活性和并行性。至于求解奇异摄动问题的数值方法，其一致收 敛性从上个世纪6 0 年代末起就引起了许多学者的关注近年来，人 们开始关注用间断有限元方法求解奇异摄动问题及相应的一致收敛 性分析j l i 在文【2 8 】中研究了在各向异性网格下的两类d g 方法 求解奇异摄动反应扩散方程的一致收敛性2 0 0 7 年，x j e 和z h a n gf 5 1 】 用l d g 方法求解一维奇异摄动对流扩散方程，他们的工作表明l d g 方法求解此类问题非常有效，不仅证明了数值通量有2 p + 1 阶超收 敛性，并从数值上观察到l d g 解无非物理振荡，以及在s h i s h k i n 网 格下通量有与e 无关的一致超收敛性，但其相应的理论证明似乎比 较困难。可喜的是，在 2 5 】中，h e 和x i e 得到了在s h i s h k i n 网格和 改进的等级网格下有限元投影的一致收敛性误差估计，这将给证明 d g 方法的解的一致收敛性带来希望。x i e 和z h a n g 在文【5 2 】中研究 了d g 方法求解一类简化的奇异摄动模型的一致收敛性。x i e 等在 文【5 4 】也从数值上给出了l d g 方法求解一维和二维区域上对流扩散 方程的一致超收敛性质。 由于d g 方法采用完全间断的分片多项式空间和试验函数对数 值解进行空间离散，使得该方法比传统的有限元法( f e m ) 和有限体 积法( f v m ) 具有更好的灵活性，在保持传统数值方法的优点的前提 下，还具有如下优点 d g 方法易于网格加密和高精度处理边界条件，实现自适应计 算 d g 方法可以得到任意阶精度的格式，同时又具有很好的局部 紧致性，构造的高阶格式不需要非常宽的模板 d g 方法容易实现并行计算；并在运算时具有很好的稳定性， 满足如稳定性和熵相容性 根据间断有限元的第一个优点，人们能够很方便地进行自适应 计算，而自适应计算往往基于一个后验误差估计子。误差估计子一 般分为两类，一类是残差型后验误差估计子，一类是基于重构的后验 误差估计子。对于间断有限元的残差型后验误差估计子可以根据对 偶论证或者h e l m h o l t z 分解获得。b u s t i n z a 等在文 6 】中利用h e l m h o l t z 分解获得了线性和非线性扩散方程的一个后验误差估计子r i v i e r e 4 间断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 和w h e e l e r 在文【3 3 中利用对偶论证给出了扩散问题的一个估计子， 而c a s t i l l o 在文 9 中利用对偶论证给出了椭圆问题的一个误差估计 子。以上所述都是残量型后验误差估计子，值得一提的是，c a s t i l l o 和c o c k b u r n 在文【8 】中对椭圆问题给出了详细而全面的先验误差估 计而现有的关于间断有限元重构类型的后验误差估计子的资料相 当少，是一个比较新颖而富有挑战性的工作，关于重构技术，可以 参考f 5 7 ，5 8 】 当然间断有限元方法也有其缺点，如程序设计复杂以及计算量 偏大，但随着编程语言的优化和计算机运算能力的大幅度提升，间断 有限元越来越受到人们的关注感兴趣的读者首先可以阅读 1 ，2 ，4 1 】， 事实上，a r n o l d 等在文【l ，2 】中，就椭圆问题给出了各种间断有限元 方法以及对间断有限元方法的一个统一框架。而s h u 在文 4 l 】中给 出了间断有限元的一般方法和稳定性分析 1 3 本文的结构 本文结构安排如下： 第二章，介绍本文所需的基本知识。包括正交多项式、两类特殊 的网格( s h i s h k i n 网格和等级网格) 、离散范数以及g r e e n 公式。 第三章，给出间断有限元求解模型问题的数值格式，并给出间断 有限元解的存在唯一性证明 第四章，对本文的奇异摄动反应扩散问题，在两类特定的网格 下，从数值上证明其一致收敛性和超收敛性 第五章，给出本文的总结和对未来工作的展望 5 湖南师范大学硕士学位论文 2 1 正交多项式 2 预备知识 在本节中，我们将介绍正交多项式，首先假定所考虑的区间为 e = ( - 1 ，1 ) 如果区间为( n ，6 ) ，可以经过如下简单的变换 f ( f ) = 下a + b + 宰，( 1 - 8 ) 将其变到标准区间e 。多项式( z ) 和g ( x ) 带权正交是指其内积为0 ， 即 ，i ( ，( z ) ，9 ( z ) ) = w ( x ) f ( x ) g ( x ) d x = 0 ，( 1 - 9 ) je 其中u ( z ) 是权函数l e g e n d r e 多项式是一种权为1 的正交多项式。 区间e 上的前5 次l e g e n d r e 多项式为 l o 2 上 l1=t 己。= 丢( 3 t 2 - 1 ) 如= 三( 5 t a - 3 t ) l 4 = 昙( 3 5 t 4 - - 3 0 t 2 + 3 ) l 5 = 丢( 6 3 t 5 - 7 0 t 3 + 1 5 班 ( 1 1 0 ) ( 1 - 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) =1扩铲一1)n(1-16)ln 2 n ! d x n ( 2 r l j l e g e n d r e 多项式l n ( 亡) ，n 1 在e 内有n 个实零点：一l t i t ： 乇 1 ，称为几阶g a u s s 点在t = 4 - 1 处，有l n ( 士1 ) = ( 4 - 1 ) n ，不同 阶的l e g e n d r e 多项式有以下的递推关系 ( n + 1 ) l n + 1 ( t ) = ( 2 n + 1 ) t l n ( t ) 一扎厶一1 ( t )( 1 1 7 ) 7 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 本文所讨论的间断有限元解在单元片上采用的是b u b b l e 基函数 展开。即令单元j 上的p 次间断有限元解是让窘，区间e 上的b u b b l e 基函数记为妒n ( ) ，其表达式为 1 一 妒1 2 百一， 忱= 去一p ， 1 + 佛+ 1 = 则单元j 上的p 次间断有限元解记为 ( 1 - 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) p - t - 1 u 妒= 赢( z ) ( 1 - 2 1 ) n = l 其中佛( z ) 为第j 个单元上对应的b u b b l e 基函数。 2 2s h i s h l c i n 网格和改进的等级网格 本文所讨论的模型问题，即奇异摄动反应扩散问题，将会在边界 层区域出现跳跃或伪振荡为此，我们将采用两类比较特殊的局部 加密网格来进行数值计算，即s h i s h k i n 网格和改进的等级网格，下面 给出其构造方法 2 2 1s h i s h k i n 网格 首先我们考虑一维区间【0 ，1 】上的s h i s h k i n 网格，本文所讨论的 模型问题将会在两个边界出现跳跃或伪振荡，所以我们首先选取一 个先验的网格参数0 0 ，a 0 及g 1 0 的假设，可以 推出 a ( q h ，q h ) 兰0 ，r ( u h ，u h ) 兰0 ，s ( u h ，u h ) 兰0 ，( 1 7 2 ) 从而q h 兰0 ，u h 兰0 ，定理得证 1 9 湖南师范大学硕士学位论文 4 1 一维数值算例 4 数值算例 下面我们在s h i s h k i n 网格和a 等级网格下，利用l d g 方法求解 如下一维问题 fu - - ( 6 。u ) ”：+ 乱u ( 1 - - - ) ：l , 。z ( 。 1 ) ，( 1 - 7 3 ) tu ( o ) ：乱( 1 ) ：o 它的准确解为 咄垆1 + 蒜e 叫诉+ 嘉e 彬( 1 - 7 4 ) 图4 1 和图4 2 分别给出了e = 1 0 3 和1 0 一t 的真解图，显然在 z = 0 和z = 1 附近，各存在一个边界层，而且当e 越小时，边界层越 窄。 图4 1 e = 1 0 3 时的真解图 图4 2 e = 1 0 4 时的真解图 在( 1 4 7 ) 和( 1 - 4 8 ) 中，令5 1 1 = o ，c 1 2 = 一互1 ，口1 = o ，q = m a x ( p ，1 ) e h ， 下面我们分别用l d g 一次元和二次元进行求解。这里 f 色f | l 。和 慷0 l 。分别代表在节点处的数值通量碗的离散最大模误差以及磊 的离散相对最大模误差，l i e 。恢和j i e 口恢分别代表乱 和q h 的三：模 误差，p 表示间断有限元的次数。 2 1 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 表4 1 s h i s h k i n 网格下离散l 。模误差及收敛阶堂1 0 - 3 , p = 1 表4 2 s h i s h k i n 网格下离散l 。模误差及收敛睑1 0 - 4p = 1 表4 3 s h i s h k i n 网格下离散l 。模误差及收敛阶e 三1 0 - 3p = 2 间断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 表4 4 s h i s h k i n 网格下离散l 。模误差及收敛阶e = 1 0 - 4p = 2 表4 1 到表4 4 是在s h i s h k i n 网格下，取e = 1 0 3 以及1 0 ，分别 当p = 1 和p = 2 时，节点处数值通量的最大模误差，可以看出当e 变化时，误差界不依赖于e ，并且其收敛阶为印+ 1 表4 5 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 - 3p = 1 表4 6 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 - 4p = 1 2 3 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 表4 7 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 一，p = 1 表4 8 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 - 3p = 2 表4 9 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 - 4p = 2 间断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 表4 1 0 s h i s h k i n 网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 5 ，p = 2 表4 5 到表4 1 0 是在e 分别取1 0 一，1 0 ，1 0 一5 时，在s h i s h k i n 网格 下，一次间断有限元和二次间断有限元的l 。误差，从表中可以看出， 数值模拟间断有限元解有p + 1 阶精度，并且e 变化时，误差界不依 赖于e 表4 1 1 等级网格下离散l 。模误差及收敛阶e = 1 0 3 ，p = 1 ，a = 4 表4 1 2 等级网格下离散l 。模误差及收敛阶e = 1 0 - 4p = 1 ，入= 4 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 表4 1 3 等级网格下离散l 。模误差及收敛阶e = 1 0 5 ，p = 1 ，a = 4 表4 1 4 等级网格下离散l 。模误差以及收敛阶e = 1 0 - 3p = 2 ，a = 4 表4 1 5 等级网格下离散l 。模误差以及收敛阶e = 1 0 - 4p = 2 ，入= 4 间断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 表4 1 6 等级网格下离散l 。模误差以及收敛阶e = 1 0 - 5p = 2 ，a = 4 表4 1 l 到表4 1 6 是在等级网格下，当入= 4 时，在e 分别取 1 0 ，1 0 ，1 0 一5 以及p = 1 和p = 2 时，节点处数值通量的最大模 误差，可以看出当e 变化时，误差界不依赖于e ，并且其收敛阶为 印+ 1 表4 1 7 等级网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 3 ，p = 1 ，a = 4 表4 1 8 等级网格下l 2 模误差及收敛阶e = 1 0 - 4p = 1 ，入= 4 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 表4 1 9 等级网格下l 2 模误差及收敛阶e = i 0 - 5p = 1 ，入= 4 表4 2 0 等级网格下l 2 模误差以及收敛阶e = 1 0 - 3p = 2 ，入= 4 表4 2 1 等级网格下l 2 模误差以及收敛阶e = 1 0 - 4p = 2 ，入= 4 问断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 表4 2 2 等筵堕堑! 鱼堡堡董垡垦些墼堕! 三! ! ：! p = 2 ， = 4 n l i e 。i i c 。收敛阶e 。忆。收敛阶 表4 1 7 到表42 2 是在等级网格下，在t 分别取l o 一，l o ，l o5 以 及p = 1 和p = 2 时，间断有限元解的l z 误差，从表中可以看出，数 值模拟间断有限元解具有p + i 阶精度，并且e 变化时，误差界不依 赖于e 。 图45 到图4 1 2 是h 剖分意义下，分别在s h i s h k i n 同格和等级网 格下，数值解和真解的误差曲线图，可以看出，解在区域的两边有 明显的振荡。 图4 3s h i s h k i n 网格下h 的 误差图，p = 1 ，# 1 0 4 图4 4s h i s h k i n 网格下n u h 的 误差图，p = 2 ，( = 1 0 刊 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 图4 5s h j s h k i n 网格下q 珊的 误差图，p 1 = 1 0 4 图4 7 等级网格下 的误差 圉p = 1 f = 1 0 4 f，j 。 1 图4 9 等级网格下一“的谋差 图，p = 1 f = 1 0 4 围46 $ 5 i s h l d n 网格下目一靠的 误差囝，p = 2 ，f = 1 0 4 。j _ 图4 8 等级阿格下u 一虬的误差 图，p 2 = 1 0 “ il f 图4 1 0 等级网格下q q h 的误差 圈，p = 2 ，e = 1 0 4 从上述数值结果可以观察到，一维情况下，用闻断有限元求解奇 异摄动反应扩散问题，节点处的数值通量有印+ 1 阶一致超收敛，而 问断有限元求解奇异摄动反应扩散问题 数值解与真解的岛误差阶也达到了p + 1 阶的一致收敛。而且在相 同单元个数和逼近多项式阶的意义下，等级网格意义下的数值结果 优于s h i s h k i n 网格下的结果 42 = 维数值算例 下面我们在s h i s h k i n 冈格和 等级网格下，利用l d g 方法求解 如下二维问题 j 一6 “+ 一，( 。) ，( 。，”) 6o 2 f o ，1 ) 。( o - 1 ) ， f 1 7 5 1 1 “h ! = 0 、 设其真解为 。( z ) = u ，(