（运筹学与控制论专业论文）基于质心及差异的模糊数排序方法.pdf

广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得 的成果和相关知识产权属广西大学所有。除己注明部分外，论文中不包含其 他人已经发表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内 容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说 明并致谢。 论文作者签名： 南办水 洲。年易羁沙日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：为夕竹一刷隘各彳降 劾彤年6 月瑚 基于质心及差异的模糊数排序方法 摘要 模糊多属性决策是现代决策分析的重要研究分支，它主要是处理 在模糊环境下的多准则决策问题。一般来说，在模糊环境下的各备选 方案的属性值以及决策者的偏好意见难以用准确数据来描述，其常常 用模糊数来描述，从而多属性决策问题中方案的比较与选择通常转化 为对模糊数进行比较和排序。所以模糊数的排序是模糊多属性决策中 的一个重要研究内容。 本文围绕模糊数的质心、左右相离值和理想点等特征指标，研究 模糊数的排序问题。主要研究内容及成果如下： 一、归纳总结基于质心和符号距离的模糊数排序方法。针对由单 个质心构成的模糊数排序方法在某些情况失效的缺陷，利用w a n g 的 质心指标，结合模糊数的扩散程度，以及决策者的偏好，提出一种基 于质心和散度的模糊数排序新方法，并用算例说明排序方法的有效 性。 二、归纳总结基于距离等差异的模糊数排序方法。针对一些基于 差异的模糊数排序方法的差异意义不够直观以及计算复杂等不足，首 先定义待排序模糊数的正、负理想边界，然后用左、右相离值分别度 量待排序模糊数与负、正理想边界差异，并构造综合排序指标，进而 提出一种基于左右相离值的模糊数排序方法。 三、归纳总结基于优势度等差异的模糊数排序方法。针对一些基 于优势度排序模糊数方法的不足，首先定义待排序模糊数的正、负理 想点，然后利用模糊数的左、右隶属函数确定模糊数的左、右均值， 并分别计算左、右均值到负、正理想点的距离，并以其构造综合排序 指标，进而提出一种基于理想点的模糊数排序方法。 关键词：模糊数排序；质心；散度；左右相离值；理想点 r a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nc e n t r o i d i n d e xa n dd i f f e r e n c e a b s t r a c t f u z z ym u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gi sa l li m p o r t a n ts t u d yo fm o d e md e c i s i o n a n a l y s i sa sam a i nb r a n c hu n d e rt h ee n v i r o n m e n to ft h ef u z z ym u l t i c r i t e r i ad e c i s i o n p r o b l e m s g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ef u z z ye n v i r o n m e n to fe a c ha l t e r n a t i v ea t t r i b u t e v a l u e sa n dt h ed e c i s i o nm a k e r sp r e f e r e n c e so p i n i o n sc a nn o tb ed e s e r t b e db ya c c u r a t e d a t a , s ot h a tw eo f t e nd e s c r i b e df u z z ym u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e m s t h r o u g hf u z z yn u m b e r st h a ti st r a n s f o r m e di n t ot h er a n k i n gf u z z yn u m b e r sp r o b l e m s or a n k i n gf u z z yi sa l li m p o r t a n tc o n t e n to ff u z z ym u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g t l l i sp a p e rs t u d yt h ep r o b l e mo fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sm a i n l yr e v o l v i n ga r o u n d 廿l ec e n t r o i d 、t h er i g h ta n dl e f tl e a v ev a l u e sa n dt h er i g h ta n dt h ei d e a lp o i n t m a i n r e s e a r c hc o n t e n ta n dr e s u l t sa sf o l l o w s ： l 、t h em e t h o d so fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h ef u z z yc e n t r o i da n ds i g n e d d i s t a n c ea r es u m m a r i z i n g i no r d e rt os o l v et h ed e f e c t st h a tt h em o t h o do fr a n k i n g f u z z yn u m b e r sb a s e do ns i n g l ec e n t r o i dc a nn o tr a n k i n gf u z z yn u m b e r s ，an e wm e t h o d o fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h ec e n t r o i da n dd i v e r g e n c ei sp r e s e n t e db yu s i n g t h en e wc e n t r o i di n d e xa n dc o m b i n i n gw i t ht h ed i v e r g e n c ei n d e xa n dt h ed e c i s i o n m a k e r sp r e f e r e n c e s ；m e a n w h i l e a ne x m a p l ei sg i v e nt oe x p l a i nt h i sm e t h o d 2 、t h em e t h o d so fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h ef u z z yd i s t a n c ea n d d i f f e r e n c ea r es u m m a r i z i n g i no r d e rt os o l v et h ed e f e c t st h a tt h eg e o m e t r i cm e a n i n g i sa m b i g u o u sc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yt h a tt h em e t h o do fr a n k i n gf u z z yn u m b e r s b a s e do nt h ed e f i n i t u d e f o rt h e 伍s t a ni d e a lb o u n d a r yi sb u i l t ；t h e nt h ed i s t a n c e b e t w e e nt h ef u z z yn u m b e r sa n dt h e i d e a lb o u n d a r ya r o u n di sc a l c u l a t e d ，an e w m o t h o di sp u tf o r w a r db yt a k i n ge x a m p l eb yt h ef u z z yd i s t a n c eb a s e do nt h er i g h ta n d l e f tl e a v ev a l u e s 3 、t h em e t h o d so fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h e t h ed o m i n a n c ea n d d i f f e r e n c ea r es u m m a r i z i n g i no r d e rt os o l v et h ed e f e c t st h a tt h em o t h o do fr a n k i n g f u z z yn u m b e r sb a s e do nt h et h ed o m i n a n c e a n dd j 【f f e r e n c e f o rt h ef r i s t a ni d e a l p o i n ti sb u i l t ；t h e nt h em e a no ff u z z yn u m b e ri s c a l c u l a t e db yu s i n gc u ts e t s ， m e a n w h i l et h ed i s t a n c eb e t w e e nt h em e a na n dt h ei d e a lp o i n ta r o u n di sa s l o c a l c u l a t e d ；a tl a s t an e wm o t h o do fr a n k i n gf u z z yn u m b e r sb a s e do nt h er i g h ta n dl e f t l e a v ev a l u e si sf o r m e db a s e do nt l l ea b o v e k e y w o r d s ：r a n k i n gf u z z yn u m b e r s ；c e n t r o i di n d e x ；d i v e r g e n c ei n d e x ； t h er i g h ta n dl e f tl e a v ev a l u e s ；t h ei d e a lp o i n t 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景及选题的意义1 1 2 国内外研究发展综述1 1 2 1 基于质心指标的模糊数排序方法1 1 2 2 基于差异指标的模糊数排序方法3 1 3 本文研究的内容及结构安排4 第二章模糊数的相关概念及性质7 2 1 模糊数的相关定义及性质7 2 2 本章小结9 第三章基于质心和散度的模糊数排序1 0 3 1 引言1 0 3 2 散度1 3 3 3 排序方法1 5 3 4 算例分析1 7 3 5 本章小结1 8 第四章基于左右相离值的模糊数排序2 0 4 1 引言2 0 4 2 基于左右相离值的模糊数排序2 2 4 3 算例分析2 5 4 4 本章小结2 6 第五章基于理想点的模糊数排序2 7 5 1 引言2 7 5 2 左右可能度均值2 9 5 3 基于理想点的模糊数排序3 0 5 4 算例分析3 2 5 5 本章小结3 4 结论与展望3 5 参考文献3 7 致谢4 0 攻读学位期间发表论文情况4 1 基于质心及差异模糊数排序方法 第一章绪论 1 1 研究背景及选题的意义 在当今的现实生活中，常常会遇见一些问题，需要对解决这些问题的备选方 案做出选择，这也就是决策问题的产生。而大多决策问题都涉及到社会、心理、 决策者经验的积累、自然条件等众多因素，同时与运筹学的各方面也关系紧密。 当今社会是一个知识爆炸的年代，科技发展日新月异、竞争日趋激烈，机遇与挑 战并存。因此，决策者的正确与否，直接关系到事业的成败，企业的兴衰，从而 现代决策理论与方法的研究具有现实的实际意义。 多属性决策，它是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛 的应用于工程技术、经济管理及政治管理等诸多领域。例如物流中心的选址、投 资，项目综合评估、投标招标，企业经济效益及发展的综合评价等。由于客观事 物的复杂性和不确定性，以及人类认识事物的局限性，人们对客观事物作出的评 价在不确定的情况下难用精确的数据表示，而通常用模糊数来表示。因此，多属 性决策中有相当一部分问题最终归结为模糊数的比较与排序问题。本文主要研究 模糊数的比较与排序的方法。 1 2 国内外研究发展综述 比较与排序模糊数是模糊多属性决策分析中一个极为重要的研究课题，到目 前为止，研究者从不同角度提出了多种排序方法，但由于模糊数的特殊结构，至 今也没有一种排序方法公认是最好的。下面就基于质心指标和差异指标的模糊数 排序方法这方面介绍一下目前国内外近年来的发展与研究现状。 1 2 1 基于质心指标的模糊数排序方法 y 她e r 在文献 1 】中提出了一种新的模糊数排序指标曩( j ) ： 广西大掌硕士掌位论文基- s o 质心及差异模糊数排序方法 砸，= 笔筹 其中：兀( x ) 表示模糊数彳，的隶属函数，g ( x ) 表示权函数，如果用简单的线性权 函数g ( x ) - - - - x 代入来表示，则该指标它表示模糊数互的几何中心。以e ( 互) 作为 排序指标来排序模糊数，这是较早提出基于质心的模糊数排序方法。因为质心是 反映模糊数的一个重要几何指标，所以在随后的一些年中，不少学者都对基于几 何中心的排序方法进行了深入研究，并且提出了不少基于质心的模糊数排序方 法。c h e n g 在文献 2 】中提出质心( x o ( j ) ，y 。( j ) ) 的定义，并利用欧氏距离构造排序 指标r ( j ) = z o ( j ) 2 + y 。( j ) 2 来对模糊数排序；随后c h u t s a o 在文献 3 】中指出文 献【2 所存在的缺陷，并在文献【3 】中提出了新的排序指标s o ) = x o o ) j ，。( j ) ；l e e 等在文献【4 】中对此排序指标也有不同的见解并加以改进，他认为：直接按横坐 标工o ( 彳) 的大小排序，当其失效时，再按y 。( 彳) 大小排序；w a n g 在文献 5 】中指出 上述排序方法基于的质心指标所存在的一些不足：它们都是通过y a g e r 的互排序 指标推导演变而来，但却与y a g e r 的只排序指标的属性在一定程度上不相符。对 于一般的左右型模糊数，文献 5 】提出一种新的质心指标。后来不少文献【6 州都在 此基础上做了一些改进。虽然基于质心的排序方法简单、直观，但不能对质心相 同的模糊数进行排序，因此由单个质心指标构成的排序指标在对模糊数进行排序 时总存在着一些缺陷。 k e r r e 1 0 】提出在模糊极大集与h a m m i n g 距离的基础上，利用间接的比较方法 排序模糊数。在文献 1 1 1 3 q b ，研究者提出符号距离一般定义，他们利用h a m m i n g 距离、符号距离构建排序指标，形成了一个比较完整的排序公式。如文献 1 1 把 其中部分模糊数固定，并求出其质心，然后求出每个模糊数到质心的符号距离。 在文献 1 1 一1 3 】基于符号距离的模糊数排序方法中，总体来说排序原理基本上是一 致的，只是各种方法都提出了自己比较独特的见解，因此在解决各自特殊问题上 有各自优势，但每种方法也有各自的不足。 y a g e r 【l 】的第三个模糊数排序指标e ( j ) ：e ( 彳) = rm ( 力。) 如，这里五是 2 广西大学硕士掌位论文基于质心及差异模糊教排序方法 模糊集彳的仅一截集，m ( 五) 是互的平均值。他的方法是考虑中心趋向，用此 来对模糊数排序。后来不少学者研究发现用此指标排序的过程中发现此指标会导 致整体模糊性考虑不足，它们只考虑了模糊数的中心趋向，而没有考虑模糊数的 扩散程度。 对于利用单一质心指标来对模糊数排序，虽然简单易算，但容易遗失部分 信息，同时也会产生一些缺陷，例如，不能对质心相同的对称模糊数进行排序等。 于是有学者提出了一些新的方法，在考虑质心基础上再考虑模糊度等特征。在文 献【1 4 】中唐国春从几何方面提出有关模糊度的概念，模糊度主要是为了表示模糊 数模糊的程度，这也是反映模糊数优劣的一个重要指标。一般情况下是综合模糊 数的其他特征指标进行综合排序【1 5 舶】，很多文献都利用此模糊度加以综合衡量。 例如：文献 1 9 】提出以模糊距离和模糊度作为排序指标来对模糊数排序；在文献 【2 0 】中，作者把模糊距离和符号距离，欧氏距离结合到了一起加以综合运用。上 述文献中提出了有关于距离的一些模糊数排序方法，但是其排序的过程中基本还 是类似于c h e n g 提出的基于质心的模糊数排序方法。 1 2 2 基于差异指标的模糊数排序方法 1 9 7 6 年，j a i n 2 1 】提出一种排序方法，他认为对模糊数进行排序时，要建立一 个尽可能大的目标集作为参考，为此而定义极大集石，并引进风险偏好指数k ， 对于k 的取值，由决策者对待风险的态度来决定；然后构造的排序指标： 如= s u p m i n f 吞 口 则称为模糊集j 的强a 截集，或者称为j 的强口水平集或a 开截集。 定义2 3 【3 6 】：设j f ( x ) ，如果有： ( 1 ) j 是正规的，即3 x o r ，使得厶( 粕) = 1 ； ( 2 ) v a ( 0 ，1 】，a 。是闭区间。 则称j 为模糊数。 定义2 4 【3 6 】：设全体模糊数j ，f ( x ) ，记 s ( 才扣剧j t f ( x ) ，厶( x ) 0 ) ， 则称s o ，) 为模糊数j ，的支持集，简记s 。 为了后文的需要，首先来介绍一些本文常用的模糊数：l r 型模糊数，其隶 7 广西大掌硕士掌位论文 基于质心及差异模糊数舅e j 李方法 属函数如下： 厶( x ) = 片( x ) x e a , b 】 x ( b ，c ) 疗( x ) x c ，d 】 这里o 国1 ，其中，片( x ) ：【口，b 】_ 【o ，】是连续的单调递增函数； 疗 ) ：【c ，d 卜吖o ， 是连续的单调递减函数，左右型模糊数一般简记为 彳( 口，b ，c ，d ；国) 。当片( x ) ，硝( x ) 均为线性函数时，则称模糊数j ( 口，b ，c ，d ；c o ) 为梯 形模糊数，尤其是当b = c 时，称之为三角模糊数，简记为j ( 口，b ，d ；w ) 。当= l 时， 模糊数7 4 ( a ，b ，c ，d ；w ) 简记为彳( 口，b ，c ，d ) 或j ( 口，b ，d ) ，显然，梯形模糊数和三角模 糊数的隶属函数具有表示如下形式： 1 、梯形模糊数：无 ) = 2 、三角模糊数：厶( x ) = x 一口 一国 b a c o d x d c o x 口，6 ) x 6 ，c 】 x ( 6 ，c 】 其他 x a ，b 】 其他； x 【6 ，c 】 因为片( z ) ，群( x ) 是连续的单调函数，所以它一定存在反函数，设其反函 数为：g i ( y ) ：【o ， 一【口，6 】；g 耋( y ) ：【o ， 一 c ，d 】；当j ( 口，b ，c ，d ；国) 为梯形模糊 数时，则有： g i ( y ) ：口+ ( b - a ) y ；g ；( y ) ：d 一( d - c ) y 一 “ 其口截集可表为：j a = x l 厶( x ) a ) ，对于左右型模糊数的a 截集则可表示为一 个区间数 j ：，才： ，其中o 彳，和j j - 元，则有j ， - 彳 ； ( 3 ) 若j ，j ，和彳，彳，同时成立，则才，一j ，； ( 4 ) 不相交模糊数的性质：记s 为模糊数j ，的支持集，若 i 1 1 f s ( 彳f ) s u p s o ) ，则j ， - j j ； ( 5 ) 若j ， - j ，则彳， - 彳，其中j ，：( 口f + 七，匆+ j i ，c f + j j ，z + 七) ，和j j = ( 吩+ 七，屯+ 七，c j + k ，嘭+ 七) ，彳，j 7 ，s ，七r 。( s 定义同上) 2 2 本章小结 本章主要是介绍了部分模糊数排序常用的一些性质和定义，这些性质和定义 将为后文对模糊数排序的探讨提供必要的准备。 9 基于质心及差异模糊数排序方法 3 1 引言 第三章基于质心和散度的模糊数排序 当前的模糊数排序方法虽然都有各自优点，也能各自解决部分问题，但也有 其自身的缺陷，到目前为止也还没有一种公认的最好方法。本章将在探讨研究前 面所述模糊数排序方法的基础上，针对由单个质心构成模糊数排序指标在某些情 况失效的缺陷，提出一种新的模糊数排序方法。 y a g e r 定义了模糊数排序指标互( 互) 【1 】： 砸卜譬筹 其中：厶( x ) 表示模糊数彳，的隶属函数，g ( x ) 表示权函数。如果用简单的线 性权函数g o ) = x 来表示，则该指标可简化为： 砸卜学 它表示模糊数互的几何中心，见图3 1 。 o 图3 - 1 y a g e r 的指标互 在随后若干年中，不少学者对基于几何中心的排序方法进行了讨论，并且提 出了不少改进方法。在文献 2 】中c h e n g 对一般的左右型模糊数j ( 口，b ，c ，d ；国) 提 出了如下质心指标： 1 0 广西大学硕士学位论文基于质心及差异模糊数排序方法 o(耻甓f-(x一)dx+ f - ( x ) d x fj ：出+ f 弧耻一 并构造排序指标r ( j ) ：0 示鬲f 丽。 在文献【3 】中c h u t s a o 指出文献 2 存在的一些不足：如排序正规模糊数 a l = ( 0 2 ，0 3 ，0 5 ) ，j 2 = ( 0 1 7 ，0 3 2 ，0 5 8 ) ，彳3 = ( 0 2 5 ，0 4 ，0 7 ) 吲。其隶属函数图形如 图3 2 y 。 跌、| | | | 一l 彳、_ 。 j、。、“二 r 0x 图3 2 ：模糊数j ，的隶属函数 根据 的排序指标计算有：尺( 彳) = 0 ，r ( j ：) = o ，r ( j s ) = 0 ， 所以j 。一 - 一j 3 ，但经过计算却 得到一j t 彳：，l e e 认为这样的结果与直观不相符，因此他提出： 直接按质心的横坐标z o ( 才) 的大小比较排序，当它们相等时，再按纵坐标y 。( j ) 大 小比较排序。因此可得：互 j ：。 y 。 彳 彳： 一、 。 0 图3 3 ：模糊数的隶属函数 对上述讨论的基于质心的排序方法，通过分析可知：考虑的基本上是正规模 糊数，对的讨论不多，以至于质心的横坐标- o ( 五) 足够小而区别较大的时候， 文献 4 依然如此讨论，在部分情况下，这样的排序会导致排序缺陷。例如，排 序模糊数j ( 0 1 ，0 3 ，0 4 ；1 ) 和否( o 2 ，0 3 ，0 4 ；0 6 ) ( 其隶属函数图形见图形3 - 4 ) 。利 用文献 4 的排序方法排序结果是j - 否。 图3 - 4 ：模糊数的隶属函数 文献 5 认为上述质心定义存在缺陷，因为它们是通过y a g e r 的e 排序指标演 变而来，但却与y a g e r 的互排序指标的属性在一定程度上不相符。文献【5 】在此基 础上提出一般的左右型模糊数如下质心指标： 孤耻器= 镶筹等筹 - ， 1 2 广西大学硕士学位论文基于质心及差异模糊数排月方法 讯耻一 2 ， 后来一些文献【6 9 】也都在此基础上做了不少改进。 另外从几何方面看，质心排序指标应该满足：的变化不会对质心的横坐标 - o ( 彳) 发生影响，而质心的纵坐标歹。( j ) 应该随之变动，( 3 1 ) ( 3 2 ) 质心指标满足如 此关系。特别当模糊数力( 口，b ，c ，d ；) 是梯形模糊数时，根据( 3 1 ) ( 3 2 ) 计算可 得： x o ( 耻* + 6 + c 州一石c 矿d - 丽a b 厕2 小而c ) - ( - b _ 尤其b = c 时，j ( 口，6 ，d ；) 是一个三角模糊数，有：- o = 昙( 口+ b + d ) ，玩( 力) = 了c o 。 虽然基于质心的排序方法直观、简单，但是由单个质心构造的排序指标进行 排序时总存在部分缺陷，例如不能对质心相同的对称模糊数进行排序。本章利用 模糊数的质心指标，再结合散度指标，提出一个综合排序指标来对模糊数排序， 3 2 散度 y a g e r h 的第三个模糊数排序指标为e ( j ) ： 弓( 1 ) = 广m ( 五) 比 0 肛( a ) 图3 - 5 ：y a g e r 的指标e - - 西大掌硕士掌位论文 基于质心及# t - r r - 模糊数排序方法 这里五是模糊集彳的仅一截集，m ( 五) 是五的平均值，从几何上看，e ( 五) 表示 如图3 5 中阴影部分的面积。 y a g e r i 拘1 方法考虑了中心趋向，用此来对模糊数排序，但后来不少学者在深 入研究中发现：用此指标排序的过程中会对整体模糊性考虑不足。于是他们提出 一些新的排序方法，充分综合考虑模糊数特性的。例如，考虑模糊数的模糊度， 还有部分利用模糊距离进行排序。 谭惠新，苏灿荣在文献 1 3 中提出了模糊度的定义。模糊度主要是为了表示 模糊数的模糊程度，模糊数的模糊度越大，其模糊程度就越高，从而也越不确定， 这也是反映模糊数优劣的一个重要指标 1 4 - 1 8 】。本章参考模糊度的定义引入模糊数 散度概念。 模糊数j ( 口，b ，c ，d ；) 的口一截集为：以= x i 厶( x ) a ，x 尺 ，0 a c o 。为了 表示模糊数彳( 口，b ，c ，d ；c o ) 在其口水平上的分散程度，记皖= 名一乞，其中： 乞= 1 1 1 i n 驯x 以) ，o a c o 名= m a x x l x a o ，0 - 否； 若尸( 彳) 尸( 否) ，则j ( 竺) 营! 竺； 【) - b 当且仅当尸( j ) = p ( 否) 且 ，( j ) = ( 否) 时，j = 否 新的排序指标与c h e n g ，c h u 和l e e 等提出的基于质心的模糊数排序方法相 比较，都比较简便、直观。所提出的排序方法具有如下性质。 对于任意两个模糊数j ，否，总有j 否或j 否； 显而易见此排序指标满足此性质。 对于模糊数彳，否，a ，如果j 否且否 否，则有j 否； 证明：如果j _ 秀，则存在两种情况证明： p ( j ) ( 否) 。同理否_ 否时有：p ( 否) ( a ) 又因为j 否且否 a 同时成立，因此分四种情况讨论： p o ) 尸( 否) 和尸( 否) 尸( 否) 同时成立，则易得p ( j ) 尸( 否) 尸( 否) ，从而 一 彳 c ： 尸( 彳) ( a ) 同时成立， 则 p ( j ) 尸( 否) = p c ) ，从而j ( 否) 和p ( 否) 尸( 石) 同时成立， 则 p ( j ) = 尸( 否) n c ) 同时成立，则 p o ) = p ( 否) = 尸( a ) 且( j ) ( 否) ( 0 ) ，从而p ( j ) = p ( a ) 且( j ) ( 否) ， 因此j _ a 。 综上所述有：彳- _ j 。( 显然 可得) 3 4 算例分析 下面通过算例分析，比较说明本章新排序指标的有效性和合理性。 例3 1 1 4 1 排序一组模糊数：彳1 = ( 3 ，5 ，7 ；1 ) ，j 2 = ( 3 ，5 ，7 ；0 8 ) ，才3 = ( 5 ，7 ，9 ，1 0 ；1 ) a 4 = ( 6 ，7 ，9 ，1 0 ；0 6 ) ，j 5 = ( 7 ，8 ，9 ，1 0 ；0 4 ) 。其隶属函数图形见图3 8 ，各种排序结果 比较见表3 1 。 4 l 一 如7 j1 0 v0 3 v0 5 v0 9 v1 1 一 图3 8 ：模糊数j ，的隶属函数图3 9 ：模糊数否，的隶属函数 表3 1 ：模糊数彳，的排序结果比较 絮 a 1a 2a 3 么4 a 5排序结果 排序方法 c h u t s a o 【3 】 2 52 3 8 9 6 2 41 7 j 5 j 2 j 4 j l j 3 l e e 4 】 5 + 0 3 3 5 + 0 2 77 7 1 4 88 5 力2 j l j 3 一 j 4 j ， 本章方法2 6 72 6 34 0 74 1 44 3 3j 2 j 1 _ j 3 j 4 j 5 从例3 1 可以看到：本章提出的基于质心和散度的模糊数排序方法在排序一 般的模糊数时，与由单个质心构成模糊数排序方法一样可以对一般的模糊数作出 1 7 广西大掌硕士掌位论文基于质心及差异模糊数舅# 月；方法 合理的排序，并且简单易算。 例3 2 排序模糊数否l ( o 3 ，0 4 ，0 7 ，0 9 ) ，否2 ( 0 3 ，0 7 ，1 1 ) ，反( 0 5 ，0 7 ，0 9 ) ( 其隶属 函数图形如图3 9 ) 不同方法的排序结果见表3 2 。 表3 - 2 ：模糊数否，的排序比较 汰 b lb 2 b s排序结果 排序方法 c h u t s a 0 【3 】0 3 0 20 2 1 10 2 1 1b 2 一b s b l l e e 【4 】0 5 7 8o 70 7 b i b 2 历 本章方法0 5 0 50 5 2 + o 4o 5 2 + o 2b l - b 2 b s 从例3 2 司以看到：本苹提出的排序方法能对质心相i 司的对称三角模糊数 j ( 6 6 ，b ，6 + 6 ) ，b ( b 一仃，b ，6 + 仃) 作出合理的判断，以此克服由单个质心指标构 成的模糊数排序方法的排序时所产生缺陷。此排序结果符合直观几何解释，另外 决策者自己还可自主决定权重，以此反映其态度。 例3 3 排序模糊数j 1 = ( 0 2 ，0 3 ，0 5 ) ，j 2 = ( 0 1 7 ，0 3 2 ，0 5 8 ) ，j 3 = ( o 2 5 ，0 4 ， o 7 ) 1 5 1 。如图3 - 2 根据c h e n g 的排序指标计算有：天( j 1 ) = 0 5 9 0 ，r ( j 2 ) = o 6 0 4 ， r ( j 3 ) = 0 6 6 2 ，所以j l 一j 3 。 但经过计算却得到一j t _ 一j 2 _ 一j 3 ，根据本章方法计算可得：尸( j 。) = o 3 3 3 ， 尸( 彳2 ) = 0 3 6 3 ，尸( j 3 ) = 0 4 5 。所以可得：彳l _ - 一才3 。 此时克服了c h e n g 的排序指标的缺陷。 3 5 小结 本章针对文献【1 - l o 基于质心的模糊数排序方法进行了分析讨论，为了度量 模糊数的分散程度，本章引进模糊数的散度概念，并利用w a n g 在文献 5 】中定义 的模糊数质心，提出一种新的模糊数排序方法；通过算例分析可知：本章所提出 1 8 基于质心及差异模糊数舅序方法 的模糊数排序方法保持了由单一质心构造的模糊数排序指标排序模糊数的简洁 性的优点，同时又能克服单一质心指标不能排序质心相同的对称模糊数的一些缺 陷，同时所构造排序模糊数的综合排序指标中的专家权重还能够反映决策者的态 度。 1 9 基于质心及差异模糊数捌 序方法 4 1 引言 第四章基于左右相离值的模糊数排序 在文献【1 0 】中k e 仃e 基于模糊极大集与h a m m i n g 距离进行讨论。h a m m i n g 距离是两个集合之间的线性距离，用以衡量两个集合之间的差异，对于模糊集 a ，彳，其h a m m i n g 距离定义为： d h ( a ，a 肛k 氕) i 厶( 圹厶p ) i a x 上式也叫绝对h a m m i n g 距离。 他引进极大集面聂的概念，对于一组模糊数j ，记蕊：a 一。v 互：v v 才。， 然后采用模糊集j ，与极大集氩夏之间的h a m m i n g 距离作为间接衡量彳，大小的 排序指标，记作f ( j ，) 。即： ，( j 沪g ( a 一，m a x ) = f e s l 厶( 垆名( x ) k 这里举例来说明：m a x = a ，vj ，图4 - 1 中实线部分表示彳，虚线表示彳j ， 两模糊数的隶属函数所围成区域的面积从左到右分别用墨，s ：，s 3 ，表示，因此有： j a j 添 八m a x 7f 毛墨 图4 1 ：模糊数的比较 f ( a ，) = d h ( 么，m a x ) = s i + f ( a j ) = d m ( 彳，m a x ) = 屯+ 岛 依照他的排序准则有：彳，7 4 当且仅当f ( a ，) f ( 石) 。他提出的排序方法中， 基于质心及差异模糊数排序方法 m a x 不容易表达，特别当模糊数众多时，更是不易。 文献 11 定义符号距离为： ( 1 ) 对vf l 尺， 2 d o ( a , 0 ) = a ，称为a 到0 的距离为符号距离。 ( 2 ) 定义区间数 j ：，互：】到0 的符号距离： 或( j 疆】，0 ) = 扣( j + 反( 麓，o ) 】= 半 ( 3 ) 对于三角模糊数j = ( 如b ，c ) f ( x ) ，则求出它的口截集， v a o ，1 】a a ：【j ：，j ：】，可利用( 2 ) 式得j ：，麓到0 的距离为： 盛( 才训= 鼬- - l 哦( j 训= 缸- - r d ( j ：，j ： ，6 ) = ( j ：，j ：】，o ) = 兰兰学 它是一个关于a 的连续函数。根据三角模糊数的a 截集，利用上面定义和符 号距离的公式。定义三角模糊数j = b ，c ) 的符号距离为： d ( 彳，6 ) = 聊麓砘6 ) 比= 竿 对文献【1 1 提出的符号距离的定义，在文献 1 2 - 1 3 1 q b 进行了讨论，给出了一 般定义：对任意两模糊数i ，否，求出其截集： j 口：t z ，j ：】，否口：【否：，否： ， 则其符号距离表示为： 嘶叫肛剖m 肛卅d ai - 硝。 其他基于符号距离排序的方法基本与这类似，有些只是在p 上作出一些调 整，总体来说排序原理基本上是一致的。因此在解决问题时运算时比较方便的， 但是计算利用信息过于简单，遗失信息也就比较多。所以有很多学者在其他的方 面进行了探讨，以期做出进一步的改进。 在一些文献中，研究者把模糊距离和符号距离，欧氏距离结合到了一起加以 综合运用。在文献f 1 9 1 中，作者提出了有关模糊距离的概念。定义为： 2 l 广西大掌硕士掌位论文基于质心及差异模糊数翻e 序方法 p c j ，否) = 丑g 。， 。，互1f l j ：一百：i d a + l j ：一否：l d a c h o o b i n e h 和l i e l o 】对模糊距离进一步进行了探讨，对一组的左右左右型模糊 数j ，( q ，匆，c i ，z ；哆) ，定义其模糊距离为： d ( j “懈) = n k 一片( x ) l a x d ( j ，) = r 吮 ) - - x m i n d x 其中：和。为决策上、下限，满足：d x 嘲 0 。分别称x = ，x = 为这组模糊数的 正、负理想边界，其中= m 。g i s ，n i n f s ，= m 。自a 如x s u p s 。 在一组左右型模糊数彳，( 口，包，q ，4 ；哆) i = 1 ，2 ，, ，中，通过直观可知：若 需要使得某一模糊数更优，就需要使得其与正理想边界越接近，且越远离负理想 边界。因此，对于模糊数与正、负理想边界的差距，本章引进左右相离值的概念 来加以度量。( 如图4 2 ) 基于质心及差r r - 模糊数排序方法 图4 2 ：模糊数j ，的左右相离值 定义4 2 ：定义模糊数才，( 口，匆，c f ，z ；q ) 的左右相离值为： 砰= f 劈( x ) 一i 。 出= ( 6 f 一口m 纽) q c ，鹾( x ) d x ( 4 1 ) = f 【双一疗( x ) 础= ( d 一- c j ) q r 瑶 ) d x ( 4 2 ) 为此，本章建立新的排序指标f ( j ，) ，( 劲= 禹 ( 4 3 ) 因为质心指标是排序模糊数的重要指标之一，它反映着模糊数的优劣，因此本章 将结合质心指标建立综合排序指标。结合文献 7 给出的质心指标的定义，利用 ( 3 1 ) 式构造质心差距指标丑为： 九= ；。瓤一一x o ( j ，) ( 4 4 ) 其中；。( j ，) 表示( 3 1 ) 式中彳，的质心横指标，；吣= m a x x 。( j ，) ，i = 1 ，2 ，3 ， ， 工曲- - m i n ；。( 矶i = 1 ，2 州3 ) ，k - - - - x m x - - x m i n 。 当所有待排序模糊数质心相同时，k = 0 。当模糊数的质心在不断变化过 程中，为了尽可能考虑模糊数的信息，上述排序指标中的参数也应该随之发生变 化，不能总固定在1 。本章在质心相同以及不同的时候分别利用两个不同的指标 加以度量。 基于e 诛讨论，本童建立如下综合排序指标： f ( j ，) = d ? + k + d 1 + d ? x m 戤x r a i n ( 4 5 ) x m 缸= x m i l l 基于质心及差异模糊数排序方法 其具体排序排序步骤如f ： s t e p l 置全部待排模糊数于同一坐标系上，并根据定义4 1 建立理想边界； s t e p 2 根据( 4 1 ) ( 4 2 ) 式计算模糊数j ，的左右相离值群，； s t e p 3 根据( 3 1 ) 式计算模糊数j ，质心的横坐标；。( 互) ； s t e p 4 根据( 4 4 ) 式计算质心差距丑； s t e p 5 根据( 4 5 ) 式计算排序指标，( j ，) ； s t e p 6 基于模糊数j ，的排序指标f ( j ，) 对模糊数排序。 新排序指标，( j ，) 满足如下性质： 刁。彳，与j ，a 至少有一者成立； 因为是把全体模糊数放置在一起比较，所以任意两个模糊数都有一个比较顺 序关系。同理在性质2 中也就会满足其关系的传递性。 如果j ，彳，且彳，彳t ，则有刁，无； 证明