（运筹学与控制论专业论文）交叉规划的若干结论.pdf

山东大学博士学位论文 交叉规划的若干结论 丁梅 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 在系统科学的发展史中，人们认识世界的能力逐步提高，对于认识对象的研究也 由浅入深，由单一转向复杂。7 0 年代后期，社会发展和科技进步导致事物之间的关系 呈现多维性、多样化、多功髓性和多准则性【3 - 5 ，需要扩大研究对象的范围任何事物 在其自身的发展过程中始终存在着既相互关联又相互制约，决定着事物的基本结构 特征及性质的两个或两个以上的方面。于是处理问题时，决策者应充分地考虑面临的 各种因素。使人力、物力资源得到更有效的利用，能够更好更省地达到目的因此， 数学规鲻的另一个主要研究对象一复杂系统应运而生 本文用数学规戈研究复杂系统的一个主要类型一交叉系统。全文分六章，第一章 为绪论，第二章、第三章研究最优性理论，后三章讨论交叉规划的等价问题和模糊交 叉规划 第一章提出交叉系统的三个基本特征、介绍了四种研究方法，分析与其它问题的 关系我们根据复杂系统中各子系统之间的关联方式的不同，将其分为递阶系统 6 - , 0 j 和交叉系统【“_ 3 】两个基本类型。在此基础上，可以形成更多类型的复杂系统结构。 交叉系统是一类最基本的复杂系统，1 1 概括其主要特征为：子系统关系的交叉性； 决策量的双重性；系统的整体性。交叉系统的优化问题研究大系统决策的存在性和求 解办法，主要研究方法有：不动点方法 1 4 - - 1 7 ；变分不等式方法 1 s - 2 q ；线性和非线 性互补方法 1 2 , 2 2 - 2 8 】；数学规划方法提出交叉规划的优化模型， 1 1 】通过路径跟踪方 法用一个一维动态量来讨论解的存在性、稳定性积可计算性，【1 3 2 9 ，1 用递阶系统 的结果研究交叉系统。1 2 从合作方式、策略集合的规模、选择策略的动态性三个方 面讨论交叉规划与博奕问题的异同从规划的形式和求解过程区分交叉系统和递阶系 统的优化问题。从目标函数和约束条件来分析交叉规划与多目标规划的关系 第二章考虑交叉规划解的分类、m f 约束品性和最优值函数的性质2 1 引 言介绍了基本特征的主要研究方法2 2 分析以往文献的模型，提出交叉规划的一般 形式 7 n a x z z s r ，。( z i ，z 一) 分( 矿，z 一) 0 日。( ，z 1 ) = 0 x t i = l ，k 定义反应解、可行解、最优反应解和最优可行解，以及相应的最优值的概念 山东大学博士学位论文 23 针对交叉规划多目标函数、多约束条件和交叉性的特点，从理论和应用的角 度对解的概念傲了精化，当比较约束集中的元素时，有均餐锯、绝对最优解、有效惩、 弱有效解； 定义2 31 若存在( 矿，9 + ) s ，使得对于任意的z s ( y + ) ，y s ( x + ) ，都有 ，扛4 ，y ) ，1 ( z ，y + ) ，2 ( 上+ ，y + ) ，2 ( f ，y ) ，则称( ：1 7 4 ，f + ) 为( 221 2 ) 的均衡解。 定义2 3 2 著存在 矿，矿) s ，使得对于任意的( z ，y ) s ，都有，1 z ，矿) ，1 ( 3 7 ，y ) ，2 ( z + ，y + ) 2 ，2 ( z ，y ) ，则称( 茁+ ，y + ) 为( 2 2 1 2 ) 的绝对最优解。 定义2 3 3 若对于( 矿，y + ) s ，不存在( 3 7 ，y ) s ，使得f ( ，y 4 ) f ( z ：y ) ， 称( ，y + ) 为( 22 1 2 ) 的有效解。 定义2 , 34 若对于( z ，圹) s ，不存在( z ，) s ，使得f ( z 。，) ”都成立，则称【z ，) 为( 2 2 】2 ) 的均衡严格控制解。 上述解的描述都是基于约束集中一个确定的元素，考虑到求解的困难性，放松解 的确定性，在模糊集合的意义下，定义满意解若j vj 1 ，规划 ，n n 上 “( ，1 ，2 ) m t n l u l ( ，1 ) 一“2 ( ，2 ) 1 t ( ，1 ，2 ) = ( u i ( ，1 ) ，护( ，2 ) ) 矛 在多目标规划范围内有某种意义下的“最优”解时，相应的( ，p ，p ) 为满意值，对应 的原规划的解为值满意解，若i v 【 1 的值满意解个数不唯一或l v l = l 相应的解个 数不唯一时，规划 f r - l a x l f u ( z ) i | m a x i l “( y ) | j r n i n i u ( z ) | l i f “( ) u st “( z ，”) 厅 山东大学博士学位论文 在某种意义下的“最优”解定义为规划( 2 2 1 0 ) 的满意解。 2 4 讨论向量型参数的m f 约束品性。对于以y 为参量的向量型参数子规划， 给定向量参数可，对于任意一个以可为极限的参数子序列y ，以及相应的以i 为极 限的最优解序列的k k t 乘子集一致有界，相应于最优解虿的一k 一丁乘 子集无界为了改变无界性，利用m f ( 矿) 约束品性，我们构造向量型参数规划的 m f ( 矿，e ) 约束品性，得到y - - + 可时乘子集变化的界当e - 0 时，有m f ( 矿) 约束品性，使得当y - - - 矿。时，相应于最优解的乘子集局部一致有界。先定义向量型 参数子规划的m f 约束品性，得到 定理2 4 8 设岳是( 2 2 1 2 1 ) 当参量为雪时的最优解，则在( 骨，口) 处m f 成 立的充要条件是m 1 口) 非空有界。 再定义交叉规划的吖一f 约束品性，有 定理24 1 5 若( i ，可) 是( 2 2 1 2 ) 的均衡解，则m 1 ( 芽，可) ，m 2 ( 虿，动均非空且有界 是在( 虿，可) 处m f 成立的充要条件 最后定义m f ( 矿o ，e ) 约束品性和m f ( 可+ 0 ) 约束品性，指出m f ( 可一，e ) 成立时，不一定有 一f 成立当m f 成立时，m f ( _ + o ) 显然成立。证明下 面三个定理 定理2 4 2 3 设虿s ( 可) ，则m f ( 9 - + o ，e ) 中( 2 4 1 7 ) ( 2 4 1 s ) ( 2 4 1 9 ) 成立的充 要条件是存在6 0 和n ( e ) ，对于任意的y 慨可+ 6 ) 有u z e s ( ) n ( i ) 吖1 ( 茹，y ) 互 s 3 ( 南，+ 。) 定理2 4 2 6 若m f ( - + o ，e ) 成立，则存在6 o ，r 1 9 0 和( 孑) ，对于任 意的y ( 可，- g + d ) 有u 。e s ( ，) n ( _ ) m 1 ( ，y ) s 3 ( 志，器) ，m 1 ( 虿，可) 中 形成的集 合有界 定理2 4 2 7 设存在序列( x o ，y o ) - - ( 虿，功，使得对于任意的k ，有 可， 一s ( y “) ，m 1 ( 矿，y 。) 0 。若( 2 4 2 0 ) 成立，则m f 匆+ 0 ) 成立的充要条件是 m 1 ( z ，可) 毋和u v e ( 玩_ 上j ) u z e s ( y ) n ( i ) m 1 ( z ，y ) 有界。 2 5 讨论参数规划最优值函数的性质，得到连续函数的存在性定理 定理2 5 1 0 设扩( ) = z i g l ( 茁，y ) 0 ，h 1 ( z ，y ) = o ，x o ) 若在z s ( 可) 处 m f 成立，则对于任意的吗，存在i 0 、( 蝣) 和连续函数，7 ( ，以) ，使得 ( 1 ) q ( 0 ，砚) = i ( 2 ) q ( ，d ：) s + ( 可+ t d ；) ( 3 ) v t 叩( t ，0 ) 连续 对于最优值函数，有 定理2 5 2 1 若s ( 可) o ，在引i i 寸近s ( ) 一致紧的，在虿0 s ( 功处m f 成 立，则在可处o v ( v ) 连续。 定理2 5 2 2 令z 。- - - + 虿，y - - , # ，z 。o s ( y , ) 。若在z d s ( 可) 处m f 成 立，存在子列( z 。，) 和( 卢。，a 。) m 1 ( z 。，y m ) ，使得当( - 1 i ) m 1 ( z ，可) 时，有 ( p m ，a m ) ( f i ，i ) i i l 山东大学博士学位论文 推论2 5 2 3 若紧集s ( y ) 非空，在蕾芒d s ( 劝处肼一f 成立，则c u 棼e o s ( 功吖1 ( 虿，们 为紧集。 。 推论2 5 2 4 存在子列( 肌，a i ) m 1 ( 虿，劲，当( 肌，) _ ( 瓦a ) 时，有( - ， ) j ，1 ( z ，可) 。 推论2 5 2 5 设s ( 可) 非空，在虿0 s ( 可) 处m f 成立，在可附近s ( y ) 一 致紧，则对于任意的x 。0 s ( 功，抓_ 可，( 。，a n ) m 1 ( z 。，口。) ，存在子列 ( x 。，y m ) ，( 肛。，a 。) m 1 ( z 。，y m ) 使得x 。- - + 虿，牙p ( y ) ，( 肛。，a m ) ( 万，a m ) ， ( 百a m ) m 1 ( z ，可) 。 推论2 5 2 6 假设同上，则存在 0 ，使得当恬一列 0 ，a t f ( ，萝) 当固定y 时关于第一个向量在e 1 上印l 一伪凸，当一a t f 扛) 当固定z 时关于第二个向量在q 上町2 一伪凸。 成立，则f ( z ，9 ) 一y t ( v 2 ) 、t f ( z ，y ) i d 墨f ( “，u ) 一u t v 1 丁f ( u ， ) d 。 定理6 2 9( 直接对偶) 令( 王，a ，d ，口) 是( 6 2 2 ) 的有效解且雪i n t q ，在 ( 8 2 3 ) 中令a = 天，d = i 。若r 。d 0 ，v 2 2 五丁f ( j ，雪) 负定，f v 2 五( 雪，厅) ：i = 1 ，1 ，p ) 线性独立，则( 牙，a ，d ，雪) 是( 6 2 3 ) 的可行解，且( 62 2 ) 和( 6 23 ) 的目标函 数值相等。若定理( 6 2 4 ) 的假设成立，则( 茁，五，d ，口) 是( 6 2 3 ) 的有效解。 定理6 2 1 8 ( 逆对偶) 令( 牙，a 、d ，口) 是( 6 2 3 ) 的有效解且口岛，在( 6 22 ) 中 令a = a ，d = d 。若r 0 1 d 0 ， i 7 2 2 f f ( 2 ，雪) 负定，( v 2 ， ( 孟，口) ：i = 1 ，p 线 性独立，则( 量a d ，口) 是( 6 2 2 ) 的可行解，且( 6 2 2 ) 和( 6 23 ) 的目标函数值相等。 若定理( 6 , 2 4 ) 的假设成立，则此时( i ， ，d ，啻) 是( 6 2 2 ) 的有效解。 5 6 3 对一般形式的凸多目标规划，有结论 定理6 3 6 设z o 为( 6 3 1 ) 的可行解，( 雪，驴，o ) 为( 63 5 ) 的可行解，则f ( x o ) 定理6 3 1 1 设一为( 6 31 ) 弱有效解，( 6 3 1 ) 满足约束品性，存在，磁且 a ：= 1 ，则存在u 。r p 。“， o r p ，使f ( 一) = 口o ，( 。o ，u o ，。o ) 是规划( 6 3 5 ) 的弱有效解 5 6 4 应用j o h r i 放松思想，放松约束集合的同时，对目标函数加以控制，得到凸 多目标规划在次微分意义下的对偶形式，证明了 定理6 41 6 若z o 和( g o ，u o ) 分别为( 6 , 4 ，6 ) 和( 6 41 5 ) 的可行解，则h ( y o ) + “0 1y o a 丁f ( 一) 。 定理6 41 7 若z o 为( 6 4 6 ) 的最优解，存在让o r 2 ，对于任意u r 2 ， x s ，下式成立： a t f ( z o ) + u t g ( x o ) sa t f ( x o ) + u o t a ( x o ) a t f ( x ) + u r g ( x ) v i i i 山东大学博七学位论又 则存在y o a 等 定理64 2 ： h ( y o “0 1 使得 y o “o ) 为f 641 5j 的最优解且( g 4 6 ) 和( 64 1 5 1 的最优值相 若是【64 1 ) 的可行解，f i t o j 是( 642 1 ) 的可行解，则r ( z o ) 5 6 j 讨论有三个目标函数、线性约束的多目标规划，如何将线性目标函数和线性 约束求得的最有基可行解、通过常量的改变使其成为另外两个规划一凸二次规划和 特殊的分式规划的最优解，得到必要条件。 关键词：交叉规划t o h 7 。，对偶参数规划，反问题，多目标规划 f x 山东大学博士学位论文 s e v e r a lc o n c l u s i o n so ft h ei n t e r a c t i v e p r o g r a m m i n g a b s t r a c t j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) i nt h eh i s t o r yo fs y s t e ms c i e n c e ，t h e a b l i t yt o u n d e r s t a n dt h ew o r l di s s h a r p e n e d t h e r e s e a r c ht ot h eu n d e r s t a n d i n go b j e c ti s g e t t i n gd i f f i c u l tf r o me a s ya n dc o m p l e xf r o ms a m p i e f r o n tt l i el a t e , i f7 0 s t h er e l a t i o nb e t w e e nt h eo b j e c th a st h ec h a r a c t e r ： t i cw i t hm a n y d i u l e n s i o n m a n y s i d e m a n y - f u n c t i o na n dm a n y c r i t e r i o nw h i c hi sc a u s e db yt h ed e v e l o p m e n t i “s o c i e t ya n dt h ea d v a n c e m e n to ft h es c i e n c e 3 5 1 i t s n e c e s s a r yt oe n l a r g et h er a n g eo f r h es t u d yt ) b j e c t ，e a c ho b j e c th a st w oo rm u c hm o r e a s p e c t sa l ll o n gw h i c hh a v ei n t e r r e l a t e d a n ( ic o n d i t i o n e de a c ho t h e ra n dd e c i d et h eb a s i cs t r u c t u r ea n dt h ec h a r a c t e ro ft h eo b j e c t t k d e v e l o p m e n to fi t s e l f s o t h ep o l i c y m a k e ri sf a c e dw i t hm a n yf a c t o r sa n dm u s tf u l l y l o l i s i d o lt h e mw h e nt h e y ( t e a lw i t hq u e s t i o n ss ot h a tt h eh u m a na n dm a t e r i a ir e s o u r c e sc a l l h il s e ( i l l u lh n l o r e | l f f e e t i v e l ya n d w ec a na c h i e v et h eg o a la sq u i c k l ya n d s p a r i n g l ya sp o s s i l l h 。7 ih e r e l r pr l l pa n , i t t i t ! l i n a j o lr e s e a r c h - 】b j e e ro tn l a t h e n l a t i cp r o g r a m m i n ga r i s e sw h i c hi s h ”o n l p l e xq v s t , l j u l w e u s ( t i l t 、r l l a t h e u l a t i c a p r o g r a l n m m gt os t u d yt h ei l l & i nl y p eo fc o n l p t e xs y s t e m w h i c h nr 上l t l i l t ( 4 la t ：ll v p - 4 v s t e l nu lt h i sp a p e r r h i sp a p e lt i a ss i xc h a p t e r st h ef i r s t c h a p t e ri s t h e i i l i i h l i n 。t 1 0 1 1d i es e c o n da n dt h et h i r dc h a p t e r sr e s e a r c ht h eo p t i m a lt h e o r y a n dt h el a s tt h r e e ( ： t a p t e tsd i s c u s st l l pe q u i v a l e n tq u e s t i o no ft h ei n t e r a c t i v ep io g r a m n f i n ga n dt h ef u z z yi n t e r ，1 】v ”p l o g r a l l l n n l l g t h ef i r s t c h a p t e ra ( 1 v & n c e st h r e eb a s i cc h a p t e r s ，i n t r o d u c e sf o u rr e s e a r c hm e t h o d sa n d a l l a l y s e st h er e l a t i o nw i t ha n o t h e rq u e s t i o n sa b o u tt h ei n t e r a c t i v ep r o g r a m n t i n g w ed i v i d e ll i e c o n i p l e xs y s t e mi n t ot w oe l e m e n t a r yt y p e s ，t h eh i e r a r c h i c a ls y s t e m 6 - 1 0 la n dt h ei n t e r n e t i r es y s t e m “一a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tc o g n a t ep a t t e r ni nt h es u b s y s t e m so n t h eb a s i s o tt h i s ，n l o r et y p e so fc o m p l e xs y s t e ms t r u c t u r em a yb ef o r m e d t h ei n t e r a c t i v es y s t e n ii s al d n do fm o s tb a s i cc o m p l e xs y s t e m i n5 11 ，t h e m a j o rc h a r a c t e r e so fi t a r et h ei n t e r n e 1 i v ec h a r a c t e ro ft h es u b s y s t e mr e l a t i o n ，t h ed o u b l ec h a r a c t e ro ft h ed e c i s i v ev a r i a b l ea n dt l l e e n t i r e t yc h a r a c t e l o ft h es y s t e mt h eo p t i m a lp r o b l e mo ft h ei n t e r a c t i v es y s t m ns t u d i e st h e e x i s t e n c eo ft h el a r g es y s t e md e c i s i o na n dt h em e t h o df o rf i n d i n gs o l u t i o n t h er u n j o tn i e t h o d s a i pt h ef i x e d p o i n tm e t h o d 1 4 17 i t h ev a r i a t i o ni n e q u a l i t yn l e t h o d 1 8 2 i t t l el i n e a ra i l d n o n l i n e a rc ( ) 1 n p l e n l e n tm e t h o d 1 2 , 2 2 - 2 8 t h em a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gm e t h o d t t l el a s t o f l e r a i s e st h ei n t e r a c t i v ep r o g r a m m i n g o p t i m a lm o d e l 1 l jn s e sao n e - d i m e n s i o nd y n a m i cv a r i a b l ct od i s c u s se x i s t e n c e ，t h es t a b i l i t ya n dt h ec a l c u l a b i l i t yo ft h es o l u t i o nb yt h ef o l l o w i n g x 哼 1 2诧u m 舱曩m把 弦 她航酊 山东大学博士学位论文 r o u t em e t h o d 【1 3 ，2 9 ，3 0 】r e s e a r c ht h ei n t e r a c t i v es y s t e mb yt h ec o n c l u s i o no ft h eh i e r a r c h i - c a ls y s t e m i n 1 2 ，t h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sw i t ht h eg a m et h e o r yi sc o n s i d e r e df r o m t h ec o o p e r a t i v ew a y , t h es c a l eo fg a m es e ta n dt h ed y n a m i c b i l i t yo ft h es e l e c t e dt a c t i c s - i t i sd i s t i n g u i s h e da b o u tt h eo p t i m a lp r o b l e mo ft h ei n t e r a c t i v es y s t e ma n dt h eh i e r a r c h i c a l s y s t e mb yt h ef o r mo fp r o g r a m m i n ga n dt h ec o u r s eo ff i n d i n gs o l u t i o n t h er e l a t i o nw i t h t h em u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gi sa n a l y s e df r o mt h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n dt h er e s t r a i n e d c o n d i t i o n s t h es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e r st h ec l a s s i f i c a t i o no ft h es o l u t i o n ，m fr e s t r a i n e dq u a l i t y a n dp r o p e r t yo ft h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o nf o ri n t e r a c t i v ep r o g r a m m i n g 2 1i n t r o d u c e st h e m a i nr e s e a r c hm e t h o do ft h eb a s i cc h a r a c t e r s 2 2 p u t sf o r w a r dag e n e r a li n t e r a c t i v ep r o - g r a m m i n gm o d e l a f t e ra n a l y s i n gt h em o d e hi nt h ef o r m e rd o c u m e n t s m l 正一f ( z ，z 一) s t g ( ，士1 ) s0 日缸i 茁一) = 0 一x i = 1 ，- 一，k i ti sd e f i n e dt h a tt h ei n t e r a c t i v es o l u t i o n ，t h ef e a s i b l es o l u t i o n ，t h eo p t i m a li n t e r a c t i v es o l u t i o n ，t h eo p t i m a lf e a s i b l es o l u t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a lv a l u e ， 2 3r e d e f i n e st h ec o n c e p to ft h es o l u t i o nf r o m t h et h e o r ya n d p r a c t i c ep o i n t o fv i e ww i t h c o n s i d e r i n gm u l t i o b j e c t i v ef u n c t i o n ，m u l t i r e s t r a i n e dc o n d i t i o na n dt h ei n t e r a c t i v ef e a t u r e i f t h ee l e m e n ti nt h er e s t r a i n e ds e ti sc o m p a r e d ，i th a se q u i l i b r i u ms o l u t i o n ，a b s o l u t eo p t i m a l s o l u t i o n ，e f f e c t i v es o l u t i o na n dw e a ke f f e c t i v es o l u t i o n d e f i n i t i o n2 3 1i ft h e r ei s ( z + ，掣+ ) s ，s u c ht h a tf o re a c hz s ( y + ) ，y s ( z + ) i th a s ，1 ( z ，y ) 1 ( 。，+ ) ，f 2 ( z ，y + ) 2 ，2 ( 正+ ，) ，t h e nc a l l ( 算。，+ ) a st h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o nf o r ( 2 2 1 2 ) d e f i n i t i o n2 3 2 i f t h e r e i s ( 。+ ，y + ) s ，s u c h t h a t f o re a c h ( z ，) s ，i th a s ，1 ( z 4 ，y ) 2 ，1 ( 卫，y ) ，2 ( 茹，v + ) ，2 ( z ，) ，t h e nc a l l ( + ，y 。) a st h ea b s o l u t eo p t i m a ls o l u t i o nf o r ( 2 2 1 2 ) d e f i n i t i o n2 3 3i ff o r ( o + ，掣) st h e r ei s n t ( $ ，y ) s ，s u c ht h a tf ( z + ，+ ) f ( x ，材) ， t h e nc a l l 扣+ ，9 。) a st h ee f f e c t i v es o l u t i o nf o r ( 2 2 1 2 ) d e f i n i t i o n2 3 4 i f f o r ( z + ，y 。) st h e r ei s n t ( z ，y ) s ，s u c ht h a tf ( 正+ ，掣+ ) ”a r eh o l df o r ( 2 3 1 2 ) ，t h e nc a l l ( o ，y + ) a st h ee q u i l i b r i u ms t r i c t - d o m i n a t i o ns o l u t i o n f o rf 2 2 1 2 ) t h ea b o v e c o n c e p t sf o rs o l u t i o n a r eb a s e do ns o m ed e t e r m i n e de l e m e n tf o rt h er e s t r a i n e d s e t w i t hc o n s i d e r i n gt h ed i f f i c u l ta b o u t f o u n d i n gs o l u t i o n ，w er e l a xt h ed e t e r m i n e df e a t u r ef o r s o l u t i o na n dd e f i n es a t i s f a c t o r ys o l u t i o ni nt h ef u z z ys e ts e n c e f o rj v i 1 , i ft h ep r o g r a m - m i n g r 1 1 a x n ( f 1 ，2 ) r a i n i n i ( ，1 ) 一u s ( ，2 ) i s t u ( i , ，2 ) = ( n l ( f 1 ) ，“2 ( ，2 ) ) 矛 h a st h eo p t i m a ls o l u t i o ni nc e r t a i ns e n s ew i t h i nt h em u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ，t h ec o t - r e s p o n d i n g ( f ”，1 + ) i st h es a t i s f a c t o r yv a l u ea n dt h es o l u t i o nf o rp r i m a r yp r o g r a m m i n gi s t h ev a l u e - s a t i s f a c t o r ys o l u t i o n hf o ri v i lt h en u m b e ro ft h ev a l u e - s a t i s f a c t o r ys o l u t i o no r t h en u m b e ro ft h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o nf o ri v j = 1 i s n to n l y , t h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h e p r o g r a m m i n g r o l l 2 ；( 。) | | m a z l i n ( y ) lj r a i n i i i n ( z ) l i l i n ( y ) l l i s t u ( x ，v ) u i nc e r t a i ns e n s ei sd e f i n e da st h es a t i s f a c t o r ys o l u t i o nf o rf 2 2 i o ) 5 2 4d i s c u s s e sm f r e s t r a i n e d q u a i l t yf o rv e c t o r - t y p ep a r a m e t e r f o rg i v e n 可t op a r a m e - t e rs u b p r o g r a m m i n ga n df o rp a r a m e t e r s u b s e q n s n c ey w h o s el i m i ti s 虱f o rt h ec o r r e s p o n d i n g o p t i m a l s o l u t i o n s e q u e n c et 。t h e 耳一耳一? m u l t i p l i c a t i o n s e ti sb o u n d e d u n a n i m o u s l y , b u tt h e 一耳一tm u l t i p l i c a t i o ns e tf o rt h eo p t i m a ls o l u t i o ni su n b o u n d e d w eb u i l dm f ( 矿，e ) r e s t r a i n e dq u a l i t yf o rv e c t o r - p a r a m e t e rp r o g r a m m i n g b ym f ( 矿) f o rt h eu n b o u n d a n d g e t t h eb o u n da sg _ + 可w h e ne _ o , i th a sm f ( 矿) ，s u c ht h a tt h em u l t i p l i c a t i o ns e tf o r o p t i m a ls o l u t i o ni sp a r t i a l yb o u n d e du n a n i m o u s l ya sy - + 矿o i ti sd e f i n e dt h a tm ff o r t h ev e c t o r - p a r a m e t e rs u b p r o g r a m m i n g f i r s t l y , w eh a v e t h e o r e m2 4 8l e t 量i st h eo p t i m a ls o l u t i o no f ( 2 2 1 2 1 ) f o rp a r a m e t e r 口m fi s 山东大学博士学位论文 h o l da t ( 叠，口) i fa n do n l yi fm 1 ( i ，口) i sn o n e m p t ya n dh a sb o u n d t h e nm fo ft h ei n t e r a c t i v ep r o g r a m m i n gi sd e f i n e dw eh a v e t h e o r e m24 1 5 g i v e n ( 虿，口) i s t h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n f o r ( 2 2 1 2 ) m 1 ( 面，可) ，m 2 ( 虿f ) a r en o n e m p t ya n dh a v eb o u n di fa n do n l yi fa t ( 牙，可) m fi sh o l d a tl a s t ，m f ( 可+ o ，e ) a n dm f ( 可+ o ) a r ed e f i n e d i ti s p o i n t e do u tt h a tm f i s u n c e r t a i nh o l da sm f 晦+ o ，e ) i sh o l d w h e nm fi sh o l d ，m f ( 矿o ) i sh o l d o b v i o u s l y ， t h r e et h e o r e m sa r ep r o v e d t h e o r e m24 2 3 l e t 茁s ( 可) ( 2 4 1 7 ) ( 2 , 4 1 8 ) ( 2 41 9 ) o fm f ( 雪+ o e ) a r eh o l di fa n d o n l yi ft h e r e i s6 0 a n d ( i )