（运筹学与控制论专业论文）一类本原有向图的广义指数的研究.pdf

博( 硕) 士学位论文授权书 率授权书嚣授权携论文为本久在牮鬻蓊范大学，弘扛李瓠( 系，心呈盟 学年艘第兰二学期取得2 i 乏士学位的学位论文。 论 文 名 称 二豢箪缸勉盈丑勉趱盘亟霉红 、翰询意 口不同意 本人具有著作财产权的论文全文资料，授予中图科技信息研究所、中国社会科学院文 献悸报中心、国家潮瞽馆、中国学术期刊电子杂志社论文合搏都及本人毕业学校图书铝， 可不陵魄域、时闻与次数以街缩、光碟或数位诧等各种方式重灏螽散布发行或上簸璃潞。 率论文为本人向一 权书签订藕年后公开。 驹意 申请专刺的附件之一，请将全文资料程本授 ( 请注明文号： ) t - i - ，_ - f - ，t - r 。+ _ _ 。1 t _ * 不同意 本人具有著作财产权的论文全文资料 授予教搿部指定送缴的图档馆及本人毕业学校 强蔼镬，为学术研究之筵的疆各秘方式夏割， 不限她域与时间，每人以一份为限n 或为主述霹鹌蕞授投媲入珏蚤摹孛方法笺裁 摘要 有向图的广义本原指数是本原有向图传统本原指数的推广，应用在非记 忆通讯系统中。广义本原指数的上界和相应的指数集的确定是广义本原指数 研究的重要问题。本文主要研究围长为2 的n 阶有向图的指数及相应的指数 集。主要内容有三部分：( 1 ) 第2 节给出了围长为2 的，l 阶本原有向图的第k 个顶点指数( e x p 。( t ) ) 的上界及相应的指数集。( 2 ) 第3 节给出了围长为2 的n 阶非本原有向图的第k 个顶点指数( e x p 。( 七) ) 的上界及相应的指数集， 讨论了极端情形。( 3 ) 第4 节分析了围长为2 的刀阶本原有向图的，f g ) 的上 界及相应的指数集，并讨论了极端情形。 a b s t r a c t g e n e r a l i z e dp r i m i t i v ee x p o n e n t so fd i g r a p h sa r eg e n e r a l i z a t i o n s o ft r a d i t i o n a l p r i m i t i v ee x p o n e n t s o f p r i m i t i v ed i g r a p h s ，w i t h a p p li c a t i o n si nm e m o r y l e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s t h ed e t e r m i n a t i o no f u p p e rb o u n d sa n dc o r r e s p o n d i n ge x p o n e n ts e t sf o rd i f f e r e n td i g r a p h c l a s s e si sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h es t u d yo fg e n e r a l i z e dp r i m i t i v e e x p o n e n t s i n t h i s p a p e r 。w e a r ec o n c e r n e d _ i t h t h e g e n e r a l i z e d p r i m i t i v ee x p o n e n t so ft h ed i g r a p h sw i t hg i v e no r d e ra n dg i r t h2 t h e m a i nr e s u l t sa r e ：( 1 ) w e g i v e a n u p p e r b o u n df o rk t h g e n e r a l i z e d p r i m i t i v ee x p o n e n t so fp r i m i t i v ed i g r a p h sw i t ho r d e r 拧a n dg i r t h 2 ，a n dd e t e r m i n et h ee x p o n e n ts e to ft h i sc l a s sd i g r a p h si ns e c t i o n 2 ( 2 ) w eg i v ea nu p p e rb o u n df o rk t hg e n e r a l i z e dp r i m i t i v ee x p o n e n t s o fn o n - p r i m i t i v ed i g r a p h sw i t ho r d e r 以a n dg i r t h2 ，d e t e r m i n e t h e e x p o n e n ts e to ft h i sc l a s sd i g r a p h si ns e c t i o n3 ，a n dd i s c u s st h e e x t r e m ec a s e s 【3 ) w e g i v ea nu p p e rb o u n df o rl e w i ni n d e x w h i c hi s r e l a t e dt og e n e r a l i z e dp r i m i t i v ee x p o n e n t so fp r i m i t i v e d i g r a p ho f o r d e r 疗a n dg i r t h2 ，d e t e r m i n et h ei n d e xs e to ft h i sc l a s s d i g r a p ha n d d i s c u s st h ee x t r e m ec a s o s 2 1前言 本原方阵及其指数理论，留数学的某些分支有着密切的联系，在理论和 实践上郄褥裂癍鼹，并曩，在戴基础上，传绫瓣本骧撂数概念稳裂了逡一步 的拓广。以与有向图相关联的j e 记忆通讯系统为背景，r ，a b r u a l d i 和柳柏濂 教授在1 9 9 0 年【l l 提出了本原有向图的广义指数的概念，磐在计算机科学、概 率论等数学分支上得列了应蠲。 在本原指数、广义本原指数的研究中的一个问题是研究各类本原有向图 豹本簸掺数、广义奉霖撰数弱上雾窝撂数集。攒鳃，郡嘉豁强辑究了对稼本 原矩阵的本原指数的上界和相成的指数榘。郭患i 3 j 、柳柏濂教授【4 j 研究了恰有 d 个环元( 1 d ， 熙日称e x p 。( h ) ( 即d 巾第j | 小的点指数) 为d 舶第】i 个广义本原指数，记作 e x p d ( 奄) 。 显然有：e x p d ( 1 ) e x p d ( 2 ) c x p d 即) ，特剐，c x p 口研) 就是d 的本 原指数，c d ) 。 定义1 5 嘲三( g ) 表示有向瞬g 的所有圈钓不同长度所构成的正整数集， 爱= ，2j 表示蠢= ，2 c l ( g ) r g 巾至少窍鼹个长分别为 、乇的圈哇、 岛( = t ，如 是重素鹣。 定义1 6 州 设r = l 气，_ 】互五( g ) 2 ，i ，) 且g c d ( r ，, ，) = l ， 葵孛三l 玲) 表示窍裔圈g 瓣掰鸯黼静不辩长度掰撺成魏藏整数黎，g 中煮墨弱 点弓的相应于尺的广义相对距离如( 只，e ) 是g 中从只到只的接触r 中所有 蠲长_ ，( 只要和一个长为，的瑟脊公共点魏称接触了数，) 的最短通道 豹长。 引耀1 2 。1 若、弓为本原有向图g 中任意两点，尺= f 气，气) 毛露) = ，以 盈g c d ( r ，) 2 l ，瑟| j 哪g 霉，0 ) 蟊缓，芬) 十蠡，于是 有 ，( g ) 只舅! 聚 败嘿，e ) + 蟊， 这里，办是 气，j 的f r o b e n i u s 数。，特别地，若r = f q ，吒 ，( q ，吼) = l ， 霹q 蟊= ( 罐i 一1 ) ( 口2 1 ) a 4 2 一类，阶本原有向图第k 个顶点指数( e x p 。( 站) 的上界及指数集 本节主要研究围长为2 的栉阶本原有向图的第k 个顶点指数( e x p 。似) ) 瓣上爨及指数集，在越之蔻，我识先磷突围长鸯2 熬荐除本骧蠢囱曩熬其孛 一类本原有向嬲( 含( 2 ，r ) 套圈的糟阶本豫有向图) 的第k 个顶点指数 ( e x p d ( 未) ) 的上器及指数集。 定义2 1 全体含( n ，r 2 ) 褰圈的雄阶本原有向图的指数构成的正照数集 合巨。 秘，称海含( ，疋) 套辫豹露除本蒙寿自强豹篱k 个广义本爨指数集， 即t 。( k ) = 州妊z + f 存在某个含( ，2 ) 套阙的一阶本原有向图d ，使 e x p 。馥) = 辨j 。 引壤2 1 若，怒奇数，3 ，n - 2 ，则存在，l 阶本原矩阵a ，其对应 熬奉嚣蠢鑫瑟联a ) 毒2 ，) 套鬻，裂y ( 国- 2 n + r - 4 。 引璃2 2 “”e x p d ( k ) 一 囊弓l 瑾2 ，1 窝号l 理2 。2 耀舞存投鸯( 2 ，) 套鏊瓣n 蹬零鞭舂藏鬻g n ， 商 e x p 岛( 1 ) + 一一1 e x p g n ( n ) 。 燕日 e x p f 置竹1 ) e x pg d ( 1 ) 开+ r 一3 ， 由( 1 ) 、( 2 ) ，得e x p ( 丑n ( 1 ) = ，l + ，一3 从而可褥 5 e x p 口( k ) 一 e x p d ( 1 ) + ( k - 1 ) n + r 一3 + ( 七一1 ) = n + r + k 一4 由引理2 1 知必有一本原有向图丘使得当3 ，疗一2 时有 e x p ( 一) = r o d ) = 2 n + ，一4 ， 于是 e x p ( 后) e x p ( 珂) 一( 聆一七) = n + ，+ 七一4 从而可得 e x p f 2 ，) ( 七) = n + t + j | 一4 引理2 3 设以，k 为正整数，是奇数，3 r f 鲁) ( ( 萼) 表不小于导的 最巧、整数) ，贝日 玎+ _ j 一1 ，一+ | ，n + 七十r 4 ) e2 ，( 七) 证明：考察含( 2 ，) 套圈 的n 阶本原有向图g t ( 如图1 所示) ，矿( g 1 ) = l ，2 ，n ) ， ，是奇数，3 r 粤 。3 h r 贝u ，n h + 1 ，取 r = 2 ，) ，对vk 矿( g 1 ) ，有 图1g l e x p g l ( 后) 吣m a x d 席( 七，歹) + 巾( 2 ，r ) = d 豆( 后，r 十1 ) + ( r 一1 ) = ，l + k + r 一 一1 ， 而点k 到点，+ l 不存在接触r 的且长为( 疗+ 七一厅) + p 的有向通道，这里p 是 奇数且l p m i n ( 一- h ，一1 ) = ，一1 以下记从点i 到点，+ 1 不接触r = f 2 ，r 的有向通道长为中，则： ( j ) l k h l 时，不存在从点七到点r + l 的不接触尺的有向通道 ( i i ) h k ，时，o = n + k h 一，+ 口( n - h + 1 ) ，a 为非负整数 考察方程 n + 七一h 一，+ 口( n h + 1 ) = ( n + k h ) + p 取p = ，一2 ，则n + k - h - r + 口( 甩一 + 1 ) = ( 忍+ i 一 ) + ，一2 即 卯蔫 ( 1 ) 一一一+ l 若订一h + l 2 r - 2 ，则h 2 ，一开一3 ( 2 ) 由3 ， 号) ，可得2 r 一胛一3 0 ，由( 2 ) 式，有h o ，与已知3 h r 矛盾 所以订一h + 1 2 ，一2 ，则( 1 ) 式可化为 d = l + 2 r - n i + i h - 一3 ， ( 3 ) 由3 ，f 量) ，可推得f 号 十2 , 一r + 2 疗一l ：又3 h r ，则必有 h 疗一，十2 从而有2 r 一，l + 一3 n h + l ，由( 3 ) 式，a 不是整数即当h i ， 时，不存在从点k 到点，十1 不接触尺的长为n + k + ，- 2 - h 的有向通道 6 ( i i j ) r + 1 k 力时，o = k 一( r + 1 ) 十口( n h 十1 ) ，a 为非负整数 考饕 方程k 一( ，+ 1 ) + 疆嚣一是1 ) = 弹+ 蠢一h + p ， 令p = r - 2 ，则有 k r l + a ( 糟一h + 1 ) = ，l 十七一h + r 一2 ， i 群= | + 2 开一r 而- + 2 i ，开一疗十l 由( i i ) 的讨论立即可得a 不是熬数，即当，+ l k n 时，不存在从点k 到点 r + l 不绥簸矗静长为n + k + r - h - 2 静有向通道 综恰( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 可得从点k 剽点，+ l 不存在不接触尺的且长为 对+ 蠢+ r - h 一2 的有商道邀 又，对vv v t 瓯) ，1 v k ，则由图1 ，显见： e x p g l 1 ) 一 e x p 岛( 2 ) o ，从而有 h 玎一，一1 ，雕一2 ，分以下2 种情况讨论： 当h 撑一r 一2 时，有 e x p d ( 1 ) 十开一1 + 巾( 2 ，) 2 雅- 4 警h 。摊一，一1 辩，羹l 对v 毪袄拶) ( qoe ) ，燹| j 葛瑟程蠢1 翔点弘 的长为 的途径上，由本原性，c ，上必存在一点甜，点批到c ，上的点必有一 9 自翟 条长为m ( 所刀一，- 1 ) 的途径，讨论如下： 若有边( ”，1 ) ，则有 e x p n ( “) 弹一l + 由( 2 ，) = 疗+ r 一2 2 开- 5 2 n - 4 若有边( 甜，2 ) ，则有 e x p d ( z ) 弹+ 由( 2 ，r ) = 疗+ ，一1 2 拧- 4 若不存在边( ，1 ) 、( 甜，2 ) ，当点到点1 有一条长为m ( 2 m 咒一r 1 ) 的途径，则有e x p d ( 甜) 2 以一，一3 + m ( 2 ，r ) = 2 n - 4 ；当点却到点2 ( 不经过 点1 ) 有一条长为m ( 2 m 疗一，一1 ) 的途径，则有e x p 。( 1 ) 2 n 一，一3 + 巾( 2 ，r ) = 2 雄- 4 综上所得，当n ( 一3 ) 为偶数时，e x p 。( 1 ) 。 2 n - 4 则有 e x p 水) c x p d ( 1 ) + ( ) 2 n + k - 4 , n ? ：j 篡 引理2 9 设行为奇数，k 为正整数，则有 誓一妻。，2 n 十j i 一4 ) e 。( 七) 证明：如图6 所示的d l 必是一本原有向图，则对d i 的第七个顶点，分以 下两种情形讨论： 情形1 ：h k 玎一1 时，有 e x p d l ( k ) 一 略( i ，h + 1 ) ，即e x p d l ( p ) e x p 目( j i ) ，煎u 当h 七刀一1 时，有 l o e x p d , ( k ) 2 2 竹+ k h 一2 ， 爨类钕掰涯褥： f 2 一+ i 一 一2 , l 蔓后s “2 茎掣+ 七坫 e x p 岛( 咖 撑+ 矗一h ，l t ，字+ 孟而s ； l 2 再+ 素一矗一2 矗蕊七，l l 则对第七个顶点，必可找到一正整数h ，使得2 h 后，有 e x p n ( 素) 2 2 靠+ 壹一h 一2 ， 即有f 2 n + 七一h 一2 1 2 h k ) = f 2 n 一2 。，2 n + 七一4 】e2 ( 七) ： 或辩繁夤夺颈煮，必哥撬弱一藏整数矗，使褥j i 矗一l 等尝+ k 一2 ，有 e x p a 是) 。2 n + k h 一2 ， 即有咖矗2 k h l 掣+ 七圳= 了3 1 一m 一3 ) c e 舭) 从而有 塾2 一昙，2 撑+ 七一4 ) 压：( 纠 孳l 瑗2 ，傍设摇兔餐数，k 涛 正整数，则有 娑一3 ，2 n + k 一6 e ，_ | ) z 证明：以为偶数，则开- 1 必为 奇数，驻然哥餐酝( 蘩7 ) 必必一 本原有向图。与引理2 9 的证明类 议霹逶褥： e x p n ( 女) 。 图7 伯h l ，n 为稻数) 2 n + k h 一4 ，l k 一1 ，2 h n + k l ； 刀+ 矗一七一2 ，l 蟪女矗一l ，兰+ k h n - l ； 2 n + 蠹一厅一4 ，h s k e l - 1 蜒u 有：f 2 n + t - h - 4 1 2 h ) = 2 n - 4 。2 n + 量一6 l 帮 渤+ 蠡一矗- 4 i k 2 一十七- 6 ；1 7 时，有h2 - 7 h + 七+ 1 4 2 跎+ 七一5 。 定理得证。 定理3 2 设d 是含( 2 ，r ) 套圈的刀阶七一本原( 非本原) 有向图，则 1 6 且上界可以达划。 谖螭：在戴不妨缓竣e x p 。 r 。 分辍下两种情况讨论： 情形1 ；e 中含有( 2 ，r ) 套圈。 类似定理3 1 熬 菱甥及壹定理2 ，t ，可箨： e x p d ( 七) c x p e ( 膏) + i 一卅嚣朋+ ，十膏一4 + n m = 疗+ ，+ 七一4 势萄证褥 e x p u _ ( | i ) 2 i , l + r + 女一4 ， 其中，青商图。如图1 6 所示。 情彤2 ：e 中不禽有 ( 2 ，) 套霾。 类似定理3 1 的诞明及 由弓l 理3 1 可键： 圈幅池 e x p d ( j i ) e x p e ( 七) + 野一m ( 坍一1 ) ( 所2 ) + 七十开一m 垂死会( 2 ，r ) 套瓣，哥褥k m 对一r ，裂 e x p d ( 七) ( 撑一，一1 ) ( 一r 2 ) + 七十珂一r a = 2 2 nr + r2 - 3 n + 4 r + 七+ 2 同瓣，我们霹迁褥) c 重圈1 7 耩示的玩，有 e x p h , ；丹2 2 n r + ，2 3 疗+ 4 ，+ k + 2 由诗募，当拜 - 2 + 4 7 2 薅，有 疗2 2 n ，+ r 2 - 3 斗+ 4 ，+ k 十2 ；力+ ，+ k 一4 2 定理得诞。 出定理3 1 、定理3 2 静谖明，我 们易得。 攘论3 。1 浚d 为瀚长为2 鹃露酚妻 本原有向图( k 疗) ，d 中唯一的满足 d ( 曩) 蹲夔强建逶势支找含寿2 霾，曩l j 34n “ 蓬1 7 瑰 t 7 辱： 肿赫 e x p r , 眨：麓冀 且上界可以达到。 推论3 2 设d 为含( 2 ，r ) 套圈( ，是奇数) 的n 阶k 一本服有向图( k 事弹) ， d 中曦一熬满是矗“( 最) = o 嚣强逶逶分支巧令蠢( 2 ，) 套黼，弱 e x p d ( k ) 露+ ，+ 鬻一4 ， 且上界可以达到。 为研究指数集，我们有必要绘出： 定义3 。6 全体霞长隽2 懿撑除k 一零鞭露彝蓬( k 事撑) ( 强连遴努支式 含有2 蕊，d - ( 反) = o ) 的指数榆成的芷整数鬃含 r 2 ( 女) ，称为舀长为2 的杜阶 k 一本原有向图( k 拧) ( 强连通分支曩含有2 圈，d - ( 丘) = o ) 的第七个顶点 指数姻指数集，即 蚤如馥) = m 芒z + l 存在菜令辫长为2 静撑输露一本弧考嗣鬻d ( 章撑) ( d 中满足d 一( e ) = o 的强连通分支含有2 圈) ，使e x p 。( 七) = m ) 兴似给出2 ，( 后) 的定义，则有 a ，( 毒) = 饼z + | 毒在菜令鑫( 2 ，) 套鬻( ，是毒鼗 鹣，| 除k 一零藩鸯囊塑 d ( k 蹿) ( d 巾满足j 一 ，2 芒a t ，转) 。零l 用本艨有向圈g l g 4 及本原有向图d l 一记，类似七一本原有向网e ( 1 = 1 ，2 ，4 ) 的构造方法，我们易得以下定理： 定理3 3 设撵，k 为正整数，则育 ( 1 ) 荐秀奇数瓣，有2 ( 嘉) = 3 ，4 ，2 撑+ 囊- 6 ； ( 2 ) 行为偶数时。有2 ( 七) = 3 ，4 ，2 n + 露- 5 1 定理3 4 设糟、k 为正攘数，为奇数，3 ， 等) ，则有 救，耍 = 3 ，4 ，r + 素+ r - 4 。 1 8 4 一类露除本原鸯离匿麓，窿 麓土界及揍数集 襁1 9 7 1 年。m l e w i n 脚证明了若g 是强避通有向图，则g 是本原的幽且 仪当襻在一个正赘数k ，使褥存巍嚣点琏v 联回，从点材划点v 有长必k 及 k + l 黪骞蠹途径。毒笮荛一争参数，搴蘸毒态辫g 孛这群个最枣熬毒怒瘗 m l e w i n 在文 9 j 中提出的，我们把它定义为，( g ) ，郎 ，( g ) = m i n k ：l f _ 墨s ! l b 其中轧v v ( g ) ) ， 其孛鲤、廿可穗弱，齄! 盘l 辛v 袭添获蠢撑裂点v 寄长鸯k 及k + l 夔青囊途径。 瓣任一毒爨圈g ，我 舀霜d ( k ，v ，) 表暴赢毪裂熹妒，鹣蠢商途径鹩长壤， v b 、q v ( 6 ) 。 孳l 瑗4 p o 竣g 炎含有长淹$ 的墨鲍零原霄自匿，装2 s 3 ，嬲 z 国n - 2 ， 定联4 1 设g 为屡长为2 韵甩阶本原有翻圈，刘 m a x ( g ) = h 一2 诚蠛：由于g 麓本藤有离蓬，建g 申必含露一奇整，攫甄，薅g 、c ，分 豢表暴嫒为2 、长必，是奇数瀚嚣。 拽们考虑巴两c ，相交的情况。 情澎l ：c 2 与c 有一个交点，不妨设如ng = 扯 ， 甜，v l 矿妈) ， 帮+ 嘲，0 毫联o 。e ( 岛u e ) = 鼙，妒，节，嚣) ，鼙，嗨 ， ，= i 十l ，l t ，歹，一2 ，则显然有 簦翻溉l 驴，苁孬爵褥? 秘) 墨r - 2 ， 贝| j 当以为偶数时，最大奇黼长r = n - 1 ，由情形l 可得，( g ) s n 一2 ：辫行为奇数时，最大奇圈长，= ，t ， 由馕彤2 可锝f ( g ) s 雌一王由弓l 蘧4 。l 及以上诫嚼霹 餐霹乎惩t 8 、器1 9 戆磁、琏纛 鳆掰。) 蚪一2 ；蠢 如) 露- 2 。 n - 2n - 36 闰1 8 瓶 1 9 对本原有向图 正，分析如下： v j c ，卜l ( 2 f n 一2 ) ，不妨设i 疗一1 ；a = 0 、b 0 时，d ( i ，1 ) = 一一f 一1 + 2 b ，d o ，行) = 恕一f + 2 6 ，侄萝i 髓d ( i ，1 ) = 丹一f 一1 + 2 6 l 及( 砸，一) = 以一i + 2 b 1 。 对vf ( 2 i 阼一1 ) ，点1 到点i 有长为t 2 a + 6 伽一1 ) 的有向途径， 点行到点，有长为- l + 2 a + 6 伽一1 ) 的有向途径，点捍( 点1 ) 到点i ( 点胛) 有长为1 + 2 a + 6 伽一1 ) 的有向途径，则显然，不存在1 ! 乌f 或l 丛l f ， b = 1 时，d ( 1 ，f ) 卯一1 ；b = 0 、口0 时，d 0 ，d = i + 2 口，则显然不存在 1 盟唑丝- f 或l 丝业马f 。对点刀到点i 、点, ( 点1 ) 到点1 ( 点聍) 可做类似的证明。 对于图蝎，类似可证。 则可得： 当一为偶数时，有极图m ，使得“m ) = n 一2 ； 当甩为奇数时，有极图 厶，使得，( m ) = n 一2 推论4 1 若g 为含有( 2 ，r ) 套圈的n 阶 。 本原有向图，则 m a x l ( g ) ：，一2 黩 证明：由定理4 1 的情形2 可得 t ( g ) r - 2 ，且易证得，眠) = ，一2 ，屿如图j 2 0 所示，其中， 嘲) = l 2 ，以) 。 r - 9 i毒r 铽“ 以下记伤为围长为2 的刀阶本原有向图gi 什11 的“g ) 的指数集，b ，为含有( 2 ，r ) 套圈的行土 阶本原有向图g 的，( g ) 的指数集。丌￥ 引理4 2 设g 为含有( 2 ，) 套圈的一阶 上i 本原有向图，r 为奇数( 3 r 甩) ，则有，b _ 兮鼍吨 1 ，3 ，5 ，一4 ) 既， 图2 0 】1 1 3 证明：考察图2 l 所示的刀阶本原有向图托，若加边( 1 ，一1 ) ，则点1 到点r 有形如l 专，一l 斗r 的长为2 的有向途径，及形如1 寸r 的长为1 的有 向途径，可表示为l ! 土r 。 类似地有： 。 由推论4 1 知q 2 ，f 1 。2 ，3 ，一2 ) ，则由图2 2 引理4 2 、引理4 3 及推论4 1 可得定理4 2 2 1 定理4 2 设g 为含有( 2 ，r ) 套圈的开阶本原有向图，为奇数 ( 3 4 ，疗) ，则有 q 2 ，= 1 ，2 ，3 ，一2 ) 由，疗立即可得： 推论4 2 设g 为围长为2 的厅阶本原有向图，则有 0 2 = 1 ，2 。3 ，行一2 1 参考文献 1 b r u a l d i 。i 乙a b o l i a n l i u g e n e r a l i z e d e x p o n e n t s o f p r i m i t i v e d i r e c t e d g r a p h s ，j o fg r a p ht h e o r y ，1 4 ( 1 9 9 0 ) ，4 8 3 - 4 9 9 2 】邵嘉裕对称本原阵的指数集中国科学。a 辑9 ( 1 9 8 6 ) ：9 3 1 - 3 9 3 郭忠含对角元的本原矩阵的本原指标集数学学报，3 l ，2 ( 1 9 8 8 ) ：2 8 3 - - 2 8 8 4 柳柏濂关于本原矩阵的本原指数集的分布数学学报。1 9 8 9 ，3 2 ( 6 ) ：8 0 3 , - - 8 0 9 5 柳柏濂关于本原矩阵的连续指数集应用数学学报，1 9 9 4 ，1 7 ( 1 ) ：1 5 吨4 6 r i c h a r d a b r u a l d i ，j i a y us h a o g e n e r a l i z e de x p o n e n t so fp r i m i t i r es y m e t r i c d i g r a p h s d i s c r e t ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ，7 4 ( 1 9 9 7 ) ：2 7 5 2 9 3 7 李彬，邵嘉裕对称本原有向图的广义指数集高校应用数学学报( a 辑) ， 1 9 9 5 。1 0 ( 4 ) ：4 2