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电子科技大学硕士学位论文 一类变系数神经网络稳定性分析 摘要 由于神经网络在应用方面的巨大潜力，很多学者致力于神经 网络的理论研究，取得了不少好的成果，见文【1 2 4 。本文首次 系统地对一类具有变系数的神经网络稳定性进行了研究。 第一章是前言，介绍了神经网络产生的历史，研究神经网络 的意义和应用，现阶段研究神经网络的成果和不足，最后阐明本 文所做的工作。 第二章对h o p f i e l d 神经网络f 一增益稳定性进行了深入地研 究，进而将常系数推广到变系数中去，得到了具有变系数的 h o p f i e l d 神经网络在受到小信号干扰时状态有界的条件，推广了 文1 4 9 】的结论。 第三章分析了变系数神经网络模型平衡点的存在性和唯一 性问题，然后对变系数神经网络进行了有界性的分析，最后给出 了在有平衡点时其局部收敛和全局收敛的充分条件和充要条件， 推广了文【1 4 1 7 】的结论。 第四章分析了变系数神经网络模型有平衡点时趋于平衡点 速度问题，给出了其指数稳定和指数稳定的充分条件并得到 了两个常系数神经网络模型的相关推论，定理推广了文 2 i 【2 2 的结论。 第五章是小结。 本文主要采取构造不同的l i a p u n o v 函数方法，结合不等式 分析技巧，利用常数变易法，对变系数神经网络进行比较全面的 分析和研究，结合鋈重邀岔友摆理论来研究神经网络理论，获 得了一些比较好的结果，推广了相关文献的结论。 关键词：神经网鲐，变系数，稳定性，周期解，时滞 i i 电子科技大学硕士学位论文 t h es t a b i l i t ya n a l y s i so fv a r i a b l e p a r a m e t e r s n e u r a ln e t w o r k s a b s t r a c t t h e p a p e rh a sf i r s t l ys y s t e m a t i c a l l ys t u d i e dt h es t a b i l i t y o f n e u r a ln e t w o r k sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s a n d m a i n l y s t u d i e d t h ef o u rf o l l o w i n gp r o b l e m s ： c h a p t e r2h a sf i r s t l ys y s e m a t i c a l l ys t u d i e d 一g a i n s t a b i l i t yo fh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ，a n de x t e n d e dc o n s t a n t c o e f f i c i e n t st ov a r i a b l ec o e f f i c i e n t s t h ec o n c l u s i o nse x t e n d e d i n d e x 4 9 】； c h a p t e r3h a ss t u d i e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u eo f e q u i l i b r i u mo fn e u r a ln e t w o r k sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n da l s 0 s t u d i e dt h es t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n ts a n dp r o v i d e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n ds u f f i c i e n t e f f i c i e n t c o n d i t i o n so fl o c a ls t a b i l i t ya n dg l o b a ls t a b i l i t yw h e nt h eu n i q u e e q u i l i b r i u me x i s t s t h ec o n c l u s i o n se x t e n d e di n d e x 1 4 17 】； c h a p t e r 4 h a ss t u d i e d t h e v e l o e i t y o fn e u r a ln e t w o r k s t e n d e n c y t o e q u i l i b r i u mw h e nt h eu n i q u ee q u i l i b r i u m e x i s t s ，a n d g a v e s u f f i c i e n t e f f i c i e n tc o n d i t i o n so f e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，t h e c o n c l u s i o n se x t e n d e di n d e x 【2 1 2 2 t h is p a p e rh a s s t u d i e dt h ef o u rp r o b l e m s a c c o r d i n gt ot h e c h a r a c t e r i s t i cso fn e u r a ln e t w o r k s m o d e l s ，m a k i n g u s eo ft h e l i a p u n o vf u n c t i o n ，c o m b i n i n g w i t ht h em e t h o do f i n e q u a l i t y a n a l y s isa n dt h em e t h o do fv a r i a t i o n so ft h e p a r a m e t e r s ，t h e s t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k sw i t h v a r i a b l ec o e f f i c e n ts isd i s c uss e d i n d e p t h s o m ep e r f e e t l a w sh a v eb e e n g a i n e d a n do t h e r s i i i 电子科技大学硕士学位论文 c o n c l us i o nsh a v eb e e ne x t e n d e d k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ，v a r i a b l ec o e f f i c i e n t ，s t a b i l i t y p e r i o d i c a ls o l u t i o n ，t i m e - d e l a y 电子科技大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科 技大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文的作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或 部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。 签名导师签名： 日期：年月 日 皇王型苎查兰堡圭兰堡垒茎一 符号说明 表示f ( x ) 的绝对值函数 表示a 的转置矩阵 表示a 的逆矩阵 表示a 的一种范数( 具体数学定义见原文) 表示a 的一种范数( 具体数学定义见原文) 表示s 的导数 v i x 1 2 j 八 旷恻s 电子科技大学顾士学位论文 第1 章引言 神经网络这个名词在神经生理学，神经解剖学的范畴内，指 的是生物神经网络( b i o l o g i c a ln e u r a ln e t w o r k s ，简写为b n n ) ； 在信息计算机科学等领域内，指的则是向生命学习而构造的人工 神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，简写为a n n ) 。 神经网络研究的实质是向人脑学习的问题。1 9 8 2 年，美国 加州工学院生物物理学家h o p f i e l d 提出了神经网络的模型一一 h o p f i e l d 神经网络模型，有利地推动了神经网络理论的研究，同 时h o p f i e l d 还引入“计算能量函数”的概念，给出了网络稳定性 判据和电子电路实现。自此之后，不同类型的神经网络纷纷出现。 人工神经网络理论和应用的研究，形成了世界性的热潮，这些研 究为神经计算机的研究奠定了基础。 人工神经网络是模仿生物脑结构和功能的一种信息处理系 统，虽然目前的模仿正处于低级水平，但已显出一些与生物类似 的特点：大规模并行结构，信息的分布式存储和并行处理，具有 良好的自适应性，自组织性和容错性，具有较强的学习，记忆， 识别功能等等。神经网络已经在信号处理，模式识别，组织优化， 知识工程等众多领域的应用取得了引人注目的成果。因此，神经 网络的研究有其重要的意义和价值。 近年来，自然科学和社会科学不同领域内的学者们都致力于 神经网络理论的研究，以期为新一代智能计算机的研究奠定基 础，如国外的h o p f i e l d ，l o c h u a ，f o r t im ，国内的廖晓昕，章毅， 他们对常系数具有时滞的或非时滞的神经网络( h o p f i e l d 神经网 络，细胞神经网络等) 的局部稳定性，全局稳定性，渐近稳定性， 指数稳定性等作了深入地探讨，得到了不少好的结果，如文 【1 2 1 ，使得神经网络的工艺实现进一步成为可能，这又反过来 进一步促进了神经网络的理论研究。但这些结果大都有两个缺 电子科技大学硕士学位论文 陷：一是模型中系数是常数的研究比较多，研究变系数的比较少， 也不系统。从实际来看，各种电路参数发生变动( 即使是不显著 的) 是常有的事，研究变系数的神经网络模型很有必要；二是稳 定性定理的条件基本上是充分条件，而非充分必要条件。从数学 意义上讲，充分条件能保证结论的成立，但从硬件实现来看，不 好的充分条件是以较大的硬件代价为基础的，所以我们若能改进 稳定性定理中的充分条件，甚至能得到其充要条件，就能大大降 低硬件成本。 本文系统地对h o p f i e l d 型神经网络l 2 一增益稳定性进行了研 究，进而将常系数推广到变系数中去。同时，还着重研究了以下 几个问题： 1 变系数神经网络模型平衡点的存在性和唯一性问题： 2 变系数神经网络模型稳定性问题，给出了在有平衡点时其 局部收敛和全局收敛的充分条件和充要条件； 3 变系数神经网络模型有平衡点时趋于平衡点速度问题，给 出了其指数稳定的充分条件。 本文试图对以上四个问题进行研究，采取构造不同的 l i a p u n o v 函数方法，结合不等式分析技巧，利用常数变易法，对 变系数神经网络进行比较全面的分析和研究，并且在理论上更高 起点，结合泛函微分方程理论来研究神经网络理论，试图获得更 满意的结果，这样获得的结果才有可能深刻严谨，容易形成神经 网络稳定性研究完整而系统的理论。 电子科技大学颐士学位论文 第2 章一类h o p f i e l d 神经网络口一增益稳定性分析 文献【1 2 标志着h o p f i e l d 神经网络的诞生，自此，研究其 稳定性已成为热门课题。文献 3 4 】【5 【6 7 8 】等就网络的局部 和全局稳定性给出了一系列重要结果，它们研究目的大致上都 是，确定网络权矩阵和活化函数的特性，使得网络具有一定的稳 定品质。文献【9 】【1 0 11 1 2 等则研究时滞扰动对网络稳定性的 影响，确定时滞界限和网络参数，给出了保证网络稳定的充分依 据。本文的重点也是考察扰动对网络的影响，但不同于文献 3 1 2 ，那里得到的是李雅普若夫意义的稳定结果。本文给出了 常系数的h o p f i e l d 神经网络l 2 一增益稳定性两个定理，并首次 研究了具有时变系数的h o p f i e l d 神经网络一增益稳定性，给 出了变系数的h o p f i e l d 神经网络关于扰动l 2 一增益稳定的结论。 这些结论表明，当网络权矩阵和活化函数满足一定要求，如果扰 动属于l 2 一空间，则网络状态( 或活化输出) 也属于一空间， 它们间的增益关系呈线性关系，换句话说，小信号扰动不会导致 状态的发散。 特别值得一提的是，尽管现在人们对h o p f i e l d 神经网络李雅 普若夫意义的稳定性已研究的比较充分，但那并不保证关于扰动 一增益稳定。下面举一例子，可说明这一点：即全局渐近稳定 的系统，当受到的小信号扰动，状态在有限的时间即“逃逸”到 无穷。因此，本文研究变系数的h o p f i e l d 神经网络关于扰动l 2 一 增益稳定，有其很强的理论意义和现实意义。 引理：一个属于l i a p u n o v 稳定的系统，在受到小信号干扰 时，状态量的值不一定稳定。 用一个例子即可说明考虑下面这个受扰系统 z = ( 1 + v ) ( 一= 1x 3 ) 电子科技大学顿士学位论文 显然，当扰动v = 0 即无干扰信号时，上面的系统是l i a p u n o v 全局渐近稳定的。现施加一小信号扰动v ( t ) = - t e ，易验证 v ( f ) r ( 0 ，o o ) ，尺) 。通过直接计算和近似处理( 可取e z 1 一t ) 可发现，从初始值出发的解，在有限的时间即发散到无穷，其 中逃逸时间为 t 。z1 + 现在来研究h o p f i e l d 神经网络关于扰动l 2 增益稳定性。 2 1 常系数零初值网络的l 2 一增益稳定性 2 1 1 系统的描述及相关定义 受扰h o p f i e l d 神经网络模型由下面的微分方程组给出 r 一。2 一d t + 吾7 ：g ，石，+ “，+ ”i ：1 ，2 ，。 ( 2 一1 ) l t ( o ) = 0 其中，x l 为状态变量，l 为权连接系数，“，为内部扰动，v r 为 外部扰动，d i 为正系数，g j ( z ，) 是活化函数且满足| g j ( x j ) 卜k j i x ，j ( k ，为 正常数，j = 1 , 2 ，n ) 。 记d = d i a g ( d ，d ：，d 。) 为正对角矩阵，t = 杌j 为n x n 阶矩阵，活 化函数g ( ，) = ( g l ( z ) ，g ，( z ：) ，g 。( t ) ) 7 ，满足帜x ) 忙k i nj ( k 为正常数) ， u = ( “。，“2 ，一，“。) re 月1 为内部扰动向量，v = o ：，以) r er “为外部扰动向 量，利用矩阵形式来表示( 2 - 1 ) ： p d x + t g ( x d - u ) 十” ( 2 - 2 ) l j ( o ) = 0 4 电子科技大学颈士学位论文 我们先给出有关定义 定义1系统( 2 1 ) 或系统( 2 - 2 ) 称为关于扰动“， 增益稳定的，如果 砚产+ 镌 成立，其中m ，m ： 0 皆为有限值且 引l ，：q 忙( f ) 1 1 2 严，工r ( k ，b l r 一) = 廷z ? 卢，工e r ”。 2 1 2 主要结论 定理1对于系统( 2 1 ) ，如果满足a + b + c + o o 时， i l x l l l z i o ，) m li l u l l l ：【o ，+ 。) + m 2 ：f o ，。) 成立，所以h o p f i e l d 神经网络模型( 2 - i ) 关于扰动h ，v 是三2 增益稳定的。 由于系统( 2 - 2 ) 是下面具有时滞系统( 2 - 3 ) 的特例，现分 析下面的系统： ：c ：- d ，工+ d 2 x ( t - r ) + t g ( z + m ) + v ) ：，( 旷f f 0 为正对角矩阵，d 2 ，丁为刀x n 阶矩阵，b t ，v 分 别是内部扰动和外部扰动，6 ( 曲性质周系统( 2 - 2 ) 。 定义2 系统( 2 - 3 ) 称为关于扰动“，v 是l 2 一增益稳定的， 如果 里三型堇奎! 墅主兰焦堕苎 l h b ，f j 叫l + ，琏0 叫b + ，鸭m b 成立，其中7 q ，m 2 ，m 3 0 皆为有限值。 定理2 对于系统( 2 - 3 ) ，若2 d 。一d ：d ；一玎7 2 k 2 ，一2 1 a l ( 日 0 ) ，则系统( 2 - 3 ) 关于扰动“，v 是是j l 2 一增益稳定的。 证明：令v = x t z + 艮f 愀s ) 1 1 2 d s 则 古：驴) x + ，r ：一，r ( 卜咖( 卜f ) = ( 一d l x + d 2 x ( t f ) + 丁 g ( 工+ “) + v ) 丁x + x t ( 一d l z + d 2 x ( t 一彳) + t g ( x + “) + v ) + z t x 一，t ( f f ) z ( f f ) = - 2 x r d l x + x 7 ( f 一 c ) d f x ( t f ) + 工7 d 2 x ( t f ) + v t x + x 丁v + x t x x t ( f f ) 工0 一f ) - 2 x 7 d 1 x + x 7 0 r ) x ( t f ) + 工7 d 2 d f x + x r t t 7 x + g 丁( 工+ “) g ( 工+ “) + x t x + v 7 1 ，+ x t x x t ( f f ) 工( z f ) 一2 x 丁d 1 z + x t d 2 d r x + x t t t 丁x + 2 七2 ( 工r 工+ “丁“) + 2 x r x + v r v 8 电子科技大学硕士学位论文 即 ，( 2 d 1 + d 2 d ；+ z 丁r + 2 k 2 ，+ 2 i ) x + 2 k 2 “t u + v r v 两边对f 从t o 到f 积分，有 y 0 ) 一v ( t 。) e 。z 7 ( 一2 d j + d ：d ；+ t t 7 + 2 k 2 1 + 2 i ) x d t + 2 k 2 f r o u t u d t + f r o v t v d t + j 乇，( 2 d 1 一d 2 d j 一玎r 一2 k 2 ，一2 i ) x d t s 2 k 2 s ：o u 丁u d , + s ； o v t v d t = 2 忌2 气删v 吼】 由条件知2 d ，一d 2 d j 一玎7 2 k 2 ，一2 1 a l 所以 a i i x l l ：i “】- v ( r ) + a i i x 呼l 。，； y ( ) + 2 足2 i i “嘎k 。， + 杰d 。， 即 n i i x f ：l 。， ( + r ) h 2 + 2 k 2 1 1 “0 ：i 。， + i i v 0 l 。， 记 m ，= ( 半f ，m ：= 鲁，肾万1 即 所以 ， r u t h 2 + m ；l l 圯m + m 引阮，d ( m , l l o ) ，g l ( x ，) 是活化函数且满足1 9 j ( x j ) 卜，l 小k ，为 正常数，j = 1 , 2 ，n ) 。 记d ( r ) ：砒g ( d l ( f ) ，d 2 ( r ) ，d 。( f ) ) 为i f _ 对角时变矩阵，7 1 ( f ) = b ( ，) ) 为 n n 阶时变矩阵，活化函数g ( 工) = ( g l ( x 1 ) ，g ：( z ：) ，g 。( ) 尸，满足 愀，) 忙k 帖i i ( k 为正常数) ，u = ( “- ，“z ，“。) 7 r ”为内部扰动向量 电子科技大学硕士学位论文 y = ( v ，v 2 ，v 。) t er ”为外部扰动向量，p = ( n ，p 2 ，p 。) 丁为初始 条件，利用矩阵形式来表示( 2 - 4 ) ： j ：= 一即) 工+ m ) g ( x 训( 2 - 5 ) l z ( o ) = p 2 2 2 、主要绪论 定理3对于系统( 2 - 4 ) ，如果满足a + b + c 0 令旷肾( 志f ，m z 一( 志r 即 i b i | 2 ： o f 一 0 ) ，d 2 ( z ) ，丁( f ) 为 连续有界函数，3 d 2 、t ，使得忪：( 0 1 1 - 0 ) ， 则系统( 2 - 5 ) 关于扰动蹦，v 是一增益稳定的。 推论2 是文 1 4 】的主要结论，所以定理3 ，4 推广了文【1 4 】的 结论 小结 本章首次研究了系数具有时变特性和具有时滞的神经网络 的增益稳定性情况。具有l i a p u n o v 意义稳定或渐进稳定的神经 网络模型在受到小信号干扰时状态量不一定保持稳定，甚至状态 量在有限的时间可发散到无穷，所以对其进行增益稳定性的研究 很有必要。另外，由于本文研究的是系数是时变的情形，实用的 皇王型垫盔塑主兰垡笙苎一 范围更广，定理1 ，2 ，3 ，4 推广了文【1 3 1 4 1 的主要结论。如令 本文定理中的时变系数等于常数或扰动参数( 如令系统( 1 5 ) 中d ( f ) ：d + 6 ) ，7 1 ( f ) ：r + 砑) 则分别得到文献【7 1 4 中常系数和具有 扰动参数的神经网络增益稳定性的有关结论。 电子科技大学硕士学位论文 第三章变系数h o p f i e l d 神经网络的稳定性分析 h o p f i e l d 神经网络是现代神经生物学和神经心理学研究的 基础上模仿人的大脑神经元结构特征和功能特征而建立起来的 一种非线性系统。，它的一个重要应用是最优化计算。为了避免 局部极小，对于最优化计算的神经网络，理想的情形是有且只有 一个全局稳定的平衡点，因而对于神经网络平衡点存在唯一性的 研究是很有意义的工作。现有的文献中所建立的关于平衡点存在 唯一的充分条件，大多是常系数非时滞的情形，事实上，动力系 统的滞后现象总是存在的。本章给出了时滞的具有变系数的连续 型h o p f i e l d 神经网络存在唯的相关定理。 由于神经网络模型各种电路参数在实际当中要发生变动，即 参数是关于时间的函数。现在关于稳定性的研究基本上都是针对 常系数的，本章着重研究了变系数的h o p f i e l d 神经网络的稳定 性，包括其渐近稳定性，指数稳定性，增益稳定性和其吸引域的 探讨。本文利用构造l i a p u n o v 函数，常数变易法，不等式分析 技巧，及泛函分析知识进行研究，给出了神经网络系统的一致稳 定性，全局稳定性等充分条件，而且所建立的定理条件简洁，易 验证。 3 1 变系数神经网络系统的描述 考虑如下变系数的神经网络： 鲁一d 心) 州f ) + 吼) 吖r ) ) + c 扣) a j ( x 1 ( t - - t j ( f ) ) h ( f ) ( i = 1 , 2 ，h ) ( 3 1 ) 其中，n 为神经元的个数，z 心) 为第i 个神经元在t 时刻的状 态变量，口，( z ，( f ) ) 表示第j 个神经元在t 时刻的输出，d ，( f ) o ，( ，) ，c ，一) 和6 ( f ) 为有界连续函数，f ，：r + _ r + 是连续函数，o - ，是激活函数， 通常就取为s 函数。s 函数的定义可见相关资料。 电子科技大学颤士学位论文 o i ( f = 1 , 2 ，n 1 通常对要求满足： 1 )当z _ 。o 时，t y ，( z ) _ 1 ； 2 )皿( z ) 的上下界分别为+ 1 ，1 ； 3 )口，( x ) = o 当且仅当x = o ； 4 )a a x ) 0 和一( z ) _ o ( x 一o 。) ； 5 ) 当x = o 时，一( j ) 取得全局最大值c 。1 。 事实上，满足以上条件的函数是很多的，例如，函数 蹦z ) = 若s 咖( n p ：( z ) = 等等幽( x ) = 吾t a n1 ( 争) 等均符合上述要求。 本文不作特殊说明，均对qg = 1 , 2 ，n ) 要求满足上述5 个条 件。 3 2 系统( 3 1 ) 的平衡点探讨 先给出一引理。 引理当系统( 3 1 ) 中变系数都为常数时，系统( 3 1 ) 存在平衡点。 证明：系数为常数时，系统( 3 1 ) 等价的矩阵形式为 _ d x = 一d x ( f ) + b 盯( x ( f ) ) 十c 盯( x ( t - z ) ) + 6 ( 3 - 2 ) 如果系统( 2 - 2 ) 有平衡点x ，则平衡点x 满足： d x = ( 占+ c ) 口( x ) + 6 ，于是作变换 丁( x ) = d 一陋+ c 弦( x ) + 西 设0 d 一2 f i q l n l 一- i i c l l + 删i ) ：k ，记d = 忸x0 彤】，贝0 易知 t ：d - d 为一个连续映射。由不动点定理，在d 中存在不动点x 。，使其 7 7 4 。= x 。成立，即 d x 。= 0 十c p 伍。) + b 则x 是系统( 3 2 ) 的平衡点，定理得证。 电子科技大学领士学位论文 定理1系统( 3 1 ) 平衡点一般不存在。 举一反例即可。对系统( 3 1 ) 取d ( f ) = 1 ，b ( r ) = o ，c ( f ) = o ， b ，( r ) = s i n t ( i ，j = l 。2 ，n ) ，此时系统变为 j ，( f ) = 一z o ) + s i n 显然，上式系统没有平衡点，否则，必有j ，( f ) = s i nr _ 1 ，1 不是 常数，与平衡点的定义相矛盾。 系统( s 一1 ) 的矩阵等价形式为： x = 一d ( t ) x o ) + b ( t ) a ( x ( f ) ) + c ( o a ( x ( f f ) ) + 6 ( f ) 其中，x = g 1 忍椭，er 一是网络的状态变量， d ( f ) = d i a g ( d ，( f ) ，d ：( f ) ，d ( f ) ) ，d ，( f ) o ( i = 1 , 2 ，n ) c ( f ) = b ( r ) l 。r “n 是权矩阵，6 ( f ) = 锄( r ) ，b 2 ( 0 ，h ( r ) ，为阀值。 ( s 一3 ) 在系统( 3 3 ) 有平衡点的情况下，有如下定理： 定理2 若系统( 3 - 2 ) 有平衡点，且 l a ( x ) - a ( r ) i j z l l x r l | ， i ( d ( ，) ，1 p ( f ) + c ( r ) 非c 1 ，其中，l ，o 为常数，则系统( 3 - 3 ) 的平衡点唯 证明：设x ，y 都是系统( 3 - 3 ) 的平衡点，则有 x = p ( f ) r ( f ) + c ( f ) 涉( x ) + 易( f ) y = d ( f ) 】_ 1 眙( f ) + c ( f ) 涉( 】，) + 6 ( f ) 】 从而有 f l x - y l l = i l t o r ) 】_ 1 ( ) + c ( f ) ( x ) 一盯( y ) 】l | i d ( r ) 】_ 1 0 ( f ) + c ( f ) 酬x 一】，l i 因为 i i d ( r ) r 1 ( r ) + c ( f ) 舭 o ) ， b # ( t ) l ( b u ， c 。( f ) - e 1 ) k ( f ) f - - b i 。 电子科技大学硕士学位论文 王妥兰百呆则r ： 定理3系统( 3 1 ) 的解是有界的。 证明：对系统( 3 1 ) 利用常数变易法 x ，( f ) ：z ，( t o ) e - “ + ；oe 州t 一一摆n 眈吖州呦坞盯。g 弘1 ) ) 呐卜 t ( t o ) e - p i ( t - t o ) - t - e - g d a s ) & j = ，b ( s ) 盯j ( x j ( 呦+ 勺( s ) 仃j ( x j ( s 一勺( 呦 十岛( s ) 出 两边取绝对值，根据u i 的性质，有 伽) 陋j i t o + 盯州脚州卅训j ) 悱如) 忪 | _ 妒。+ 差，( “l + l c 1 ) + l 。z 1 胨e ，c j r o x d s 怕。+ 去 差。c + c 。，+ 包 故系统( 3 1 ) 的解是有界的。 存右平衡点的情猾下，将系统( 3 1 ) 写为 d b 。( r ) 一x ；j - 出一d 。( 力k ，o ) 一工；】+ 兰。6 u o ) b ，( z o ) ) - - o j ( x ；) + i 。勺( f ) b ( 。o 一勺( f ) ) ) 一哆( 巧) + 嚏( f ) ( f - 1 2 ，n ) ( 3 4 ) 其中 h 。( r ) = 一d 。( ) x 卜! 。( f ) + c o ( f ) ) 盯小汕眈( f ) ( 3 - 5 ) 定理4如果系统( 3 4 ) 满足： ( 1 ) 存在x ；，使得h f ( f ) = 0 ( f _ l ，2 ，n ) ； 电子科技大学额土学位论文 ( 2 ) 羔1 ( 十q ) 0 ，对v z 。o ，忪一x + k 6 时 j 工，( f ) 一z ；j “= 1 ，2 ，n ) 对t t o 。否则，因为对v t ( 一o 。，t o ) ，均有 k ( f ) - - ip 妒- - x * | l f o 6 = 一。o t t lj 5 z o o f t lj i 7 从而有d + k ( f 。) 一x i + 1 2 0 。另一方面，根据上式及条件( 2 ) 有 d + x i ( f ，) 一z ? 1 - d 如) k ( f ，) 一x j + 至n ，哆。( ) i i z ，。，) 一工；j + f c 。o ，) j | 工，( f ，) 一丁i ，) ) 一工；j +砖 气 一 在 存 以所立成 一p i + 量( 扫u + c i ) = 一 p ，一差。c b u + c u ， 。 矛盾，定理得证。 定理5如果系统( 3 4 ) 满足： ( 1 ) j 量= l ( + c 6 ) 。是常数，使得慨( r ) | m 。a x 。i n 。及v f 。o ，当i i 妒- x l l 。 b ，有 t ( t ) 一z ：i b “= 1 , 2 ，n ) ( 3