（发展与教育心理学专业论文）小学儿童估算能力研究.pdf

小学儿童估算能力研究中文摘要 中文摘要 估算是一种普遍而广泛存在的认知加工，无论儿童还是成人在学习或生活中 频繁接触。尽管估算是数学认知过程中极为重要的一部分，然而较之数量其它认 知方面的研究( 如精算、简算、加减法等) ，我们对估算认知加工的了解还比较匮 乏。包括小学生纯数字估算能力和估算意识是如何发展的? 其影响因素有哪些? 它们又是如何影响着小学生纯数字估算能力发展的? 哪种教学方式对于不同年龄 阶段儿童的估算能力培养更为有效等问题，我们都还不清楚。因此，本研究采用 数字线估算任务，考查小学儿童数字线估算能力特点及其估算策略发展水平，探 讨数字线估算能力的影响因素。 由于二年级儿童对于卜1 0 0 0 范围内1 5 0 以后数字较为生疏，心理数量符号 较差，而四年级儿童在卜1 0 0 0 范围内数字接触比较频繁，心理数量符号较好但 估算技能较之于六年级差。所以接下来，对二年级儿童进行内隐性的游戏训练以 提高其对数量的理解、增强数量心理表征；对四年级儿童进行外显性的估算策略 训练以提高其估算技能。最后，改变数字线估算任务考查小学四、六年级不同年 龄阶段儿童在纵向线段估算任务中的估算能力特点，比较纵横向两维估算任务的 差异性及不同年龄阶段儿童差异的一致性。 具体研究结论如下： 1 儿童的数字线估算水平有明显的年级差异，即准确性随年级的升高而升高。 数量估算表征模型随年龄的增长逐渐由对数表征模型趋向于直线表征模型。 2 儿童的数字线估算策略运用有明显的年级差异。估算策略意识强的儿童估 算策略正确运用的程度也高，反之亦然。估算策略意识及估算技能正确运用程度 随年级的增高而相应地提高。 3 不同年级儿童在两端和中间数字上的绝对百分误差，决定系数r 2 ，斜率b 和截距c 均存在不同程度的差距，随着年级的增加差距会越来越小，直至消失。 4 内隐游戏训练提高y j l 童的估算水平。 5 估算策略训练提高了儿童的估算水平。 6 纵向数字线估算任务的绝对百分误差多因素方差分析表明，年级主效应极其 显著，维度主效应极其显著，年级和维度的交互作用不显著。在年级上，六年级 小学儿童估算能力研究中文摘要 要好于四年级；在维度上横向的估算绩效优于纵向的估算绩效。 7 决定系数r 2 l i n 和斜率b 随着年级的增高而增高，线性逐渐增强，横向维度的 线性要好于纵向维度的线性；反之决定系数r 2 l 。g 和截距c 随着年级的增高而减小， 曲线逐渐减弱并趋向于线性函数，横向维度的线性要好于纵向维度的线性。 关键词：小学生，估算，数字线估算能力，数字线估算策略，数字线估算任务 i i 作者：颜寅龙 指导老师：刘电芝教授 t h er e s e a r c h0 1 1t h ee s t i m a t i o no fc h i l d r e ni np r i m a r ys c h o o ls t u d e n t sa b s l r a c t t h er e s e a r c ho nt h ee s t i m a t i o no fc h i l d r e ni n p r i m a r ys c h o o ls t u d e n t s a b s t r a c t t h ee s t i m a t ei so n ek i n du n i v e r s a la n dt h ew i d e s p r e a de x i s t e n c ec o g n i t i o n p r o c e s s i n gp r o c e s s ，r e g a r d l e s so ft h ec h i l do rt h ea d u l t sm u s ti nt h es t u d yo rt h el i f ea n d i t sf r e q u e n tc o n t a c t a l t h o u g he s t i m a t e dt h a ti sv e r yi m p o r t a n tt oo u rd a i l ya c t i v i t yi s p r e c i s e l yi nm a t h e m a t i c sc o g n i t i o np r o c e s st h eg r e a ti m p o r t a n c eap a r t ，h o w e v e r c o m p a r e d 诚t 1 1i nq u a n t i t ya b i l i t yo t h e rc o g n i t i o na s p e c tr e s e a r c h ，f o re x a m p l e ， a c t u a r i a l ，j a n ec o u n t ，a d da n ds u b t r a c ta n ds oo n ，w ee s t i m a t e dt h a tt h eu n d e r s t a n d i n go f c o g n i t i v ep r o c e s s i n gi ss t i l lr e l a t i v e l yp o o ra n dd i s p e r s e d a tp r e s e n ti nc h i n at h e r ea r e m a n yp r i m a r ys c h o o lt e a c h e r sd on o tk n o wt h en u m b e ro fe s t i m a t e dc a p a c i t yo fp u r e m e a n i n ga n di m p o r t a n c e ；e s t i m a t e dn e tp r i m a r ys c h o o lc a p a c i t ya n da w a r e n e s so fh o w t od e v e l o pe s t i m a t e so ft h ei m p a c to ff a c t o r sw h i c h ? h o wt h e ya f f e c tt h ea b i l i t yo f p r i m a r ya n ds e c o n d a r ys c h o o ls t u d e n t si se s t i m a t e dn e to fd e v e l o p m e n t ? w h i c ht r a i n i n g m e t h o d sf o rd i f f e r e n ts c h o o l - a g ec h i l d r e ni nm o r ee f f e c t i v ep a r a g r a p h ? i nt h i s s t u d y ， e s t i m a t e dt h en u m b e ro fl i n e si nt h ef o r mo ft a s k s ，t oe x a m i n et h en u m b e ro fc h i l d r e ni n p r i m a r ys c h o o l si se s t i m a t e dt h a tt h ec a p a c i t yo fl i n ec h a r a c t e r i s t i c sa n de s t i m a t e dt h e l e v e lo fs t r a t e g i cd e v e l o p m e n tt oe x p l o r et h ec a p a c i t yo ft h ed i g i t a ll i n ei se s t i m a t e d t h a tt h ei m p a c to ff a c t o r s ，a n dw e r ec a r r i e do u to nt h es e c o n dy e a ro ft h ei n d i v i d u a l g a m e sw i t h i nt h eh i d d e nt r a i n i n gm e t h o d st oi m p r o v et h e i re n h a n c et h eu n d e r s t a n d i n g o ft h en u m b e ro fm e n t a l r e p r e s e n t a t i o no fs y m b o l sa n dt h en u m b e ro fi n d i v i d u a l s o u t s i d et h ef o u r t hg r a d e ，t h ee s t i m a t e dd o m i n a n ts t r a t e g yo ft r a i n i n gs k i l l st oi m p r o v e t h e i re s t i m a t e s ，f i n a l l y ，t h et a s kt oc h a n g et h ef o r mo fd i g i t a ll i n e si se s t i m a t e dt o e x p l o r et h ef o u rp r i m a r ys c h o o l s ，s i x t h - g r a d ec h i l d r e no fd i f f e r e n ta g es t a g e so ft h e v e r t i c a ll i n es e g m e n ti nt h ee s t i m a t e dn e tn u m b e ro ft a s k so 10 0 0e s t i m a t et h e1 e v e la n d c h a r a c t e r i s t i c so ft h ee s t i m a t e dc a p a c i t y ，t oe x a m i n et h ee s t i m a t e dt w o d i m e n s i o n a l a s p e c tt ot h et a s kd i f f e r e n c e s ，a n dd i f f e r e n ta g ec o n s i s t e n c yo fi n d i v i d u a ld i f f e r e n c e s i i i t h er e s e a r c ho nt h ee s t i m a t i o no f c h i l d r e ni np r i m a r ys c h o o ls t u d e n t sa b s t r a c t t h es p e c i f i cc o n c l u s i o no ft h es t u d ya r ea sf o l l o w s ： 1 l i n ei se s t i m a t e dt h a tt h en u m b e ro fi n d i v i d u a lp e r f o r m a n c ed i f f e r e n c e si na c l e a rg r a d e a c c u r a c yi n c r e a s e dw i t ht h eg r a d ea n dh i g h e re s t i m a t eo ft h ei n d i v i d u a l v a r i a b l e sc h a n g e 、析t ha g e c h a r a c t e r i z a t i o no ft h em o d e ln u m b e ro ft h ee s t i m a t e da g e i n c r e a s e sg r a d u a l l yf r o mt h ec h a r a c t e r i z a t i o no faf e wt e n dt oas t r a i g h tl i n em o d e l c h a r a c t e r i z a t i o no ft h em o d e l 2 i n d i v i d u a le s t i m a t e so ft h en u m b e ro f l i n e s - y e a rs t r a t e g yh a so b v i o u sd i f f e r e n c e e s t i m a t e dt h a tas t r o n gs e n s eo fi n d i v i d u a ls t r a t e g i e sa c c o r d i n g l yt h ec o r r e c ts t r a t e g yf o r e s t i m a t i n gt h ee x t e n to ft h eu s eo fh i g h ，a n dv i c ev e r s a ，、i t l lt h eh i g h e rg r a d ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gi n c r e a s e 3 t h r e eg r a d e si nt h ei n d i v i d u a lf i g u r e so nb o t he n d sa n dt h em i d d l eo ft h e a b s o l u t ep e r c e n t a g ee l r o ra n dt h ev a r i a b l e st h e r ea r ed i f f e r e n tl e v e l so ft h eg a p ，、i t ht h e i n c r e a s ei nt h eg a py e a rw i l lb eg e t t i n gs m a l l e ra n ds m a l l e r , u n t i lt h ed i s a p p e a r a n c e 4 t h ep a s s a g eo ft h ee x p e r i m e n t a ld e s i g no ft h eg a m ei st r a i n i n g ，s e c o n d - y e a r p e r f o r m a n c eo fi n d i v i d u a l si se s t i m a t e dt ob eav e r yg o o di m p r o v e m e n t ，a n de v a l u a t i o n i nr e l a t i o nt ot h ee x p e c t e ds t a n d a r d si nf o u r t hg r a d ee v e nb e t t e ri n d i v i d u a l 5 t h r o u g ht h ed e s i g no ft h i se x p e r i m e n ti se s t i m a t e dt h a tt h es t r a t e g yt r a i n i n g ， t r a i n i n gi n d i v i d u a l si nt h ef o u r t hg r a d ei se s t i m a t e dt ob eav e r yg o o dp e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t ，a n de v a l u a t i o nc r i t e r i a i nt h ee s t i m a t e dr e a c ht h es i x t hg r a d e ，t h eb a s i c e s t i m a t eo ft h el e v e lo ft h ei n d i v i d u a l 6 i nt h ev e r t i c a ll i n ee s t i m a t e st h en u m b e ro ft a s k s ，b yt h ea b s o l u t ep e r c e n t a g e e r r o ro ft h ei n d i v i d u a lt od om u l t i f a c t o ra n a l y s i so fv a r i a n c er e v e a l e dt h a tt h em a i n e f f e c to fy e a ri s e x t r e m e l ys i g n i f i c a n t ，t h em a i ne f f e c to fd i m e n s i o ni se x t r e m e l y s i g n i f i c a n t ，g r a d ea n dd i m e n s i o n so ft h ei n t e r a c t i o nw a sn o ts i g n i f i c a n t i nt h ey e 豇t h e s i x t hg r a d et h a ni nf o u r t h g r a d e ；i nt h eh o r i z o n t a ld i m e n s i o no ft h ee s t i m a t e d p e r f o r m a n c eo f ag o o de s t i m a t eo f p e r f o r m a n c ei nt h ev e r t i c a l r z l i nc o e f f i c i e n to fd e t e r m i n a t i o na n ds l o p ebw i t hh i g h e rg r a d ea n di n c r e a s e d g r a d u a l l yl i n e a r ，h o r i z o n t a l l i n e a rd i m e n s i o n sa r eb e t t e rt h a nt h el i n e a rv e r t i c a l d i m e n s i o n ；c o n t r a r y l o gc o e f f i c i e n to fd e t e r m i n a t i o na n di n t e r c e p tci n c r e a s e dw i t ht h e i v t h er e s e a r c ho nt h ee s t i m a t i o no f c h i l d r e ni np r i m a r ys c h o o ls t u d e n t sa b s t r a c t g r a d ea n dr e d u c et h ec u r v eg r a d u a l l yw e a k e n e da n dt e n dt oal i n e a rf u n c t i o no ft h e h o r i z o n t a l l i n e a rd i m e n s i o n sa r eb e t t e rt h a nt h e1 i n e a rv e r t i c a ld i m e n s i o n k e yw o r d s ：p r i m a r ya n ds e c o n d a r ys c h o o ls t u d e n t s ，t h ef i g u r ei se s t i m a t e dt h a tt h e c a p a c i t yo fl i n e s ，d i g i t a ll i n e si se s t i m a t e dt h a ts t r a t e g y ，t h ei m p a c to ff a c t o r s ，h i d d e n w i t h i nt h eg a m et r a i n i n g ，t r a i n i n go u t s i d et h ed o m i n a n ts t r a t e g y , t h et a s ki se s t i m a t e d t h a tt h ef o r mo fd i g i t a ll i n e v w r i t t e nb yy a h y i n l o n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl i ud i a n z h i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：塑鏖么 日 期：电群：主：) 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名。蕴锤砬日期：逮蝉：! ! f 导师签名：鑫f 也乏： 日 期：也茸：! l 小学儿童估算能力研究第一部分 第一部分引言 1 问题的提出 估算是一种普遍而广泛存在的认知加工过程，无论儿童还是成年人在学习或 生活中都频繁接触。例如，从家里出发到电影院大概需要多少时间；比较昨天和 今天的气温高低；估算3 3 1 2 的大概结果等等。在现实生活中，在不需要精确计 算加工的情况下，估算想必是一种比较理想的问题解决方式。如果能够对我们所 面临的上述任务进行较为准确地估算，这将会给我们的生活和学习带来很多方便。 此外，随着科学技术的进步，计算工具日益普及。过去需要借助工具由儿童经过 心理努力得到的计算结果可以选择无需心理努力的工具来代替计算，判断经由计 算工具所产生的答案是否正确，判断计算的合理的能力就显得尤为重要。我们今 天所面临的问题是要能够确定什么时候需要精确答案，什么时候更适合使用大致 估算，以及如何有效地利用估算来判断心算或工具计算的结果的合理性。 估算是人们在日常生活中和生产实际中，某些计算和测量的结果无法得到或 也没有必要进行精确的计算和判断时所采取的数学方法。它是人们对数量关系和 空间形式的概括的合理的推断。它能表示人们对所需要得到的理想结果尽可能地 接近的程度。在进行估算的心理加工过程中，必须具有合理的逻辑性和条理性， 需要运用一些合理的推理和判断。在小学数学教学中加强估算教学，对于培养学 生猜测、推理、判断的能力有很大地帮助，同时也可以提高学生对事物具有综合 性和概括性认识的能力。对于具有估算能力的学生来讲，它对数量、时间和空间 等有整体性、全局性和概括性的认识和看法，这对提高学生的整体素质是特别有 益的。 尽管估算对我们每天的活动很重要且是数学认知过程中极为重要的一部分， 然而较之于数量能力的其它认知方面的研究，例如，精算、简算、加减法等等， 我们对估算认知加工的了解还是较为匮乏( d o w k e r , 2 0 0 5 ；g e c r y , 1 9 9 4 ) 。导致这种差 异的主要原因就是估算任务的复杂性及多变性，使得我们对其有关的数量加工研 究十分不利。估算上海的人口数量；北京到南京的距离；目测一条河流的宽度； 一张纸上离散数点的数目等等，如果让儿童对其做出准确的估算需要具备客观情 景的生活知识，测量单位的掌握及优良的数量背景。因此，为了更好的理解数量 小学儿童估算能力研究第一部分 估算加工的模式，s i e g l e r ( 2 0 0 6 ) 提出了对数量估算进行区分的标准，即依据解 决问题所需的知识以及使用这些知识解决问题的过程。相关知识大致可分为两类： 客观情境知识和数量知识。 数量知识包括纯数量估算( p u r en u m e r i c a le s t i m a t i o n ) ，其加工过程是当前研 究的热点，由于纯数量估算是一种为了获取某些近似的量值而采用数值作为输 输出的形式，例如，估算3 9 2 1 的值、数字2 6 在数字线段中的位置、一个广口瓶 中弹球的数量等。对于估算研究来说，纯数量估算之所以重要，是因为它不需要 有关现实生活情境非数学性知识和特定度量单位常识的介入，而这些都是影响估 算绩效的因素。 最近的有关研究，大都采用线段数量估算( n u m b e rl i n ee s t i m m i o n ) 的方式 对纯数量估算进行探究。在任务中，给儿童提供一系列在两端带有数字的线段( 如， 0 1 0 0 0 ) ，第三个数字( 如，3 7 ) 在线的上方，并且在线上没有任何标记，任务就 是去判断在线段上第三个数据的位置。线段数量估算是：数字( 输入) 一心理数 量符号( 数字与数量一一匹配) 一空间位置( 输出) 的转化过程。研究中采用这 种任务形式的原因：首先，无客观情境知识及相关度量单位的干扰，使被试的选 取具有多样性。其次，能够真实地反映匀称数字系统比率的特性。最后，能够更 直接地反映出儿童数量的表征模型。 由于数量估算表征模型的多样性和差异性，使得在数量表征理论的研究上存 在一些分歧。数量估算表征模型大致分为对数表征模型( l o g a r i t h m i cr e p r e s e n t a t i o n m o d e l ) 和直线表征模型( l i n e a rr e p r e s e n t a t i o nm o d e l ) 。d e h a e n e ( 19 9 7 ) 指出儿 童从婴j l n 老年在数量表征上像其它动物一样依赖于对数表征模型，夸大较小数 字之间的数量距离，缩小较大数字间的数量距离，简言之，小数估大，大数估小。 并认为这种表征模型是儿童的自然反应，无法抑制。c a s e & o k a m o t o ( 1 9 9 6 ) 指出 儿童在不同的年龄阶段将会使用不同的数量表征模型，但是在特定的某一阶段仅 掌握单一的模型。s i e g l e r ( 1 9 9 6 ) 提出的叠波理论( o v e r l a p p i n gw a v e st h e o r y ) 或 许可以给出更好的解释。叠波理论是用于认知变化解释的理论并已广泛地应用于 算数，阅读，拼写，记忆，问题解决，概念理解等大多领域的发展研究中。其理 论观点为，儿童在认知过程中所表现的策略和表征具有很大的变异性。在解决给 予的问题时，儿童会使用多种策略和表征而不是单一的且策略和表征的发展性差 异会共存于人的一生，而不是仅闪现于短暂的过渡期。 2 小学儿童估算能力研究第一部分 最近的研究中，s i e g l e r & b o o t h ( 2 0 0 4 ) 在对从幼儿园儿童n - 年级学生进行 的o 1 0 0 范围内线段数量估算实验中和s i e g l e r & o p f e r ( 2 0 0 3 ) 在二年级至六年级 学生进行的0 1 0 0 0 范围内线段数量估算实验中发现不同的年龄阶段将会使用不同 的数量表征模型。具体来说，当儿童被要求在一行0 到1 0 0 的数量线段中估算某 些数字的位置时，绝大多数幼儿园儿童的估算结果呈现对数表征模型，而大多数 二年级学生使用直线表征模型进行估算( 一年级学生的情况大致是两种表征模型 各占一半) ( s i e g l e r & b o o t h ，2 0 0 4 ) 。类似地，当被试要求在0 到1 0 0 0 的数量线 段中估算某些数字的位置时，绝大多数二年级学生的估算结果呈现对数表征模型， 而大多数六年级学生则以直线表征模型估算，而各有一半的四年级学生的估算结 果分别匹配两种模型( s i e g l e r & o p f e r ，2 0 0 3 ) 。早至二年级阶段，儿童就已经拥 有两种不同的表征形式，但他们在变化的问题情境中使用不同的表征模型，因此 在s i e g l e r 和o p f e r 所进行的研究中，几乎半数二年级学生在0 到1 0 0 范围的线段 数量估算实验中显示了渐增的直线表征模型，而在o 到1 0 0 0 范围内的实验中则显 示出越来越多的对数表征模型。这种现象源于儿童对处于不同范围内的数字的接 触程度，而不是他们对十进制系统的日渐深入的理解或者某种发生在特定年龄的 成熟效应( s i e g l e r ，2 0 0 6 ) 。儿童在把一个阿拉伯数字转化为心理数量符号时，这 些数字通常是他们较为熟悉并经常运用的数字，也就是那些被熟悉范围内的小数 字( 如，1 ，2 ，3 ，) ，长而久之，就会形成固定的图式。假如给儿童一个新异的 刺激( 陌生的较大数字范围) ，在这个新的数字范围内让其估算熟悉的数字，由于 固定的图式( 心理数量符号没有随范围一起变化) 往往就会把数量估大。估算数 字范围的变化给被试的估算加工过程增加了认知负荷，进而也就影响了估算的准 确性和表征模型的选择。 在大量地不同估算任务的发展性研究中，距离估算( c o h e n ，w e c t h e r f o r d ， l o m e n i c k ，k o e l l e r ，1 9 7 9 ) ，金钱估算( s o w d e r ，w h e e l e r ，1 9 8 9 ) ，离散物体的数 目估算( h e a o x ，h a g e n ，1 9 7 1 ) 和数字计算估算( l e f v r e ，g r e e n h a m ，n a h e e d ，1 9 9 3 ) 共同表明，儿童的估算技能比较贫乏，估算成绩不尽人意。并把问题归因为：较 弱的心理数量符号，数感缺乏，数概念建构不完整和规则掌握不充分( c a s e ， s o w d e r ，1 9 9 0 ；h i e b e r t ，w e a r n e ，1 9 8 6 ；j o r a m ，s u b r a h m c n y a m ，g e l m a n ，1 9 9 8 ； s o w d e r ，1 9 9 2 ) 。另外一个重要因素是儿童对数量表征模型不能正确地选择( s i e g l e r ， 2 0 0 4 ) 。 小学儿童估算能力研究 第一部分 此外，在小学数学教育的悠久历史中，估算还是一个相对较新的内容。二十 世纪八十年代之前，很少有研究注意到估算这一领域，但是自从c a r p e n t e r 等人 ( 1 9 7 6 ，1 9 8 0 ) 的研究结果表明学生缺乏基本必要的估算技能来适应实际需要后， 国外就出现了对估算的研究热潮。 二十世纪七十年代起，美国的数学教育工作者开始正视长久以来估算一直在 数学课程中被忽视的现象( c c r p e n t e r , e t ，1 9 7 6 ) ，研究发现几个学龄段的学生在估算 上的表现都相当差。在1 9 8 9 年全美数学教师联合会( n c t m ) 建议加强估算的教 学，把估算作为一个标准，并认为估算是数学的一个方面，与数概念和空间概念 相配合来帮助儿童加深对概念和过程的理解，增强学生应用数和测量的灵活性。 英国教育部1 9 9 1 年出版了部颁课程标准，其中的第二个教学目标中指出：关于“数” 的部分，特别强调学生应能了解并运用数字，包括估算和近似值，并且能解释其 结果。此外在德国有对各种物体的长度进行估算的要求，在解决问题的过程中估 算结果的要求( 卢江，1 9 9 8 ) ；荷兰则在其最新的数学课程目标中规定：“学生应 能做估算问题，包括与分数和小数有关的估算，并能对估算结果的正确性做出大 体的判断。 上述文献均表明各国的教育工作者已经注意到估算的重要性，在研究 工作中也有所反映。由此可见估算已是当前国际小学数学教育中比较重视的一种 能力。重视和加强估算能力的培养已成为国际教育领域的潮流。 在我国，由于历史原因和对数学教育理解的偏差，估算的内容是在二十世纪 九十年代后编写的九年义务教育小学数学教学大纲和教科书中才首次引入的，这 在我国小学数学教材的历史上还是第一次。在随后的时间里，虽然我国教育者对 估算内容教学做了改进和调整，然而考虑到教师接受的具体情况，所增加的内容 仅仅是培养估算能力的一部分，数与计算以外的内容没有涉及。而且目前估算内 容在我国小学数学中还仅仅作为选学内容来处理，且由于这部分内容在编排时， 呈现的形式比较单一，在整套教材中没能体现出教材编写者对学生估算能力培养 的完整意图，使许多教师误认为这部分内容可有可无。 综上，当前在国内还有很多小学教师不知道纯数字估算能力意义和重要性； 小学生纯数字估算能力和估算意识是如何发展的，其影响因素有哪些? 它们如何 影响着小学生纯数字估算能力的发展? 哪种培养方式对于不同学龄段的儿童更为 有效? 以及儿童数学估算能力的发展领域与促进问题，这些都是极有深入研究必 要的课题。 4 小学儿童估算能力研究第部分 2 研究意义 2 1 理论意义 估算和数量理解顺应时代发展，为数学教育提出新的要求，为人们揭示儿童 认知发展的内在规律提供了一个新的视角。本研究把估算和数量的理解结合起来， 探究一套适合初级儿童数学教育的估算策略，为以后研究补充了实证资料。 在我国，前人有关估算的研究主要集中在计算估算及相关研究上，很少涉及 到纯数字其它形式的数量估算研究，因此，在估算研究的领域内又开展了新的思 路，弥补了先前相关研究的不足。 本研究连续探究小学二、四、六年级三个不同年龄阶段的儿童的估算能力水 平及发展规律，为初级阶段的数学教育提供了理论上的依据和实践上的建议。 2 2 实践意义 数学能力是一个人不仅在学业成就上还是现实生活中都十分重要的方面，应 在儿童的早期就要开始发展，因此在学前教育和小学教育中是不可忽视的内容。 但是在初级数学教育阶段普遍存在一种狭义的理解，把数学教育理解为算术教育 或计算教育，忽视了数字估算能力技能和数量关系对儿童数学能力的影响。本研 究从估算技能和数量间的关系来使儿童掌握一定的估算策略，以期为数学初级阶 段教育提供更广泛的视域。 当前在全球进行课改的形势下，我国数学教育的课程改革也如火如荼。我国 的数学课程标准( 教育部，2 0 0 1 ) 中，也首次明确地提出“培养学生的估算意 识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感具有重要的价值。”因此研究儿 童的估算能力的发展具有很强的现实意义。 估算是深入到日常生活和学校生活中的一个数学内容。它也是儿童较为困难 的一项技能，这种困难被归因于不完善的中心概念结构，粗心大意的符号操作， 数量理解的缺乏，对计数误解，以及对十进制系统理解方面的缺陷。而初级阶段 受教育的儿童正是把非正式数学学习和正式的数学学习结合的一个起点，是在生 活和活动的过程中学习的。因而，在儿童的初级数学教育中开展估算能力的培养， 能够很好的建立儿童对数学的好奇心和吸引力。 小学儿童估算能力研究第一部分 3 基本概念 3 1 估算 估算是指儿童懂得在什么情况下无法或不必做出精确的数字处理或数字运 算，而应用相关的数字知识和策略给出近似答案的能力。研究者通常把估算按照 操作任务的差异划分为三个类别：数量估算( n u m e r o s i t ye s t i m a t i o n ) ，测量估算 ( m e a s u r e m e n te s t i m a t i o n ) 和计算估算( c o m p u t a t i o n a le s t i m a t i o n ) ( h a n s o n & h o g a n ， 2 0 0 0 ； m o n t a g u e & g a r d e m ，2 0 0 3 ；h o g a n & b r e z i n s k i ，2 0 0 3 ) 。简单来说，估 算是近似的猜测事物的数量的行为。在日常生活中我们经常使用估算来决定一些 不需要精确计算的问题。 s i e g l e r 等人从函数方程的角度分析，把所要估算的实际值作为自变量，估算 值作为因变量，用函数的形式反映儿童的估算水平，大致可呈现两种函数形式： 直线函数和对数函数。因此，s i e g l e r 把估算( e s t i m a t i o n ) 定义为两种交替性选择 的数量表征不断相互转化的认知过程，其中一种数量表征效果是相对较为失真的 ( s i e g l e r , 2 0 0 5 ) 。 3 2 纯数量估算 纯数量估算( p u r en u m e r i c a le s t i m a t i o n ) 加工过程是当前研究的亮点，纯数量 估算是一种为了获取某些近似的量值而采用数字作为输入输出的过程，这种过程 并不需要为了估算客体的某个属性而掌握相关知识，也不涉及对常规度量单位的 了解。例如，估算1 3 9 4 2 的值、数字5 0 在数字线段中的位置、一个广口瓶中玻 璃球的数量等。对于估算研究来说，纯数量估算之所以重要，是因为它不需要有 关现实生活情境非数学性知识和特定度量单位常识的介入，而这些都是影响估算 绩效的因素。 根据估算任务形式的不同，纯数量估算大致可分为四种类型( s i e g l e r , 2 0 0 6 ) ：数 字线估算( n u m b e rl i n ee s t i m a t i o n ) ，测量估算( m e a s u r e m e n te s t i m a t i o n ) ，数目估 算( n u m e r o s i t ye s t i m a t i o n ) 和计算估算( c o m p u t m i o n a le s t i m a t i o n ) 。其中，数字线 估算任务是最近几年最为常用的研究范式。 3 3 数字线估算任务 最近的有关研究，大都采用数字线估算( n u m b e rl i n ee s t i m a t i o n ) 的任务方 式对纯数量估算进行深远的探究。数字线估算任务具体表现为，给儿童提供一系 列在两端带有数字的线段，( e g ，0a n d1 0 0 0 ) ，第三个数字( e g ，5 6 ) 在线的上方， 6 小学儿童估算能力研究第一部分 并且在线上没有任何标记，任务就是去判断在线段上第三个数据的位置。线段数 量估算是：数字( 输入) 一心理数量符号( 数字与数量心理匹配加工) 一空间位 置( 输出) 的转化过程。研究中采用这种任务形式的原因：首先，无客观情境知 识及相关度量单位的干扰，使被试的选取具有多重性：其次，能够真实地反映匀 称数字系统比率的特性；最后，能够更直接地反映出儿童数量的估算表征模型。 3 4 估算表征模型 从函数方程的角度分析，我们把所要估算的实际值作为自变量，估算值作为 因变量，用函数的形式反映儿童的估算水平，大致可呈现两种函数形式：直线函 数和对数函数。数量估算表征模型大致分为对数表征模型( l o g a r i t h m i c r e p r e s e n t a t i o nm o d e l ) 和直线表征模型( l i n e a rr e p r e s e n t a t i o nm o d e l ) 。对数表征 模型表现为，儿童在估算任务中总夸大较小数字间的数量间距而缩小较大数字间 的数量间距，即小数估大，大数估小；直线表征模型表现为，儿童总能够随着实 际值的增大或减小而相应地增加或减少估算值的数值，即估算值与实际值呈线性 关系。相比而言，我们在数学基础教育中更倾向于培养学生生成直线表征模型， 形成良好的心理数量匹配习惯。 3 5 学习策略 所谓“策略”，根据g a g n e ( 1 9 8 5 ) 的观点是一种目的导向的心智操作程序。 人们解决问题时经常会不自觉地使用一些习惯性的策略。g a g n e 把它们分为两种， 一种是特定领域的策略，指策略的使用同问题所包含的学科内容有关。另一种是 一般性策略，即策略的使用同问题所包含的学科内容无关，可以应用到不同类型 的问题中去。我国学习策略专家刘电芝( 1 9 9 7 ) 教授将学习策略定义为学习者在 学习活动中有效学习的程序、规则、方法、技巧及调控方式。 4 估算理论研究 4 1 特征理论 r e y s 等人( 1 9 8 2 ) 首先描述了优秀估算者的特征。他们认为这些人能灵活运 用重新表述、转译和补偿三种加工，还能良好地抓住基本事实，位数和算数特性， 能熟练进行心算，有自信心和能容忍错误，还能使用不同估算策略并在策略间灵 活地进行转换。 4 2 内容理论 s o w d e r & w h e e l e r ( 1 9 8 9 ) 提出了估算的内容理论。他们认为估算所涉及到的 7 小学儿童估算能力研究第一部分 内容包括知识、技能和情感三大部分。其中前两部分包括核心和外围两类。在知 识部分中，核心知识包括近似数的作用，多种过程和结果及恰当性，外围知识包 括数字的数位，基本事实和运算属性及恰当使用。在技能部分中，核心技能包括 重新表述，补偿，转译，确定估计值大、小的正确顺序确定可接受估计值的范围， 外围技能包括运用十的指数，利用大小比较数字和心算。 4 3 发展理论 c a s e & s o w d e r ( 1 9 9 0 ) 根据c a s e ( 1 9 8 5 ) 的一般认知