（计算数学专业论文）高阶hermite元及其在椭圆边值均匀化问题中的应用.pdf

学位论文原创性声明 iiiiii lil l i i i iilll1 1 1 1 1i i i l l l iiii 18 3 3 9 4 3 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文f i 包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者：赵硷h 期：j o 年r 月多7h 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州人学。根据郑 州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部 或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编 本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。 学位论文作者：匙签 日期：冲年岁月刁日 摘要 在本文的第一章，给出了本文所用的相关理论知识，主要是均匀化理论和相关的有限 元理论内容。在本文的第二章，分析了一个二维的2 4 参矩形元，并且把它应用到四阶椭圆 问题上，理论上证明了它的收敛阶，并且给出了一个具体的数值箅例，用程序算出其数值 解，分析了数值解与精确解之问的误差，直观地给出误差图形，验证了理论分析的结果。 这个单元的优点是在解决多尺度有关的问题的时候，能够直接得出函数的二阶导数值，更 方便于应用。在本文的第三章，构造了一个三维的8 0 参立方体元，并将这个立方体元应用 n - 阶均匀化问题上，得到了较好的收敛阶。 关键词：高阶h e r m i t e 型元误差分析四阶椭圆问题二阶均匀化问题 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r f i r s tw es t u d yt h eb a s i ct h e o r yo ft h ef i n i t ee l e m e n t m e t h 。d s ，t h e nw ec o n s i d e r a2 4r e c t a n g l l l a re l e m e n tt os o l v et h ef o u r t h o r d e rp r o b l e m ，o b t a i nt h e e r r o re s t i m a t i o n si nt h e o 阱 柚dg i v e 锄n u m e r i c a le x a m p l et od e m o n s t r a t et h er e s u l to f 。u rt h e o r e t i c a l a n a l y s i s i nt h el 勰ts e c 。 t i o n , w ee x p a n dt h ee l e m e n tt ot h r e e d i m e n s i o nf u r t h e r , t h a t st h e8 0c u b i ce l e m e n t t h ea d v 锄t a g e o ft h et w oe l e m e n ti st h a tw ec a nd i r e c t l yo b t a i nt h es e c o n dd e r i v a t i v e so ft h ef u n c t i o n e s p e c i a l l y i ns o l v i n gt h ep r o b l e ma b o u tm u l t i s c a l e k e yw o r d s ：h i g h o r d e rs c h e m eo fh e r m i t ef i n i t ee l e m e n t e r r o re s t i m a t i o n s f o u r t h o r d e re l l i p t i cp r o b l e m t w o o r d e rh o m o g e n e o u sp r o b l e m 目录 引言l 第1 章基本理论3 1 1s o b o l e v 空问基本知识3 1 2s o b o l e v 空间重要1 、= 等式6 1 3 有限元基本定理7 1 4 均匀化方法l1 第2 章二维2 4 参元及其应用1 5 2 1二维有限元空问的构造1 5 2 2 二维四阶问题的有限元误差分析2 0 2 3四阶问题的一个数值算例2 5 第3 章三维8 0 参元及其应用3 l 3 1 三维有限元空问的构造3 l 3 2 三维二阶问题的有限元误差分析3 3 参考文献3 5 致谢3 7 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果3 8 引言 有限元方法是眼下解决偏微分方程问题的一个流行的也是非常有效的一个方法，在工 程计算上的应用非常广泛，我们也叫它有限单元法。这种方法是以古典的变分方法为基 本，用分片插值多项式作为应用工具，并且结合电子计算机的发展和推广而迅速发展起来 的一种求解微分方程的数值方法【。早在2 0 世纪4 0 年代，c o u r a n t 等一批科学家就已经开始 把这种有限元方法应用到处理微分方程的近似计算上1 2 】。1 9 4 3 年，他就提出在剖分成的三 角形嘲格上用逐片的线性函数去近似计算d i r i c h l e t 问题。到了2 0 世纪5 0 年代的中期，有限 元方法在电子计算机的迅速应用和普及的同时，取得了巨人的进步和成就。而在我国2 0 世 纪6 0 年代初，著名的学者冯康老先生独立于西方创立了有限元法【3 1 ，从而奠定了我国有限 元理论发展的基础。 有限元方法的基本思想，简而言之，就是离散化。即是将一个连续区域上的连续问 题，通过对连续方程等价的变形，将其变成离散的方程，以及对连续的区域进行一定规律 的剖分，剖分成有限个满足一定性质的单元，然后再这些离散的单元上求解【4 1 。一般来 说，我们通常的使用在分片单元上的分片的多项式来逼近整个求解区域上的未知函数，这 样一来，剖分单元上的近似函数就可以通过所求函数在单元节点上的数值来表示，所以， 我们只须求出每个剖分单元上的这些未知量，就可以用插值函数算出整个求解区域上的近 似值。通过这种等价的变换，从而把问题繁而化简，把无限问题变成有限，有利于问题的 求解。特别是在处理一些非线性方程和边界不规则的区域上，有很人的优势【5 1 。 迄今为止，有限元方法已经被广泛地应用到各个领域，包括一般的船舶，机械，飞机 等，尤其是工程力学，流体力学领域的应力分析问题。这套理论仍然在不断地完善和发展 中，目前，有一大批的数学领域，力学领域的专家学者正积极投身于有限元理论的研究 中，有限元各种单元分析及计算方法也正在不断地出现【6 1 。 在科技日新月异的今天，无论是在我们日常生活中，还是在现代工业，我们接触到的 合成材料越来越多。这些材料由于其本身具有良好的，别的单一材料无法比拟的性质而被 我们广泛的应用。复合材料即是由两种或者两种以上的不同的材料通过一定的方式组合在 一起的，从而具有更好性质的材料7 1 。常见的如在光学纤维中广泛使用的超导多纤维复合 材料。由于复合材料的性质，结构的特殊性，我们对于有关复合材料的问题，有简单而又 实用的均匀化方法来求解。其解法的基本思想就是对于给定的复合材料或者周期材料的方 程，求出其均匀化系数，根据收敛性，构造均匀化方程并求解。有关这一方法具体使用我 们将在第一章里面简单加以介绍。 2 第1 章基本理论 1 1s o b o l e v 空间基本知识 由于本论文在以后叙述的需要，在这一章中，我们介绍下本论文用到的基本知识以及 基本定理，如一些常用的函数空间，重要的不等式等【8 1 。同时为了论述的方便起见，本文 以下章节中出现的若干c ，以及带有下标的c 均为常数，但是在小同的地方，c 的敬值可能 是4 、= 同的，并且c 的取值和单元的剖分无关。本文采用e i n s t e i n 求和符号，即带有相同下标 的乘积表示从1 到2 求和。 设q 为n 维欧式空问彤中的区域，而且是连通的开集。q 为集合q 的闭包，a q 为集合q 的 边界，则在q 上定义如下的函数空间： 1 c 。( q ) ：定义为在q 上无穷次可微的函数组成的集合。 c m ( q ) ：表示所有在区域q 上m 阶连续可微的函数组成的集合，我们把c o ( q ) 简记 为c ( q ) 。 簖( q ) ： 是c ”( q ) 中所有具有紧支集的函数组成的集合。 g ( q ) ： 是c ”( q ) 中所有具有紧支集的函数组成的集合。对于任意的函数u g ( q ) 的支集即为：s u p p ( u ) = x 立j “( j ) 0 。 2 r ( q ) ：表示一切定义在q 上的p 次可积函数组成的集合。即 l p ( c o ：铲：| = p 出 + l ( 1 p ) ( 1 1 ) j n r ( q ) ：定义为一切在q 上本性有界的可测函数组成的集合。其在q 上对应的范 数如下： i l f l l ( n ) = ( f ni f ( x ) l p d x ) ；，l p o o ( 1 2 ) i i f l l l * * ( a ) = e s ss u p l f ( x ) l ，p = o o( 1 3 ) 则( q ) 根据上述范数为完备的赋范空问，即是b a n a c h 空间。 特别的，当p = 2 时，r ( q ) 是h i l b e r t 空间，其上的内积定义为 g ) = 上妇d x ( 1 4 ) ， 3 3 胪，p ( q ) = i 比：e w u ( q ) ，川m l ，其中m 为非负整数，15p o o 。 当lsp o o 时，其上的范数为： 陋= ( 上阢阳彤 (15)l a , l m 。 当p = 时，定义其范数为： i l u l l 。，。= 1 i ! a xi i d o u l l o ，。( 1 6 ) l a l s m 其中向量a = 位l ，眈，) ，如果其中的每一个分量都是非负整数，则称口是n 重指 数，i e i 记为l a l = z i n io l i 。记研= 磊o ，用伊表示区域q 上的微分算子d 口1 d 挈。则上式 中俨“( 力= 毪，即表示求u 的川阶偏导数。 空问胪，p ( q ) 在上述范数下是完备的赋范空间，我们称为b a n a c h 空问，且胪p ( q ) 具有 以下性质： 1 当l p o o 时，矽叩( q ) 可分。 2 当l p 0 0 时，胪 ( q ) 是自反的，并且是一致凸的。 3 当1sp 0 0 时，c ”( q ) 在w m ，p ( q ) 中稠密。 下面我们引入胪，p ( q ) 上的半范数，定义如下： 。 当1 p o o 时： 川w = ( 上删) 1 (17)i, r l = m 。1 当p = o o 时： l u l 小，。= m a xi i d 8 u l l o , 。( 1 8 ) l a l = m w 孑护( q ) ：表示空间g ( q ) 按上述的半范数l l u l l 用，p 在空间胪 ，( q ) 内的完备化， 即w 彳p ( q ) 也是完备空间。当p = 2 时，w m 2 ( q ) 简记为三p ( q ) ，略2 ( q ) = z 留( q ) ，而且范 数也简记为i i 肌= | i 1 1 1 , 2 ，l i m = l l 朋2 。 所以在上述定义的范数下，妒( q ) ，增( q ) 是h i l b e r t 空问，且内积为 ( 则) m = ( “，v ) ，v u , v 矿( q ) ( 1 9 ) 在介绍s o b o l c v 空间的嵌入定理之前，我们先给出嵌入的定义： 定义1 1 1设x 和y 是两个线性赋范空间，称xqy ，如果成立下列条件： 足： ( 1 ) xcy ，u p x 是y 的向量子空问； ( 2 ) 存在恒等算子j ，把x 中的元素x 映射成】，中的元素爿，即h = x ，并且存在常数c 满 l i l x l l r c l l x l l x ，v jex 记为xqy ，又称，为嵌入算子，c 为嵌入常数。 s o b o l e v 嵌入定理设q 是彤上的区域，其边界锄是满足：l i p s c h i t z 连续条件的，m ，k 是 非负整数，1 p ，则 当i n n p 时，有 1 j 旷般p ( q ) qc k ( 矗) 上述胪，p ( q ) qc ( q ) 表示任意h w m ，p ( q ) 必等价于c ( n ) e f 的一个函数， 数m 使得 i l u l l c ( 矗) m l l u l l m ，| pv “w m p ( q ) 常用的嵌入有： h 1 ( q ) q 口( q ) 当q p 时，有 w m 炉( q ) c - _ l q ( n ) w 1 护( q ) ql p ( o ) 旷+ 1 护( q ) q 旷p h 2 ( q ) qc 0 ( q ) 但是需要注意的是：日1 ( q ) 和c o ( q ) 不存在嵌入关系。 s ( 1 1 2 ) 同时存在常 ( 1 1 3 ) 下面我们介绍几个在变分形式中经常用到的g r e e n 公式： 1 对于任意的u ，1 ，h 。( q ) ，有以下基本的g r e e n 公式： p 沁= 一0 搬p a s 其中，= ( y l ，忱，) 为施的外法方向，如为弧长微分。 2 对于任意的v 铲( q ) ，有以下公式成立： j ! ： 舢一讼“，出= 一：m u t g ，, v d s 一：v o v u d j f a u a 讹一上v 2 砌+ 厶c “即一v 西删如 h 移i d e r 小等式 如果l p o o ，g 是p 的共轭指数，即： 1 若l p + o o ，贝j j l p + 1 q = 1 2 若p = + ，则口= 1 3 若p = 1 ，则口= 1 那么对于任意的，上尸( q ) 和任思- d r 的g l q ( n ) ，有下列彳 川句，n + l 2 f 卢i ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) p o i n c a r 6 不等式若qc 彤，而且q 是内部连通有边界的区域，fc 施，m e a s ( f ) 0 ，则对每个非负整数朋n ，存在常数c k 0 ，满足下列小等式： i l u i i l ，p 0 ，有 i a ( u ，1 ，) l c h 2 v v v f ：v _ 剐黾连续线性型，则抽象问题：求u v ，使得 a ( u ， ，) = 必1 ，) v v v = 有唯一解存在。 有限元的求解主要在于提高精确度，即使得近似的数值解尽可能的逼近真解，这就需 要我们估计近似解的误差。需要指出的是，若离散化后的问题中的v hcv ，则称有限元空 问为协调元空问，若n 垡y ，则称为非协调元空间。对于协调元空问，我们直接用c 缸引 理就能得到其误差估计。 c 缸引理 若以( ，) ：v v _ r 为连续的，y 椭圆的双线性型，则存在j 下的常数c ， 使得下列不等式成立： l l u u h l i vsci n 。f ，i l u v n l l v( 1 2 9 ) t v h 而对于非协调元，由于h 垡y ，我们令 a h ( u ，v h ) = ya ( u h l 置，v h l 膏) j - - 一 k 其中中的范数定义为： m 层= i l v h l l t 2 , x 并 z 的取值由原问题决定，如二阶问题vch 1 ( q ) ，取f = l ，而四阶问题中vc 俨( q ) ， 取b2 。我们要得到非协调元的误差估计，有以下的第二s 肋粥引理。 第- - s t r a n g 引理设a h ( ，) y g v h h 上的连续双线性型，并且是h 一椭圆的，f ：v _ 1 0 尺，则变分问题存在唯一解，设“和u 分别是原问题和逼近问题的解，则存在正常数c ，使 得下列式子成立： l l h - - c ( 删i n fi 刊溉唑掣) ( 1 3 。) 其中”是圪中的范数。 上式右端包括两项，其中第一项为协调项误差，可以通过插值逼近定理进行估计，第 二项为非协调项误差，记为相容误差，可通过分析具体的非协调元进行估计。 下面引入在对非协调元误差估计的时候，常用的一个重要定理： 双线性引理设qc 彤，k ，z 为非负整数，p ，q 【l ，+ o o 】，是赋范线性空间， 且w 满足：b ( q ) cwcw t + 1 坷( q ) ，玖，) 是w k “p ( q ) w 的有界双线性型，且满足： b ( p ，w ) = 0y p p k ( q ) ，y w w b ( v ，目) = 0v v w k + 1 p ( q ) ，v q p ，( q ) 则存在常数c ，使得下式成立： i b ( v ，w ) l c i l b l l l v l k + i _ p l w l t + 1 口y v w k + 1 护( q )( 1 3 1 ) 其f l f l l b l l 是空问以胪+ 1 p ( q ) w ；尺) 上的范数。 1 4 均匀化方法 在介绍均匀化方法之前，我们先给出几个重要的定义。 定义1 4 1 假设y = 【0 ，【o ，h 】，是几乎处处定义在科上的函数，我们 称厂是y 一周期的，当且仅当 f ( x + k l i e f ) = 八曲a e o n l 宅m ，y k z ，v f 1 ， 其中p l ，e n 为的一组标准基。特别的，如果n = l ，我们简称，为z l 一周期。 定义1 4 2 设口，卢r ，并且口，卢为正常数，我们用m ( a ，卢，d ) 表示满足下列条件 的矩阵a 的集合，a = ( a i ，j ) l s f 。届( p ( d ) ) n x n ： 1 ( a ( 曲a ，a ) 口l a l 2 1 1 定义1 4 3 设q 是上的有界区域，f l 1 ( q ) ，令： = 去上m 胁 表示q 上，的平均值。 定义1 4 4 我们用c 鬻( y ) 代表所有c ”( ) 中具有y 一周期函数组成的集合，用b ( y ) 表 示( 功在范数日1 下的闭包 定义1 4 5 根据定义1 4 4 中的( d ，我们定义它的商空间为： w 匆( y ) = 碳，( y ) r 其等价关系为：对， t - i - f ： f t 的“，v 以，( y ) ，“墨v 等价于“一v 是一个常数。我们用由来代 表“的等价类，而且，( y ) 上的范数为： 恻1 w _ ( ，) = i i v u l i l 2 t r ) ，y u 庇，应。，( y ) 我们用下面的热传导问题为例，简单介绍一下均匀化方法。 r v 如u ) = f n n 3 2 ， f 旷1 ( q ) ，是满足下列条件的y 一周期矩阵： 口孑( 曲= a u ( x 5 ) 册，v f ，_ = 1 ，2 ，n a = a ( 兰) = ( 口o ( 力) l 螂d 删 。 并h _ a i j 是y 一周期的，v f ，= l ，2 ，n ，y = 【0 ，l i x 【0 ，i n ，其中z l ，加为正数。a = ( 口玎) l s 区| v m ( a ，卢，y ) ，口，声r 满足0 口 卢。 我们有以下定理来求出问题( 1 3 2 ) 1 拘弱解。 定理1 4 1 如果f h 一1 ( q ) ，旷是方程( 1 3 2 ) 1 均解，则有下列式子成立： 1 u 一0 ，i n 砩( q ) 2 a 占v 旷一a o v u o ，i n ( l 2 ( q ) ) 其中h o 是下列均匀化问题( 1 3 3 ) 在础( q ) 上的唯一解： j 一肇- 岳( 吒0 筹) = 厂伽q ( 1 3 3 ) l u 0 = 0o n o f l 其中a 。= ( a o j ) i _ i , j ，y v 砖( 其中 n 似， ，) ：f h v + ( 1 一矿) ( 2 a j 2 “a 1 2 v a l l “如2 v 一如2 “a l l v ) 出 n = 1 矿“v + ( 1 一o - ) ( 2 0 1 2 “a 1 2 v + o l l “a l l ，一a 2 2 “也2 v ) l d x ， n 叭= 加x 设 是q 一个拟正则剖分，对应的分片多项式空间为：x h = v h x ，v h ( b ) = 0 ，o w h ( b ) = a 2 v h ( 功= 0 ，o l l v h ( b ) = 0 1 2 v h ( b ) = 0 2 2 v h ( b ) = o ，b f = 0 f l 由于v hcc o ，但是v h 垡c 1 ，而且在一边上，h 是一元五次多项式，由六个零点( 两 端端点的函数值，一阶导数值，二阶导数值) 唯一确定，但是巩h 为一元四次多项式，只 有四个零点，故研在边上不连续，由此得出v hc 硎，且圪垡俨( q ) 。 令hl i b - z r , 1 i v 艮2 ，证明它是h 上的模。只需证明当l l v h l l h = o 时，v h = 0 。 当l l v h l l = 0 ，有h b = 0 ，故i 珊b = c r 在t 上，其中c r 为单元t 上的常数。因为o i v , 在单元 顶点连续，故0 f i t h = c i 在壳上。又因炭j o i v h = 0 在a q 上，所以夙v = o e h _ l ：，即在矗上为常 数，又v h = 0 在施上，故得v h = 0 在壳上。则此问题的非协调元逼近为： 2 0 其中 且 求u v h 使得： a h ( u h ，v h ) = _ ，i j 二- _ 二- 一 i 毗i 丁l a j w h l - ，r sc hy l u l 3 ，7 1 w 脏i 7 _ j ：_ 一 c h l u l a n l l w h l l h “一u h l l h c h l u l 3 , o 即得到以下定理： 定理2设死是矩形区域q 的拟正则矩形剖分，固支薄板弯曲问题的解“瑶( q ) n h 3 ( n ) ，则此2 4 参非协调元的逼近，有误差分析 i u u h l l h c h l u l 3 , o 2 3 四阶问题的一个数值算例 在本节中，我们将用一个数值算例来说明以上误差分析的f 确性1 4 1 1 5 1 。 在q ：【0 ，l 】【o ，1 l - _ ，考虑下列四阶问题： a 2 “= ， 其中，：2 4 ：0 一) ，) 2 + 8 ( 1 一曲2 ( 1 一y ) 2 - 3 2 j ( 1 一j ) ( 1 一y ) 2 + 8 p ( 1 一) y ) 2 3 2 ( 1 一x ) z y ( 1 一y ) + 1 2 8 x ( i x ) y ( 1 一力一3 2 x a y ( 1 一y ) + 8 ( 1 一工) 2 ) 2 - 3 2 j ( 1 一工炉+ 8 p ) 7 2 + 2 4 ，( 1 一曲2 ，此方程的 真解为：h = x 2 ( x 1 ) 2 ) ，2 一1 ) 2 。真解的图如下所示： 4 3 2 1 0 1 y 0 0 x 图2真解图 对区域q = 【0 ，l 】x 【0 ，l 】做4x4 的剖分，求得的有限元数值解如下图： 4 3 32 1 y o 0 x 图34 x 4 剖分数值解图 1 对区域做q = 【0 ，l 】【0 ，l 】做8x8 的剖分，求得的有限元数值解如下图： 4 3 32 1 0 1 y 0 0 x 图48 x8 剖分数值解图 对区域做q = 【0 ，l 】x 【0 ，l 】做1 6x1 6 的剖分，求得的有限元数值解如下图： 4 3 j2 1 o 1 v 0 0 了 x 图5 1 6 1 6 剖分数值解图 对区域做q = 【0 ，l 】【0 ，1 】做3 2 3 2 的剖分，求得的有限元数值解如下图： 4 3 32 o 1 y 0 0 x 图6 3 2 3 2 剖分数值解图 2 9 为了更直接的显示出误差分析，我们用程序算出数值解，并与真解的数值比较如下表 所示，其中表示误差阶，s 表示剖分单元数，表示节点参数个数【6 】【1 7 1 ： 表2 12 4 参矩形剖分下真解与数值解的零模误差结果i | u u h l l o n ，ls n l l u u h l l o n s o 2 5 0 0 1 61 5 0 7 9 8 0 8 0 40 8 9 7 0 o 1 2 5 06 42 1 64 2 8 5 5 0 4o 9 7 4 0 0 0 6 2 52 5 61 7 3 42 1 8 1 7 0 40 9 9 3 5 表2 2 2 4 参矩形削分卜真解与数值解的- 二模误差结果i l u u h l l 2 n hsn i l u u h l l 2 皿 s o 2 5 0 01 61 5 0o 0 5 2 70 8 0 8 0 o 1 2 5 06 42 1 6o 0 3 0 l0 9 5 7 4 0 0 6 2 52 5 61 7 3 40 0 1 5 50 9 9 4 7 从表中可以看出，随着剖分的加细，误差越来越小，并且误差收敛阶近似为一阶，和 我们的理论分析相吻合。 第3 章三维8 0 参元及其应用 3 1 三维有限元空间的构造 设立方体于= 卜1 ，l 】卜l ，l 】卜l ，l 】是三维f j 7 一f 半面上的参考单元，于的八个 顶点如下：a l = ( 1 ，l ，1 ) ，a 2 = ( - 1 ，1 ，1 ) ，a 3 = ( - 1 ，- 1 ，1 ) ，a 4 = ( 1 ，- 1 ，1 ) ，a 5 = ( 1 ，l ，- 1 ) ，a 6 = ( 一l ，l ，一1 ) ，a 7 = ( 一l ，一l ，一1 ) ，a 8 = ( 1 ，一l ，一1 ) 六个面分别为 1 8 - 2 0 】： 允= a l a 2 a 3 a 4 ，岛= a 5 a l a 4 a 8 ，p 32 a 5 a 6 a 8 a 7 于如下图： 允= a 2 a 6 0 7 a 3 ，亢= a 5 a 6 a 2 a l ，氏= a s a 7 a 3 a 4 ，7 图7三维区域上立方体参考单元示意图 仿照二维矩形单元，我们在立方体单元上建立有限元空问( 于，户，勃： 宝= ( 户( a f ) ：1 i 8 ；0 j p ( a f ) ：1sj 3 ；o k p ( a f ) ：15k 歹1 户= p 6 ( f ) e 尹，t 1 6 ，尹，尹，7 2 尹 则可知c a r d 金= d i m p = d i m p 6 4 = 8 0 。 定理3 金是户的唯一可解集，即对于任意的p 户，p 可以通过金中的8 0 个节点参数值 唯一求出。 3 l 证明：由宝和户的构造可知： d i m p = c a r d c z = 8 0 因此我们只要证明齐次插值只有零解，即说明此定理成立。也就是证明即如果宝中所有的 参数值全为零，有下面等式恒成立： 多兰0 凶为户l 是f = 1 ，r f 以p t ，为二元五次多项式，而且在边丽上为一元五次多项式，义根据 假设，我们得到： p ( a i ) = p ( a 2 ) = 0 ，a l p ( a , ) = a , p ( a 2 ) = 0 ，a i l p ( a i ) = a , l p ( a 2 ) = 0 由h e r m i t e 定理得到： 丸盎：= 0 故我们得到： ( 手一1 ) l p p 即g 一1 ) 是p t 。的一个因式。 类似的，在其余5 个面上，我们同样可以得到： ( 手+ 1 ) l p 户。，( ，7 1 ) l p t 。，( ，7 + 1 ) l p 户1 又这些因子是互素因式，所以有： 舻一1 ) ( r 2 1 ) l p t 。 根据p 的构造，我们得到： p 户l = ( 尹一1 ) ( r 2 1 ) ( a o + 口l 手+ a 2 r + a 3 s 2 + a 4 f r + 0 5 矿) 其中a o ，口l ，n 2 ，口3 为常数。 由于p 中不含项尹矿严，故p 中也不含项尹，7 2 ，所以有p = 0 ，即( f 一1 ) l p 。同理，在其余 的五个面岛，岛，六，允，允上可得： ( f + d i p ，( ，7 1 ) l p ，( ，7 + 1 ) l p ，( f d i p ，( f + 1 ) l p 3 2 由互素性： ( 尹一1 ) ( 矿一1 ) ( 尹一1 ) l p 但是户中不含项尹，7 2 严，所以得出结论户兰0 。即证明了本定理成立。 设q 为尺3 中平行于三个坐标轴的区域，类似二维情形，我们对q 进行均匀剖分，将其 剖分成边平行于坐标轴的立方体区域。记其割分族为厶，记k 是剖分单元，k j h 。单 元k 沿着手一，7 一f 的边长分别是2 h i ，2 h 2 ，2 h 3 。 y k y h ，存在一个其到参考单元的仿射变换f x ：霞_ k = 氏( 霞) ，氏可表示为： j = ，k ( 凳) = b x + b x 殳 其中坛为位移向量，巩是一个3 3 矩阵，如下所示： h j 0 0 0 h 2 0 00 h 3 我们在一般单元k 上，我们构造有限元( k 只) ： = v ( a i ) ：1 i 8 ；o j v ( a i ) ：_ ，= 1 ，2 ，3 ；巩j v ( a i ) ：1 k ， p = p 6 ( k ) el 尹，1 6 ，尹，尹矿， 同参考单元样，x f l o , 营, 自由度个数也是8 0 。 o j v ( a i ) h j o j v ( a i ) ，o k y v ( a i ) h t h j o t j v ( a i ) 这样( k 只) 就与( 它，户，金) 仿射等价。 3 2 三维二阶问题的有限元误差分析 设qc 尺3 ，考虑下列的热传导的均匀化问题： 卜融“曲笔= 则此问题的变分形式为：求“i - i o ( q ) ，使得 口( h ，d = f v d 工v v 硪( q ) 其中 础，d = j ：毫( j 瓦c g u 瓦o v 饥_ 易知a ( u ，v ) 满足有界性和强椭圆性，所以由l a x m i l g r a m 定理可知上述变分i - j 题有唯一解。 设以是区域q 的立方体剖分族，k j h 。k 是一个边半行于坐标轴的立方体单元，其对应的 分片多项式空间为，则根据前面提出的立方体单元，构造由8 0 个节点参数构成的协调有 限元空间如下： v h = v h x h ：v h ( b ) = 0 ，o ! v h ( b ) = 0 2 v h ( b ) = 0 3 v h ( b ) = 0 ，a l i v h ( b ) = 0 1 2 v h ( b ) = a 1 3 v h ( b ) = 0 2 2 v h ( b ) = 0 2 3 v h ( b ) = 0 3 3 v h ( b ) = 0 ，bef = 讹 显然v h 伊( q ) ，又因为v l x h 1 ( 的，l p h i , g f 2 = 0 ，所以得到： 对上述变分问题离散化得到： c 础( q ) a ( u h ，i p h ) = v h ) ，y v h 其中口( 蝴，v h ) 2 荟正日u v v 定理4 若“i - i ? , ( q ) n h k ( g z ) ，2 ks6 ，则有下列结果： “一u h l l l 皿( 了，产一1i i “i i t 盈 证明：由以上构造的单元可知，形函数空间包含完整的5 次多项式，由c 细引理，可以直 接得到此结果。 由前面的基本知识可知，我们构造的这个单元，除了阶数较高，最大的优点就是能直 接求出解得二阶导数值，进而得到原问题解的渐进展开。 参考文献 【l 】李弧智，赵美英，万小朋有限元法基础与程序设计【m 】北京：科学出版社，2 0 0 4 【2 】王烈衡，许学军有限元方法的数学基础【m 】北京：科学出版社，2 0 0 4 【3 】李开泰，黄艾香黄庆怀有限元方法及其应j h 【m 】撕安：鹾安交通人学山版社，1 9 8 4 【4 】姜礼尚，庞之垣有限元方法及其理论基础【m 】北京：人民教育出版社，1 9 7 9 【5 】宋+ 仓有限元理论中的科学研究办法【j 】i ：氍数学，2 0 0 2 ，1 8 ( 0 3 ) ，6 4 6 8 【6 】宋士仓，陈绍春基于l a g r a n g e 乘子法的一种二二阶椭圆问题混合元格式【j 】应刚数学学 报，2 0 0 1 ，1 4 ( 4 ) ，4 2 - 4 5 【7 】宋士仓，崔俊芝d , n 期型复合材料稳态热传导问题的一种双尺度渐进展开收敛性分析【j 】数学物理 学报，2 0 0 7 ，2 7 a ( 4 ) ，6 8 2 6 8 7 【8 】a d a m s r a ，s o b o l e vs p a c e m a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，19 7 5 【9 】eg c i a r l e t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m s m n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 7 8 【1 0 】孙红伟二阶均匀化问题的一个高阶格式【d 】郑州大学硕士学位论文2 0 0 9 【ll 】苏金明，王永利m a t l a b 7 0 实用指南【m 】北京：电子工业出版社，2 0 0 4 【1 2 】谢正辉四阶障碍问题的混合有限元法【j 】怀化师专自然科学学报，1 9 8 9 ，8 ( 2 ) ，3 3 3 9