（运筹学与控制论专业论文）具备k近似周期解的抛物系统的最优控制问题.pdf

摘要 在这篇博士论文中，我们首次提出了。舡近似周期解”这个概念，这里是一个非负 整数。b 近似周期解”是指抛物系统的弱解在基本空间投影后得到的关于时间变量的函 数的前个分量是非周期的，而以后的无穷多个分量是周期的。从数学的角度，我们 既可以把它理解为类似于周期解和稳定解的一种特殊类型的解，也可以把它看作周期解在 有限维空间上的一个小扰动。通过运用g a r l e r k i n 方法，我们解决了抛物系统的k 近似周 期解的存在唯一性。在此框架下，我们分别解决了具备缸近似周期解的线性抛物系统和 非线性抛物系统的参数识别问题。同时我们也证明了具备一近似周期解的半线性抛物系 统的最优控制的存在性和庞特里雅金最大值原理。 这篇博士论文共分四章。第一章是引言部分。在第二章，我们建立了具有肛近似周期 解的线性抛物系统，同时解决了零阶项参数识别问题的存在性。在第三章，我们建立了具 有一近似周期解的非线性系统，同时得到了一阶项参数识别问题的存在性。在第四章， 我们证明了具备髓近似周期解半线性偏微分方程最优控制问题的庞特里雅金最大值原理 和最优控制的存在性。 关键词：缸近似周期解，抛物方程，不动点定理，g a r l e r k i n 方法，参数识别，庞特里 雅金最大值原理 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t hs e v e r a lp r o b l e m sr e l a t e dt ot h eo p t i m a lc o n t r o la n d i d e n t i f i c a t i o no fi n t r i n s i cp a r a m e t e r so fap a r a b o l i cs y s t e m t h es y s t e mi sa s s u m e dt oh a v e t h es o - c a l l e dk - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s ak - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n ( t oh e d e f i n e di nc h a p t e r1 ) o fap a r a b o l i cs y s t e mi sas p e c i a lt y p eo fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n i t c a nb ev i e w e da sap e r t u r b a t i o no fap e r i o d i cs o l u t i o ni nt h el o wf r e q u e n c yp a r t o u rf i r s t o b j e c t i v eo ft h et h e s i si st ou s et h eg a r l e r k i nm e t h o dt og e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h ek - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra q u i t eg e n e r a lp a r a b o l i cs y s t e m w et h e nc o n - s i d e rt h ei d e n t i f i c a t i o np r o b l e mt h r o u g ht h ea p p r o x i m a t e p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h es o - c a l l e d p e r t u r b a t i o nt e r mo re r r o rt e r mi nb o t hal i n e a ra n dan o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mw ea l s o e s t a b l i s ht h ep o n t r y a g i nm a x i m u m p r i n c i p l ef o rt h eo p t i m a lc o n t r o lo fas e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o nw i t ht h ek - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s o u rt h e s i sh a sf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eag e n e r a lo v e r v i e wf o rt o p i c st o b ed i s c u s s e di nd e t a i l si nt h el a t e rc h a p t e r s c h a p t e r2i sc o n c e r n e dw i t ha ni d e n t i f i c a t i o n p r o b l e mf o rt h es o - c a l l e dp e r t u r b a t i o nt e r mo re r r o rt e r mi nal i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n ，t h r o u g hi t sa p p r o ) d m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s c h a p t e r3c o n t i n u e so u rs t u d y i nc h a p t e r2o nt h ei d e n t i f i c a t i o np r o b i e mf o rt h ec o e f f i c i e n t sf o rt h el o w e ro r d e rt e r m si na n o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db y as e m f l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hk - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s k e y w o r d s k - a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，丘x e dp o i n tt h e o r e m ， g a r l e r k i nm e t h o d ，i d e n t i f i c a t i o no fp a r a m e t e r ，p o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l e i i i 中文简介 分布参数系统的最优控制理论包括很多方向的研究工作。在这篇博士论文中，我们主 要考虑其中的两个方向的研究：系统参数识别和庞特里雅金最大值原理。我们主要做了 以下三个方面的工作： ( 1 ) 我们建立了一个具备k 一近似周期解的线性抛物系统( 这里k 是一个非负整数) ，并给出了系统一近似周期解的存在唯一性证明，以此抛物系统作为 背景状态方程，我们研究了系统的零阶项参数识别问题，并且给出了参数识别问题的存 在性证明。( 2 ) 我们建立了一个具备k 近似周期解的非线性系统，并证明了在所给非线 性条件下系统一近似周期解的存在唯一性，以此系统为背景，我们研究了系统一阶项的 参数识别问题，并给出了参数识别问题的存在性证明。( 3 ) 我们建立了具备一近似周 期解的半线性微分方程的最优控制问题的庞特里雅金最大值原理。同时我们证明此最优 控制问题的最优控制的存在性。关于系统参数识别问题，前人已有很多的工作，参见【3 】， 【3 l 】，【3 2 ，【4 3 ，【5 1 1 【5 2 】等。在上述工作中的背景状态方程是给定了初始值和全区域上的 观测值的，而本篇论文中的状态方程只给定了子区域上的观测值，而要求识别出部分初 始值和低阶项参数。在工作f 9 1 1 中，作者考虑的是观测值取在子区域时的参数识别问题， 且此时的状态方程是周期抛物方程，而在本论文中状态方程是一个具有缸近似周期解的 抛物方程，周期抛物方程是它在k = 0 时的特例。关于偏微分方程的庞特里雅金最大值 原理，已有大量的文献资料，参见 5 】j 6 】，i s ，【9 】，【1 0 】，【1 1 】，【1 3 】，【1 4 】，【1 5 】， 17 】，【1 8 】，【2 0 l ， 【2 9 】，【3 4 】，【3 5 ，【3 7 】，【3 s ，【4 7 】，【6 0 】， 6 l 】， 6 2 】， 7 3 ，【7 9 】，i s 6 ，【87 】，i s 9 ，【9 0 ，【9 3 】，【9 7 】，【9 s 等。 在上述文献资料中所考虑的最优控制问题均是适定的，而本文考虑的受控系统可能无解 或者多解，与之相关的最优控制问题就是非适定的，我们不能按照传统的方法将状态当 作是关于控制的泛函来处理。我们这里使用的方法是将原状态方程看作是由状态变量与 控制变量构成的一个约束条件，从而把非适定问题的最优控制问题转化为适定的最优控 v v i 制问题。本论文与其他的研究工作( 见 6 】，【17 1 ，【3 9 】，【6 0 】，【6 1 】，【8 8 】， 9 2 】， 9 4 】) 的不同之 处在于：首先，我们考虑的是一种新的形式的状态约束- - - - k 一近似周期的状态约束( 它包 含了周期的状态约束) ，并且本章中的控制取在任意一个开子区域上，而不是整体区域 上的控制；其次。我们运用半线性受控系统线性化方程的舡近似周期解的存在唯一性结 果构造了一个逼近罚泛函；最后，在本论文中的罚函数虽然采用的是典型的二次形式，我 们的主要结果仍然可以等价推广到如6 1 和 9 2 m 的一般形式下的罚函数。 ( 一) 具备舡近似周期解的线性系统的参数识剐 在第二章中我们将学习线性抛物系统的零阶项的参数识别问题，此处的系统是一个具 有近似周期解的线性抛物方程。我们假设q 是r n 中的非空有界开子集，d q 是其俨光 滑的边界。u 是n 的开子集。我们记q = n ( 0 ，t ) ，e = 鲫x ( o ，t ) ，t 0 ，驴= ux ( 0 ，t ) 。我们考虑如下的抛物系统： j 瓦c o y ( 州) + 切( 州) = m ，t ) ， 【( z ，t ) = 0 ， 这里l y ( x ，t ) = l o y ( x ，t ) + e ( x ，t ) ( 。，t ) ，其中 ( z ，。) q = q ( 0 ，r ) ， ( 1 1 1 ) ( z ，t ) e = a qx ( 0 ，r ) ， l o y ( x ，t ) = 一功( ( z ) 皿( z ，t ) ) + c ( 咖( z ，) 幻= 1 在本篇博士论文中t 我们总记d ，= 南。在不引起混淆的情况下，我们将分别省略函数中 的变量( 。，t ) 或者z 。对于方程( l 1 。1 ) 中的算子l 中的系数，我们有如下正则性条件： ( i ) ：a u ( 功l i p ( f 1 ) ，( z ) = ( z ) ，且有”2 乙。ln u ( z ) 6 白万1 2 ，其中f i p ，a 是一个正常数。 ( i i ) ：c ( z ) l ( q ) ，e ( z ，t ) l ( o ，r ；l 。( q ) ) ，其中叮 詈，( 工，) 三2 ( q ) 。 在很多应用中我们通常考虑系统( 1 1 1 ) 在有周期解的情况下的最优控制问题例如 文献【5 l l ，【87 】，1 9 4 】， 9 l 】等等。我们说系统是周期的是指系统( 1 1 1 ) 的解满足如下条件： ! ，( 士，0 ) = ( z ，t ) ，z q( 1 1 2 ) 在系统( 1 ，1 1 ) 中，算子l 的主部l o 是和空间变量z 相关的，而与时间变量t 不相关， 但我们所谓的扰动项或者误差项e ( x ，t ) 是时间变量t 的函数。我们发现当l 是正算子 时，系统( 1 11 ) 存在周期解，而当e ( x ，t ) 取很大负值时，三不一定是正的，此时，对于一 般情况下所给的，( z ，t ) l 2 ( q ) 来说，系统( 1 1 1 ) 有可能不存在周期解( 见第二章中的例 2 2 4 ) 。换句话说，加入扰动项e ( x ，t ) 到系统( 1 1 1 ) m 将破坏掉系统的周期性。但是在 本章中我们将指出此时系统仍然具备某种意义下的周期性，我们称这种意义下系统的解 为近似周期解，我们将在后文中给出近似周期解的详细定义。 在给出近似周期解的定义之前，我们首先回顾一下对称算子的特征值问题： 卜t ：? 卜加仕) ( 1 1 3 ) 1 口( z ) l 铀：o 上叫 由算子l o 的正则性假设，我们知道( 1 1 3 ) 具有一组特征根，记为 ) 器l ，其对应的特 征向量记为 玛( z ) 墨- ，我们有 l o 局( 。) = 玛( z ) ，一 孚这里以及整个第三章，我们都假定e s s s u p t e ( o ，t ) i l 伽( ，t ) l l l 。( n ) 矗，这里是正 常数。 ( h 5 ) ：对任意的整数m ，我们定义 l ，= h l ( o ，t ；w 1 ，( q ) ) ：e s s s u p t ( o ，t ) l l h ( ，t ) l l - ( n ) m ) 我们假定对任意固定的常数m ，都有岛3 4 1 。，j = 1 ，2 ，n 。 下面我们简单回顾一下i 一近似周期解的定义，这里咒是非负整数，我们已经在第二 章中介绍过。如第二章中的讨论，l o 算子的所有特征向量 玛( z ) ) 罡- 构成l 2 ( q ) 的一“。 组标准正交基。 定义1 2 1 对任意的非负整数k ，我们称( z ，t ) 是方程( 1 2 1 ) 的关于l o 的一近似周 期解是指： ( a ) ：e ( 【0 ，即；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，r ；础) ) 是方程( 1 ，2 1 ) 的弱解， ( b ) ：y & ：= 耖g ( 【o ，卅；l 2 ( q ) ) ；协( o ) = y i ( t ) ，j k + 1 ，协( ) = ，) 玛扛) d z 这里称( z ，t ) 是方程( 1 2 1 ) 初始值为y ( x ，0 ) = 妒( z ) 的弱解是指，如果y e ( o ，邪；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；础( q ) ) 且对任意的测试函数妒硪1 ( q ) = h 驴( q ) ；a l 2 ( q ) ，d h l 2 旧) ，i = 1 ，2 n ，h ( x ，t ) l o = o ) ，对任意的t ，我们有： ( ( ，) ，妒( ，t ) ) 一_ 。( ，妒，) d r + 。( l ，妒) d r ：( 妒，妒( ，o ) ) + ( ，妒) d r j 0j 0 j 0 应用h 魂d e r 不等式和s o b o l e v 嵌入定理，通过运算可知以上定义是有意义的( 参见【2 8 】) 。 在第三章中我们得到的第一个主要结果如下： 定理1 2 2 假设l o ，a o ( t ，z ，y ) 如上定义，b 3 4 。，则存在整数c o i c o ( l o ，a o ，m ) 0 使得对任意的芄杨，任意给的初始值町= ( a 1 ，啦，a 丘) r ，下面的非线性方 x i i 程存在唯一解： f 掣+ 酬州) + 酢删) ) + 酬剐，( 州) jv ( 。，t ) = 0 i ( ( z ，o ) ，玛( z ) ) = a j ， 【y & 此外，方程的解烈，t ) 还满足如下估计式： ( z ，t ) q 江，。) 0 2 2 、 j ， 篡搿z 缌裂+ 肛一n 2 g ( 1 + l 口1 2 + f f 妒1 | | ：，( 口) + o 妒2 蛙。护f 0 1 + i i 妒3 0 乞( 。) + 止，2 d z 出) 半 问题( p ) ： o - t 戈( b ，。，) h i - ，。舻，l a , ls 面使得厶旧一嗣2 出出取得最小值， 其中面是一个正常数，矿l 2 ( q v ) 是给定的观测值，y 满足如下方程： f 掣仙州) + 肿，训m 俐删= m ， j ( z ，) = 0 ， i ( v ( 。，o ) ，置( z ) ) = 吩， l & ( z ，t ) q ， ( 。，) ，( 1 叫 jsc ， 本章中的第二个主要结果如f ： 定理l 2 3 假设如定理1 2 2 中所定义，则存在b ( 。，) 朋t 。和a ；r c ，其 中| n ：l 砑使得 i ( b ，。；而) 一蟊2 d x d t =i n f f 智( b ，a x ；x ，) 一嗣2 d x d t 尹b 酬z 1 a , l & 4j 口u 这里虿l 2 ( q 。) 是一个给定的函数，g ( b ，a l ；x ，) 表示方程( 1 2 4 ) 在( y ( b ，n i ；，o ) ，玛( ) ) = a i 时的解，这里a ，= ( o i ，口) 。 ( - - - ) 庞特里雅金最大值原理 x i i i 在第四章中，我们主要讨论了两个问题： ( 1 ) 具备近似周期解的半线性方程的最优控 制问题的庞特里雅金最大值原理。( 2 ) 具备近似周期解的半线性抛物方程的最优控制的 存在性。 我们仍记q c ，扎3 是有界区域，a q 是其俨光滑的边界，记q = q x ( 0 ，t ) ，e a qx ( o ，t ) 。我们用表示的特征函数，这里u 是q 的开子集。我们考虑如下受控 方程： ，y , 。( 。x ，, 。t ，) ：- 。a g ( z + ，( z ，t y ( z ，t ) ) 2 x 。( z ) u ( ，”( z ，) q ， 1 ) ( z ，t ) e ， 、。 这里u ( x ，t ) l 2 ( q ) 是控制函数，：q ( 0 ，t ) r r 是满足一定条件的非线性函 数，我们将在下文中详细给出它所满足的条件。 为了方便起见，在第四章中，我们将简记日= l 2c a ) ，v = 明( q ) ，i - 1 2 和1 1 分别 表示日和y 上的模， 表示h 上的内积。定义算子a ：日一h 如下： a y = 一a y ，d ( a ) = 铲( q ) n 硪( q ) 仍记算子a 的特征根为 九) 墨l ，易知有0 a 1 , x 2 0 的闭球。本章的主要工作是建立问题( p j c ，) 的最优控制的存在性和庞特里雅金最大值原 理。下面我们对非线性项，给出如下假设条件： ( a f ) ：函数，：q ( 0 ，t ) r r 在( z ，t ) q ( 0 ，邳上可测，且关于第三个变量 是连续可微的此外，存在常数l 和。满足1 0 ，存在整数咒g ( m ) 0 和 正常数r 三r ( m ) 使得对每一个a 。c 日7 ，【满足( 1 + k ) l x l lsm 2 ，这里k 是算子 a 的第瓦个特征根，最优控制问题( p c ，) 至少存在一个解。 在假设条件( a f ) 下，给定初值( z ，0 ) = 珈扛) ( y o ( x ) l 2 m ) 或者明( n ) ) 和某个 控制u l 2 ( q ) ，受控系统( 1 3 1 ) 在时间( 0 ，t ) 内可能无解或者多解。与之相关的最优控制4 问题就是非适定的，我们不能按照传统的方法将状态y 当作是控制t 的函数来处理。本 章与其他的研究工作的不同之处在于：首先，我们考虑的是一种新的形式的状态约束一 一肛近似周期的状态约束( 它包含了周期的状态约束) ，并且本章中的控制取在任意一 个开子区域上，而不是整体区域上的控制；其次，我们运用受控系统( 1 3 1 ) 在最优状态 y 周围的线性化方程的一近似周期解的存在唯一性结果构造了一个逼近最优控制问题 ( p o ) ( 当一0 时，( p 是，) 逼近( p c ，) ) ；另外，在这种最优控制的状态约束下，我们 得到了“q u a l i f i e d ”庞特里雅金最大值原理，意即在最优控制问题中得到的拉格朗日乘子 是非零的；最后，在本章中的罚函数虽然采用的是典型的二次形式，我们的主要结果( 定 理1 3 1 和定理1 3 2 ) 仍然可以等价推广到如【6 1 和 0 2 1 中的一般形式下的罚函数。 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m sa r eu s e dt od e s c r i b em a n yp h e n o m e n ai nt h er e a lw o r l d a si sw e l lk n o w n ，h e a tc o n d u c t i o n ，p r o p e r t i e so fe l a s t i c - p l a s t i cm a t e r i a l s ，f l u i dd ”a i i l i c 8 ， d i f f u s i o n - r e a c t i o np r o c e s s e sa n dm a n yo t h e r s ，a l ll i ew i t h i nt h i sa r e a ，t h es t u d yo ft h e o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ra ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e md a t e sb a c kt ot h eb e g i n n i n go f t h e1 9 6 0 s i nt h ep a s t4 0y e a r s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dc o n t r o lt h e o r i s t sh a v em a d e i m p o r t a n tc o n t r i b u t i o n si nt h i sr e s e a r c ha r e a t h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i - m e n s i o n a ls y s t e m si n c l u d e st h ee x i s t e n c et h e o r y ，t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n s ( f o ri n s t a n c e ，t h e p o n t r y a g i nt y p em a x i m u mp r i n c i p l e ) ，o b s e r v a b i l i t y , c o n t r o l l a b i l i t y , t i m eo p t i m a lc o n t r o la n d i d e n t i f i c a t i o np r o b l e m s t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sp r o b l e m sa l o n gt h e s el i n e so fr e s e a r c h t h e r ea r et w ob a s i c p r o b l e m s ，w h i c hw ew i l lb ei n t e r e s t e di nt h i st h e s i s t h ef i r s to n ei so nt h ei d e n t i f i c a t i o n p r o b l e m h e r e ，w ew o u l dl i k et od e t e c tc e r t a i nc o e f f i c i e n t so ft h ee q u a t i o nw i t hm e a n i n g f u l p h y s i c a lp r o p e r t i e st h r o u g ht h eo b s e r v a t i o no faf a m i l yo fs p e c i a ls o l u t i o n so v e ras u b r e g i o n t h es e c o n do n ei so nt h eq u a l i f i e dp o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l eo fap a r a b o l i cs y s t e m ， p o s s e s s i n gt h es o - c a l l e da p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n st ob ed e f i n e dl a t e r t ob ep r e c i s e ，i n c h a p t e r2 ，w ew i l ls t u d ya ni d e n t i f i c a t i o np r o b l e mf o ral i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mt h r o u g hi t s a p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ep a r t i a l l yg e n e r a l i z er e s u l t si nc h a p t e r2t o an o n - l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m i nc h a p t e r4 w es t u d ya no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e d b yas e m i l i n e a xp a r a b o l i cs y s t e mw i t ha p p r d m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s w ew i l le s t a b l i s ha q u a l i f i e dp o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l ea n dp r o v i d ea ne x i s t e n c et h e o r e mf o rs u c ho p t i m a l 1 2 z h e j i a n gu n e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r i ! a t i o n c o n t r o l s 1 1p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mf o ral i n e a rs y s - t e r nt h r o u g hi t sa p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s t h em a i np u r p o s eo fc h a p t e r2i st os t u d ya ni d e n t i f i c a t i o np r o b l e mf o rt h ec o e f f i c i e n t f r o mt h ez e r o t ho r d e rt e r mf o r8l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mt h r o u g hi t sp e r i o d i cs o l u t i o n s t o s t a r tw i t h w el e tqc b eab o u n d e dd o m a i nw i t hac 2 一s m o o t hb o u n d a r yo 2a n dl e t 。cqb eas u b d o m a i n w r i t eq = q ( 0 ，t ) ，e = a q ( 0 ，t ) w i t ht0a n dw r i t e 驴= u ( 0 ，即c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp a r a b o l i ce q u a t i o n ： l 铲c g y ，“咖，t ) - “毛咄 i n q = f lx ( 0 1 t ) ( 1 1 1 ) i ( z ，t ) = 0 ， o n e = a q ( 0 ，t ) ， w h e r el y ( x ，t ) = l o y ( x ，t ) + e ( x ，) f ( z ，t ) w i t h l o y ( x ，) = 一岛( ( 。) d i y ( x ，t ) ) + c ( z ) 掣( z ，t ) i j = l h e r ea n di nw h a tf o l l o w s ，w ew r i t e 功2 击w ea l s oo m i tv a r i a b l e s 。a n dtf o rf u n c t i o n so f ( z ，t ) a n d o m i t z f o r f u n c t i o n s o f x ，i f t h e r e i s n or i s k o f c a u s i n gc o n f u s i o n f o r t h e d i s c u s s i o n s i nc h a p t e r2 ，w em a k et h ef o l l o w i n gr e g u l a r i t ya s s u m p t i o n sf o rt h ec o e f f i c i e n t s ： ( i ) ：( ) l i p ( k ) ，( z ) = 驴( z ) ，a n d ”2 乙。la o ( z ) 5 6 击2 ，f o r r n w i t ha ac e r t a i np o s i t i v ec o n s t a n t ； ( i i ) ：c ( x ) l 。( q ) a n de 扛，t ) l 。( o ，t ；l 4 ( n ) ) w i t hq a n d ( x ，t ) l 2 ( q ) i nm a n ya p p l i c a t i o n s ，o n eo f t e ne n c o u n t e r sl ，b , r i o n sp r o b l e m s ，s u c h t h ei n v e r s ep r o b l e m a n dt h ep o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l e ，r e l a t e dt ot h ep e r i o d i cs o l u t i o n so f ( 1 1 1 ) ( s e e1 5 i 】 【8 7 1 【9 4 】【9 1 】) w er e c a l l t h a ta p e r i o d i c s o l u t i o no f ( 1 1 1 ) i s a s o l u t i o ns a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n ： ”( z ，0 ) = ( 茁，丁 i n n ( 1 1 2 ) i n ( 1 1 1 ) ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h ep r i n c i p a lp a r tl oo ft h eo p e r a t o rl i st - i n d e p e n d e n t h o w - e v e r ，t h eo n ef o rw h a tw ec a l lt h ep e r t u r b a t i o nt e r mo rt h ee r r o rt e r me ( x ，t ) m a yw e l l z h e j i a n gu n i v e r s i t y d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n3 d e p e n do nt h et i m ev a r i a b l et i ti sk n o w nt h a tf o r ( 1 1 1 ) ，w h e nt h eo p e r a t o rli sn o t p o s i t i v e ( f o ri n s t a n c e ，w h e ne ( x ，t ) t a k e sn e g a t i v ev a l u e s ) ，t h ep e r i o d i cs o l u t i o no f ( 1 1 1 ) m a yn o te x i s tf o rag e n e r i cc h o i c eo ff ( z ，t ) ( s e ee x a m p l e2 2 4i ns e c t i o n2 2 ) n a m e l y , a d d i n g