（光学专业论文）含约瑟夫森结介观电路的量子化及其量子效应.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本论文报道了作者在攻读硕士学位期间的主要研究工作。在本学位论文中，基于标 准的正则量子化原理，我们研究了部分介观电路的量子化及其量子涨落、含超导约瑟夫 森结介观电路的量子化与库珀对数相分析、含约瑟夫森结电荷量子比特结构介观电路的 量子化与量子计算，取得了一系列有意义的研究成果。本文的研究工作主要包括以下内 容： 1 给出了有互感的电感耦合介观电路体系的哈密顿量，通过引入一幺正算符使体 系哈密顿算符对角化，然后借助i w o p 技术，求出了幺正算符的正规乘积形式，还讨论 了电路体系中电荷及磁通量的量子涨落。 2 相空间的w i g n e r 函数在坐标空间和在动量空间中的边缘分布分别有着不同的物 理含义，我们赋予w i g n e r 函数一个新的物理意义，也就是，在有限温度下的介观l - c 电路中，它的边缘分布对q 2 ( 2 c ) 和对p 2 ( 2 l ) 的统计平均分别对应着储存在电容和储存 在电感上的能量。 3 利用i e n 化变换，给出了介观r l c 电路体系的量子化方案，借助w e y l w i g n e r 对 应研究了体系中电荷及自感磁通量在热真空态下的的量子涨落。结果表明，体系中电荷 及自感磁通量在热真空态下的的量子涨落除与电路参数有关外，还与温度及时闻密切相 关。 4 给出了含有超导约瑟夫森结的介观互感电路的量子化方案，借助于压缩幺正变 换求出了体系的能级以及基态矢量，研究了体系中结端“过剩电荷 ( e x c e s sc h a r g e ) 与相位 差在基态下的量子涨落。 5 通过引入纠缠态表象，并基于费恩曼的设想：“电子对是玻色子，一个束缚 对的行为宛如一个玻色子”，建立了包含约瑟夫结的介观l - c 电路的哈密顿算符，然后， 利用海森堡运动方程得出了两个约瑟夫森方程：电流方程和结感应电压方程，及电感两 端的感应电压方程。结果清楚地表明，感应电压是如何受到电容耦合影响的。 6 借助纠缠态表象给出了电容耦合双约瑟夫森结介观电路的数相量子化方案，然 后，利用海森堡方程得到了每个结两端的感应电压，结果清楚地表明，结两端的感应电 压是如何受到电容耦合影响的。 7 给出了含超导量子干涉仪( s q u i d ) 单量子比特结构的量子化方案，通过引入一幺 正矩阵并借助谱分解，将体系的哈密顿算符用泡利矩阵表示出来，求出了体系的本征值 和本征态。 8 给出了含s q u i d 单比特结构的介观电容祸合电路的量子化方案，通过引入一幺 正矩阵并借助谱分解，将体系的哈密顿算符用泡利矩阵表示出来。最后，讨论了存在于 该体系中的纠缠态。 9 给出了互感耦合含s q u i d 双比特结构的量子化方案。通过引入幺正矩阵，并借 助谱分解，将体系的哈密顿算符用泡利矩阵表示出来。最后，提出了用该系统设计可控 相移门( c p s ) f 3 的方案。 1 0 给出了电容耦合双约瑟夫森结介观电路的数相量子化方案。获得了体系的本征 值和本征态。结果发现利用该体系能制备纠缠态。 关键词：介观电路；量子涨落；约瑟夫森结；超导量子干涉仪；纠缠态；可控相 移门。 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sp r e s e n t sm ym a i nr e s e a r c hw o r kc a r r i e do u td u r i n gm ym a s t e rc o u r s e i nt h i s t h e s i s ，b a s e do nt h es t a n d a r dc a n o n i c a lq u a n t i z a f i o np r i n c i p l e ，w ei n v e s t i g a t et h eq u a n t i z a f i o n a n dt h eq u a n t u me f f e c t so ft h em e s o s e o p i cc k c u i t s ，t h eq u a n t i z a t i o na n dt h ec o o p e r - p a i r n u m b e r - p h a s ea n a l y s i sf o rt h em e s o s c o p i cc i r c u i t s w i t hj o s e p h s o nj u n c t i o n sa n dt h e q u a n t i z a t i o na n dt h eq u a n t u mc o m p u t a t i o no f t h em e s o s c o p i ec i r c u i t sw i t l lj o s e p h s o n j u n c t i o n c h a r g eq u b i t s s i g n i f i c a n tn e w r e s u l t sa r cs h o w na sf o l l o w s ： 1 t h eh a m i l t o n i a nf o rt h em e s o s c o p i ci n d u c t a n c ec o u p l i n gc i r c u i t sw i t hm u t u a l i n d u c t a n c ei s g i v e n , t h e nh a m i l t o n i a no p e r a t o ri sd i a g o n a l i z e db yi n t r o d u c i n gau n i t a r y o p e r a t o r t h en o r m a lo r d e r i n gf o r mo ft h eu n i t a r yo p e r a t o ri s o b t a i n e db yv i r t u eo ft h e t e c h n i q u eo fi n t e g r a t i o nw i t h i na l lo r d e r e dp r o d u c t ( i w o p ) ，a n dt h eq u a n t u mf l u c t u a t i o n so f c h a r g ea n d i t sc o n j u g a t eq u a n t i t yo f t h i ss y s t e ma r cd i s c u s s e d 2 w i g n e rf u n c t i o ni np h a s es p a c eh a si t sp h y s i c a lm e a n i n ga sm a r g h 】a lp r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o ni nc o o r d i n a t es p a c ea n dm o m e n t u ms p a c er e s p e c t i v e l y w ee n d o wt h ew i g n e r f u n c t i o nw i t han e wp h y s i c a lm e a n i n g , i e i t sm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n s s t a t i s t i c a la v e r a g ef o r 9 2 ( 2 c ) a n dp 2 ( 2 上) a r et h ee n e r g ys t o r e d i nt h ec a p a c i t ya n di nt h ei n d u c t a n c ef o ra m e s o s c o p i cl - cc i r c u i ta tf m i t et e m p e r a t u r e ，r e s p e c t i v e l y 3 b y 璐i n gc a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o n , t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o rm e s o s c o p i cr l c c i r c u i t i sg i v e nw i t ht h ea i do fw e y l w i g n e rc o r r e s p o n d e n c e ，t h eq u a n t u mf l u c t u a t i o n so f t h ec h a r g e a n ds e l f - i n d u c t a n c em a g n e t i cf l u xi nt h et h e r m a lv a c u u ms t a t ea r ed i s c u s s e d i ti sf o u n dt h a t t h eq u a n t u me f f e c t so fc h a r g ea n ds e l f - i n d u c t a n c em a g n e t i cf l u xi nt h et h e r m a lv a c u r ms t a t e h a v es o m e t h i n gt od ow i t ht h et e m p e r a t u r ea n dt i m e b e s i d e st h ec i r c u i tp a r a m e t e r s 4 t h e q u a n t i z a t i o n s c h e m ef o r t h e m e s o s c o p i cm u t u a l i n d u c t a n c ec i r c u i tw i t h s u p e r c o n d u c t i n gj o s e p h s o nj u n c t i o n si sg i v e 也b ym e 冶n so fs q u e e z i n gu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n , t h ee n e r g yl e v e la n dt h eg r o u n ds t a t eo ft h es y s t e ma r co b t a i n e d t h e n , t h eq u a n t u m f l u c t u a t i o n so f e x c e s sc h a r g e sa n dp h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h es i d e so f j o s e p h s o n j u n c t i o ni n t h eg r o u n ds t a t ea r ci n v e s t i g a t e d 5 b yi n t r o d u c i n gt h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o na n df o l l o w i n gf e y n n m n sa s s u m p t i o n t h a t ”e l e c t r o np a i r sa r eb o s o m ，j m 9 ”ab o u n dp a i ra c ta sab o s ep a r t i c l e ”，w ec o n s t r u c t o p e r a t o rh a m i l t o n i a nf o ram e s o s c o p i cl - cc i r c u i ti n c l u d i n gaj o s e p h s o n - j u n c t i o n , t h e nw e u s et h eh e i s e n b e r ge q u a t i o no fm o t i o nt od e r i v ec u r r e n te q u a t i o na n dt h ev o l t a g ee q u a t i o n a c r o s st h ei n d u c t a n c ea sw e l la sa c r o s st h ej o s e p h s o nj u n c t i o n t h er e s u l tm a n i f e s t l ys h o w s h o wt h ev o l t a g ei sa f f e c t e db yt h ec a p a c i t a n c ec o u p l i n g 6 b yi n t r o d u c i n gt h ee n t a n g l e d s t a t er e p r e s e n t a t i o n , w ep r o p o s et h e c o o p e r - p a i r n u m b e r - p h a s eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o rd o u b l ej o s c p h s o n - j u n c t i o nm e s o s c o p i cc i r c u i tc o u p l e d b yac a p a c i t o r , t h e nw e u s et h eh e i s e n b e r ge q u a t i o no f m o t i o nt od e r i v et h ei n d u c t a n c e - v o l t a g e a c r o s se a c hj o s e p h s o nj u n c t i o n t h er e s u l tm a n i f e s t l ys h o wh o wt h ev o l t a g ei sa f f e c t e db yt h e c a p a c i t a n c ec o u p l i n g 7 t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o ras i n g l e - q u b i ts t r u c t u r ew i t ht h es u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u m i n t e r f e r e n c ed e v i c e ( s q u i d ) i sg i v e nb yi n t r o d u c i n gau n i t a r ym a t r i xa n db ym e a n so f s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n , t h eh a m i l t o n i a no p e r a t o ro ft h es y s t e mi se x a c t l yf o r m u l a t e di n c o m p a c tf o r m si np a u l im a t r i c e s t h ee i g e n v a l u e sa n de i g e u s t a t e so f t h es y s t e ma r | ed i s c u s s e d 8 t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o rm e s o s c o p i cc a p a c i t a n c ec o u p l i n gc i r c u i t sw i t l lt h es q u i d s i n g l eq u b i ts t r u c t u r ei sp r o p o s e d b yi n t r o d u c i n gau n i t a r ym a t r i xa n db yu s i n gt h es p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n , t h eh a m i l t o n i a no p e r a t o ra f t h es y s t e mi se x a c t l yf o r m u l a t e di np a u l im a t r i c e s f i n a l l y , t h ee n t a n g l e ds t a t e sw h i c he x i s ti nt h es y s t e ma r ed i s c u s s e d 9 t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o rad o u b l e q u b i ts t r u c t u r ew i t ht h es q u i dc o u p l e db y m u t u a l i n d u c t a n c ei sg i v e r lt h e n , b yi n t r o d u c i n gt h eu n i t a r ym a t r i c e sa n db yn l e a l l so f s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n , t h eh a m i l t o n i a no p e r a t o ro ft h es y s t e mi se x a c t l yf o r m u l a t e di n c o m p a c tf o r m si np a u l im a t r i c e s w ea l s op r o p o s eas c h e m et od e s i g nc o n t r o l l e d - p h a s e s h i f t ( c p s ) g a t eb yu s i n gt h es y s t e m 1 0 t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m ef o rd o u b l ej o s e p h s o n - j u n c t i o nm e s o s c o p i cc i r c u i tc o u p l e db y ac a p a c i t o ri sg i v e n t h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n s t a t e so ft h es y s t e m 啪g a i n e d i ti sf o u n dt h a t t h ee n t a n g l e ds t a t e sc a l lb ep r e p a r e du s i n gt h es y s t e m k e yw a r d s ：m e s o s c o p i cc i r c u i t ；q u a n t u mf l u c t u a t i o n ；j o s e p h s u nj u n c t i o n ； s u p e r - c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c e ( s q u i d ) ；e n t a n g l e ds t a t e ； c o n t r o l l e dp h a s es h i r ( c p s ) g a t e 聊城大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 引言 随着人类社会生产力不断发展和科学技术水平的不断提高，人类对物质世界的认识 也是逐渐深入、无限发展的。由起初人们只能用肉眼看到的系统，逐步发展到两个不同 层次的领域一宏观领域和微观领域。宏观领域是指以人们肉眼所能看到的物质系统作为 该领域所认识的物质系统在大小上的下限，向上没有上限而微观领域指的是以分予和 原子作为该领域所能认识的物质系统在大小上的上限，向下可以到无限可分的基本粒子。 然而人们对介于宏观下限和微观上限这个过渡区间微小体系的研究却远不及对宏观体系 和微观体系的认识。亚微米加工技术和分子束外延生长技术的发展为人们开辟了一个新 的天地一介观物理学【1 】介观物理学实际上是相对于宏观和微观物理学而言的，它所研 究的物质系统的大小由介观尺度( 截流子保持相位相干的长度) 来刻画，大体上在 l o n m l j ，l 之间，通常含有1 0 i 1 0 ”个原子【2 】。从空间尺度意义而言，这样的物质系统 基本上还应属于宏观范畴。但从研究内容上来说，介观物理学是研究物质系统特征尺寸 相当于或小于系统电子波函数的相位相干长度时，所呈现出来的物理性质和规律，所以 它又属于微观范畴。从而在某种意义上可以认为介观物理的研究对象是呈现量子特性的 宏观系统。实际上，介观物理学是2 0 世纪8 0 年代以后才在物理学中形成的一门年青的 分支学科。正是由于这门学科的兴起，使得人们在认识世界的深度和广度上又产生了一 个飞跃。它是联系宏观物理和微观物理的桥梁，将会促进当代物理学在2 l 世纪的发展。 近年来，随着纳米技术和纳米电子学的飞速发展，以及微加工技术进步，一些特征 尺度接近或者达到介观尺度水平的小量子器件已经研制成功【蚓。在介观尺度下，电路或 者器件的量子相干效应便呈现出来，原来在研究经典电路时所采用的一系列基本原理和 方法就不再成立。因而，在介观尺度下必须重新考虑器件及电路的量子力学效应。可以 相信，研究介观电路的量子力学效应，对于进一步设计微小电路、降低量子噪声的影响 将会具有一定的现实指导意义。 另外，随着量子计算和量子信息科学的发展，人们普遍认为，固态量子计算易于实 现量子比特( q u b i o 位数的大规模化，从而有可能真正制造出量子计算机【”。而由两块超导 体通过弱连接而成的超导约瑟夫森结( j o s e p h s o nj u n c t i o n ) 在实现固态量子计算方面将扮 演着重要角色1 8 9 】，当然，要想使量子计算机最终能在固态体系中得以实现，除了超导约 聊城大学硕士学位论文 瑟夫森结外，还会离不开诸如由电容、电感和电阻等电子元件组成的电路体系。因此， 考虑含有约瑟夫森结在内的介观电路系统，并研究它们的一些量子效应，将具有重要的 实践意义。正像近些年来人们所研究的在介观电路中会出现许多量子效应一样，可以预 见，在含有约瑟夫森结的电路系统中也会出现一些量子效应。可以相信，对该电路系统 量子效应的研究，对于人们最终实现固态量子计算机，将会具有一定的理论和实践意义。 1 2 介观电路以及含有约瑟夫森结介观电路的研究进展 关于电子器件及电路的量子力学效应，早在二十世纪五十年代就引起了l a n d a a e r 等物理学家的重视，并用量子力学方法研究了宏观电路问题【i 川。对介观量子器件及电路 的研究，最为简单然而又十分重要的工作是如何将电路学中最为基本的l c 电路量子化， 这一工作早在1 9 7 3 年首先由l o u i s e l l 通过与经典简谐振子量子化的方法作类比而得以完 成【1 1 1 ( 其中把电路中的电荷视为广义坐标，相当于谐振子的坐标) ，同时给出了在真空态 下这一电路的量子噪声。然而，在这之后的近二十年的时间里，人们对于介观电路量子 力学效应的研究几乎无多少进展。只是到了二十世纪九十年代，一方面由于介观物理研 究的不断深入，另一方面随着集成电路集成度的不断提高，基本单元电路的尺寸不断缩 小，已逐渐推进到纳米尺度，因此作为微电子学技术发展的原理性基础，必须考虑电路 及器件的量子力学效应；这才引进了人们对电路及器件量子力学效应研究的浓厚兴趣。 谈到介观电路量子效应的研究进展，不能不提及我国物理学工作者陈斌博士、李有 泉教授及其合作者们，是他们于二十世纪九十年代中期，在国内外率先分别研究了有源 r l c 电路的能量涨落及处于真空态时该电路中电荷和电流的量子涨落【1 2 - 1 4 l ，介观电容耦 合电路处于基态时各回路中电荷和电流的量子涨落【1 5 】，以及基于介观电路中电荷是量子 化的这一基本事实，建立了介观l c 电路的量子理论、进而讨论了在介观l c 电路中电 流的量子涨落问题【1 6 t1 7 】等。他们的这些工作见世后，进一步激发了人们对介观电路量子 力学效应研究的热忱，之后，国内外的物理学工作者们掀起了研究介观电路量子力学效 应的热潮。概括起来，所研究的电路体系主要包括有耗散和无耗散两种情况：文献 1 8 2 3 】 从不同角度研究了无耗散介观电路的量子效应，等等；文献【2 4 2 7 】研究了有耗散介观电 路的量子效应，等等。研究问题的方法也在不断创新，文献 2 8 】创造性地发明了i w o p ( i n t e g r a t i o nw i t h i n 趾o r d e r e dp r o d u c t ) 技术。并将这技术应用到介观电路量子效应的研 究中例，得到了一些具有较高学术价值的结果。 归纳起来，现有文献对介观电路的量子力学处理大部分通常是采用与经典简谐振子 2 聊城大学硕士学位论文 量子化的方法做类比，然后将介观电路量子化( 其中谐振子的坐标相当于电路中的电荷) ： 当然也可以在引入复正则电荷与电流的基础上，采用产生、湮没算符将介观电路量子化： 或者在直接考虑电荷不连续的前提下，将介观电路量子化；并且研究的大都是当体系处 于不同的某些特定状态( 特别是处于真空态、压缩真空态或相干态等) 时的量子力学效应。 部分文献是根据电路的具体形式，写出拉格朗日函数，找出满足哈密顿正则方程的两个 互为正则共轭的物理量，然后写出体系的经典哈密顿量，借助正则量子化原理，进而对 体系进行量子化：还有部分文献是先找出两个物理量，然后，验证这两个物理量是否满 足哈密顿正则方程，若满足，进而可写出体系的经典哈密顿量，再对体系进行量子化。 后面的这两种方法在处理介观电路量子化方面应该说是比较妥当的。值得指出的是对于 耦合体系，很多文献通过引入一幺正交换算符将体系哈密顿算符对角化，然后与谐振子 哈密顿算符作类比，判断变换后体系所处的状态，而对于幺正变换前体系所处的状态， 却很少有文献讨论。实际上，由于这个状态是电路实际存在的状态，求出这个态并讨论 它的一些性质应该具有一定的实际意义。另外，由于实际电路总是工作在一定的温度下， 因此，研究有限温度下介观电路的量子效应有一定的意义。 由两块超导体通过弱连接而形成的介观约瑟夫森结，是当前人们热心研究的、具有 应用价值的微型器件，其主要的功能特性来源于两块超导体之间的介观约瑟夫森结的量 子隧道效应。人们最初对约瑟夫森结的处理，采用的是半经典理论，即将外驱动场视为 经典场，满足通常的m a x w e l l 方程，而对介观约瑟夫森结系统的力学量则实施正则量子 化。这种半经典处理方法所带来的后果是，可能导致由于没有考虑辐射场量子化而使理 论推导的结果缺乏某些非经典物理现象的内容。同时，与非经典场相联系的某些微加工 技术以及介观器件制备过程中所遇到的一些问题，也是半经典理论所无法解决的。因此， 发展一套全量子理论来处理场与介观器件的相互作用迫在眉睫。 1 9 9 4 年，v o u r d a s 首次研究了量子化光场与介观约瑟夫森结相互作用系统i ，揭示 了在压缩真空态场作用下，介观约瑟夫森结能够呈现出双倍整数的流压台阶结构，并就 量子噪声对该台阶结构的影响作了分析。随后，他又给出了非经典微波与介观约瑟夫森 结相互作用的量子理论【3 i 】中国科学技术大学的范洪义教授从单个约瑟夫森结的哈密顿 算符及海森堡方程出发，导出了算符型的约瑟夫森方程：电流方程和电压方程，并给出 了数相测不准关系，随后，又计算了有外偏压与外偏流时约瑟夫森结的哈密顿算符及约 瑟夫森方程1 3 2 。3 4 1 ，等等。他们这些研究极大地丰富了约瑟夫森结的动力学理论，为人们 开展这一领域的研究，指明了方向，提供了工具。但以上研究是基于单个约瑟夫森结的 聊城大学硕士学位论文 介观电路，并未涉及约瑟夫森结与其它介观器件以及结与结之间存在耦合的情况，如果 在这一领域能开展一些研究，应该具有一定的意义。 实际的量子计算机如果能建成的话，在执行某一运算时将比经典计算机效率要高得 多口 7 】；量子比特的载体将是耦合的双态量子系统【3 3 l ，体系状态的相干时间演化必须被 控制在完成一次计算的时间间隔内【3 9 】因而，寻找合适的系统来实现量子比特，是量子 计算和量子信息理论和实验研究的首要任务之一。鉴于低电容介观约瑟夫森结奇妙的量 子隧穿效应，以及易于集成、可实现大规模化的特点，从上个世纪9 0 年代，人们就开始 从量子计算与量子信息的角度对介观约瑟夫森结展开了广泛研究。1 9 9 0 年，d e v o r e t 等 研究了在小约瑟夫森结中电磁场对库仑阻塞效应的影响m ；1 9 9 7 年，s h n i r m a n 等研究了 约瑟夫森结的量子操纵【4 1 1 ；1 9 9 9 年，m o o i j 等提出了约瑟夫森持续电流量子比特 4 1 ， n a k a m u r a 等从实验上研究了在一单库珀对箱( c o o p e x - p a i rb o x ) a e 存在的宏观量子态的相 干控制【3 j ，b o u c h i a t 等通过一些实验结果阐明了在一最简单的超导岛( i s l a n d ) 电路中如何 实现电荷态的量子叠加【4 2 l ，m a k h l i n 等改进了文献 4 2 攒 出的最简单的超导岛电路，并研 究了可控耦合的约瑟夫森结量子比特1 3 9 1 ：2 0 0 0 年，f a l c i 等提出了一种探测存在于约瑟 夫森结纳米线上的几何相位的方法 4 3 1 ；2 0 0 1 年，y o u 等提出了一种用互感耦合两电荷比 特的方案，并讨论了自感和互感在其中所起的作用，m a k h l i n 等系统地阐述了基于约 瑟夫森结器件的量子态工程 9 1 ，p l a s t i n a 等研究了介观约瑟夫森纳米线上存在的宏观量子 纠缠现象【4 5 】；2 0 0 2 年，y o u 等研究了基于约瑟夫森电荷量予比特的可测量的量子计算【叼； 2 0 0 3 年，y a m a m o t o 等用超导电荷量子比特实现了条件门操作方案【5 】。在上述研究工作 的基础上，最近几年来，人们又从不同角度研究了含有约瑟夫森结的介观电路的量子力 学效应，得到一些具有一定学术价值和意义的结果【辂侧。总结现有的从量子信息与量子 计算角度研究含约瑟夫森结介观电路的文献，不难发现，人们在处理约瑟夫森结电荷量 子比特的问题时，大多以一个超导岛作为研究对象，这个超导岛是结的一个极板，将这 个极板通过电容与外电路进行耦合。于是，当结两端的相位差发生变化时，库珀对 ( c 0 0 p 昏p a i 硌) 就会经由超导隧道到达或离开超导岛，运用标准的正则量子化方法可以对 体系进行量子化，岛上的过剩库珀对数和结两端的相位差构成正则共轭变量。然而，在 涉及有自感或互感的含约瑟夫森结的介观电路中，人们大多考虑自感或互感较小的情况， 在量子化的过程中，忽略磁能项嗍；在文献【4 4 】中，作者考虑了自感和互感的作用，将自 感和互感吸入结耦合能项，然后再对耦合能项作泰勒展开。我们认为考虑更多的含约瑟 夫森结的电荷量子比特体系，并运用标准的正则量子化原理，给出这些体系的数相量子 4 婴丝查兰堡主兰丝堡塞 化方案，将会具有一定的理论意义。 1 3 预备知识 1 3 1 正则量子化 狄拉克( d i r a c ) 认为 5 5 1 ，由经典力学向量子力学过渡的关键是寻找量子化条件或称为 对易关系，一个比较好的方法便是经典类比法。经典类比法在量子力学的发展中具有重 要的意义，这是因为经典力学在某些条件下提供力学系统的正确描述，这些条件便是， 组成系统的粒子与物体具有足够大的质量，使得伴随观察而来的干扰可以忽略。经典力 学因而必定是量子力学的一个极限情况。所以，在经典力学中可以找到一些重要概念， 它们是与量子力学中的重要概念相当的；并且，根据对经典力学与量子力学之间的类比 的普遍性质的了解，可能得到量子力学中的一些规则与定理，特别希望得到一些量子化 条件，它们表现为所有力学变量都对易的经典规则的简单推广。 根据狄拉克的理论，经典力学中最基本的力学量一正则坐标和动量之间的泊松 ( p o i s s o n ) 括号为 【吼，p ，】= 气， ( 1 3 1 ) 式中当七= _ ，时，坐标和动量二者互为正则共轭量。在量子化后，将代之为 磊，p ，】= i h 露 ( 1 3 2 ) 因而对一个介观体系实施正则量子化的方法是：首先，选定一个合适的量作为广义坐标 口，写出与该广义坐标相关的体系的势能v 以及与广义速度相关的体系的自由能t ；其次， 写出体系的拉格朗日函列划z = t v ，用拉氏函数求出与广义坐标正则共轭的广义动量； 然后，求出体系的经典哈密顿量u = e v , o , 一z ；最后，借助于( 1 3 2 ) 式的量子化条件 ， 将体系量子化。 1 3 2 w e y l w i g n e r 规则 在经典相空间理论中，任何一对共轭力学量都可以同时被用来精确地描述体系的状 态和表述其它力学量。而在量子理论中，由于受到不确定关系的制约，一对共轭力学量不 可能同时被精确测量。不过，早在1 9 3 2 年，w i g n e r 为了研究热力学体系的量子修正，首 先在相空间中引入了准概率分布函数即w i g n e r 函数，同时使用坐标和动量作为变量。由 测量w i g n e r 函数可以间接地得到关于波函数的信息d 2 1 。与量子态i ) 或密度算符 聊城大学硕士学位论文 p 2 i _ l c ，“i 相应的w i g n e r 函数定义驯1 如下： 形p ) 2 磊1e 扛一，p 卜+ 工) e ”朋刹 。去c ( 工一圳y ) 洲工“卅6 凼 = 磊1 亡矿( p + p ) 妒( p p 矿棚， ( 1 3 3 ) w i g n e r 函数也可以表示成动量空间的波函数的积分 w ( x ，p ) 2 去e ( p - p ，p i p + p , ) e - , 2 9 s d p = 去e ( p p f l 缈j j p + p ，) e 。脚。6 咖 = 去e 加“) 船矿叫懈 ( 1 3 4 ) 之所以称w i g n e r 函数为相空问的准概率分布函数，从w i g n e r 函数分别在p 方向和j 方 向中的沩缓分布可以着m 卜勿f 矿( 工，p ) = y ( x ) 妒( 工) = i ( x ) 1 2 ， 且& 阡7 ( x ，p ) = ( p ) ( 力= i ( p ) 1 2 ， ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) p ( x ) j 2 与舻( p ) f 分别对应粒子在坐标空间和动量空间的准概率分布函数。对于纯态而言， w i g n e r 函数亦可用w i g n e r 算符表示出来 w ( x ，力= i ( 善，p ) i ) ， ( 1 3 7 ) 式中【3 2 】 ( 毛p ) = 三：【p 卜( x j ) 2 一( p 一户) 2 】： ( 1 3 8 ) 石 为w i g n e r 算符，“：”表示正规乘积。晰g n e r 算符( 工，p ) 是把经典函数g 力量子化为 算符g ( i ，声) 的积分核，g ( 五p ) 与g 声) 满足 苎 j j 砬咖( 毛p ) ( 五p ) = g ( 毫力， ( 1 3 9 ) 这个量子化方案称为g 和g 的w e y l 对应吲。所以算符的期望值可利用w o l 对应求出， ( g ) ：f 妣抛p ) ( 阮p ) ) 6 ( 1 3 i o ) 聊城大学硕士学位论文 1 3 3 谱分解与算子函数l 鹞1 如果算子j 满足+ ：五+ j ，就称- 为正规算子( 咖a lo p e r a t o r ) ，关于正规算子有 一个很有名的定理，称为谱分解( s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n ) 定理：向量v 上的任意正规算子 麝，在y 的某个正交基下可对角化。反之，任意可对角化的算子都是正规算子。一般而 言，给定从复数到复数的函数厂，可以通过下面的步骤定义正规矩阵上的相应矩阵函数。 令- = d 1 4 ) 如j 是正规算子五的一个谱分解，定义，( j ) = 厂( 口) i 力口i ，容易看出( - ) d口 是唯一定义的。 1 3 4 约瑟夫森结及约瑟夫森方程5 们 1 9 6 2 年，约瑟夫森发现。当两块超导体中间夹一层极薄的绝缘体( 这一结构称为约 瑟夫森结) 时，就会发生电子跨越此结的隧道贯穿效应。低温下的超导电流的载体是两个 动量方向相关、自旋指向相反所组成的束缚态一库珀对( c o o p e r - p a i r ) 。费思曼给出了解释 约瑟夫森效应的一个简洁易懂、形式优美的陈述。他认为其基础是：“电子的行为，以这 种或那种的方式，是成对地表现的，我们可以把这些对想象为粒子，于是就可以谈 及对的波函数”。他又说：“一个束缚对行为宛如一个玻色粒子”；“既然电子对是玻 色子，当他们中有许多处在一个给定的态时，其他对就会有很大的机会也趋于这个态。 于是几乎所有的对会精确地锬在同一个最低能量的态上”“我们可以预期所有的 对在同一个态上运动”。理解费恩曼以上的叙述，可以体会到，库珀对聚集成为一个“凝 聚体”，其行为宛如玻色凝聚，并可以采用波函数来描述。 如果把约瑟夫森结一侧超导态的波函数看作，电子密度为岛，另一侧超导态的波 函数看作奶，电子密度为见，奶与的相位差为j = 岛- o , ，则约瑟夫森第一方程为 i = t s i n d ， ( 3 3 1 1 ) 式中l = 抛彪石万矗为约瑟夫森临界电流， 珀对所携带的电量。约瑟夫森第二方程为 8 6 fa l = 2 e u h 。 式中u 为结两端的电压。 k 为两端波函数的耦合常数，2 p 为一个库 ( 1 3 1 2 ) 中国科学技术大学范洪义教授形式地引入一个玻色性哈密顿模型来描写单个约瑟夫 森结【5 7 】： 詹= 【2 p ( 盎+ a 一占+ 5 ) 】2 ( 2 0 + e , 0 一c o s g ) ，0 3 1 3 ) 7 聊城大学硕士学位论文 式中a + a 一占+ 占为电荷数算符，c 为约瑟夫森结的电容，e 。为结耦合能，这里，扩a 为正 电荷产生算符，占+ 占为负电荷产生算符。在此基础上，范洪义教授还引入了相位算符 c o s 彦= ( e 詹+ e 一口) 2 ，p 诺；i a 一占+ ) ，( a + 一占) ( 1 3 1 4 ) 从海森堡方程导出的约瑟夫森第一方程为 烈a 憎一6 + 6 ) ，西= 易s i n 8 h ， ( 1 3 1 5 ) 约瑟夫森第二方程为 8 8 1 8 t = - e , ( a + 占一6 + 6 ) 壳，( 1 3 1 6 ) 式中e = p 2 i c 。双模位相算符的引入使得人们可以在海森堡表象中讨论约瑟夫森结。 1 4 本文的主要工作 综上所述，随着量子计算与量子信息理论和实验研究的飞速发展，人们有理由相信 量子计算机未来在现实中可以实现，正是这一点激发了人们对与之相关领域及交叉领域 研究的热情。在众多的量子计算机的实现方案中，固态量子计算实现方案是被人们普遍 看好的，这主要是因为它易于集成，方便实现大规模化。所以对介观电路特别是含超导 约瑟夫森结介观电路的研究仍旧是当前的热点问题之一那么沿这一方向考虑，一方面， 介观电路特别是含约瑟夫森结介观电路如何量子化，是否能把更多更好的方法引入介观 电路的理论研究中，该类电路将会出现哪些量子力学效应? 另一方面，如何运用正则量 子化原理，对更多的含约瑟夫森结电荷量子比特结构实施数相量子化，同时，如何引入 量子信息与量子计算的某些原理来处理这类电路体系哈密顿算符中的非线性项? 基于上述这些考虑，我们选择了介观电路以及含约瑟夫森结介观电路的量子化及量 子效应作为我们的研究课题，并对有关问题展开研究，形成了本学位论文。其具体内容 组织如下： 作为研究含约瑟夫森结介观电路量子化及其量子效应的基础，第二章分别研究了有 互感的电感耦合介观电路的量子化及其量子效应、有限温度下介观l 一电路印钉函 数的边缘分布及热w i g h t - 算符、介观r l c 电路的量子化及其在有限温度下的量子效应 第一节中，利用拉格朗e l 函数给出了有互感的电感耦合介观电路体系的哈密顿量，通过 引入一幺正算符使体系哈密顿算符对角化，然后借助i w o p 技术，求出了幺正算符的正 规乘积形式；同时还讨论了电路体系中电荷及其共轭量的量子涨落。指出体系中电荷及 自感磁通量在热真空态下的的量子涨落除与电路参数相关外，还与温度及时间密切相 s 聊城大学硕士学位论文 关第二节中，将w i g n e r 函数与具体介观电路相结合，指出有限温度下，w i g n e r 函数 边缘分布对q 2 1 ( 2 c ) 和，( 2 l ) 的统计平均分别为介观l - c 电路中储存在电容和电感上的 能量。第三节中，利用正则化变换，给出了介观r l c 电路体系的量子化方案。借助量子 算符及其w e y l - w i g n e r 对应研究了体系中电荷及自感磁通量在热真空态下的的量子效 应。 第三章分别研究了含有超导约瑟夫森结介观互感电路的量子化及其量子效应、电容 耦合约瑟夫森结介观电