（运筹学与控制论专业论文）一般时间尺度上脉冲系统稳定性分析.pdf

中文摘要 摘要 一般时间尺度理论始于s t e f a nh i l g e r z e l 9 8 8 年的一篇博士论文，随后 该理论发展迅速。2 0 0 1 年书【4 】的发表标志着一般时间尺度理论达到了一 个高峰。这个理论的初衷就是要统一连续和离散的情况，以往对于这两 种情况不得不分开分析。 控制论是2 0 世纪4 0 年代由数学家n w i e n e r 仓l j 立的一门学科，而动力 系统的控制理论的应用非常广泛。目前，控制理论科学发展十分快速， 正处在数学、计算机科学和工程学交叉学科的发展前沿，并且已把强 有力的结果带到现代技术中，它已成为以自动化、计算机和机器人为代 表的新技术革命的核心。脉冲控制由于实现简单、控制装置成本低廉、 能耗小等优点，引起了国际控制界的关注。并且，脉冲控制方法已广泛 应用到生物系统、混沌系统、经济系统等领域。一般时间尺度上脉冲控 制的研究，由于统一了连续和离散的情况，使其在生物、生态、医学、 经济、金融和社会学等方面都有着更广泛的应用。无疑这是一个具有强 大生命力的研究方向。一般时间尺度上脉冲控制研究的课题之一，就是 脉冲系统的稳定性问题。动力系统稳定性的重要性是人所共知的，俄罗 斯著名数学力学家l y a p u n o v 院士首创的运动稳定性的一般理论，受到了 各国数学家的高度重视。由于其具有的普遍意义，至今仍是现代控制的 主要性能指标。所以一般时间尺度上脉冲系统的稳定性研究无疑对整个 学科的发展具有重要的理论价值和应用前景。本文主要应用l y a p u n o v 函 数、数学分析和泛函分析等方法，来研究一般时间尺度上脉冲系统解 的稳定性。对解的稳定性分析，包括固定脉冲时刻情况和变脉冲时刻情 况，研究方法将主要采用比较定理和l y a p u n o v 函数法等方法进行。着重 研究了一般时间尺度上脉冲系统和带时滞的脉冲系统的稳定性的问题。 同时举出例子来说明所得判据的有效性和优越性，从而使所得的结论能 够更好地与实际相结合，更好地将理论应用于生产实践。一般时间尺度 上脉冲系统比传统的脉冲系统的研究要困难，但自然界和人类社会的许 多现象是离散的情况居多，因此研究所得的结果不仅统一了连续和离散 分析，而且为脉冲控制理论应用到实际问题提供了新的更具实用性的方 法。 本文由五章构成。第一章是绪论，第二章利用l y a p u n o v m 数和比较定 中文摘要 理给出了一般时间尺度上脉冲动力系统的的稳定和渐近稳定性定理。第 三章主要利用l y a p u n o v f l 数和比较定理给出了一般时间尺度上脉冲动力 系统的一致l i p s c h i t z 稳定性定理。第四章对一般时间尺度上时滞脉冲系统 的渐近稳定、一致稳定和不稳定问题进行了研究，主要利用l y a p u n o v 泛 函法。第五章对一般时间尺度上时滞脉冲系统的双测度稳定性进行了研 究，主要利用l y a p u n o v 函数法。 关键词： 脉冲系统，稳定性，一般时间尺度，l y a p u n o v 函 数，l y a p u n o v 泛函，比较定理，滞后。 英文摘要 a b s t r a c t t h et h e o r yo ft i m es c a l e ss p r i n g sf r o mt h e1 9 8 8d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no fs t e f a n h i l g e r a f t e r w a r d s ，t h eb o d yo fk n o w l e d g ec o n c e r n i n gt i m es c a l e sa d v a n c e dq u i c k l y , c u l m i n a t i n gi nt h eb o o ko f 【4 】t h et h e o r yo ft i m es c a l e sw a s i n t r o d u c e dt ou n i f yc o n - t i n u o u sa n dd i s c r e t ea n a l y s i s t h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e mi sa ni s s u ef o r d i s c u s s i o n w i t he x p a n d i n ga p p l i c a t i o no fc o n t r o ls y s t e m s ，a n dg r o w i n gc o m p l e x i t y o ft h eo b j e c t s ，t h eu n c e r t a i n t yo ft h es y s t e m sa n dt h ee n v i r o n m e n ta n dt h er i g i dc o n - t r o lr e q u i r e m e n t s ，c h a l l e n g eu st ob eb ef a c e dw i t ht h i sa g e b u tt h eu n c e r t a i n t yi n t h ec o m p l e xc o n t r o ls y s t e m si so n eo ft h em o s tc r u c i a lf a c t o r s m a n ym a t h e m a t i c a l t o o l s ，i n t r o d u c e di l l t oc o n t r o li n v e s t i g a t i o np r a c t i c a l l y , a n df a s td e v e l o p m e n to fc o m - p u r e rt e c h n o l o g y , l a yas o l i df o u n d a t i o nf o rm e e t i n gt h i sc h a l l e n g e i nr e c e n ty e a r s ，t h e w o r ko ni m p u l s i v es y s t e m so nt i m es c a l e sh a sb e e nt h es u b j e c to fm a n yi n v e s t i g a t i o n s b u tf e wa u t h o r sh a v es t u d i e ds t a b i l i t yo fi m p u l s i v es y s t e m so nt i m es c a l e s i nt h i s p a p e r , w eu s ec o m p a r i s o nt h e o r y , l y a p u n o vf u n c t i o n s ，l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，a n da n a l y s i sm e t h o d st og e ts o m es t a b i l i t yc r i t e r i ao fi m p u l s i v es y s t e m so nt i m es c a l e s a l s o s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oe s t a b l i s ht h ee f f i c i e n c yo fc o n c l u s i o n s ，i no r d e rt om a k et h e t h e o r yp r a c t i c a l t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of i v ep a r t s c h a p t e ro n ei st h ee x o r d i u m i nc h a p t e r t w o ，s o m ec r i t e r i ao fs t a b i l i t ya n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o ri m p u l s i v es y s t e m so nt i m e s c a l e sa r eo b t a i n e db yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d i nc h a p t e rt h r e e 。w eh a v e g o tt h er e s u l to fu n i f o r me v e n t u a ll i p s c h i t zs t a b i l i t yf o ri m p u l s i v es y s t e m so nt i m e s c a l e s i nc h a p t e rf o 峨t h r o u g hl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，w eh a v ee s t a b l i s h e ds o m e s t a b i l i t yc r i t e r i af o rd e l a yi m p u l s i v es y s t e m so nt i m es c a l e s i nc h a p t e rf i v e ，t h r o u g h l y a p u n o vf u n c t i o n sa n da n a l y s i sm e t h o d ，w eh a v eg o tt h es t a b i l i t yo ft w o m e a s u r e sf o r d e l a yi m p u l s i v es y s t e m so nt i m es c a l e s k e yw o r d s ：i m p u l s i v es y s t e m s ，s t a b i l i t y , t i m es c a l e s ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，l y a - p u n o vf u n c t i o n a l ，c o m p a r i s o nm e t h o d ，d e l a y 一v 一 论文原创性声明 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 一一 签名： 年月日 版权使用授权声明 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索 以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规 定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于 学术活动。 学位论文作者签名： 年月日： 绪论 1 1 概述 绪论 一般时间尺度理论始于s t e f a nh i l g e r 在1 9 8 8 年的一篇博士论文，随后 该理论发展迅速。2 0 0 1 年书【4 】的发表标志着一般时间尺度理论达到了一 个高峰。这个理论的初衷就是要统一连续和离散的情况，以往对于这两 种情况不得不分开分析。 动力系统是2 0 世纪最富有成就感的数学分支之一，在不少领域中有 重要的应用，不仅是非线性科学的研究对象，而且是研究非线性“复杂 性 的有力工具之一，其理论与方法已广泛渗透于许多重要的领域和众 多学科。它的稳定性问题是人们研究各类动态系统所面临的最基本最重 要的问题之一。在经典控制中，稳定性是唯一的要求，即使在现代控制 论中，它仍然是主要的性能指标。 控制科学从本质上讲是一门技术科学，是2 0 世纪4 0 年代由数学家n w i e n e r 包j 立的一门很具有生命力的学科。它涵盖的内容越来越广，涉及线 性系统、非线性系统、分布参数系统、离散事件系统、随机系统、大规 模系统等不同性质的控制对象；研究领域不断扩大，包括建模和系统辨 识、统计估值和滤波、最优控制、鲁棒控制、自适应控制、故障诊断和 容错控制、智能控制及控制系统c a d 等途径和方法；同时，它在社会经 济、环境生态、组织管理等人类决策活动，与生物医学中诊断及控制， 与信息处理、新型计算原理( 如人工神经网络) 等邻近学科相交叉中又将形 成许多新的研究分支：它以工程技术中的实际需要为背景和动力，以数 学和计算机为主要目的，正处在数学、计算机科学和工程学交叉学科的 发展前沿，正处在以自动化、计算机和机器人为代表的新技术革命的核 心，已把有力的结果带到现代技术中。它的应用和影响已经遍及众多的 部门和领域，贯穿其中的许多思想和方法已经用于经济和社会现象的研 究。由于一般时间尺度的统一性，使得对一般时间尺度上脉冲系统的稳 定性研究无疑对整个学科的发展具有重要的理论价值和应用前景。 下面给出与本文相关的概念和大致内容： 绪论 1 2 一些概念 1 2 1 一般时间尺度理论基本概念 t 是一般时间尺度( 一种非空闭的实数集) 满足有最小元素t o 0 ，没 有最大元素。 定义1 1 ：映射盯，p ：t _ t 分别定义为o ( t ) = i n f s t ：s t ) 和j d ( t ) - - - - s u p s t ：s t ，则t 被称为右断的；如果p ( t ) 0 ，存在t 的一个邻域u ( u = ( t 一5 ，t + 艿) nt 这 里5 0 为固定的) 和所有的8 u 满足 l 【，( 盯 ) ) 一厂( s ) 】一f z x ) p ( 亡) 一8 】l gl 盯 ) 一si 我们称f ( 芒) 为，在t 点的导数。 定义1 6 ：函数，：t 一酽称为右密连续，如果其在t 的右密点连续并且 在左密点极限存在。这样的函数集合f ：t _ 形定义为g d 。 定义1 7 ：设矽：【一7 - ，o r 一舻并r e g d 。对任意的p 0 ，设p c ( p ) = p c ：l i 咖1 i 0 ， 存在t 的一个邻域u ( u = ( t 一正t + 5 ) f 3t 这里6 0 为固定的) 和所有 的8 u 满足 i 【y ( 盯 ) ，z ( 盯 ) ) 一y ( s ，z ( 仃 ) ) 】一p ，s ) f ( t ，x ( t ) ) - - l t ( t ，s ) y ，z ) ) l e l u ( t ，s ) i 定义d + v ( 亡，z ( t ) ) 为：对任意的g 0 ，存在以cu 对所有的s 玩，s t 满足 南【y ( 盯( t ) ，z ( 盯( 亡) ) 一y ( s ，z ( 仃( 亡) ) 一p ( t ，s ) m ，z ( 洲 0 ( s o ) ) 。 q 水= 矽c ( r + ，r + ) ：非减，矽( o ) = 0 ，矽( s ) 0 ( 8 o ) ) 。 绪论 定义1 1 3 ：函数p ：t r 称为回归的如果对t t 有1 + t t ( t ) p ( t ) 0 。 如果p 是一个回归函数，则指数函数e p 定义为 吻( 芒，s ) = e x p 毛( r ) ( 丁) ) 丁) ，s ，亡t 这里 ，= = 其o e l o g 是主对数函数。 1 2 2 一般时间尺度上动力系统平衡位置的稳定性和吸引性 定义1 1 4 ：给定一个一般时间尺度上的动力系统( x ，r ，7 r ) ，若存在点z x ，使得7 r ( z ，t ) = z ，v t t ，称茁为此动力系统的一个平衡点，记 为z e 。p a p ( x ，z e ) 表示z 与z e 的距离，在舻中，p ( x ，z e ) 常以忙一z e 0 来表 示。 下面给出一般时间尺度上动力系统( x ，r ，7 r ) 的平衡点z e 的稳定性与吸 引性概念。除非特别声明，稳定性概念都是指的l y a p u n o v 意义下的。 定义1 1 5 ：称z e 是稳定的，若垤 0 ，劭( e ) ，使得当p ( x o ，z e ) 6 ， 有p ( 丌( z ，亡) ，z e ) 0 ， 当p ( z ，z e ) 0 ，3 5 ( e ) 0 ， 当p ( z o ，z e ) 0 ，3 k ( 5 ) 0 ， 当p ( 跏，z e ) 5 ，有p ( 7 r ( z ，t ) ，z e ) 后( 6 ) e m ，v t t o ，t t 成立。 前面提到的一般时间尺度上动力系统概念及其它的稳定性、吸引性 都是在一般抽象空间x 上考虑的，但最常见的也是本文主要讨论的还 是形空间。 1 2 3 一般时间尺度上脉冲系统的分类 根据是否带滞后，一般时间尺度上脉冲系统可有如下二种不同的形 式： 第一种类型： 第二种类型： z = f ( t ，z ) ，t t k z ( 亡吉) = x ( t k ) + 厶( z ( 亡七) ) ，t = t k ( 1 1 ) z ( 亡手) = z o z = f ( t ，觑) ，t t k z ( 亡j ) = x ( t k ) + ( z ( t 七) ) ，t - - - - t k ( 1 2 ) z ( 亡吉) = 跏 1 3 本文研究的主要内容 在实际生活中有着许多离散脉冲系统的例子，但是关于研究一般时间 尺度上脉冲系统稳定性的文章还是比较少的。本文主要研究了一般时间 尺度上脉冲系统的稳定性结论，包括稳定，一致稳定，渐近稳定等。在 考虑带滞后的脉冲方程的稳定性问题时，运用了l y a p u n o v 泛函法。本文 共分五章。第一章为绪论，后四章为本文主要研究的内容。如下： 第二章：一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究。本章主要研究如下 一5 一 ，lli-iiii、，_-j、lli_一， 系统： 绪论 z = y ( t ，z ) ，t t k z j ) = x ( t k ) + ( z ( 亡南) ) ，t = t k ( 1 3 ) z ( 亡手) = x o 主要通过使用- j l y p u n o v 函数方法和比较定理，给出了这类系统的稳定， 一致稳定，渐近稳定性的判据，并通过数值例子，说明了结论正确性。 第三章：一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性研究。本章 要研究的系统同第二章一样。通过l y p u n o v 函数方法和比较定理，得到了 一致l i p s c h i t z 稳定性的判据。并通过数值例子，说明了结论正确性。 第四章：一般时问尺度上时滞脉冲系统稳定性研究。前两章考虑了 一般时间尺度上不带滞后的脉冲系统的稳定性问题，现在主要研究时滞 脉冲系统稳定性。 本文主要如下系统： z = f ( t ，x t ) ，t t k z ( 芒j ) = z ( 七) + 厶( z ( t ) ) ，t = t k ( 1 4 ) z ( 亡手) = x o 主要利用l y a p u n o v 泛函法，给出了这类系统的一致稳定，渐近稳定性的 判据，并通过数值例子，说明了结论正确性。 第五章：一般时间尺度上时滞脉冲系统双测度稳定性研究。本章要 研究的系统同第四章一样。通过l y p u n o v i 函数方法，得到了双测度稳定性 的判据。并通过数值例子，说明了结论正确性。 一6 一 2 1 简介 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 本章将给出一般时间尺度上脉冲系统稳定性判据，包括稳定，一致稳 定，渐近稳定。论文【6 】中，研究了一般时间尺度上动力系统的稳定性问 题，对于有脉冲的情况则没有给出说明，但其方法和思路对解决有脉冲 的系统提供了很好的鉴戒。由于脉冲系统更具有普遍性，在加上一般时 间尺度的统一性，使得研究一般时间尺度上脉冲系统稳定性更为重要。 近年来关于一般时间尺度上动力系统的文章越来越多。例如【6 】中研 究了如下一般时间尺度上动力系统的稳定性： 主要研究了其稳定，一致稳定，渐近稳定性。 本章我们将讨论如下两种一般时间尺度上脉冲系统的稳定性： 第一种是带固定时刻脉冲的： z = y ( t ，z ) ，t t k z o j ) = z ( t k ) + 厶( z ( t 七) ) ，t = t k ( 2 1 ) z ( 对) = x o 第二种是带变脉冲的： z = y ( t ，z ) ，t ( z ) z ( 亡j ) = z ( t k ) + l k ( z ( t k ) ) ，t = ( z ) ( 2 2 ) z ( 臂) = x o 2 2 预备知识 为了给出主要结论，还需要给出一些定义。 一7 一 、l ， z o 瓦 z 八 = i i 如 z z ，ij l - - ， 一般时问尺度上脉冲系统稳定性研究 定义2 1 ：如果函数0 ) ：s ( p ) _ 肘，k n 连续并n o = ) n ( z ) 仡( z ) ，1 i m p ) = o o 我们定义g 詹= ( 亡，z ) t 形：死一1 ( z ) 尤- - 0 0 t ) ) 并且g = ug k 。 k = l 定义2 2 ：对t zq r + ，v v o ，a k ，定义集合 k ：| l = z s ( p ) ：y ( 亡+ ，z ) 0 满足对t t ，z s ( p ) ，y s ( p ) 有i f ( t ，z ) 一f ( t ，耖) i l i x 一l ； 一8 一 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 ( h 2 ) 函数厶：s ( p ) 一舻，( k n ) 都连续并且i k ( o ) = 0 ； ( h 3 ) 存在常数p o ( 0 ，p ) 满足如果z s ( p o ) 则z + i k ( z ) s ( p ) ，k ； ( h 4 ) 函数 ) ：s ( p ) _ r + ，k n 都连续并且o = 伯 ) n ( x ) 您 ) 0 存在5 x ( t o ，) 罗。满足如果q u o 5 1 则有让( 亡) = u ( t ，t o ，u o ) 6 ( e ) ，t t o 这里牡( 芒) = u ( t ，t o ，u o ) 是( 掣2 ) 的任一个解。 设u o = a ( i x 0 1 ) 并且选择如= 5 2 ( e ) 满足。他) 6 ( ) 。定义5 = r a i n ( 5 1 ，如) 。由此6 ，我们可以说如果i x o l 5 ，则对t t o 有i x ( t ) i e ， 这里x ( t ) = x ( t ，t o ，x 0 ) 是( 2 1 ) 的任一个解。 如果不成立，则存在( 2 1 ) 的解x ( t ) = x ( t ，t o ，x 0 ) ( 这$ 1 z o l t o ，t 幸t 使i x ( t 奉) l 而在t o t t 上有i x ( t ) i 0 和幻t ，存在而= 6 0 ( t o ) 0 和一个t o = t o i t o ，e ) 满足如果o u o 6 0 则有 u i t ) = u ( t ，t o ，u 0 ) 6 ( g ) ，t t o + t o ，t t 设1 2 7 0 i 南，由引理2 i 可得 v i t ，z ( 亡) ) r ( 亡，t o ，o ( i z 0 1 ) ) ，t t o ，t t 进而得到 b ( i z ( t ) 1 ) v i t ，z ) ) r ( 亡，t o ，a ( 1 2 0 1 ) ) 0 是给定的。由函数y 的性质可知存在6 = 6 ( t o ，) 满足如果 6 则有s 卸i y ( t 吉，2 7 ) l m 讥( 6 ( s ) ，6 ( 伽) ) 。设z o s i p ) ，1 2 7 0 l 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 6 ，z ( z ) = x ( t ，t o ，x o ) 是( 2 2 ) 的解。则由条件( 2 ) 可得至0 v ( t ，z ( 亡) ) 在t 上非 增。我们可以得到 6 ( 1 z ，t o ，x o ) 1 ) v ( t ，z ) ) v ( g ，x o ) ，n i 竹( 6 g ) ，b ( p o ) ) i x ( t ，t o ，x o ) i m i n ( e ，p o ) 这里t t o ，t t 。所以( 2 2 ) 的解z 兰0 是稳定的。 定理2 3 ：假设以下条件成立 ( 1 ) 条件( h 1 ) 至( h 4 ) 成立； ( 2 ) o ( i z i ) v ( t ，z ) ，b ( i x l ) w ( t ，z ) 这里( ，z ) t s ( p ) ，a ，b k ； ( 3 ) v ( t ，z ) 一c ( 彬( 亡，z ) ) 这里( ，z ) g ，c k ； ( 4 ) v ( t + ，x ( t + ) ) v ( t ，z ) ，t = ( z ) ； ( 5 ) 函数w a ( 亡，z ) 在txs ( p ) 上有上确界( 或有下确界) 并r w ( t + ，z + 厶( z ) ) w ( t ，z ) ( 或者w ( t + ，z + 厶 ) ) w ( t ，z ) ) 这里t = 0 ) 。 则方程组( 2 2 ) 的平凡解是渐近稳定的。 证明：设0 q 0 和一个序列 如) r ，t k t 满 足t k t k 一1 p 并且l x ( t k ，t o ，x o ) i r 这里七n 。则由( 2 ) 有 i w ( t k ，z ( 亡免) ) i 6 ( r ) ，是n ( 2 5 ) 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 设 s u pw ( t ，z ) o ) ( 2 6 ) ( t z ) e g 选择，y 0 满足7 b ( r ) 2( 2 7 ) 由( 3 5 ) 及条件( 3 ) 和( 5 ) ，我们有 0 y ( ，z ( 岛) ) y ( 亡吉，x o ) + 璧v o - ，z ( 7 ) ) x 7 y ( t 吉，x o ) 一善c ( w ( 7 i ，z ( 丁) ) 丁 彳 y ( 孟吉，x o ) 一1 7 c ( 彬( 丁，z ( 7 ) ) a r y ( t 吉，x o ) 一j t c ( b ( r ) 2 ) 。 当j 足够大时这是不可能的。 所以对于任意的x o v i 毛式子( 2 4 ) 成立。由定理( 2 2 ) 我们得至l j ( 2 2 ) 的 解z = 0 是稳定的。由于对于t o t ，集合毛是点z = 0 的一个邻域， 则z = 0 是吸引的。所以z 三0 是渐近稳定的。 如果函数( 亡，z ) 有下确界并hw ( t + ，z + 厶( z ) ) w ( t ，z ) 由相同的 分析可以得到一样的结论。一 2 4 数值例子 考虑如下一般眼t r , - l r 度上的脉冲系统 f 庐( 亡) = 捣一z ( 亡) ，亡3 k j 烈牡翻叫 ) 蟛弘 ( 2 8 ) i z ( t j ) = 壶z ( 亡) ，t = 3 k 【可( t j ) = 委v ( t k ) ，t = 3 k 这里3 k t ，k = 1 ，2 。 设v ( x ，y ) = x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ，t 3 k y ( t 去，z ( 亡j ) ，秒( 亡j ) ) = 委i x 2 ( t ) 4 - y 2 ( t ) 】，t = 3 k 则 v z 、( x ，可) = i x 2 ( 亡) 4 - y 2 ( t ) 】 = z z x ( t ) 2 x ( t ) + p ( 亡) z ) 】+ 秒( t ) 【2 秒( t ) + p ( t ) 可( t ) 】 代替z ( t ) 和户( 亡) 得到 v a ( x 秒) = 2 x ( 渤一z ) + 2 可( 南一y ) + p ) 【( 渤一z ) 2 + ( 渤 一掣) 2 】 囊一 3 k 弘 ( 2 9 ) v ，y ) = 2 z ( 嘲一z ) + 2 y ( 渤一秒) 一( z 2 + y 2 ) = 一v ( x ，) ，t 3 k 一般时间尺度上脉冲系统稳定性研究 由定理( 2 3 ) ，( 2 9 ) 的解是渐近稳定的。 rz ( 壶忌) = 端一z ( 吾忍) ，七6 佗 y a 川_ l i k 、) 。- 撩叫( 舭1 6 钆 ( 2 1 0 ) iz ( ( 丢忌) + ) = 主z ( 壶后) ，k = 6 n 、 7 l 秒( ( 互1 七) + ) = 三z ( 主后) ，k = 6 n ( 佗n ) y ( z ，y ) 蓁鬻一毯嚣叫户】 ( 三+ 吉) 2 】( z 2 + y 2 ) 一要( z 2 + y 2 ) = 一署( z 2 + y 2 ) = 一署y ( z ，可) ，k 6 n 由定理( 2 3 ) ，( 2 1 0 ) 的解是渐近稳定的。 2 5 结论 在本章中我们主要给出了一般时间尺度上脉冲系统的稳定性判定方 法。通过使用l y 印u n o v 函数，比较原理等方法，得到了这类系统的稳定 性的判据，同时给出了例子说明了结论的有效性。 注：本章内容由攻读硕士期间的论文2 改写而成。 一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性研究 3 1 简介 一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性研究 本章将给出一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性判据。论 文【1 5 】中，研究了脉冲系统的一致l i p s c h i t z 稳定性问题，由于一般时间尺 度的统一性，使得有必要对般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性 进行研究。本章将要研究的系统和第二章的系统( 2 1 ) 一样，其比较系统也 相应是( 2 3 ) ，同样在证明过程中将用到第二章中的引理2 1 。 3 2 预备知识 定义3 1 ：一般时间尺度上脉冲系统( 2 1 ) 的平凡解称为一致l i p s c h i t z 稳 定：如果对于任意的g 0 ，存在m 0 ，6 ( ) 0 和7 - ( s ) 0 满足对 于z o 形有 i i x o l l o ： ( 2 ) 存在饥c p 矿，捌满足饥( r ) 关于r 非减并且 k 吉) y ( t 吉，z 七十厶( z ) ) “2 k ( k ( t k ) v ( t k ，z ) ) ，七= 1 ，2 ， ( 3 ) g ( t ，u ) 肛( 亡) + 让在t 上关于让非减； ( 4 ) v ( t ，0 ) = 0 ，a ( 1 l x l l ) v ( t ，z ) ，a - 1 ) b ( p ) q ，这里o ，b k ，p 0 ，g 0 。 一1s 一 一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性研究 则如果( 2 3 ) 的平凡解一致“p s c h i t z 稳定那么( 2 1 ) 的平凡解也一致l i p s c h i t z 稳定。 证明：假设( 2 3 ) 的平凡解一致l i p s c h i t z 稳定，则对任意的s 0 ，t o 矿，存 在5 1 0 ，m 0 和7 - ( ) 0 ，满足 0 r o 0 满足对于l l 知i l 如有k ( 碚) y ( t 手，x o ) r o 5 1 。 由引理2 1 知，当l l x o l l 5 = m i n ( 5 1 ，如) 时有 m a ( 1l x l1 ) k ( t ) v ( t ，z ；t o ，x o ) ) r ( t ；t o ，r o ) m r o 这里i l x o l i 6 ，t t o 7 - ( s ) 选择y ( ，x o ) 2 蟊，则 训丽m 珊= 磊丽m 比咿0 ) 意南恻l 因此 i i x ( t ；t o , x o ) | l9 1 ( 端忙0 i i ) 0 ， k = 0 ，1 ，2 ，7 0 = 1 一 一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c l l i t z 稳定性研究 则( 2 1 ) 的平凡解一致l i p s c h i t z 稳定。 证明：考虑比较系统 iu = 入( t ) u ( t ) ，t ( t k ，t k + 1 】+ ，k = 0 ，1 ，2 ， u ( j ) = d k ( w ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ( 3 1 ) lu ( 手) = w o 0 如果t 【亡手，t d ，贝! j u ( t ) = e a ( t ) ( ，t o ) t o o 由于入( 亡) 非减，则入( 亡) 0 所以a ( t ) t t ( t ) 0 ，我们有 声，、r 、厶r r l 、一j 墨竺嗄生警产= 里卫萨a ( 7 - ) ，p ( 丁) o 缸一) ( 入厶( 7 ”。 入( 7 ) ：l 三：7 ) ：。 以力 。 v 乃p v7 产u u ( 亡) e 丘a a p ) r w o = w o e , x ( t ) 一x ( t o ) w o e a ( t o x ( t o ) 如果t 陋：- ，t 2 幸，贝i j u ) u ) e a ( ) 一a o ：- ) = d l w ( t 1 ) e a ( t ) 一x ( t t ) d i e a ( t 1 ) 一a ( t o ) w o e a ( t ) 一a ( t ：- ) d l w o e x ( 。2 ) 一a ( t - ) e a ( t 1 ) 一a ( 纠 如果t 肫手，t 3 + ，贝u u ( t ) u ( 亡亨) e a ( 。) 一入( 。事) = c h u ( t 2 ) e a ( t ) 一a ( 手) d l d z w ( t 1 ) e a ( 。2 ) 一a ( t j - ) + a ( t 3 ) 一a ( t 孝) = w o d l d 2 e ) 、( t s ) 一a ( t 孝) e a ( t 2 ) 一x ( q ) e x ( t 1 ) 一x ( t o ) 以次类推，当肛赢一l ，t 2 k 时，这里后= 1 ，2 ，有 w ( t ；t o ，0 3 0 ) w o d l e a ( t 2 ) 一a ( t + ) d 2 e a ( t s ) 一a 0 ) d 2 k - 1 e a ( 幻k ) 一a ( t 矗一1 ) e a 1 ) 一a ( t 。) n7 i e o w o e a ( 2 1 ) - x ( t o ) 或n , t i w o e ) 、_ ( t 1 ) x ( t 叫 当亡陋荔，t 2 k + 1 时，这里七= 0 ，1 ，2 ，有 w ( t ；t o ，0 2 0 ) w o d l e ) 一a ( 。 ) 如e ) 一a ( 2 孝) d 2 七e a ( t 弛+ 1 ) 一a ( t 轰) e x ( t 1 ) 一x ( t 。) 一1 7 一般时间尺度上脉冲系统一致l i p s c h i t z 稳定性研究 1 - i7 i w o e a ( t 1 ) 一a ( 幻) 或1 - 7 i w o e 入0 1 ) 一a ( 幻) 詹2 k 所以( 3 1 ) 的平凡解一致l i p s c h i t z 稳定，根据定理3 1 ，( 2 1 ) 平凡解一 致l i p s c h i t z 稳定。- 3 4 数值例子 考虑如下一般时间尺度上的脉冲系统 fz ( t ) = - - ( e - t + 1 ) z ( 亡) 一商x2 ，t ( 如，孟m 】，七= o ，1 ，2 p 紫- ( e - t + 1 ) 从幻一为( t k , t k + l r 一= 0 1 2 ( 3 2 ) lz ( 亡j ) = 主z ( t 七) ，k = 1 2 、 l 可( 亡吉) = 丢可( 亡j c ) ，k = 1 ，2 该系统定义在t 上满足p ( t ) 吾，t k t ，k = 0 ，1 ，2 。 设y ( x ，y ) = x 2 ( t ) + y 2 ( 亡) ，t ( t k ，t k 十1 】木，k = 0 ，1 ，2 y ( 亡吉，z ( 亡吉) ，秒( 芒去) ) = 1i x 2 ( t ) + y 2 ( 亡) 1 ，k = 1 ，2 ， k ( t ) = e q + 1 y ( z ，y ) = i x 2 ( ) + y 2 ( t ) 】 = 2 x x + 2 y y + p 0 ) 【( z ) 2 + ( y ) 2 】 代替z ( 亡) 和俨( 亡) 得到 2 x x + 2 = 一2 ( e 一+ 1 ) k 2 ( ) + 2 ( 亡) 】一2 繇一2 静x 2 2 - 2 ( e q + 1 ) i x 2 ) + y 2 ) 1 又 ( 护) 2 + ( y z x ) 2 = ( e t + 1 ) 2 x 2 ( t ) + y 2 ( t ) 】+ 2