（计算数学专业论文）气体动力学燃烧模型的研究.pdf

摘要 本文研究了气体动力学燃烧模型的黎曼问题和二维定常斜燃烧波 有两种完全不同的燃烧，一种为缓慢燃烧或爆燃，传播速度通常仅有 几米每秒，另一种为爆轰，传播速度超过声速爆燃和爆轰有着完全不同 的传播机制，前者是通过冲击波的作用压缩和加热未燃气体，使得未燃气 体温度高于燃点而发生燃烧；后者是由于传热，使得未燃气体的温度高于 燃点而发生燃烧本文第二章研究了c h a p m a n - j o u g u e t 燃烧模型的黎曼问 题，并根据爆轰和爆燃的传播机制分析了上述黎曼问题的解我们证明了 当初值满足某些条件时，该模型的黎曼问题的解存在唯一。这样的解为爆 轰波廨或非燃烧波解 类似于气体动力学的b u r g e r s 方程，m a j d a 1 5 1 于1 9 8 1 年建立了一个简 化的燃烧模型，该模型称为m a j d a 模型很多实验现象，如t v o nn e u m a n n 尖点，z n d 结构爆轰波都能在该模型中得到反映可是，m a j d a 模型中的 流函数，为严格凸的，这使得前向燃烧波只可能是爆轰波，后向燃烧波只 可能是爆燃波 2 7 】，所以有必要考虑流函数，为非凸的情况本文第三章研 究了具有自相似性的非凸m a j d a 模型的黎曼问题，我们通过l e a r y - s c h a u d e r 不动点定理得到了整体解的存在性 为了研究二维c h a p m a n - j o u g u e t 燃烧模型的黎曼问题的需要，本文第 四章研究了二维定常斜燃烧波我们利用1 中构造冲击波极线的方法在 ( u ，”) 平面中构造了燃烧波极线，并用它分析了燃烧波阵面后已燃气体的 流动以及强爆轰波的正规反射 关键词，燃烧，爆轰，爆燃，c h a p m a n - j o u g u e t 燃烧模型，z n d 燃烧模 型，m a j d a 模型，黎曼问题，自相似，冲击波极线，斜燃烧波极线 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h er i e i n a n np r o b l e mf o rg a sd y n a m i c a lc o i n - b u s t i o nm o d e la n dt w od i m e n s i o n a ls t e a d yo b l i q u ec o m b u s t i o nw a v e t h e r ee r et w od i f f e r e n tt y p e so fc o m b u s t i o n o n ei sc a l l e ds l o wc o m b u s t i o n o rd e f l g r a t i o nw h i c hi sp r o p a g a t e d 而t hal o wv e l o d t yo faf e wm e t e r sp e r8 e c - o n d t h eo t h e ri sc a l l e dd e t o n a t i o nw h i c hi sp r o p a g a t e dw i t hs u p e r s o n i cv e l o c i t y d e t o n a t i o na n dd e f l g r a t f o nh a v ed i f f e r e n tm e c h a n i s mo fp r o p a g a t i o n ，t h ef o m e ri s d u et os h o c kt h a tc o m p r e s sa n dh e a tt h eu n b u r n tg a sa n dm a k et h et e m p e r a t u r e o fu n b u r n tg a sh i g h e rt h e nt h ei g n i t i o nt e m p e r a t u r e ，a n dt h ec o m b u s t i o nt a k e p l a c e ；t h el a t t e ri sd u et ot h ec o n d u c t i o no fh e a t i nc h a p t e r2 ，t h er i e m a n n p r o b l e mf o rt h ec h a p m a n - j o u g u e tm o d e li sc o n s i d e r e di nl i g h to ft h ep r o p a g a - t i o nm e c h a n i s mo ft h ed e t o n a t i o na n dd e f l g r a t i o n w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo f t h es o l u t i o n s ，a n dw h e nt h ei n i t i a lv a l u e ss a t i s f ys o m ec o n d i t i o n sw ec a r la l s o o b t a i nt h eu n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o n sw h i c ha r ed e t o n a t i o nw a v es o l u t i o n so r n o n c o m b u s t i o nw a v es o l u t i o n s s i m i l a rt ot h eb u r g e r se q u a t i o ni ng a sd y n a m i c s ，i n1 9 8 1m a j d a 【1 5 】i n t r o - d u c e das i m p l i f i e dc o m b u s t i o nm o d e lw h i c hi sk n o w n 硝m a j d am o d e l m a n y e x p e r i m e n tp h e n o m e n o n s s u c h v o nn u e m a n ns p i k e ，z n dd e t o n a t i o nw a v e c a nb er e f l e c t e dt h r o u g ht h i sm o d e l h o w e v e r ，t h ef l u xf u n c t i o nfi nm a j d am o d e l i ss t r i c t l yc o n v e x w h i c hm a k et h ef o r w a r dc o m b u s t i o nw a v ed e t o n a t i o no n l ya n d t h eb a c k w a r dc o m b u s t i o nw a v ed e f l g r a t i o no n l y 【27 】，s oi ti s 瑚嘲b a r yt oc o n s i d e r t h ec a s ew h e n ，i 8n o tc o n v e x i nc h a p t e r3 ，t h er i e m a n np r o b l e mf o ras e l f s i r e - i l a rn o n c o n v e xm a j d am o d e li sc o n s i d e r e d ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a l s o l u t i o nb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m f o rt h er i e m a n np r o b l e mf o rt w od i m e n s i o n a lc h a p m a n - j o u g n e tc o m b u s - t i o nm o d e l ，w ec o n s i d e ri nc h a p t e r4t h et w od i m e n s i o n a ls t e a d yo b l i q u ec o m - b n s t i o nw a v e w ec o n s t r u c tt h eo b h q u ec o m b u s t i o nw a v ep o l a ri n ( “， ) p l a n e b yt h em e t h o dw h i c hi ss i m i l a rt ot h a to ft h es h o c kp o l a ri n 【1 】 a n du s i n gi t t oa n a l y s i st h ef l o wb e h i n dt h ec o m b u s t i o nw a v ef r o n ta n dr u g n l e rr e f l e c t i o no f 8 t r o n gd e t o n a t i o n k e yw o r d s ： c o m b u s t i o n ，d e t o n a t i o n ，, d e f l g r a t i o n ，c h a p m a n - j o u g n e te o m - b u s t i o nm o d e l ，z n dc o m b u s t i o nm o d e l ，m a j d am o d e l ，r i e m a u np r o b l e m ，s e l f - s i m i l a r ，s h o c kp o l a r ，o b l i q u ec o m b u s t i o nw a v ep l o a r 原创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人巳发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名。哥讧积日期；乍一 ) b 巾 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即t 学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲删导师豳欲飞嗍p j ，y 第一章前言 作为对以后几章的准备，本章主要介绍有关气体燃烧动力学的一些基本概念， 数学模型及理论的进展关于本幸更详细的介绍读者可以参考s , e s , 2 5 ) 1 1 气体燃烧动力学的一些基本概念 1 1 1 爆轰波和爆燃波 通常情况下，已燃的气体区域和朱燃的气体区域之间由一个过渡层分开，在 过渡层( 燃烧带或火焰) 内进行反应，随着时间的推移，这种过渡层以某个速度向 前推进，该速度称为气体燃烧的传播速度1 8 8 0 年前后，一些法国物理学家在实 验当中发现了两种不同的燃烧现象。其中一种火焰或燃烧带以每秒几米的低速向 未燃气体传播，而另外一种以每秒2 0 0 0 米或更大的速度向未燃气体传播前一种 叫做缓慢燃烧或爆燃，后一种叫做爆轰自然，对存在这样两种完全不同类型的 燃烧传播要求做理论解释c h a p m a n 和j o u g u e t 分别与1 8 9 9 年和1 9 0 5 年各自独 立地提出了一套解释在他们的解释中，他们假定化学反应是瞬时发生的，这时 可以略去燃烧带的宽度，而将它视为分隔未燃气体和已燃气体的一个界面在这 个面( 火焰阵面) 上，气体状态的变化不连续，即该面是一个间断面这样可以用 推导支配冲击波过渡关系式的同样的做法，从质量、动量和能量三个守恒率导出 从未燃气体跃变到已燃气体所遵循的关系式 设已燃和未燃气体的流动都发生在柱形管内，并设在每一截面上由比容n 压 力p 和速度“所表征的气体的状态是均匀的将火焰阵面的速度记为u ，气体相 对于火焰阵面的速度为口= “一u 假若我们在随火焰阵面运动的坐标系中观察过 程，并将未燃气体的状态记以下标0 ，将已燃气体的状态记以下标1 则由质量守 恒，动量守恒和能量守恒有 p o l o = p l v l p o + 加罐= p l + p 1 静 ， e 0 + 锄+ 譬+ 瑚知= e t + 萼+ p t n 又由( l 1 ) 和( 1 2 ) 可得 鬻r l = 一( 肿) 2 = 一如) 2 ，一内 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 2 0 0 7 年上海大学硬士学位论文2 - ：罂= - - p 1 口1 = - - p o 珊- ( 1 5 ) 0 1 一咖 由( 1 4 ) 可知燃烧过后压力和密度按相同的方向增加或减少，前一种情况定义为爆 轰，后一种情况定义为爆燃对于爆轰来说，燃烧过后气体相对于波阵面的速度减 小而对于爆燃来说，燃烧过后气体相对于波阵面的速度增加由( 1 1 ) 一( 1 3 ) 消去啪 和t 0 ，可得联系火焰波阵面上游和下游气体的p 和r 之间的关系一目钿，r 0 ，p l ，n ) ； 0 该关系表明，对于给定波前的未燃状态( o ) ，波后的可能状态p 和r 之间的关系 为 日( p ，r , p e ，匍) = 0 ( 1 6 ) 该关系式在( p ，r ) 平面表示一条曲线，称为h u g o n i o t 曲线，如图1 1 所示 p d f 。 酷 细l 隶 。飞o f 图1 1 ih u g o n l o t 曲线 由( 1 4 ) 知，对于给定波前状态( 0 ) 波后的状态不会落在曲线a b 段从图上 可以看出该曲线由两支组成其中一支为爆轰波分支，我们称之为爆轰波线，对应 曲线b d ；另外一支为爆燃波分支，我们称之为爆燃波线，对应曲线a f 过( 0 ) 做 曲线b d 的切线切点为c ，这时爆轰波线又可以分为强爆轰波线，对应于曲线c d ； c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰波，对应于点g 弱爆轰波线，对应于曲线口g 过( 0 ) 做曲线 a g 的切线，这时爆燃波线也可分为弱爆燃线，对应于曲线a e ；c h a p m a n - j o u g u e t 爆燃，对应于点e ；强爆燃波线，对应于曲线e f j o u g u e t 还研究了这些波的特 征性质，即，爆轰波阵面前的气体相对于波阵面的流动是超声速的，强爆轰波波 阵面后的气体相对于波阵面的流动是亚声速的，c h a p m a u o j o u g u e t 爆轰波波阵面 后的气体相对于波阵面的流动速度等于声速，弱爆轰波波阵面后的气体相对于波 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 阵面的流动是超声速的爆燃波阵面前的气体相对于渡阵面的流动是亚声速的， 强爆燃波波阵面后的气体相对于波阵面的流动速度是超声速的，c h a p m a n - j o u g u e t 爆燃波波阵面后的气体相对于波阵面的流动等于声速，弱爆轰波波阵面后的气体 相对于波阵面的流动是亚声速的 1 1 2 爆轰和爆燃的传播机制 爆轰和爆燃有着完全不同的传播机制爆燃或燃烧在气体中的传播归因于加 热。这种加热是由燃烧气体向未燃烧气体直接传热造成的燃烧产生的热量通过 热传导、热扩散及热辐射的作用传入未燃的混合物，逐层加热，逐层燃烧，从而实 现爆燃波的传播，它的传播速度的大小依赖于由燃烧带传向冷的混合气体传输的 热量 图1 2 ，在一靖封闭的管道中传播的燃烧 在可燃气体混合物中传播的燃烧还会引起周围相当大范围内的气体发生运 动例如t 从一个管子封闭端向静止未燃气体传来的燃烧，如图1 2 所示 c 是 一个爆燃波，其速度为矿，2 是完全燃烧的气体，由边界条件知2 中的气体是静止 的，由比 0 可是在管道前方离 爆燃波很远的地方气体3 是处于静止状态，这一条件只有出现激波时才能满足 所以。问题的解包含一个传入未燃气体的预压冲击波，它压缩并加速气体，使得 在通过跟在冲击波后的爆燃波时，气体发生燃烧变为静止的 爆轰波的传播机制是冲击波后紧跟着一个燃烧带，如图1 4 所示当冲击波通 过时，冲击波压缩和加热气体，使得波后未燃气体温度高于燃点引起燃烧如图 1 3 所示，爆轰波的前沿未燃气体0 中有一个冲击波，通过冲击波气体状态由0 过 渡到过0 o ，r o ) 的冲击波线上的点d 所代表的状态，d 点通常称为v o nn e u m a n n 尖 点，气体开始燃烧反应当反应进行时。气体状态捂着弦出连续向下移动，这时 将放出热量，并使气体膨胀，压力下降这一过程一直延续到燃烧完毕，且反应热 全部释放出为止，对应的点是c ，它藩在爆轰波线上，表示完全燃烧产物的状态 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 p 图1 3 爆轰波的传播机制 这种结构首先是在2 0 世纪4 0 年代，z e l d o v i c h ，n e u m a u n 和d 6 r i n g 各自独立 地研究穿过有限宽度的实际爆轰波层时气体状态的变化时提出的所以以后又称 为z n d 爆轰结构，图1 4 给出了一个z n d 爆轰结构波如图1 3 所示，弦口d 和爆 轰波线的较低的交点是点以所以对于由冲击波压缩而引起的燃烧的气体来说，b 点是不能达到的，即弱爆轰是不会发生的 疋 蓼t 4 珊 m p o m 延滞 圉1 , 4 iz n d 爆轰结构渡 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文5 1 2 燃烧模型 1 2 1 物理模型 ( 1 ) c h a p m a n - j o u g u e t ( c - j ) 模型 上一节已经谈到了c h a p m a n 和j o u g u e t 的理论，c - j 理论把化学反应区假设 为一个强间断面，认为反应区厚度为零这实际上就是假设当未燃气体温升高度 到燃点时，未燃气体瞬时完全燃烧成为已燃气体 c h a p m a n - j o u g u e t ( c - j ) 模型就 是基于上述假设下的一类燃烧模型该模型在拉格朗日坐标下具有如下的形式 m + 儿= 0 ，( 1 7 死一u z = 0 ，( 1 7 6 ) 蜀+ ( 础k = 0 ，( 1 7 c ) l 0 ，s u pt ( y ，z ) 出，? 2k 0 ) ，。篙跏脚， ( 1 7 。d ) l o s y s t 其中u ，p ，r 和t 分别代表速度，压强，比容和温度z 代表混合气体中未燃气体 所占的比例，未发生燃烧时；= l ；完全燃烧时z = 0 e ；譬- i - e 4 - z q o 是混合气体 的比完全能，其中e 是比内能，和是未然气体的比束缚能正表示未燃气体的 燃点可以注意到这个模型忽略了粘性，热传导和扩散的影响 ( 2 ) z e l d o v i c h - v o nn e u m a n n - d s i n g ( z n d ) 模型 由气体爆轰实验发现，测量结果与c - j 理论计算结果不完全相符因此，有 必要对爆轰结构进行深入的研究实际上化学反应是通过分子的碰撞才能够发生 的，一般情况下燃烧反应带的厚度比激波的厚度大得多，实验观察到的激波通常 只有几个分子自由程，即通常遇到的强度的激波分子只经过两三次碰撞在1 9 4 0 年代z e l d o v i c h ，v o nn e u m a n n 和d s i n g 相互独立的提出了一套假设，他们假设燃烧 反应是在有限宽度内逐步进行的他们利用该假设给出了爆轰波传播机制的解释 一z n d 爆轰结构，如图1 4 所示，这一结构很快被试验所证实该模型在拉格朗日 坐标下具有如下的形式 饥+ m = 0 ， ( 1 8 曲 n 一蚝= 0 ，( 1 8 b ) 置 t - ( 肚k = 0 ，( 1 8 c ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 施= 一女毋( t ) z ，( 1 8 d ) 这里k 表示有限反应速度，妒( 功是h e s v i b i d e 函数，当t 正时，咖( 即= 1 ；当 t 正时，毋( 功= 0 ( 3 ) 反应流体的n a v i e r - s t o k e s 方程 c h a p m a n - j o u g u e t 模型和z n d 模型用来研究爆轰是比较有效的，但用来研究 爆燃就极度理想由于燃烧或爆燃波的传播是归因于导热，所以为了研究爆燃现 象必须考虑更精确的反应流体的n a v i e r - s t o k e s 方程 p t + ( p t ) 。= o ，( 1 9 n ) ( p u h + ( 肚2 + p k = 0 t b ) 。，( 1 9 b ) ( p f h + ( p u e + p k = ( a 已k + ( q p d z z ) 。+ ( 锄“；k ，( 1 9 c ) ( p z ) t + ( p u z k = ( p d z z ) 。一k p z 毋( t ) ， ( 1 9 d ) 其中，前三个方程是气体动力学方程，后一个方程是化学动力学方程 e 、a 和 d 分别代表粘性系数，热传导系数和扩散系数通常情况下化学反应的速率依赖 于发生反应的混合气体的温度，且随温度的升高而增大在化学动力学方程中有 ( = e - - 螽其中k 对于一定的反应而言是一个常数，称为活化能k 的值越 大反应速率对温度的依赖性越强 1 2 2 简化的物理模型 ( 1 ) m a j d a 模型 类似于气体动力学中的b u r g e r s 方程，1 9 8 1 年m a j d a 提出了一个简化的模型 + q z ) t + f ( u k = “，( 1 加n ) 魂+ 女( ) ：= 0 ，( 1 1 0 6 ) 其中， 0 ，庐( t ) 是h e a v i s i d e 函数，当t 0 时，( ) 一1 ；当 0 ， 0 f t s u pu ( f ，z ) 0 ， o 0 ， 其中，u = ( u l ，地，) ，铆和撕是两个常状态 1 4 研究概况及本文的工作 张同和郑玉玺【2 9 研究了c h a p m a n - j o u g u e t 模型( 1 7 ) 的黎曼问题，他们利用像 平面分析的方法( 【3 0 】，【2 0 ) 构造出了黎曼问题的解，并给出了一组熵条件使得满足 熵条件的解存在唯一这些解由冲击波疏散波接触间断、强爆轰波、c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰波弱爆轰波和c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰波这几种基本波组成他们还 假设爆燃波前的传入未燃气体的预压冲击波波后的未燃气体的温度刚好为燃点 谭得春和张同【2 1 】研究了具有自相似性的z n d 模型，即将反应方程( 1 8 回变为 量 = 一三( t k( 1 1 8 ) p 的黎曼问题，并研究了当反应速率k 0 0 时的极限 文章【2 9 】中的爆燃波前的预压冲击波后的温度刚好为燃点。这样排除了很多爆 燃波解，而且被他们排除的那些爆燃波解中有些有可能是物理的由于c h a p m a n - j o u g u e t 模型的某些过于理想化的假设，如忽略热传导的影响，使得这类模型在研 究爆燃波是极度理想的本文第二章根据爆轰和爆燃的传播机制研究了c h a p m a n - j o u g u e t 模型的黎曼问题，我们得到了当初值满足某些条件时的解的存在唯一性， 这样的解为爆轰波解或非燃烧波解 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文9 关于m a j a a 模型的黎曼问题，应隆安和藤振寰f 2 6 】研究了方程( 1 1 1 ) 在给定 如下黎曼初值 傺篡 即左边为已燃右边为未燃时的解的存在唯一性他们还证明了当反应速率一o 。 时，( 1 1 1 ) 的黎曼问题的解收敛到相应c h a p m a n - j o u g u e t 模型( 1 1 2 ) 的相应的黎曼 问题的解( 1 1 2 ) ，( 1 ，1 8 ) 的解由冲击波，中心疏散波、强爆轰波和c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰波这几种基本本组成根据【2 6 】的结果，刘太平和张同f 14 】给出了( 1 1 2 ) 的一 组熵条件，并证明了满足熵条件的解的存在唯一关于这类模型的黎曼同题还有 许多研究工作，见( 1 6 1 ， 2 7 1 ， 1 3 1 ， 2 1 1 ) 以上的工作都是假定，为严格凸的情况下得 到的但是，当，为严格凸时，( 1 1 2 ) 的黎曼问题的燃烧波解的前向燃烧波只可 能是爆轰波，后向燃烧波只可能是爆燃波【2 7 】，这使得很大一类实验现象，如爆 燃转爆轰，不能够得到解释，所以，有必要研究当，为非凸的情况 张同和张鹏 2 8 】研究了非凸的c h a p m a n - j o u g u e t 模型( 1 1 2 ) 的黎曼问题，他 们将 14 】中的熵条件推广到非凸的情况并得到了熵解的存在唯一性李杰权和张 鹏【1 1 研究了非凸的自相似z n d 燃烧模型的黎曼问题，他们给出了( 1 1 1 ) 的一组 熵条件，构造了满足熵条件的解，并研究了当反应速率k 一* 时的极限但是， 盛万成和张同【17 1 在研究燃烧波解得结构稳定性时发现李杰权和张鹏在【1 1 】提的 熵条件是不完全的，他们对此进行改进和完善，从而保证了非凸c h a p m a a - j o u g u e t 模型的黎曼解的唯一性和结构稳定性关于非凸m a j d a 模型的初值问题还有( 1 1 9 1 ， 【1 8 】) 【1 1 】和【17 】构造的解是否是物理的，即它是否是相应的耗散项的抛物方程的 解在耗散项消失时的极限还不知道本文第三章研究了带粘性项的具有自相似性 的非凸m a j d a 模型的黎曼问题，我们通过使用l e a r y - s c h a u d e r 不动点定理得到了 整体解的存在性 为了二维c h a p m a n - j o u g u e t 燃烧模型的需要，我们在第四章考虑了二维定常 斜燃烧波我们利用f l j l 中构造冲击波极线的方法在，口) 平面中构造了燃烧波极 线通过燃烧波极线我们能够清楚地描述出燃烧波绕拐角的流动，以及强爆轰波 的正规反射 第二章c h a p m a n - j o u g u e t 模型的黎曼问题 本章研究了c h a p m a n - j o u g u e t 模型( 1 7 ) 在给定如下黎曼初值时的解的存在性 问题 c t - l p ，：，= ”u + - , 7 r + - ，, p p - + , 。z + - ) h , ，： c z ， 不失一般性我们假设右边为未燃气体( 矿= 1 ) ，z + 0 ， ( t ，以，n ，数) ( 毛t ) = ( “，p ，r ，z ) ( h ，岣也是上述黎曼问题的解所以它们的解只依 赖于x t ，我们称上述问题的解具有自相似性 2 2 几类基本波的波线 仉+ a l 台e k ：0 ， ( 2 2 ) a = i oo l c z s ， b=0 1 0 c z a ， u = ( r ，弘) r 矩阵a - 1 b 有三类不同的特征值，分别是抽= o ，k = 士、! 皆对应 2 0 0 7 年上棒大学硕士学位论文 对于多方气体有 h “、芋 ( 2 6 ) 2 2 1 冲击波波线 有两类冲击波，一类是前向冲击波另外一类是后向冲击波前向冲击波满足 l a x 激波熵条件 a + ( p o ，7 0 ) s a + 加l ，7 1 ) ，( 2 7 ) 后向冲击波满足条件激波熵条件 a 一( p l ，q ) 8 a - ( p o ，匍) ，( 2 8 ) 其中，s 表示冲击波的波速，( 0 ) 表示冲击波波前的状态，( 1 ) 表示冲击波渡后的 状态这里的波前和波后定义为流体穿过冲击波从波前到波后 ( 2 7 ) 和( 2 8 ) 可 以分别写成 停 p o ) ， ( 2 j s ) 其中，矿= 籍如图( 2 1 n ) 和( 2 1 6 ) 所示 2 0 0 7 年上梅大学硕士学位论文 产 ( 0 ) i 形l 图2 1 - 过( 0 ) 的前向冲击波线 ( 1 舀 0 ) 。 同样，对于给定的波前的状态( o ) ，通过一个后向冲击波过渡波后可能的状态 也落在一段曲线上，我们称该曲线为过( 0 ) 的后向冲击波线该曲线在( p ，r ) 平面 ，m 和平面上的投影的阻线方程分别为 r + p 2 p 0 ) = 匍+ p 2 p ) ，o ， p o ) ，( 2 1 4 ) 和 u = 蛳一( p 一如) 号 盖等， 扫 舶) ( 。j s ) 如图( 2 2 ) 和( 2 2 6 ) 所示 ( 0 ) 弋 0 “(0)0( 1 ) ( 砷 ( c ) 图2 2 ：过( 0 ) 的后向冲击被线 2 2 2 接触间断 由r a n k i n e - h u g o n i o t 条件知，对于a o 特征m = 纠= 8 = 0 该类间断为接触间 断，且在接触间断两端气体压强和速度相等。密度不等 2 2 3 疏散波波线 疏散波是方程( 2 2 ) 的具有形式u = 【厂( z t ) 的连续解令= x t ，于是u = u ( f ) 2 0 0 7 年上海大学硬士学位论文 满足方程 ( 一j + a 一1 b ) = 0 ( 2 1 6 ) 如果睢0 ，则是矩阵a 1 b 的特征向量由于a 4 b 有两类不同的特征值，所 以有两类疏散波，前向疏散波和后向疏散波，分别对应于特征值h 和a 一 对于前向疏散波线，峡满足常微分方程组的初值问题 酞= ( 飞，p ，t 蜓) = ( 1 ，一肆，一a + ) ， ( 2 1 7 ) u ( a + ( p o ，7 b ) ) = ，( 2 1 8 ) 及特征关系 a + 0 ，r ) a + 0 , o ，7 b ) ( 2 1 9 ) 由( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 知，给定了波前状态( 0 ) 通过一个前向疏散波疏散到波后 的可能的状态一定落在一段曲线上，我们称这曲线为过( 0 ) 的前向疏散波线，该曲 线在( p ，r ) 平面和0 ，) 平面上的投影的曲线方程分别为 p r l = 挪召，p p o ) ，( 2 2 0 ) 和 “= 撕+ 华f o i 2 舻1 。) 2 - i p ( o - 1 ) 协p p o ) ( 2 2 1 ) 如图( 2 3 ) 所示 。 圈2 3 ：过( 0 ) 的前向疏散披线 澎 同样，对于给定的波前状态( 0 ) 通过一个后向疏散波疏散到波后的可能状态 落在一条曲线上，这曲线称为过( 0 ) 的后向疏散波线，该曲线在( p ，r ) 平面和( p ，“) 平面上的投影的方程分别为 矿= p o 召，0 p 0 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 和 u = 伽一 华矗7 妒口- r - 1 ) 研_ p ( o r 叫胁) ， 砧 ( 2 2 3 ) 如图( 2 4 ) 所示 ( o ) j 圈2 4 ：过( o ) 的后向疏散波线 涎 2 2 4 燃烧波线 有一前向燃烧波，波速为c l ，波前的未燃状态用( 0 ) 来表示，波后的已燃状态 用( 1 ) 来表示，有r n a k l n e - h u g o n i o t 关系成立 a ( u l u o ) = ( p 1 一p o ) ，( 2 2 4 ) 口( n 一1 0 ) = 一( u l t 幻) ，( 2 2 5 ) 一( 萼- i e l - - 譬一e o q o ) = 。一p o l o ) ( 2 2 6 ) 由( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 消去f 和t ，可得对于给定波前的未燃状态( 0 ) ，波后的可能状态 的r 和p 之间的关系为， ( r p 2 r o ) ( p 4 - i f o o ) = ( 1 一矿) p o r o + 2 p 2 q o ( 2 2 7 ) 又由( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 可得，对于给定波前的未燃状态( o ) ，波后的可能状态的u 和p 之间的关系为 一嚣= 污磊= 2 r o - m ( 1 - 均1 ) q o 咖( p - p o ) i 。 ( 2 卿 一石= i = v 一；而= v( 7 + 1 ) p + ( ，y 一1 伽 i 。z 唧 其中0 p p 0 + 虹磐0 p p o + 譬字代 表爆轰波分支，如下图所示 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 o “) ， 8 歹 w d i 够t w i 圳o ) 少名 d f 一) ( o ) 田2 5 ：过( 0 ) 的燃烧渡线 在文章【2 9 】中证明了如下j o u g u e t 法则 s d t ：a + 0 d ，勺) 仃 a + ( p t b ) ， w d f ：口 a + l ，7 1 ) ，盯 + ( 珈，7 b ) ， c j d f ：圹 a + ( p 0 ，7 n ) ，盯= a + ( p l ， r 1 ) s d f ：a + ( p l ，7 1 ) 盯 + ，1 可) 图2 6 燃烧波的特征关系 ( 2 2 9 ) f 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) f 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 3 黎曼问题的解 黎曼问题( 1 7 ) ，( 2 1 ) 的解可以由常状态、疏散波、冲击波、接触问断和燃烧 波这五类基本波组成我们可用下图来描述上述黎曼问题的解 钉 t 亩 u # 圈2 7 黎曼同题的解 其中，钉表示后向波，葡表示前向波由于后向波在在已燃气体中传播所以后 向波只可能是后向疏散波或后向冲击波前向波是在未燃气体中传播所以前向波 可能是前向冲击波、前向疏散波或前向燃烧波，其中前向燃烧波可能是爆轰波或 爆燃波前向爆轰波可能是强爆轰波、c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰由特征关系( 2 3 0 ) 知，c h a p m a n - j o u g u e t 爆轰后跟一个前向疏散波，如图2 8 n 所示由于弱爆轰在 实际中不会发生，所以爆轰波中没有弱爆轰波由于爆燃波前有一个传入未燃气 体的预压冲击波，所以前向爆燃波可能为，前向冲击波后跟一个弱爆燃、前向冲击 波后跟一个c h a p m a n - j o u g u e t 爆燃同样由特征关系( 2 3 3 ) 知。c h a p m a n - j o u g u e t 爆燃后还可以紧跟一个前向疏散波，如图2 8 b 由于强爆燃在实际中不会发生。 所以爆燃波中没有强爆燃波 纷 丑 ? ，i 。妙i ( ：) 4 ( 昌 圉2 8 c j d t ，c j d f 后跟一个磷散渡 如图2 9 所示，我们记过( 一) 的后向波线为谚( 一) ，记过( + ) 的前向波线为 谚( + ) 我们有 谚( 一) = 麓( 一) u 畜( 一) ， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 7 谚( + ) = 赢( + ) u 苫( + ) u j 宠( + ) u j 费( + ) 其中 d t ( + ) = s