（计算数学专业论文）gpair+and+diagonally+dominant+matrices.pdf

中文摘要 g e r g o r i n 圆盘定理，数值代数里一个有名的的结论，首先出现在s g e r g o r i n 1 9 3 1 年的文章里，并在1 9 4 9 年被o t a u s s k y 推广到不可约矩阵的情形。g e r g o r i n 定 理和t a u s s k y 定理简洁完美的形式无疑激起了更深入的研究，如o s t r o w s k i - b r a u e r 定 理和b m a l d i 定理等。文f 2 4 1 和 1 3 1 提出了g 一函数的概念以推广g e r 酝o f i n 定理。文 1 4 】 f 15 1 ，f 1 6 1 ，f 2 5 1 及1 8 1 ，f 1 9 1 对g 一函数进行了研究。 本文的主要工作是：对g 一函数进行推广，提出了g 一函数对的概念，并给出 了三类具体的g 一函数对以证明我们的推广是有意义的( 能够用来产生新的特征值 包含区域) 和具有一般性( 包含鲰吼作为它的真子集，从而包含大多数“函数对 形式”的非奇异性结果) 。我们指出v a r g o y f 文 3 2 】中对g 一函数的推广，即k 一函数 和b 一函数，实际上只是g 一函数的等价条件( t h e o r e m1 5 3 ) 。在第一章我们还 依据三类g 一函数对给出了不可约矩阵奇异的充要条件，从而容易获得矩阵非奇异 性的判别准则。在第二章我们给出了o s t r o w s k i b r a u e r 定理的块形式，一些已知的结 果是它的特例。我们还给出了b g 一函数对的概念，并讨论了它与g 一函数对相对应 的性质。第三章包含一些补充说明( 补充，实际应用的策略和一些应用) 和数值例 子。 关键词g 一函数，g 一函数对，非奇异性奇异性判别准则，o s t r o w s k i - b r a u e r 定 理，m 一矩阵。 1 1 1 a b s t r a c t t h eg e r g o r i nc i r c l et h e o r e m aw e l l - k n o w nr e s u l ti nl i n e a ra l g e b r at o d a y , s t e m sf r o m t h ep a p e ro fs g e r g g o r i ni n1 9 3 1 1 1 1a n dw a se x t e n d e dt ot h ec a s eo fi r r e d u c i b l e m a t r i c e sb y0 t a u s s k yi nh e rs a m ew e l l k n o w np a p e r 3 0 1i n1 9 4 9t h eb e a u t ya n d s i m p l i c i t yo fg e r g o r i nt h e o r e ma n dt a u s s k yt h e o r e mh a su n d o u b t e d l yi n s p i r e df u r - t h e rr e s e a r c hi nt h i sa r e a ，s u c ha so s t r o w s k i - b r a u e rt h e o r e ma n db r u a i d it h e o r e m ， e t c a l s o ，g - f i m c t i o n ，d e f i n i t i o na i m i n ga tg e n e r a l i z i n gg e r 酿o r i nt h e o r e m ，w a si n t r o - d u c 电b y 2 4 】i n1 9 6 5a n db y 1 3 】i n1 9 6 9 i th a sb e e nd i s c u s s e di n 1 4 】，( 1 5 】， 1 6 】， 25 】 a n df 1 8 l ，1 1 9 1 ，t o o t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st og i v eap r o p e rg e n e r a l i z a t i o no fg - f u n c t i o n n a m e l y , g - p a i r a n dg i v et h r e ec l a s s e so fg - p a i r st os h o wt h a to u rg e n e r a l i z a t i o ni si n d e e dm e a n i n g f u l ( t ob eu s e dt op r o d u c en e we i g e n v a i u ei n c l u s i o nr e g i o n s ) a n dg e n e r a l ( i n c l u d i n g 鲰x 瓯a st h e i rp r o p e rs u b s e ta n dt h e r e f o r ei n c l u d i n gm o s tk n o w nn o n s i n g u l a r i t yr e s u l t s i n “p a i rf o r m ”1 ，ep o i n to u tv a r g a sg e n e r a l i z a t i o n st ok - f u n c t i o na n db f u n c t i o ni n 3 2 1a r ei nf a c te q u i v a l e n te o n d i t i o n sf o rg - f u n c t i o n s ( t h e o r e m1 5 3 ) ，a l s o ，n e c e s s a r y a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rs i n g u l a r i t yo fi r r e d u e i b l em a t r i c e sa r eg i v e ni nc h a p t e r1 a c c o r d i n gt ot h r e ec l a s s e so fg - p a i r s ，b yw h i c hn o n s i n g u l a r i t yc r i t e r i ac a nb eo b t a i n e d e a s i l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg i v eag e n e r a lb l o c kv e r s i o no fo s t r o w s k i - b r a u e r t h e o r e m w h i c hi n c l u d e sm a n yr e s u l t sa si t ss p e c i a lc a s e s w ja l s og i v et h ed e f i n i t i o n o fb g - p a _ i ra n dd i s c u s si t sc o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s 7 i 札t h i r dc h a p t e ri n c l u d e ss o m e a d d i t i o n a lr e m a r k sf c o m p l e m e n t s ，p r a c t i c a lc o n s i d e r a t i o n sa n ds o m ea p p l i c a t i o n s ) a n d n u m e r i c a le x a m p l e s k e y w o r d sg f u n c t i o n ，g - p a i r ，n o n s i n g u l a r i t y s i n g u l a r i t yc r i t e r i a ，o s t r o w s k i - b r a u e rt h e o r e m ，m - m a t r i c e s 1 v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：量翌 日期：垒幽玉生! 呈兰 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：量塑1 日期：2 垒篮生塑 a c k n o w l e d g e m e n t 1w i s ht oe x p r e s sm ys i n c e r e rg r a t i t u d et om ya d v i s o r p r o f e s s o ry o n g z h o n gs o n g f o rh i si n v a l u a b l ea d v i c e ，c o n s t a n ts u p p o r t ，a n di n s p i r i n gg u i d a n c et h r o u g h o u tm y g r a d u a t es t u d i e sa n dr e s e a r c h ，h i sp r e c i s es c i e n t i f i cr e s e a r c ha t t i t u d ea n df a c t u a l i s t i c a n di n n o v a t i v ew o r ks t y l eb e n e f i tm eal o t m o r e o v e r t h o u g ha 8ap r e s i d e n th ei sq u i t e b u s y , h i sc o n s i d e r a t ea n dt h o u g h t f u lc a r ea n dh e l pa r en ol e s sa n da l w a y sc o m et i m e l y h i si n f l u e n c eo nm ew o u l dl a s t i nm y1 i f e 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rh u a i h u ic h e n ，j i n r uc h e n ，y o n g l i nc h e n ，q i k u id u ， j i n x u a nf a n g ，h o n 鲥u ng a o ，y u t i a nl e i ，d i n g j u nl u o ，w e n y us u n ，z h i r e ns u n ，s i q i n g x i e ，b a o g a n gx u ，s 蛔i a ny a h ，j i h u iz h a n g ，f o rt h e i re n c o u r a g e m e n ta n da s s i s t a n c e ih a dt h ep l e a s u r eo fs t u d y i n gi ns c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e ro fn a n j i n g n o r m a lu n i v e r s i t y a l lt e a c h e r s h e r ea r ew o n d e r f u lp e o ! c l ea n dt h e i rs u p p o r tm a k e s r e s e a r c hl i k et h i sp o s s i b l e s p e c i a lt h a n k sa r eo w e dt ot h ed a eg r o u pi nn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y t h e ya x e d o c t o rx i nc h e n ，y a n l ih u a n g ，q i n g h o n gl i ，h o n gl i u ，l iw a n g ，y n s h u nw a n g ，f r o m w h o mih a v eg m n e dm u c hm o r et h a nk n o w l e d g e w h i l eh e a t e dd i s c u s s i o n sw i t ht h e m h e l pm es o l v em a n yp r o b l e m s ，t h e ya l l o wm et os h a r et h e i ri n v a l u a b l ei d e a s ，e s p e c i a l l y t h o s em o s ti n s p i r i n go n e s ，a n dm a n ya c a d e m i cm a t e r i a l s t h e i rh e l pa n df r i e n d s h i p a r ea ni m p o r t a n tm o t i v a t i n gf o r c ed u r i n gm yc o m p l e t i n go fg r a d u a t i o nt h e s i s ia l s ot h a n kg u a n g x ic a oa n dx u e y u a nt a n w h oh e l pm eb o t hi n s i d ea n do u t s i d e s t u d y t h e ys e e mt ob er e a d yt oe n c o u r a g ea n dh e l pm ew h e nim e e tp r o b l e m sa n d a r eh k e l yt oa p p e a rw h e nin e e dh e l p o fc o u r s e i 眦g r a t e f l ：1 lt om yp a r e n t sa n dm ys i s t e rf o rt h e i rp a t i e n c ea n dl o v e w i t h o u tt h e mt h i sw o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t 0e x i s t e n c e ( h t e r a l l y ) f i n a l l y , 1w i s ht ot h a n kt h ef o l l o w i n g ：s h i e h a oc h e n ，x i ad a j ，y o 醒f a n ，p e i q i h u a n g ，x i n y i n gh u a n g ( a n dw j iw u ) ，c h a n g y u a nj i a n g ，y a q i nj i a n g ，h u aj i n ，j i a n l i a n g ，l i n q i a n gl i u ，z h i r uq i ，x i a n g r o n gs u n ，b e i y it i a n ，e n g g a n gt i a n ，j i nw a n g ， j u n f e n gw a n g ，s h a o z uw a n g ，m e i j u nw u ，z h i f e n gw u ，v i j u nz h a n g t h e i rf r i e n d s h i p w es h a r ea n dt h et i m ew es p e n dt o g e t h e r ，n om a t t e rg o o do rb a d ，h a v eb e c o m ea n i n d e l i b l ep a r ti nm yl i f ea n dw o u l db ec h e r i s h e df o r e v e r c h a p t e r1 g - p a i r 1 1i n t r o d u c t i o n t h eg e r g o r i nc i r c l et h e o r e m aw e l l - k n o w nr e s u l ti nl i n e a ra l g e b r at o d a y , s t e m s f r o mt h ep a p e ro fs 。g e r g o r i ni n1 9 3 11 1 1 1w h e r e ，g i v e na na r b i t r a r y 扎nc o m p l e x m a t r i x e a s ya r i t h m e t i co p e r a t i o n so nt h ee n t r i e so ft h em a t r i xp r o d u c en d i s k s ，i nt h e c o m p l e xp l a n e w h o s eu n i o nc o n t a i n sa l le i g e n v a l u e so ft h eg i v e nm a t r i x i n1 9 4 9 ，o t a u s s k ye x t e n d e dg e r g g o r i nt h e o r e mt oi r r e d u c i b l em a t r i c e si nh e rs d g d ew e u k n o w n p a p e rf 3 0 1 t h eb e a u t ya n ds i m p l i c i t yo fg e r g o r i nt h e o r e ma n dt a u s s k yt h e o r e m h a su n d o u b t e d l yi n s p i r e df u r t h e rr e s e a r c hi nt h i sa r e a r e s u l t i n gi nh u n d r e d so fp a p e r s i nw h i c ht h en a m e “g e r g o r i n ”a p p e a r s ac o m p r e h e n s i v em o n o g r a p h “g e r g g o r i na p d h i sc i r c l e s ”a u t h o r e db yr s v a r g ai u2 0 0 4 ，i sd e v o t e dt os u c h 蛆i n t e r e s t i n gt o p i c a l s o ，g - f u n c t i o n ，d e f i n i t i o na i m i n ga tg e n e r a l i z i n gg e r g o r i nt h e o r e m ，w a si n t r o d u c e d b y 【2 4 】a n db y ( 1 3 】t th a sb e e nd i s c u s s e di n 【1 4 】，【1 5 】，f 1 6 】， 2 5 1a n d 【1 8 】，【1 9 】，t o o t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st og i v eap r o p e rg e n e r a l i z a t i o no fg - f u n c t i o n ，n a n l e l y , g p a i r a n dg i v et h r e ec l a s s e so fg - p a i r st os h o wt h a to u rg e n e r a l i z a t i o ni si n d e e dm e a n - i n g f u l ( t ob eu s e dt op r o d u c en e we i g e n v a l u ei n c l u s i o nr e g i o n s ) a n dg e n e r a l ( i n c l u d i n g 吼靠a st h e i rp r o p e rs u b s e ta n dt h e r e f o r ei n c l u d i n gm o s t k n o w nn o n s i n g u l a r i t yr e s u l t s i n “p a l rf o r m ”、w ep o i n to u tv a r g a sg e n e r a l i z a t i o n s t ok - f u n c t i o na n db f u n c t i o ni n f 3 2 1a x ei nf a c te q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rg f u n c t i o n s ( t h e o r e m1 5 3 ) a l s o ，n e c e s s a r y a n ds n f i i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs i n g u l a r i t yo fi r r e d u c i b l em a t r i c e sa r eg i v e ni nc h a p t e r1 a c c o r d i n gt ot h r e ec l a s s e so fg - p a i r s ，b yw h i c hn o n s i n g u l a r i t yc r i t e r i ac a 皿b eo b t a i n e d e a s i l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg i v e ag e n e r a lb l o c kv e r s i o no fo s t r o w s k i b r a u e r t h e o r e mw h i c hi n c l u d e sm a n yr e s u l t sa si t ss p e c i a lc a s e s w ea l s og i v et h ed e f i n i t i o n o fb g - p a i ra n dd i s c u s si t sc o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s ，t h et h i r dc h a p t e ri n c l u d e ss o m e a d d i t i o n a lr e m a r k s ( c o m p l e m e n t s ，p r a c t i c a lc o n s i d e r a t i o n sa n d s o m ea p p l i c a t i o n s ) a n d n u m e r i c a le x a m p l e s 1 1 2 n o t a t i o n s ，s o m ek n o w nr e s u l t sa n dr e m a r k s w ew i l lu s ef o l l o w i n gn o t i o n st h r o u g h o u tt h i sp a p e r f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn 、c ”d e n o t e st h ec o m p l e xn d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo f a l lc o l u m nv e c t o r sv = h v ，v 2 ，u n rf o rc o n v e n i e n c e ，s o m e t i m e st h ei - t he n t r yo fv i sa l s od e n o t e db y ( 口) 1 舒d e n o t e st h er e a ln - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo fa l lc o l u m n v e c t o r s 砰i st h es e to fc o l u m nv e c t o r sw i t hn o n n e g a t i v ee n t r i e s ，e 。= 1 ，1 ，1 1 t 艘a n ds i m p l yw r i t ee ma sei fm = 礼 s i m i l a r l y ，c “d e n o t e st h ec o l l e c t i o no fa l ln 礼f s q u a r e ) m a t r i c e sw i t hc o m p l e x e n t r i e s 舒“d e n o t e st h ec o l l e c t i o no fa l ln x nm a t r i c e sw i t hr e a le n t r i e s p d 。i st h e s e to fa l lp o s i t i v ed i a g o n a lm a t r i c e so fo r d e rn ki st h ei d e n t i t ym a t r l xo fo r d e rm a n d w r i t e 厶a s i i f m = n n ：= 1 ，2 ，n 陋id e n o t e st h ec a r d i n a l i t yo fas e t 圣( i e ，t h en u m b e ro fi t s e l e m e n t s ) f o rt w os e t s 西1 ，垂2 ，垄1x 圣2d e n o t e st h ec a r t e s i a np r o d u c to f 西la n d 垂2 ap a r t i t i o n 丁ro ft h eo r d e r e ds e tni st h ef i n i t ec o l l e c t i o no fn o n e m p t yo r d e r e ds e t s ? ：= i j 一1 + 1 ，i x 一1 + 2 ，i ，) w h e r e ，三：= l ，2 ，f ，f l ，i 0 = 0a n di f = 扎 i nc h a p t e r l ，曼：= ( t ，t ) ii ) ，岛：= n 岛；i n c h a p t e r2 ，岛：= ( f ，驯i l ，岛：= lx 工& f o ra = k 甜】伊“，l a l = 1 a , md e t ai st h ed e t e r m i n a n to fa ，a ti st h e t r a n s p o s i t i o no fa ，五i st h ec o n j u g a t em a t r i xo fa ，a h = 芽。 g i v e na = 陋谢】c “。“，a = d ( a ) + r ( a ) ，w h e r e ，i fn o tp o i n t e do u te s p e c i a l l y , d ( a ) = d i a g a l ，1 ，a 2 ，2 ，a n ，。 a n dr ( a ) = a d ( a ) w es o m e t i m e sc a l li ta sd r - s p l i t t i n go fa f o ra = 吼，j 铲。“a n db = 坟，j 】移“，n o t a t i o na ( ) bm e a n s 吼， ( ) b i of o ra l l ( i ，j ) n n w ec a l lan o n n e g a t i v ei fa 0 s i m i l a r l y , f o ro = 陋1 ，。 t 彤a n dy = y 1 ，】r r ”，n o t a t i o n 。) m e a n s 筑( ) 玑 f o r a l l i n w ec a l 】 ( 11 ) n ( a ) ：= i ，q ( a ) ：= j a j e n i t h ei - t hd e l e t e da b s o l u t er o ws u ma n dc o l u m ns u mo fa ( f o rc o n v e n i e n c e ，r l ( a ) = e i ( a ) ：= 0 ，i fn = 1 ) w ew i l ls i m p l yl l s e “r o ws u m ”a n d c o l u m ns u m ”f o rr e a s o n s o fb r e v i t yw ea l s od e f i n et h e “r o ws u m ”f i m c t i o na n d “c o l u m ns u m f u n c t i o na s t ( a ) = 【r l ( a ) ，( a ) l t 霹a n dc ( a ) = r ( a t ) d e f i n i t i o n1 2 1am a t r i xa = ( a i d 】c “”，n22 ，i sr e d u c i b l e 矿t h e r ee x i s tap e r m u t a t i o nm a t r i xpa n dap o s i t i v ei n t e g e rr ，w i t h1 r r i ( a ) 4 d e f i n i t i o n1 2 5am a t r i xa = a i ，j c “i si r r e d u c i b l yd i a g o n a l l yd o m i n a n t ， d e n o t e db ya i d d i fai si r r e d u c i b l ew i t h ( 17 ) a l p f ( a ) i o ra l li na n d 寸s t r i c ti n e q u a l i t yh o l d si n ( i ) f o ra tl e a s to n ei o n d e f i n i t i o n1 2 6am a t r i xa = a i ，卅c “i sg e n e r a l i z e dd i a g o n a l l yd o m i n a n t , d e n o t e db ya g d d ，i ft h e r ee x i s t sad i a g o n a lm a t r i xx = d i a g x l ，z 。 p d n s u c ht h a tx 一1 a x s d d ，f e ， ( 1 8 ) 吼i i 誓( a ) ：= n ( x _ 1 a x ) = i 1l a i j x j “j ( 讣 w es e ti x ( a ) ：= e ( x 一1 a x ) a n d5 y ( a ) ：= e ( y 一1 a y ) a g a i ni x ( a ) = r x ( a ) a n d y ( a ) = c y ( a ) i fa i si r r e d u c i b l e d e f i n i t i o n1 2 7am a t r i xa = a i , j 】r n “i saz m a t r i x , d e n o t e db ya z ，铲 a i , j 0 f o ra l l ( t ，j ) o b v i o u s l y ，f o ra n ya z ，t h e r ee x i s tan o n n e g a t i v em a t r i xb a n dan o n n e g a t i v e n u m b e rss u c h t h a t a = s i b ， 。 d e f i n i t i o n1 2 8g i v e na = 啦，j z ，e x p r e s sa a = s i b ，w h e r es 0a n d b 0 t h e nai sa nm m a t r i x , d e n o t e db ya m ，i f p ( b ) 兰s m o r ep r e c i s e l y ，ai s an o n 5 i n g u l a rm - m a t r i x , d e n o t e db ya m 1 ，矿p ( b ) r ( a ) c 磊二。) ，( a ) ， l 啦t j 疗( a ) c l 一。( a ) ， i a i t l l u j j l n ( a ) 吩( a ) ， l a i ，。i | q j i r 赫( a ) 哇嚣。) ，( a ) 嘎婶( 、a ，、c 。1 - a 一。) ，( a ) i a i ， i i q 引 r i ( a ) 白( a ) ， l 最( a ) 6 w es u m m a r i z es o m ek n o w nr e s u l t si nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 2 1 4g i v e n 口m a t r i xa = a 。1 c “n ，n 芝2 ，w i t hc ( a ) a si t sc y c l es e t ， o o 1a n dac o n j u g a t ep a i r ( p ，g ) ，w eh a v et h a ta g d da n dt h e r e f o r eai s n o n s i n g u l a r 毽as a t i s f i e so n eo it h e o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： 1 o n eo f i n e q u a l i t y i 1 3 ) 一( i 1 5 ) h o l d s f o ra l li n ： 2 o n eo ji n e q u a l i t y 1 t 6 ) 一( 1 i s ) h o t d s o ra l l0 i ，n s 2 ； 3 i n e q u a l i t y 口i 9 ) h o l d s 如r 肌7 c ( a ) r e m a r k1 2 1 5 i n e q u a l i t yc o n d i t i o n ( i i 3 ) b e l o n g st og e r g g o r i n ( f n m ( i 1 4 ) 一( i i b e l o n gt 0o s t r o w s k i ，( 1 1 8 ) b e l o n g st os o n g f 2 踟) ，a n d ( 1 1 9 ) m a i n l yb e l o n g sb r u a l d i ( ( t h i s o mi sas l i g h t l ye x t e n d e d ( b yv a r 9 8 ) f o ma n dc o m e s 如mf 3 2 j ) i ti sw o r t h p o i n t i n go u tt h a ti n e q u a l i t yc o n d i t i o n ( i 1 6 ) w a $ r e d i s c o v e r e db yb r a u e r 讯1 9 4 7i 2 ) w h ou s e dt h i s dd e d u c eg e r g g o r i n t y p ee i g e n v a l u ei n c l u s i o nt h e o r e m t h e r e f o r ew e r e f e rt h en o n s i n g u l a r i t yr e s u l ta s s o c i a t e d 埘地t h