（应用数学专业论文）有交易费用期权定价研究.pdf

硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 摘要 期权是一种基本的金融衍生产品，自它在金融市场中出现，其定价理论及定价 方法一直备受关注。经典的b s 期权定价公式虽然具有重大的应用价值，但不适用 于有交易费用的情形。在现代金融学研究中，有交易费用期权定价问题的研究主要 使用无套利原理和效用函数方法。 在离散时间模型中，问题相对简单，即把头寸调整复制的时间限定在相等的时 间间隔上，从而得到欧式看涨期权的定价公式。可以发现此时所得期权定价公式与 b s 公式形式上很相近，只是波动率有所调整。以此为基础，我们选取了一些重要 的风险管理参数，进一步分析了它们的经济意义。此外，我们通过建立调整后的波 动率与股票波动率之间的关系，找到了有交易费用的期权定价公式与b s 公式之间 的联系，即只要将头寸调整时间间隔控制在某一特定值上，b s 公式所提供的避险 组合还是可以运用的，只是避险操作的灵活性大大减弱。之后，我们还进一步考虑 了复杂交易费用的情形，即交易费用是股票交易份数和股票价格的函数。 在现代金融学研究中，常用效用函数来描述风险优先，大量研究成果已经证实 了基于效用理论的研究方法，是采用对冲方法研究有交易费用期权定价的最佳方 法。我们使用d a v i s 的最优有价证券框架，利用投资者进行期权交易的边际获利与 最优交易策略之间的关系，推导出一种对有交易费用的欧式期权有效的计算公式。 这种方法称为期权均衡定价法，它使我们摆脱了解决大量复杂的优化问题的困扰。 之后，我们以线性效用函数为例，利用其具有“在无风险资产中，使用这种效用函 数的投资者的最优交易策略独立于财富持有 的特点，推导出价值函数h ( f ，s ，y ) 在 购买、出售和不交易区域内的表达式以及最优证券组合策略。对于指数效用函数， 我们进一步使用马尔科夫链逼近连续时间单一随机变量最优控制问题，计算出期权 价格。可以发现对于每一种标的股票，即使是在交易费用很大的情况下，使用期权 均衡定价方法可以得到唯一的期权价格，并且这个价格可以落在一个很窄的有界区 域内。 关键词：期权定价；交易费用；效用最大化；最优证券策略 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t 0 p t i o ni s a 虹n do fb a s i cf i n a j l c i a jd e r i v a t i v e s ，w h e ni t 印p e a r e di nt 1 1 ef m a n c i a l m a r k e t s ，o p t i o np r i c i n gt h e o r ) ra n dm e m o dh a v eb e c 锄eh o ti s s u e s t h ec e l e b r a t e db s o p t i o np r i c i n gm e t h o d o l o g yi s n o ts u i t a b l ef o ro p t i o np r i c i n gw i t h 乜a j l s a c t i o nc o s t s ， t 1 1 0 u g hi th a sm a i l ys i g i l i f i c a n ta p p l i c a t i o ni i lp r i c i i l gf i n a n c i a ld e r i v a t i v e s t h e r ea r e 似，0 m a j nm e m o d sf o ro p t i o np r i c i n g 淅m 仃 m s a c t i o nc o s t s ：1 1 0 一砷i t r a g ep r i n c i p l ea 1 1 dm e u t i l i 哆6 m c t i o nm e m o d a p p l ya d j u s t m gr e p l i c a t i n gt i m ei i lt 1 1 ee q u mt i m ei n t e r v 2 l 1t od i s c r e t et 沛em o d e l ，w e g e to p t i o np r i c i i l gf o 咖u l ao fe m o p e a nc a l lo p t i o n y b uc a ns e e ，t h en e wo p t i o np d c i n g f o m u l ai sl o o l ( sl i k eb - sf o 肌u 1 如e x c e p tf o rv o l a t i l 咄n e nw ec o n s i d e ra b o u ts o m e e c o n o 面cs i g m f i c a t i o no fr i s km a n a g e m e n tp a r a i i l e t e r s f 1 _ l n h e 肌o r e ，b ye s t a b l i s 场n gt h e r e l a t i o n s k p sb 印e e nt h ea d j u s t e dv o l a t i l i t ) ，a n dt h es t o c k sv o l a t i l i 吼w ec a nf i n d 1 a t t h e r ea r es o m er e l a t i o n s k p sb e “e e no p t i o np r i c i l l g 州m 臼m 1 s a c t i o nc o s t sa i l db s f o 咖u l 丸f i xm et i 】 i l ei n t e a lo n as p e c i f i cv 引u e ，b - sf 0 衄u l ap r o v i d e sh e d g i n g p o r t f o l i oc a i ls t i ub eu s e d ，o r d yt h en e x i b i l i t ) ro fh e d g i i l go p e r a t i o ni s 、v e a k a tl a s t w e a l s oc o n s i d e rt l l es i t u a t i o no fc o m p l i c a t e dt r a n s a c t i o nc o s t s i i lm o d e m f i n a i l c e ，u t i l i 锣如n c t i o nc o m m o m yb eu s e dt od e s c r i b et 王l er i s kp r i o r i t ) ，a 1 0 to fr e s e a r c hh a sc o l l f i m e dt l l a th e d g i i l gi sm eb e s tw a yt os t l l d yo f o p t i o np r i c i n g 埘t l l 吣a c t i o nc o s t s ，w 1 1 i c hi sb a s e do nu t i l i t ) rm e o r y a ne 伍c i e ma 】g o r i t h mi sd e v e l o p e dt o p r i c ee u r o p e a no p t i o n si 1 1 t l l e p r e s e n c eo fp r o p o r t i o n a l 缸a i l s a c t i o nc o s t s ，u s i i l gt 1 1 e o p t i m a lp o r t f b l i o 丘锄e w o r ko fd a v i sa i l dt l l er e l a t i o n s l l i p sb e 似e e nm a r g i l l a lp r o f i to f o p t i o n s 仃a d i l l ga n dt l l eo p t i r n i z a t i o np o r t f 0 l i os 1 矗l t e g y i ti sc a l l e db a l a n c e do p t i o n p r i c i n gm e t h o d ，洫w h j c hw en e e 血tt 0s o l v em o r ec o m p l e xo p t i r i d z a t i o np r o b l e m s w i t l l t 1 1 el i l l e a rm i l i 饥t h e o p t i m 2 l 1p o n ：f o l i ot l l r o u g ht i m ei si i l d e p e n d e n to ft l l e 、w a l t l lh e l di i l t l l eb o n d t h e nw ec a l lg e tt h ee x p r e s s i o n so fv a l u ef 血c t i o n 日( ，s ，y ) i 1 1t i l eb u y s e l la n dn tr e g i o l l sa n dt 1 1 eo p t i m a lp o r t f o l i o 蛐g 乒o p t i o np r i c e sa r ec o m p u t e d n u m e r i c a l l yu s i n gam a r k o vc h a i na p p r o x i m a t i o nt o t l l ec o n t i n u o u st i m es i n g u l a r s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r 0 ip r o b l e m ，f o rm ec a l s eo fe x p o n e n t i a ju t i l i 吼t h em e t h o dr e s 山t s i i lau 1 1 i q u e l ys p e c i f i e do p t i o np r i c ef o re v e d ri 1 1 i t i a lh o l d i n go fs t o c k ，a n dt h ep r i c el i e s 谢m i nb o u n d sw k c ha r et i 曲te v e n 缎t r a n s a c t i o nc o s t sb e c o m el a r g e k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i l l g ；胁a c t i o nc o s t s ；u t i l 毋m a x j 】 1 1 i z a t i o n ；o p t h l l a l p o r t f o l i os t r a t e g y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：玉菁 日期：沙孑年岁月艿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：王捧 日期：州年s 月艿日 导师签名： t 时刻投资者财富的总价 值是彬；m ( ) 。彬； y ( “) 由剐( “) 的现金和z ；剐( “) 份股票组成，其中股票在甜 时刻的价格为蚴，故有 形； y ( 甜) = x 冬 ，( 甜) + r y ( “) s ( “) ( 1 ) 投资者的目标就是到t 时刻，期望效用达最大值。这里假设投资者的投资过程是自 融资过程，记投资者的最大期望效用为 矿( f ，s ，工，j ，) = s u pe ， u ( 形，孓，y ( r ) ) 】， ( 2 ) 其中e 表示f 时刻的条件期望。从经济意义上讲，关于效用函数u 的假设很好理解， 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 且显然当x 一时，若最优投资组合存在，边际效用必然递减到0 ，否则，若u ( 动 o ， 则上述最优化问题无解。( 2 ) 式中的求上确界受到了一系列相容性条件的约束，特 别是在带有适当的交易费用的市场中，但是在此条件下是可以达到的。 3 2 存在期权交易的投资者效用 考虑一个有期权交易的模型，假设初始资金中有少量资金投资到欧式期权市场， r 时刻期权费是一非负随机变量c j 鼠功。如果f 时刻一份期权的价格为p ，且有7 7 的 现金投资到期权市场，定义 y ( 口( f ，s ，工一珂，y 刀，p ) = s u p 巨眇( 彬；， ( 乃+ 弓c ( s 仃) ) ) 】 ( 3 ) 上标d 表示标的资产在丁时刻有期权交易。价值公式( 3 ) 用来计算原始资金为工一，7 的情况，x 一刁表示交易( 叩 0 表示购买，7 o ) 或出售( 田 o ，对于有交易费用的情况也成立。因此( 2 8 ) 式中绝对值可以去掉得到： 仃，2 = 盯2 2 m f ( 3 2 ) o t 同理，对于空头波动率调整为： 盯卸2 + 2 m ( 3 3 ) 欧式期权多头方而言，r 值始终为正，当期权处于两平状态时，r 值最大；当 期权分别向实值、虚值方向发展时，r 值逐渐减小；空头方则刚好相反，故空头方 的r 因子大小与多头方相同，只是符号始终为负陋2 m 1 。只有在整个组合中所有标的 股票的r 同号，( 2 8 ) 才是线性的，否则就会出现衍生证券组合内部相互对冲的现 象而导致非线性。这样计算衍生证券组合时需要考虑的交易成本会相应减少，使得 考虑了交易成本之后的单个衍生产品价值之和并不等于整个组合的价值。与此同 时，交易成本的规模效应也可以体现出来，即组合规模越大，相互对冲的可能性就 越大，从而交易成本大大减少。 盯。2 仃：2 即修正后的波动率空头头寸比多头头寸要大，这意味着期权空头方 通过标的股票进行复制的成本加大了，即生产成本增大。这就是说一个投资者愿意 卖出一份期权的最低价格要超过愿意购买同一期权的最高价格。当标的股票价格上 涨时，多头方需卖出部分头寸进行保值，而卖出头寸的交易成本降低了因价格上涨 带来的资本获利，即资产价格的有效增长比实际增长的要少，也就表现为波动率在 一定程度上被降低了。空头时情况则正好相反。 ( 5 ) 波动率敏感度 u = 芸= 盖( 等d ；( 仃一岳) c 或。= 署( 等一；( 仃+ 盖) ，是 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 期权价格相对标的股祟波动翠的变化翠。由于标的股票波动翠盯是期权定价公式中 最难估计的量，因此要求给出一个确切的值，几乎是不可能的。对于具体给定的盯， 考虑相应的期权价格对盯的敏感度，这就是求u 的意义。在有交易费用情况下，由 于多头和空头的波动率已发生改变，因此导致d 的值也随之发生改变。 4 1 3 求解与b - s 模型波动率一致的头寸调整时间间隔 令仃2 = 盯2 + 2 m 乡万2 求解满足此式的以值，得 耻( 嵩) 2 ， 由此可见，只要将头寸调整时间间隔控制在( 3 4 ) 式所决定的万f ，b s 公式所 提供的避险组合还是可以运用的，但却因此失去了避险操作的灵活性。 4 1 4 复杂交易费用情形 若买卖国份股票的的交易费用是旭劬d 为关于国和s 的二元函数，仿照前面的 分析可以得到期望交易费用是叫m ( 豢盯s 万，s ) 】 根据无套利原理和期望收益等于无风险利率，得到 - s ：堡盟+ 坐一竺叫釜匕竺兰吣5 ， 若投资者的期权交易费心以s f ) = m + 鸩i 叫+ 坞s + 必i 叫s ，那么期权价值满足 非线性扩散方程 圭凼2 豢+ 心纂+ 詈一，- y 一堕笋一c 鸩+ 心s ) l 警卜居= 。( 3 6 ， 2a s ia sa t6 t 、 。a s 。、6 t 此时多头波动率调整为 吖- 2 ( 争+ 一去 ， 1 7 硕士学位论炙 m a s t e r st h e s i s 4 2 连续时间下有交易费用金融市场中的最优策略 考虑一个由无风险证券和风险证券构成的证券市场模型， b ) 和s ( “) 。甜 ，明时刻，在连续时间条件下 d b ( “) = ，b ( “) d “ 它们的价格分别是 ( 3 8 ) 搬( 甜) = s ( “) 陋比+ 盯记( ”) 】 ( 3 9 ) z = z ( ”) ，0 “n 是定义在完备概率空间( q ，厂，p ) 上的一维标准布朗运动。记 f = 厂 ) ，0 “r ) 是p 群，z ( 丁) = 盯( z ( “) ：o “丁) 。假设股票无红利支付但有 交易交易费用，购买v 份价格为s 的股票，就会使原始资金减少( 1 + 五) 话，力 0 ，1 】， 元是购买股票相应的交易费用率；出售份股票会使原始资金增加( 1 一) 谬， o ，1 】是出售股票相应的交易费用率。假设期权市场是完全的，证券可以无限 细分，波动率仃己知，对于相同无风险利率的借入和借出没有限制，整个过程中没 有税收也没有对短期出售的限制。可以使用二项式去逼近上面所描述的市场模型， 计算出期权价格和套期保值策略。离散时间过程的证券和股票的价格为 b ( “) + 万b ( “) 三b ( 甜+ 砌) = e x p ( ，如) b ( 甜) ， ( 4 0 ) s ( “) + 万s ( 甜) 兰s ( 甜+ 如) = 缈s ( “) ( 4 1 ) 其中国是二项式随机变量 国= e x p ( 一嘭) 抛盯瓜】，g = 吾， ( 4 2 ) 且如是一个很小的时间间隔。 证：仅证( 4 0 ) 式，( 4 1 ) 式同理可证 由( 3 8 ) 式可以解得b ) = e “。则有 b ( “) + 万b ( “) 兰口( 甜+ 万) = e x p ( ，( 甜+ 万”) ) = e “p 7 - 占。= b ( ”) e x p ( 厂万“) 证毕。 定义( ( 甜) ，m ( “) ) 是一对右连续的非减的适应过程，其中( 甜) ( 或者m ( 甜) ) 是截 止到时间”买入( 或卖出) 的股票分数的总和。对于连续时间持有的债券，投资者 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 开始交易的起始状态是 ，s ，x ，y ) ，进而有 岔y ( “) 三d x 盎：，y ( “) = 咒r ( 甜) 幽一( 1 + 五) s ( “) 比( “) + ( 1 一) s ( ”) d m ( “) ， ( 4 3 ) 持有股票的份数遵循下面的过程 d 】，( “) 三d z 鼹，( “) = 班( “) 一d m ( ”) ， ( 4 4 ) 投资者获得的财富是 形 ) 三形毖 ) = 置鬈， ) + e 鳞y ) s ) ( 4 5 ) ( ，m ) 兰 ( ) ) ，m ( “) ，0 z f n 是投资者在金融市场中的所有交易策略的全 体，投资者在t 时达到最大的期望效用。引入一个集合矽，它定义在无期权交易的 可支付区域内 伊= ( 4 6 ) 交易策略( 厶m ) 被称为可执行策略，如果相应的持有满足可支付限制 ( s ( “) ，叉t 鬈。y ( 材) ，z 笃( “) ) 缈，v “口，丁】 ( 4 7 ) 投资者如果在f 时刻进行期权交易，那么他寻找的最大期望效用的可支付交易策 略集会发生改变。例如，投资者出售一份期权，为了使期权出售者的资产不为负， 在整个交易时间段内他至少要持有一份股票。s o n e r 等踟以及l e v e 删和s k o r o h o 7 1 的文章在这方面做了一些研究。价值函数y o ，s ，x ，y ) 和y 。( ，s ，x ，y ) 满足相同的动态 规划方程，但它们的终端边值条件不同。函数f ( ，s ，x ，y ) 满足的由y ( f ，s ，x ，y ) 得到 的动态规划公式决定的带有选择控制的循环方程。 在t 时刻y ( f ，s ，x ，y ) 的边界方程为 y ( t ，s ，x ，y ) = u ( x + 筘) ( 4 8 ) 若存在交易费用，则( 4 8 ) 式可写成 y ( t ，s ，x ，y ) = u ( x + c ( y ，s ) ) ( 4 9 ) 其中c ( j ，s ) 表示价格为s 的y 份股票的现金价值 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 咖= t o 三二淼 y 0 i i ln t( 6 0 ) 对于动态规划问题b e l l i l l a n 的最优化原则给出了在 r ，f + 厨】时间内的价值函数： y o ，s ，x ，y ) = y o + 研，s + 万s ，石+ 出，y ) i i ln t ( 6 1 ) 毛表示口，f + 衍】上的条件期望。令研j 0 ，泖万x 由( 3 9 ) 和( 4 2 ) 给出( 因为是 在不交易区域内比= 删= o ) ，应用高维乃d 公式得到 d y ( ，s ，x ，y ) = ( k + 髟万2 s 2 ) 如+ 肛圪幽+ 6 s k 幽 ( 6 2 ) 而在不交易区域内最优交易策略万卸，于是有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s d 矿= 死+ 出一死= 0 ( 6 3 ) 就能在不交易区域内推导出价值函数的心l i n i l t i o n - j a c o b i b e l l m a n 等式 k + 掰圪+ 6 s 珞+ 蟛万2 s 2 k 落= o i n n t ( 6 4 ) 这些等式可以简化为一个偏微分方程 m a x 巧一( 1 + 兄) s 圪，巧一( 1 一) s 屹，k + 麒圪+ 6 s + 万2 s 2 】= o ( 6 5 ) 如果能够进一步计算出在n t 区域内及其边界上的价值函数的值，那么最优化 问题的解就可以得到。然后通过( 5 3 ) 和( 5 5 ) 式就能计算出购买和出售区域内的 值。 对于价值函数y o ，s ，x ，y ) 来说，形式上的解是很难理解的。这一特征对于有交 易费用的模型来说更明显。对于h a r a 效用函数c o n s 觚m d e s 14 1 ，d a v i s 和n o 册a i l 1 ， d u m a u s 和l u c i a n o 以及s h r e v e 和s o n e r 5 5 1 都找到了价值函数的一种分析形式的解。 然而，对于有限区间的问题，能够直接推导出一种数值的动态规划法则以求得期权 的价格和套期保值策略。 使用( 5 3 ) 、( 5 5 ) 和( 6 1 ) ，应用相应的优化交易策略去扩充它们以得到一种向 后循环的动态规划法则。假设根据( 4 0 ) 一( 4 2 ) 式股票和风险证券的价格都扩展到离 散时间上，离散时间的动态规划方程是 y ( f ，s ，x ，y ) = 罂冬苍【y ( f + 研，s ，r ( x s ( 1 + 兄) 万) ，y + 万三) ， 0 上，o m e q + 6 t ，s ，融，们， 瓦矿( f + 疣，缈s ，r ( x + s ( 1 一) 万m ) ，y 一万m ) 】， ( 6 6 ) 证：由( 5 3 ) 、( 5 5 ) 、( 6 1 ) 式得到 y o ，s ，x ，j ，) = 粤骚 y p + 研，s + 万s ，( x s ( 1 + 五) 万三) + 万( 石一s ( 1 + 五) 万) ，y + 万) ， d 厶o m e 5 l v q + 6 t ，s + 6 s ，x + 6 x ，协， 瓦矿o + 田，s + 万s ，( x + s ( 1 一) 万m ) + 万( x + s ( 1 一) 肌) ，j ，一艿m ) 】， 将( 4 0 h 4 2 ) 带入得到 y ( ，s ，x ，j ，) = 粤登【瓦矿o + 研，缈s ，r ( x s ( 1 + 兄) 万三) ，y + 万三) ， 口l 口m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s e 6 y q + 6 t ，s ，l h ，) 心， 毛y ( f + 田，缈s ，尺( x + s ( 1 一) 万m ) ，y 一跏) 】， 其中r = 唧( ，研) ，特别地，当最大值在第l ，2 ，3 项达到说明状态( f ，s ，x ，y ) 位于 购买、不交易或出售区域内。 ( 6 6 ) 式表明价值函数魄s 焉力通过比较以下三种情况发生的可能性表示与时间 f 相对应的f + 断时刻的值：( a ) 购买砚份股票且允许股票流通；( b ) 不进行任何 交易但允许股票流通：( c ) 出售跗份股票且允许股票流通。 这个演算法则是利用马尔科夫链方法解决连续时间控制问题的数学解的一个很 好的例子，k - u s h i l e r 是这方面研究的先驱；来回顾一下k u s l l i l e r h 2 1 在这方面的研究工 作。状态变数和状态调节是可以通过离散时间、离散状态的马尔科夫链逼近的，使 用这种方法解决离散时间的问题就集中在解决连续时间问题上了。沿用k u s l u l e r 和 m 砒缸h 3 3 的方法，这里应用的是单一控制问题。对于最优证券问题的研究重要的证 明主要集中在由离散时间到连续时间的转换问题上，这一问题d a v i s 业羽已经补充完 整了。他证明了价值函数y ( f ，s ，x ，y ) 是方程( 6 5 ) 的一个粘连解。 2 4 硕士学位论文 m a s t e r s 。r h e s i s 第五章特殊效用函数的期权价格与套期保值策略 形为 m ) = 孚( 嚣+ 6 ) ，6 吣 0 ，口是风险厌恶参数为常数。 的效用函数称为双曲绝对风险厌恶( h y p e r b o l i ca b s o l m er i s ka v e r s i o n ，h a r a ) 类效用 函数。其特点在于风险厌恶度量彳u ( 国) ：一旦掣满足 u ( 国) 枷，2 去2 专+ 尝 这是一个线性函数，因而h a r a 类函数也经常被称为线性风险容忍( 1 i n e a rr i s k t o l e r a u 撇，l i 盯) 类函数。这类函数的特点为其风险厌恶程度的绝对值随着缈的绝对 值增大而减少，其经济学意义为：原始持有越多对风险越不在乎。但是其符号还取 决于7 1 ；前者对应“原始持有越多越不怕风险”；后者对应“原始持有越 多越不想冒险”。由于这里为保证幂函数有定义，还有一个约束条件： 6 + 口( 1 7 ) 0 ，这使得对y 1 有上界。因此，如果允许取 负值，后一句话对极限情况来说应该是“赔得越多就越不在乎风险 。 h a r a 效用函数类是相当广的函数类，它适用于许多金融问题的讨论。 u ) = 口缈，这是风险中性情形。y = 2 是二次函数情形。当6 = 1 ，令 y 寸棚，u ( 缈) j p 吨，称为指数效用函数。u ( 国) = 1 0 9 国是对数效用函数，也可以 看做h a r a 函数的一种，这是因为l o g = l i m ，+ 。( 国7 一1 ) 厂。因此在某种意义下， 可以看作7 = o 的h a r a 函数，其相对风险函数r = l 。其中指数效用函数和对数效 用函数分别满足两种不同的边际效用情形。前者符合允许负资产情形，后者满足不 允许负资产情形。即指数效用函数满足v 见u ( 缈) 一且 u ( 一) = l i m 。u ( 国) ：；对数效用函数满足条件：当 o 时，u ( ) 一且u ( o ) ：l i m 。- + 。u ( 国) ：。其经济学意义是，当财富趋 近于其下界时，边际效用自然趋于o o 。 5 1 线性效用函数 u ) = 口称为线性效用函数，在无风险资产中使用这种效用函数的投资者的 最优交易策略独立于财富持有呻3 。由( 1 ) 、( 2 ) 式得 y o ，s ，x ，y ) = s u pe 。 u ( 形； y ( 丁) ) 】= e 【u ( 形 ，( 丁) ) 】 宰 木 幸 = 巨【u 一( d + 一j ( 乃s ( n ) 】- 巨陋剐( d + z ；，j ( 乃s ( d ) 】 木幸 = 口巨【y 鑫 y ( 丁) + r ： y ( 丁) s ( 丁) 】= 口( e 【 ，( r ) 】+ 巨 z ； y ( r ) s ( r ) 】) 掌 = 口x e 7 r 叫+ 口巨【r ；，j r ( 丁) s ( 丁) 】 ( 6 7 ) 令x = 0 则有 木 y ( ，s ，o ，y ) = 口巨 r ；，o ，y ( 丁) s ( 丁) 】 ( 6 8 ) 另一方面 鼻 矿( ，s ，o ，) ，) = s u p 巨 u ( 彬；，o ，( 丁) ) 】= e ( 形；o y 仃) ) 】 ：巨【u ( o + r ； ，( 丁) s ( 丁) ) 】：口巨【z 姜，y ( 丁) s ( 丁) 】 ( 6 9 ) 由于是线性效用函数，故在整个时间段上债券中最优证券组合与原始财富持有 是相互独立的，可以得到矿：。 定义：日( f ，s ，y ) ：= y ( f ，s ，0 ，y ) ， ( 7 0 ) 则有 y o ，s ，x ，y ) = h o ，s ，y ) + 口朋7 7 叫) ( 7 1 ) 这种在维数上的简化结果表明离散动态规划公式( 6 6 ) 可以简化为 h ( f ，s ，y ) = 粤磐 日o + 衍，国s ，y + 万上) 一口s ( 1 + 五) 万三( f ) ， o l d m e s l h q + 6 t ，s ，如， ( ，+ 田，缈s ，y 一跏) + 口s ( 1 一) 跏( ，) 】， ( 7 2 ) 2 f ； 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中( f ) = e x p ( r ( 丁一f ) ) 。 证明：当x = 0 时由( 6 6 ) 可得 y ( f ，s ，o ，y ) = 日o ，s ，y ) 2 滕 y ( h 衍，笳，一船( 1 + 允) 以，y + 乩) ，岛瞰+ 衍，笳，o ，y ) ， e 5 y q + 6 t ，s ，r s q 一6 m ，y 一6 m 将( 7 1 ) 带入 h ( f ，s ，y ) 2 理跷【( 日o + 研，国s ，y + 万三) 一口尼s ( 1 + 兄) 万三。e 7 卜) ， e 5 t h q + 6 l ，国s ，们， 如( h ( f + 所，缈s ，y 一蹦) + 口船( 1 一) 万m p 7 r 叫) 】， 2 嬲 如日( h 所，国s ，y + 万三) 一口s ( 1 + 兄) 万三( f ) ， e s l h q + 6 t ，s ，们， e 二日( f + 研，s ，y 一万m ) + 口s ( 1 一) 跏( f ) 】 对于线性效用函数来说，不交易区域的边界变成了关于f 和s 的函数，记它们分 别为( f ，s ) 和儿( f ，s ) 且( r ，s ) 儿( ，s ) ，当且仅当兄= = 0 。 万三和踟的最优值万f 和万m 幸满足 幂 y + 万。= 儿o ，s ) 且万m 。= 0 i f y 蚝( f ，s ) 将( 7 3 ) 、( 7 1 ) 式带入( 5 3 ) 、( 5 5 ) 、( 6 1 ) 式，可以得到日( f ，s ，j ，) 在购买、出售 与不交易区域内的表达式。 当j ， 儿( r ，s ) 时 胃o ，s ，y ) = 日o ，s ，j ，o ，s ) ) + 口s ( 1 一) ( j ，一y ，( f ，s ) ) ( f ) 当( f ，s ) y 只( f ，s ) 时 日o ，s ，j ，) = 如日o + 万f ，国s ，y ) 证：当y 儿( r ，s ) 时，由( 5 0 ) 式 日o ，墨j ，) = y o ，s ，0 ，y ) = y 0 ，s ，0 + s ( 1 一) 万 以y 一万a o 特别地，当万m ：j m 宰时也成立 日( f ，s ，y ) = y 0 ，s ，s ( 1 一) 万m ，y 一万m ) = 日 ，s ，y 一万m 。) + 口s ( 1 一) 万r p 7 r 一7 = 日( f ，s ，y ，o ，s ) ) + 口s ( 1 一) ( y y ，( r ，s ) ) ( f ) 当0 ，s ) y 儿( f ，s ) 时 日0 ，s ，y ) 2 震翳【瓦日o + 毋，国s ，y + 万j ，) 一口s ( 1 + 允) 万( f ) ， e 5 l h q + 6 t ，s ，协， ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 岛日o + 研，国s ，j ，一万m ) + 口s ( 1 一) 万三o ) ， 特别地对于万= 万，万m = 万m 1 。也成立，由( 7 3 ) 知万三。= 万m 。= o 生掌掌 日( f ，s ，y ) = m a x 何 + 研，缈s ，y ) 】 在线性效用函数条件下，等式( 7 4 ) 一( 7 6 ) 给出了价值函数日( f ，s ，少) 分别在 购买、不交易和出售区域内的表达式，同时还得到了日( f ，s ，y ) 在见( f ，s ) 和只( ，s ) 区 域内以及边界上的表达式和这两个边界的具体位置。 5 2 指数效用函数 u ) = 一e x p ( 一口缈) 是指数效用函数，它与线性效用函数具有相同的性质，可以 由上面的方法得到价值函数日( f ，s ，y ) 分别在购买、不交易和出售区域内的表达式， 以及o ，s ) 和只0 ，s ) 的具体位置。 矿o ，s ，x ，y ) = h ( f ，s ，y ) e x p ( 一口z p r 叫) ( 7 7 ) 离散动态规划公式( 6 6 ) 可以简化为 日0 ，s ，y ) = ! p 鹫【月( f + 研，国s ，y + 万三) e x p ( c z s ( 1 + a ) 万三o ) ) ， d l d 肘 e 5 l h q + 6 t ，s ，讼， j 7 ( f + 衍，国s ，y 一万m ) e x p ( 一口s ( 1 一) 艿 ，( f ) ) 】， ( 7 8 ) 对于指数效用函数来说，不交易区域的边界也是关于f 和s 的函数，记它们分别 为( ，s ) 和见( r ，s ) 且蚝o ，s ) 儿o ，s ) ，当且仅当五= = 0 。 万和万m 的最优值万f 和万m 木则( 7 3 ) 式仍成立。 当y 虬( f ，s ) 时 o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 日o ，s ，y ) = h o ，s ，儿0 ，s ) ) e x p ( 一口s ( 1 一) ( y y ，o ，s ) ) o ) ) ( 8 0 ) 当此o ，s ) y 儿0 ，s ) 时 日( f ，s ，y ) = 毛日o + 衍，缈s ，j ，) ( 8 1 ) 现在分析一下价值函数h ( 丁一所，s ，y ) 和不交易区域的边界此( 丁一研，s ) 和 y s q 一6 t ，s 、) o 当y 雎( r 一所，s ) 时， h ( r 一所，s ，y ) 2 曝铲 日( 丁，缈s ，y 一万m ) e x p ( 一口船( 1 一) 万m ) 】i i ls e l l ( 8 3 ) 当弘( r 一研，s ) y ( 丁一所，s ) 时， 日( 丁一所，s ，j ，) = 瓯h ( 丁，缈s ，y ) i nn t 其中r = e x p ( ，研) ，日( 丁，s ，y ) = 一e x p ( 口芦) 。 ( 8 4 ) 证明：仅证( 8 2 ) 式另两个同理可得，由( 7 8 ) 式可得 日o ，s ，y ) = 熙【瓯日o + 研，国s ，y + 万三) e x p ( 口s ( 1 + 五) 万o ) ) ， 口l 口m e 5 t h q + 6 t ，s ，坊， 如月。o + 所，s ，y 一万 彳) e x p ( 一口s ( 1 一) 们m o ) ) 】， 可以得到 日( 丁一所，s ，j ，) = 9 1 鹫【毛日( ( 丁一研) + 万f ，国s ，y + 万三) e x p ( 口s ( 1 + 五) 万三e x p ( ，( 丁一( r 一所) ) ) ， d l o i e 5 l h 心一6 n + 6 t ，s ，y 1 ， 如日( ( 丁一所) + 所，缈s ，y 一万m ) e x p ( 一口s ( 1 一) 万 彳e x p ( 厂( 丁一( 丁一所) ) ) 】， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由于是在购买区域内因此删= o 日( r 一所，s ，y ) = n 舻【日( 丁，缈s ，j ，+ 万三) e x p s ( 1 + 五) 万三e x p ( ，研) ) 】 h l b u y 证毕a 令上式为。经过计算，最优股票购买份数记为万，则有 y + 万 们础= 赤l o g ( 涨) ， ( 8 5 ) 其中q ，是( 3 7 ) 式给出的二项式随机变量国的两个可行的值( q _ 1 2 ) 虚概率 吼：坐盟 ( 8 6 ) 一 将占，的表达式带入( 6 5 ) 式则有下面等式成立 h ( 丁一万f ，s ，j ，) ：一e x p ( 一口地s ( 1 + 五) ) ( 旦) 叽( 二旦) l 一“) ，i nb u y ( 8 7 ) 同理在出售区域内最优的出售份数为万m 则 y 一三们吨耻赤l o g ( 涨) ， ( 8 8 ) 其中虚概率 口：塑二丝! 二丝 ( 8 9 ) q 一 于是价值函数在出售区域内的表达式可以写成 日( 丁一所，s ，y ) = 一e x p ( 一口y 船( 1 一) ) ( 旦) 叮( 二旦) 卜乳) ，i 1 1s e l l ( 9 0 ) 最后，在不交易区域内 日( r 一所，s ，) ，) = 一 口e x p ( 一口地s q ，) + ( 1 一g ) e x p ( 一口芦国d ) 】，i i l n t ( 9 1 ) 5 3 分层比较法寻找不交易区域边界 这里做一些简单的假设：投资者持有的股票的价格用二叉树模型描绘得到；取 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 状态空间参量y 足够大，使任何股票价格二叉树上的价格都有意义，记其离散增量 为 ，；并且对于v ( f ，s ) ，o ，s ) 和儿( ，s ) 必须落在股票价格二叉树结点上。这一点 可以通过分析不交易区域在r 一研时刻的边界的推究中得到，并且与r 一田之前的任 何时间相比，此时不交易区域的宽度是最大的。下面具体介绍这种方法的过程： ( 1 ) 假设在h 研时刻，所有股价二叉树上的价格的价值函数，以及y 在离散向量 上的值都已知。以结点o ，s ) 为例，从股票价格二叉树，时刻的结点中找出j ，值 最小的结点，作为始点。利用最优化操作公式( 7 8 ) 式比较第一项和的二项 的大小，y 的增量是 一直到后者大于等于前者为止，此时得到的这个值记 为少，令y 6 = ( f ，s ) ，就是结点0 ，s ) 的不交易区域与购买区域的边界。 ( 2 ) 继续上面的工作，运用最优化操作公式( 7 8 ) 式来比较第二项与第三项的大 小，y 的增量仍是矗。，直到后者大于等于前者为止，此时得到的值记为少， 令y 5 = 咒( f ，s ) ，就是结点o ，s ) 的不交易区域与出售区域的边界。 ( 3 ) 结点( ，s ) 的不交易区域的边界值已确定，对于所有不交易区