（运筹学与控制论专业论文）eulerpoisson方程组相关问题的研究.pdf

摘要 本文考虑了e u l e r - p o i s s o n 方程组 塞砌咖) = o ， 掣砌岫酬+ v p = 一p v 西， f 1 i ) 1 0 ( p - s ) + d 曲( p s ) = o 圣：f 一2 ) w n g p ，( 1 2 ) 这里t 0 ，z q ，q 是r n 中的连通开子集，n 3 p = p ( t ，。) 是星体的密 度， = ( t ，。) i ：1 n 是气体流动的速度，西= 西( t ，z ) 是自引力势能，g 是引 力常数，u 是r n 中单位球的体积；p 是压力，满足下面的方程： p = k f e 5 ，( 1 3 ) 其中k 是正常数，指数7 是大于1 的常数，s = s ( t ，z ) 是r + r “中的熵函 数 ( 1 ，1 ) 是可压缩的e u l e r 方程组；由p o i s s o n 方程( 1 ，2 ) 可知，引力势能由星 体本身的密度分布决定我们知道，e u l e r p o i s s o n 方程组解的存在性、唯一性和 稳定性都与指数7 密切相关，国内外已有大量文章研究e u l e r - p o i s s o n 方程组， 例如 2 ， 4 】， 6 】， 9 】， 1 1 】和 1 2 】( 6 】已研究了n = 3 时方程组在c 2 ( n ) 中的平衡 解；而且一个有趣的现象就是解在有限时间内爆破，当n = 3 时 1 4j 已得到了 相应的结果本文研究一般维空间中方程组在c 2 ( q ) 中的平衡解和爆破解， 平衡解的存在性和爆破现象的产生都是依赖于 ，的 本文中，我们首先通过山路引理( 见 1 或 3 】) 、迭代方法等得到了方程组在 c 2 ( q ) 中平衡解的存在性与非存在性结果然后通过构造的方法证明了c 2 ( 口r ( o ) ) 中非等熵爆破解和等熵爆破解的存在性最后利用f o u r i e r 变换和h a r d y - l i t t l e w o o p a l e y 不等式( 见 1 6 】) 得出了俨( r n ) 中等熵非爆破解的存在性结果 关键词：e u l e r p o i s s o n 方程组，气态星，平衡解，中心爆破 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n s 鬻砌咖) - o ， 掣枷咖酬+ v p p v 虫 百o ( p s ) + 酬p s ) = 。 ( 1 1 ) 西= v f 一2 ) ( z n g p ， ( 1 2 ) w h e r e 0 z q qi sac o l l e c t e do p e ns u b s e to fr n n23 ，p = p ( t z ) i st h ed e n s i t yo fg a s e o u ss t a r s u = v ( t ，z ) r ni st h ev e l o c i t y , 西= 中( t ，。) i s t h ee n e r g yp o t e n t i a lo ft h es e l f - g r a v i t a t i o n a lf o r c e ，gi st h eg r a v i t a t i o n a lc o n s t a n t ， - a ni s t h em e a s u r eo ft h eu n i tb a l li nr n ，a n dpi st h ep r e s s u r es a t i s f y i n gt h e f o l l o w i n ge q u a t i o n ： p = k f e 5 f 1 3 ) w h e r eka n d ，a r ep o s i t i v ec o r t s t a n t s 1w i t ht h ee n t r o p yf u n c t i o n5 = s ( t 上) i nr + r n t h es y s t e m ( 1 1 ) i sc o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n s ；t h eg r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a l i sd e t e r m i n e db yt h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o no ft h eg a si t s e l ft h r o u g ht h ep o i s s o n e q u a t i o n ( 1 2 ) i nf a c t ，t h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo f s o l u t i o n sf o rt h e e q u a t i o n ss t r o n g l yd e p e n d o i lt h ee x p o n e n t7 e u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n sh a v eb e e n s t u d i e db vm a n ys c h o l a r sa l lo v e rt h ew o r l d ，s u c ha si 2 ， 4 】， 6 j ， 9 】， 1 1 】a n d 1 2 t h e a u t h o r si nf 6 7h a v es t u d i e dt h es t a t i o n a r ys o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sw h e nn = 3 ； m o r e o v e r i ti s i n t e r e s t i n gt h a tt h es o l u t i o n sc a nb l o wu pi n f i n i t et i m e w h i c h h a sb e e no b t a i n e di n 1 4 1w h e nn = 3 i no u rp a p e r ，w es t u d i e dt h es t a t i o n a r y s o l u t i o n sa n db l o w u ps o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n si nt h eg e n e r a ln d i m e n s i o n a l s p a c e ，w h i c hd e p e n d o n ， i no u rp a p e r ，t h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fs t a t i o n a r ys o l u t i o n sf o rt h e e u t e r p o i s o ne q u a t i o n si n 伊f q lh a v eb e e nf i r s to b t a i n e db ym o u n t a i np a s s i i t h e o r e m ( s e e 1 】o r 3 ) a n di t e r a t i o nm e t h o de t c a n dt h e n ，t h ee x i s t e n c eo f b l o w u ps o l u t i o n si nc 2 ( b r ( 0 ) ) f o rn o n i s e n t r o p i cf l o wa n d f o ri s e n t r o p i cf l o wh a s b e e no b t a i n e db yc o n s t r u c t i v em e t h o d l a s t l y , w e g o tt h e e x i s t e n c eo fn o n b l o w u p s o l u t i o n si n 伊( r ) f o ri s e n t r o p i cf l o wb yf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o na n dh a r d y - l i t t l e w o o d - p a l e yi n e q u a l i t ys e e 1 6 】) k e y w o r d sa n dp h r a s e s ：e u l e r p o i s s o ne q u a t i o n s ，g a s e o u ss t a r s ，s t a t i o n - a r ys o l u t i o n s ，c o r ec o l l a p s e i i i 第一节引言 本文中，我们主要考虑e u l e r - p o i s s o n 方程组： 鬻+ 酬) = o i 掣十酬。卅v p = - p v 西， ( 1 1 ) 1 0 ( p r s ) 十出 ( p s 口) = o 圣= n ( n 一2 ) w n g p ， ( 1 2 ) 这里，t 0 ，z q ，q 是r n 中的区域，n 3 ，p = p ( t ，z ) 是星体的密度并 具有紧支集，口= v ( t ，z ) r n 是气体的速度，西= 圣( ，z ) 是自引力势能，g 是引力常数，u 是r n 中单位球的体积；p 则是压力，满足下面的方程： p = p 7 e 5 ，( 1 3 ) 其中盯正常数，7 是大于1 的常数，s = s ( t ，z ) 是l ：t + xr n 中的熵函数 当n = 3 时，方程组( 1 t ) 和方程( 1 2 ) 是天文物理学中描述气态星体内部结 构发展的流体动力学的一个模型( 1 1 ) 是可压缩的e u l e r 方程组；通过p o i s s o n 方程( 1 2 ) ，星体的密度分布决定了引力势能事实上，方程组解的存在性、非存 在性、稳定性都是依赖于7 的例如，在文章f u 中，作者证明了一维区间上和 多维空间中球对称区域上局部解的存在性在此基础上， 6 】把对称区域推广到 一般有界区域上，讨论了三维空间中e u l e r - p o i s s o n 方程组 i 筹+ v ( ) = 0 ， ( d ) 旦磐+ v ( 舢固 ) + 口p = 一p v 中， 【圣：4 7 r 妒 平衡解的存在性和非存在性本文中的平衡解就是e u l e r - p o i s s o n 方程组和( d ) 中速度口= 0 时的解他们主要证明了以下结果： l 如果 7 0 ，使得对 所有q 王醋) ，都有 二lv q l 2 9 - 如+ f n s q 2 e - 出q 二q 2 e - 出， 1 那么 ( 1 ) ( d ) 存在正的平衡解，且有p l a n = o ； ( 2 ) 0 在a q 上处处成立，这里元是a q 上的单位外法向量 2 如果1 7 i 6 ，q 关于x 0 q 呈星型区域，且对一切z q ，有 ( z 一2 s 0 ) v s 0 ，a s 0 ，v ( a s ) ( z x 0 ) 0 则f d ) 没有正的平衡解 更有趣的是，e u l e r p o i s s o n 方程组的解会在有限时间内产生爆破现象，即 存在t 0 于q ，p l a n = 0 然后讨论了e u l e r - p o i s s o n 方程组在c 2 ( b r ( 0 ) ) 中非等熵球对称爆破解与等熵球对称爆破解的存在 性最后讨论了方程组在c 2 ( r ) 中等熵非爆破解的存在性 本文的主要结果如下： 定理1 1 如果斋告 7 2 ，s ( z ) 是q 中的有界光滑函数，而且存在正常 数n ，使得对所有q 础( q ) ，都有： 厶jv q j 2 如+ 五( 专i v s 1 2 + 西za s ) q 2 d x 。n q 2 如， 自b 么 ( 1 ) 方程组( 1 4 ) 一( 1 6 ) 存在古典正解( p ，西) ，并有p o n = o ； ( 2 ) 0 在n 的边界上逐点成立，这里的疗是a q 上的单位外法向 量 定理1 2 设1 - y 而2 n ，q 关于某点x o f 2 呈星型区域如果对所有的 茁q ，都有 ( z z o ) v s 0 ，a s 0 且v ( a s ) ( z 一2 ；0 ) 2 0 ( 1 7 ) 特别地，若q = b r ( 0 ) ，且s ( z ) = s ( r ) 是q 中的径函数，对一切r ( 0 ，r ) s ( r ) o ，s ”+ 空j ；! s 7 o 且s ”+ 曼 s ”一_ v ，- 。z s 7 o 都成立那么( 1 4 ) 一( 1 6 ) 没有古典正解 定理1 3 设n 3 ，7 = 2 等产，p = 矿矿，则方程组( 1 1 ) 、( 1 2 ) 存在球 对称古典解： p c t ，z ，= j _ y - - ( 蚓 1 ，是充分小的正数，知是仅依赖于p 的正 数；曲是光滑的截断函数，适合：当0s 。s 时，( z ) = 1 ，而当2 z ps z 岍( 0 ) 硇 尝+ 尘掣+ 由：p ( o ) ：1 ，( o ) ：o u z z“ 其中a20 是常数，a = p ( 一2 ) u g i 盟生号唔生l 幽f 蔬 如果n 1 、毪n i 丁- 那么解p ( t ，上) 在有限时1 9 内中心爆破 定理1 4 如果2 n r - 2 0 ，使得对一切q 硪( q ) 都有 五ivq 1 2 妇+ 五( 专i v s 1 2 + 专a s ) q 2 出q 7 五f vq 1 2 出( 2 1 0 ) 引理2 2 如果莉2 n ， 0 ，使得 i iq i l 础( n ) c 1 ( 2 1 3 ) 事实上，用岛乘( 2 1 2 ) ，再在f 2 上积分，并由分部积分公式得 五l v 锄1 2 出+ 芦二钙出+ 专二 v s l 2 ( q 于) 2 出+ 六五s ( q 于) 2 如 一肛上( q 于) 2 出一女五( q 于) 奇e j 希5 出= 【2 1 4 j ( 2 1 1 ) 一；( 2 1 4 ) ，得 ( 互1 一孚) 后五( q 于) 音e 耥出= c 一互1 + 。( 1 ) 因为1 0 ，有 五( 瞄) 寺e 耥5 出se ( c 一； + 。( 1 ) ) g ( 1 + i i 白f | 日一- ( n ) | | q jf f 础( n ) + 。( 1 ) )( 2 1 5 ) f + 譬旧川( 。) + 云c 幅峙 1 ( 。) 硕士学位论文 m a s t e r st i 珏s i s 于是由( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) ，得 生2i ，n l v 0 i 2 如sj 1 五j 审岛j 2 妇+ z ( 嘉l v s i 2 + 击s ) q ；d x 粤( 仍) 一, 1 - - 1 。耥s 如+ e 1n s g 五( 仍) 音e 耥5 d x + c e + t c ej j 伤。) + 到c ，肌( n ) 由e 0 的任意性，取e 充y t 4 , ，则有( 2 1 3 ) 因此 q ， 是明( q ) 中的有界序 列，则存在子序列 q i 。) ，不妨仍记为 q j ) ，使得当j - - 4 - o o 时 q j q 于础( q ) ， 岛_ 十q 于三9 ( 啊，l g 0 于n 反证法，设q 兰0 因莉2 n 0 于q 引理得证 引理2 3d i r i c h l e t 边值问题( 2 5 ) 、( 2 6 ) 在掰) 中的弱解是古典解 证明：由引理2 2 ，考虑如下形式的边值问题 f 2 1 7 1 注意到s 光滑有界，则盯( z ) 有界如果q 是( 2 1 7 ) 的弱解，那么q l q ， 1 q 。o 采用迭代的办法，因q 硪( q ) ，不妨设q l 2 e + 2 ( n ) ，则可以选取 ( 2 1 7 ) 的检验函数证明q 1 硪( q ) ，从而q l 鸿( 。+ 1 ( q ) 因为q 己2 ( q ) ， 所以对任意的口0 ，f 0 ，选取检验函数= q m i n q ”，f 2 ) ，那么由( 2 1 7 ) ，得 五v q v ( q 觚n q 卯，f 2 ) ) 出+ 去五f v s l 2 q 2 m i n q 卵，f 2 出 + 六厶s q 2 m i n q 洳f 2 ) d z = 厶k ( 石) q 音m i n 萨f 2 d x o rq 1 2 m i n q ”。2 ) d 抖工砌然哪2 2 8 1vq 1 2 如 + 厶( 南i v s 2 + 击s ) q 2 m m q 卵，f 2 ) 出 2 厶) q i j m i n q ”，f 2 ) 如 因q l 2 口+ 2 ( q ) ，所以有 五f v 旧m i n 驴，f ) f 2 出+ 厶( 嘉v s f 2 + 去s ) ( q m i n ，f ) 2 如 g v 钟础 萨f 2 ) 如+ 丘刚 l 酽 v 钟如 9 篇 旧古 群一 辫 + 五( 4 - 告= iv s 1 2 + a s ) ( qm i n q 。，f ，) 2 叫 c r 五k ( z ) q 古。q 2 m i n 一f 2 出 e ，厶q 2m i q ，z 2 如+ g 厶瓯。寿， q 击- 1 q 2 m i n q 加，。2 ) 如 s c i + c 魄。，。扣圳( q 击。) 等d 。卜 z 锄，。由，( q a r a i n q 卵，f 2 ) ) 凼叫皆 c i + c e ( ) 五iv ( q m i n ，州如， 这里的c 仅依赖于q 的l 2 8 “一范数， 印) = 皈啪扣州( q 扣) 孚如r 由q 础) 知q 击一1 孚因此由s o b o l e v 嵌入定理，当燕 7 2 时 e ( ，) - o 。( ，一o o ) 现固定，并选取e ( ，) = 鲁，那么上述不等式变为 ：卿舭) f ! 甲( 驴训2 + ( 专i v s 1 2 + 荔1 蚓( 矿1 ) 2 如s c ， 此不等式关于：一致成立，令i 呻。，则有 q 8 。1 硪( q ) l 2 。( n ) ， 即q l 寄告( 8 + 1 m ) 令巩+ l = 3 ( 巩一i + 1 ) ( i21 ) ，o o = 0 ，于是可得到q l 9 ( n ) 口( 1 ，。) 故由椭圆型方程的正则性理论知q c 2 。( q ) ，0 o ，且p k = 0 ，那么q = i 兰丁- 1 e s - 奔必是( 2 5 ) 的正 解，且q i a n = 0 故由h o p f 最值定理，有筹 0 即 f 砌 0 ，即 0 于q ，叫h o t ( q ) 从而 g ( x , y 3 ) , v - 1 ( 一2 ) ( 掣) 啬w 音e 揣5 一( 南 v 卯+ 去s ) 矿 v 矧) = 2 ，- 3 7 n ( n - 9 ) 伽( 孚) 古叫音e 耥5 可s 一( 去v s s + 石1v ( s ) ) 矿 则由p o h o z a , e v 型等式和( 2 2 0 ) 得 厶p 一如) - 疗p ) l d w l 2 如 = ( + z 一等) 厶( 叫删( 孚) 击叫寺e 耥5 v s d x + 五学( 叫圳( 孚) 寿伽吉e 耥5 ( x - - x o ) 。x t s d x ( 2 2 1 ) 一嘉丘p 一训v s a s w 2 出一去正扛一训，咿( s ) 凹2 出 一五( 专i 审s 1 2 + 专s ) 训2 出 如果( 1 7 ) 成立，而2 n 7 0 于q ，p l a n = 0 ，那么能量e 有如下表达式： e = z ( ；2 + # j 尸) 如一；五p ( 友z ) 五万些并b 如咖 证明：把( 1 1 ) 的第一个方程代入第二个方程，得 舢# + p v v + v p = 一p v 圣 ( 2 2 2 ) 然后分别用 伊和；号“乘( 1 1 ) 的第一个方程，与( 2 2 2 ) 乘以u 后相加，得 ( 渺1 + ；叮( 删p + 击卧音肋+ 鲁”v p = - - p v 甲圣， 即 ( ；2 ) t + i 1 可( 口2 ) + 了j 1只+ 丁马( p v 。+ u v p ) = 一舢可垂( 2 2 3 ) 注意到p f 舳= 0 ，则由g a u s s - g r e e n 公式和分部积分公式得 五v ( 7 3 2 ) d r = 0 ，五( p v 口+ ”v p ) a z = o ， n p v v 中d x = 一五垂v ( ) 出= 五西风出 又由( 1 5 ) 可得n e w t o n i a n 位势： 西= 一，正尝糌咖， 所以屯= 一，上面譬备生妇，则有 弧w 可地m = 弧奄p 出m “p v u 壬d p vt d z = 弧施i g d zj nj 、t 2 ij n 觯出 于是由( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 得 上z 。( ；2 + ：圭1 p ) 础出= 一；五一佶d 。+ e 由此可得e 的表达式 推论2 6 如果s ( 。) 兰s ( 常数) ，而2 n 0 是始值问题 的解，y = y ( z ) 满足 ( 3 6 ) f 万d 2 y + n - _ l 忑d y + 由：， 13 ，( o ) = 1 ，( 3 ，7 ) 【y ( o ) = 0 那么 p ( t ，r ) ：赤击( 嘉) ， ( 3 8 ) u 忙籍r ， s _ l n 旷宁口掣( 赤) _ ( 3 1 0 ) 是( 3 i ) 一( 3 4 ) 的解这里= 鑫，d = 坐丛萼攀7 由，a 1 肛是一个充分 小的正数， a = p ( 一2 ) u v 9 丑v 弓矿一f 。 兰( p ，“，s ) 满足( 3 1 ) 、( 3 2 j7 和( 3 4 ) 事实上由( 3 8 ) 、( 3 9 ) 和y = g ( 赤) ， 月 a p8 p跳v 一1 一o t + “万+ 9 万+ _ p u n s a ( t ) y 1 - w 一器扣+ 器r 南声，o 一f 赫而q 揣卜i 靠奇 + 嘉，由豢+ _ n - _ 1 5v 由器r = 一两n s h ( t ) 3 ，击+ 籍可由+ ( n i - 矿1 ) 5 d ( t ) 可击 1 8 扩仉 | | 印啦警浆 一器著1 + 滞可导1 _ o 这里= 岳，z = 南，此即证明了( “u ) 是方程( 3 1 ) 的解为证明( “u ) 满足( 3 2 ) ，我们先计算方程左边的最后一项事实上，若y ( z ) 是方程( 3 7 ) 的 解，则有j 而1 ( z n - l 石d 可) ，x = p 一击，从而六= p 一1 i ( - 1 塞) 于是结合 f o rp ( 如) 8 n - z d 8 = o 赤 由( 熹) s n - i d s ”一1 ( 丽) 3 = z 南赤可讯m p 。 = j 州“y 士( ) 。v 一1 ：a 阻一南尝必 1 1 = 舡上南。1 武一6 o 南 肛1 褰) 必 = 瓦5 # r 万n j 口r n - 1 y , n l r ”i 冉由5 ) 、8 ) 午口【3 l o j 得 p r ：( 矿p 寄2 ) ，= k 6 2 2 。( y 南) ， ：堕n 。- 2 ”击， ( 3 1 2 ) 于是借助于( 3 6 ) 、( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，并注意到 a ： 型宅学产a 刊_ 2 ) 型名 业产 可得 p ( 赛+ u 筹) + 石o p + 型爿型肌铀出p ( 瓦+ “丽) + 西f + 2 了鬲j 2 2 0 烈o ，8 j 5 ”1 “3 ：芳p + 筹0 l _ z y 占吲+ 丁n ( n - 2 ) w g p 【 丽5 # r x 一万6 r n - t 1 硕士学位论文 m a 5 t e r st i - l e s i s = 軎p + 5 # ( n - - 广2 ) w n g r p + 忑g 。5 4 u i - - 2 n y 由 一5 2 n ( n - 2 - ) w n g 可击， n 2 n - l o7 - f - a 蜥( _ 2 ) 训芳+ 筹搿n ( n _ 2 ) 酬筹1 = 0 此即( 3 2 ) 7 最后证明( 3 4 ) 事实上由( 3 l o ) 知 洲一一等m a + 等等岫c 扣 s t4 - u s = 堕书铲 。a r n o r 一( 2 n 一2 ) 。 十i + 可z 玎面一2 ” 引理3 1 1 由此得证 现在我们来讨论方程( 3 6 ) 和( 3 7 ) 满足始值条件的解( t ) ，( z ) ，有下面的 一些引理 引理3 ! 生惑 o ，丁) 是方程( 3 6 ) 的解o = o ( t ) 0 存在的最大右区间 如果l 0 ，a t ( 0 ) = a l ，得 知2 = 志矿- n + j 1 口i 一志碚 令p = 而au 0 2 一一互1 讪2 i ，则有 扣) 2 = 志。2 一以 如果n 。l 0 根据函数图象知识，存在。 时，。协) t o ，所以 以r 口f 亡)一” 扣如+ 厶拈卜k 孺2 a 雾2 - n _ _ 豸 妯一k 丽2 a 2 - - n 妯+ ，f 。o a ( t o ) 筹。半如 = t 。+ 可2v 百n f - 萨- 2 ( n ( f 。) 等一n f n ) 。 故t 。，l i m t - - , t - o a ( t ) ：o 而如果。 一、正吾孓0 半，自然有。似) 。7 ( o ) = a l 0 ，故也有t 0 ，所以从( 3 7 ) 知，c 1 o ，z o 于是应用积分中值定理，对任意的 y 1 ，y 2 c 2 o ，z 0 ， = p ：。( p v 声舀) ) 必- - a l - n o 。r 1 ( p 一声( f ) ) 必 = 产忻( 庐( f ) 一声( ) ) 鹰f = 少 矿1 ( r ) 一g 声( r ) 忻一1 d f = 专护( r ) 一v 声( r ) f 孙声( r ) 一声( 丁) l l 吣m a 。x 。) 一妇 = l i y l 一驰1 这里，r 0 ，z 至 0 ，z o ，l 充分大且 0 充分小，使得l 如 z o ，使得y ( z l ，0 ) 0 ，且当0 z z l 时g ( z ，0 ) 0 ，使得，如果川，那么( 3 7 ) 在 z 0 ，z 1 上有解( 2 ，肛) ，且有y ( z 1 ，卢) 0 ，当z 0s zs z 1 时矿( z ，_ “) 0 而y ( z l ，肛) 0 如果0 p s ，令 郇，z ) ：赤f 击、( 州l = l i p ) 巾l a 和， 【0 ，h o ( t ) 钆， 小，加籍z ( 播) ， s ( t ，加l n 旷帑掣( 撩 这里，曲是光滑的截断函数，适合：当0sz 缸时西( 。) = l ；而当2 钆。 + o 。 时咖( z ) = 0 故由引理3 1 1 一引理3 1 5 得，当t - + t 一0 时p ( t ，0 ) = 赤- + 。 由此定理1 3 得证 特别地，若s ( t ，z ) 三s 即p = k ，则当口= 7 时，直接有下面的推论即 存在等熵的球对称爆破解 推论3 1 6 如果n 3 ，口= 7 = 2 n - 玎- - 一2 ，p = k p 7 ，那么方程组( 1 1 ) 、 ( 1 2 ) 存在如下形式的球对称解： 肿，加赤古( 播，芦) ，蚓 2 9 产以及当 7 = 2 9 产而总质量小于一个临界值时压力的积分的一致有界性 现陈述h a r d y l i t t l e w o o d p a l e y 不等式( 见 1 6 j ) h a r d y - l i t t l e w o o d p a l e y 不等式：如果l 2 弓产，总能量e 和总质量m 有限，( p ，u ，中) 是方程 组( 1 1 ) 、( 1 2 ) 的解，那么 p d xsc ( m e 1 ) ， (31j)jr n 4、7 且 i q ( t ) i2g ( m ，e ，) ( 3 1 6 ) 这里c ( m ，e ，。) ，c 1 ( m ，e ， ，) 是仅依赖于m e 和7 的正常数，q ( t ) 是p ( t z ) 在r n 中的支集 证明： 首先考虑i 掣产 7 2 的情形对( 1 2 ) 作f o u r i e r 变换，得 讯) 一州_ 2 ) 哪瞥例有 一厶加州把删叫删厶。警必 = v ( n - 2 m a 如警蜓训叫伽缸簪必 2 4 n ( n 雨- 硒2 ) 而w n 酉g m 一2 - 1 缸耥必 + n ( n 一2 ) u - v 9 m 2 k n - 3 丘雠雨击必 型高糌坚m ；+ n ( n _ 2 ) 哪m 2 k 。v - a k ：n ( n - 两2 ) w 而n g m 广2 - m t r 厶。p 7 忙) d x + n 2 ( 一2 ) u 珀m 2 七- 2 一 七2 + ( 7 2 )r 一l 山 、1 。，w _ 上， 这里的k 为待定常数，u = 苛岛；r 是g m a 函数，并具有如下性质： 工1 ( n + 1 ) = n r ( n ) ，r ( ；) = 、石，r ( 1 ) = 1 因为能量守恒，即 e ( ) = 厶，( ；p ( z ) l ”( z ) 1 2 + 互1 p 扛) 圣 ) + 而k 矿( z ) ) 出 三e ( 0 1 = e o p 7 ( x ) d x e o 一 ；厶，加) 吣) 出 -2)wngme-cm； 2 七2 + ( 7 2 ) 厶。，( z ) 出+ n 2 ( n - 2 t ) w 2 g m 一2 k i v - 2 选取k 充分大，使得丛生笤尚喾茅型s ；鲁，则有 即 7 k _ - - 1 厶蛐e 0 + 志厶如+ 塑型掣 从而 厶p d x = r 。k p 7 ( z ) d x 2 ( ，y 一1 ) i 岛+2 f 一2 ) w 2 9 m 2 k 一2 2 l ，p d xsc ( m ，e ，7 ) j 副 一 4 2 5 厶型 鲁叶 有 一 以所 注：在证明过程中应用了h a r d y l i t t l e w 0 。d p a l e y 不等式，雪出= 疗由 和不等式i p ( f ) i j i p l i l ( r ”) = m 再设7 2 则应用h s l d e r 不等式和y o u n g 不等式得 一厶巾出= n ( n 叫哪厶。警必 = n ( n 刊哪缸警删叫伽缸 s 尘丛学丘l ，。l p ( ) 1 2 d + i v ( 一2 ) u n g m 2 巡坐舻 砰“ 3 怎南必 n ( n i - - 2 ) w n g 厶f 2 , z ) 出+ 2 ( 一2 ) u 备g m 2 七一2 , v ( n - 。2 ) g 、，f r ，p ( z ) 出) 普( 厶，p ( z ) 如) 古 + 2 ( 一2 ) u 品g m 2 一2 盟学( 手暑m + # 1 厶，p ( z ) 出) + 2 ( 一2 ) “ 夕 彳2 k 一2 选取充分大，使得墨生害卫业 k ，则有 一r ，p ( z ) 西( 。) d x s 刍i r ap r ( z ) 出+ 塑垒半 暑m + 2 ( 一。) u 加m 2 m - 2 综上，类似计算可得 厶。p d z s2(7一-)岛十全丛；群+_n2(n-2)(z奄gm2kn-2 即 厶。p d x c ( m ，聃) 故当2 等产 7 时( 3 1 5 ) 成立 最后由h s l d e r 不等式和f 3 1 5 ) 得 m = 厶，p ( t , x ) 如l q ( t ) i 孚( 厶。矿( t ，z ) 出) si q ( 。) i 孚皿c ( u ，e ，y ” 故 吼圳 瓦蒜 音， 即 f q ( t ) i c i ( m ，e ，y ) ， 此为( 3 1 6 ) 引理3 2 2 如果，y = 下2 n - 2 ，p = k p r ，e 和m 有限，( p ， ，西) 是( 1 1 ) 和 ( 1 2 ) 的解，那么存在i 临界值尬= ( 两) 等m 选n ，当m 尬时 r 。p d x5 e ( m ，e ) ，i n ( ) i c i ( m ，e ) 县甲m 2 墨 是m a r c i n k i e w i c z 瓶但两双，【m ，d j 利乙。l ( m ，也j 楚仪攸月受于m 和e 的常数 证明： 因7 = 2 号产，m m 。则由h a r d y l i t t l e w o o d p a l e y 不等式得 一f r ，p ( 巾出=