（运筹学与控制论专业论文）cyclopolyphenacenes的zhangzhang多项式和antiforcing数.pdf

摘要 设g = ( v e ) 是一个简单的连通图g 中能够覆盖g 的所有顶点的 独立边组成的集合为g 的一个完美匹配( 或k e k u l 6 结构) 设日是一个具 有完美匹配的苯环系统，若c 是日的一个生成子图且c 中的分支仅为单 独的六角形或边，则称e 为日的一个c l a r 覆盖记危( c ) 为c l a r 覆盖c 中 六角形的个数，盯( 日) = m a x ( 九( c ) i c 为h 的一个c l a r 覆盖) ，我们称多项式 p ( 日，叫) = 。盯( 日，i ) 为z h a n 分z h a n g 多项式，其中仃( h ，i ) 表示日中含有 i 个六角形的c l a r 覆盖的个数，叫为未定元或日中与六角形有关的权设 s 为日的边子集，若日去掉s 中的所有边后具有唯一的完美匹配，则称s 为日的一个粕t i - f o r c i i l g 集日中阶数最小的a n t i f o r e i n g 集称为日的最小 a n t i - f o r c i n g 集，日中最小a n t i - f o r c i n g 集的阶数称为日的a i l t i - f o r c i n g 数 本文一方面给出了c y c l o p 0 1 y p h e n a c e n e s ( 环状六角形链) 的z h a n 分z h a n g 多项式的一个递推公式，进而给出了环状六角形链的c l a r 数，k e k l l l 锚构 数，以及第一h e r n d o n 数；另一方面，本文给出了环状六角形链的a n t i - f o r c i n g 数的一个上界 关键词：z h a i l 乎z h a n g 多项式，k e k l l l 6 结构，c l a r 数，a n t m r c i n g 数，c y c l o _ p o l y p h e n a c e n e s a b s t r a c t l e tg = ( k e ) b eas i m p l ec o n n e c t e dg r a p h ap e r f tm a t c h i n g ( o rk e k u l 6 s t n l c t u r e ) o fgi sas e to fi n d e p e n d e n te d g e so fgc ( ) v e r i n ga 1 1v e r t i c e so fg l e t 日 b eab e n z e n o i ds y s t e m 谢t hap e r f e c tm a t c h i n g ，ac l a rc o v 珂co f 日i sas p a n n i n g s l l b 蓼a p ho f 月e a c h ( c o n n e c t e d ) c o m p o n e n to fw h i c h i se i t h e rah e x a g o no ra ne d g e 、7 、，ed n o t et h em l m b e ro fh e x a g o n s ( ) fcb y 危( c ) a n d 盯( 日) = 1 a x ( 危( c ) l ci sac l a r c a v e ro fh ) ，t h e nt h ep o l y n o m i a lp ( h ，叫) = 盯( 日，i ) 1 i sc a l l e da st h ez h a n 分 z h a n gp 0 1 y n o m i a lo f 日，w h e r e 盯( 日，i ) d n o t e st h en u m b 凹o f c l a rc o 、厂e i 。so f 日h a 以n g p r e c i s e l y 汕e x a g o n sa n d 伽i sa ni n d e t e r m i n a t eo rw e i 曲ta s s o c i t e d 诵t hh e x a g o n s o f 日a n t i f o r c i n gs e ts o f 日i sas u b s e to f e d g e ss e to f 日s u c ht h a tt h er 唧a i n d e r o fho b t a i n e db yd e l e t i n gt h ee d g e so fst h a th a sam l i q l l ep e r f b c tm a t c h i n g a n a n t i f o r c i n gs e to ft h e 锄a l l e s tc a r d i n a h t yi sc a l l e dam i n i m a la n t i f o r c i n gs e t a j l d i t sc a r d i n a l i t yi st h e 甜l t i - f o r c i n gm l m b e ro fh i nt h i sp a p e r ，鹏g i v ea ne ) c p l i c i tr e c l l 玎朗c ee ) c p r e s s i o nf o rt h ez h a n 分z h a n g p o l y l l o m i a l so ft h ec y c l o - p o l y p h e n a c e n e sa n d d e t e r m i n et h e i rc l a r 瑚l m b e r s ，m l m b e r s o fk e k u l 6s t r u c t u r e sa n dt h e i rf i r s th e r n d o nn u m b e r s ；a n dw ea l s og i v ea j lu p p e r b o m l do fa n t “b r c i n gm l m b e ro ft h ec y c l 0 _ p 0 1 y p h e n a c e n 髑 k e yw o r d s ： z h a n 分z h a n gp o l y n o m i a l s ，k e k u l 6s t r u c t u r e s ，c l a rn u m b e r ，a n t i f o r c i n gm l m b e r ，c y c b p o l y p h e n a c e n e s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：旆牟女日期：呷年臼泪 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：趸专奇迄 导师签名：邓挥无 日期：如声臼2 日 日期：m 眸钥2 日 c y c l o - p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t “b r c i n g 数 1 引言 在化学图论中，一个重要的研究内容是k e k u l 砖亨构( 图的完美匹配) 和k e k u l 擞；其研究主要是利用成熟的代数理论和技巧，并结合图的拓扑 结构性质和组合计数的理论来研究分子结构图的稳定性以及其它不变量 的关系因此图的k e k u l 6 结构和k e k u l 数的研究与发展有着重要的理论 和实际意义关于一般苯环系统和各种特殊的苯环系统的k e k u l 6 结构和 k e k u l 礅，有着大量的各种各样的研究，这方面的研究结果可以参看书 1 】 以及其中所引用文献另一个重要的研究内容是由c l a r 3 】提出的方法， 研究图的c l 盯数和c l a r 结构( c l a rf o r i n u l a s ) 而i g u t m a n ，b f u r t u l a 和 a 。t b a l a b a n 在f 4 】中就指出，要求出苯环系统的c l 盯数是一个很困难的 问题m r a n d i 等在p 7 】中也指出，计算大型苯环系统的c k 结构数同 样是一个复杂的问题，m r a n d i 芒和e 1 b a 8 i l 【6 】提出了解决这个问题的一个 相应的算法h 0 s o y a 和y a m a g u c h i 在c l a r 理论中引入了一个重要的概念 集多项式( s 味e tp o 驷o m i a l ) 【8 】根据这些研究结果，能够知道怎样来计算 k e k u l 甸玫，c l a r 数，c l a r 结构数以及集多项式但是，每一个苯环分子的 k e k u l 6 数，c l a u r 数，c l a r 结构数以及集多项式都必须由一个独立的算法得 出，所以运用这些算法来计算这些理论特征时都特别复杂 在1 9 9 3 年，张和平教授和张福基教授引入了一个组合多项式一z h a n g _ z h a n g 多项式，通过对苯环系统的碳骨架分子图的结构研究，建立了一套 苯环系统的z h a n 分z h a n g 多项式理论利用z h a n 分z h a n g 多项式理论，通过 简单的递推关系就能够直接得出该苯环系统的k e k u l 6 数，c l a r 数，c l a rf o r m u l a s 数以及集多项式另外，i g u t m a n 和他的合作者【4 ，1 2 ，1 4 1 6 】发现对于 苯环型碳氢化合物的z h a n 分z h a n g 多项式p ) 与共振能量( r e ) 有密切关 系，l o g 。p ( 1 ) = 冗e ，从而在k e k u l 酶构理论中，对于怎样求k e k u l 岛玫，p ( 1 ) 可 看作是一个新的结构描述工具同时，他们也发现在结构相关( s t r u c t u r e - d e p e n d e n c i e 8 ) 方面，d e w a r t y p e 共振能量( d r e ) 和拓扑共振能量( r r e ) 1 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 之间有着明显的不同，特别的，对于苯环分子，d r e 和t r e 与l o g 。p ( o ) 和 l o g 。p ( 1 ) 之间是一种线性关系利用z h a n g z h a n g 多项式，他们发现渺位 ( c a t a c o n d e n s e d ) 苯环分子和凝聚类( p e r i c o n d e n s e d ) 苯环分子的总7 r 电子 能量，在k e k u l 6 和c l a r 结构相关面有着明显的区别基于z h a n 分z h a n g 多 项式的诸多意义，该多项式一经发现，就在化学上马上得到了大量的应用， 并引起了化学和数学工作者的注意 关于z h a n 乎z h a n g 多项式，目前主要是对一些特殊分子结构图得到了 一些结果： ( 1 ) 关于一般六角形系统，h z h a n g 和f z h a n g 在【9 】中得到了z h a n g - z h a n g 多项式的主要理论和性质，并具体得到了六角形链的z h a i l 乎z h a n g 多项式，以及一些多分支渺位苯环系统的z h a n 哥z h a n g 多项式的递推公式 ( 2 ) h z h a n g 和f z h a n g 在【l o 中建立了一个关于z h a n 分z h a n g 多项式和 集多项式的关系，并得到了矩形( p r o l a t er e c t a n g l e ) 六角形链的z h a n 分z h a n g 多项式 ( 3 ) h z h a n g 在【1 3 得到了s t 同构体的z h a n 分z h a n g 多项式 ( 4 ) i g u t m a n ，b b o r o u i 芒a n i n 1 7 】得到了多重线性六角链的z h a n 分z h a n g 多项式 ( 5 ) i g u t m a n 及其合作者 4 ，1 2 ，l 乒1 6 】发现了对于苯环型碳氢化合物， z h a n g z h a n g 多项式与其共振能量有密切关系 ( 6 ) s a b i n ag o j a k ，i g u t m a n ，s l a v k or a d e n k o v i 和a n d r e jv o d o p i v e c 【3 0 】得 到了拓扑共振能量( t r e ) 和z h a n 分z h a n g 多项式的一个近似线性关系 ( 7 ) 林成德，范桂清 3 1 介绍了一种利用计算机直接计算，使用图形界 面输入要求解的苯环图，并引进适当的算法，最终得到z h a n 分z h a n g 多项式 2 一 c y c l 0 - p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n 分z h a n g 多项式和a n t i f o r c i n g 数 的方法，利用这种方法能够得到一些特殊图形的z h a n 乎z h a n g 多项式 ( 8 ) s z h o u ，h z h a n g 和i g u t m a n 【1 8 】通过构建没有交替的六角形的c l a r 覆盖，得到了一些六角系统的z h a n 哥z h a n g 多项式 a n t i - f o r c i n g 数也是一个与k e k u l 酶构有关的新概念，是最近由d v n l 【i c e 、r i 亡和n n i n a j s t i 【3 2 】提出来的，其根源可追溯到r a n d i 和k 1 e i n 【3 3 】的研 究成果，以及h a r a r y k l e i i l 和z i v k 嘶【3 4 】的研究成果r a n d i 芒和k l e i n 最初 提出了k e k u l 6 结构的固有自由度或f o r c i n g 数的名词，后来h a r a r y 及其合 作者具体阐述了f o r c i n g 数的概念之后，v u k i c e v i 6 ，s e d l a r 和d o s l i 日l 入了图 的全( g l o b a l l ) f o r c i n g 数 3 5 3 7 】的概念，并得到了许多关于全f o r c i i l g 数的研 究结果 2 0 0 7 年a n t i - f o r c i n g 数的概念提出来后，就得到了广泛的研究，主要研 究方向大都集中在苯环系统上，主要有以下研究结果： ( 1 ) d v u k i c 州6 和n n i n a j s t i 【3 2 】提出了a n t i - f o r c i n g 数的概念，并得到了 多重线性六角链的a n t i - f o r c i n g 数为1 ( 2 ) d v u l ( i c 州和n n i n a j s t i 6 【3 8 】得到了有k 条链的c a t 汕e n z e n o i d 链的 a n t i - f o r c i n g 数为陋2 以及有h 个六角形的渺位苯环链的a n t i - f o r c i n g 数小 于等于i 2 i ( 3 ) h d e n g 【3 9 】给出了六角形链的a n t i - f o r c i n g 数的一个算法，并得到了 含有七段链的六角形链的a n t i - f o r c i n g 数小于等于( 后+ 1 ) 2 ，对于含扎个六 角形的曲o n a c e n e 链，a n t i - f o r c i n g 数为m 3 1 ( 4 ) h d e n g 4 0 】得到含n + 1 个奈( n 印h t h a l e n e 8 ) 和七段的六角形双链的 a i l t i - f o r c i n g 数为后 一3 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 本文通过分析c y c b p 0 1 y p h e n a c e n e s ( 环状六角形链) 的碳骨架结构，研 究了环状六角形链的z h a n g - z h a n g 多项式和a n t i - f o r c i n g 数，得到了以下结 果： ( i ) 给出了环状六角形链的z h a n 分z h a n g 多项式的一个递推公式，进而 给出了环状六角形链的c l a r 数，k e k u l 6 结构数，以及第一h e r n d o n 数 ( 钇) 给出了环状六角形链的a n t m r c i n g 数的一个上界 4 c y c l o - p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t i f o r c i n g 数 2 c y c l 伊p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n 分z h a n g 多项式 在这一章里，我们通过分析c y c b p o l y p h e n a c e n e s ( 环状六角形链) 的结 构，分别得到了环状线性六角形链，一般环状六角形链，环状之字六角形 链的z h a n 分z h a n g 多项式，以及它们相应的k e k u l 6 结构数，c l 盯数和第一 h e r n d o n 数 2 1 基本概念 苯环系统是一个2 连通的平面图，其每一个外部面都由一个正则的边 长为1 的六边形组成因为具有完美匹配的苯环系统是碳氢化合物分子的 碳骨架分子图，所以苯环系统的各种拓扑性质得到了数学家和化学家的 广泛研究，有兴趣的读者可以参看书【1 2 】 设g = ( v e ) 为一个图，g 中能够覆盖g 的所有顶点的独立边组成 的集合为g 的一个完美匹配( 又称k e k u l 6 结构) 设日是一个具有完美匹 配的苯环系统，若c 是日的一个生成子图，且c 中的分支或者为一个为 单独的六角形或者是一条边，则称c 为苯环系统日的一个c l a r 覆盖记 九( c ) 为c l a r 覆盖c 中六角形的个数，盯( 日) = m a x 仙( c ) lc 为h 的c l a r 覆 盖) ，则称盯( 日) 为苯环系统h 的c l a r 数 记旷( 日，i ) 表示苯环系统h 中含有i 个六角形的c l a r 覆盖的个数，叫 为一个未定元或与h 中六角形有关的权，h z h a n g 和f z h a n g 在【1 1 】中定 义了如下的多项式 口( 日) p ( 日) = p ( 日，们) = 盯( 日，i ) ， 称为z h a n 争z h a n g 多项式 设日是一个具有完美匹配的苯环系统a 为日的一个生成子图，若 苯环系统日中去掉a 中所有六角形的顶点后，剩余的苯环系统或者含有 k e k u l 色结构，或者为空集，则称a 为苯环系统日的一个c l a r 芳香集【3 】记 s ( 日) = m a x ( iai ia 为h 的c l a r 芳香集) ，则称s ( 日) 为苯环系统日的 c l a r 结构数c l a r 在其c l a r 理论【3 】中断言，对于两个苯环系统凰和也， 5 一 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 若风的c l a r 数大于日2 的c l a r 数，则称凰比日2 更为稳定但是，因为许 多同构的苯环链具有相同的c l a r 数，所以并不能完全根据c l a r 数来确定 哪个苯环链更为稳定为此，h 0 8 0 y a 和y a m a g u c h i 【8 】【2 7 ，p 2 5 5 】针对苯环系统 引入了一个如下的集多项式 口( 日) s ( 日，z ) = s ( 日，i ) ， t = 0 其中s ( 日，i ) 表示苯环系统h 中含有i 个六角形的c l a r 芳香集的个数 且s ( 日，0 ) = 1 文【3 ，4 】中给出了苯环系统中z h a n 乎z h a n g 多项式的一些基本性质： ( 1 ) z h a n 分z h a n g 多项式的常数项仃( 日，o ) 等于苯环系统h 中的k e k u l 6 结 构数； ( 2 ) z h a n 分z h a n g 多项式p ( 日，伽) 的最高次项的次数等于苯环系统h 的 c l a r 数盯( 日) ； ( 3 ) z h a n 分z h a n g 多项式尸( 日，叫) 的最高次项的系数盯( e 盯( 日) ) 等于苯 环系统日的c l 甜结构数； ( 4 ) 盯( 日，1 ) = l ( 日) ，其中九1 ( 日) = k ( 日一s ) 为苯环系统日的第一 h e r e n d o n 数【2 8 】，求和过程取遍日的所有六角形s 6 c y c l 伊p 0 1 y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t “b r c i n g 数 2 2 c y c l o p o l y p h e n a c e n e s ( 环状六角形链) 自从纳米管( n a n o t u b e ) 1 9 】被发现以来，由于其可作为具有良好导电 性的人造材料，越来越为化学家和物理学家重视，得到了许多关于纤维管 ( t u b u l e n e ) 【2 0 一2 2 】的成果纤维管的碳骨架分子图是一个有两个末端的柱面 ( c y l i n d ) 苯环系统一种最简单的纤维管就是c y d 伊p o l y p h e n a c e n e s ( 环状六 角形链，包括p r i m t u b u l e n e s 和p r i m c o r o n e n e s 的一大类分子) 环状六角形链可以看着是将苯环系统中六角形链的两个末端六角形 粘合而得到的，因此，环状六角形链的任意六角形都与两个六角形邻接为 了方便，本文中的每一个图都表示分子的碳骨架图，并且对于环状六角形 链，我们不区分其图与碳骨架图 环状六角形链中一个极大线性链称为该环状六角形链的一段，每段 中六角形的个数，我们称之为该段的段长，并记第t 段的长为n ，则环状六 角形链可以用其段表示为c ( r 1 ，咆，n ) ，2 心仡，t = 1 ，2 ，t ，其中佗 为环状六角形链中六角形的个数基于环状六角形链的特殊构造，我们可 选取其任意一段作为第一段，所以我们有： c ( r 1 ，r 2 ，n ) 垡c ( 您，您，n ，r 1 ) 呈竺c ( n ，r 1 ，r 2 ，n 一1 ) 设c ( r ，r z ，n ) 为含有n 个六角形的环状六角形链，则n 2 且 7 - l + r 2 + + n = 礼+ 若t = 1 ，称该种环状六角形链为环状线性六角形链( c y c l 0 _ p o l y a u c e n e 的碳骨架图) 如图2 1 ，我们粘合其中的边6 。c ，与6 2 c 2 即可得到环状线性 六角形链 0 l0 2 乏c 0 3 3 3 笼 d ld 2 图2 1 一个环状线性六角形链 若r l = 仡= = r t = 2 ，t 3 ，称环状六角形链c ( 2 ，2 ，2 ) 为环状之 字六角形链( c y c l o - p 0 1 y p h e n a t h r e n e s 中的一种类型) 如图2 2 ，粘合图中标 7 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 记的两个有向边即可得到 图2 2 一个环状之字六角形链c ， 即一个c y c l o _ p o l y p h e n a t h r e n e 的碳骨架分子图 若t 2 且n 不全等于2 ，t = 1 ，2 ，t ，即具有最少2 段的环状六 角形链，称为一般环状六角形链如图2 3 ，我们可以将六角形链l ( r 。一 1 ，r 2 ，n ) 中的边6 。c l 与眈6 2 ( o rc z d 。) 粘合起来，即可得到一般环状六角 形链 6 2 c 2 ( 1 ) 一个段数为4 的环状六角形链( 2 ) 一个段数为5 的环状六角形链 图2 3 两个段数不同的一般环状六角形链 关于环状六角形链，目前主要有以下研究结果： ( 1 ) 对于具有少量六角形的环状六角形链，j c z d 0 b r o w 0 1 s k y 【2 3 】研究了 无分支的渺位环状链的同分异构情形，通过计算，证明了一些m o e b i u s 形 状的环状链比带状的环状链更为稳定； ( 2 ) h s c h o i ，k s k i m 【2 4 】研究了c y c l a c e n e s 的芳香性，通过理论计算暗 示了具有偶价的c y c l a c e n e s 构成了一类新的有机半导体和磁性材料； ( 3 ) m i s r a 和k l e i n 【2 5 】，对具有任意六角形数的环状六角形链，引入了 一个组合曲率不变量( c u r v a t u r ei n v a r i a n t ) ，研究了其与结构压力有关的性 质，显示了它在热力方面( t h e 珊o d y n a m i c ) 的稳定性； 一8 一 c y c l o - p 0 1 y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t i f o r c i n g 数 ( 4 ) w 氆n g 及其合作者 2 6 】针对环状六角形链的c l a r 芳香集数，介绍了 一个新的拟序，比较了它的稳定性 9 c y c l o _ p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t i - f o r c i n g 数 2 3 c y c l 伊p o l y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式 在这部分中，我们将研究c y e l o _ p o l y p h e n a c e n e s ( 环状六角形链) 的z h a n 争 z h a n g 多项式，以下引理将在计算中用到 引理2 3 1 ( 9 】) 设日为苯环系统，且边硝为日中某个六角形s 的外 部边( 如图2 4 ) ，则有： p ( 日) = 叫p ( 日一s ) + p ( 日一z 一) + p ( 日一z y ) 引理2 3 2 ( 【9 】) 设日为苯环系统，且边z y 不属于日中任何一个六角 形( 如图2 5 ) ，则有： p ( 日) = p ( 日一z y ) + p ( 日一z 可) 图2 4 图2 5 类似于环状六角形链的表示方法，我们用l ( 钆r 2 ，r t ) 表示含有t 段 且每段长分别为他，n 的六角形链，同时，为了方便，也用l ( r 。，m ) 来表示该种六角形链的z h a i l 争z h a n g 多项式 下面两个引理给出了六角形链的z h a n 分z h a n g 多项式的一个递推关 系： 引理2 3 3 ( 9 】) 设l ( r l ，r 2 ，n ) 表示段数为t 的六角形链，t 2 ，则其 z h a n g z h a n g 多项式满足： l ( r 1 ，r 2 ，n ) = 工( r 1 ，r 2 ，n 1 ) + ( 7 t 一1 ) ( 叫+ 1 ) l ( r 1 ，r 2 ，n 一1 1 ) = l ( 您，您，亿) + ( r 1 1 ) ( 叫+ 1 ) l ( 您一l ，r 3 ，n ) 引理2 3 4 ( 9 ) 设l ( r 。，r 2 ，n ) 表示段数为的六角形链，t 3 ，则 其z h a n 分z h a n g 多项式满足： 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 其 l ( r - ，r z ，n ) = 【( r t 一1 ) 叫+ n 一煮兰 三_ ( 埘+ 1 ) 】l ( r ，r z ，n t ) + 翁( 叫+ 1 ) 一m _ ， 中l ( r 1 ) = r 1 叫+ r 1 + 1 ，l ( r 1 ，r 2 ) = 【( r 1 一1 ) 伽+ r 1 】【( r 2 1 ) 叫+ r 2 】+ 伽+ 1 应用上述引理2 3 3 和引理2 3 4 ，我们立即有： 推论2 3 1 l ( r - ，咆，n 一一1 ) = 薏三 暑三p ，r 。，n 一) +r t 一1 1 l ( r l ，r 2 ，n 一2 ) 由z h a n g z h a n g 多项式系数的性质以及上述递推关系可得六角形链 k e k u l 6 结构数和第一h e r n d o n 数的递推关系 引理2 3 5 ( 9 】) 设l ( r l ，r 2 ，r t ) 表示段数为t 的六角形链，t 3 ，则其 k e k u l 6 结构数和第一h e r n d o n 数满足： ( i ) 初始值 k ( l ( r l ，您，n ) ) = ( n 一考等等) k ( 三( r l ，7 2 ， + 并m h m ， ，n 一2 ) ) ， k ( l ( r 1 ) ) = r l + 1 ，f r ( l ( r 1 ，7 2 ) ) = r l r 2 + 1 ； ，n 1 ) ) ( i i ) l ( l ( r 1 ，咆，n ) ) = ( r t 一善筹备) 危1 ( l ( r 1 ，r 2 ，亿一1 ) ) + 薏三 与 ，( 三( r ，您，r t 一。) ) + ( k ( 三( r ，仡， 初始值 ，n ) ) 一k ( l ( r 1 ，r 2 ，r t 一1 ) ) ) ， 危1 ( l ( r 1 ) ) = r 1 ， 1 ( 三( r 1 ，r 2 ) ) = 2 r 1 您一r l r 2 + 1 下面，我们来具体求环状六角形链的z h a n 争z h a n g 多项式 首先，我们考虑环状线性六角形链，有如下结论： 定理2 3 1 设e 为含有亿个六角形的环状线性六角形链，n 3 ，则其 z h a n 分z h a n g 多项式p ( c ；叫) = 4 证明由引理2 3 1 和引理2 3 2 有， 1 2 p ( c ；伽) = p 埘p ( ：o + 2 + 2 = 4 证毕 z h a n 争z h a n g 多项式的基本性质，我们得到： 2 3 2 设c 为含有礼个六角形的环状线性六角形链，佗3 ，则有 ( i ) c 的k e k u l 舀构数为k ( c ) = 4 ； ( i i ) c 的c l 跗结构数为盯( c ，盯( c ) ) = o ，其中盯( c ) = o ； ( i i i ) e 的第一h e r n d o n 数为危1 ( c ) = o 其次，我们考虑一般环状六角形链 式，其中t 2 且n 不全等于2 ，i = c ( r l ，r 2 ，亿) 的 1 ，2 ，t c ( r 1 ，您， 亿3 ，1 i t ，不失一般性，我们假设第段n 3 z h a n 分z h a n g 多项 n ) 中必存在一段 定理2 3 2 设c ( r l ，仡，r t ) 为段数为t 的一般环状六角形链且n 3 ， ( i ) 若2 且为偶数，则有 c ( 1 ，7 2 ，n ) = 晔芏罢铲+ l 】l ( r 1 一l ，r 2 ，r t 1 ) + 尘 二堕竺车兰l ( r l 一1 ，r 2 ，r t 一：) n 一1 一l + n 一1 1 【( n 一1 2 ) l ( r 1 ，r 2 ，r “) + l ( r 1 ，r 2 ， ( i i ) 若t 2 且为奇数，则有 ，n 一2 ) 】+ 2 ； c ( r l ，r 2 ，n ) = 【也专掣+ 1 】l ( r 1 1 ，r 2 ，n 1 ) + 尘羔二兰卫掣三( 7 l 一1 ，r 2 ，n 一2 ) n 一1 一l + ；： ：= _ 工【( r t 一一2 ) l ( r t ，r z ，r t 一- ) + l ( r 1 ，r 2 ，n 一2 ) 】 1 3 一 据论根推 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 证明为了表示方便且又不会引起异议，我们也用c ( 亿r 2 ，n ) 表 示环状六角形链的z h a n 分z h a n g 多项式 ( i ) 若t 2 且t 为偶数，我们取环状六角形链c ( r 1 ，您，n ) 的最后 一段的倒数第二个六角形为引理2 3 1 中的”s ”，则由引理2 3 1 和引理2 3 2 有， p ( 2 + 尸( 苫 = 叫l ( r 1 1 ，r 2 ，n l 一1 ) + p ( = 伽l ( r 1 一l ，r 2 ，r t 一1 1 ) p ( 苫 p ( 苫 + 陋( 7 1 1 ，r 2 ，n 一1 ) + 1 】+ 陋( r t 一2 ，r l ，亿，r t 一1 1 ) + 1 】 一1 4 c y c l o - p 0 1 y p h e n a c e n e s 的z h a n g z h a n g 多项式和a n t i - f o r c i n g 数 应用引理2 3 3 ，有 l ( n 一2 ，r 1 ，您，n 一1 1 ) = ( n 一3 ) ( 硼+ 1 ) l ( r l 一1 ，7 2 ，r t 一1 1 ) + l ( r 1 ，r 2 ，n 一1 1 ) 所以， c ( r l ，您，n ) = 【( r t 一2 ) 叫+ ( n 一3 ) 】l ( r 1 1 ，您，n 一1 1 ) + l ( r 1 1 ，7 2 ，n 1 ) + l ( 7 1 ，r 2 ， 综合考虑上述等式与推论2 3 1 ，我们得到递推关系： c ( r 1 ，r 2 ，亿) = 【立气警+ l 】l ( r 1 1 ，r 2 ，n 1 ) + 垒二害塑掣l ( r 。一1 ，r 。，n 一：) n 一1 一l 、 + ；： ! ：了【( r t t 一2 ) l ( r ，您，r t t ) + l ( r l ，r 2 ，n 一2 ) 】+ 2 ( i i ) 若2 且t 为奇数，类似于( i ) 的计算，我们有， p 瑶 + p ( 2 ，n 一1 1 ) + 2 = 伽工( r l 一1 ，r 2 ，n l 一1 ) + 1 5 d n 湖南师范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 p ( = 伽三( r l l ，7 2 ，n 一1 1 ) + l p l 1 ，r 2 ，n 1 ) + 己( n 一2 ，r l ，r 2 ，n 一1 1 ) 利用引理2 3 3 ，我们得到以下递推公式 c p l ，r 2 ，n ) = 【立c 二警+ 1 】l ( r l 一1 ，r 2 ，n 1 ) 证毕 + 鱼二害卫掣l ( r l 一1 ，r 2 ，n 一。) n l l + ；= = ： 二= _ i 【( r t 一- 一2 ) l ( r - ，r 。，亿一) + l ( r ，他，r t 一：) 】 d n 根据z h a n 乎z h a n g 多项式的基本性质，我们很容易得到环状六角形链 c ( r l ，r 2 ， 推论 ，r t ) ( n 3 ，t 2 ) 的k e k u l 结构数和第一h e r n d o n 数的递推公式 2 3 3c ( r 1 ，您，r t ) 为环状六角形链，t 2 ，n 3 ， ( i ) 若t 为偶数，则 k ( c ( r l ，仡，n ) ) = ( 等+ 1 ) 酢 ，r t - 1 ) ) + 蓦础h “w 九- 2 ) ) + n 一1 1 k ( l ( r 1 ，r 2 ，n 一1 ) ) + k ( l ( 7 1 ，r 2 ，n 一2 ) ) + 2 ； ( i i ) 若t 为奇数，则 k ( c ( r 1 ，r 2 ，r t ) ) = ( 等+ 1 ) 琊h - 1 ，w 一儿1 ) ) + 等郴h - 1 w m - 2 ) ) 1 6 + n 一1 一l k ( l ( r l ，仡，n 一1 ) ) + k ( l ( r 1 ，您，吃一2 ) ) ， 其中k ( l ( r 2 ，n ) ) 满足引理2 3 5 中关于k e k u l 姑构数的递推关 推论2 3 4c ( r l ，r 2 ，n ) 为环状六角形链，t 2 ，n 3 ，则 l ( e ( r l ，您，n ) ) = 老备【k ( l ( r 1 1 ，仡，r t 一1 ) ) + k ( l ( r l l ，r 2 ，一2 ) ) 】 + ( 兰：备+ 1 ) 1 ( l ( r l l ，r 2 ，n 一1 ) ) + 焉蓦备危l ( l ( r 一1 ，r 2 ，亿一2 ) ) + 元二b 【( n 一1 2 ) 九l ( l ( r 1 ，r 2 ，n 1 ) ) + 危l ( l ( r l ，r 2 ，n 一2 ) ) 】， 其中 1 ( l ( n ，r 2 ，n ) ) 满足引理2 3 5 中关于第一h e r n d o n 数的递推 关系 下面我们不妨举例来说明以上结论 例如，图2 6 中所示的碳骨架图为一个冠( c o r o n o i d ) 【2 9 ，p 1 8 0 】，可表示 为c ( 3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ) 图2 6 一个c o r o n o i d 根据定理2 3 2 ，则冠c ( 3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ) 的z h a n 分z h a n g 多项式为： 尸( c ( 3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ) ；) = 詈+ 1 】l ( 2 ，3 ，3 ，3 ，3 ) + 筹l ( 2 ，3 ，3 ，3 ) + ；【l ( 3 ，3 ，3 ，3 ，3 ) + l ( 3 ，3 ，3 ，3 ) 】+ 2 = 叫6 + 1 8 伽5 + 1 2 3 伽4 + 4 0 8 叫3 + 6 9 9 叫2 + 5 9 4 叫+ 2 0 0 所以冠的k e k u l 6 结构数k ( e ( 3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ) ) = 2 0 0 ，这个结果与文【2 9 】中 1 7 湖南静范大学2 0 0 9 届硕士学位论文 介绍的巍步分裂法得刭的结果一致。 最后，我们考虑段数势的环状之字六角形链秽( 2 ，2 ，2 ) 0 3 ) 的 z h a n g z h a n g 多项式 记五表示至少含有3 段的之字六角形链艺( 2 ，2 ，2 ) 3 ) 的z h 蝴分 z h a n g 多项式，h z h a n g 和f 。z h a n g 翻得到了以下结果： 引理2 3 6 设l ( 2 ，2 ，2 ) 表示段数至少为3 的之字六角形链，则其 z 魏勰争z h 越g 多项式为： 矗：( 2 删+ 3 ) f 七，七21 ( 1 + 榭) 。 巾2 仙均邑r ：) ( 1 + 妒h + 2 幻= 一2 “- 接下来，我们将给出环状之字六角形链秽( 2 ，2 ，2 ) 0 3 ) 的z h a n 争 z h a n g 多项式的一个递推公式 定理2 。3 3g ( 2 ，2 ，2 ) 表示段数霉至少为3 的环状之字六角形链， ( i ) 若 6 且t 为偶数，则a ( 2 ，2 ，2 ) = m + 1 ) 一4 + 五一2 + 2 ； ( i i ) 若t 6 且t 为偶数，则g ( 2 ，2 ，2 ) 一扣+ 1 ) 一4 十五一2 ； ( 撼) 害= 3 时，g ( 2 ，2 ，2 ) 一3 镏专4 ； 一4 时，c ( 2 ，2 ，2 ，2 ) = 2 协2 + 8 制+ 9 ； 亡一5 时，e ( 2 ，2 ，2 ，2 ，2 ) 一5 们2 十1