（运筹学与控制论专业论文）利用松弛控制解决最优控制存在性以及在生物模型中的运用.pdf

中文摘要 摘要 文章考虑了一类变量与控制不分离的常微分系统在缺乏c e s a r i 条件下的最优 控制问题。利用相应最优松弛控制的存在性和最大值原理证明了某些条件下原 问题最优控制的存在性。然后利用这种思想解决了一个l o g i s t i c 模型最优捕捞的 存在性和一个s i r 传染病模型最优控制的存在性。 关键词：存在性，最优控制，松弛控制，s i r 中图分类号：0 2 3 2 墨苎塑墨 a b s t r a c t o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d n oc e s a r y t y p ec o n d i t i o n sa r ea s s u m e d b yt h ee x i s t e n c et h e o r e ma n dp o n t r y a g i n m a x i m u mp r i n c i p l ef o rt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a x e dp r o b l e m s a ne x i s t e n c et h e o r e mo f o p t i m a lc o n t r o lo ft h eo r i g i n a lp r o b l e m i se s t a b l i s h e d e x i s t e n c eo fa no p t i m a lh a r v e s t i n go fal o g i s t i cm o d e la n da no p t i m a lc o n t r o lo fas i rm o d e la r es o l v e d k e yw o r d s ：e x i s t e n c e ，o p t i m a lc o n t r o l ，r e l a x e dc o n t r o l ，s i r c l cn u m b e r ：0 2 3 2 一 主要符号对照表 主要符号对照表 控制范围 允许控制函数集 u 上概率测度全体 松弛控制函数集 控制函数 状态函数 目标泛函 对偶方程解 松弛控制函数 人口函数 易得病人口函数 染病人口函数 成本函数 i i i f l + )j)j，u孵冗圳川川川川川 第一章介绍 第一章介绍 众所周知，c e s a r i 条件是最优控制存在性的一个重要条件在c e s a r i 条件满足 的情况下，最优控制的存在性已经有了很多的结果可以参见c e s a r i 6 ，及李训经 和雍炯敏 1 0 当c e s a r i 条件不满足时，松弛控制的方法显示出它的优势对于有限维系统， 松弛控制已经得到了系统的研究，可参考b e r k o v i t z 4 】和w a r g a 1 8 通过松弛控 制，控制集得到了延拓，使得缺乏c e s a r i 条件的原问题相应的松弛控制问题拥有 了c e s a r i 条件通常最优松弛控制的存在性定理与最大值原理是容易的这方面 工作可以参见c e s a r i 【5 】，【6 】已经证明了一般情况下松弛控制可以用普通控制来 近似，这方面有限维的工作可参见 1 7 ，无限维的可参见【1 2 也就是当不存在 最优控制时，我们也可以通过最优松弛控制而找到近似的“最优控制”特别 的，在一些情况下，由最优松弛控制可以推导出一个最优控制，这方面有限维的工 作可参见r a y m o n d 【1 3 ，【1 4 ，b a l d a r 1 卜 3 】，无限维情形可参见r a y m o n d 1 5 以 及【1 6 ， 7 及楼红卫【8 】， 9 】通常，缺乏c e s a r i 条件时，所研究的系统与目标泛函 是控制与状态可分离的 以前的文章，都利用了端点定理将最优松弛控制过渡到最优控制在 8 】与 【9 】中，利用了最优松弛控制的必要条件而推出了等价的最优控制的存在性本文 在它们的基础上利用最优松弛控制的必要条件研究了范围更广的一类控制问题， 在这类问题中，系统并不是控制与状态完全分离的但仍可利用与文【8 】，【9 】相似 的方法由最优松弛控制的存在性与最大值原理推导出最优控制的存在性本文 第二章介绍了松弛控制及需要的一些结论在第三章提出我们的最优控制问题 以及推导出这个问题最优控制的存在性，在第四章我们利用这个方法推导出一 个l o g i s t i c 模型最优捕捞的存在性及一个s i r 传染病传播模型的最优控制存在性， 说明了该方法在较第三章更为广泛的情形中运用的可能性 第二章松弛控制介绍及相关引理 2 1 松弛控制 第二章松弛控制介绍及相关引理 本章中，我们将介绍一下松弛控制的理论及相关定理，为后面我们的工作做 准备 给定实数t 0 ，以及度量空间u 给定可测函数“) ： 0 ，t r “xu 一 允许控制集d = 扣( - ) ： 0 ，t 一u i 札( ) 可测) 有以下最优控制问题： 问题( i ) ：寻找百( ) 阮d 使得 j ( 面( ) ) = ，i n ； ，( u ( ) ) 【t 】d ( 2 1 ) 其中 j ( u ( - ) ) = ，o ( f ，z ( t ) ，u ( t ) ) d t ( 2 2 ) 其中z ( ) 是与控制函数u ( ) 对应的的状态函数，满足： 掣_ ，( ( ) 州啪， a e te 0 1 明 ( 2 - 3 ) l 茹( o ) = m 下面介绍一下c e s a r i 条件： 定义2 i ：令y 是个b a n a c h 空间，( z ，d ) 是个距离空间a ：z + 2 y 是个多值函数 若a 满足以下性质： n 苞- a ( 0 6 ( 加) ) = h ( z o ) ， ( 2 4 ) 则称多值函数a 满足c a s e d 条件 定义集合： e ( t ，x ) = ( 。，z o ) r 正t 1 3 u 以使：o ，0 0 ，。，让) ，z = f ( t ，卫，u ) ) ( 2 5 ) 众所周知，如果对几乎所有的t 【0 ，“多值函数e ( t ，) ：r - - - - 42 r 。r 满足c e s a r i 条 一2 一 第二章松弛控制介绍及相关引理 件，则问题( i ) 至少存在一个最优控制证明可见文【1 0 而当c e s a r i 条件不满足时， 我们可以用松弛控制的方法来讨论最优控制的存在性 我们先列出以下假设： n 1 1 ：u 是紧度量空间 ( 1 2 ) ：对任意的z 正r 及n u ，都有，( ，z ，u ) 可测且对任意 0 ，r 】，都 有，( t ，) 连续且存在l 0 ，使得对任意t 0 ，t i ，也u ，。1 ，x 2 r n ，都有 ，( t ，x l ，t ) 一f ( t ，x 2 ，u ) i l l x l z 2 1 ( 2 6 ) ( 1 3 ) ：除了式2 6 以外，f o ( ，) 也满足( 1 2 ) 由( 1 2 ) 可得方程( 2 3 ) 解的存在性 然后我们介绍与问题( i ) 对应的松弛控制问题 令 f ；( u ) 为矿上概率测度全体冗为 o ，t 到m ( u ) 上可测函数全体，即 冗= a ( ) ： 。，丁】一川i ( 扩) l 对任意的 ( ) g ( 矿) ，t - f h u ) 盯( t ) ( 咖) 可测 称7 己中元为松弛控制令g ( u ) + 和l 1 ( o ，丁；g ( c ，) ) 分别为e ( u ) 和l 1 ( o ，t ；g ( ) 的 共轭空间，取+ 弱拓扑用以下方法将m ，( u ) 与冗看成e ( u ) + 与三1 ( o ，t ；g ( 矿) ) + 的子集，即： 口( ) = ( ”) 日 ) ( d ”) ，v 目a 以；( u ) ，九e ( ，) d ( 9 ) = z 丁9 ( ) ( ) d ( t ) ( d ”) d ， v 6 佗，9 l 1 ( 。，t ；e ( u ) ) 且任对一个连续函数 ：u r ，自然地把它延拓到m ( v ) 上： ( 口) = ( ”) 目( d ”) ，v 口 4 ( u ) 在这种意义上，与，0 可自然地延拓成 o ，卅x 正妒m ( u ) 到r “的映射 与问题( i ) 对应的松弛控制问题如下： 第二章松弛控制介绍及相关引理 问题( r i b 寻找最优松弛控制瓦( ) 阮d 使得 j ( 引) - 非i n f 冗地( ) ) ( 2 7 ) 了( 口( ) ) = p ( t ，z p ) ，a ( t ) ) d t ( 2 8 ) 其中z ( ) 是与松弛控制盯( ) 对应的状态函数满足： 掣- ，( ，) ) f 0 e 川叮】 ( 2 9 ) i 。( o ) = 2 ；0 2 2 最优松弛控制存在性及最大值原理 本节中，我们将列出问题( r i ) 的最优控制存在性定理和最大值条件把( r p ) 看 成允许可取控制集为冗的一般的最优控制问题，然后利用我们所熟知的最优控制 存在性定理和最大值原理，就可以得到下面的引理详细证明见w a r g a 1 8 】 引理2 2 ：若假设( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，则问题( r i ) 至少存在一个最优控制 引理2 3 ：若假设( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，且问题( r i ) 存在最优对( i ( - ) ，西( ) ) ，则存 在几乎处处可导函数讯) ，满足： 雎研) = _ _ ( t ) 杀”，球m ) ) + 麦几球) )( 2 1 0 ) i 妒( 丁) = 0 则有 h ( t ，。，“，砂) = 一，o ( ，z ，u ) ( 2 1 1 ) 仉= 叫u i h ( t ，i ( t ) ，w ，砂( t ) ) = n ! 野h ( t ，牙0 ) ，让，妒( ) ) ( 2 1 2 ) “t u s u p p 万( t ) 以，o 息t 0 ，刀 ( 2 1 3 ) 4 第二章松弛控制介绍及相关引理 2 3 最优松弛与经典控制 本节我们将介绍一个【8 中的引理我们将通过它来利用最优松弛控制来得 到最优控制的存在性 引理2 4 ：若假设( 1 1 ) 一( 1 4 ) 成立，且问题( r i ) 存在最优对( _ ( ) ，万( ) ) ，且对 几乎所有的o 0 ，t ，都有： f ( t ，虿( t ) ，4 1 ) = ( t ，虿( ) ，“2 ) ，v u i ，t 2 s u p p 万( t ) ( 2 1 4 ) 则问题( i ) 至少存在一组最优对 证明 由( 2 1 2 ) n ( 2 1 3 ) ，我们可以看到对任意的? z 1 ， 1 2es u p p 万( t ) ，都 有，o ( t ，z ( f ) ，u 1 ) = o ( t ，4 t ) ，u 2 ) 于是，显然可以看到对任意的u s u p p f ( t ) ， 都有，( t ，。( t ) ，盯( t ) ) 一f ( t ，z ( t ) ，u ) 以及，o ( t ，z ( t ) ，盯( t ) ) = ，o ( ，4 t ) ，“) 而且， 1 9 f i l i p p o v b 理( 详见【l o 】) ，我们得到，存在一个可测的u ( ) 阮d ，使对几乎所 有的f 0 ，t ，都g u ( t ) s u p p f ( t ) 于是这个“( ) 就是问题( i ) 的最优控制 口 一5 一 第三章最优控制的存在性 3 1 问题与假设 第三章最优控制的存在性 设t 为一实数，v 是个度量空间给定可测函数f ( ) ，h ( - ) ，f o ( ) ：r r 和g ( ) ， g o ( ) ：矿一r 允许控制集玩d = ! t ( ) ：【0 ，列一r l u 可测) 本章中我们考虑 以下最优控制问题最优控制的存在性： 问题( p ) ：寻找面( - ) 巩d 使得 j ( 面( ) ) - ，嗽l ，( 札( ) ) “【】d 其中 一 j ( u ( ) ) = f o ( z ( t ) ) + g o ( u ( t ) ) 】出， 其中。( ) 是与u ( ) 一起满足下式的对应控制函数u ( ) 的状态函数： 掣训删州删州啪，a e t e 0 列 iz ( o ) = m 我们列出以下假设： ( s 1 ) ：函数，( ) ， ( ) 几乎处处可导，函数9 ( - ) 连续 ( s 2 ) ：，( ) ， ，( ) ，9 ( - ) 都是有界函数 ( s 3 ) ：函数，o ( ) 几乎处处可导，函数9 0 ( ) 连续 ( s 4 ) ：u 是紧距离空间 3 2 准备工作 ( 3 i ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 本节中，我们将建立与问题( p ) 相应的最优松弛控制问题以及证明一些引理 与问题( p ) 对应的松弛控制问题如下： 问题( r p ) ：寻找最优松弛控制霄( ) 玩d 使得 j ( 万( 。) ) 2 。( i n ) f 冗j ( 盯( ) ) 一6 一 ( 3 4 ) 第三章最优控制的存在性 其中 ，t j ( 口( ) ) ：= ，o ( x c t ) ) + g o ( d 0 ) ) 】d ， ( 3 5 ) 其中z ( ) 是与松弛控制盯( - ) 对应的一起满足下式的状态函数： 掣刊删州删9 ( 删，a e t e 0 , t 1 ( 3 6 ) ix ( 0 ) = 。o 然后我们将叙述两条 8 中的引理，它们对我们的工作也至关重要 引理3 1 ：u 是一个距离空间，g l ( ) ，9 2 ( ) 是任两个u 到r 的函数 对。r ， 定义 k = 叫l 口9 1 ( ) 一9 2 ( w ) = s u p ( o e g l ( u ) 一9 2 ( t ) ) ) ( 3 7 ) 则至多只有可列个。r ，使得 9 ( ”) i u k ) 至少有两个元素 证明记 v = o i 9 1 ) l 叫k ) 至少有两个元素) 若有口 卢v ，有“1 ，仳2 k ，w 1 ，w 2 ，满足g l ( u , ) g l ( 钍2 ) ，g l ( w 1 ) g l ( w 2 ) 则由( 3 7 ) 得知： a 9 1 ( 讹) 一9 2 ( u 1 ) a 9 1 ( w j ) 一9 2 ( w j ) ，2 = 1 ，2 ，= 1 ，2 f 1 9 1 ( w j ) 一g ( t 吩) 口9 l ( 地) 一目2 ( u t ) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 两式相加，就得到 a g l ( u i ) + 卢9 1 ( 札0 ) a g a ( w j ) + 卢9 1 ( u 。) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 化简得： ( o p ) ( 9 1 ( t “) 一9 i ( 叫，) ) 0 ， = 1 ，2 ，= 1 ，2 所以： 9 1 ( 札。) 9 1 ( 1 吩) ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 一7 一 第三章最优控制的存在性 所以有： 9 1 沁l ) g l ( u 2 ) 吼( t u l ) 哿l z m 一( 。) 或 或一矧 吲s u 。p ，刀妒m 一嬷志 。：晶挪) 以下是我们的最优控制存在性定理 定理3 ，1 ：若假设( s 1 ) 一( s 6 ) 成立，则问题( p ) 至少存在一个最优控制 证明有引理( 2 1 ) 与( 2 2 ) ，我们得知问题( r p ) 存在最优控制万( ) ，对应松弛轨 线为t ( ) 对偶方程如下： 丢孑( 于) = 一万( f ) 【，( 事o ) ) + 硝( 7 ) ) 9 ( 万( f ) ) 】+ ，( 虿( t ) )( 3 1 7 ) i 砂( 丁) = 0 仉= w 矿阢) 啊伽( 叫) 一9 。( 训) 2 搿确啊咖( u ) 一帅) ) ( 3 1 8 ) s u p p 万( t ) 阢，n 最t 【0 ，卅 ( 3 1 9 ) 则由引理( 2 3 ) ，只需i i e n n 几乎所有的f 0 ，t 1 ，都有妇( “) i 札巩) 是单点集，则 可得问题( p ) 至少有一个最优控制 由引理( 3 1 ) 与( 2 1 ) 可知，仅当可( t ) 危( 牙( f ) ) a 时，( g ( u ) l t f u d 不是单点集 又由引理( 3 3 ) 得知，对每个舟n ，对几乎所有的t 满足万( t ) ( 薯( t ) ) = q k ，都有： 昙( 确 ( z ( ) ) ) = o ( 3 - 2 0 ) 于是结合式( 3 3 ) 与( 3 1 7 ) 有： 丢母( 啪( 邓) ) j ， 五d 州- 啊t ) ) + 确忡( t ) ) 面d 虿( t ) 1 0 一 第三章最优控制的存在性 = 一万( t ) ( j ( t ) ) ，7 ( 虿( f ) ) 一万( f ) ( z ( ) ) 7 ( 面( ) ) 口( 万( t ) ) + 危( 虿( t ) ) ，0 7 ( 虿( t ) ) + 事( t ) ，。7 ( j g ) ) ，( _ 0 ) ) + 硒( ) 是( _ ( t ) ) 丸( j ( ) ) g ( 万0 ) ) ， = 一硒( t ) ( i ( t ) ) ，( z 0 ) ) + ( 虿( t ) ) ，o ( i ( t ) ) + 万0 ) ( 虿( t ) ) ，( i ( ) ) ， = 一万( ) 2 ( 面( t ) ) ，( 虿( ) ) + h 2 ( 虿( ) ) ，0 7 ( i ( t ) ) + ( 虿 ) ) 万 ) 九( i ( t ) ) ，( 虿( t ) ) = 一n k ( ( 虿 ) ) ，( j 0 ) ) 十危2 ( z 0 ) ) ，o ( z ) ) 4 - q ( 芽( t ) ) ，( 季( ) ) 由f 陧i r ( s s ) ，几乎所有的使( 9 ( u ) i u 阢) 不是单点集的t ，都有i ( t ) x n k i n n ，k ) 对某一组( 仃，女) 再次应用引理( 3 2 ) ，对虿( t ) = x n k 的t 几乎处处成立： ，( i ( t ) ) + h ( 苗( t ) ) 9 ( 万( t ) ) = 0 因此若 ( z 。b ) = 0 ，则有，( z 。k ) = o 以及n 女= ( z 。k ) 万( t ) 得h ( x 触) 几乎处处不为0 所以对几乎所有的使虿( ) = g g n k ，都有 黼) ) - 一剿 ( 3 2 1 ) 0 由( s 6 ) ，可 ( 3 2 2 ) 和 酗2 福o t k ( 3 2 3 ) 很容易得知，分别由( 3 。1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 所定义的霉。( t ) ，。( - ) ，。( ) ， 妒。t 。( ) ，分别是方程( 3 3 ) n ( 3 1 7 ) 1 拘解的上下界同样，g 。与帅。分别是扫( 口) l p m 的上下界于是由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) n 假设( s 6 ) ，我们得n t l 面( t ) = x n k ) 是零测度 集 于是我们得n g ( u ) l u u d 对几乎所有的t 【o ，叫都是单点集于是问 题( p ) 至少存在一个最优控制 口 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 4 1 l o g i s t i c 模型的最优捕捞 考虑一个经典的l o g i s t i c 生态模型。时间区域 o ，t i ，时间种群大小为( t ) ，初 始状态0 o 矛盾于是可以得 到满足方程( 4 11 ) 的( ) 恒正于是，对几乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t ，都有： a 万( t ) 丙0 ) e 乳+ p d p a m + p a n ( t ) = 0 ( 4 1 7 ) 一1 4 第四章两个生物晟优控制问题及其最优控制存在性 将( 4 11 ) 代入，得 a a e 乳+ p 6 一p a m + 2 p a n ( t ) = 0 ( 4 1 8 ) 所以，对几乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t ，都有： 剐= a a e 6 1 t - 厂p 5 + p a m 将其代入方程( 4 1 1 ) ，再由引理3 1 ，对几乎所有使( 4 1 5 ) 成立的t 都有： 咧州删= a ( m 一a a e 6 t - r p 6 + p a m ，x a a e 6 + p d + p a m 2 p 由叫小删u ，我们得至| | ： 即 ( 4 1 9 ) 。 - - a a e 6 t 酉+ p 一6 + p a m q ( 4 2 。) 一p 6 一 p a m 一a a e 6 2 p a p j p a m ( 4 2 1 ) - 2 p a + _ p 5 + p a m 盘 y ( o ) 可见当t 很大时，满足该条件的 成本函数的范围是相当广的 推论4 3 ：如果有 p 6 + 、p a m e 一6 t - 2 p a + _ p 6 一+ p a m ， ( 4 2 4 ) a 则问题( q i ) 至少存在一个最优控制 由定理( 4 1 ) ，这个结论是显然的说明，在三望竺生；丛丝 o 的情况下，只 要t 足够大，最优控制必定存在 4 2s l r 模型的最优控制 考虑一个流行病传染的s m 模型与前面所讨论的不同的是，它是个二维的系 统但我们仍将使用定理( 3 3 ) 的证明所使用的方法来讨论它的最优控制存在性 设我们考虑的时间区域为【0 ，t 1 一个疫区内易感人数随时间变化的函数 为s ( ) ，染病人数为，( t ) 初始状态分别为岛，矗，为两个正实数p 为传染率，r 为 治愈率与死亡率的总和，是两个非零实数加上控制u ( t ) 为在时l t t 所接种的疫苗 一1 6 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 己，r + 是一个有界紧集则，z ( ) d = ( “( ) i v t ( 0 ，t 】，“( t ) 且“( ) 可测) 我们的系统如下： f 4 2 5 ) 由常微分方程的理论可知，上系统有局部i i p c h i s z 条件，因此解唯一存在且连 续假如存在一点s ( t ) = 0 ，则由唯一性，可得到s ( o ) 0 ，与s ( o ) = s o o 矛盾 因此可以得到对方程解存在的范围，都有s ( ) 0 同样在，( ) 解的存在范围内都 有( ) 0 于是由( 4 2 5 ) ，两式相加得 丢( 即) + m ) ) = 一踯) u 一州) y ( 0 ) ，则问题( q 2 ) 存 一1 7 一 邓啪 邛似i = 叫岛h 州驴垆知鼽删删 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 在至少一个最优控制 证明先建立与问题( q 2 ) 相应的松弛最优控制问题集合m l 与冗的定义如第 二章问题( r q 2 ) ：寻找面( ) 阮d 使得 t ，( _ ( ) ) _ 计i n l 冗f 如( ) ) f 4 2 8 ) 其中 r j j ( 盯( - ) ) = 【，( t ) + a v ( a ( t ) ) d t ( 4 2 9 ) j 0 其中z ( r ) 是与a ( ) 对应的状态函数满足： 丢跚) = 一例啪 d i ( t ) = 卢s ( f ) ，( t ) 一 s ( o ) = s o ， i ( o ) = i o s ( t ) v a ( t ) ( d v ) ， j u ，( t ) ，( 4 3 0 ) 则首先，由引理2 1 得知，问题( r q 2 ) 至少存在一组最优控制设最优松弛控制 为万( ) ，对应的状态函数为亏( ) ，了( ) 对偶方程如下： 嘏：；) = 一( 嚣咄篇蚺c 咖憾；) + 0 ) 【妒l ( 丁) = 奶( 丁) = 0 瓦d - 妒。( ) = 廊( t ) 万。( t ) + ”万( 州如) 石。( t ) + 廊( t ) _ 2 ( 巩( 4 , 3 2 ) 面d 妒- 2 ( t ) = 一? _ ( f ) 可l ( t ) 一廊( ) _ 2 ( ，) + r _ 2 ( t ) + 1 ( 4 3 3 ) 一1 8 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 ，叭沪 一一c 旷州卅烈， 去掉与u 无关的项，得到： 以= w l 一剐砷) 叫一a y ( w ) - m a x 一刚碘) 札一a y ( 札) 】) ( 4 3 5 ) 由引理3 ，l 得知，至多只有可列个实数a t ，使得仅当君0 ) 万。( t ) = k 时，不是单点 集再由引理3 2 ，得知： 袅君( t ) 珊) + 君( ) 荔d - 砂。( ) = o ，。息君( t ) 矾) = 。 ( 4 3 6 ) 将式( 4 3 2 ) 与( 4 3 0 ) 代入，得： 一口万( t ) 君o ) 了p ) 一可。o ) 否( t ) 厂w 于( t ) ( d ”) + 后零( ) 7 ( t ) 巧。( ) 矗 + _ ( 嘶1 ( f ) 叫州幽) + 廊2 珊) ， 疗护( ) 玩( t ) 由口 o 以及s ( ) 0 ，我们得到对几乎所有使可( ) 万【( t ) = q 的t ，都有 ，l h 2 ( t ) = 0( 4 3 7 ) 于是由( 4 3 3 ) 与引理( 2 2 ) ，我们得知几乎所有使君( t ) - 1 ( t ) = o 的t ，都有 即 0 = 1 一卢，( t ) 妒1 ( t ) 一1 ( t ) w 。( ) = 昙 1 9 一 f 4 3 8 ) 第四章两个生物最优控制问题及其最优控制存在性 我们得知万l ( t ) 0 于是，我们有 口k 0( 4 3 9 ) 因此，只要我们的成本函数y 满足，对任意的q y ( 0 ) 的话，则对o o u a 矿( u ) 这样对所有的t ，都有巩= o ) 于是i b n ( q 2 ) 至少存在一个最优控 制口 我们可以看到，定理中的条件意味着打疫苗所花的成本永远比不打疫苗所花 的成本要高，这是自然成立的也就是说，在一般情况下，问题( q 2 ) 都存在着最优 控制 一2 0 一 参考文献 参考文献 【llb a l d e rf ao na u s e f u lc o m p a c t i f i c a t i o nf o ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s j 】jm a t ha n a la p p l ，1 9 7 9 7 2 ：3 9 1 3 9 8 【2 】b a l d e re ja g e n e r a la p p r o a c ht ol o w e rs e m i c o n t i n u i t ya n dl o w e rc l o s u r ei no p d m mc o n t r o lt h e o r y 【j 】s i a mjc o n t r o lo p t i m 。1 9 8 4 ，2 2 ：5 7 0 - 5 9 8 【3 】b a l d e re j n e we x i s t e n c er e s u l t sf o ro p r i r e a lc o n t r o l si nt h ea b s e n c eo fc o n v e x i t y ：t h ei m p o r t a n c e o f e x t r e m m i c y j 】s i a mjc o n t r o lo p t i m 1 9 9 4 ，3 2 ：8 9 0 - 9 1 6 【4 】b e r k o v i t zl d o p t i m a lc o n t r o lt h e o r y 【m 】n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【5 】c e s a r il e x i s t e n c et h e o r e mf o rw e a ka n du s u a ls o l u t i o n si nl a g r a n g ep r o b l e m sw i t hu n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s 【j 1 it r a n sa m e rm a t hs o c ，1 9 6 6 ，1 2 4 ：3 6 9 - 4 1 2 【6 】c e s a r il o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，p r o b l e m sw i t ho r d i n a r ye q u a t i o n s 【m 】n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 7 】f l o r e s b a z g nf ，p e r m t t as n o n c o n v e xv a r i a t i o n a lp r o b l e m sr e l a t e dt oah y p e r b o l i ce q u a t i o n 【j 】 s i a mjc o n t r o lo p t i m ，1 9 9 9 ，3 7 ：1 7 5 1 - 1 7 6 6 【8 】hl o u e x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l sf o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h o u tc e s a r i - t y p e c o n d i t i o n s j 】a p p lm a t ho p t i m 2 0 0 3 ，4 7 ：1 2 1 - 1 4 2 【9 1hl o u 。e x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l sf o r s e m i l i n e a re l l i 曲ce q u a t i o n sw i t h o u tc e s a r i - t y p e c o n d i t i o n s j 1 a n z i a mj ，2 0 0 3 ，4 5 ：11 5 - 1 3 1 【1 0 l ix ，y o n gj o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s m l ，b o s t o n ：b i r k h b u s e r 1 9 9 5 2 l 一 叁耋奎堕 【1 l 】n e u s t a d t l w t h ee x i s t e n c eo f o p t i m a lc o n t r o l s i n t h ea b s e n c eo f c o n v e x i t yc o n d i t i o n s j 】j m a t h a n a l a p p l ，1 9 6 3 ，7 ：1 1 0 1 t 7 【1 2 】p a p a g e o r g i o u p r o p e r t i e so f t h er e l a x e d t r a j e c t o r i e so f e v o l u t i o ne q u a t i o n sa n do p t i m a lc o n t r o l j s i a mjc o n t r o lo p t i m 1 9 8 9 ，2 7 ：2 6 7 - 2 8 8 1 3 r a y m o n dj e c o n d i t i o n sn 6 c e s s a i r e se ts u f f i s a n t e sd ，e x i s t e n c e d es o l u t i o n se nc a l c u ld e sv a r i a t i o n s 【j 1 a n ni n s thp o i n c a r 6a n a l y s en o nl i n 6 a i m ，1 9 8 7 ，4 ：1 6 9 - 2 0 2 1 4 1r a y m o n dj ee x i s t e n c et h e o r e m si no p t i m a lc o n t r o lt h e o r yw i t h o u tc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s