（计算数学专业论文）有限全变换半群tn的d类的极大子半群.pdf

学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：巷诤a 8 年年月砣日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：李勿翰 导师签名： 2 删8 年午月2 ，日 摘要 本文主要讨论了当礼3 时，全变换半群死的格林类( 冗类、c 一类、 口类) 的极大子半群结构，并且得到亿类和一类的极大子半群也是d 一类 的极大子半群进而确定了死的刃类研( 2 r n 一1 ) 的极大子半群的结 构，并讨论了极大子半群的同构问题主要结果如下： 在第零章，我们介绍了背景和一些基本知识 在第一章，我们讨论了有限全变换半群瓦中船类和c 类的极大子半 群结构，并且得到亿类和类的极大子半群也是口一类的极大子半群得 出了以下主要结论： 定理1 1 设q 研( 2 ，h 一1 ) ，则a 的亿类的极大子半群具有 以下形式 t = u 皿， 。 e e ( j k ) 其中e ( r ) 由尺q 中所有的幂等元组成，见是e 所在的咒类 定理1 2 设q d r ( 2 r n 一1 ) ，则q 的c 一类k 的极大子半群具有 以下形式 t = u 日e ， e e ( l 口) 其中e ( k ) 由k 中所有的幂等元组成，也是e 所在的咒一类 定理1 3 研( 2 r n 一1 ) 中冗类的极大子半群也是刃类的极大子 半群 定理1 4 研( 2 r n 一1 ) 中c 一类的极大子半群也是秒一类的极大子半 群 在第二章，我们运用图论的知识概念，对死的口类研的极大子半群 进行了刻画得出以下主要结论： 定理2 1 设，e ( 研) ，若g ( j ) 为极大r e d o n 9 f e _ 完全子图，则 t = u 日e ，也是幂等元e 所在的咒一类 e j 是研的极大子半群反之，d r 的任一极大子半群必有上述结构 在第三章，我们对已的格林类的极大子半群，讨论了它们是否同构 得出以下主要结论： 定理3 。1 设s ，t 是d r ( 2 r 死一1 ) 中咒类的任意极大子半群，若 f e ( s ) i = f e ( t ) i ，则s 竺7 定理3 。2 设爱z 是皿( 2 尹n 一重) 中c 一类的任意极大子半群，若 l e ( s ) l = i e ( r ) i ，贝0s 竺t 命题3 2 设墨? 是同一织类的两个极大子半群则有 s 生? l e ( 玩ns ) l = l e ( 岛nr ) l ，l 尽( l 也ns ) l = l e ( 上芦nt ) l ，比s 多t 关键词：弘类；c 类；弘类；极大子半群 2 0 0 0m r 主题分类号2 0 m 2 0 中图法分类号0 1 5 2 7 2 a b s t r a c t f o rn 3 ，w eo b t a i n e dt h es t r u c t u r eo ft h em a x i m a ls u b s e m i g r o u p so fg 7 e e n c l a s s e s ( 7 0 c l a s s e s ，c c a l s s e sa j l d2 ) - c a l s s e s ) o no f 丘n i t ef u ut r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ， a n ds h o w nt h a tt h em a ) 【i m a ls u b s e m i g r o u p so f7 0 c l 嬲s e sa n dz c a l s s e sa r ea l s ot h e m a m m a ls u b s e m i 盯o u p so fd c a l s s 鹤w ba l s oo b t a i l l e dt h es t r u c t u r eo ft h em a 妇m a l s u b s e m i g r o u p so fd - c a l s s e s 上) r ( 2 ，n 一1 ) ，a n di s o m o r p h i s mo ft h e s em a x i m a j s u b s e m i g r o u p s t h em a i nr e 8 u l ta r e 舀v e ni nt h ef o l l o w i n g i nc h a p t e ro ，、eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h es t r u t u r eo fm a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 冗一c l a s s 铭 a n dd c a l s s e s ，a n do b t a i n e dt h e s em a 虹锄ls u b s e m i g r o u p sa r ea l s ot h em a x i m a ls u b - s e m i g r o u p so fd c a l 鸽e s t h em a i nr e s u l t sa r e 舀v e ni nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 1l e tq d r ( 2 r n 一1 ) t h e nt h ef 0 u o w i n gt y p em u s tb ea m a x i m a is u b s e m i g r o u po fr a ( t h e 冗一c l a s sc o n t a i n i n gt h ee l e m e n tq ) ： t = 【j 皿， e e ( 冗a ) e ( r q ) c o n s i s t so fa ui d e m p o t e n t so fr a 日ed e n o t e st h e 饨一c l a s sc o n t a i n i n gt h ee l e m e n t e c o i e r s e l y ，e v e um a 函m a ls u b s e m i g r o u po f 吼m u s tb et h et y p e t h e o r e m1 2l e to d ，( 2 rsn 一1 ) t h e nt h ef o u o w i n gt y p em u s tb ea m a 菇m a ls u b s e m i g r o u po f 厶l ( t h ez 二- c l a s sc o n t a i n i n gt h ee l e m e n ta ) ： t = 【j 凰， e e ( l a ) e ( 厶1 ) c o n s i s t so fa l li d e m p o t e n t so f 厶1 日ed e n o t e st h e 咒一c l a s sc o n t a i n i n gt h ee l e m e n t e c o i e r s e l y e v e r ym a ) ( i m a is u b s e m i 盯o u po f 厶馐m u s tb et h et y p e t h e o r e m1 3 m a 】( i m a ls u b s e m i g r o u p b eam a x i m a ls u b s e m i g r o u po f2 ) - c l a s s e s o f7 0 c l a s s e so nd r ( 2 r 扎一1 ) m u s t t h e o r e m1 4m a 五m a ls u b s e m i 口o u po fc c 1 2 l s s e so n 上) r ( 2 r n 一1 ) m u s t b eam a x i m a ls u b s e m i g r o u po fd c l a s s e s i nc h a p t e r2 ，w eu s et h eg r a p h t h e o r e t i cc o n c e p t s ，d i p i c tt h em a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 秒一c l a s s e sd r t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 1 l e tj r e ( 上) r ) ，i fg ( j ) i st h em a x i m a l7 e c o n 9 2 e - c o m p l e t e s u b g r a p h t h e nt h ef o l l n n gf o r mm u s tb et h em a x i m a ls u b s e m i g r o u po fd r ： t = u 皿， e j 3 c o n v e r s e l y ，e v e r ym a 撕m a ls u b s e m i g r o u po fd rm u s tb et h et y p e i nc h a p t e r3 ，、阮c o n s i d e rt h ei s o m o r p h i s mo fm a x i m a ls u b s e m i g r o u p so fg r e e n c l a s s e s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m3 1l e ts ，tb ea r b i t r a 叮m a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f7 0 c l a s s e so n 研( 2 ，死一1 ) i fi e ( s ) l = l e ( t ) i ，t h e ns 竺t t h e o r e m3 2l e tstb ea r b i t r a r ym a x i m a ls u b s e m i 铲o u p so fc c l a s s e so n 研( 2 r n 一1 ) i fl e ( s ) i = i e ( t ) i ，t h e ns 竺t p r o p o s i t i o n3 2 l e ts ，tb ea r b i t r a r ym a x i m a ls u b s e m i g r o u p si nt h es a m e 口c l a s s t h e nw eh a v e s 型t 兮l e ( 吼ns ) l = i e ( 确nt ) i ，l e ( l qns ) l = i e ( l 卢nt ) i ，v q s ，卢z k e yw o r d s ：7 0 c l a s s e s ；c c l a s s e s ；刃一c l a s s e s ；m a 撕m a ls u b s e m i g r o u p s 2 0 0 0m r s u b j e c tc l a s s i 矗c a t i o n2 0 m 2 0 c h i n e s el i b r a u r yc l a s s m c a t i o n0 1 5 2 7 4 c h a p t e r o i n t r o d u c t i o na n dp r e n m l n a r l e s f11 广、1 s e m i g r o u pt h e o r yi say o u n gs u b j e c t ，r e s e a r c h i n gf o ri tw a ss t a r t i n ga tt h ei n i t i a j o ft h e2 0 t hc e n t u r y b e c a u s eo ft h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dt h es t u d y o fn o n d y n a m i c a ls y s t e m ，s e m i g r o u pt h e o r yh a sb e e na p p l i e dw i d l yi nm a n y 丘e l d s ， s u c h 嬲c o m p u t e rs c i e n c e ，t h e o 叮o fa u t o m a t a ，c o m b i n a t o r ya l g e b r a ，t h e o r y lo fc o d i n g ， c 珂p t o g r a p h y a n ds oo n s e m i 伊o u pt h e o r yh a u sb e c a m es t r o n g e ra n d w o u l dh a v em o r e a n dm o r ea p p l i c a t i o n si nf u t u r e i nt h es e m i g r o u pt h e o r y ，t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pw 蠲a l w a y sa r e s e a r c hh o t - p o i n ti nt h el a s td e c a d 船，t h em a i nr e a s o ni se a u c hs e m i g r o u pc a nb e1 i l s e r t e dl ns o m e t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s s o ，t h e o r e t i c a l l y e v e 盯p r o b l e mo fs e m i g r o u pt h e o 巧c o u l d b et r a n 8 f o r m e d 嬲s o m ep r o b l e m sa b o u tt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pt h e o 珥 t h e 丘n i t ef u l lt r a n s f b m a t i o ns e m i g r o u ph a sa t t r a c t e dal o to fs c h o l a r sb e c a u s e i ti sc o m p u t a b l ea n dh a sm a i l yg o o dc o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e s g r e e sr e l a t i o n s ，6 r s t s t u d i e db yj - a g r e e ni n1 9 5 1 ，h a v ep l a y e daf u n d a m e n t a lr o l ei nt h ed e v e l o p m e n to f s e m i g r o u p ，e s p e c i a l l y i nt h ed e v e l o p m e n to f6 n i t ef u nt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pt h e - o r y b e c a u s et h ep e o p l eh a v ed o n ea1 0 to fw o r ka b o u tt h es y m m e t r i c 铲o u p s ，t h e s i n 肌1 a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u ph a sa l s oa r o u s e di n t e r e s t f 、l r t h e r ，s t u d y l n gm a x 卜 m a ls u b s e m i g r o u po f 口c l a s 8i n6 n i t ef u l lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pi sv e ui m p o r t a n t t od e s c r i b et h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fs i n g u l a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i 口o u p i ng r o u pt h e o r y d e s c r i b i n gm a x i m a ls u b g r o u p so ft h es y m m e t r i cg r o u p sh a sf o r l o n gb e e a ni n t e r e s t i n gp r o b l e m i nr e c e n ty e a r s ，m a x i m a ls u b s e m i g r o u p so tt r a n s - f o r m a t i o ns e m i g r o u p sh a v ea l s oa r o u s e di n t e r e s t ，m o r e o v e r ，m a n ys c h o r a i e sh a v ed o n e l o t so fr e s e a r c hd e e p l yo nf u l lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sa n dt h e i rs u b s e m i g r o u p s i n 1 9 6 6h 0 五e 8 14 1i n v e s t i g a t e dt h es u b s e m i 盯o u po f 疋g e n e r a t e db ya ut h ei d e m p o t e n t so f 已，m o r e o v e r ，h ed e s c r i b e dt h eg e n e r a t o rr e l a t i o n sa n dt h er a n ko fi d e m p 伊 t e n t si naf u ut r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p b e c i d e s ，g o m e sa n dh o w i e 【5 】h a v ed e t e r m i n e dt h er a n ko fc e r t a i ns e m i f o u p s0 ft r a n s f o r i i l a t i o 璐t h ei i l v e r s es u b s e m i g r o u p s o fs v m m e t r i ct r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sh a v eb e e ns t u d i e db ys c h e i n 【2 】，a n dt h em a 静 i m a l i n v e r s es u b s e m i g r o u p so f6 n i t et r a n s f o r m a t i o ns e m i 口o u p sh a v eb e e ns t u d i e db y n i c h o l s 1 5 1a n dr e i l l y 【1 9 1a l s o f u 劬e r ，t o d o r o v 【1 6 】a i l dk r a c o l o v ah a v ee x p l o r e dt h e m a x i m a ls u b s e m i g r o u po f i d e a l so faf i n i t es y m m e t r i cs e m i g r o u p s i nr e c e n ty e a r s ，y a n g x i u l i a n g f 2 4 2 8 1h a sd e t e r m i n e dt h ec l a s s i 6 c a t i o no fm a 撕m a l i n v e r s es ub s e m i g r o u p so f 矗n i t es y m m e t r i ci n v e r s es e m i g r o u p ，t h ec l a s s i 矗c a t i o na n dp r o p e r t i e so fm a x i m a ls u b - 5 s e m i g r o u p so f 矗n i t eo r d e r p r e s e r v i n gt r a n s f b r m a t i o ns e m i g r o u p s b e s i d e s ，h eh a sg i v e n t h em a x i m a ls u b s e m i g r o u p so ff i n i t er e g u l a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s ，t h ep r o d u c t s o fi d e m p o t e n t so fd e f e c tli nc e r t a i ns e m i g r o u po ft r a n s f o r m a t i o n s t h es u b s e m i g r o u p s g e n e r a t e db ya l li d e m p o t e n t sw i t hg i v e nd e f e c tw a sa l s oi n v e s t i g a t e db ya e e v s e e v a n dn e p o d r a n 1 】y d ut a i j i e 【2 1 2 3 】h a si n t r d u c e dt h em a x i m a ls u b s e m i g r o u p so fi d e - a l so ff i n i t et r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s 瓦a n dp a r t i a it r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sr ， t h es t r u c t u r eo fs o m el o c a l l ym a 妇m a l i d e m p o t e n t - g e n e r a t e ds u b s e m i g r o u p so fs i 礁鼽， a n dt h eg e n e r a t o rr e l a t i o n so fi d e m p o t e n t si nr e g u l a rt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p m o r 争 o v e r ，p e ih u i s h e n gi i l v e s t i g a t e dt h eg r e e sr e l a t i o i l sa n dt h er a n ko ff i n i t et r a n s f 0 卜 m a t i o ns e m i g r o u p x ub oa n dz h a 0p i n g 【2 9 】h a v ea l s od e t e r m i n e dl o c a l l ym a ) ( i m a l i d e m p o t e n t - g e n e r a t e ds u b s e m i g r o u p so fs i n g u l a ro r d _ p r e s e i n gt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s t h e r e f o r e ，s t u d y i n gt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sa n dt h e i rs u b s e m i g r o u p si sv e 叮 i m p o r t a n t t h eg r e e 礼7 sr e l a t i o n s ，i d e m p o t e n tr a n ka n dg e n e t a t o rr e l a t i o n sp l a y e d i m p o r t a n tr o l ei nt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s n o mt h er e s e r c ho ft r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pw ea t t e n t i o na b o v e ，t h e s es c h 0 1 a r s h a 、，ei n v e s t i g a t e dt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fm a 撕m a ls u b s e m i g r o u p si nac e r t a i n s e m i g r o u p ，s u c ha s6 n i t es y m m e t r i cs e m i g r o u p s ，缸n i t es y m m e t r i ci n v e r s es e m i 铲o u p s ， 丘n i t es i n g u l a rs e m i 铲o u p s ，f i n i t eo r d e 卜p r e s e r 、r i n gt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sa n d8 0 o n l e tsb eas u b s e to fas e m i g r o u p ，a n dsb en o tas e m i g r o u p t h e nw h e t h e rt h e r e e x i s tm a x i m a ls u b s e m i g r o u p si ns ，w es h a ud r a w na t t e n t i o nt ot h i sp r o b l e m i nt h i s p a p e r ，l e ta b ea 矗n i t ef u ut r a n s f o r m a t i o ns e m i 铲o u p ，b a ，bb et h eg 7 e e 伽c l a s s e s o faw bs h a uc o n s i d e rt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so ft h em a ) ( i m a ls u b s e m i g r o u p s o fb m o r e v e r ，w ea l s oo b t a i n e dt h er e l a t i o n s h i po ft h em a 撕m a ls u b s e m i g r o u p s ，a n d i s o m o r p h i s mo ft h e m t h em a i nr e s u l ti sf o l l o w i n g ： 1 d e t e r m i n et h es t r u t u r eo fm a x i m a ls u b s e m i 口o u p so f7 0 c l a s s e sa n dc c l a s s e s ； 2 c o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f7 0 c l a s s e s ，d c l a l s s e sa n d 口一c l a s s e s ： 3 d e t e r m i n et h es t r u c t u r eo fm a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 口一c l a s s e si ng e n e r i c o o n d i t i o n s ： 4 c o n s i d e rt h ei s o m o r p h i s mo ft h e s em a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 冗一c l a s s e s ，c c l a s s e sa n d1 ) 一c l a s s e s 6 0 1 c o n c e p 毫sa n dp r e p 嚣陵a 专i o n s l e t sb ean o n - e m p t ys e tw i t hab i n a r yo p e r a t i o n o ni t ，si 8c a l l e das e m i g r o u p i f ( 茹可) z = z - ( 秒名) f b ra n yz ，可，z s t h i s 越w 锣st a k e st h es 主m p l ef o r m 警爹) z 燃茹( 爹z ) i fs e m i g r o u psc o n t a i n sa ne l e m e n tlw i t ht h ep r o p o t y g l = l 茹= 勤ra 掣霉s 。 w | es a yt h a t1i sa nt 如礼亡让e l e m e n to fsa n dsi sa 仇。扎历d c l e a r l y as e m i g r o u p sh 黟3 恚擞o s to n e 主d e n t i 钮e l e 撒e 越。 l e tsb eas e m i g r o u p a ne l e m e n tz si 8c a l l e di d e 咧e 疵i fz z = 髫，a n d e 蠢l e dr e 擘谢8 r 迂瞧i e r e 嘲s t s 爹ss l l h 磕a 恚z = 茹挈鬈 l e t 日gsa n d 日谚，日i 8c a l l e das u b s e m i g r o u po f si f z 箩e 日f o ra n yz ，搿日。 s 主sc a l l e d 钟娩础i ft l l es e to fi d e m p o t e n te l e m e n t si nsf o r m sa s u b s e m i g r o u p l e 毛嚣b ean o 蛰e m p 锣s e t “s ，i f 妇a r b i t 路巧茹s ，t h e f ee x i s t8 l ，8 2 ，珂 s u c ht h a tz = 0 1n 2 o n ，t h e n 日i sc a l l e da 翦e 佗e r o t d rs e to f sa n da l w a y sd e n o t e db y s 一 。w h e 觳si s 基蕊i 毛es e 擞i g r o 娃p ，强er a n ko fsi sd e 是珏e db y 弼锄 | 好| ：s = ) w h e r e1 日li 8t h ec a r d i n a lo f 日 l 或sb eas e m i g f o l l p 。w 量l e 珏王譬s ，l e ts 1 = s o l w i 毛h 王。= 。王一霉f 趺 a r b i t r a r y 髫s 1 ，a n ds 1 = sw h e n1 s t h e ns 1i sam o n o i d t h eg r e e s ，冗，锃，口，r e l a t i o n so nsa r ed e f i n e da sf o l lo _ w i n g f ha r b i t r a 珂 o ，寥s ， ( 1 ) ( 茹，剪) i ft h e r ee x i s t8 ，6 s 1s u c ht h a t 髫= 8 箩a n d 秒= 矗z ； ( 2 ) ( g ，挈) 咒i ft h e r ee ) 【i s t 口，6 s 1s u c ht h a tz = 秒na n d 剪= z 6 ； ( 3 ) ( 茹，箩) 饨i f ( 嚣，y ) ca n d ( ，可) 7 之，a l w a y sd e n o t e db y 锋= n 冗； ( 4 ) ( z ，萝) 口i f ( z ，萝) o f ( z ，剪) 咒，a l w a y sd e n o t e db y 咒= cu 冗； ( 5 ) ( z ，箩) 了i f t h e r ee x i s tn ，6 ，钍，移s 1s u c ht h a 乞茹= 8 可6a n d 爹= 珏z 移 l e t ? ；善b et h e 矗n i t ef u l lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u po nt h es e t x _ = l ，2 ，礼 ， f 】搬乇h eg o m e s 勰dh a w i e 【3 】，t h eg r e e 嚣e q u i e v a l e 薹l e e s 泌瓦e a nb ec h 皴a t e r i z e da s ： q c 卢协i m a = i m p ； q 冗多铸走e r 仪= 老e r 罗； 仪了p 冷fi m qi = i 打n 卢1 w h e f e & ，移研，i ti sw e l lk n o w nt h a t 霸h 泰e x a c t l y 魏执c l a s s e s t h e 扭e l 燃so f 瓦h a v ef o r md r = q 瓦：f t ，n q l 一7 ) ，f o rl 冬r 礼e s p e c i a l l y w h e nr 裟礼，研 7 d e n o t e sa sas y m m e t r i cg r o u po nx 1 t h a ti st os a y ，研c o n s i s t so fa l lb i j e c t i o n so n 墨 f o rq 研，t a k ei m a g eo f 口d e n o t e db yi m ( q ) = q = n l ，口2 ，n ，) ，七e r ( q ) 一 c f o s s e sd e n o t e db y7 r ( q ) = 4 l ，a 2 ，4 r ，w h e r ea = 口t q 一1 = z ：z q 三o t ) ， t h e nqc a nd e n o t ea s ，、 4 la 2 a ， 一l 邮2 口r 广 i nd ，i fa n d o n l yi fo t a ( i = l ，2 ，r ) ，q e ( d ，) ，d e n o t ee ( 研) t h es e to f a ui d e m p o t e n t so fd r l e tsb eas e m i g r o u p ，a s ，a 1 2 i t h e ( p r o p e r ) s u b s e m i g r o u po fsc o n t a i n e d i na ，w ec a ui tt h es u b s e m i g r o u po faf o ro n 、，e n i e n c e d e 丑n i t i o n0 1l e tsb eas e m i g r o u p ，a s ，tb eap r o p e rs u b s e m i g r o u p o faa s s u m eri sa na r b i t r a r yp r o p e rs u b s e m i g r o u po fa ，w ec a utb et h em a l ) 【i m a l s u b s e m i g r o u po fa ，i fr t = 争r = t l e m m ao 1i fq ，p 研，t h e nq 卢研i fa n do n l yi fe ( 三qn 局) d ，a n di n t h i sc a s eo p 冗qnl 日 p r o o f s e e 9 】 8 c h a p t e r 1 m a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 冗一c l a s s e s a n dc c l a s s e si n i nt h i sc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h es t m c t u r eo ft h em a o c i m a ls u b s e m i 秽o u p so fs o m e s p e c i a lp r o p e rs u b s e t so f 夏，t h e s es u b s e 乇se o 珏s i s 专o f 缮c l a s s e s 凇d 厶c l a s s e sw h i c h d o n ts a t i s 匆c o n d i t o n so f 鼬m i g r o u p ，b u tt h e r ee x i s tm a 姬m a l8 u b s e m i g r o u p so f7 0 c l 瓠s e s 勰dz e l 捌；s e s 。 1 1 d i p i c t i o no fm a x i m a ls u b s e m i g r o u p so f 亿c l a s s e sa n d - c l a s s 船 t h e o r e m1 1l e t 口d r ( 2sr n 一1 ) t h e nt h ef o l l o w i n gt y p em u s tb ea m a x i m 蠢聪b s e m i g f o u p 磁( 毛h e 冗一c l a s se o 嫩a i n l n gt h ee l e m e n 毒理) ： l t = u 鼠， e e ( 嚣口) e ( 风) c o n s i s t so fa l li d e m p o t e n t so fr n 日ed e n o t e st h e 咒一c l a u s sc o n t a i n i n g t h ee l e m e n t c 。矾e r s e 堍e v e 搿邈a x i 越舔s 畦b 鼬礅i g p 蕊霆am 畦醅b e 专h e 锣p e t p r o o f n o ml e m m a0 1 ，f o re a c hp ，芦t ，靴h a v e 秽声匆n 岛= 鳓冬t ，t h u s ti sa s u b s e m i g r o u po f 。f o re v e 珂，y 丁，w eh a v ef 碧，b u tf ， t h u s i sn o tas u b s e m i g r o u po f 吼h e n c et i sam a ) ( i m a ls u b s e m i 盯o u po f 兄0 l e trb ea n 甜b