（运筹学与控制论专业论文）pholder连续方程组的不精确牛顿方法及其收敛性.pdf

中文摘要 摘要 本文分析了当一阶f r 6 c h e t 可微算子是p h s l d e r 连续时的不精确牛顿法的收敛性，同时 证明通过不精确牛顿法求解方程f ( z ) = 0 的解z + 的存在区域和解的唯一性。而且，考虑了 不精确牛顿迭代在h s l d e 涟续时的r 收敛速率。 不精确牛顿法是最优化中常用的方法之一，d e m b o ，e i s e n s t a t 与s t e i h a n g 在【2 】中首次 提出了不精确牛顿方法。作者在【2 】中研究了不精确牛顿法的局部收敛性态。在假设非线 性算子的连续二阶f r 6 c h e t 导数满足变形l 阶y 条件的前提下，得到了使该方法收敛和超线性 收敛性的结果以及相应的误差估计。不精确牛顿方法除了以较弱的条件代替已有的精确 牛顿方法较强条件外，还得到了收敛域半径的估计。 h e r n a n d e z 在【6 】中通过构造两个辅助函数给出了当一阶f r 6 c h e t 可微算子是h s l d e 涟续 时的精确牛顿法的半局部收敛性。作者运用两个辅助函数建立了与精确牛顿方法有关联 的迭代序列，通过证明这个迭代序列是一个c a u c h y 序列来证明精确牛顿法的收敛性。同 时证明了精确牛顿法求解方程f ( z ) = 0 所得解z 的存在区域和解的唯一性。而且，考虑 了精确牛顿法在h 6 1 d e r 连续时的冗收敛性。本文将借鉴其思想，通过引进两个辅助函数证 i j f j p - h 5 1 d e 琏续方程组的不精确牛顿方法，仿射不精确拟牛顿方法和它们的收敛性。 关键词：不精确牛顿法；仿射不精确拟牛顿法；递推关系式；r 收敛；半局部收敛性。 第1 页 英文摘要 a b s tr a c t 舱a n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei n e x a c tn e w t o nm e t h o dw h e nt h ef i r s tf r o c h e td e r i v a t i v e o fo p e r a t o ri n v o l v e di sh o l d e rc o n t i n u o u s w eg i v es o m er e s u l t so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h es o l u t i o nf o ran o n l i n e a re q u a t i o n b a s e do nt h i ss t u d y , w ec a l c u l a t ea l s ot h er r a t eo f c o n v e r g e n c e i n e x a c tn e w t o nm e t h o di so n eo ft h em o s tp o p u l a rm e t h o df o rs o l v i n go p t i m i z a t i o n p r o b l e m s d e m b o ，e i s e n s t a ta n ds t e i h a n g 【2 】f o r m e dt h ei n e x a c tn e w t o nm e t h o df o rt h ef i r s t t i m e t h e yp r o v e dt h el o c a lc o n v e r g e n c eo fi n e x a c tn e w t o nm e t h o di n 【2 】u n d e rt h es u p p o s i t i o n t h a tc o n t i n u o u ss e c o n df r o c h e td e r i v a t i v ef m s a t i s f i e dam o d i f i e df i r s to r d e r 譬c o n d i t i o n ， i t sc o n v e r g e n c ea n dt h er a t eo fc o n v e r g e n c eo ft h ei n e x a c tn e w t o nm e t h o di ss u p e r l i n e a rw e r e s t u d i e da n de r r o re s t i m a t e sw e r eo b t a i n e d i n s t e a do fas t r o n g e rc o n d i t i o no ft h en e w t o nm e t h o d ， aw e a k e rc o n d i t i o nw a su s e dt h e r e e r r o re s t i m a t e so fr a d i u so fc o n v e r g e n c ew e r eg i v e n i n 【6 1 ，h e m a n d e za n a l y z e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei n e x a c tn e w t o nm e t h o dw h e nt h ef i r s t f r o c h e td e r i v a t i v eo fo p e r a t o ri n v o l v e di sh o l d e rc o n t i n u o u s t h ea u t h o rd e f i n e do n es c a l a r s e q u e n c eo fb yt w or e a lf u n c t i o n s ，w h i c hw a sr e l a t e dt ot h en e w t o nm e t h o d h ea n a l y z e dt h e s c a l a rs e q u e n c ew a sa c a u c h ys e q u e n c es ot h a tt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c eo ft h en e w t o n m e t h o dw a sg u a r a n t e e d h eg i v e ns o m er e s u l t so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n f o ran o n l i n e a re q u a t i o ns y s t e m b a s e do nt h i ss t u d y f u r t h e r m o r eh ec a l c u l a t e da l s ot h er r a t e o fc o n v e r g e n c e f o l l o w i n gt h i si d e a ，t w or e a lf u n c t i o n sa r ei n t r o d u c e di no r d e rt op r o v et h el o c a l c o n v e r g e n c eo fi n e x a c tn e w t o nm e t h o d ，i n e x a c ta f f i n es c a l i n gq u a s i n e w t o nm e t h o du n d e rt h e h f i l d e rc o n d i t i o n k e yw o r d s ：t h ei n e x a c tn e w t o nm e t h o d ；t h ea f f i n ei n e x a c tq u a s i n e w t o nm e t h o d ；r e c u r r e n c e r e l a t i o n ；r r a t eo fc o n v e r g e n c e ；s e m i l o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e m 第1 i 页 主要符号对照表 主要符号对照表 x 。yb a n a c h 空间 莎：qc x y 非线性一阶f r d c h e t 可微算子 f ，( z )j a c o b i a n 矩阵 i | 0 e u c l i d 范数 叼n ) 控制序列 ) 残差序列 x k z 。 q f ( x ) 夕( z ) c o n d ( r ) b ( x ) 非线性方程组的迭代点 非线性方程组的精确解 可行集 实函数 实函数 r 的条件数 j a c o b i a n 矩阵f 7 ( z ) 的近似矩阵 第1 i i 页 致谢及声明 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他 人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的 启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢 二也 思 作者签名：别、懈 日期：z o l o 、岁 第3 6 页 致谢及声明 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借 阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩 印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 作者签名：剔、懈导师签名： 第3 7 页 日期：7 _ 0 1 0 箩 第一章最优化理论基础 第一章最优化理论基础 1 1 最优化方法的迭代格式 求解最优化问题的基本思想为：给定一个初始点z o 舻，按照某一迭代规则产生一 个迭代序列 z 七) ，使得当 z 知 是有限点列时，其最后一个点是k - k - t 点；当 z 七) 是无限点 列时，它的任意一个聚点是k k t 点。 最优化问题求解的基本迭代格式如下： 算法1 2 1 ( 最优化方法的基本迭代格式) 1 给定初始点z o ，k 卜0 2 按某一规则确定搜索方向m 3 确定步长口知使目标函数有某种意义下的下降 4 取下一个迭代点。七+ 1 = x k + o l k p k 5 判别z 七+ l 是否满足终止准则。若满足，则停止迭代，x k + 1 是近似局部最优解；否 则，k 卜k + 1 转第2 步 在以上迭代格式中，关键的两步是构造搜索方向p 七和确定步长q 七。不同的构造方 向m 和确定步长o l 七构成了不同的算法。一个好的算法应具备的典型特征是：迭代点x k 能 稳定地接近局部极小值点z 。的邻域，然后迅速收敛于z 。因此，评价算法优劣的标准之 一是由它产生的迭代序列 z 七】的收敛速度。设序列 z 七】在某种范数意义下收敛于2 7 , 。，即 1 i ml i z 七一z 。i l = 0 ( 1 1 1 ) 詹- - - o o 若存在实数口 0 及一个迭代次数k 无关的常数口 0 ，使得 恕搿钆 ( 1 1 2 ) 则称算法产生的迭代序列 z 七) 具有q q 阶收敛速率。特别地， ( 1 ) 当= 1 ，1 q 0 时，迭代点列 z 后 叫做具有q 一线性收敛速率； ( 2 ) 当l o 时，迭代点列 x k p q 做具有o - 二阶收敛速率。 另一种收敛速度是r 一收敛速度( 根收敛速度) ，即设 第1 页 = p p果果 由，由州 知，矿 z z 一 一 z z p p u u 熙熙，ilj(1【 = 昂 1 2 不精确牛顿法的收敛定理 如果r 1 = 0 ，则称z 七是r 超线性收敛于x 。；如果0 r 1 1 ，则称x k 是兄一线性收敛 于z 。；如果r 1 = 1 ，则称钆是冗次线性收敛于z 。 类似地，如果r 2 = 0 ，则称x 七是尼超平方收敛于z 。；如果0 r 2 1 ，则称x k 是r 一平 方收敛于z 。；如果r l 1 ，则称z 七是尼次平方收敛于z 。 1 2 不精确牛顿法的收敛定理 定理1 2 1 ( 不精确牛顿法的收敛定理) 设f ：r n 一舻在z + 的邻域中连续可微。设 讯) 是 一个实数序列满足0 讯7 7 m 瓣 t 0 ，如果l i f o 一茁+ i l e ， 则由不精确牛顿法产生的迭代序列 z 知 收敛到矿，并且收敛是线性的，既满足i i z 七+ 1 一 z l i 。i i z 知一x + i i 。，其中i l u l l + = i i f 7 ( z + ) y l i 。 1 3 非线性方程组背景介绍 7 z 个变量几个方程的非线性方程组的一般形式为 ff 1 ( x l ，x 2 ，z 7 1 ) = 0 1 【厶( x l ，x 2 ，z n ) = 0 其中五( = 1 ，2 ，佗) 是定义在n 维e u c l i d 空间泥”中开域d 上的实值函数。若用向量记号， 令 f c z ，= ( 二l 三：)z = ( 三) 。= ( ；) f ( x ) = 0( 1 3 1 ) 这里f 表示定义在咿中开域d 上的非线性向量函数，记为 f ：dc 舻_ 渺 若存在z + d ，使f ( x + ) = 0 ，则z 。成为方程组( 1 3 1 ) 的解。非线性方程组的迭代解 法就是研究寻找方程组( 1 3 1 ) 的解z 。的方法及有关理论。 非线性方程组问题早在七十年代便在理论上和数值解法上有了大量的研究。但是， 由于非线性方程组求解问题无论在理论上还是解法上都不如线性方程组成熟和有效。因 此，对非线性方程组解的存在性及寻找有效的数值方法均存在很多问题，需要进一步解 决与研究。 一般地，解非线性方程组的迭代法有牛顿法、牛顿型迭代、割线法、拟牛顿 法、l e v e n b e r g m a r q u a r d t 方法等， 第2 页 第二章p - h s l d e r 连续方程组的不精确牛顿法 第二章p - h 6 1 d e r 连续方程组的不精确牛顿 法 2 1 引言 设x ，y 是b a n a c h 空间，f ：q x y 是在开区域q 上的非线性一阶f r 6 c h e t 可微算 子。假设存在x 0 q ，使得f 7 ( z o ) - 1 莎( x ) ，其中莎( x ) 是从y 映射到x 的有界线性 算子所成的集合。 不精确牛顿法求解方程 f ( z ) = 0( 1 1 ) 的迭代格式为 撕= z n f ，( 训_ 1 ( f ( 一吼揣 r n ，n 。 ( 1 2 ) 其中对一切几0 ，存在f 7 ( z 。) 1 庐( y ，x ) 。这里 是一个控制序列，r n 0 ，1 ) 。 是一个残差序列，当r n = o 时，即为精确牛顿法。 本章假设是( k ，p ) 一h s l d e r 连续，即 i i f 7 ( z ) 一f 7 ( 可) i l ，c l i z 一秒l i p ，v z ，y q ，k 0 ，p ( 0 ，1 】 ( 1 3 ) 本章证明在条件( 1 3 ) 之下，不精确牛顿法的半局部收敛性。同时证明方程f ( x ) = 0 的解z + 的存在区域和解的唯一性。而且考虑了不精确牛顿迭代在条件( 1 3 ) 之下的r 阶收 敛性。 文献【6 】给出了当一阶f r d c h e t 可微算子是h 6 l d e r ) 窿续时的精确牛顿法的半局部收敛 性，同时证明了精确牛顿法求解方程f ( z ) = 0 所得解z + 的存在区域和解的唯一性。而且， 考虑了精确牛顿法在h n d e r 连续时的r 阶收敛性。 本章内容概述如下：在第二节，通过两个辅助函数f ( x ) ，夕( o ) 来建立递推关系 式 n n ) ；在第三节，分析数列 n n ，并证明函数f ( x ) ，g ( z ) 及数列 口。) 所具有的性质和相 互之间的关系；在第四节，证明不精确牛顿法的半局部收敛性，并且证明不精确牛顿 法的解z 。的存在区域和解的唯一性。而且，考虑了不精确牛顿法在一阶f r 6 c h e t 可微算子 是h o l d e r 连续时的刷玢收敛性。 全文中我们定义 b ( z ，r ) = 秒x ；i i y z i i r ， b ( z ，7 ) = y x ；i i 矽一z 0 0 ，同时定义数列 。州2 。n f ( a n ) l + p 囟( 口n ) + 去】p ( 1 + + - ) ；j $ c d 尸f ( x ) = 1 ，9 ( z ) = 南， 0 ，1 ) ，且随n 递减，耳1 j t i n r n 一1 。 下面证明数列( 1 2 ) ，( 2 1 ) 满足下面的递推关系式： ( 1 ) 归i i = i i f 7 ( z ) _ 1 l | f ( a o ) l l f o l i ； ( 2 ) i i z 2 一z 1 i | f ( a o ) g ( a o ) + 0 0 。( 1 + , 7 1 ) 1 1 x l z o i i 。 证明： ( 1 ) 假设z 1 q ，a o l 由于z 1 q ，贝u 1 1 1 一f o f 7 ( z 1 ) i i l i r o l | i i f ( x o ) 一f ( z 1 ) l i f l k l l x l x o l l p 圪p a p = a o 因此，由b a n a c h 三j i 理得，r 1 有定义，且 r i i 两 韭盟 一1 一a o = f ( a o ) l l r o l | ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ) i 扫t a y l o r 展开式，及( 1 2 ) 有 ，1 f ( x a ) = f ( x o ) + f 7 陋o + ( z 1 一x o ) ( x l x o ) d t ，o ，1 = 一f ( x o ) ( x a x o ) + r o + f 7 k o + t ( z 1 一x o ) ( x i x o ) d t t ，o ，1 = 1 【，陋o + t ( x l z o ) 】一( z o ) ) ( z 1 一x o ) d t + r o ( 2 4 ) 随后两边取范数 ，j i i f ( x 1 ) 1 1 l i 【f ( z o + t ( z l z o ) ) 一f ( z o ) 】( z 一x o ) l ld t + l i f o j 0 第4 页 第二章p - h 6 1 d e r 连续方程组的不精确牛顿法 又由于 故 因此 , l l t ( x l z o ) i i p i i z l 一x o l ld t + l i f o ，1 k l l x l z o l l l 却t pd t + i i 伽i i = 南o x i - x o l l l + p + ( 2 5 ) x l x o l i = l i f 7 ( z o ) _ 1 ( f ( x o ) 一r 0 ) 0 j i f 7 ( z o ) 一1 i i i i f ( x o ) i i i i f ( z o ) 一1 i i i i r o l l i i f 7 ( z o ) i i i i f ( x o ) i i 一7 7 0 l l f 7 ( z o ) _ 1 i i i i f ( x o ) l l ( 2 6 ) 耿i i i i 聊。) 1 1 峄掣 ( 2 7 ) x 2 一z 1 = l i f ( z 1 ) 一1 【j ( z 1 ) 一7 1j i l i i f 7 ( z 。) i i ( 1 l g ( x 1 ) i i + lr 1 i i ) f ( a o ) l l f ( x o ) 一1 1 1 ( 1 + m ) l l f ( x 1 ) l i m 。) | i f ，( ) 一1 | i ( 1 + t h ) 而, 。o l p 一z 。i i + i l r o i | 】 = m 。) ( 1 + 叼1 ) 【篙i i f 协。) 。1 i i i i z l 一z 。i i + l i e 协。) 。】 洲( 1 协) 篙| i x i - x o l l + l o l l f ，( 训。1 1 1 1 m0 ) i | 】 f ( a o ) ( 1 4 - 叩) 【而a o0 x x - x o l l + 而7 7 0 慨一圳 = m 。) ( 1 + 7 7 ) 囟( 知) 1 1 z l z 。i i + 志i i z l 一圳 = ，( 如) 【夕( n 。) + 禹】( 1 + 7 7 1 ) 1 1 2 1 一黝i i ( 2 8 ) 2 3 分析数列 o 礼) 下面先证明数列( 2 1 ) 的收敛性。由它来证明数列( 1 2 ) 的收敛性。为此只要说 明( 1 2 ) 是一个c a u c h y 数列，而且z n q ，a 竹一1 1 。 ( b ) 9 ( z ) 是增函数。 ( c ) 对于0 ( 0 ，1 ) ，我们有若z ( 0 ，1 ) ，贝l j f ( o x ) ，( z ) ，g ( o z ) = o g ( z ) 。 第5 页 2 3 分析数列 a n ) 证明 ( a ) ，( b ) 显然成立。 ( c ) f ( o x ) 一f ( x ) = 丽1 一亡_ _ g ( o x ) = 南= o g ( x ) 。 = 矿( p o 。- ) 1 ( ) 1 x 习 0 ，故，( 如) 0 ，故“( z ) 单调递增 由引理3 2 0 - 1 知，由于t i n 0 ，1 ) ，且随r t 递减，故 兰 尚 志” 下面给出数列 n n ) 的一些性质。在此首先取一个辅助函数 ( 3 1 ) = ( 1 + p ) p ( 1 一z ) 1 + p k + 而1 0 ( 1 + p ) m 十吼p ( 0 i l 】 ( 3 2 ) 这个函数在区间( o ， ) 上只存在一个零点丁。 证明 7 ( z ) = 一( 1 + p ) 1 + p ( 1 一z ) p v x + 壬( 1 + p ) 】p 一1 ( 1 + 叼1 ) 0 ( 三) = 0 弘 弘 双 双 从而 ( z ) 有唯一零点7 - ，7 - ( o ，；) 。 1 + p ) p 1 + p ) p ( 1 + p ) p 一( 1 + ? 7 1 ) 】 x2 一( 1 + 7 7 1 ) 】 引理3 3 ；设，( z ) 和夕( z ) 是两个实函数，如果a o ( 0 ，7 - ) ，则： ( a ) ，( o o ) 1 + p 【夕( 知) + 1 一n o 加】p ( 1 + r h ) 1 ； ( b ) 数列 】严格递减； ( c ) o ( 1 - 知) 1 + p 一( 币a o + 而r o ) p ( 1 - i - 1 1 ) o f ( a o ) 一1 + p 一b ( 。) + 而7 7 0 】p ( 1 + 7 7 1 ) o f ( a o ) 1 + p b ( 。) + 而r o 】p ( 1 + 叼1 ) 1 ( 3 5 ) ( b ) 数学归纳法 由于a l = a o f ( a o ) l + p g ( a o ) + 芒】p ( 1 + ? 7 1 ) a o 若假设o ， o ，一1 ，对一切j = 1 ，2 ，n 成立。 则o n + 1 = a n f ( a n ) l + p b ( n 。) + 且1 - - r n1 j p ( 1 + n + 1 ) a n f ( a o ) l + p g ( a o ) + 尚】p ( 1 + r 1 ) a n 综上所述，数y u a n 】严格递减。 ( c ) 对于一切n 0 ，a 。 a o 2 7 7 1 丢m 。) 1 + p b ( 。o ) + 1 一r o 伽，l p 百1 - 7 7 1 2 1 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 设辅助函数 日( z ) = ( 1 + p ) p ( 卜z ) 1 + p 一弘1 + 焉( 1 + p ) 】p - 叼- 。_ 0 1 2 ，z ( 。，1 ) ，p ( 。，1 】( 3 9 ) 川垆_ ( 1 刊p “( 1 叫p 一+ 志( 1 刊】p - 1 宰 壶c 志，p 警 = 丢而7 7 0 严1 - - 伽v o ( 1 + 铂) = 丢而7 o ) p 1 ( 1 + 伽)5 互( 西h 伽 i 1 2 ( 1 + 7 7 。) 互 十7 7 0 j 1 ( 3 1 2 ) 故 即) - ( 1 刊p _ ( 1 刊p 壶( 志) p 宰 。 ( 3 1 3 ) 由于日( z ) 单调递减，则 即 从而 h ( a o ) 0 ( 3 i 1 4 ) ( 1 刊p ( 1 刊m 一弘1 。+ 志( 1 刊】p 宰 。 ( 1 - a o p 一去【南+ 志1 p 宰 1 ( 3 1 6 ) 引理3 5 ；在前面引理的条件下，如果。( o ，丁) ，其中r = a d 。l ，则 ( a ) 凸n r ( 1 + p ) n - - i 。n 一1 和。n r 世1 p o ，对于一切n2 2 韭烈 ( b ) m n ) 【9 ( 。竹) + 靠1 ( 1 + + 1 ) 7 学m 。) 囟( 。) + 焉】( 1 + n l 、) 斋，佗1( b ) 厂( o n ) 【9 ( o 竹) + 靠1 ( 1 + + 1 ) 7 。- 一，( d o ) 囟( o o ) + f j ( 1 + 而n 1 证明( a ) 数学归纳法 。2 = 凸，m t ) 1 + p 脚，) + 禹】p ( 1 + 啦) = r 。，( r 。) 1 却b ( r 知) + 1 - - l 7 7 1 1 j p ( 1 十啦) = r a o f ( r n 0 ) 1 却p 9 ( 。) + 禹1 p ( 1 + 啦) f ( a o ) l + p r p 夕( 。) 十矗靠】p ( 1 怕) 第8 页 r 。f ( a o ) 却r p g ( 0 0 ) + 丢】p ( 1 十7 7 ) = r l + p a l ：r 2 却知 ( 3 1 7 ) 故 假设o t l 一1 7 ( 1 + p ) 一2 一2 ，则 n n = 一。m n 一，) 1 + p 囟( ，) + 芒去】p ( 1 + 叼 ) r ( 1 + p ) n - 2 a n _ 2 f ( r ( 1 + p ) n - - 2 凸n 一2 , ) 1 _ 、印【9 ( r ( 1 + p ) n - 2 a n - 2 ) + 二叼n - 1 一1 p ( 1 + ) 一+ p ) n 。f ( a n - 2 ) - 却一+ p ) 一2b ( 一。) + 扣l + 一) ：7 ( 1 计一l ( 3 1 8 ) a 竹 r ( 1 + 力”一1 r ( 1 + p ) n ，( 1 + p ) n a n 一2 i ! 已! ! = ! 7 p a o ( 3 1 9 ) m 舭。) 十禹】( 7 州m 学。黼学口。) + 志1 ( t ) r 世皆，( a o ) 龇a o ) + 去1 ( 1 1 - i - 叩，) r 9 j ij i g j 十ij f l ， ：r 学雄竺型型塑生型) ； ：r 学( 业删揣产声 r 学( 业攀糕声 2r ( 瓣f l i ) 9“，i u n ， 一9 ( 而莎9 纠9 ( 而) 9 ：学，( 6 ) ；(320)ra o = jlj 7 r 。 第9 页 2 4 半局部收敛性 2 4 半局部收敛性 证明定理之前，首先给出一个引理。 引理4 1 ；如下关系式对n22 的不精确牛顿迭代( 1 2 ) 成立。 ( 1 ) r 俨l 存在，且| l r 一1 l l = i f 7 ( z n 一1 ) - 1 i lsf ( a n 一2 ) l l r n 一2 1 1 ( 2 ) j l x n x n - 1 1 l f ( a n 一2 ) b ( o n 一2 ) + 鼍】( 1 + 一, ) l l x n 一，一x n 一2 1 1 。 证明 l 一1 显然存在。 数学归纳法证明( 1 ) ，( 2 ) 。 当n = 2 时 | l r l | | f ( a o ) l l r o l i i i x 2 - x i l l f ( a o ) 【9 ( 咖) + 志】( 1 协) 慨一z 。 即( 2 3 ) ，( 2 8 ) ，前文已证明两式成立。 假设当n = i 时，( 1 ) ，( 2 ) 也成立，即 i n 一1 | | ，( 吼一2 ) l i t , 一2 i i z t z t 一，| i f ( a i - 2 ) 9 ( n t z ) + t 兰老】( 1 + 仇一t ) j l z t 一，- - x i - 2 ! i l u 当礼= z + 1 啊 i i ，一r t l f 7 ( 筑) i i i i r 川i f 7 ( 耽一1 ) 一f 7 ( 兢) l i ，( o i 一2 ) l l r , 一2 | i 托l i z i z t 一1 1 1 p f ( a i - 2 ) f ( n t 一3 ) | | r t 一3 | i 仡，( 。t z ) p 【9 ( n t z ) + i _ = 兰写惹】p ( 1 十仇一- ) p i i x , - 1 - z t _ 2 i i p f ( a i - 2 ) f ( 啦一3 ) ，( n 。) l l r 。i | k ，( n t 一。) p b ( n t z ) + 丁兰专三】p ( 1 + 吼一- ) p f ( a i 一3 ) p 囟( 。t 一3 ) + r 兰气三】p ( 1 + 仇一z ) p f ( a o ) p 始。) + = v o 伽i ，p ( 1 + 酬i z l 一础 k p a p f ( n 。) 1 却b ( 。) + 而? 7 0 】p ( 1 + ? 7 1 ) p m l ) 1 + p ) + 1 _ - ：“- g p ( 1 + 秽 f ( a i - 2 ) 1 + p b ( 。t 一。) + i 兰亏三】p ( 1 + r l i 一，) p = n 。m 。) 1 + p b ( n 。) + 而7 o 】p ( 1 怕) p m ) 1 + p ) + 啬】p ( 1 + 耽) p f ( a i - 2 ) 1 + p 【9 ( 。t 一2 ) 十i 兰亏三】p ( 1 + r h 一) p = n - f ( a 1 ) 1 + p b ( 口，) + 而1 1 】p ( 1 + 啦) p 笛1 n 面 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 第二章p - h 6 1 d e r 连续方程组的不精确牛顿法 m 剐却 夕( ) + 芒惫】p ( 1 + ) p = a i - 1 1 因此，由b a n a c h 引理得，r 有定义，且 刊i 研 f ( a i 一1 ) i r i 一10 ( 4 5 ) ( 4 6 ) f h t a y l o r 展开式，及( 1 2 ) 有 ，1 1 f ( 兢) = f ( 飘一1 ) + f 7 p t 一1 + ( 鼢一甄一1 ) 】( 轨一戤一1 ) 砒 ，0 ，1 1 = - f ( x i 一1 ) ( 以一x i 1 ) + n 一1 + f 7 p t 一1 + ( 兢一x i 一1 ) 】( 兢一z t 1 ) 出 ，0 1 = f 7 ( 既一1 + ( 砚一鼢一1 ) ) 一f ( 既一1 ) 】( 翰一兢一1 ) d + n l ( 4 7 ) 随后两边取范数 ，1 | f ( x d l = l i 【f 7 ( 兢一i + t ( 一x i 一1 ) ) 一f 7 ( 祝一1 ) 】( 鼢一瓤一1 ) 1 id t + i t , 一1 1 i j 0 ，1 k l l t ( x i x i 一1 ) 1 1 p i i 戤一x i 一1 l id t + i i r , 一1 1 l j 0 1 圪i i 祝一兢一1 1 1 1 却t p d t + i i n 一1 i i j 0 = ，1 + kp l x , - x , - x l l l 却+ 帆一1 0 ( 4 8 ) 又由于 故 z i x i 一11 i = i i f 7 ( z t 一1 ) 一1 【f ( z i 1 ) 一r i 一1 1 1 l i i f ( x t 1 ) i i i i f ( x i 一- ) i i l | f 7 ( 兢一，) 一i i l l r , 一，0 l l ( 甄一1 ) 一1 i i i i f ( x 一1 ) l i 一仇一l i i f 7 ( 一1 ) 一1 i i i i f ( = , 一1 ) i l ( 4 9 ) 因此， 0 z t + 1 一z i 0 = f | ，( 戤) - 1 旷( 钆) 一r i 】 盹_ 1 ) 。i i i i 聊) 1 1 剖 ( 4 1 0 ) 第1 1 页 2 4 半局部收敛性 l i f ( 鼢) - 1 i l ( 1 i f ( x + ) i l + l i n l l ) f ( a i 一1 ) i | ，( 戤一1 ) _ 1 i i ( i + 吼) l l f ( x + ) l l f ( a i - 1 ) f f ( 翰一1 ) _ 1 i ( 1 + 吼) r 乞| | 以一觑一1 | | 1 + p + l i n 一1 f | j m ) ( 1 + 仇) 赤i i r 川恢一犯l 胪+ i | f ，( 缸1 ) i i i i f ( x ) f ( a i - 1 ) ( 1 + 仇) 南忆i i i i x t - x , _ l i l l + p + 尚l l x , - x , - , f ( a i - 1 ) ( 1 + 吼) 南雌圳l x , - x , - , l l p + 尚】| | x , - x , - l l l f ( a i - 1 ) ( 1 + 仇) 南m h ) l i t 驯m 伽) p 囟( 吣2 ) + 亡老】p ( 1 + r l i - ：) p i i z t 一- 一z t 一。i | p + i 兰弓三j ) 1 1 z t - x , - x l l s f ( a i - 1 ) ( 1 + 仇) 1 - 毛p f ( 。t 一2 ) ，( n 一3 ) ，( 。) l l r o l l f ( a i - 2 ) p 【9 ( 口t 一2 ) + 丁兰亏三】p ( 1 + 吼一，) p ，( 啦一3 ) p 9 ( 啦一3 ) + r 兰与三】p ( 1 琅一z ) p f ( a o ) p b ( 。) + 击】p ( 14 - 7 7 t ) i i 一种+ 亡老 l i x , - x , - 1 1 1 = f ( a i - 1 ) ( 1 + r h ) 筹m o ) p ) + 焉】p ( 1 + 7 i ) p 一 f ( a i - 3 ) p 【夕( n 瑚) + 芒惫】p ( 1 + r i 一2 ) p f ( a i - 2 ) p 囟( n t z ) 十r 兰与三】p ( 1 + 吼一，) p + r 兰专三 i | x i - - x i - 1 i l 】 = f ( a i - 1 ) ( i + r h ) 篇m o ) l + p ) + 而r o 】p ( 1 - 1 - 刀1 ) f ( a i - 3 ) 1 + p b ( a t 一3 ) + i 兰亏三】p ( 1 + r l i z ) f ( a + - 2 ) 1 却一z ) + # 老】p ( 1 + ) + 芒老咱一i i = 讹一，) ( 1 + 仇) 币a om 。) 1 + p b ( 知) + 而? 7 0 】p ( 1 + 砂一 f ( a , - 3 ) 1 + p 9 ( 。t 一3 ) + i 兰亏三】p ( 1 + r i 一2 ) f ( a i - 2 ) 1 + p 夕( 。t 一2 ) + i 兰亏三】p ( 1 + 仇一，) + i ： 亏 ： l l x , - - x i _ 1 | | 】 = f ( a i - 1 ) ( 1 + 吼) 币a l m 洲却一3 ) + = 叩i - 吼3 3 p ( 1 + 吼一2 ) ，( 。t 一2 ) 1 + p 9 ( 。t 一2 ) + 丁兰与三】p ( 1 + 仇一t ) + r 兰专三) i i x , - x , - , i i = f ( a i - 1 ) ( 1 - k 仇，1 。 1 a + i - 1 p + 丁兰三】l | x i - - x i _ 1 1 1 = ，( 。t 一，) 【9 ( 啦一) + r 兰专三】( 1 + 仇) | j 戤一戤一，i i 第1 2 页 ( 4 1 1 ) 综上述，( 1 ) ，( 2 ) 对于任意n 2 都成立。 下面证明一阶导数是h 6 1 d e 琏续的不精确牛顿法的半局部收敛性。 定理4 1 ；设x 和y 是两个b a n a c h 空间，令f ：qc x _ y 是在开凸域q 上的一阶可导 算子。假设对于锄q ，使得f o = f 7 ( z o ) 一1 罗( x ) 成立，且条件( c 1 ) 足。若a o = 代p a p ( 0 ，7 - ) ，p ( 0 ，1 】，雷( z o ，r ) q ( c 3 ) 满 ，其中冗2 瓦丽( 丽1 - a o 丽) ( 1 - - i 丽- p ) o t 数列( 1 2 ) 以x o 为初始点收敛到方程f ( x ) = 0 的解z ，而且，z + 与迭代点z 。属于b ( x o ，r ) ，z + 是b ( x o ，寻) nq 中的唯一解。而且若a o ( 0 ，7 ) ，则数列( 1 2 ) 至少l + p 次刷喻收敛。而 。占 且 证明 首先证明x n q z 一z 。| i 【 z n x o l i i l z n z n 一1 r 学n 1 一r 学 】 + l l z n 一1 一z n 一2 | f + + i i z l 一z o n - 2i 【1 + i = 0j = om 。) ) + 扣协) r 学咱 n - 2i = 1 + el lr 孚删z 。一铷 i = 0j = o n - 2 = 1 + i = 0 因此 i z l 一z o _ r 1 = ( 1 一n o ) ；1 1 r p + 研，则 【! 出娑! = ! r p 。 r ；r 事 ( 1 - t - p ) 一l 】 7 ；7 害( 1 + p 一1 ) 三f ! 2 2 1 r p r p n 一2 z n 一黝i i 【1 + r ；r 业产i l l z 。- - x 0 i = 0 【l + r ；_ l _ ( 而r l + t 掣p a )