（运筹学与控制论专业论文）凸体包含测度的上下界.pdf

摘要 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的现代几何学的分支本文研究了凸 体几何中的完全不等式系统、几何断层学和包含测度中的三个问题，全文共分为四 个章节 在第一章我们i 可顾了关于凸体几何学研究的发展过程，以及该学科在国内、外 目前的发展状况 第二章中给出了“完全不等式系统”同题中尚未解决的两种情形即，凡) ，巾，劢 之间的不等式关系：在给定外径r 和内径，的条件下，得到了凸集面积a 和周长p 的下界，并证明了不等式取等号时的凸集是双帽体 第三章讨论了几何断层学中j ab a r k e r 和dgl a r m a n 提出的一个著名问题的 推广形式：设i k ”，”2 ，同f 中任何一个包台光滑凸体r 在其内部的凸体k 能否被其内含凸体的k 截面函数唯一确定? 通过引入“内含凸体截面函数这个概 念，我们得到了平面上的两个不同的多胞形具有不同的内含凸体截面函数的结论， 并且，当内含的凸体f = s 肛。是球面时，给出了多胞彤的重构。另，我们还讨论了 在高维情形下的结果 第四章，我们通过利用混合体积的方法，对集合c ( 丘l ，x ) = 忸f ：x + 址 叫 20 的性质进行了讨论，得到了凸体包含测度( j n c l u r l o m e a s u r e ) 的上、下界 关键词：凸体；等周不等式；完全不等式系统；内含凸体截面函数；包含测度 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sam o r d e ng e o m e t r yb r a n c hw h i c hf o c u s e so nt h ec o u v e xb o d ya n ds t a r b o d y t h i sa r t i c l es t u d i e d3p r o b l e m si nt h ec o m p l e t ei n e q u a l i t e ss y s t e m s ，g e o m e t r i ct o m o g r a p h y a n di n c l u s i o nm e a s u r e t h ea r t i c l ew a ss e p e m t e di n t o4s e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w er e v i e w e dt h ed e v e l o p m e n tp r o g r e s so fc o n v e xg e o m e t r y , t h ep e o p l e w h oa r ef a m o u si nt h i sa r e aa n dt h er e c e n td e v e l o p m e n ti nt h e1 0 c a la n di n t e m a t i o n a ls o c i e t i e s t h e n ，w ed i s c u s s e dap r o b l e mr a i s e db yj a b a r k e ra n dd g l a r m a n ：s u p p o s e dn 2 ，1 女 n c a nt h ec o n v e xb o d yb ed e t e r m i n e db yt h es e c t i o nf u n c t i o no ft h ei n n e rs m o o t h c o n v e xb o d y ? b yu s i n gt h e “i n n e rc o n v e xs e c t i o nf u n c t i o n ”w eg e tt h er e s u l tt h a tt w od i f f e r e n t p o l y t u p e sh a sd i f f e r e n ti n n e rc o n v e xs e c t i o nf u n c t i o n a n dw h e nt h ei n n e rc o n v e xb o d yi sas p h e r e ， w eg e tt h er e c o n s t r u c t i o no f t h ep o l y t o p e w ea l s od i s c u s s e dt h es i t u a t i o ni nt h eh i g h e rd i m e n s i o n i nt h ef o r t hs e c t i o n ，w ei n t r o d u c e dt h ei n t e r s e c t i o no ft h eh a l f s p a c e sc ( k ，l ，x ) = x ： x + u k 九0c o m b i n i n g w i t h t h e i n t e g r a l t r a n s f o r m a t i o na n d p r o p e r t i e so f m i n k o w s k i m i x e d v o l u m e ，w eo b t a i n e dac o u p l eo f u p p e rb o u n da n dl o w e rb o u n d k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y ；p e r i m e t e ri n e q u a l i t y ；c o m p l e t ei n e q u a l i t i e ss y s t e m ；i a n e rc o n v e x s e c t i o nf u n c t i o n ；i n c l u s i o nm e a s u r e l ：海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名f 垫兰遂日期：生：立： ， 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：1 互丕选导师签名： 日期：以护 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的几何学分支，它以微分几何、泛函 分析、偏微分方程和拓扑学为基础的现代几何分析中一个重要的研究领域著名数 学家陈省身教授在祝贺我国自然科学基金设立1 0 周年的讲话- 中指出：“凸体几何 是一个重要而困难的方向，c 6 0 2 的研究显示了它在化学中的应用，它当然对固态物 理也有重大作用”陈先生的话充分说明了凸体几何作为- - r 基础学科的重要性 由h e r m a n n m i n k o w s k i 3 基于j s t e i n e r 和h e r m a n n b r u n n 的研究成果而建立的b r u n n m i n k o w s k i 理论是凸体几何的核心内容该理论可以视为e u c l i d 空间的两个基本内 容所构成的；向量加法( 也称为m i n k o w s k i 加法) 和体积通过这两个内容，我们获得 了重要的b m n n - m i n k o w s k i 不等式和混和体积( 定义1 35 ) 等一系列成果在获得混和 体积之后，许多其他重要的概念，如均质积分( 也成称m i n k o w s k i 泛函) ，表面积测 度和曲率测度等等，都可以视作混和体积的一个特例，从而将其他的几何学分支， 如积分几何和微分几何，有机的结合起来 在1 9 3 7 年，a da l e k s a n d r o v4 首先引入了凸体的表面积测度，从而使得凸体几 何的许多结果摆脱了“可徵陛”( d i f f e r e n t i a l a b i l i l y ) 的假设其著名的a l e s k a n d r o v - f e n c h e l 不等式，是等周不等式的一个推广，它使得凸体几何与代数几何等领域联系了起来 同时，a l e k s a n d r o v 的研究也使得混合体积理论与复变函数论结合了起来 然而，具有百年历史m i n k o w s k i 理论的拓展从未停止在b r u n n m i n k o w s k i 理论 近年发展中，投影体( p r o j e c t i o nb o a y ) 的研究结果也十分突出投影体，是支持函数 ( 定义】3 6 ) 等于另外一个凸体的亮度函数( b r i g h t n e s sf u n c t i o n ) 的中一t l 对称的凸体现 在我们考虑这样一个问题， o 讲话刊于数学进展* 2 5 卷5 期( 1 9 9 6 ) 2 r fc u r l ，j f ，res m a l l y 和h k r o t o 固此结果获得1 9 9 6 年诺贝尔化学奖注：在计算碳分于的结构 中，就运用了我们熟悉的e u l e r 套式：v - e + f = 2 3 h e l m a n nm i n k o w s k i ( 8 6 4 _ j 9 0 9 ) ：德国数学家，曾经是物艘大师e i n s t e i n 的老师，并固给出了狭义相对仑的 数学解释而名噪一时他的工作成就集中在数沦代数和数学物理方面当m i n k o w s k i 崩儿阿方法研究n 元二 次型的约化问胚时，建立起米的关于敷的理论，被称为“敫的几丁，由此引导出他枉“凸体几何方斫的研究 4 a l c x a n d rd a n i l o v i c ha l e x a n d r o v ( l 9 1 2 一) 俄国数学家他将微分几何和凸体儿何研究的范围从规则表面的 推广到更一般的表面同时，他存光学、量子力学和柑对沧也有相当的酐充成果 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文2 问题1 ( s h e p h a r d 问题，设置1 是匠”，3 中，关于原点中心对称的凸体若 局的亮度函数不大于局的亮度函数，问k l 的体积是否也不大干岛的体积? 该问题在1 9 6 7 年由c m p e t t y 和r s c h n e i d e r 解决( 2 4 】) t 当亮度函数相对较大的凸体 是一个投影体的时候结论是肯定的，但这个结论对于所有的凸体却不具有普遍性 虽然m i n k o w s k i 理论在研究投影相关问题时，获得了令人满意的结果，但其似 乎在解决截面问题中却少有突破在1 9 7 5 年，e r w i nl u t w a k 5 ( 1 7 】) 提出了对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，将凸体的投影体替换成了星体的截面体，从而大大丰富了m i n k o w s k i 的理论他发现如果我们对径向函数的幂( p o w e r o fr a d i a l f u n c t i o n ) 在s ”1 上积分，会 获得许多和混和体积类似的结论! 我们就前述的s h e p h a r d 问题根据l u t w a k 的理论重 新叙述如下，注意原问题与该问题的新的提法的对偶性： 问题2 设l ，2 是酽，, 3 中，关于原点中心对称的星体若l 的截面函数不 大于2 的截面函数，问l 的体积是否也不大于l 2 的体积? 除此之外，l u t v c a k 在文【1 8 】中又提出了相交体( i n t e r s e c t i o nb o d y ) 的概念，也就是 一个其径向函数的值等于另一星体的截面函数的中心对称的星体通过对偶b r a n n m i n k o w s k i 理论，许多原先在m i n k o w s k i 理论获得的结论和证明过程，同样可以获得 讨偶”的结论和证明目前，l u t w a k 等人( 1 3 1 ) 正着手将m i n k o w s k i 理论及其对偶 理论加以整合，如果能够获得成功，则可以极大丰富凸体几何的内容值得一提的 是，华人数学家张高勇( g a o y o n gz h a n g ) 与l u t w a r k 和d e a n ez h a n g ( t 皂是他的同事) 在 凸体几何等领域一起发表了许多成果( 1 6 ， 1 9 1 ， 3 0 1 ) m i n k o w s k i 理论在不断的丰富和演进的同时，衍生出许多新的学科，如几何断层 学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 就是通过获得几何体的截面( 和投影) 等低维信息，来重构 该几何体或者对几何体的性质做出判断的学科( 【1 0 】) 这是r g a r d n e r 在1 9 9 0 年首 次提出的( 参r g a r d n e r 的著作 1 0 】) ，并且被广泛地应用于医学的c a t 扫描诊断领 域其实早在1 9 1 7 年，r a d o n 就曾阐明了下面中的物体可以由各个方向的x 一射线 确定为了说明这点，他引入了一个积分变换的反演公式( i n v e r s i o nf o r m u l a ) 这个后 来被称为r a d o n 变换的公式就成为了解决断层学的十分重要的工具除了x 一射线 以外，上述的m i n k o w s b 理论中其他的结论也被引入几何断层学中，如投影体和截 面体等等最近几年随着计算机的广泛使用，几何断层学在医学、工程学、机器人 学等领域的应用正越来越走向成熟例如，s kc h a n g 和c k c h o w 在文 5 5 中就试 图用两条正交的x 一射线束重构人体的心脏( 若心脏可以近似地认为是凸体的话) 。 5 e t w i nl u t w a k ：美国p o l y l e c h n i c 大学教授 2 0 0 6 上海大学项士学位论文3 积分几何( r n t e g m lg e o m e t r y ) 是与凸体几何密切相关的一个几何学分支积分几 何又称几何概率，源于1 7 7 3 年由b u f f o n 提出的投针问题1 9 3 0 年，b l a s h k e 在德国 汉堡组织的讨论班上首次使用了“积分几何词该讨论班的目的是用概率的思想 来研究凸体论及的大范围几何学许多闻名的数学家如陈省生、吴大任和s a n t a l 6 都 是该讨论班的成员积分几何所研究的内容，是给集合( 点集、直线集、平面凸集和 几何图形集等) 定义一种在某个变换群下的不变”测度( i n v a r i a n tm e a s u r e ，又称h a a r 测度) ，所有的不变测度都可定义为在某个变换群下的积分我国在积分几何领域 一直处于领先地位，其代表人物有陈省生、严志达6 、吴大任7 和任德麟( 【2 l 】) 等 值得一提的是，我国数学家在凸体几何领域贡献卓越二十世纪五十年代，著 名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在欧氏空问嵌入的这一凸体几何的 难题，成果举世瞩目；二十世纪八十年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方 法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入 等方面作了许多开创性的工作( 见 2 7 】， 2 8 ， 2 9 等) ，获得了国际数学界的广泛好评 凸体几何随着数学的应用领域的拓展，逐渐从传统物理学延伸到其他自然学 科，从而对凸性以及凸体研究和应用最近重新成为热门的话题。例如，对于凸多胞 形的在动态经济规划( 【9 ) 中的应用，计算两个三维空间的凸体的距离在航空航天 科学中的运用( 1 1 】) 等等，都体现了b r u n n m i n k o w s k i 理论作为基础学科的强大生命 力随着我国经济发展的开展和深入，基础数学的价值正逐渐被人们得以认识。可 以确信，在不久的将来，凸体几何乃至整个数学学科的研究，在中国会迎来它又一 个春天 1 2 研究的课题和主要工作 本文研究了凸体几何中的三个问题，共分为四个章节首先，在第一章我们回 顾了凸体几何研究的发展过程，以及该学科在国内、外目前的发展状况 接着，我们讨论了平面凸域的“完全不等式系统”的问题完全不等式系统问题 来源于等周不等式问题等周不等式都可以说是数学领域中证明次数最多的问题， 且凸体理论中许多不等式都被 人为是等周不等式的推广和应用等周不等式给出了 几个几何量之间的不等式关系及其极值集的情况。人们不仅对于单一的不等式，而 且，对“等周不等式组”即所谓“完全不等式系统”的问题同样十分感兴趣：设凸域膏 6 陈省身一严志达一维欧氏空间中的基本运动公式 7 吴大任先生曾著有关于秋分几何的运动重要公式* 及关于椭圆儿何的两篇论文 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 4 的几何量n l ，一，m 满足不等式组， f 1 0 h a 2 r 0 1 a 2 ，a s ) 0 ，吼) 0 f k ( 0 1 ，啦，一，毋) 10 并且对任何满足此不等式组的非负值轧以，巩，都一定存在凸域k 使得札， 为其对应的几何量我们在第二章尝试给出“完全不等式系纪问题中两个未解决的 h ，r ) ，0 ，r ) 的情形即，在给定外径r 和内径，的条件下，得到了凸集面积和 周长p 的下界，并证明了不等式取等号时的凸集是双帽体扼要介绍如下 设凸体k 的外径为r ，内径为，面积为a ，周长为p ，则 a 2 r ( 妇2 一r 2 + ra r c s i n ) p 4 ( 、r 2 一r z + r a r c s i n 备) 其中不等式的等号当且仅当k 为双帽体k r 3 时取得 ( 此结果已发表在上海大学学报( 自然科学版) 2 0 0 6 年第一期) 然后，我们讨论了几何断层学的一个著名问题我们知道，利用凸体的x 一射 线，截面函数，投影函数等来确定凸体，是几何断层学的一个重要研究课题2 0 0 0 年， ja b a r k e r 和d g l a r m a n ( 参【2 】2 ) 提出了另外一个类型的问题：设 2 ，i k 0 从而，以 r 一为半径的园b r r 将完全包含k ，与b r 是k 的外接圆矛盾所以，f 为对 径点 一， 。y 。1 r ，一 月 。 1j f t 。 z 。 弋= 7 图1 引理4 2 1 的情况1 2 ( 见图2 ) 若o k n o b r 至少有3 个点，由于a k n a 是紧集，所以存在e ，f o k n o b r ，使得 i e f i = s u p i e f e ，7 o k no b r 不妨设弦e - y 平行于x 轴的下方，记圆心0 到弦丽；的距离为a ，以0 为圆心， a 为半径做园b 。，则a 足n a 昧中任意两点都不与比内部相交( 否则，就有两 点，它们连成的弦比u p 到0 的距离小，因而，此两点的距离比e f | 大，矛盾) 。 若o k n o b r 的全部点都位于劣弧f p 上，则可像情形1 那样，将k 沿y 轴正 向移动一点后，k 将完全包含在b 一的内部，与b 一为外接圆矛盾因此，存在 g o k n o b r ，使得g 位于优弧e f 上进一步，g 位于x 轴的上方( 否则， 石雹或石于将与i n t ( b 。) ) 相交设o b r 与x 轴的交点为h ，连接g h ，则角 l e g f r ，称x r , r = c o n y ( p , q ，b r ) 为双帽体 以下给出定理2 1 的证明 图4 双帽体示意图 图5 定理2 i 示意图 尸 证明：( 见图5 ) 设b ，、b 一分别为凸集世的内接圆、外接圆，它们的圆心分别 为0 、，由引理4 2 1 ，在d 岛n k 上存在一对关于的对径点，或者存在3 个 点p 、q 、t ( 当是一对对径点时，则q = t = p ) 满足凸包霞= c o n y ( p , q ，r ) 是锐 角三角形，则通过点p 的直径，即直线- f f 分离了点q 与r ，而且线段一p q ，l 厅，7 下 或与内切圆相割或者相切，若不然，的内径将严格大于r 。 分别以y ，z ，t 表示线段o p , o p ，o q ，o t 的长度，不妨没x z ，以下我们将 说明y = 。事实上，因为霞是锐角三角形，所以0 7 霞，因而q ，r 位于- # y 的两 侧若0 与0 7 重合，则y5z ( 实际上是y = z ) 。若0 与0 不重合，则存在唯一的 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文1 6 点eo b r ，使得o q = d ，我们知道点9 9 把椰k 分成了两段弧c l ，c 2 ，其中 一段弧到0 的距离恒不超过i o q i ，另一段弧上的点到0 的距离恒不小于i 0 0 1 因 此，不能位于只q 之间，也不能位于t q 之间，而只能够位于只q 之间，由于在 弧巧两上，点7 到0 的距离，! z = i o q i ，所以弧宣而，上的任意点到0 的距离都 小于或者等于z ，从而o p = ，z 令k l = c o n y ( p , o ，t ，毋) ，k 2 = c o n y ( p , p ，b ，) ，则 r ( k i ) = “叼= h 尬) ，r ( k 1 ) = r ( 田= r ( k 2 ) ，且k ) k i ，由引理2 3 3 知； 又因为y z ，由引理4 2 2 知 一( 的爿( 芷i ) ，p ( k ) p ( k i ) a ( k t ) ( m 2 ) ，“k t ) p ( x 2 ) 因为 一一( 厨+ 庐+ ，r a r c s i n ；+ r a r c s i n y ) = 讹力 而函数f ( x ，y ) 的x + y = n 条件下在点( ，! ) 取得唯一极小值，所以 蛹，= 慨力z 帆半，字一r ( 乒弦+ r a r c s i n 而m r ) 所以由3 ，4 得 帕，= 讹z ，( 字，字m r ( ；半) 2 _ 一+ r a r c s i n 而2 r ) ， 因为x + y 2 r 。石f 了+ ，a r c s i n i r 是关于“的单调递增函数，于是 舭) 圳髓) 物厢j + r a r c s i n ；， 另一方面，由引理4 22 知，2 a ( k ) = r p ( k ) ，于是 艄z p ) = ；爿( 如) 4 ( 厄j + r a r c s i n ；) ， 上述两个不等式取得等号，当且仅当k = k 2 ，z = ，= r ，而x = y = r 表明0 7 = o 故只有当凸集k = 丘。时不等式取等号- ( 3 ) 第三章利用内含凸体截面函数确定凸体 我们知道，利用凸体的x 一射线，截面函数，射影函数等来确定凸体，是几何 断层学的一个重要研究课题2 0 0 0 年，j a b a r k e r 和d g l a r m a n ( 见文【2 ) 提出了 另外一个类型的问题：设”2 1 k o ，d e ，以b d k ( 一6 ) ，6 战+ 毋，即参数化形式分别为( 1 一d ) r x ，( 1 + 6 ) “x ) x ，为 边界定义凸体( 6 ) ，k ( 一回令e 0 ，珂= 6 ( 0 0 ，使得 i i 一1 ( k ( 0 3 ) 一一i ( * f ，i 一1 ( ( 一d ) ) 一厶一t ( k ) l l 。 选择b0 使得对所有的k ，d n ( k , k 7 ) x o ，且露( x 0 r ，我们可以取b d k 上 包含r x ) 在其内部但是不包含r k ( r t ) 的充分小的一段弧，用连接此弧两端点 的线段代替此弧得到凸体k ，那么有兹( x o = 露( x 0 明，奶) 和( 因为 r f ( x o ) i n t k ) 因为量是严格凸的，所以上述构造是可能的，且k 也是凸的 2 若不存在上述的点j r l ，但有与x o 充分靠近的点x 2 使x 2 ，x o ，且露) cx 2 ， 我们可以采取与1 中相似的方法去构造凸体芷，只不过在得到小弧段后，过两 端点作切线，用切线段代替小弧段使得r k ( x o ) i n t k ，则i t , ( x 2 ) = 印( z 2 ) 如 3 若对所有与x 0 充分靠近的点x ，z ，x 0 ，有印( x ) = x ；而对与z o 充分靠近的 点x 3 ，x 3cx o ，有堙) x 3 ，我们可以采取同前面相似的构造方法得到凸体 k 7 。 4 若对所有与x o 充分靠近的点r 都满足： 豫( 对= z 。我们不妨取点嗣，x 5 ， x 4 0 ，选择r ( 1 ，1 + 0 ，由紧致性可知，存在常数 0 6 【( r ) 救 及 6 l ( r 7 ) l 一& ( 删6 2 ( r ，) ，v x b d f 于是a l g n 使得 x ”f 0 ，q 0 ，这就意味着 d l a 22c l c 220 因此，p ( f o ) 和r p ( f o ) 不是多胞形p 的顶点 为了方便，在下文中我们记u ，= u ，( p o )0 ，1 ，2 ，3 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文2 7 定理3 4 设伽丑，i ( d = 一l l ( p ) 7 ( 妒) 在咖处连续且1 ( 蜘) # 卜 ，o j ，则 口= 州p o ) ，c = c ( 9 0 ) 满足下列方程组 0 = ( “_ 1 0 “2 一( 2 w t + 1 ) u i ) a + ( t 0 0 0 , 2 一( 2 山l 1 ) m o ) c + 0 , 1 “_ 1 2 0 , 0 a 3 0 = 2 ( 0 , 0 t 0 2 2 ( 0 , 1 + 1 ) o j l ) a 2 + 2 ( t o l 山2 一t 0 0 0 ) 3 + o l j 2 ) a + ( 2 u l 一1 ) 山3 一山； 0 = 2 ( w o c a 2 2 ( w t 一1 ) 叫1 ) c 2 + 2 ( ( 0 1 0 , 2 一( 0 0 0 , 3 一w 2 ) c + ( 2 山】+ 1 ) 山3 一山； ( 8 ) ( 9 ) r 1 0 1 如果( w o w 2 一( 2 0 ； 1 + 1 ) “i ) ( 蛐2 ( 2 w l 1 ) w 1 ) 0 ，则d 至多存在两个解，此时c 可以 从d 和式计算得到；否则，如果0 , 0 f 0 2 一( 2 w l 一1 ) w l _ 0 ，则口由r 彤唯一确定，此 时c 是方程 0 = ( 2 0 , o a + 1 2 w , ) c 2 + ( 2 0 , o a 2 2 0 , 1 a ) c + u 3 一矿一2 u l 矿 ( 1 1 ) 的解，这里( 2 0 , o a + 1 2 0 , 1 ) 和( 2 0 , o a 2 2 0 , 1 a 不同时为0 因此，在各种情况下，a 和 c 至多有两组解 证明：利用( 4 ) 式，将( 6 ) 一( 5 ) 2 ( a + c ) 得 0 = 0 , 2 + 2 0 , o a c 一( 2 0 , 1 + 1 ) a 一( 2 0 , 1 一1 ) c( 1 2 ) 利用( 5 ) ，将( 7 ) 一( 6 ) 0 + c ) 得 0 = 0 3 3 + 2 w “c 一0 ) 2 ( i 0 ) 2 c( 1 3 ) 于是，“1 0 2 ) 一f u ox 0 3 ) 就得到了( 8 ) 进一步地，( 2 u l 一1 ) ( 1 3 ) 一“2x ( 1 2 ) 得 ( 2 0 , 0 0 2 + 2 w t 一4 “；) w = 2 0 , 2 a 一6 3 ；+ ( 2 0 , t 一1 ) 0 4 ) 于是，( 8 ) x2 a 并利用( j 4 ) 就得到了( 9 ) 类似的，我们可以得到( 1 0 ) 若0 , 0 “2 一( 2 0 , l + 1 ) “l 0 ，( 9 ) 是一个二次方程，口至多有两个解；若f g o t k 2 一 ( 2 u i + 1 ) u 1 - 0 ，则( 8 ) 是个线性方程，又因为0 9 】0 ，所以。有唯一的解为了得 到( 1 1 ) ，用( 5 ) x2 ( a 2 + ，) 一( 7 ) 得： 0 = 2 a c ( c p 一州) + ( r 2 一，) + “3 2 u l ( 口2 + c 2 )( 1 5 ) 另一方面，用( 4 ) x ( a + 0 得 c p a q = r q _ i ( a + c 1 一 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 8 将其代入0 5 ) 中便得到了( 1 1 ) 我们检验定理的最后部分若2 蛐a + l - 2 u l _ o ，则a = 2 等，因为u l 。j 1 ，所 以特别的d 0 而另一方面，若2 w o a 2 2 u l a = 0 ，则有口= 0 或者口= 舞2 等 所以( 2 ，o o a + l 一2 w 1 ) 和( 2 t o o a 2 2 w l 不能同时为0 _ 定理3 5 俨的重构j 设pe 矿，且g - h , 其球面一截面函数州p ) 及其直 1 y - 阶的 导数设q , l “丘l ) ，因此f 2 ) 和( 3 ) 对于x 0 都是成立的。 4 2 主要结论 引理4 2 ir 参口j 刀闭半空间 x 彤：( t “) ! h ( 一) 的交集c ( k ，l ，x ) 等于集合 r 彤x + 址c k ，即 c ( k ，l 九) = x 幢”：r + k l ， k 0 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 3 2 由于引理4 21 在文中的重要性，我们给出其证明过程 证明：令x c ( 丘l ，假设x + 2 l 垡k ，那么存在一个x l l 使得x + 炳e k 所以存在s 使得扛+ , i x l ，h ) h k ( “) ；即 得出矛盾，所以c ( 丘l ) 协：x + a l k i 令j k 彤：j + 肛叫对“s “，选取j l l 使得 l ( = ( 相，) 既然存 在一个如k 使得z + 血l = 蜘，且( z ，) = ( x o ，“) 一_ ( z l ，“) 我们有 ( x ，“) = ( x o ，“) 一a h l ( u ) sh k ( u ) a h l ( u ) 因此忸r n ：x + 2 1 5 k c ( 丘l ，a ) j 证毕- 以下简记c ( 丘l ， 为c ( 趵通过引入凸体的混和体积的概念，我们可得集合 c ( 目的上界和下界 定理4 1 若是个固定的凸体，k 是彤中的的任意的凸体，简记k 的i 一阶相 关均质积分为孵，似 一阶相关均质积分为+ l ，丘的相关内径为r ，则对于任 意的0 x r ，有 n - i - 2 ( c ( 目) 一x 啦+ 1 一x 孵“c ( 柳) 一x 矿廷! 茎! ：! 塑，堡二二二兰，生二二二9 女n 一女一i l j + l 证明t 由引理4 2 1 ，我们有k c ( k ) + u 对任意的0 x sr 运用混和体积的 性质，我们得到 孵= ( 丘l ) = y ( 丘，丘，l ，l ) y ( c ( 柚+ 址，丘，k ，l ，l ) n - ifn - - _ lo 2v ( c ( 目，芝，生。乡+ 、h 墨兰，皂。乡2y ( c ( 叼，u 皂。乡+ 1 阱+ 1 i1iil，+ lli c ( 聊，c ( 目+ 址，丘，k ，l ，上) + 九孵+ 1 = h c ( 固，c ( ，e k 厶，) + kp ，( c ( 柳，k ，置，厶，) 4 - 嘶+ 1 、，一、_ - ，、，一、_ _ 一 月一i - 2 fn - i 一2h - i r ( c ( 匿) ，c ( p ，c ( 固，墨，l，) + k r ( c ( q ，c ( 彭) ，丘，世，厶，) 、。、，一、v 一、u _ 、u _ 一 ”3fp i - 3r + i + x 旷( c ( 世) ，e k l ，三) 4 - 丸孵+ l 、- - - u ，- 一、- - - 、，一 n - i 一2h l n - i - 2 阱( c ( q ) + x + l + k w i + l ( c ( k ) ) + xyy ( c ( k ) ，c ( k ) ，k ， k e ，l ) 2 1 一一i 一1，十1 证毕。_ 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 3 3 推论4 2 1 当j = 0 ，定理4 ，为 “s 七1 心h 扣c