（计算数学专业论文）超bcibci代数的商代数理论.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 b c i - 代数是由日本数学家k i s e k i 在1 9 6 6 年提出，它是一类比b c k - 代数更大 的代数类经过近二十年的发展，这一理论已成为一般代数学中的一个重要分支自 1 9 3 4 年，f m a r t y 1 j 提出超代数系统理论以来，超代数系统理论引起了很多学者的关 注，从而出现了大量超代数的分支，如超群m 【l a i 超环 1 q ，【1 1 】超b c k - 代数 咖一矧 衢】，陋一2 卅，、超格舯一3 2 1 ，p 等，超代数系统理论在纯粹科学和应用科学的许 多方面都有应用2 0 0 6 年，辛小龙率先提出超b c i - 代数的概念，并研究了些 相关的性质作为超b c i - 代数，还有很多工作值得我们去探讨 本文主要研究了超b c i 一代数及超+ b c i 一代数的若干代数性质，主要从以下几个 方面进行了讨论； 第二章主要研究了超b c i 一代数的四种超b c i - 理想的运算；分别讨论了两个超 b c i - 代数之问的关系及各种超b c i - 理想的同态原像( 像) 的性质 第三章主要研究了超+ b c i - 代数的商超代数通过修改超b c i - 代数的定义， 提出超+ b c ，一代数，在此基础上，引入超b c i 一代数的左，右扩张，正定对换超 + b c i 一代数及模等价等概念来建立超b c i 一代数的陪集去研究超b c ，一代数 的商超代数及其性质 在第四章中。作为超b c i - 代数的商超代数的应用，我们给出超+ b c i - 代数的三 个同构定理及其自反的些性质 关键词；超b c i - 代数；( 正定对换) 超+ b c i - 代数；商超代数；同构定理 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t b c i - a l g e b r a sw h i c hw e r er a i s e di n1 9 6 6b yk i s k i ，j a p a n e s em a t h e m a t i c i a n ，a r e aw i d e rc l a s st h a nb c k - a l g e b r a s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn e a r l yt w e n t yy e a r s ，b c i - a l g e b r a st h e o r yh a v eb e c a m ea ni m p o r t a n tb r a n c ho fg e n e r a la l g e b r a t h eh y p e r s t r u c - t r u et h e o r yw a si n t r o d u c e di n1 9 3 4b yf m a r t y “s e v e r a la u t h o r sw o r h e do ni ts u c h t h a tm a n yb r a n c h e so fh y p e r s t m c t m et h e o r ya p p e a r e d ，s u c ha sh y p e r g r o u p 1 司【1 q ， h y p e r r i n g t m i n ，h y p e r b c k - a l g e b r a s 陋一矧- 嘲，【嬲一嚣】，删，h y p e r l a t t i c e 3 0 - 船 ，叫，ma n d s o o n h y p e r s t m c t r u e sh a v em a n ya p p l i c a t i o n st os e v e r a ls e c t o r so fb o t hp u r ea n da p - p l i e ds c i e n c e s x l x i nf i r s t l yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fh y p e rb c i - a l g e b r a s s 6 i n2 0 0 6 ， a n di n v e s t i g a t e ds o m er e l a t e dp r o p e r i e s i td e v e r s e du sm u c hr e s e a r c ho nh y p e rb c i - a l g e b r a s ， i nt h i sp a p e r ，s o m ec h a r a c t e r i s t i c so fh y p e rb c i - a l g e b r a sa n dh y p e r b c l - a l g e b r a s w e r ei n v e s t i g a t e d t h ef o u o w i n gs e v e r a la s p e c t sa r em a i n l yd i s c u s s e d i nt h ec h a p t e r2 n d ，w ei n v e s t i g a t e do p e r a t i o n so ff o u rk i n d so fh y p e r b c i i d e a l s ， a n dd i s c n s s e dt h er e l a t i o n sb e t w e e nh y p e rb c i - a l g e b r a sa n dp r o p e r t i e so ft h eh o m o - m o r p h i cp r e i m a g e ( i m a g e ) o fa l lk i n d so fh y p e rb c i - i d e a l s i nt h ec h a p t e r3 r d ，q u o t i e n th y p e r - a l g e b r a so fh y p e f f b o l - a l g e b r a sw e r em a i n l yi n - v e s t i g a t e d t h ec o n c e p to f h y p e r b c l a l g e b r a sw a sr e v i s e d ，a n dt h ec o n c e p to f h y p e r b c i - a l g e b r a sw a si n t r o d u c e d f u r t h e r m o r e ，t h ec o n c e p t so fl e f t o rr i g h te x t e n s i o no f h y p e f f b c l a l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e d ，t ob u i l dc e to fh y p e r b c i - a l g e b r a s ，p o s i t i v e d e 丘n i t et r a n s p o s i t i o nh y p e r b c l a l g e b r a sa n de q u i v a l e n tm o d u l onw e r ea l s oi n t r o - d u c e d ，q u o t i e n th y p e r - a l g e b r a so fh y p e r b c i a l g e b r a sw e r es t u d i e d i nt h ec h a p t e r4 t h ，g i v e na p p l i c a t i o n so fq u o t i e n th y p e r - a l g e b r a so fh y p e r + b c l a l g e b r a s ，t h et h r e ei s o m o r p h i s mt h e o r e m sa n ds o m eo t h e rp r o p e r t i e so fi t sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：h y p e r b c l a l g e b r a s ；( p o s i t i v ed e f i n i t et r a n s p o s i t i o n ) h y p e r b c l a l g e b r a s ； q u o t i e n th y p e r - a l g e b r a s ；i s o m o r p h i s mt h e o r e m s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。、 学位论文作者签名：速圄塑指导教师签名：j 塑二玄 ) 。口1 年6 月s 日御年6 月。，日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弥呵韵 2 。1 年 占月 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 背景知识 以集合论和命题演算作为背景，1 9 6 6 年日本数学家y i m a i 和k i s e k i 引入了 b c k 一代数，这样，对一切b c k 一代数进行研究和对某些条件下的b c k 一代数进行研 究，就产生了b c k - 代数类和b c k - 代数理论f 7 一同年，k i s e k i 引入了比b c k 一代 数类更大的代数类- b c i - 代数类，这就又产生了b c i - 代数类和b c i - 代数理论1 9 - 1 a 经过十七八年的发展，这一理论已成为一般代数学中的个分支这理论涉及和联 系到许多数学分支，如泛代数，群论，格论| 3 】布尔代数等作为两类重要的逻 辑代数，有很多关于描述b c k b c i - 代数理论的文章，但是更多的是关于b c k b c l - 代数的理想的研究m ，模糊理想理论在b c k b c i - 代数理论的发展中扮演了很重要 的角色 2 e - 卅目前，b c k b c i - 代数理论取得了很多丰硕的成果并继续在发展中 自1 9 3 4 年，当f m a r r y 1 】在第八次s c a n d i n a v i a nm & t h e i n a t i c i a n s 会议上提出 超代数系统的理论以后。大约到了四十年代，不仅在法国和美国，而且在意大利，俄 罗斯和日本都有许多学者致力于超代数系统的研究，超代数系统理论在纯粹数学和 应用科学方面得到了广泛的应用1 9 8 2 年，r r o t a 在文献 n i 中提出乘法超环 1 9 9 6 年，r r o s a r i a z a i 在文献【1 q 中引入了超环2 0 0 4 年，辛小龙教授把超代数系统 理论引入到格这一代数系统中，提出了超格的概念，随后有很多有关超格的文章出现 p o _ 船】，叫，吲在文献【2 】，【1 【1 1 等中，大量的学者对超群及其性质进行了详细的研究在 文献例，酬，阳，矧中，辛小龙教授等人将超结构应用到b c k - 代数中，提出了超b c k - 代数，并研究了他的一些性质2 0 0 6 年，辛小龙率先提出超b c l - 代数州的概念，并 研究了些相关的性质作为b c i - 代数这个逻辑代数系统的推广一超b c i - 代数，还 有很多工作值得我们去探讨 在文献 3 6 】中，辛小龙教授提出了超b c i - 代数的概念，讨论了几种超b c i - 理想 及其它们的关系在文献【3 3 】中，y b ，j u ne ta 1 提出了超b c k - 代数的同态并研究 了它的_ 些性质我们将这些性质推广到超b c i - 代数系统中，从而得到超b c i - 代数 的一些同态性质在文献 2 1 2 2 】中，y b j u ne ta 1 研究了超b c k - 代数的超b c i - 】 西北大学硕士学位论文 理想的运算，这里我们也给出了超b c i - 代数的几种超b c i - 理想的运算这是第二章 所涉及的内容 在文献【1 0 】中，j a m e sj a n t o s c i a k 通过引入超复合运算将各种不同的代数超群 统一为对换超群一超群的商结构那么我们是否也可以通过引入超复合运算来研究超 b c i - 代数的商结构? 回答是可以的只不过是需要修改超b c i - 代数的定义，提出超 + b c i - 代数，进而研究超b c i - 代数的商超代数具体的做法是引入超+ b c i - 代数 的左，右扩张，正定对换超b c i - 代数，超+ b c i - 代数的闭集等概念；利用模n 等价 建立超b c i - 代数的陪集，在此基础上，得到正定对换超b c i - 代数的商超代数，并 对商超代数及其性质做了研究 作为超+ b c i - 代数的商超代数的应用，在第四章中，我们给出超+ b c i - 代数的三 个同构定理及其自反的些性质 1 2 预备知识 本小节主要是这篇论文所涉及的一些基本概念及性质，这些基本概念及性质分别 见文献酬，【2 4 】t 嘲t i 卅 定义1 2 1 酬任意( 2 ，0 ) 型的代数( x t ，0 ) ，若满足t ( 1 ) 0 + ) 扛 z ) ( z + y ) = o ； ( 2 ) 扛知 ) ) + y = o ； ( 3 ) p z ) = o ； ( 4 ) x y = 0 且y z = 0 蕴含$ = 们 则称( x ，t ，0 ) 是b c i - 代数如果b c i - 代数( 置，0 ) 满足； ( 5 ) 0 z = 0 ； 则称( 置，0 ) 是b c k - 代数在任意的b c k b c i - 代数x 中，可以定义偏序关系 ：z y 争茹掣= 0 ，这里z ，y ，o x 定理1 2 1 任意( 2 ，0 ) 型的代数( x ， ，0 ) 是b c i - 代数当且仅当它满足； ( i ) ( z ) ( y z ) ) + y ) = o ； ( i i ) ( z 十。) + y = ( z y ) 2 西北大学硕士学位论文 ( i i i ) x z = 0 ； ( i v ) z4 y = 0 且y z = 0 蕴含z = y ； ( v ) ( 0 $ ( 0 z ) ) z = 0 ；这里z ：鲈，孑x 定义1 2 2 设x 是b c i - 代数，0 ，x ，称作x 的理想，若( 1 ) o ，；( 2 ) x * y i ，y i ，蕴含z i 成立，这里z ，y x 设h 毋p ( 日) 表示h 的幂集，p 。( 日) = p ( 鳓一 叮，h 上的二元超代数运算 。o ”定义为；h h p + ( 日) ，即对于任意的a ，b ，ce h ，a ，b e p + ( i - i ) ，都有下面 各式成立， 8 0 b p ( 圩) ， a 。c = u aoc _ p ( 日) ， a e a a 。b = un 。b p ( 日) c 。b e b 定义1 2 3 1 2 1 】若( eo ) 是含常数0 的超广群，若满足； ( h k l ) oz ) o ( y oz ) 0 o 们； ( h k 2 ) 以0 z ) 0 y = ( zo y ) 。 ( 日，3 ) 茹。日 z ) ； ( h k 4 ) z y 且y z 蕴含z = 鲥 则称( h ，o ) 是超b c k - 代数 定义1 2 4 若( 只o ) 是含常数0 的超广群，若满足。 ( h k l ) o z ) o ( y oz ) 扛o ) ； ( h k 2 ) ( zo z ) o f = ( z 。p ) o z ； ( 日，3 ) z z ； ( h k 4 ) 石y 且y z 蕴含z = y ； ( h 1 5 ) 0 0 ( 0 0 茹) 蜀 3 西北大学硕士学位论文 则称( eo ) 是超b c i - 代数 。指的是，0 z 。；a b 指的是tv 口a ，3 b b ，使得口b ，这里 z ，z 鼠a ，b h 性质1 2 1 f s e 若( 日 o ) 是超b c i - 代数，则有下列性质； ( 1 ) z 0 蕴含z = o ； ( 2 ) 0 z o ( zo o ) ； ( 3 ) $ z o o ； ( 4 ) 0 0 ( z 。) ”。z ； ( 5 ) a a ( 6 ) a b 蕴含a b ； ( 7 ) a 0 蕴含a = o ； ( 8 ) 卫0 0 蕴含z 鲥 ( 9 ) z 蕴含z oz z 。鲥 ( 1 0 ) 。= 0 自含( z o z ) o ( oz ) = 0 ，z oz yo z ； ( 1 1 ) a0 0 = 0 蕴含a = 0 ，这里z ，”，z 日 4 西北大学硕士学位论文 第二章超b c i - 代数 2 1 超b c i 一理想的运算 在文献【3 6 】中。辛小龙教授提出了超b c i - 代数，定义了四种超b c i - 理想一超 b c i - 理想，弱超b c i - 理想，强超b c i - 理想，自反超b c i - 理想，并研究了它们之间 的关系本小节主要讨论了这几种超b c i - 理想的运算 定义2 1 1 1 3 6 在超b c i 一代数日中，口i h ，称，是日的超b c i 一理想，若 满足对v 茁，1 t 日，( h 1 1 ) 0 ，；( h 1 2 ) zo f i ，j ；蕴含z ，成立 性质2 1 1 若 厶ja 埘是超b c i - 代数的一族超b c i - 理想，则n 厶ia a ) 是超b c i 一理想 证明设，= n 厶ia 埘，显然0 ，假设zo i , y i ，那么zo 厶且 | ，厶，a a ，从( h 1 2 ) 有z 厶号z i 定义2 1 2 设( eo ) 是超b c i - 代数，a 日，表示包含a 的所有超b f ，一理 想的交，称为由a 生成的超b c i 一理想 定理2 1 1 超b c i - 代数( 日，o ) 中a 日，设z 汀，使得 ( ( 扛0 n 1 ) oa 2 ) o ) 0 = o ) ，对某些8 l ，n 2 ，n 。a ，总有z 】，也就是说f 州2 z - ： ( ( 扛o d l ) 。n 2 ) o ) o = o ) ，对某些口l ，n 2 ，a n a ) 证明设z h 满足等式( ( 扛。口1 ) o 口2 ) o ) o 口l = o ) ，对某些口l ，n 2 ，a 。 因为0 【a 】号( ( 和on 1 ) on 2 ) o ) o 口。= o ) 【刎，由性质1 1 1 ( 6 ) 得， ( ( 0 1 2 1 ) oa 2 ) o ) o 【a 】，那么对vn ( ( 扛on 1 ) o n 2 ) o ) o 口。“ a o ( a 】兮口= 争( ( 扛o n l ) o 口2 ) o ) o 一1 ，这蕴含( ( 扛o d l ) o n 2 ) o ) o 一l 【卅，这样持续做下去， z ) 【卅，所以z 【州 定义2 1 3 设j 是超b c i - 代数日的非空子集，称，是h 的弱超b c i - 理想， 若满足对v ，h ，( m 1 ) ，( w a l 2 ) zo ”i ，y i 蕴含z i 成立 性质2 1 2 若 厶fa a ) 是超b c i - 代数的族弱超b e ，一理想，则n 厶ia a 5 西北大学硕士学位论文 是弱超b e j 一理想 证明证法同性质2 1 1 定义2 1 4 设( h ，0 ) 是超b c i 一代数，a 日，那么包含a 的最小的弱超b g ，一理 想，被称为由a 生成的弱超b c i - 理想，将其记作【a k 定理2 1 2 设( e o ) 是超b c i 一代数，a 日，若日中存在元素z ，满足以下式子 成立。 o ，1 ) 1 1 ) o ，1 ) l ， 2 2 2 ) o ，1 ，2 ) ( 见参考文献 3 6 e x a m p l e 4 7 ( 4 ) ) ，则( 日，o ) 是超b c i 一代数 为了研究超b c i 一代数的商超代数，须引入超复合运算 a b = $ i o z0 6 ；b a = zjd b o z ) 这里d ，b h 而在例3 2 1 中0 2 ，1 2 不存在 换句话说，在超b c i 一代数中不能引入超复合运算，从而不能建立超b c i - 代数的 商超代数。因此需要修改超b c i 一代数的定义，从而在其上引入超复合运算来研究超 1 0 西北大学硕士学位论文 b c i 一代数的商超代数如何来修改超b c i 一代数的定义? 在参考文献【1 2 】中，任 意b c ，一代数有 引理3 2 1 1 1 任意( 2 ，0 ) 型的代数，0 ) 是b c i 一代数，当且仅当它满足， ( i ) ( z 牛o ) 幸( 寥丰2 ) sz 木轳； ( i i ) ( z z ) y = ( z + y ) z ； ( i i i ) x s ( i v ) z + y = 0 且 z = 0 蕴含z = ”； ( v ) 0 ( 0 + ( 0 z ) ) 0 ，这里z ，y ，z y 由定义1 2 4 及引理3 2 1 ，于是有 定义3 2 1 若( e o ) 是含常数0 的超广群，将满足t ( h k l ) ；( h k 2 ) ；( h 1 3 ) ；( h k 4 ) ；( h 1 5 ) 0 0 ( 0 0 ( 0o ) 0 o $ 的超广群，称作超b c i 一代数 例3 2 2 设日= t o ，1 ，2 ) ，定义h 上的超代数运算分别如下表所示。 0 12 0 o ：1 ) o ，1 ) o ：1 1 1 ) o ，1 ) o ，l 2 2 ) l ，2 ) o ，1 ，2 ) 由定义3 2 1 知，则( h ，o ) 是超b c i - 代数又由于0 0 ( 0 0 0 ) 菇0 ，所以它不是超 b c i - 代数 性质3 2 1 若z 0 y = 缸。f ) ，则超+ b c i - 代数是b c i - 代数 证明由引理3 2 1 及定义3 2 1 可证 由性质3 2 1 可知，我们所定义的超b c i 一代数是合理的 性质3 2 2 ( eo ) 是超b c i - 代数，具有下列性质， ( 1 ) ( ao b ) o g = ( ao c ) o b ； ( 2 ) a a ； ( 3 ) 00 0o y ) y o z 西北大学硕士学位论文 ( 4 ) a c b 能推得a b ： ( s ) oo z o ) 能推得0 0 0 ( 6 ) 0 。$ o 能推得0 0 0 证明( 1 ) 显然可得 ( 2 ) 由( h 1 3 ) 可证得 ( 3 ) 由( h 1 3 ) 和( h k l ) ，0o ( zo y ) ( f o ，) o ( 。o 可) o 茁，因此0 0 ( 茁o f ) y o z ( 4 ) 设a c b ，口a ，令b = d ，由( h 1 3 ) ，b b ，d b 所以a b ( 5 ) ，( 6 ) 设0 0 z o ，也就是v a 0o z ，都有o o ；而0 0 。 o ) ，由( h 1 3 ) 和 ( h k l ) 得0 ( 0 。z ) 0 0 ( 0 0 x ) o ( 0 0 0 ) 0 0 x ，这说明0 0 0 x ，也就是：l b 0 0 x ， 满足0 b 从而由( h k 4 ) ，总有b = o 因此0 0 0 尽管超+ b c i 一代数不像超b c i - 代数具有参照文献【3 6 】那么多的性质，但是 它的优点是t 可以引入复合超运算”。，”r ，从而建立超+ b c i 一代数的商超代数 3 3 超+ b c i 一代数的左右扩张，正定对换超+ b c i - 代数 本节主要是一些基本概念及性质，是为引入超b c i - 代数的商超代数作准备 本节主要内容；首先引入了超+ b c i 一代数的左右扩张，在此基础上，进步引入了 正定对换超b c i 一代数，最后引入超b c i 一代数的闭集及其超子代数是自反的 定义3 3 1 设( h to ) 是超b c i - 代数，以b h ，若a b = 伽i 。o6 ) ，则称是 超b c i - 代数的右扩张；若6 a = z la b o z ) ，则称是超+ b c i 一代数的左扩 张 在超b c i - 代数的左、右扩张中，z 口6 等价于a z o b ，x - b a 等价于a b o z ； 若a ，b p ( 日) ，a 口记为集合a ，b 相交非空 例3 3 。l 设日= o ，l ，2 ，定义日上的超代数运算分另q 如下表所示， 1 2 西北大学硕士学位论文 ol2 0 o ：1 ) o ，1 )1 2 1 1 o ，1 ) 2 2 1 2 2 ) 0 ，1 经验证( e o ) 是超b c i - 代数，a b ，b a 都是存在的，这里a ，b h 侧3 3 。2 在例3 3 1 中，嚣上的a , b 满足超b c i 一代数日上的左、右扩张 定义3 3 2 设( h ，o ) 是超b c i - 代数，a , b ，c ，d 日，若b a , c c t ，能推出a o d b o c ， 则称( h ，o ) 是对换超b c i - 代数进一步引进左里外律a o ( b0c ) = b 0 0 c ) ， 将满足左里外律的对换超b c i 一代数称作正定对换超b c i 一代数 本章主要研究正定对换超。b c ，一代数 例3 3 3 在例3 3 1 中，( h ，o ) 不仅满足对换性，而且满足左里外律，所以( h ，o ) 是 正定对换超b u i - 代数但是( 日，o ) 不满足结合律( n 06 ) o c = ( 10 0 ) 0 0 = 1 o ，l = 10 ( 00 0 ) = 8 0 ( b 。c ) 性质3 3 1 设( 鼠o ) 是超b c i - 代数，v a ，b ，g p ( 日) ，则 ( 1 ) ( a b ) c = ( a v ) b ； ( 2 ) ( ao 口) g = a ( o b ) ； ( 3 ) 若a 口，能推出b c ( a b ) a 和b _ _ _ a c s a ) 证明( 1 ) 设茁( a b ) c ，则z o c a b ，a 扛。c ) 0 b = 扛0 b ) o e 0 b ) , 4 g z ( a c ) b ( 2 ) 设z ( ao b ) c ，则e ( a o b ) o x = ( a o x ) o b ，( a o 。) 叫b ，z a ( c b ) ( 3 ) 设。z 8 ，则a x g a s 因为a g ，所以, 4 z # 0 ，教a z a b ，因此a z ( a b ) o x ， 从而z ( a b ) 得证b e ( a b ) , 4 同理可证若a # 0 ，能推出b c a ( s a ) 性质3 3 2 设( h io ) 是正定超+ b c i - 代数， c a ，b ，c e r ( h ) ，则 ( 1 ) a ( 口e ) = b ( a g ) ； f z ) ( b a ) v = a b oc 证明( 1 ) 设z a ( b e ) ，则b c ao 。，c bo ( ao 。) = ao ( bo z ) ， 1 3 西北大学硕士学位论文 于是bo z a c ，所以z b ( a g ) ( 2 ) 设z ( b a ) c ，则b a x o c ，a b o ( x o c ) = x o ( b o c ) ，所以z a b o c 性质3 , 3 3 设( 只。) 是对换超b c 了一代数， c a ，b ，c e p ( 日) ，则 ( a ) a o ( b c ) ao b c ；( a ) ( c b ) 0 a c bo a ； ( b ) a ( b c ) 垦ao c b ；( ) ( c b ) a b co a 证明( 8 ) 设z a v ( b c ) ，则小零b c ，由列换性，z o c a o b ：z a o b c ，同 理可证( 口) ( b ) 设z a ( b c ) ，则z o ( b c ) a ，$ a b c a o c b 同理可证( ) 。 由对换性，a o c x o b ，z 定义3 3 3 设( 目o ) 是超b c i - 代数，是日的子集，若a , b e k ，能推出a b c k 和叭a c _ k ，则称集合是日的闭集， 显然若x 是闭集，当且仅当k k c k 和k k c _ k 性质3 s 4 设( 只o ) 是超b c i 一代数，若耳是闭集，a ，则o o k = k o 口= k 证明设k ，验证o k = k 由性质3 3 1 ( 3 ) ，( 2 ) 及定义3 3 3 a o k k ( ao k k ) = k ( a ( k k ) ) k ( a k ) k ( k k ) 叫k ； 另方面，设善k ，由定义3 3 3 ，口b k ，从而口k 耳，z d o k ，所以k 0 0 k 同理可证k o a = k 定理3 s 1 设( eo ) 是超b c - 代数，若耳是闭集，口，则 a k = 彰8 = k = k k = a g 证明因为k i k c _ k 和k k c _ k ，所以a g k g a k 只需验证吖耳，k j 纠o 设z k ，由性质3 3 4 ，有d 茁o k 及z o d k ，可推得x a k 和x k a ， 故耳和k a 因此，口k = 叫o = k ，同理可证ka = a g = k 显然，在超b c i 一代数日中，若k 是闭的，当且仅当k k = k k = k 例3 3 4 在例3 3 1 中，k = 0 ，1 ) 是胃的闭集 任意一族闭集的交是闭的假设a 是日的一个子集，所有包含a 的闭集形成 1 4 西北大学硕士学位论文 的交集仍然是闭集且包含a 表示包含a 的最小闭集事实上，在任意的超 b c i 一代数中。若m 和| 是闭的，那么m n 及 也是闭的有时为 了书写方便，将 记作 ，这里注意到，对于任意超+ b c i - 代数 日，若是闭的，m 且m 在中是闭的，那么肘在日中是闭的 定义3 3 4 设( e o ) 是超。b c i - 代数，是目的超子代数，若口h ，a n = 口， 则称是自反的 显然，若是自反的，则a n = n a ，这里a p + ( ) 例3 3 5 在例3 3 1 中，显然k = o ，1 1 是日的超子代数，且口h ，b = r 口，故 是自反的 3 4 超+ b c i 一代数的陪集及其商超代数 现在开始，我们来研究超b c i 一代数的商超代数首先给出模等价这一概 念，利用模等价建立超b c i 一代数的陪集在此基础上，得到正定对换超日g ，一 代数的商超代数，并对商超代数及其性质做了研究 定义3 4 1 设( eo ) 是正定对换超b c i - 代数，口，b e h ，n 是非空白反闭集，n c h ， 若a o n n o b 成立，则称d 与b 是模等价的。记为n 6 定理3 ，4 1 模等价是等价关系， 证明( 1 ) 因为是非空白反闭集，则a n = n a ，由对换性，a o n n o a ， 则模等价是自反的 ( 2 )8 0 n n 0 b 辛n o n n n o6 n ， 叭n = 6 ( ) = ( 6 ) = n ( n b ) = n 0 6 n a o r = a ( n n ) = a n = 口 由对换性，b o n n 0 4 ，所以模等价是对称的 ( 3 ) 若ao n n ob ，b 0 n noc ，由于0 0 n nob ，于是ao n0b n ， 由( 2 ) 口n06 n ，因为是自反的，a n = r 口nob n ，由对换性， n o6 n0 8 ；再次化简80 n n n0 6 n = n ( n b ) = ( 酞n ) = b u ，从而 】5 西北大学硕士学位论文 b n a o n n = a o n ，由对换挂及里夕卜律b o n n o ( a o n ) = a o ( n o n ) = a o n 现在讨论传递性no n n ob 能推得n 。b n0a ，从而b 0 口 6 0 n n 0 c 能推得6 0 n c o n ，从而b c o a y 于是n n o a c o ，由对换性 n o ( c o n ) ( n o a ) o n ，再结合左里外律c o ( n o n ) = c o n ( n o n ) o a = n o a 从而c o n n o a ，由( 2 ) ，a o n n o c 所以模等价是传递的 由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，所以模n 等价是等价关系 例3 4 1 在例3 3 1 中，n = o ，1 ) ，a o n n o b 成立，显然a 与b 是模n 等价的 定义3 4 2 设( h ，0 ) 是正定对换超b c i - 代数，a q i t ，n 是日的非空自反闭集，称 元素口模的等价类是的陪集记为a n 定理3 4 2 设( e0 ) 是正定对换超b c i - 代数，a e h ，n 是日的非空自反闭集，则 a 。v = n o a n = n | ( n a ) = n a o n 证明若z 口，则x o n n o a ，有x n o a n ，所以a l v = n o a n 接下来l ( g a ) noa n ( ( 。a n ) ) n ( n o 0 d ) = ( n 0 口) = ( o o r ) = ( ( o ) ) = ( ( 叭) ) ( n ) = f n a ) n = n ( n 口) 因此n 0a n = n ( n a ) 同理可证n r = n a o n 定理3 4 3 在正定对换超+ b c i 一代数中，若是日的非空自反闭集，则口等 价于a l , t = n 证明设口，由性质3 3 4 ，a n = n o a n = n = ；反之，a a l i r ，a n = n ，显然有 n n ， 定义3 4 3 设( 风0 ) 是正定对换超b c i - 代数，是非空自反闭集，h ：n = a ni 口日) 定义t a n 0 7 b n = x n x e a n o b n ，则称( 日：，0 7 ) 是商超集 定义3 4 4 设( e 0 ) 是正定对换超b c i - 代数，是非空白反闭集，蛳，b n h ：n ， 若a n o b n c _ ( a o b ) n ，则称是正则的 若是正则的，那么a n o 。h = x n l x e a o b 以下验证， 1 6 西北大学硕士学位论文 因为是正则的，由定义3 4 4 ，对vz a n o b n3 c 口0b ，使得z c n ( a o b ) n 辛x n = c n ( a n o d n ) n = ob ) n 因此a n o b n = x ；v l x e a o b 定理3 4 4 设( h 0 ) 是正定对换超b c i - 代数，是正则自反闭集，( h ：o ) 是商超集，则( h ：n ，o ) 是超+ b c i 一代数 证明( 1 ) ( a no c r ) o ( b no c ) = z jz 口oc ，o 暑， r i 掣b o c = u( x n0 7 聊) =u 甜lz z 。) z e a o c ，v e 岫cz e a o c ，y e b t , c = 钳i ；( 口oc ) 0 ( b 0c ) ) a no 6 = 靠i n o6 ) 由( h k i ) ，( 口0c ) 0 ( b 0c ) d 0 以也就是 v z ( a oc ) o ( b oc ) ，j 歹aob ，使得z z s 静0 z 0 7 相应地 v z n ( a n o pc n ) o t ( 6 o c ) ，j 葫( a no ) ， ( 柳o 靠) = f i f ；o ) o n z n o t 右铮z n 靠 于是( a n o ic n ) o ( b no c n ) 蛳0 7 6 ( 2 ) ( n o b n ) o c r = i 王口o6 ) o ，c n = 暑， r l ( 口0 6 ) oc = 妒 r i 暮，( 口oc ) o6 = 靠n oc ) o b n = ( a no c n ) o 6 ( 3 ) ( a no a n ) = z j z 口。口 由( h 1 3 ) ，a 口停0 口o a o n a no so ，因此口n _ ( 4 ) 验证；若a n b j r 且6 口能推出a = b n 要验证a n = h ，即口一b 由定义3 4 1 ，也就是ao n n o b 用反证法，假设蛳b n ，也就是o b 由定义3 4 1 ，no n 必n ob ，由定理3 4 1 证 明( 2 ) 知口o n z n 0b 等价于a n 6 n ，所以d0 n 乒n ob 等价于a n 乒6 n 而a o 口，b o b n 注意到a o = ( x l o ao z 和b o = y l o b 0 计，从而 o a o ，b b o 由于a n 乒b n ，所以a o 乒b o 于是b 隹a o 而b 隹a o ，可推得 1 7 西北大学硕士学位论文 0 隹n o b 从而0 芒a o b n 同理可推得o , v 6 o a n 这与a n 76 且6 7a n 相矛盾所以由口6 且6 口能推