（运筹学与控制论专业论文）几类非线性生物数学模型的动力学行为研究.pdf

摘要 生物数学是一门介于生物学和数学之间的边缘学科这门学科以数学方法研究 和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究种群动力学和传 染病动力学是生物数学的两个重要分支，本文主要研究了两类种群动力学模型和一 类传染病动力学模型的动力学行为，对它们的研究在生物数学上具有重要的理论和 实际意义 分支现象发生在依赖于参数的系统，当系统参数在某些特定值附近变化时，系 统的解的某些结构属性发生了变化，这种变化称为分支现象，这些参数值称为分支 值与系统的平衡状态及周期解相关的分支称为h o p 盼支首先，本文第二章研究 了具有离散和分布时滞的捕食一食饵模型模型正平衡点的特征方程是特殊的三阶 指数多项式方程，把离散时滞7 看作参数，理论分析表明，在一定条件下，小时滞并 不影响正平衡点的渐近稳定性，而当时滞丁超过某临界值时正平衡点的稳定性发生 变化，即从稳定到不稳定，在这个过程中经历h o p 纷支，从正平衡点分支出一族周 期解同时，利用中心流形定理和规范型理论，研究了分支周期解的性质，诸如分支 方向、分支周期解的稳定性进一步，利用数值模拟验证了得到的理论结果 其次，第三章研究了具有b e d d i n 醇o n - d e a n g e l i s 功能反应函数的阶段结构捕食一 食饵模型在一定条件下该模型有唯一的正平衡点，通过对正平衡点处特征方程根 的分布的研究，得到了正平衡点局部渐近稳定的充分条件，并且在一定条件下，当 时滞1 _ 超过某些临界值时正平衡点经历h o p 盼支，从正平衡点分支出一族周期解同 时，运用迭代的方法和比较原理，得到了正平衡点全局稳定的充分条件进一步，利 用数值模拟验证了得到的理论结果 最后，第四章研究了具有非单调传染率的传染病模型的动力学行为通过分析， 导出了模型的基本再生数风，当风= 1 时，利用l y a p u n o v - l a s a l i e 不变集原理，证 明无病平衡点是全局吸引的当 7 时，时滞7 的变化不影响无病平衡点 的全局渐近稳定性当风 1 时，通过构造l y a p u n o v 泛函，证明地方病平衡点是局 部渐近稳定的，并利用持久性定理，证明地方病平衡点是持久的，也就是说疾病始 终存在，在此条件下，当0 7 - l ，磅 c o n 8 t r u c t i n gl y 印u i l o vf u n c t i o n 融，t h ee n d e m i ce q u i l i b r i u mi 81 0 c a l l ya 8 y m p t o t i c a n y s t 巍域e ，酚髓s i 毯gp e 嫩越潦i 蟪专摭辩r e m ，t 瓤ee n d e m 恐e ( 1 垃l 逊蛀u 瓣耋sp 档黼鑫矗e 躐，臻强 a s 酗n ga sosr 丁 其中q ，p ，7 和时滞丁是正常数叠1 ( t ) ，z 。( ) 分别表示种群在时刻t 幼年和成年个体的 密度，q 是幼年种群在时刻t 的出生率，1 是死亡率，p 是成年种群在时刻的死亡率和 拥塞率，时滞7 _ 是种群从出生到成年所需的时间，n e 一 z 2 一丁) 表示在时刻t 一下出 r 一 z ， 吖一雠脯 一 一 力 z 一 7 “ 一“ ”n za 口 = = z z ，-、【 兰州理工大学硕士学位论文3 生且在时刻t 仍然存活( 伴随幼年死亡率7 ) 的幼年个体在时刻离开幼年到达成年的 速率，因此，这一项体现了幼年到成年的转变经过分析，作者给出了亡 0 时的种 群动力学行为如a i e l l o 和n e e d m a n 所证，所有解对于 0 是正的和有界的，且系 统( 1 1 ) 存在平凡平衡点( 0 ，0 ) 和正平衡点 ( 啪) = ( 筹e 叫( 1 - e 叩) ，茜e 叩) ， 并产生了类似l 0 9 i s t i c 方程的全局动力学，即所有正解当_ 。时都收敛于唯一的 正平衡点，阶段结构的引入并没有影响种群的稳定性，正平衡点仍然是全局渐近稳 定的，即所有带有正初始函数的种群要么灭亡要么通过一个振荡过程趋近于一个常 数种群水平，这一点推广了仅带有一个阶段且没有时滞的模型的类似性质 2 0 0 3 年，c h e n 等【3 2 】又提出了如下无时滞的具有阶段结构的单种群模型 j 眠( ) = b ( t ) 一耽( t ) 一( t ) ，no 、 l k ( t ) = q ( 亡) 一d m ( t ) 、7 其中m ( t ) 和t n ( t ) 分别表示种群在时刻幼年和成年个体的密度；b ( ) 为幼年种群在 时刻t 的出生率：取( t ) 和( t ) 分别为幼年和成年种群在时刻的死亡率；w ( t ) 为从 幼年到成年种群的转化率，q 为成功转化的概率近年来，在模型( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的基础 上，很多学者研究了不同类型的具时滞的阶段结构模型并得到了有意义的结果，见 文献3 3 4 5 1 ，其中稳定性、周期解的存在性、分支等动力学行为是研究的热点 1 1 3 传染病的历史背景和研究概况 传染病是由病原微生物( 如病毒、衣原体、立克次体、细菌、螺旋体和真菌 等) 和寄生虫( 原虫或蠕虫) 感染人体后产生的，能够在正常人群中引起流行的感染 性疾病历史上传染病一次又一次的流行给人类的生存和国计民生带来了巨大 的灾难早在公元2 世纪，a n t o n i n e 瘟疫在罗马帝国的流行，引起了人口的急剧下 降和经济恶化，使入侵者乘虚而入，导致了罗马帝国的崩溃【矧使人闻之色变的 黑死病( 淋巴腺鼠疫) 曾四次在欧洲大规模流行，第一次是公元6 0 0 年，使欧洲约一 半的人口丧生，死亡率最高时达每天一万多人【4 8 】；第二次爆发于公元1 3 4 昏1 3 5 0 年 间，导致欧洲1 3 的人口死亡；第三次发生于1 6 6 5 1 6 6 6 年间，使伦敦1 6 的人口死 亡；最后一次是在1 7 2 0 - 1 7 2 2 年间，使法国m a s e i l l e s 的一半人口，t o u l o n 附近6 0 的 人口，a r l e s 4 0 、a i x 和a r i g n o n 3 0 的人口死亡【4 7 】1 9 9 0 年俄罗斯发生白喉流行，波 及东欧1 5 个国家，病历患者超过1 0 万人人类的致命杀手艾滋病患者已近6 0 0 0 万， 其中2 0 0 0 多万患者( 包括3 8 0 万儿童) 业已死亡 长期以来，人类与各种传染病进行了不屈不挠的斗争回顾斗争历程，应该 说2 0 世纪是人类征服传染病取得最辉煌成果的时期：肆虐了近千年的天花终于被消 兰州理工大学硕士学位论文 4 灭了：麻风病、脊髓灰质炎被彻底消灭的日子也为期不远了；白喉、麻疹、百日咳、 破伤风等病已在许多国家得到遏制；多种抗生素的问世，使一度给人类造成巨大灾 难的“瘟疫不再危害人间然而，人类要征服传染病，道路依然曲折漫长w h o 发 表的世界卫生报告表明，传染病依然是人类的第一杀手目前全球6 0 亿人口中约有 半数受到各种不同传染病的威胁在各种传染病当中，疟疾每年发病人数高达5 亿， 其中2 0 0 多万人丧生；急性呼吸道感染每年造成4 0 0 万儿童死亡；现在全球约2 0 亿的 人口受到结核菌感染，结核病例约有2 0 0 0 万【4 9 1 近年来，新老传染病的暴发流行，使 痰隋在全世界此起彼伏，争相肆虐1 9 9 3 年，孟加拉国受困于d 1 3 9 ；1 9 9 4 年，印度爆 发了鼠疫之灾；1 9 9 6 年，尼日利亚发生了脑膜炎世纪大流行，一种被称为d 1 5 7 ：岛的 病菌袭扰了日本全国各地，在此前后，欧洲各地也被疯牛病搅得惊恐不安针对日 益严峻的传染病形势，w h o 确定的1 9 9 7 “世界卫生日”的主题是“伞球警惕，采取 行动，防范新出现的传染病” 我国自解放以来，传染病的防治一直受到各级政府和研究部门的高度重视，采 取了一系列的宣传教育和防治措施，在控制和逐步消灭某些传染病方面取得了辉煌 的成绩然而自改革开放以来，随着国际贸易和交往的发展，环境污染的加剧，生 态平衡的破坏以及病原体和传播媒介抗药性的增强，原来已被灭绝或被控制的许 多传染病( 如性病、结核病等) 又再次出现，一些新近出现的传染病也来势凶猛有 关专家曾估计，2 0 0 0 年中国艾滋病的h i v 病菌感染者己累计超过6 0 万人，且将以每 年3 0 的速度增长，如不采取有力措施，到2 0 1 0 年可能增至1 0 0 0 万，我国将为此付 出4 6 0 0 - 7 7 0 0 亿元人民币的代价【删中国科学院艾滋病研究专家呼吁：“假如不迅速 采取措施，中国将成为世界上艾滋病感染人数最多的国家之一，艾滋病的流行将会 成为国家灾难 从2 0 0 2 年底到2 0 0 3 初在我国内地爆发的非典型肺炎恶化传染病，对 人们的生活和国家的经济发展造成严重影响，并波及到全球2 8 个国家历史和现实 都告诉人们：人类正面临着传染病长期而严峻的威胁，面对传染病的发病机理，传 播规律和防治措施研究的重要性日益突出，且已成为当今世界需要迫切解决的一个 重大问题 目前，对传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研 究和理论性研究传染病动力学是对传染病进行理论性定性分析和定量研究的一种 主要方法它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以 及与之有关的社会因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动 力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律， 预测其变化发展趋势，分析其流行的原因和关键因素，寻找对其预防和控制的最优 策略，为人们制定防治决策提供理论基础和数量依据传染病动力学的建模与研究 于2 0 世纪中叶开始蓬勃发展作为标志性的著作是b a i l e y 于1 9 5 7 年出版、1 9 7 5 年第 二版的专著【5 l 】近2 0 年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型 兰州理工大学硕士学位论文 5 被用于分析各种各样的传染病问题，这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般 规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、性病、艾滋病等诸多具体的 疾病近几年，在很多传染病模型的研究中出现了一个被称为基本再生数的量风， 它表示当总种群达到稳定的平衡态且个体均为易感染者时，引入一个染病者，然后 他在平均染病期内所能传染的人数显然，风= 1 作为疾病是否消亡的阀值，其实 际涵义是十分明显的当 1 时，模型还存在唯一的全局渐近稳定的地方病平衡点，即疾病将持 久存在，并进而形成地方病，这时模型的无病平衡点是不稳定的因此，有许多研 究工作致力于寻找一定的传染病模型的基本再生数f 5 2 _ 6 1 1 1 2 预备知识 1 2 1指数多项式的零点分布 r ，u a n 和w e i 在文献 5 】中给出了关于特征值分布的如下结论 引理1 2 1 考虑指数多项式 p ( a ，e a n ，e a ) = a n + p p 入竹一1 + + 蠢2 1 a + 嘏) + 矽r 1 + 耀。a + 酬e 咖 + + p p 。+ + 馥2 a + 毋 e 以r m ， 其中瓦o ( t = 1 ，2 ，m ) 硝( i = o ，1 ，2 ，仇； 歹= 1 ，2 ，礼) 是常数，则指数 多项式p ( 入，e 一概，e a r m ) 的零根随着( 几，死，) 的变化而出现或穿过虚轴时， 分布于右半平面内零根的总数才会发生变化 1 2 2泛函微分方程中的记号和基本知识 砰是印中非负向量的锥如果z ，耖础，且甄犰( 甄 玑) 对所有1 i n 成立，则有z 秒 0 的每个j ，存在 使得( 一吩十，舌) o 对所有的亡冗和充分小的 正常数成立 7 国4 ) 懿果一0 ，则z ( 妻，) 兰。对所有亡南成立 引理1 2 3 令( h 1 ) 一( h 4 ) 成立，则( h o ) 是正确的且有 。 ( i ) 如果多和妒是c 中满足垂妒的不同元素，且满足嚣 o 。的区间，如+ 仃) 是z ( ，岛，) 和z 心如，妒) 的最大存在速间的交，那么o 髫( 亡，勤，钟z ( ，如，妒) 对坛 亡 t o + 盯成立；o z ( t ，o ，咖) o 有u 2 ( r ) o ， 则z = 0 是全局渐近稳定的 1 2 3 持久性理论 考虑度量空间x ，d 是距离t 是定义在x 上的的一个连续半流，即连续映射t ： 【o ，o 。】x x 具有下面性质 互。正= 正+ 。，亡，s o ；而p ) = z ，z x 其中五表示从x 到x 的映射，记为正( z ) = t ( t ，z ) 点z x 到x 的子空间y 的距离定 义为 d ( 舢) 2 甚d ( 删) | ， 定义1 ：2 2 正在x 中称作点耗散的，如果在x 中存在一个有界非空集b ，使得对 任意z x ，存在一个t o = 芒o ( z ，b ) ，使得t ( t ) z b 对所有亡 t o 成立 定义1 2 3acx 称作是正的不变集，如果任意从a 中出发的解当亡0 时仍滞 留在a 中 定义1 2 4x 中的一个非空不变集m 称作一个孤立不变集，如果它是其自身的 一个邻域中的最大不变集 由文献 6 6 】知，通过z 的正轨矿( z ) 定义为7 + ( z ) = u o t ( t ) z ) ，且其u 极限集 是叫( z ) = n 芝o c lu 下【t ( 芒) z ) ，其中c l 是闭包。把一个紧不变集a 的稳定集记 作w s ( a ) ，且定义为 + w 阳( 4 ) = z ：z x ，u ( z ) ，u ) ca ) ， 兰州理工大学硕士学位论文 8 a 的特殊不变集记作a 8 ，且定义为 a a = u 艇a a ( 茁) 定义羔。2 。5 磊称作是孤立的，如果存在一个五8 的有限覆盖掰一。坠l 舞磊，它们 两两不相交，且关于马是紧的孤立不变集，使得每个舰也是关于r 的孤立不变集 定义1 2 6 集会肘称为与另一个集合键连接，记为ml _ ，如果存在z x ，霪掰u ，使得在x 中过。点的全部轨线酶a 极限集包含在掰中，。极限集包含 在中 定义羔2 7 有限覆盖必一u 叁l 必称为循环覆盖，若有溉l _ 鹄l _ | 一强 卜- ，尬，对一些i l ，七) ，否则称m 是非循环覆盖 ( h 1 ) 假设x 是开集x o 的闭包，拟。非空且是x o 的边界x 上的伊半群丁0 ) 满 足 t ：x o _ x ot ( ) ：p x o a x o 弓| 瑾1 2 6 嘲假设z 0 ) 满足阻王) 置满足 ( i ) 存在t o 0 使得对所有t ，r ( 舌) 是紧的 ( i i ) r ( t ) 在x 中是点耗散的。 ( 嫩) 压是孤立的且有一菲循环覆盏m ，如果对每个始掰，w 8 ( 勉) nx o = a 则t ( ) 是一致持久的 第二章具有离散和分布时滞捕食食饵模型的稳定性 和h o p 盼支 2 。王引言 l o t k a ，v o l t e r r a 捕食食饵系统作为一种重要的数学生态学模型，许多学者都进 行过深入的研究时滞麴引入更是丰富了其动力学行为【1 3 一1 6 一。m 等人嘲研究了 如下具单一时滞的捕食食饵系统 宕( 。) ) l 一瑾l l 鬈 一r ) 一8 1 2 爹( 墓一丁) 】， ( 2 1 ) l 雪 ) 一暑 ) f 一您十n 2 l z ( t f ) 一8 2 2 耖 一丁) 】， 、 其中z ( 出掣0 ) 分别表示食饵，捕食者的种群密度：? _ l o ，您 o 分别表示食饵、捕 食者的内禀增长率；8 毹 00 = l ，2 ) 分别表示两种群密度作用的种内作用系数；锨f ( i 歹) 反映两种群相互作用的种间作用系数；口1 l z ( 一丁) 和n 2 2 秽( 亡一7 ) 中的7 分别反 映食饵种群和捕食者种群自身增长的反馈时滞；8 1 2 爹0 一) 和8 2 l 髫0 一丁) 中豹r 分别 表示追捕时间和捕食者的成熟期作者把时滞r 看作分支参数，研究发现当7 - 经过菜 些临界值时，正平衡点失去稳定性并且经历联o p 扮支利用f 缸i a 和m a g a l h 磊e s 在文 献翻中介绍的中心流形定理和规范型理论进一步讨论了分支方向和分支周期解斡 稳定性数值模拟表明：当时滞丁小于第一个临界值时，正平衡点是渐近稳定的，当 时滞7 _ 经过第一个雅界值时，正乎衡点经历薹薹o p f 分支，隧着时滞r 的增大，出现了混 沌现象 最近，s o n g 等人陴】研究了如下具离散和分布时滞的l o 豳t i c 模型 声 摩( 芒) = r 。( 亡) 【l 一口1 。( t 一下) 一眈 ，( 害s ) z ( s ) d s 】，( 2 2 ) ，一” 其中巧08 l ，匏是正常数。歹称为对滞核函数，它在积分中起到”加权”的作用。假 设，( 亡) o 对所有亡o 成立，且f ，( ) 出= l ，这样可以保证模型( 2 2 ) 的稳定状态 不受时滞的影响把时滞看作参数，作者研究了正平衡点的稳定性和局部h o p 盼支 的存在性，并利用嚣疑s s a 斑等人在文献添簧中余绍豹中心流形定理帮规范型理论讨论 了分支方向和分支周期解的稳定性 受到以上工作的启发，本章考虑如下具离教和分布时滞的捕食食饵系统 圣( t ) = z ( ) f r - 哪( 一丁) 一r 2 m s ) z ( 8 ) 如咱可( 1 一下) l ， ( 2 3 ) i 妒( ) = 掣( t ) 【一r 3 十舰。 一r ) 一如秒( 亡一r ) 】 、 7 在系统( 2 3 ) 中取弱核函数 ，( t ) 一口e 一以， o 本章将把离散时滞r 看作参数，来研究r 对( 2 。3 ) 动力学行为的影响 9 兰州理工大学硕士学位论文 l o 2 2h o p f 分支的存在性 定义一个新的变量 t ( t ) = 6 e 一吣叫) 嚣( s ) 如， ，一 则( 2 3 ) 转化成如下的等价系统 | 未( ) = z ( 考) 一建z 一丁) 一魄嚣0 ) 一盘l 蓼0 一r ) 】， 心( 1 ) = k ( t ) 一阮( t ) ， ( 2 4 ) l 雪( ) = 爹( ) 【一您七眈茹( t 一下) 一心弘( 亡一，) 】。 为了确保系统( 2 4 ) 总有一个正平衡点，本章假设( 2 4 ) 的系数满足如下条件 ( h 1 ) ：g 2 r r 3 ( r l + 您) o 。 显然，在( 王 王) 的假设下，( 2 4 ) 有满足矿一茹豁唯一正平衡点矽( ，矿，矿) ，其中 2 = r 心十0 1 您 窈1 8 2 弦( r i 您) 这时，( 2 4 ) 在口处的线性化系统为 矿一 0 2 7 一r 3 ( r l + r 2 ) 8 l 貌瓤( r l 您) 4 l 圣( 善) = 一r l 茹4 z ( 考一，) 一您。+ 戳( 雾) 一8 l 鬈4 ( 考一r ) ， 也( ) = 妇( t ) 一阮( 亡) ， l 参0 ) = 8 2 爹8 茹0 一r ) 一魄爹爹一f ) ， 从( 2 5 ) 易得系统( 2 4 ) 的特征方程为 a 3 + 矗1 a 2 + 奶a + ( 魂天2 + 魂入+ 磊) e 一如+ ( 如入+ 由) e 一激f = o ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中矗= 6 ，如= 6 跑卫+ ，如一尹l 矿+ 心矿，魂= 各( r l 矿+ 心矿) ，魂= 6 您魄茹+ 旷， 珠= z + 矿( 0 1 口2 + r 1 心) ，西一k 4 旷( 8 l n 2 十r l 心) 在( 2 6 ) 两边阍乘以e 打，则有 ( 入3 + 耋l 妒+ 如天) 8 如+ 如天2 + 也天+ 如+ ( 磊久+ 由) e 一灯= o 。 显然，讪 o ) 是方程( 2 7 ) 的一个根当且仅当满足 ( 2 。7 ) ( i 。3 一d 1 2 + 也) ( c o s 甜7 + i 8 i n “丁) 一魂。2 + 也i 彬+ 如+ ( 魂i + 由) ( e o s 。r is i n 跚r ) = o 。 分离实部和虚部易得 f ( 一d l “，2 + 西) c 0 8 “，7 - + ( 一d 2 u + 魄u ) s i n 下= 如叫2 一d 5 ， l ( 一。3 + 如“+ 蕊6 “) c o s u r 一( d l u 2 由) s i n r = 一也影 兰州理工大学硕士学位论文 1 1 计算可得 8 l n u 丁2 c o s ，丁= d 3 u 5 + ( d t c f 4 一d 2 如一c f 3 如一d 5 ) u 3 + ( d 2 如+ 魂c f 6 一c f 4 d 7 ) u ， u 6 + ( 田一2 d 2 ) u 4 + ( 镌一程) u 2 一田 ( 也一d 1 如) u 4 + ( d l d 5 + 也d i ；一d 2 也一d 3 d 7 ) u 2 + d 5 由 “，6 + ( 田一2 d 2 ) 叫4 + ( 镌一d ；) u 2 一霹 令e l = 毋一2 d 2 ，e 2 = 镌一藤，e 3 = 一d 筝，e 4 = c f 3 ，e 5 = d l d 4 一如d 3 一如如一魂， e 6 = 也d 5 + 如如一d 4 d 7 ，e 7 = d 4 一d l d 3 ，e 8 = d l d 5 + d 4 d 6 一d 2 也一d 3 d 7 ，e 9 = d 5 d 7 这时s i n u 7 ，c o s u 7 可写成如下形式 s 1 nl 一7 - = c o s u 丁= 由s i n 2 u 丁+ c o s 2 u 丁= 1 ，可得 u ( e 4 u 4 + e 5 u 2 + e 6 ) 叫6 + e l u 4 + e 2 u 2 + e 3 e 7 u 4 + e 8 “，2 + e 9 u 6 + e 1 + e 2 u 2 + e 3 u 1 2 + u l o + ，2 u 8 + u 6 + u 4 + u 2 + = 0 ， 其中 = 2 e l e i ，如= e + 2 e 2 2 e 4 e 5 一e ；，3 = 2 e 3 + 2 e l e 2 2 e 4 e 6 2 e = e ；+ 2 e l e 3 2 e 5 e 6 2 e 7 e 9 一e ；，5 = 2 e 2 e 3 2 e 8 e 9 一e ；， = e ；一e 3 记z = u 2 ，则( 2 1 0 ) 变成 令 孛+ h 旁七 薯七 譬七 七| 分z 七l = q g ( z ) = z 6 + z 5 + 丘名4 + z 3 + 名2 + 彳+ ( 2 8 ) ( 2 9 ) 1 0 ) e 乏 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 假设 ( h 2 ) ：( 2 1 1 ) 至少有一个正实根 如果系统( 2 4 ) 的所有参数给定的话，那么利用计算机容易计算( 2 1 1 ) 的根由于l i mg ( z ) = + o 。，因此，介值定理意味着当，6 0 ， 则有 q & ( 警) 一1 = f ( 一3 舻+ 如+ 如) c o s “f 2 嚣l 甜s i 珏口r + 也】a 十【( 一3 甜2 十如一魂) s i n 。7 i + 2 也e o s 甜r + 2 如埘】召， 彰e 窜托 曩2 ( 筹) | r ：匍 = s t 爹黠 冗毫( 筹) 一1 r 。粕) 。 t 2 。1 6 ， 现在可以利用r u 8 n 和w b i 在文献 5 】中获键的结果来研究方程( 2 。6 ) ，进一步可得 到关于系统( 2 。4 ) 的平衡点稳定性和h o p 汾支的结果由辱| 理1 2 1 容易得到下面的定 理 定毽2 。2 1 截设( 至壬2 ) 和嚣3 ) 满足，燹簦有下蘧的结果： ( i ) 渴7 i 【o ，硒) 时，系统( 2 4 ) 的正平衡点护( 即系统( 2 3 ) 的正平衡点( ，矿) ) 是 渐近稳定的。 ( i i ) 系统( 2 。4 ) 的正平衡点f ( 即系统2 3 ) ) 在r = 询时经历薹差o p 汾支也就是谎 在7 _ = 绚附近，系统( 2 4 ) ( 即系统( 2 3 ) ) 从正平衡点驴( 即( z + ，旷) ) ) 分支出周期解 2 3 分支方向和分支周期解的稳定性 从定理2 。2 。王已经懿遭，在一定的条件下系统( 2 。莲) ( 帮系统( 2 固) 在r 一两时经 历h o p f 分支在本节中，利用文献 6 9 】中介绍的中心流形定理和规范型理论来进一 步讨论分支方向和分支周期解的稳定性。通过给定的公式可以根据系统( 2 + 4 ) 中的系 数来确定是在7 f o 时还是在彳 ，。= 器 王+ 群专厨矿r 一毪茹幸镪萝拳矿一寤l 嚣4 多一瑰矿威梦) 8 一讥。 因此，只要取 訾 l 絮再磊再孺再i = 万五万萨i 鬲云面丽两l 十q 西4 + 芦歹十7 一? l o + + 0 2 扩歹一8 l 茹声一瓤圹正够1 ) e 一氨静强。 使得g ( s ) ，譬( 8 ) = 羔，垡4 ( s ) ，虿( ) 一o 锻设岛是方程( 2 王7 ) 在舻一0 时翡审心流形，魏是方程2 王? ) 盼解。定义 嚣( d 一钮事，娩) ， 矿( 嚣，缈瓣鼓拶) 一2 r g 名( ) g ( ，( 2 2 4 ) 则在中心流形上有 形冀，妨= 形拈哦氖毒) ，妨= 鳓寻+ 隰l 妨露+ 溉詈专， 2 2 5 兰州理工大学硕士学位论文 1 6 其中z 和乏是中心流形岛在矿和矿方向的局部坐标假设兢是方程( 2 1 7 ) 当p o 时在 中心流形岛上的解，剡容易计算 童( 舌) = 两名+ 矿( o ) f ( o ，w ( 名，君，o ) + 2 r e 名q ( 8 ) ) ) 磐名十矿( o ) 娲( z ，虿) = 强z 分( 名，i ) ， 其中 g ( 名，动= 矿( o ) 昂( 名，动= 蚴( p ) 寻+ 9 l l ( 回虏+ 抑( 护) 鲁十9 2 1 ( 毋) 等+ ( 2 2 6 ) ，2_ 2，2 弓 由2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 易冕魏= 茗l 既茹2 移) ，茗麓( 参) ) 一形俄参) + 蠲i 莉，嚣譬( 拶) = ( 1 ，o ，p ) t e 匍，于是有 髫；。( 。) 一蛾( 妨萼+ 叫；固) 历手蝴( 。) 萼z 乏+ 。( ，动| 3 ) ， z 射( 。) 攀嘴) ( 。) 萼+ 叫 ( ( i ) 历十嘴( 。) 萼+ q 名+ 藏+ d ( ，虿) | s ) ， z 3 。( 。) 一蛾( 。) 萼+ 叫 ( 。) 历+ 蠼( 。) 萼+ 励+ 压+ o ( ( 名，乏) f 3 ) ， l 一王) 茹3 t ( 一1 ) 嶙( 一薹) 等耐y ( 一圭) 露嘴( 一王) 等 乞 ， 二 蛾( 一1 ) 等+ 叫；( 一1 ) 魔+ 嘴( 一1 ) 等 翻f ( p ，g t ) 的定义，可得 9 ( 名，虿) + z 一蛔您乏挣您+ p ( | z ，乏) | 3 ) ， 十z 厣e 一讥叼十面孔讥懈+ d ( i ( 名，虿) 1 3 = = 霹+ ( o ) 乒b ( 名，虿) f r l z l t ( o ) z l t ( 一1 ) 一您z l t ( o ) 鬈2 t ( o ) 一n 1 留1 t ( o ) 碧3 t ( 一1 ) = 伯西( 1 ，凝+ ，矿) i o l 弋 穗2 第l t ( 一圭) 茹蕊。) 一茹墅( o ) 髫戳( 一主) 夕 = 西 z 2 【_ 7 1 e 一讪。匍一您n n l e 一讪邶+ 口2 矽e 一匍一r 4 俨矿e 一匍】 + 2 历【一r l 融 醐两 一您鼠 一8 l & 踟一撕礴 + 0 2 歹r e p e 讪。如) 一r 4 z ；万矿r e e 矗哟匍) 】 + 尹【一r l 内匈一您覆一8 l 艮汹印+ 8 2 汐歹e 缸砸强一谚矿e 蛐勺】 十吾z 2 乏卜n ( 喊( o ) e 铷十2 耐e 一匍小2 晡( 一1