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高精度低阶杂交应力六面体有限元研究 专业：计算数学专业 研究生：张世全导师：谢小平教授 摘要 本文首先从应力优化的角度来构造高精度的低阶杂交应力 六面体有限元。众所周知，应力模式的选取在构造基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的杂交应力有限元时起着至关重要的作用。针对三 维弹性问题，本文采用能量协调条件来优化八节点六面体杂交元的 应力模式。通过能量协调条件，即应力和w i l s o n 非协调应变的正交 关系，本文导出了一种隐式的1 8 参应力模式。采用该应力模式和协 调等参三线性位移插值，我们得到了新单元e c h 8 。数值算例表明该 新单元在梁，板和壳的计算中具有粗网格高精度，对网格畸变不敏 感并避免了自锁现象。由于应力参数可在单元水平消去，新单元的 计算量与h 8 相当。 另一方面，我们也可在固定应力模式为最简单的分片常数的情 况下，基于组合杂交变分原理，通过调整组合参数q 来提高数值精 度。从此观点出发，我们分别在没有添加和添 j h w i l s o n 非协调位移 的情况下，得到了组合杂交常应力单元g 日日8 ( o ) 和g 日日6 ( o ) 。数 值算例表明，为了取得较高的精度，c h h 8 ( a ) 对不同的问题需要选 取不同的参数o ，而c h h b ( a ) 固定q = 0 0 3 对几乎所有算例都能给 出较好结果。 关键词：混合杂交有限元h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理 组合杂交变分原理剪切自锁 t h er e s e a r c ho fh i g hp e r f o r m a n c ea n dl o wo r d e rh y b r i d s t r e s sh e x a h e d r a le l e m e n t m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ： z h a n gs h i q u a n a d v i s o r ：p r o f x i ex i a o p i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ef i r s tc o n s t r u c t e dah i g hp e r f o r m a n c ea n dl o wo r d e rh y b r i d s t r e s sh e x a h e d r a le l e m e n tb ys t r e s so p t i m a t i o n a sw ek n o w ，r a t i o n a lc h o i c eo f s t r e s sm o d ei sc r u c i a lt ot h ec o n s t r u c t i o no fr o b u s th y b r i ds t r e s sf i n i t ee l e m e n t s b a s e do nt h eh e l l i n g e r - r e i s s n e rp r i n c i p l e ，i nt h i sp a p e r ，a ne n e r g y - c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o ni su s e df o rs t r e s so p t i m i z a t i o ni nt h ed e r i v a t i o no fa c c u r a t e8 - n o d eh e x a - h e d r a le l e m e n t sf o rt h r e e d i m e n s i o n a le l a s t i c i t y c o m p a t i b l ei s o p a r a m e t r i ct r i l i n - e a ri n t e r p o l a t i o n sa r ee m p l o y e dt oa p p r o x i m a t et h ed i s p l a c e m e n tf i e l d f o rt h e s t r e s sa p p r o x i m a t i o n ，ak i n do f1 8 - p a r a m e t e ri m p l i c i te n e r g y - c o m p a t i b l es t r e s s m o d ei so b t a i n e df r o mt h ee n e r g y - c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n ，i e a ne n e r g yo r t h o g o n a lr e l a t i o nb e t w e e ns t r e s st e r m sa n dw i l s o ni n c o m p a t i b l es t r a i n s n u m e r i c a l t e s t ss h o wt h a tt h er e s u l t a n te l e m e n t sp o s s e s sh i g ha c c u r a c ya tc o a r s em e s h e s ， a r ei n s e n s i t i v et om e s hd i s t o r t i o n sa n df r e ef r o mv o l u m el o c k i n gi nt h ea n a l y s i so f b e a m s ，p l a t e sa n ds h e l l s d u et oe l i m i n a t i o no fs t r e s sp a r a m e t e r sa tt h ee l e m e n t l e v e l ，t h ee l e m e n t sa r eo fa l m o s tt h es a m ec o m p u t a t i o n a lc o s ta st h a to fh 8 o nt h eo t h e rh a n d ，w ec a l la l s oo b t a i nh i g hp e r f o r m a n c eb yu s i n gc o m - b i n e d h y b r i dp r i n c i p l ea n da d j u s t i n gt h ec o m b i n e dp a r a m e t e rqw i t ht h em o s t s i m p l ep i e c e w i s ec o n s t a n ts t r e s s e s f o l l o wt h i sa p p r o a c h ，w i t ht h ew i l s o nb u b b l e a d d e do rn o t ，w ed e r i v e dt w oc o m b i n e dh y b r i dc o n s t a n ts t r e s se l e m e n tc h h b ( a ) a n dc h h s ( a ) r e s p e c t i v e l y n u m e r i c a lt e s t ss h o wt h a tt h ee l e m e n tc h h 8 ( a ) w i l lu s ed i f f e r e n tp a r a m e t e rai nd i f f e r e n tp r o b l e mt oo b t a i nb e t t e rp e r f o r m a n c e w h i l ec h h b ( o e ) c a ng a i na c c u r a t er e s u l t sf o rn e a r l ya l lt h et e s t si fw ec h o o s e a = 0 0 3 k e y w o r d ：m i x e d h 3 7 b r i df i n i t ee l e m e n t h e l l i n g e r r e i s s n e rp r i n c i p l e c o m b i n e d h y b r i dp r i n c i p l e l o c k i n g 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取 得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 学位论文作者( 签名) 弓艮恤 论姘师( 獬) 谢小手 四川大学硕士学位论文 1 引言 在实际工程应用和结构分析中，大量的问题都可归为三维问题的计算和 分析。此时，由于其简单的几何性质和高效的计算，低阶六面体和四面体单 元被广泛使用。众所周知，高阶单元由于其计算量巨大，在处理三维界面和 求j a c o b i 逆时非常困难，故在实际计算中对硬件要求很高，难于实现。 然而，传统的低阶单元并不能达到理想的结果，它们在模拟弯曲时精 度很差且当材料接近不可压缩时会出现数值不稳定的l o c k i n g 现象。为了改 进这种情况，许多增强应3 应变的杂交方法应运而生，主要有如下三种： 第一种是基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理的杂交应力方法，它以位移和应力 为独立变量【1 - 1 0 。第二种是基于h u w a s h i z u 原理的增强应变方法，它以位 移，应力和应变分别做为独立变量计算【1 1 f 3 7 l 。第三种是组合杂交方法，它是 将h e l l i n g e r r e i s s n e r 泛函和其对偶原始杂交泛函做加权组合而得到的【3 8 - 4 1 】。 在这三种方法中，基于三类独立变量的增强应变方法在非线性分析中最受 欢迎，因为h u - w a s h i z u 泛函里包含了应变能量，从而可以有效避免应力与应变 非线性关系所引起的困难。但从实际应用的观点，两类变量的杂交应力方法因 为其简单有效而使用广泛。用它构造有限元时，应力模式的选取起着至关重要 的作用。基于这种思想，s p i l k e r 和s i n g h1 2 l 导出了等参抛物位移的杂交应力方 法。然而，由于应力模式必须满足平衡条件，故只能采用直角坐标。另外，在 计算刚度矩阵时，其高阶矩阵的求逆也非常困难。另一方面，p i a n 和t o n gm i 通 过引入w i l s o n 内部位移而成功放松了平衡条件的限制，并以此构造t a 节点杂 交应力六面体单元p t l 8 3 ，其中应力模式类似于l o i k k a n e n 和i r o n s 在中的选 取。采用”可接受矩阵形式”，s z e1 5 】改进了p t l 卵以便在薄板和薄壳计算中取 得更好的结果。 在文献i s ，l o 中，周天孝和谢小平指出，二维分析若满足如下能量协调( 或 能量正交) 条件 7 - - e ( v 1 ) d f 2 = 0 ，竹，v v l j k 将得到最佳应力模式和高效的杂交应力单元，其中k 代表任意四边形，下为假 1 四川大学硕士学位论文 定的应力模式，v ，为w i l s o n l 勾部位移，n 为沿a k 的单位外法向量。基于这种思 想，本文将导出新的八节点六面体杂交应力单元的应力优化条件并用之构造高 效的有限元。后面的数值算例表明，这样构造的新单元在梁，板和壳的分析中 能够取得高精度。 另一方面，组合杂交有限元方法能够显著提高传统低阶元的粗网格精 度1 8 , 1 0 , 3 8 , 3 9 , 4 1 , 4 8 j ，其中组合参数o t ( 0 ，1 ) 和应力模式的选取对调整有限元的能量 误差起着非常重要的作用。数值试验【3 9 ，蚰】表明，有限元能量误差越小，方法数 值精度就越高。由于组合杂交有限元方法不要求有限元空间满足任何i n f - s u p 条 件或平衡条件，故我们可以采用最简单的分片常应力模式。基于这样的思想， 本文分别在没有添加和添加w i l s o n 非协调位移的情况下，得到了组合杂交常应 力单元c h h s ( a ) 和c h h b ( o r ) 。数值算例表明，它们均能够显著改进h 8 元的粗 网格精度且计算量与h 8 一元相当。 2 应力优化方法构造高精度有限元 本节首先考虑用应力优化的方法构造基t - h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理的高 精度的杂交六面体单元。 2 1 混合杂交有限元的一般形式 考虑如下线弹性问题： 一d 1 7 盯= ， 仃= d 6 ( u ) ， i nq ( 1 ) i 盯- i t l = t ，u l r o = 0 o n a q = r 1 u r o 、 其中qc 铲为有界开集，u 为位移向量，盯为应力张量，d 为弹性模量矩 阵，e ( u ) = ( v u + v t u ) 2 y 抛变，f 为给定的体力，t 为r 1 上给定的面力，其 中r 1 为边界a q 的一部分。 当引入非协调位移来构造杂交应力单元时，对应的h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分 原理如下： o h j u h ) 2 恶等( 7 - ，v ) ， ( 2 ) v u “f c v 四川大学硕士学位论文 其中能量泛函为 ( l v ) 2 莓 _ ；上丁。以r d q + 上r c ( v ) 拥一z 。n 拟t v 曲 一 e k f n y i d s l k i v d q 】 位移v = v 。+ v i ，v c 和v j 分别为单元位移的协调和非协调( 内部位移) 部分，7 - 为 分片独立的应力，u “= u ：o u 和v “c v ：= 兀k “h ( d i v ；k ) 分别代表逼 近位移和应力的有限维子空间且 u ：c u 。：= v h 1 ( n ) 3 ；v i r 。= o u l ：= s p a n b u b b l e s ， 其中孔= u ) 为给定的六面体网格剖分，日1 ( n ) 为通常的一阶s o b o l e v 空 间，三2 ( q ) 为平方可积的函数空间， 且 h ( d i v ；k ) = 丁= ( t 1 1 ，死2 ，t a 3 ，7 1 2 ，t 1 3 ，t 2 3 ) r l 2 ( q ) 6 ；d i v r l 2 ( q ) 3 ) 曲r = c 鲁+ 等+ 警，等+ 等+ 鲁，等+ 等+ 鲁，t 2 2单元几何形式和应力模式 取k 为一任意六面体，其顶点为只( 戤，玑，磊) ( = 1 ，8 ) 。定义等参变 换f k ：詹= 一1 ，1 3 一k 如下： 小x 呱h 1 若sm m = ( 1 + 靠) ( 1 + r h r ) ( 1 + 矗( ) 3 四川大学硕士学位论文 8 ld 1 n 26 2 幻6 3 m6 4 如6 5 d b6 6 0 76 7 1 8 变换f k 的j a c o b i 矩阵为 一l1l一1 11l l 一1 一l1l一1 11 1 1 1 1 11111 1111111 一l 11 111111 l ll 一1 1 一ll 1 一l1 11 l一11 1 8 z f 8 o y f 8 o z o o z 0 7 7o y f 8 q8 z | 8 t 1 o x o o y l o io z l o ；l n 1 + a 4 q + 5 e - f 0 7 叩( b z + 6 4 叼- i - b s ( - i - 6 7 叩e 0 2 1 - 0 4 f + 0 6 e + 研( 6 2 + b 4 - - t - 6 6 e + 5 7 ( 0 3 + 0 5 - i - 0 6 叩+ 0 7 叩5 3 + 6 5 f - f6 6 叩+ 5 7 叩 x ly l z 2y 2 x 3y 3 x 4 玑 x 5y s x 6y a z 7y 7 x 8y s 取u ：= v 。u 。n c o ( 孬) ；v 。l k s p a n 1 ，刁，( ，7 ，叩e ，町( ) 3 0 眩1 ，v j f 磊 为协调的等参三线性位移子空间，即对任意的v c u ， v c l = 【n , i a ，n 2 1 3 ，n 3 1 3 ，n 4 1 3 ，n 5 1 3 ，6 1 3 ，n t l 3 ，8 1 3 碰7 ) ：= n g g l 7 ( 3 ) 其中1 3 为三阶单位矩阵，q 5 ”) = ( u 1 ，口1 ，训1 ，乱8 ，地，w 8 ) t 砰4 单元节点位移 向量。 同时取u ，：= v ，；v z k s p a n 1 一2 ，1 一叩2 ，1 一e 2 ) 3of k l ，v k n ) w i l s o n i 勾部位移子空间，即对任意的v ，u ， v ，i k = ( 1 一2 ) 1 3 ，( 1 一町2 ) 1 3 ，( 1 一i 2 ) i s 毋：= n ，q i ” ( 4 ) 4 、， 1 1 l l 1 1 1 1 1 1 一 l 1 1 一 一 1 1 1 一 一 1 1 1 1 1 1 1 1 一 一； 一 一 一 ，jiili i i 、， 矗仇臼矗们白矗佻白6 仍岛已仉臼已仉6巳啦白 6 m 矗 ，一且 乱 彩 邸 砧 彩 砧 刃 砧 m 如 彩 血 彩 国 甜 、， k “勖 所 所 研 + + + (广、叮 岛 岛 国 + + + 叩 血 q 岛 + + + m 仍 办 四川大学硕士学位论文 其中口；腑9 为单元内部位移向量。 这样w i l s o n 非协调位移子空间可表示为u 钫：= u 2ou ，即v v u 缸， v l = c v c + ，i = n c n 一 雾；) c s ， 取v ：= ( r v ；( 丁1 1 ， 2 2 ，3 ) i x s p a n 1 ，r ，e ，7 7 ( ) 3 0 坛1 ，( t 1 2 ，7 1 3 ，记3 ) i k s p a n 1 ，q ，( ) 3 。f 五1 ，v k n 为分片独立的应力子空间，即应力r v 在单 丁l x = 10 0000 00 0 0 0100 0 00 00 0 0 0100000 f 0 0 0 0 010 0 00 0 0 0 00010 0 0 00 o 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f 叩c 00 0 ( 00 0 00 必0 00 ( 00 00 0 吠 000 ( 0000 0 0 00 0e0 0 00 0 0 0 00 (0 0o 0 ，7 0 0 0 0 0 00 叩00 00 0 00 叩00 0 00 00 r 0 0 0 0 0 0 0r 0 0 0 0 0 0 r l = ：圣口芦( ”，( 6 ) 取 v 釜：= 丁v ：；7 e ( v ，) d q = 0 ，v v j u ，v k 矗) j 能量协调的应力子空问。因为能量协调条件 上丁e ( ) d q = 。，批u ( 7 ) 对分片独立的( 6 ) 中的2 7 参应力7 旌加了九个线性约束，v 皂中能量协调的应力 在上实际是2 7 9 = 1 8 参的。由于在三维情况下1 8 阶的矩阵形式很复杂，所 5 i 三： 吻 m m 砌 历：；助 四川大学硕士学位论文 以我们在此不给出能量协调应力模式具体的显式表达。但正如2 2 所要讨论的那 样，我们在实际计算中可以很方便的使用其隐式表达。 注2 1 在实际计算时，也可以采用与( 6 ) 有所不同的另外一种应力模式，即 7 | j = 1000 00 00 00 0 r 0 0000 01000 00 00 0 00 町0000 001 0 0 0 00 00 0 0 0 r 0 00 00 010 0 0 00 00 0 00 ，70 0 000 010 0000 00 0 00 q 0 0 000 0100000 00 000 r o 为与单元尺寸危= m a x k e 磊 ) 无关的常数，| | - n 表示通常 的l 2 范数。 为证明定理2 1 ，需要下面结论。 引理2 1如果秩条件满足，即对任意k 磊，v u 6 有 下e ( v ) d 1 2 = 0 ，计v “净( v ) i = 0( 1 6 ) 则离散i n f s u p ( l s b ) 条件成立，即有 j 黑揣冽h nv v 训 对于单元e c h 8 ，容易证明其位移和应力子空间满足秩条件，故对e c h 8 离 散i n f s u p ( l b b ) 条件成立。 定理2 1 的证明如下： 问题( 9 ) 所对应的变分方程为求( 一，u “) 增嘴，使得： p 高罂i 。 其中 竹蜡 v v 叫 n b r ) = f a - d - l t 祝咐，v ) = 上f 叫v ) 擒 ，( v ) = 上h d n 9 ( 1 7 ) 四川大学硕士学位论文 从以上形式及能量范定义，容易得到 a ( o ，r ) 曼c 仃i i i o ，n l uf 1 1 0 , 订，v 口，r v ) v 63v 曹( 1 8 ) 6 ( 7 _ ，v ) c 川7 _ o n 川v | | | 1 n ，计vv v u 以 嘴( 1 9 ) n ( 7 _ ，7 - ) = 川7 - 憾n ，v r 瞄( 2 0 ) 再加上协厂一s u p 条件成立，则由混合杂交元的标准理论分析 4 9 】，变分问 题( 1 7 ) 的解存在惟一，即有惟一的( 一，u “) 瞪嘴使得( 1 7 ) 成立。 下面导出具体的误差估计。 易知问题( 1 ) 的弱解( 仃，u ) 满足： n ( 口，7 ) 一b ( t ，u ) = 0 ， 竹v ( 2 1 ) 6 ( 矿，v ) = ，( v ) ，v v 以( 2 2 ) 其中巩：= h o ( q ) 3 = v h 1 ( n ) 3 ；v l r 。= o ) 为连续位移子空间。 用( 2 1 ) 减去( 1 7 ) 的第一个式子得到 o ( 盯一盯“，7 - ) 一b ( t ，u u 6 ) = 0 ，v t 1 ，曹( 2 3 ) 取r “况( ，) ：= 7 - v 曹；6 ( 7 - ，v ) = f ( v ) v v u ) 和7 _ = 7 - 6 一盯“代 入( 2 3 ) ，并由( 1 8 ) ，( 1 9 ) 和( 2 0 ) 得 川一一盯“| 1 曙n = o ( 7 - “一c r “，r “一盯“) = n ( 丁 一盯，r h 一口 ) - i - a ( o 一盯 ，1 _ 一盯 ) = a ( t 6 一以r “一盯6 ) + b ( t “6 ，u v ) c ( 1 l i7 | 6 一仃i i i o n + u v 1 ，n ) - 川f “一仃“j i i o ，n ，v v 嘴 ( 2 4 ) 运用三角不等式我们得到 i l lo - o h 叩c ( ，戮门i i i r 一盯i i i 啪+ 。i 。n 叼f i i i u v i i i ，n ) ( 2 5 ) 由离散i n ，一s 姊不等式和 4 9 】中类似的技巧，我们可以得到 ，器，) i i i7 | 一啪，n e 鬓一7 r ，n ( 2 6 ) 四川大学硕士学位论文 实际上，v 一瞻，令一喈满足 6 ( 一，v ) = 6 p t h , v ) ，v v 嘴( 2 7 ) 则关系式( 2 2 ) 保证了( 2 7 ) 至少有一个解。由 n ，一s 即不等式有： i | 1r “i ll 。，q c ，s 。u u p ! i i j i ；j i 2 ( 。) g 川盯一一i i i o ，n 关系式( 2 7 ) 隐含0 “= r “+ 7 - “g h ( f ) 。因此我们得到 盯一p 。，n = 口一下 _ r | | | 0 n 川盯一7 _ 。，n + | | i r i l i 。，n ( 2 9 ) c 川d r 一丁“l i o o 故( 2 6 ) 成立。 由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 即得 川盯一旷i i i o , n ok i n 堙f i i ir -a i i i 岬+ ，i 。叼f i j u v i i i ，n ( 3 。) 下面估计川u 1 1 “，o 。由方程( 2 3 ) 得 n ( 盯一盯 ，下) + b ( t ，v u ) = b ( r ，v u ) ，v t 1 ，曹，v v u ( 3 1 ) 代入伽，一s u p 不等式得到 c ? i i iv - u hlil-，n，s。u。p；!二i：ii：；2=，s。u。p曹!：!6；铲 c ( 盯一盯 o n + i u v 1 。n ) ，v v 叫 再次运用三角不等式可得 i i i - u 1 1 , c ! c1 1 1 ( 7 - - u hi l l 。时，i 。n 叼fi l l u v - ，n ) 综上知误差估计式成立，定理证毕。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 四川大学硕士学位论文 3 利用组合杂交方法构造高精度六面体单元 本节考虑采用组合杂交变分原理，通过调整组合参数a 的办法来构造简单 有效的常应力单元。 3 1组合杂交有限元的一般形式 仍考虑问题( 1 ) ，与其对应的组合杂交有限元方法的能量泛函【3 8 , 3 9 , 4 1 为： c 日( ”) = 字d ( v ，v ) 一，( v ) 6 - ( 卅口毗v ) 一善a ( 下，丁) ( 3 4 ) 其中o ( o a o 为与单元尺寸 = m a x d i a m e t e ro f ) 无关的常数， “vi i v ：= ( 莓“s c v ，惦，) “2 ，“ri i y ：= ( “r 幅，n + 莓n 奄i id i w i i ：，) v 2 注3 1 对于极端情况= 1 ，组合杂交格式( 3 6 ) ( 3 7 ) 退化为通常的杂交应力 元格式，此时为保证单元刚度矩阵满秩，有限元空间需要满足l b b 或i n f - s u p 条 件。众所周知，在这种情况下，常应力模式将会导致缺秩的杂交元格式。 3 2 c h h 8 ( a 1 单元 下面讨论采用组合杂交变分原理( 3 5 ) 或( 3 6 ) ( 3 7 ) 对等参协调三线性h 8 - 六面 体元的两种改进。取应力空间 喈：= r y ； d k = c o n s t ，v k 为分片常应力子空间。则7 _ 时具有如下形式： 7 _ i 耳= 厶口7 ， 其中厶为六阶单位矩阵，旷印为应力参数向量。 在( 3 5 ) 或( 3 6 ) ( 3 7 ) 里取矽“= 瞪，v 8 = 话( 其中暖h 与第二节一样) ，我们得到 组合杂交元c h h 8 ( 口) ，其对应的变分格式为：求( 砂，e l “) 憎嘴，使得： a a ( a “，丁) 一a b 2 ( r ，u “) = 0计略( 3 8 ) 口6 2 ( 盯 ，v ) + ( 1 一a ) d ( u h , v ) = ，( v )v v u 拿 ( 3 9 ) 取n p ( v ) = d ( v ，v ) 一，( v ) 为对应的势能泛函，则c h h 8 ( o ) 的能量泛函可化 1 3 四川大学硕士学位论文 l - ic ( o h , u “) = i n f 。s u pnc h ( r ，v )( 4 0 ) v e u & r 憎 ：i n f s u p 【三；! d ( v ，v ) 一，( v ) + q 6 2 ( 下，v ) 一芸n ( 丁，r ) 】( 4 1 ) 。e 皓r e 喈 4 = i n i p ( v ) + s u p - 芋d ( v ，v ) + a b 。( r ，v ) 一苦。( r ，硼i 2 ) 2 删i n f h p ( v ) 一毒舻f a 。( t - d e ( v ) , t - - d e ( v ) ) 】) ( 4 3 ) 上面最后一个式子表明，组合杂交元c h h 8 ( a ) 的能量要小于位移元h 8 ，因此能 够更接近真实能量从而可以达到更高的数值精度。 3 3 c h h b ( a ) 单兀 考虑如下改进的变分原理： i i 抽( 盯? ，u ：) _ i n f 。s l i p c n ( r ，v ) v e u 一e v h 其中 拓( 丁，v ) = 字d ( v ，v ) 一，( v ) + 。讹v ) 一号口( r ，下) 取计为第二节的w i l s o n 型b u b b l e 位移空间，在( 4 4 ) 中取 u 6 = v t o 吩，v “= 憎 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 我们得到对h 8 的另一改进单元c h h b ( a ) ，其对应的变分方程为：求( 砖，u ：) 憎xu “，使得： q o ( 以，7 - ) 一q 6 2 ( r ，u ：) = 0 q 6 2 ( 口：，v ) + ( 1 一a ) d ( u ：，v ) = ，( v ) 1 4 计喈( 4 6 ) v v v t o 吩( 4 7 ) 四川大学硕士学位论文 4 数值算例 本节用大量标准算例来检验新单元e c h s ( e c h s ) 和g 日日8 ( d ) 及c 日m ( d ) 的 数值性能。所有算例除特殊说明外，均采用2 2 2 的高斯数值积分，且 它对e c h 8 和e c h 8 7 的计算是精确的。x e i c h h b ( a ) 在所有算例中均固定o = o 0 3 ，而部分例子没有给出g h 日8 ( 口) 的结果是因为其参数选择不便的缘故。 我们在此节用如下几种著名的八节点六面体单元来与新单元作比较： 日8等参三线性单元 h l l三维w i l s o n 非协调元 c h h ( o 一1 1 组合杂交单元 4 0 l p t l 8 f lp i a n 和t o n g 提出的杂交应力六面体单元 4 1 s s l 8 卢s z e 用“可接受矩阵形式”对p t l 8 口改进得到的单元【5 】 4 1 承受端部载荷的悬臂梁 承受端部载荷的悬臂梁如图一所示，我们用五个不规则单元计算以检验 方法的粗网格精度。对所有单元，我们在表一均给出了能量，a 点的最大 位移w a 和b 点的正应力盯日。，其中加+ 表示采用3 3 3 的高斯数值积分。 从表中可以看出，新单元e c h 8 和e c h 8 7 给出最佳结果且不受数值积分影 响。c h h b ( o 0 3 ) 1 1 c h h 8 ( o 6 ) e 8 e 给出较好的结果。 u n 弛2 公鏖一 缸一0t i 一0 锄；0 p u 珏；- - - - 3 印2 口芽三( 5 2 5 0 aq p - ；- 1 1 0 0 5 0 0。u 昌up v 。“v 一 w v 图1 不规则五单元悬臂梁 1 5 盥 盟 旦。 ( 7 n 占el ， p 修| p 扣 c a s e2 四川大学硕士学位论文 c a s e l c a s e 2 e l e m e n t w ao - b z( 1 0 4 )w ao - b zn ( x 1 0 4 ) 日84 4 41 7 3 6 3 1 6 44 9 32 4 1 5 3 1 4 7 日1 19 8 33 0 3 7 93 8 61 0 0 24 2 2 4 83 0 1 日1 1 8 9 72 8 9 2 13 5 39 2 24 0 2 0 52 7 7 c h h ( o 一1 ) 9 8 33 0 0 2 43 8 61 0 0 3 4 1 5 9 13 0 1 c h h ( o 一1 1 9 3 82 9 2 7 ，23 6 99 6 14 0 5 402 8 9 p t l 8 z 9 8 33 0 0 2 53 8 61 0 0 34 1 5 9 33 0 1 s s l 8 口 9 833 0 0 2 33 8 61 0 0 3 4 1 5 9 13 0 1 c h h 8 ( o 5 ) 8 0 1 3 1 7 0 42 9 28 824 2 2 032 6 4 c h h 8 ( o 6 ) 9 7 73 8 8 4 13 5 51 0 7 5 5 4 2 3 13 2 2 c h h b ( o 0 3 ) 1 0 1 23 1 2 2 33 9 81 0 3 1 4 3 4 2 23 1 0 e c h 89 8 43 0 0 1 53 8 71 0 0 4 4 1 5 8 73 0 2 e c h g9 833 0 0 233 8 71 0 0 3 4 1 5 923 0 1 e x a c t1 0 0 03 0 0 0 04 0 01 0 2 64 0 5 03 0 8 4 2 悬臂梁：网格畸变测试 在这个标准算例中，我们仅用两个单元进行计算，如图2 所示。其中单元 的畸变程度用参数e 来衡量。这里没有给出c 日日8 ( q ) 的结果是因为对每一个不 同的e ，都需要进行一次参数调整，十分不便。表2 给出了a 点最大位移w a 的计 算结果，可见，e c h 8 、e c h 8 及c h h d ( o 0 3 ) 受网格畸变影响最小。 e = 1 5 0 0 图2 悬臂梁网格畸变试验 1 6 驰地 三q 鲤 + 盥避 。丝殴 四川大学硕士学位论文 单元 e = 0 5e = le = 2 e = 3 e = 4 e = 4 9e x a c t 日82 0 81 3 99 68 27 16 1 日1 19 2 68 5 99 1 81 0 1 81 1 0 11 1 6 3 c h h ( o 一1 ) 9 2 78 5 99 2 01 0 2 21 1 0 61 1 6 8 p t l 8 口8 8 67 4 35 7 05 0 34 6 64 231 0 0 0 s s l 8 口 8 8 8 7 9 96 8 06 3 76 146 0 6 c h h b ( o 0 3 ) 9 3 88 8 49 4 51 0 4 81 1 3 11 1 9 1 e c h 8 9 32 8 7 09 3 11 0 3 11 1 1 41 1 7 6 e g 日8 7 9 2 98 6 1 9 2 31 0 2 61 1 1 11 1 7 5 4 3m a c n e a l 细长梁 由m a c n e a l 和h a r d e rh 4 】提出的细长梁旨在用于检验数值方法受问题几何尺 寸影响的程度。图3 所示是一个尺寸为6 0 2 0 1 的直梁，在其端部承受外 平面剪切载荷。我们用六个规则的六面体单元进行剖分，表3 给出了其尖部法 向扰度w a 和薄梁能量的计算结果。与参考值w a = 0 4 3 2 1 和= 0 2 1 5 9 相 比，e c h 8 、e c h 8 7 和c h h b ( o 0 3 ) 均能给出很好的结果；c h h s ( o 9 7 5 ) 虽然 也能给出很好的结果，但其参数o l 需要进行仔细的选取，有所不便。 图3 m a c n e a l 细长梁试验 单元 h 8h l lc h h p t l 8 p $ 8 1 8 卢 c h h 8c h h be c h 8e c h 咎 ( 0 - 1 )( 0 9 7 5 )( 0 0 3 ) w a 0 0 104 20 4 20 4 20 4 2o 4 30 4 30 4 3 0 4 2 00 l0 2 10 2 10 2 10 2 10 2 202 20 2 2 0 2 1 1 7 四川大学硕士学位论文 4 4 泊松比试验 本试验用于检测方法在接近不可压缩极限情况下的数值性能吼如图4 ，我 们分别用五个立方体单元( 图a ) 和五个不规则单元( 图b ) 来计算。我们给出 了除s s l 8 j ，和c h h s ( o o 夕 其它所有单元的计算结果：a 点的最大位移w a 、能 量和b 点正应力o b 。其中表4 1 到4 3 为立方体单元的计算结果，表5 1 n 5 3 为 不规则单元的计算结果。从数据结果可以看出，e c 日8 和e c 日8 在接近不可压 缩时也能给出具有相当精度的结果，此时c h h b ( o 0 3 ) 应力结果发散是因为它 采用的常应力模式过于简单而不能真实反映材料的不可压缩特性。 似 锄 图4 体积自锁测试 蛳 1 _ ，舯 t h 8c h hh l l p t l 8 卢c h h b e c h 8e c h 8 e x a c t ( 0 - 1 )( o 0 3 ) o 32 2 2 93 3 8 43 3 8 13 4 5 43 4 8 33 3 8 7 3 3 8 4 0 42 0 4 4 3 3 8 73 3 8 13 4 5 83 4 8 33 3 9 33 3 8 93 4 2 0 4 9 1 6 9 73 3 5 33 3 2 53 4 6 13 4 2 43 3 9 9 3 3 9 2 0 4 9 9 9 91 3 5 13 2 013 2 0 03 4 6 33 2 9 63 4 0 0 3 3 9 3 1 8 鬟蛳， 四川大学硕士学位论文 h 8c hhh 1 1p r l 8 8c h h be c h 8e c h 8 | e x a c t ( 0 - 1 )( o0 3 ) 032 2 33 3 83 3 83 4 5 3 4 8 3 3 933 8 0 42 0 43 3 93 3 83 4 53 4 83 ，3 9 3 3 9 3 4 2 0 4 91 6 9 3 3 53 3 23 4 63 4 23 4 0 3 3 9 0 4 9 9 9 91 3 53 2 03 2 03 4 63 3 034 0 3 3 9 h 8c h hh l l p t l 8 卢c h h be c h 8e c h 8 e x a c t ( 0 - 1 )( o0 3 ) 0 31 0 11 3 5一1 8 21 ，3 51 8 81 3 51 3 5 0 41 ，0 71 3 52 9 31 ，3 53 0 21 3 51 3 51 3 5 0 4 91 1 41 j 3 5- 2 5 0 61 3 52 5 81 3 51 3 5 0 4 9 9 9 91 2 21 3 52 7 4 9 21 3 52 8 31 3 51 j 3 5 h 8c h hh l l p t l 8 p c h h be c h 8e g h8 ， e x a c t ( 0 - 1 )( o 0 3 ) 0 31 8 9 63 0 1 93 0 1 32 8 4 23 0 9 03 0 2 7 3 0 2 4 0 41 7 8 52 9 9 72 9 8 72 8 4 53 0 6 13 0 1o3 0 053 4 2 o 4 91 5 7 42 9 3 92 9 1 82 8 3 92 9 8 72 9 8 62 9 7 8 04 9 9 9 91 5 0 52 8 9 42 8 8 52 8 3 12 9 5 32 9 8 22 9 7 4 vh 8c h hh l lp t l 8 zc h h be c h 8e c h 8 7e x a c t ( o 1 )( 0 0 3 ) 0 31 8 93 0 53 0 4 2 8 73 1 23 0 5 3 0 5 0 41 7 83 0 23 0 1