（计算数学专业论文）局部保结构算法的复合构造.pdf

摘要 本文利用复合构造方法，系统讨论了1 + 1 维非线陛s c h r s d i n g e r 方程的局部 保结构算法，给出了1 + 1 维非线。| 生s c h r s d i n g e r 方程一系列的多辛守恒格式，局 部能量守恒格式和局部动量守恒格式，其中包括一些熟知的常用格式，如c r a n k n i c o l s o n 格式和p r e i s s m a n 格式论文给出了两种格式的收敛性分析，并给出 数值算例米表明局部保结构算法的优越性另外，论文还讨论了3 + 1 维非线 性s c h r s d i n g e r 方程的局部保结构算法本文还构造了k d v 方程的一系列多辛格 式和非线性k l e i n - g o r d o n 方程的两个新的格式 关键词：非线性s c h r s d i n g e r 方程，k d v 方程，非线性k l e i n g o r d o n 方程，局 部守恒律，局部保结构算法，复合构造方法 a b s tr a c t b yu s i n gt h ec o n c a t e n a t i n gm e t h o d ，w ei n v e s t i g a t es y s t e m a t i c a l l yt h el o c a l s t r u c t u r e p r e s e r v i n ga l g o r i t h m sf o rt h e1 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o ni nt h i st h e s i s w ec o n s t r u c tas e r i e so fm u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e s 1 0 c a l e n e r g y - c o n s e r v i n gs c h e m e sa n dl o c a lm o m e n t u m - c o n s e r v i n gs c h e m e sf o rt h e1 + 1 d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ，w h i c hi n c l u d es o m ew i d e l yu s e d s c h e m e ss u c ha st h ec r a n k - n i c o l s o ns c h e m ea n dt h ep r e i s s m a ns c h e m e m o r e - o v e r ，w ea n a l y z et h es t a b i l i t yo ft w oo ft h ea l g o r i t h m sa n dp r e s e n ts o m en u m e r i c a l e x p e r i m e n t st os h o wt h em e r i t so ft h ec o n s t r u c t e dl o c a ls t r u c t u r e - - p r e s e r v i n ga 1 - g o r i t h m s v ka l s oc o n s t r u c ts o m el o c a ls t r u c t u r e p r e s e r v i n ga l g o r i t h m sf o rt h e 3 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n as e r i e so fm u l t i s y m p l e c t i c s c h e m e sf o rt h ek o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) e q u a t i o na n dt w on e ws c h e m e sf o rt h e n o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o na r ec o n s t r u c t e ds i m i l a r l yi nt h i st h e s i s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n ，n o n l i n e a r k l e i n g o r d o ne q u a t i o n ，l o c a lc o n s e r v a t i o nl a w ，l o c a ls t r u c t u r e - p r e s e r v i n ga l g o - r i t h m s ，c o n c a t e n a t i n gm e t h o d 一1 1 1 - 1 厶j l 刖茜 在数值算法应尽可能多地保持原问题的本质特征的指导原则下，冯康1 1 首 先提出保结构算法的思想和概念，他和他的研究小组在h a m i l t o n 系统辛算法的 构造和理论分析方面都取得了一系列成果【2 5 】，并且引起国内外学者的极大兴 趣，产生了许多重要的后继成果计算实验显示，辛算法优异的稳定性和长时 间跟踪能力有着重要的应用前景f 6 8 ，1 2 现在辛算法越来越受到科学计算工 作者的广泛关注，许多重要的计算领域如分子电子计算、生物计算、具有间断 能餐系统的计算等等都在应用辛算法然而尽管辛算法在求积h a m i l t o n 常微分 方程组时有许多优点，它在处理偏微分方程时却存在不足传统的线方法是一 个可以选择的处理手段，即首先进行空间离散，使得离散得到的常微分方程组 是h a m i l t o n 方程组，然后再应用辛算法求积该方法的一个缺点是没有好的方法 保证离散后的方程组仍然保持h a m i l t o n 特性另一个处理手段是把偏微分方程 看成是b a n a c h 空间上的h a m i l t o n 系统，直接应用辛算法但是目前该方法只能 处理非常特殊的方程9 ，1 0 另一方面，当我们讨论一个给定偏微分方程( 组) 的 保结构算法的时候，除了考察该方程是否是保守系统外，还必须看给我们的边界 条件是否合适只有在特定的边界条件下，我们才可以应用保结构算法以正压 大气模式的控制方程为例，只有在周期边界或者齐次边界条件下，才有整个时 间层上的平方守恒性质，理论上才适用平方守恒算法而这样的边界条件在研 究暴雨的区域模式中几乎是不可能成立的，平方守恒算法就没有了应用的理论 依据令人费解的是，实际计算表明，平方守恒格式在计算没有适当边界区域模 式时仍然可以得到好的结果其他保结构算法有时也遇到类似问题为此，王雨 顺等人在文献f 1 1 1 巾提出了偏微分方程局部保结构算法的概念局部保结构算 法仍属于保结构算法的范畴，其基本思想仍然是基于冯先生数值算法应尽可能 多地保持原问题的本质特征的指导原则，把原来各种整体保结构算法所保的整 个时间层上的结构推广到局部，使得数值算法能在每个局部领域和每个点上保 持原来微分方程的各种结构，从而不必关心系统是否具有合适的边界条件这在 很大程度上拓宽了保结构算法的适片j 范围，也很好地解释了上面的问题同时， 对偏微分方程而言，局部保结构性质能涵盖整体保结构性质，当边界合适时，局 部保结构性质能推出整体保结构性质，因此局部保结构算法所保守的性质是偏 微分方程更本质的性质同样，局部保结构算法的概念涵盖原来各种保结构算 法，当边界条件合适时，局部保结构算法自然就是原来的保结构算法例如，当边 界条件是周期或者零边界条件时，局部能量守恒格式就是原来的能量守恒格式， 而能量守恒算法对发展进程方程的稳定数值算法起到非常重要的作用1 3 1 8 1 众所周知，非线性s c h r s d i n g e r 方程在物理上是很重要的，它能够用来解释广 泛的物理现象 1 9 】该方程是孤立子理论非常重要的完全可积模型，它广泛应 用于许多物理领域，如非线性光学和等离子物理学孤立子理论是应用数学和 数学物理的一个重要组成部分，许多科学领域如流体力学、等离子体物理、非 线性光学、经典场论等都包含与孤立子理论密切相关的重要问题孤立波方程 的数值模拟是研究相关问题的非常有效的手段，如量子力学中的s c h r s d i n g e r 方 程的计算【1 2 】s c h r s d i n g e r 型方程奠定了近代量子力学的基础，其在量子力学 中的地位如同牛顿三定律之于经典力学，麦克斯韦方程之于电磁学数值模拟 是研究s c h r s d i n g e r 方程非常有效的手段，局部保结构算法的提出给数值研究非 线性s c h r s d i n g e r 方程提供了一个新的观点许多学者【2 0 2 3 】在理论上已经讨论 了s c h r 5 d i n g e r 方程，并且给出了大量的数值方法近年来，多辛算法比较热门 就差分格式而言，传统的p r e i s s m a n 格式和e u l e r b o x 格式都是多辛格式陈景波 等人研究了二阶非线一陆s c h r s d i n g e r 方程的p r e i s s m a n 格式，同时给出了与其等价 的新的六点格式f 2 0 1 ，使得计算更加便捷数值计算表明，该格式有良好的稳定性 和长时间数值模拟跟踪能力最近，王雨顺等人基于e u l e r b o x 格式又给出了两 种新的半显式的多辛格式 2 4 】，使得非线性s c h r s d i n g e r 方程的多辛模拟计算更加 方便，计算需用的机器资源更少孙志忠给出了非线 生s c h r s d i n g e r 方程的一个 显式格式 2 5 1 ，此格式不仅是稳定的并且有较高的精度，计算效率也比较高 k d v 方程是一类重要的带有光滑解的非线性双曲型方程，它可以描述 各种各样的物理现象，如调和晶体里的声波，在泡沫液体混合物中的波以及 热等离子体中的磁流体动力波等等有很多学者对其作了研究，比较著名的 是z a b u s k y 矛l k r u s k a l 在1 9 6 5 年提出的显式z a b u s k y - k r u s k a l 格式【3 2 】，此格式发现 了k d v 方程的孤立子性质最近几年，多辛算法比较热门在文章 3 3 】中，作者 从p r e i s s m a n 格式中得到了一个新的多辛1 2 点格式，文章还给出算例来表明格 式的有效性a s c h e r 和m c l a c h l a n 在3 4 1 中给出了方程的一个新的8 一点格式，作 了详细分析并将他们的新格式与1 2 一点格式作了比较王雨顺等人在 3 5 】中提出 了此方程的一个显式多辛e u l e r - b o x 格式，文章中的算例表明该格式有良好的稳 定性和长时间数值模拟跟踪能力 文献【1 1 1 在提出局部保结构算法的基本概念的同时，还提出了一种构造局部 保结构算法的复合构造方法，利用这种方法，可以系统构造多辛格式，局部能 量守恒格式和局部动量守恒格式复合构造方法不同于传统的求解p d e s 的线 方法和交替方向法其基本思想来源于r u n g e - k u t t a 方法处理偏微分方程时的 时间和空间分离的方法此方法的思路比较简单，并且，采用此方法可以利用 大量已有的o d e s 的数值方法得至i j p d e s 的数值方法文章【1 1 】中利用复合构造 方法讨论了非线性k l e i n g o r d o n 方程的局部保结构算法，本文把它应用到非线 性s c h r 5 d i n g e r 方程和k d v 方程上去，并补充给出非线性k l e i n g o r d o n 方程的两 个新格式 为了构造局部保结构的差分算法，使得到的算法在差分网格上满足离散的 局部守恒律，我们需要引入一些差分算子的记号并研究它们的性质，这些性质 对离散局部守恒律的保持起关键作用我们采用如下的记号表示空间和时间方 向上的向前差分算子和平均差分算子： 向前差分算了( 其中危，忌分别为空间和时间步长) d t 尸= 笔， 平均差分算子 = 掣， 蹦= 学 蛳= 毕 这些算子有如下的性质 3 ，l l 】： 性质1 交换性 d z d t = d t d z ，a a t = a t a z ， a d = d a 性质2 链法则 d t g ( ) = d u g ( u ) d t u j + o ( a t ) ，d 霉g ( u i ) = d 。a ( u i ) d z “t + o ( a x ) 性质3 离散l e i b n i t z 法则 d 。( 厂夕) = ( a a + 1 + ( 1 一o ) ) d z g i + d z 五( ( 1 一a ) g i + 1 + o 仇) ，v0 a 1 有 当厂，g 不是光滑函数，而是微分1 形式时，此时运算为外积运算a ，仍然 d 茁( d uad r ) t = ( a d u i + 1 + ( 1 一a ) d u i ) ad z d v i + d 正d u a ( ( 1 一a ) d v i + l + a d v i ) 3 一般应用较多的一些特例为： a = 0 ，d z ( ，夕) t = 五d z g i 十d z g i + l ， 1 n = 去，d ( 厂- 夕) i = a z 五d z g i + d z a 。仇， a = 1 ，d z ( ，夕) = a + i d z 仇- t - d z 五g i 离散l e i b n i t z 法则的推论l 离散l e i b n i t z 法则的推论2 d 髫( ；斤) = d z 五a $ 五 d z ( 。1 - f i 一1 ) = 五a z d 茁五一1 注l e i b n i t z 法则的重要性是不容置疑的，一般的推导证明都要用到它但是， 离散的l e i b n i t z 法则却很少有人注意它，而实际上它非常重要，本文在构造各种 保结构算法时它起关键作用 在利用复合构造方法来构造各种局部保结构算法之前，我们先来简单阐述 一下文献 1 1 】中的复合构造方法的基本思想以及构造中我们要用到的两利- 常微 分方程的数值方法 我们以非线一| 生k l e i n - g o r d o n 方程为例来说明复合构造方法的思想方程的形 式为 0 t t u = 以札一f 7 ( 让) ，( z ，t ) qcr 2 ，( 0 0 1 ) 其中，下标表示偏导数，f 7u ) ：r r 是一个光滑的非线性函数 它的等价方程组形式为 仇一w z + f 7u ) = 0 ， u t = u ，( 0 0 2 ) u z2w 引进新的中间变量v 。= p ，上述方程组可以写成两个形式_ l o d e s 联立的形式 30o ，j p = = 口 u d一出d出 磊c l 叫2p 川u ) ( 0 o 4 ) d u = w g x 用o d e s 的数值方法离散( o o 3 ) 和( o 0 4 ) ，然后联立离散方程得到原来p d e s 的 数值方法，因为形式上是两个或多个方向数值方法的复合，所以我们就叫这种 构造方法为复合构造方法 为了下面讨论方便起见，我们引进一些标志，记q = 【0 ，d l ，q t = q 0 ，卅为 一个矩形区域，通过一些平行线x = 瓤= i h ；t = t j = j t ( i = 0 ，1 ，m ，j = 0 ，1 ，佗) ，将q t 分割成小网格，其中m = d ，几7 - = t 令q = ( z ，t ) ；z = i h ，t = j r ，i = 0 ，1 ，m ，歹= 0 ，1 ，死 ，设霹，醒，u ；，嵋，( i = 0 ，1 ，m ，歹= 0 ，1 ，竹) 为对应函数在网格点( 既，巧) 上的离散值 为方便后面构造保结构算法，我们给出h a m i l t o n 方程的两种最简单的辛格 式对于可分的h a m i l t o n 系统，h a m i l t o n 函数可以写成两个或多个独立函数的 和： p t = 厂( g ) ，g = 9 ( p ) 其蛙跳格式( l e a p f r o g ) 为： d t p i = f ( q i ) ，d t q i = g ( p i + 1 ) 其一般格式是多级显辛格式，或者是更一般的p a r t i t i o n r u n g e - k u t t a ：产$ 法 中点格式为： d t p i = f ( a t q i ) d t q i g ( a t p i ) 其一般形式是由g a u s s 配置法得到的r u n g e - k u t t a 类辛格式 5 一 第一章非线性s c h r 6 d i n g e r 方程局部保结构算法 首先，我们来考察非线一 生s c h r 6 d i n g e r ：方程众所周知，非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程有许多保守性质，例如辛性质，能量守恒性质等，这些性质都是整体守恒性质， 即在整个时间层的保守性质已有的一些保结构数值算法也正是基于这样的整 体保守性质而实际上，非线性s c h r 5 d i n g e r 方程有不依赖于边界条件的局部守 恒性质文章f 1 1 1 中提到，能写成多辛h a m i l t o n 方程组的偏微分方程都具有局部 保结构性质一般的1 + 1 维多辛h a m i l t o n 方程组都可以写成如下形式： m z + k z = = v ：s ( z ) ，z 酽，( z ，t ) 舻，( 1 0 1 ) 其中，m 和k 是n n 反对称矩阵，他3 ，s ：舻一冗为一光滑函数 系统( 1 0 1 ) 所满足的多辛守恒律为： 瓦0 叫+ 瓦0 仡= 0 ， ( 1 0 2 ) 瓦叫+ 瓦仡2 u ，l 1 u z j 这里“，和仡为预辛形式： u = 八m 妃k = 扣八k 兆 系统( 1 0 1 ) 所满足的局部能量守恒定律为： a ( s ( 名) 一三名丁k ) + 鼠( 去名t k 魂) = o 系统( 1 0 1 ) 所满足的局部动量守恒定律为： a ( 壶z 丁m ) + 以( s ( z ) 一去名丁m z t ) = o 多辛h a m i l t o n 方程组是h a m i l t o n 方程组的推广，保持多辛守恒律( 1 0 2 ) 的数值 算法就称为是多辛算法【2 6 】近年来，有关多辛算法的工作已经取得很大进 展【2 7 3 1 】 考虑l + 1 维非线。 生s c h r s d i n g e r 方程： i u , + 乱z z + p l u l 2 u = 0 ( 1 0 3 ) 第一章非线性s c h r s d i n g e r 方程局部保结构算法 其中，i = = t 为虚数单位，u ( x ，) 为未知复值函数，p 是实常数 令u = a - fi b ，则( 1 0 3 ) 式可以写成一对等价的实值方程组： 再引进一对共轭动量变量 = a ，w = b x ，方程组( 1 0 4 ) 式可以写成多 辛h a m i l t o n 系统( 1 0 1 ) 的形式【4 1 在这种情形下， 0 i m ：l - l 1 0 i f 0 k = h a m i l t o n 函数为s ( z ) = ；( ；( 0 2 + b 2 ) 2 + v 2 + w 2 ) ，z = ( a ，b ，u ，叫) t ， p ( a 2 + b 2 ) 6 ， p ( q 2 + b 2 ) o ， ( 1 o 5 ) 相应的多辛守恒律为： o t ( d aad b ) - - fo x ( d vad a + d w ad b ) = 0 ( 1 0 6 ) 相应的局部能量守恒律为： 魏( 丢( u 2 十叫2 ) 一p 五( q 2 + 6 2 ) 2 ) = o x ( w b t + v a t ) ( 1 o 7 ) 相应的局部动量守恒律为： a ( 。6 一n 6 茁) = 鼠( u 2 + 伽2 + 笔( 。2 + 6 2 ) 2 地6 一n 6 t ) ( 1 o 8 ) 文章【1 1 】中称能离散保持上述三个局部守恒律的数值算法为局部保结构算法 引进新的中间变量= c ，w 茁= d ，方程组( 1 0 5 ) 可以写成三个形式 7 q 0 q 以仉 、j、j 水驴 + + 萨舻 ，i，i p p + + 咖彬 = = 砒现 一 ，、【 、llllll， o 0 0 0 0 0 0 0 0 1 似 + 十 k 口 = | | = = 以 阮鼢 ，fl_-，、l_l 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 上o d e s 联立的形式 1 1 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 下面我们给出非线。i 生s c h r s d i n g e r 方程各类局部保结构算法的具体构造 ( ，) ( i i i ) 1 1 1多辛格式的构造 首先来看连续情况下多辛守恒律的推导过程与( 1 0 5 ) 式对应的变分方程 为： 一d 锄= d w z d b t = d v 。 d = d k = + 2 p a b d a + 2 p b 2 d b + p ( 0 2 + 6 2 ) d 6 ， + 2 p a 2 d 。+ 印。b d b + p ( 口2 + 6 2 ) d 。， ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 式的第一行外积d 6 ，( 1 1 1 ) 式的第二行外积d o ，可以得到 将上面两式相加： d b tad a d a tad b = d ad a + d w xad b ( 1 1 2 ) 由l e i b n i t z 法则，我们可以分别得到： o t ( d aad b ) = d a tad b + d aad b = d a ad b d b ad a ， 以( d vad a ) = d v xad a + d v ad a z = d v xad a + d vad v = d v xad a ， 8 q 仉 盔批 = = = = 咖咖 咖如 、-?【f一【 6 0 泸 护 + 十 + 十 d c = = 吨 玩 ，、【 撖咖 弧缸 八 八： 如 比 八 八 批 舭 洲胁 以 如 o 。( d wad b ) = d m z ad b + d wad b z = d w 霉ad b + d w ad w = d w 茁, ad 6 故( 1 1 2 ) 式变为： o t ( d aad b ) + 以( d r ad a + d wad 6 ) = 0 上述推导过程中，l e i b n i t z 法则起到关键作用，在我们构造非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程的多辛算法中，如果离散的差分算子有对应的离散l e i b n i t z 法则，就能得到离 散的多辛守恒律 情形一：( ，) ，( ，) ，( ，) 三式都用蛙跳格式离散，我们可以得到： f d 。霹 td 。醒 然后消去中间变量c ，d ，有 f d 。彰= jd 。醒： 1 眈： 【见酲= 取谚= c ， d z = 略1 + p ( ) 2 + ( 醒) 2 ( 醒) ， 霹+ 1 + p ( + 1 ) 2 + ( 酲“) 2 】( “) d 茁础+ p 【( ) 2 + ( 醒) 2 】( 醒) ， d z u i + 1 + p 【( 霹+ 1 ) 2 + ( 嘭+ 1 ) 2 】( + 1 ) ， 诅。， ， 叫4 1 进一步消去u 和w ，可得如下格式 s d t 畦 、d 。醒 d ；醒一。+ 纠( 霹) 2 + ( 磋) 2 】( 醒) ， d ：i + p 【( 遽+ 1 ) 2 + ( 酲“) 2 】( 霹+ 1 ) 文章 3 6 】也复合得到了此格式 9 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 咄 = = 嵋醒 z d d ，、【 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 多辛证明： ( 1 1 3 ) 式对应的变分方程为 f d t d a ；= d z d q + 印醒d 0 j + 2 p ( q ) 2 d 6 + p 【( o ；) 2 + ( 醒) 2 】( d 醒) ， d t d b ；= d $ d 谚+ 1 + 2 p ( a ；+ 1 ) 2 d “+ 2 p “嘭“d 醒+ 1 + p ( 霹+ 1 ) 2 + ( 醒+ 1 ) 2 】( d “) ， i id z d = d u 0 1 ，d z d e , = d “1 ( 1 1 5 ) 式的第一行外积d 醒，( 1 1 5 ) 式的第二行外积d + 1 ，则 = d 。d 嵋ad 醒+ 2 p 6 d ad 6 ；， = d 。d 谚+ 1ad 霹“+ 2 p “醒“d 醇+ 1ad “ 将上而第二个式子中的歹改为歹一1 并与第一个式子相加，可以得到： d 酲ad d + d t 酲一1ad 0 = d z c f t 谚ad 磅+ d z d 谚ad 由离散的l e i b n i t z 法则，得 同理可得 d t ( d 酲一1ad a i ) = d 谚ad d 彰+ d 酲一1ad n ；， d $ ( d 谚ad 一1 ) = d z d 谚ad + d 醒ad z d 一1 = d z d 四ad + d 谚ad 谚 = d z d 谚ad 霹 故有离散的多辛守恒律： 跣( d 醒ad 醒一1 ) = d z d 嵋ad 6 1 d 。( d ad 磅- 1 ) + d 霉( d 谚ad 吐，+ d 以ad 吐。) = 0 所以，格式( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 是多辛格式 情形二： ( ，) ，( ，) 两式用中点格式离散，( i i i ) 式用蛙跳格式离散，并消去中间 1 0 醒“ 衅 霹八 越? 叼 d 碰 一d ，、【 第一章非线眭s c h r s d i n g e r 方程局部保结构算法 变量c ，d ，有 | ，一现如a j 。= jd 。a z 嘭= 1 仇 ： 【见谚 = d z w ；+ 纠( a 。) 2 + ( a 。醒) 2 】( a 。醒) ， d z 谚+ 1 + p 【( a z + 1 ) 2 + ( a z 酲+ 1 ) 2 】( a 霹+ 1 ) ， a z 谚， 允一 进一步消去口和w ，可得如下格式 多辛证明： 一d a z d = d a 。d 醒= d d d ：醒+ a z p ( a 。) 2 + ( a z 醒) 2 】( a z 醒) ， d z 2 j + 1 + a z p 【( a z + 1 ) 2 + ( a 。醒+ 1 ) 2 ( a + 1 ) ( 1 1 6 ) 式对应的变分方程为 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) d 。d 遥+ 2 p ( a z a y ) ( a z 醒) ( a z d ) + 2 p ( a z 醒) 2 ( 4 z d 醒) + p ( a 。) 2 + ( a z 醒) 2 】( a z d 醒) ， d 。d 谚+ 1 + 2 p ( a 。霹+ 1 ) 2 ( a z d + 1 ) + 2 p ( a 。n i + 1 ) ( a 酲+ 1 ) ( a z d 醒+ 1 ) + p 【( a + 1 ) 2 + ( a 醒+ 1 ) 2 】( a z d + 1 ) ， 屯d 谚， a 。d 耐 ( 1 1 8 ) ( 1 1 8 ) 式的第一行外积a 。d 酲，( 1 1 8 ) 式的第二行外积允d 霹+ 1 ，我们可以得到： - d a z d d a 。d 醒a aa x d 酲= d z d aa z d 酲+ 2 p ( a z a y ) ( a z 磅) ( a 茁d ) aa z d 嘭， a 霉d + 1 = d z d 谚+ 1aa x d + 1 + 2 p ( a z + 1 ) ( a z 酲+ 1 ) ( a z d 酲+ 1 ) aa x d 霹+ 1 将上面第二个式子中的歹改为歹一1 并与第一个式子相加，可以得到： d t a z d 磋aa z d 一d a z d a yaa x d 留= d 。d 谚aa x d a y + d 。d 砖aa x d 嘭 由离散的l e i b n i t z 法则，得 d ( a z d 磅一1aa z d a y ) = d a 2 d 谚一1aa z d 一d t a z d aa z d 6 ； d 。( d 谚ad 霹) = d z 蹦aa 霉d + a z d 谚ad z d = d d 谚aa d 同理可得 d z ( d 谴ad 6 ) = d z d 埘aa z d 6 1 1 一 镌翔 仇4 一 d ，、【 田醒 d d 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 所以有离散的多辛守恒律： d t ( a 霉d a 如d 醒_ 1 ) + 见( d 谚ad + 出一ad 醒) = 0 所以，格式( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 是多辛格式 情形三： ( ，) ，( h ) n 式用蛙跳格式离散，( i i i ) 式用中点格式离散，并消去中间 变量a ，d ，有 = d z a t q 4 - p 【( a 。) 2 + ( a 。酲) 2 】( a 。酲) ， 2 7 。a t 讲+ p 【( a t ) 2 + ( a t 醒) 2 】( a t ) ，( 1 1 9 ) 2 咙+ 1 ， ， 2 叫0 1 消去秒和w ，可得如下格式 i d 。u ；+ d 2 a 。吐1 + p l a t 硼2 ( a ) = 0 这就是非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的著名c r a i l k - n i c o l s o n 型格式，并且文献 3 6 】中也 得到了此格式 多辛证明： ( 1 1 9 ) 式对应的变分方程为 一d 。d 彰= 眈a 。d 趔+ 2 p ( a t ) ( a t 留) ( a 。d 彰) + 2 p ( a 酲) 2 ( a 。d 醒) 却 ( a 。n i ) 2 + ( a 。醒) 2 】( a 。d g ) ， 删醒2 学恐老鬻t 噻三( a t d a i ，) 、+ 2 p ( a ) ( a c 醒) ( 倒醒( 1 1 1 1 ) a + p ( a ) 2 + ( t e ) 2 】( a t d ) ， r d 。d 霹= d 诅1 ， d z 删= d 咄1 ( 1 1 1 1 ) 式的第一行外积a 。d 酲，( 1 1 1 1 ) 式的第二行外积a 。d ，我们可以得到： = d z a a 哪aa d 6 l + 2 p ( a t a ；) ( a 醒) ( a d o i ) aa d 6 ， = d 善a t d 谚aa t d a ；+ 2 p ( a t 醒) ( a t ) ( a d 醒) aa d 将上面两个式子相加，有 - ( d t d a ；aa d 6 + a t d a ；ad t 醒) = d z a t d w ；aa t d 醒+ d a t d 谚aa d 司 一1 2 跏理捌捌 一 d d d ，、【 删噻 a d t 八a，八 嘣护。 d 一 d ，、【 第一章非线性s c h r s d i n g e r 方程局部保结构算法 而由离散的l e i b n i t z 法则，我们可以得到： d z ( a t d w ia a d 6 ) = d 。a t d w ia a t d 醒+ a t d w ；+ 1a d z a d 6 = d a t d w ；ia a t d 6 i 同理可以得到 d 茁( a d 谚aa 。d ) = d z a 。d 谚aa 。d 霹 所以，该格式满足离散的多辛守恒律： d ( d ad 6 ) + d z ( a t d 谚aa d 曰+ a t d u iaa t d 醒) = 0 这样我们就顺便证明了非线。l 生s c h r s d i n g e r 方程的c r a n k - n i c o l s o n 型格式是多辛 格式 情形四： ( j ) ，( ，) ，( ，) 三式都用中点格式离散，消去中间变量c ，d ，有著名 的p r e i s s m a n 格式 f d t a z 吃j = d z a t 遥+ p ( a a 茹a 1 ) 24 - ( a 。a 茹醇) 2 j ( a t 4 z 酲) ， jd t a z 醒= d z a u i4 - p 【( a a z ) 24 - ( a t a z 醒) 2 】( a t a $ ) ， ld z = a z 田， 【d z 醒= a 茁嵋 进一步消去v 和w ，可得如下6 点格式 i d a z 2 j4 - d ：a 遥+ p a z i a a z 遥1 2 ( a t a 。) 】= 0 文献 2 0 】中详细讨论了该格式，并且该格式对应的离散多辛守恒律为： d t ( a d aa z d 醒) 4 - d z ( a t d 谚aa t d a 4 - a t d w i iaa t d 醒) = 0 情形五： ( ) ，( i i i ) 两式用蛙跳格式离散，( i t ) 式用中点格式离散，并消去中间 变量c ，d ，有 f d t a 。a j t = d 。遥+ p 【( 4 z ) 24 - ( a z 磋) 2 】( a 。谚) ， jd t a z 醒= 仇a 正谚“+ p 【( a z a j t + 1 ) 2 + ( a z 醒“) 2 】( a “) ， l d z 司= 略。， id 。醒 = a 川 1 1 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 消去u 和w ，可得如下格式 类似地，可以证得该格式满足的离散多辛守恒律为： d t ( a z d aa z d 磅一1 ) + d z ( a z d 谚aa z d + d 埘ad 醒) = 0 限于篇幅，后面多辛格式的多辛证明也被省略 情形六： ( ，) 式用蛙跳格式离散，( ，) ，( ，) 两式用中点格式离散，并消去中间 变量c ，d ，有 i - d t a z = d z a t 醒+ p 【( a z a t 曰) 2 + ( a z a t 醒) 2 】( a 茁a t 醒) ， jd t a 醒= d z a z a 谚+ p 【( a 霉a t ) 2 + ( a 。a t 醒) 2 】( a 。a t ) ， id z = 略。， 【d z 醒= a z 嵋 消去v 和w ，可得如下格式 一d 。a ：n ；= d ：a 。谚+ a z p ( a z a 。霹) 2 + ( a z a 。酲) 2 】( a z a 。醇) ) ， id t a 。醒= d ：a 茁a t 0 3 t 一1 + 烈( a z a t ) 2 + ( a z a t 醒) 2 】( a z a t ) 可以验证该格式满足的多辛守恒律为： d t ( a 。d aa 。d 醒) + d z ( a 王a d 谚aa z a t d a ；+ a d 嵋aa d 醒) = 0 情形七： ( ，) ，( ，) 两式用中点格式离散，( i i ) 式用蛙跳格式离散，并消去中间 变量c ，d ，有 f d 。a z jd t 允醒 1d z 霹 【d z 醒 d z a z a 。遥+ p ( a 霉a 。) 2 + ( a 霉a 。巧) 2 】( a z a 。酲) ， d 。a 。谚+ p i ( a 霉a 。霹) 2 + ( a 茹a 。醇) 2 】( a a 。彰) ， a 谚， 叫+ 1 1 4 一二如 哟讯 螂一 妒矿舭 仞+ 屯=+ 穰 碟珑 鹰理 仇4 第一章非线性s c h r s d i n g e r 方程局部保结构算法 消去v 和w ，可得如下格式 i d t a = d ：a z a t 6 l 一1 + p 【( a z a t a ；) 2 + ( a 。a t 醒) 2 】( a a t b ) ， id a ：醒= d z 2 4 t + a z p ( a z a t a j i ) 2 + ( a z a t e ) 2 】( a z a r a b ) 该格式满足的离散多辛守恒律为： d ( a z d aa z d 醒) + d z ( a t d 嵋aa t d a ；+ a z a t d w i iaa 茹a t d g ) = 0 情形八： ( ) 式用中点格式离散，( ，) ，( i i i ) 两式用蛙跳格式离散，并消去中间 变量c ，d ，有 f d t a 。 jd 。a 。醒 j 眈 【仇醒 d 。a z d 十p ( a 。o i ) 2 + ( a z 磋) 2 】( a z 酲) ， d 。谚+ 1 + p 【( a 霉霹“) 2 + ( a 。醒“) 2 】( a z 霹“) ， a z u i ， 咄1 消去v 和w ，可得如下格式 该格式满足的离散多辛守恒律为： d 。( a 七d aa 。d 谚一1 ) + d z ( d 霹ad + a z d w iaa 茁d 磅) = 0 1 1 2 局部能量守恒格式的构造 我们首先来看一下连续情况下局部能量守恒律的推导过程，仍然从多辛形 式( 1 0 5 ) 出发：( 1 0 5 ) 式的第一行乘以6 t ，第二行乘以o t ，可以得到： 将上面的两式相加，有 w z b + v x a t + p ( n 2 + b 2 ) ( a a t + b b t ) = 0 ， 将上式变形为： h 。 以 a n 胤 钆“ k 醒哟 钆+ + ，缈埘a 小砌 + a 0 + 醒d 屯矿 d d = = 如辫 觑4 一 d ，、【 凇 + + 十咄姚 = = 巩 砒 砒一巩 ，1， 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程局部守恒格式的构造 于是有： o x ( w b t + 吮) 一伽一u 。科+ 引笔( 。2 + 6 2 ) 2 1 = o ， o ( w b t + v a t ) 一w w t v v t + 侥【筹( 0 2 + 6 2 ) 2 】= 0 ， 即： ， a f 三( u 2 + 伽2 ) 一p 五( 口2 + 6 2 ) 2 】- - - - o x ( w b t + u 。t ) 情形一： ( ，) ，( ，) 两式用中点格式离散，( 1 i i ) 式用蛙跳格式离散，非线性项用 时间方向的链法则离散，有 d z 讲 d z 0 j a 茁c 如谚 jd 。嵋= a 。程， id 霉醒= 允叫 f - d t a t a z 一1 = a z + ：【( a z a t 霹) 2 + ( a z a t 醒) 2 + ( a z a t 一1 ) 2 + ( a 。a 。醒一1 ) 2 】 j( a z a t 6 + a 茁a t 醒一1 ) ， 1 d 。a 。a z 酲一1 =a 。鼋+ 烈( a z a 。) 2 十( a z a 。嘭) 2 + ( a 王a 。霹一1 ) 2 + ( a z a 。醒一1 ) 2 】 【 ( a z a t + a a t o ；_ 1 ) 然后消去中间变量c ，d ，有 一d t a t a 2 霹- 1 d a t a z 醒= d z 程= d 。醒= = d 。谚+ ：【( a z a t 彰) 2 十( 4 z a t 醒) 2 + ( a z a t 一1 ) 2 + ( a z a t 谚一1 ) 2 】 ( a z a 醒+ a z a t 6 一1 ) ， d z 谚+ 瓢( a z a 。) 2 +