（运筹学与控制论专业论文）一类双曲型守恒律方程广义黎曼问题的研究综述.pdf

摘要 偏微分方程是人们探索大自然现象和变化规律的一个重要的方法，双曲守 恒律方程是偏微分方程的一个重要组成部分，它在流体力学、空气动力学、航空 航天、燃烧理论、非线性弹性理论等方面都有着重要的应用。本文考虑了一类双 曲型守恒律方程的广义黎曼问题，总结了数学工作者们在其解的存在性上得到的 一些主要结论。首先我们介绍了双曲守恒律方程广义黎曼问题的背景、发展过程 以及现状；然后我们具体阐述了几种情况下其全局解的存在性定理；之后我们介 绍了定理中研究双曲守恒律的广义黎曼问题所用到一些主要的数学方法；最后我 们进一步讨论了双曲守恒律方程广义黎曼问题中有待解决的几个问题。 关键词：双曲型方程；守恒律；广义黎曼问题；全局解 a b s t r a c t n 圮p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tm e t h o df o rp e o p l et oe x p l o r et h e p h e n o m e n o na n dl a w si nn a t u r e a sam a i np a r to ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n h y p e r b o l i cs y s t e m so fc o n s e r v a t i o nl a w sp l a y sa ni m p o r t a n tp a r ti nt h ea p p l i c a t i o n so f f l u i dm e c h a n i c s ，g a sd y n a m i c s ，a e r o s p a c e ，c o m b u s t i o nt h e o r y ，n o n l i n e a re l a s t i c i t y t h e o r ya n ds oo n t i l i sa r t i c l ec o n s i d e r st h eg e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e mf o rac l a s s o fh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s a n ds u n l n l a f i z e sn l em a i nr e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo f i t ss o l u t i o n s f i r s tw ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fg e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e mf o r h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s sa sw e l la st h ep r e s e n ts i t u a t i o n ； t h e n w ew i ue l a b o r a t eo ns o m ee x i s t e n c et h e o r e m so fi t sg l o b a ls o l u t i o n si ns e v e r a l l ( i n do fs i t u a t i o n s ；a f t e r w a r dw ei n 仃o d u c et h eu s eo fm a t h e m a t i c a lm e t h o d so f s t u d y i n gt h eg e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e mf o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ；f i n a l l y w ef u r t h e rd i s c u s s es e v e r a li s s u e so ft h ep r o b l e mw a i t i n gt os o l v e k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs y s t e m ：c o n s e r v a t i o nl a w s ；g e n e r a l i z e dr i e m a n n p r o b l e m ；_ g l o b a ls o l u t i o n s 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：望垦 日期- 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：二塑鉴 指导教师签 日 期： 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 日期： 电话： 邮编： i 。易，l 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 偏微分方程是人们探索大自然现象和变化规律的一个重要的方法，其中拟线 性双曲守恒律方程是偏微分方程的一个重要的组成部分，它在流体力学、空气动 力学、航空航天、燃烧理论、非线性弹性理论等方面都有着重要应用。关于守恒 律理论的严格定义可以追溯到1 9 5 0 年e h o p f 做出的工作【2 5 】和p d l a x 在1 9 7 3 年的工作 2 6 】。第二次世界大战中跨声速航天器的出现使得人们对激波现象及空 气动力学方程理论性研究、数值计算及科学试验给予了越来越多的关注，因此激 波理论的研究是数学物理领域的重要课题，也是非线性科学的前沿课题，同时也 推动了关于守恒律方程的研究。 阶拟线性双曲方程组形式如下： 一o u + o f ( u ) ：g 似) ( 1 1 ) 一+ 一= t ”- i j 研出 其中 = ”( 嘞，u 。) r 是关于( t ，x ) 的未知向量函数，表示物理量的密度， g ( u ) = ( q ) ，q ) ) 是给定的关于群的适当光滑函数，表示源函数。 一般来说，对于一阶拟线性双曲方程组( 1 1 ) ，特别是守恒律方程的c a u c h y 问题，其经典解只能在有限时间范围内存在，即使对充分光滑和充分小的初值也 是如此( 见 3 ，1 8 ) ，而在有限时间之后，仅可以定义其弱解( 通常包括激波，中 心稀疏波及接触间断) ，相应的，如果解在有限时间内失去正则性，而产生奇性 ( 解本身或其某些导数趋于无穷) ，这一现象称为解的爆破。1 8 6 0 年黎曼做的激 波管试验提出了双曲守恒律的一类最典型的含有间断的初值问题，即在t - - - 0 时， 解的初值在x o 和x 0 上分别为两个常值，在t = 0 时为一个间断，这样的问题称为 黎曼问题。对于一维空间中的一阶拟线性守恒律方程的黎曼问题，已经有了好多 研究成果。 以气体动力学为例，在光滑和均匀的细管中充以气体，考虑一维流动，由质 量守恒定律可以得到连续性方程： 望+ 型：0 西叙 由动量守恒定律可以得到运动方程： 0 ( p u ) 0 ( p u 2 + p ) n a l瓠 由能量守恒定律可以得到能量方程： o ( p e ) 。o ( p u e + p u ) n = _ 7 ：一一u a ta x 东北师范大学硕士学位论文 其中p ，u ，p ，e ，t ，x 分别代表密度、速度、压强、内能、时间和空间坐标。它的解 一般要出现间断，解在间断线两旁的左、右极限要满足一定的关系，这些关系反 映了力学中的冲击波现象，可见研究双曲守恒律方程的含有间断的初值问题在物 理应用和数学理论应用中都有着重要的作用。 随着数学工作者们对双曲型方程的初边值问题的研究，人们开始关心黎曼问 题中初值的小扰动问题，即双曲型方程的广义黎曼问题问题。谷超豪、李大潜和 侯宗义等最早在 2 0 2 2 中讨论了拟线性双曲型方程组的不连续初始值问题。他 们考察了方程组的c a u c h y 问题，对间断点落在不同区域的情况，证明了局部连 续解的存在性，并指出解的构造和可能发生的各种情况，并在大多数情况下给出 了决定激波的方法，证明了双曲守恒律的广义黎曼问题在一定条件下的分段c 1 的局部解的存在性和唯一性，并且指出广义黎曼问题的解和相应的黎曼问题的解 有着相类似的结构 2 0 - 2 2 。之后李大潜等数学家又在这一问题上做了许多研究， 他对一般形式的拟线性守恒律双曲组，将美国著名数学家p d l a x 教授关于黎 曼问题的经典结推广到广义黎曼问题，彻底解决了间断解的局部构造问题。 对于2 2 双曲守恒律方程的广义黎曼问题，李大潜等在 3 ，1 1 ，2 3 中指出一 般情况下这种方程只存在局部解，但在一定的假设条件下它却都存在唯一的分段 c 1 的整体解。之后李大潜和赵彦淳在 2 中证明了r l x n 双曲守恒律方程中只包 含1 1 个激波的分段c 1 的整体解的存在性和唯一性以及解的结构。近几年，邵志 强，孔德兴和李亚纯等人对带有线性阻尼的双曲守恒律的研究也有了一定的进 展，他们在 1 5 1 6 中给出了此类双曲守恒律的广义黎曼问题有只包含r 1 个激波 的分段c 1 的全局解的结果，并给出了解的结构。 到目前为止，一阶拟线性双曲方程组的大部分结果还是集中于一个时间变 量和一个空间变量的情况。对于多维空间的一阶拟线性双曲方程组问题结果还 不是很多。并且以上数学工作者们的研究都是在小幅度的前提条件下，对于大幅 度双曲守恒律的广义黎曼问题的研究目前只有局部解的结果，关于整体解大都是 对一些具体的方程组进行研究，其研究方法一般都是运用激波的分解以及激波的 压缩等技术对u 及其导数做先验估计，我们将在第三部分给出一些具体的介绍。 本文我们综述了对于双曲守恒律的广义黎曼问题的一些结果和进展，文章的 内容一共分四节。 在第一节，也就是本节里我们主要介绍了偏微分方程和双曲守恒律的背景， 发展过程和一些现状，以及本文的结构框架和内容安排。 在第二节里，我们主要给出了李大潜等人研究的双曲守恒律的广义黎曼问题 的几个主要的结果。首先我们简单介绍了一些相关的基本知识，给出了一些所介 绍的方程满足的条件。然后给出了几个主要的定理，介绍了双曲守恒律的广义黎 曼问题在一定条件下的解的存在唯一性。 2 东北师范大学硕士学位论文 在第三节里，我们介绍了定理中研究双曲守恒律的广义黎曼问题所用到一些 主要的数学方法，给出了两个重要的公式以及几个重要的先验估计。 在第四节里，我们进一步讨论了双曲守恒律方程广义黎曼问题中有待解决的 几个问题。 3 东北师范大学硕士学位论文 2 主要结论 首先我们考虑如下2 2 双曲守恒律方程： 妄讹畦= o 瓦o s 州 ) 塞= o ( 2 1 ) 它的初值为 ，= 。：c ，s ，= g ； 二至喜 二；王二量吕 c 2 2 ， 这里( r o ( x ) ，鼯( x ) ) 和( t o ( x ) ，菇( z ) ) 分别是x 0 和x 0 上的光滑函数，在t = o 时有 间断： ( 百( o ) ，石( 0 ) ) ( 瞄( 0 ) ，菇( o ) ) ( 2 3 ) 我们可以把( 2 1 ) 和( 2 2 ) 看作是( 2 1 ) 的有如下初值的黎曼问题的小扰动 问题： ，= 。：c ，j ，= 三：乏至二茎吕 ( 2 4 ) 这里 ( 4 ，) = ( 疗( o ) ，菇( o ) ) ( 2 5 ) 我们知道( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解一般由如下四种情况构成： ( a ) 后中心稀疏波和前中心稀疏波： ( b ) 后中心稀疏波和前激波； ( c ) 后激波和前中心稀疏波； ( d ) 后激波和前激波。 谷超豪等数学家在 2 0 2 2 中给出了广义黎曼问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 存在分段c 1 的局部解，并且这个解有和相应的黎曼问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 相类似的结构，也就 是说对于一般的广义黎曼问题，它的解将在一定的时刻爆破。但是如果给出一定 的假设条件，( 2 1 ) ( 2 2 ) 将存在分段c 1 的全局解。 下面我们将逐一给出一定条件下以上四种情况的( 2 1 ) ( 2 2 ) 的分段c 1 的 全局解的存在性的定理 3 。 对于情况( a ) ，即有两个中心稀疏波的情况，我们假设 - - o 鼽卯 ( 2 8 ) 【瞄( x ) o ，s j ( x ) o ，v x 0 为了在有限时间内在工0 和x 0 上都不会产生真空状态，我们也假设 j s o ( 小t o ( x ) 0 ，溉如 ( 2 9 ) 【s o ( x ) 一菇( x ) o ，v x 0 则在( 2 。6 ) 和( 2 7 ) 的假设下，广义黎曼问题( 2 。1 ) ( 2 2 ) 在t o 上存在唯 一的分段c 1 和分段c 2 的全局解( r ( t ，x ) ，s ( t ，x ) ) 。并且这个解也由一个前中心 稀疏波和一个后中心稀疏波组成。 如果条件( 2 6 ) 改为r = 0 ， ( 或厂- o ，v x 0 即在有限时间内不存在真空状态。 对相应的黎曼问题( 2 1 ) ( 2 4 ) ，如果解由常态，后中心稀疏波和前激波构 成，则可以说，存在一个中问状态( ，) 使得化，s 一) 和( ，s + ) 可以和( ，) 由一 个后中心稀疏波和一个前激波x = v t 连接。因此我们有 = & ，r o r ( 2 1 4 ) 除此之外，我们有 聪s 仉o ) 裳v 纵2 ( t o 名 亿 【( ， ，) “ 东北师范大学硕士学位论文 而- r o - r + 0 ( 2 1 6 ) 定理2 2 如( t o - ( x ) ，爵( x ) ) 和( 节( x ) ，茹( x ) ) 分别是x 0 和x o 上的c 1 函数， ( 2 1 3 ) 成立并且有 ( x ) 0 ，坛 o ( 2 1 7 ) 【百。( z ) o ，v l 0 我们还假设相应的黎曼问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 的解由常状态，一个后中心稀疏波和 一个前激波构成。则广义黎曼问题( 2 1 ) ( 2 1 0 ) 在在t 0 上存在唯一的分段c 1 和分段c 2 的全局解，并且这个解有和相应的黎曼问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 的解相类似 的结构，也就是说，这个解只包含一个以原点为中心的后中心稀疏波s 董和过 原点的前激波x = 而( f ) ，除此之外，在这个激波的两边，解必然分别是后中心稀 疏波s 暑和s 兰置，并且在f o 上不存在真空状态。 对于情况( d ) ，即解由两个激波构成时，有如下定理 定理2 3 如果( 百( x ) ，( x ) ) 和( 舌( x ) ，菇( x ) ) 分别是x 0 和x 0 上的c 1 函数， 并且 足一 0 ，一 0 ( 2 1 8 ) 则存在足够小的常数占 0 和r o 使得如果有 肛功t 咿功吨p 帆o ( 2 1 9 ) u 疗o ) 一i ，i 菇( x ) 一l 占，o 和 jl 百( x ) l ，i ( x ) i 南，v x 。 则广义黎曼问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 在t 0 上存在唯一的分段c 1 和分段c 2 的全局解 ( r ( t ，x ) ，s ( t ，x ) ) 。并且这个解也只由一个后激波x = j c l ( f ) 和一个前激波 x = j c 2 ( f ) 组成。并且在t 0 上不存在真空状态，同时，此时的解还有如下性质： | ，( ，x ) 一t l ，i s ( t ，x ) 一是i 占，比而o ) ( 2 2 1 ) i r ( t ，功一_ i ，l s o ，x ) 一_ i 占，v i j c 2 0 ) ( 2 2 2 ) 并且在两个激波中间的角形区域 d = ( f ，x ) l t o ，五o ) x 而o ) ( 2 1 3 ) 6 东北师范大学硕士学位论文 ( ，( f ，x ) ，s ( t ，x ) ) c 1 ， 并且 i r ( t ，x ) 一( f ，x ) - s o lsk s ( 2 1 4 ) l 妄c 船，l ，| 妾c t , x ) i ，譬c 啦，l ，i 鲁c ，l 0 ( 2 1 6 ) 怕r ) | 0 ( 2 1 7 ) 这里( ，) 是相应的黎曼问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 所对应的激波，u 和v 是相应的激波 速度，k 小= 0 ，1 ，2 ，3 ) 是正常数。 下面我们考虑以下拟线性双曲守恒律： 昙+ 掣+ l u = 0 ( 2 1 8 ) 西缸 、 这里“= “( “l ，- - ，甜。) 7 是关于( t ，x ) 的未知向量函数，f ( u ) 是已知的关于u 的c 3 向 量函数，l 是正常数。 我们假设方程( 2 1 8 ) 是严格双曲的，即在定义域内对任意的u ，雅克比矩 阵彳( ”) = v f ( ”) 有n 个互不相同的实特征值， a ) 五 ) 丸( “) ( 2 1 9 ) 令 ( “) = ( 。( 掰) ，乙( z ，) ) ，( 掰) = ( 。( 掰) ，( z f ) ) 2 分别是五( 甜) ，江1 ，2 ，甩的左特征向量和右特征向量，即 ( 甜) 彳( 掰) = 名( 豁) ( 材) 彳( 筇) ，；( 掰) = 磊( 掰) ，：( 掰) ( 2 2 0 ) 并且我们有 d e t i 乞( 以) l o ，d e t l ( 掰) j o ， ( 2 2 1 ) 假设在定义域内有 ( 甜) l ( 甜) = 磊 ( 2 2 2 ) 并且 r ( 甜) ，：( 材) = 1 ( i = l ，2 ，刀) ( 2 2 3 ) 这里嗡是k r o n e c k e r 记号。 显然，所有的丑( ) ，乇似) 和( “) 有与a ( u ) 相同的正则性，即都是c 2 的， 同时我们也假设( 2 1 8 ) 是真正非线性的，即对每个特征值丑似) ，有 v 五( ”) ) 0 ( 2 2 4 ) 7 东北师范大学硕士学位论文 我们还给出以下概念： 定义2 1 分段c 1 向量函数 = o ，x ，= 善：三：二三耋善； c 2 2 5 ， 称为是( 2 1 8 ) 的包含一个k 激波x = x k ( t ) 的分段c 1 解，如果u = u ( t ，x ) 在k 激 波x = ( r ) 以外在古典意义下满足( 2 1 8 ) ，在k 激波x = x k ( t ) 上满足以下熵条件： f ( u + ) - f ( u 一) = s ( u + 一一) ( 2 2 6 ) 五( 甜+ ) 五一l ( 甜一) ( 2 2 7 ) 这里 材= 甜( f ，x k ( t ) ) 皇材( f ，吒( r ) 0 ) ( 2 2 8 ) 并且 s = 呶( r ) a r t ( 2 2 9 ) 当l = o 时，方程( 2 1 8 ) 变为相应的齐次方程，即 a n + 巡：0 ( 2 3 0 ) 拼苏 我们给( 2 3 0 ) 赋以初值为 r ：o ：“：j 虬( x ) ，x 乏o( 2 3 1 ) i u 一( x ) ，x 0 使得 s u p o + i x i ) “声( i 一( 工) i + i 甜：( x ) i ) ) + s u o p ( 1 + l x i ) 1 十声( 1 ”+ ( x ) i + i “：( x ) i ) ) ( 2 3 3 ) 则( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 成为一个双曲守恒律的广义黎曼问题。此时可以将( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 看作是相应的黎曼问题( 2 3 0 ) 和 ，= 。：“= ：二三3 ( 2 3 4 ， 的初值的小扰动问题。这里 蠡= 甜( 曲，蠡= u ( x ) ( 2 3 5 ) 虬= 【x ) ，虬= 一【x ) l j 对于这种情况，l a x 1 已经证明了如果五和五一充分靠近，则黎曼问题( 2 3 0 ) ( 2 3 4 ) 有唯一的小振幅全局解材= u ( x t ) ，并且这个解由至多n + 1 个由激波或 中心稀疏波连接的常状态五o = 五一，玉n ，五”n ，五”= 五组成。 由于这里我们只关心( 2 1 8 ) 的柯西问题中只包含n 个激波的分段c 1 的全 8 东北师范大学硕士学位论文 局解的存在性，故我们把条件限定为设( 2 1 8 ) 的相应的齐次方程的黎曼问题 ( 2 3 0 ) ( 2 3 4 ) 的解u 只包含r 1 个非退化激波。即齐次方程的黎曼问题的解为 ，x 互f 露( ，却 x 乞f ( 2 3 6 ) 五( n ，元一l t x a , t 这里x = 知表示第i 激波。 对于广义黎曼问题( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ，李大潜和赵彦淳在 2 中已经证明了如 下结果： 定理2 4 在以上的假设条件下，如果甜+ ( x ) 和“一( x ) 在z 0 和x o 充分小，则存在足够小的 正常数占使得如果 ) 一州) 愀i x ) 卜南，坛o ( 2 3 7 ) ) 叫( o ) i ，i 疋( x ) 卜南，觇o ( 2 3 8 ) 则( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 存在唯一的全局的经典间断解u = l i ( t ，x ) ，这个解只包含n 个 激波工= 而( f ) ( ( 0 ) = 0 ) ( f = 1 ，2 ，刀) ，使得解u ( t ，x ) 在每个区域d f o = o ，1 ，2 ，珂) 是c 1 的，在f 0 上( ，) u = l ，2 ，力) 是c 2 的，并且有 矿叫篙，v ( f ，加矾( f = 0 ，1 ，2 ，刀) ( 2 3 9 ) it 惜a t ) i 0 ，使得对任意的0 ( o ，o o 】，柯西问题( 2 1 8 ) ( 2 3 0 ) 有唯 一的全局分段c 1 解l i - - u ( t ，x ) ，这个解在t 0 j = 只包含f i 个小振幅的激波，并且这 个解有与相应的齐次黎曼问题( 2 3 0 ) 和( 2 3 4 ) 的解u = u ( x t ) 相类似的结构， 即 u = u ( t ，x ) = “o ( ，x ) ，x 而o ) u 0 ) ( t ，d ，而( r ) x 而( ，) ( 2 4 2 ) 材”一1 o ，x ) ，矗- l ( f ) x p ) 这里所有的“( ，x ) ，( 扛l ，t ) 在各自的定义域内有如下性质，其在古典意义下 满足( 2 1 8 ) ，对f = l ，聆，甜( 卜1 ( f ，x ) 和u ( 0 ( f ，x ) 由i 激波连接，而且存在不依赖 于9 和( t ，x ) 的正常数k 使得 ( ，x ) 一1 k o ，v o ，x ) ，( f = 1 ，刀) ( 2 4 3 ) 这里 f ( f ，圳f o ，x j c l ( ，) = o ) ，= ( ，x ) | f o ，薯o ) 矗( f ) ，( 净刀) 后来邵志强，孔德兴和李亚纯又在定理2 5 的基础上解决了带有粘性的初值 r ：o ：“：j 翻+ ( x ) ，胁? ( 2 4 5 ) 【e u ( x ) , x 0 和x 0 上的c 1 的向量函数并且满足 虬( o ) u ( 0 ) 从而得到了如下定理： 定理2 6 假设系统( 2 1 8 ) 是严格双曲的并且是真正非线性的，而且如果 相应的齐次黎曼问题( 2 3 0 ) ( 2 3 4 ) 的解u = l i ( x t ) 只由n 条非退化激波组成， 并g u + ( z ) 在x 0 和x 0 ，使得对任意的矽( 0 ，o o 】，柯西问题( 2 1 8 ) ( 2 4 5 ) 。有唯 l n 东北师范大学硕士学位论文 一的全局分段c 1 解u = u ( t ，x ) ，这个解在t o a = 只包含1 1 个小振幅的激波，并且这 个解有与相应的齐次黎曼问题( 2 3 0 ) 和( 2 4 5 ) 的解u = t l ( x t ) 相类似的结构， 即 u = u ( t ，x ) = ”o o ，x ) ，x 而o ) u o ) ( i ，x ) ，而p ) x 而( f ) ( 2 4 6 ) 玎”一1 ( f ，x ) ，矗一l o ) x 靠( f ) 这里所有的“u ( f ，x ) ，( f = 1 ，聆) 在各自的定义域内有如下性质，其在古典意义下 满足( 2 1 8 ) ，对i = 1 ，玎，u o - i ) ( ，z ) 和“7 o ，x ) 由i 激波连接，而且存在不依赖 于0 和( t ，x ) 的正常数k 使得 p 9 ，工) 一叫旭w ，功，u = 1 ，功 ( 2 4 7 ) 这里 f 沁x ) 睁o ，z 而o ) ，( 江o ) ，= o ，x ) l t o ，再( f ) x ( f ) ) ，( 江胛) 东北师范大学硕士学位论文 3 主要方法 在这一节中我们对以上定理的研究方法做具体的介绍。假设在定义域内，方 程( 2 1 8 ) 是严格双曲的，并且满足上述定理中所给条件， 令 m = ，i ( 甜) 甜 i = ( 1 ，2 ，忍) w j = ) 蚝i = ( 1 ，2 ，刀) 这里 t ( “) = ( ，i ，( “) ，：( 甜) ，乞( “) ) 由( 2 2 2 ) 易知 材= v , r a u )j j k = l 蚝- - z ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 令 丢= 昙堋群) 昙 5 ， 为沿第i 特征曲线的导数。 1 9 7 4 年f j o h n 2 7 研究了一维拟线性双曲方程组c a u c h y l b 3 题经典解的存在 性和奇性问题。他利用波的分解公式证明了一定条件下c a u c h y l h q 题( 2 1 8 ) 的c 2 解必在有限时间内破裂值得一提的是，f j o h n 的波的分解公式是后来许多人 研究经典解的整体存在性和破裂现象的重要工具。它在双曲守恒律的广义黎曼问 题中也起到了重要的作用，下面我们就给出这两个重要的公式及其证明。 引理3 1 对i = 1 ，2 ，刀，有： 半= 协) w j w k4 兰e l t 渺 6 ， 这里 ( 甜) = ( 五( 甜) 一乃( 甜”，：7 ( “) v ( “) 咯( “) 一v 丑( ”) ，：( 甜) 民 ( “) = 一三，：7 ( 甜) v ( “) 咯( “) 证明由已知我们容易得到 警考堋材譬矗f劣”7 缸 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 东北师范大学硕士学位论文 = 昙m 堋甜) 昙( f ( 材) u a = 掣州丝o t 堋州掣”似) 静 = 甜，7 v ( 甜) 材，+ ( “) 甜，+ 丑( 甜) 【”。r v ( “) z + ( 甜) 。】 ( 3 9 ) 由原方程可得 坼：一o f ( - u ) 一上u = - a ( 甜) 甜，一三群 所以 ! 导= ( 一彳( ) u x 一) 7 v ，f ( “) u x + ，f ( “) ( 一彳( 甜) “，一l u ) ，+ 乃( 甜) 【甜，7 v ( “) 蚝+ ( 甜) 甜。】 ：一虬r a t ( 材) v ( 甜) z 一三甜r ( 甜) 。一( “) 望罢s 堕”，一( 甜) 彳( “) z k - 1 4 ( u ) u ，+ 五( ”) ”，7 v t , ( u ) u ，+ ( 甜) ，f ( 甜) “。 ：一甜，r a t ( 甜) v ( ”) 一三u t v t , ( 甜) 蚝一( “) 望鸳呈堕甜，一( ) 4 ( 甜) 甜。 一l h ( u ) u + 乃( 甜) “，7 v ( 材) 略+ ( 甜) 彳( 甜) “。 ：一“，：彳，( 材) v ( ) 甜，一材，v ( 甜) 蚝一( 材j a a = ( u 一) 甜，一三w + 五( ”) u f v l , ( 甜) “， o x ( 3 1 0 ) 并且，我们由( 3 4 ) 有 虬- e 气 ) 所以有 - z m 气7 ( 材) ( 3 1 1 ) 再由( 3 4 ) ( 3 1 1 ) 有： 等一( 若刀w j 5 眦嗍甜) u x - l u r v 似”枷) 警 - l w j + ( 甜) ( 吩，：7 ( “) ) v ( 甜) 咋 ，- ( 喜吖肌脚) 喜吲“) - l u r v 似) 喜吲小似) 警喜州“) 一一 一三w + 乃 ) ( 一乃7 似) ) v f f ) ( 甜) 一l 量l i 东北师范大学硕士学位论文 = 羔 乃( “) _ ，：r ( “) v ( “) 心( “) 一r j7 ( “) 彳7 ( 甜) v ( 甜) 咯( “) 】 一三耖似慨】一兰k = l 伽) 掣咖h i=lmr 又因为 兄j ( u ) r j7 ( “) = m ( “) ，：( “) 】7 = ，：r ( 材) 彳r ( “) 所以上式变为 生4 t = j 主, k = l 瞻 ) ，= r ) v ) _ ) 一乃似) ，：7 ) v ( “) _ ) 】 - 二喜私俐嘶眦一灿k = 1 ) 警忡) 一眺 = l ，= l l “ 篑= 窆【以( 材) 一乃( z f ) 】o7 ( “) v ( “) ( 材) 一三羔r ( “t ( ”) _ ( 扰) ( 甜) “j lj , k = l，七= l 一扣) 掣吲小砒 ( 3 1 2 ) 将( 甜) 彳( 甜) = 五 ) ) 两边同时对x 求导得 掣御掣：掣忡荆掣 o x o xc 蕊 ”，r v ，( 甜) 彳( 甜) + ，f ( 甜) 至! 鍪兰2 ：v 4 ( 甜) z ( 甜) + 五( 材) u v i a ) ( 3 1 3 ) 将上式两边同时乘以气( 甜) 有： 虬r v ( ”) 彳( 材) ( 甜) + ( 甜) 兰堑鍪兰2 ( ”) ：v 4 ( ) “，( 材) ，z ( ”) + 乃( 甜) u v , ( 甜) 咯( 甜) ( 材) 至笔呈堕( 甜) = - u v l , ( “) 彳( 甜) ( 甜) + v 4 ( 材) ”，( 材) ( ”) + 4 ( ”) u v , ( 甜) ( 甜) = ( 五( 甜) 一五( “) ) 蚝r v ，f ( ”) 咯( 材) + v 元( 甜) 蚝瓯 ( 3 1 4 ) 因此有： 等= 砉州训v 似叭咖) 一窆 ( 五 ) 一4 似) ) 蚝7 v t ) ) + v 4 ( 材) 略瓯】 一三羔，：r ( “) v ( “) 气 ) v , w k l w j 其中 荟【( 五( 甜) 一五( ”) ) 蚝7 v t ( ”) ( 材) + v 4 ( 甜) 心氏】 1 4 东北师范大学硕士学位论文 = ( 乃 ) 一五( “) ) ，：，r ( “) v ( “) ) + 芝v 五 ) 艺吩，：，( “) 瓯 k z l i = 1k = li = i = 三( 元似) 一五 ) ) ，：7 ) v ( “) 气 ) w j w , + 羔v 丑 ) o ) 靠心 所以 -毗j7=窆【五)一乃(”)】，：7似)v，f)心气(“)t41 1 ，j = i 一v 丑( “) ，= ) 瓯_ 一三r f ( u ) v , ( u ) r k ( u ) v j w k 一三w f 乒= i，j l l 等= 砉赚矿伽蝴妒似删川似剐_ 一三r f ( u ) v t , ( u ) v j w k r k ( u ) 一砒 令 ( “) = ( 五( 甜) 一乃( “) ) 乃7 ( u ) v l , ( u ) r a u ) 一v 磊( ”) o ( “) 哌 ( “) = 一l r j 7 ( “) v ( “) ( 甜) 则有 、d ( e u 厂w i ) = 丢( m 丢w ) i = l e u w ，+ 矿掣o t + 元( “) 掣o x = l e t 。w , + e o - - 警- + 乃( ) 警 u 积 ：三p d w + p 厶皇蔓 d = l e 厶睢+ 矿【r , j k ( u ) w j w 。一苏( u ) v y k 一她】 = l e 。嵋+ p 厶r , j k ( u ) w j w k 一p 。苏 ) _ 一l e 厶m = e z 。y e , ( u ) w j w , 一矿( 甜) _ ( 3 1 5 ) 则引理得证。 引理3 2 对i = l ，2 ，刀，有。 东北师范大学硕士学位论文 字= 舻铷聃+ 磬驰) v j w t 其中 反i ( “) = ( 乃( z f ) 一五( “) ) 0 7 ( ) v ( 甜) 气( 甜) 如( z ，) = 一l r j 7 ( “) v ( “) ( ”) 证明由已知我们容易得到 亳= 鲁+ 五c 甜，鲁 = 昙m 堋甜) 丢纵咖) = u t v l , ( u ) u + ( 甜) 甜，+ 以( “) ( 2 e v ，( 甜) “+ ( ”) “，) = u s v l , ( u ) u + l , ( u ) u , + 磊( 甜) 甜；v ( 材) 甜+ ( “) ，f ( 甜) z = ( 一蚝t 彳r ( u ) - l u r ) v ( “) 材+ ( 甜) ( 一a ( u ) u ，一l u ) + 五( “) 甜：v ( 材) 越+ 乃( 甜) ( 甜) 甜， = - u a ，( 甜) v ( 甜) 甜一l u r v ，f ( “) 甜一( 甜) 彳( z ，) 甜， 一l l , ( u ) u + 乃( 甜) v t , ( u ) u + 丑 ) 似) 略 = - u r a r ( u ) v l , ( u ) u - l u7 v l , ( u ) u 一三( “) 扰+ 五( “) v f j ( ”) “ = - u s a r ( u ) v l , ( u ) u - l u7 v l , ( u ) u - l v , + 丑( “) “；v ( 甜) 甜 并目由 甜= 巧，：，( “) j - i 和 蚝- - z w k r , ( u ) 量= l 可得 “7 = 吩彳 ) 和 屹t = 毗彳 ) 则有 李= 一n 彩 m7 ( 甜) v ，( 甜) 窆巧，：( 材) 一窆咋彳 ) v i a “) 窆_ ，= ，( “) t 4 i j k = l ，= l t t l ，。l 一三v + 以 ) 心 ( “) _ ，：似) = 一 m r ( u ) v l , ( u ) v f j ( u ) - z z 咋t t ( 甜) _ ，： ) 一“+ 以( 甜) w , r ( u ) v l , ( u ) v j 5 ( 甜) = l 1 6 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 东北师范大学硕士学位论文 = ( 丑( z f ) 彩( “) v ( “) o ( u ) w 女v j - r ，( u ) a 7 ( u ) v l ，( u ) r j ( “) _ ) 一三v , r ( u ) v ( ( u ) v j r j ( u ) - l v , 再由 r l ( u ) a7 ( 甜) = ( 彳( 甜) ( ) ) r = ( 五( 甜) ( ) ) r = 五( 甜) 彳( “) 可得 生a , t = 毫( 帕h ( 砌枷m 似) w , v j 一三2 窆, k = j 枷川似呐也 = ( 名( “) 一五( ”) ) 彳 ) v f ) o ( u ) w , , 5 - l 彳 ) v ) ) _ 唯一l v , 令 鲰( “) = ( 乃( “) 一五( “) ) ( u ) v t , ( u ) r j ( 摊) ( 甜)