（应用数学专业论文）sobolev方程和均匀棒纯纵向运动方程的数值分析.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孓矸锝 导师签字 学位论文版权使用授权书 冬 乒趸 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 堡l 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩e f 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：斗暂峭： 签字日期：2 0 06 年砰月f 。5 1 翮肄毒善l fv一 签字日期：2 0 0 厂年阳f 日 山东师范大学硕士学位论文 s o b o l e v 方程和均匀棒纯纵向运动方程的数值分析 谢德仁 山东师范大学数学科学学院，山东师范大学科研处，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 本文讨论了s o b o l e v 方程 - d i v a v + 6 lvu ) = ， 的混合有限元逼近格式和均匀棒纯纵向运动方程 u “= 钍。+ ，( u 。) 。 的有限体积元逼近格式，得到了这两种逼近问题的最优( 拟最优) 误差估计。 第一章，基于r a v i a r t t h o m a s 空间v v c h h ( d i v ；q ) l 2 ( q ) ，我们 讨论了s o b o l e v 方程初边值问题 ( a ( b ( c d i v a ( x ，t ) v “t ( x ，t ) + b l ( x ，t ) vu ( x ，t ) ) = f ( x ，t ) ，( x ，t ) q ( 0 ，丁 ， ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) a qx 0 ，t 乱( x ，0 ) = 珏o ( x ) ，x f 2 的混合有限元方法的收敛性得到了函数u 的逼近值在l ”( o ，t ；l 2 ( q ) ) 模下、伴 随速度p 的逼近值在l 。( o ，t ；l 2 ) 2 ) 模下及d i v p 的逼近值在l 0 0 ( o ，t ；驴( q ) ) 模下的最优阶误差估计。同时我们还得到了函数札的逼近值在三o 。( 0 ，丁；l 。( n ) ) 模下的拟最优阶误差估计( 有限元空间指数= 0 ) 和最优阶误差估计( 有限 元空间指数1 ) ，伴随速度p 的逼近值在l o 。( o ，t ；l o 。( q ) 2 ) 模下的拟最优 阶误差估计。 第二章，针对单位长度、两端固定、截面均质的均匀棒在自由应力作用下 山东师范大学硕士学位论文 的纯纵向运动问题 a ) u t t = “。+ s ( u 。) 。， b ) “( z ，0 ) = u 0 ( x ) ，u t ( x ，0 ) c ) “( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ， ( x ，f ) ( 0 ，1 ) 0 ，明 x ( 0 ，1 ) ， t 【0 ，t 】， 我们讨论了逼近该问题的有限体积元方法，得到了该问题有限体积元解的最优 阶工2 模和日1 模误差估计及超收敛日1 模误差估计，给出了该方法的数值例子 及其相应结果。 关键词：s o b o l e v 方程，均匀棒纯纵向运动方程，s o b o l e v 空间，混合有限 元，有限体积元，误差估计。 分类号：0 2 4 1 8 山东师范大学硕士学位论文 一一、 一 n u m e r i c a la n a l y s i so fs o b o l e ve q u a t i o na n d p u r e l yl o n g t u d i n a lm o t i o n e q u a t i o no fa h o m o g e n e o u sb a r d e r e nx i e s c h o o lo fm a t h e m a t i c ，s h a n g d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n 酣o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p rc h i n a a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，t h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o ra p p r o x i m a t es o b 0 1 e v e q u a t i o na n dt h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o ra p p r o x i m a t ep u r e l yl o n g t u - d i n a lm o t i o ne q u a t i o no fah o m o g e n e o u sb a ra r ec o n s i d e r e d t h eo p t i m a l fo r q u a s i - o p t i m a l ) o r d e re r r o re s t i m a t e sf o rt h et w ok i n d so fs c h e m e sa r ed e r i v e d i nc h a p t e ro n e ，t h eo b j e c ti st oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo ft h em i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o do ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fs o b 0 1 e ve a u a t i o n ( a ) 一出 n ( x ，t ) vu t ( x ，t ) + b l ( x ，t ) vu ( x ，) = ( x ，t ) ，( x ，t ) n ( o ，卅， ( b )u ( x ，t ) = 0 ， ( x ，) a n f 0 ，卅 ( c ) u ( x ，0 ) = i t 0 ( x ) ，x n b a s e do nt h er a v i a r t t h o m a ss p a c ev h w hc h ( d i v ；n ) 口( n ) o p t i m a l o r d e re s t i m a t e sa r eo b t a i n e df o rt h ea p p r o x i m a t i o no fu i nl 。( o ，t ；l 2 ( n ) ) a n d t h ea s s o c i a t e dv e l o c i t ypi nl o o ( o ，t ；l 2 ( q ) 2 ) ，d i v pi n l 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) q u a s i - o p t i m a lo r d e re s t i m a t e sa r eo b t a i n e df o rt h ea p p r o x i m a t i o no f ui n l 。f 0 ，t ；l 。( n ) ) w h e nt h ei n d e xk = 0a n dpi nl 。( o ，t ；l 0 。( q ) 2 ) o p t i m a lo r d e re s t i m a t ei s a l s oo b t a i n e df o rt h ea p p r o x i m a t i o no fui nl o o ( 0 ，t ；l 。o ( n ) ) w h e n 1 i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t ev o l u m em e t h o df o ra p p r o ) d m a e t h ei n i t i a l b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mo fp u t e l yl o n g t u d i n a lm o t i o n e q u a t i o no fa 3 山东师范大学硕士学位论文 h o m o g e n e o u sb a r a ) u # = t 。t + ，( u 。) 。，( z ，t ) ( 0 ，1 ) 【0 ，t 】 b ) ( ，0 ) = u o ( z ) ，“。( z ，0 ) = 1 ( z ) ，z ( 0 ，1 ) ， c ) u ( o ，t ) = u ( 1 ，z ) = 0 ，【0 ，t w eo b t a i no p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e si nl 2a n d 日1 s u p e r c o n v e r g e n c ee r r o r e s t i m a t e si nh 1a n dg i v ean u m e r i c a le x p e r i m i n to ft h i ss c h e m e k e y w o r d s ：s o b o l e ve q u a t i o n ，p u r e l yl o n g t u d i n a lm o t i o ne q u a t i o no fa h o m o g e n e o u sb a r ，s o b o l e vs p a c e ，m i x e df i n i t ee l e m e n t ：f i n i t ev o l u m ee l e m e n t ， e r r o re s t i m a t e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 4 山东师范大学硬士学位论文 第一章s o b o l e v 方程的混合有限元方法 1 1 引言 令n 是r 2 中具有l i p s c h i t z 连续边界o f t 的有界区域。对固定的满足 0 t o o 的t ，我们将考虑如下s o b o l e v 方程的初边值问题； ( a ) 一d i v a ( x ，t ) vu t ( x ，t ) + b 1 ( 1 ，) v “( 3 ，2 ) ) = ，( 1 ，。) t ( 1 ，) f t 。( o ，t ， f 11 1 、 ( b )u ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) 枷【0 ，司， ( c )u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，x n ， 其中。表示函数的时问偏导数，v u 表示函数札的梯度，d i v v 表示向量函 数v 的散度，a ，b l ，和“o 为已知函数。 最近几十年，求解微分方程数值解的混合有限元方法得到了很快地发展与 应用，已经有数位学者将求解二阶椭圆方程数值解的混合有限元方法应用于求 解抛物方程和双曲方程等发展方程的数值屏，并得到了很好的研究，详细可参 见文献【1 - 4 ，6 - 1 4 1 针对初值问题( 1 1 、1 ) ，其求数值解的标准有限元方法在 【5 】中已经得到了很好的讨论与研究，目前还未见到应用混合有限元方法数值逼 近( 1 1 1 ) 的文献 本章我们将研究逼近问题( 1 1 1 ) 解的混合有限元方法。为此，假设对于任 意的，c 1 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 和u oeh 8 ( n ) ，问题( 1 11 ) 有唯一解，同时问题 ( 1 1 1 ) ( a ) 中的已知函数a 满足0 c o o 冬c l ，并且函数a 和b l 光滑有界 ( 包括它们的偏导数有界) 此处及以后，如果不是必须，我们将不写函数的自 变量x 和t ，用黑体表示向量。 对满足条件l 曼s o o 的s 和任意非负整数，令 w ，七4 ( n ) = ，l 5 ( n ) 1d 4 ，l 8 ( q ) i q i 七) 5 山东师范大学硕士学位论文 表示装配了模 i l f l l k 。铲( 渺川i 删) 川e ( 在不产生误解的情况下，下标n 将被省略) 的s o b o l e v 空间，空间日( q ) = w ，2 ( n ) 的模川i k = k 2 ( 记号川l 表示州i l 。( ! ) 或b ( s2 ) 。) 。用( ，) 表示 空间l 2 ( n ) 或l 2 ( n ) 2 中的内积，即( ”，口) = 上r 口d x 或( v ，w ) = i2 v w d x 。 令v = h ( d i v ；n ) = v 工2 ( q ) 2l d i v v l 2 ( q ) ) ，其模为1 | v i i v = | l v i | + i i d i v v lj ，w = l 2 ( q ) 假设模空间x 的模为”岐，用l a ( o ，丁；x ) 表示定义了如下模的从 0 ，翻 到x 的映射空闯：对l q o 。和适当的函数w ：【0 ，明一) ( 有 o u l | l a ( o ，t ；。) = ( l l w ( t ) l f 。q 。，1 ， 用c 。( o ，丁；x ) 表示从 0 ，司到x 的k 次时间连续可微映射空间，其模为 i i l a ( o ，t ；) ，其中1 q 。 当口= o 。时，采用惯常的修正。 为了定义与混合有限元方法相适应的( 1 1 ) 的弱形式，引入 p = 一o v 饥一矗l v 札，0 t ! z 并设 a ( x ，t ) = a - 1x ，t ) ，b ( x ，t ) = q ( x ，o b lx ，t ) ，c ( x ，t ) = 一vb ( x ，t ) 则问题( 1 1 1 ) 可以被写成如下混合形式的一阶系统： ( a ) d i v p = f ，i nf 2x ( 0 ，邪， ( b ) 。p + v 地+ v ( 阮) + c u = o ，i nq ( o t 刁， 2 ) ( c )u = 0 ，o na qx 【o ，卅， ( d )u ( o ) = “o ，i n q 系统( 1 1 2 ) ( 或问题( 1 1 1 ) ) 弱形式为：寻找解 p ，“) ： 0 ，t i v w 使 6 山东师范大学硕士学位论文 得 ( a )( d i v p ， ) = ( ，1 ) ，v w w ：0 t t ： ( b ) ( 。p ，v ) 一( 饥+ b u ，d i v v ) + ( c u ，v ) = 0 ，v v v ，0 ts z( 1 13 ) ( c ) ( “( o ) ， ) = ( u o ，叫) ，v w w 为了定义 p ，“) 的适当逼近过程，我们考虑空间vxw 的有限维子空间 v h w h ，其中与v h w h 相联系的拟正则剖分五将n 剖分成直径不大于 h ( 0 h 1 ) 的三角形单元。剖分五的边界元允许有一条曲边。我们选择 v h 为空间指数k 0 的r a v i a r t t h o m a s 空间m 一，并且引入l 2 投影 p h ：w _ w h 和p 。a v i a x t t h o m a s 投影7 r h ：h 1 ( q ) 2 _ v h ，二者之间具有如下 的可交换陉质： d i vo7 r = p r o d i v ：h 1 ( q ) 2 _ 名 ( l 14 ) 同时投影m 和n 具有下述逼近眭质 3 , s , 9 1 ： l l t c ，一p w i 一。c h 5 1 1 w 0 1 ，s k + l ， ( 1 15 ) | | 叫p 叫| | o ，q c h i | 训眠q ，0 f 曼k + 1 ，1 q + 。，( 1 16 ) 1 i i v 一7 r v l i o ，q c h l i v g ，； f k + 1 ， 1 q + o 。， ( 1 17 ) q i d i v ( v n v ) | | c h i i d i v v l lz ，0 f k 十1 ( 1 18 ) 弱形式( 1 1 3 ) 的连续时间混合有限元逼近为：求一对函数 m ，” ：f 0 ，t 】一 v h 满足 ( a )( d i v p t , ，) ；( f ， ) ，v w 阱。，0 t z ( b ) ( a p h ，v ) 一( 让h ，t + b u h ，d i v v ) + ( c “ ，v ) = 0 ，v v v ，0 t t ， ( 1 1 9 ) ( c )( “ ( o ) ，w ) = ( “( o ) ，u ，) ，v w 以 本文的余下部分是这样安排的：在1 2 中我们将证明混合有限元逼近格式 ( 11 9 ) 解的存在唯一性；在1 3 中，我们将给出本文的主要结果，即展示误差 u 一札 在l 。o ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 、l 。( o ，t ；l 。( n ) ) 空间中阶的估计和误差p p 在l 。( o ，r ；l 2 ( n ) 2 ) 、l o 。( o ，t ；l 。( q ) 2 ) 空间中阶的估计。 7 山东师范大学硕士学位论文 在本文中，我们用c 表示与h 和t 无关的任意正常数以及这些正常数的组 合。在1 2 和驵3 中，r 是一个固定的整数。 1 2 混合有限元格式解的存在唯一性 在本节中，我们将证明( 1 1 9 ) 解的存在唯性 事实上，离散格式( 1 r 9 ) 是线性系统，要证明解的存在唯一性，只需证明 ( 1 1 9 ) 对应的奇次系统 ( a )( d i v p h ， ) = 0 ，y w w h ，0 t t ， ( b ) ( o p ，v ) ( u ，q - b u ，d i v v ) + ( c u ，v ) = 0 ，v v v h ，0 t t ，( 1 2 1 ) ( c )( u ( o ) ， ) = 0 ，v w h 只有唯一零解即可 一方面，若在( 1 2 1 a ) 中取w = d i v p h 、在( 1 , 2 1 b ) 中取v = p h ，则可得 到d i v p a = 0 及 c f l i i p 0 2 兰( p ，p h ) = 一c u b ，p ) c | l 钆 l l l i p 1 由上式有 i | p l i c i | ”h 叭( 1 2 2 ) 另一方面，由 9 j 9 我们知道对于混合有限元空间v h m 。，存在与h 无关 的正常数c 使得 i l w l , l l c 啡s u 、，p 。面( w h , d i v v h ) ，n ( 1 删 从而由( 1 2 3 ) 和( 1 2 1 ) 得到 l i u n ，c i i c 。s 。u ；、，p 。紫c ( 1 l p n l l + i i u n i i ) ( 1 2 - 4 ) 联合( 1 2 2 ) 与( 1 , 2 4 ) 则有 l “ ，f 0 c m ( 1 2 5 ) 从( 1 2 1 c ) 和( 1 2 5 ) 我们知道 l f u 一1 i = i i f u n ，。打| l cz | 1 u 一川d r _ c o o u l l c 汁 ( 1 2 6 ) | = | | 上”打悟。川”l | m 惭( 1 舢) 8 山东师范大学硕士学位论文 利用g r o n w a l l 引理，由( 1 2 6 ) 和( 1 2 2 ) 得到ij “ | | = 0 ，lj p hj l = 0 。所以 7 2 h ；0 和p hi0 。这样我们就证明了( 1 1 9 ) 解的存在唯一性，这也说明了由 ( 19 ) 定义的 m ，u ) 有意义 1 3 误差估计 本节中，我们将给出 p h ，“ 的各种误差估计。令p a p p ，“l = p h u u h ，u 2 = u p h u 。则当0 t t 时，从( 1 1 - 3 ) 和( 119 ) 我们得到 误差方程 ( a )( d i v p t ，w ) = 0 ，v w ， ( b ) ( 旺p l ，v ) 一( 7 2 1 ，+ b ( u l + u 2 ) ，d i v v ) + ( c ( u 1 + u 2 ) ，v ) = 0 ，v v v h ， ( 1 3 1 ) 以及 l ( o ) = 0 ，u 2 ( o ) = u o p h o t o( 1 3 2 ) 引理1 3 1 如果p 1 ，“1 ，和乱2 满足误差方程( 1 3 1 ) ，并假设n 是2 一正 则的( 2 正则性的定义见【3 ，p p 4 2 ) 。则对满足0 0 使得 一 | l “l | | c ( h p l l l4 - h 2 - 虹。l l d i v p l f | + | | “2 f f4 - l f “2 | | 一1 ) 打， j 0 其中当k = 0h 寸靠d = 1 ；当k 三1 时以o = o 。 证明：对母l 2 ( q ) ，令妒h 2 ( q ) n 珊( n ) 是 d i v ( a v 咖) = 咖z q ，= 0 。a n ( 1 33 ) 的解。则由n 的2 一正则性有渺| | 2 c 惮n 对0 t t ，利用( 1 1 4 ) 和 ( 1 3 1 b ) 有 ( u 1 ，t ，妒) = ( u l ，d i v ( av 曲) ) 一( u 1 山d i ( ”h ( 。v 母) ) ) ，：= ( a p l4 - c ( u l4 - u 2 ) ，7 r h ( v ) ) ( 1 34 ) 一( 6 ( “1 + u 2 ) ，d i ( 7 r ( ov 妒) ) ) 9 山东师范大学硕士学位论文 注意到o = = o ，( 1 1 6 ) 一( 1 1 ，7 ) 以及( 1 3 1 a ) 我们有 ( o p l ，n a ( a v ) ) = ( p l ，7 r ( 口v 咖) 一a v 曲) 十( p l ，v 曲) = ( a p l ，n h ( a 叮) 一v ) + ( d i v p i ，p h 一) c ll p l il l7 r h ( 。v 咖) 一v 咖| + i d i v p l l i l t ；h 咖一咖 | ( 1 3 5 ) c ( h l l p l 】+ h 2 - , f t 0 1 ) d i v p l 吲1 2 。 c ( l p | | + h 2 - 嘶l i d l w p l i f ) l i 妒1 1 ( c “1 ，霄h ( o v 咖) ) i c 扎1 l l l 7 r ( 口v 曲) l 剑“l ” ( 。v 妒) 一。v 卅i l a v 1 1 ) ( 136 ) c i l u l 8 ( 圳v 庐1 1 1 + 1 i v 刮) c u t 洲训 ( c u 2 ，r h ( a v ) ) = ( c 2 ，7 r ( n v 庐) 一o v 妒) + c u , 2 1 z v ) 7 ) c ( h l l 2 1 f + l f w 。肚- ) | | v 删t c ( h l l u 2 l l + l l u 2 忆1 ) l l 妒1 1 - - ( b t , 1 ，d i v ( h ( av 咖) ) ) = 一( 地1 ，p h ( d i v ( av 西) ) ) c 1 1 u l v 删l ( 1 3 t 8 ) 曼c 忙- i 妒l i ( b u z ，d i v ( 7 r n ( ov 咖) ) ) = ( ( b p 2 6 ) u 2 ，d i v ( ”h ( av 曲) ) ) + ( ( p o b ) u z ，d i v ( w h ( av ) ) ) 。 e 矗 = ( ( 6 一p 2 6 ) u 2 ，d i v ( 研；( nv 咖) ) ) ， 其中p 踟是b 在五单元上的分片常数插值。从而由算子馥，m 和n 的性质 有 一( b u 2 ，函协( 7 r ( v ) ) ) c 川i u 2 i | | i i i 。c h i l u e jj 妒lj ( 1 , 3 9 ) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 联合( 13 4 ) 一( 13 - 9 ) ，对满足0 t t 的有 陋m | | = 她邵s u 巩p 卿铲 c h i p t | | + h 2 - 6 k o i l a i 口p t i l + | i “z i i + i l u z l l l + 1 1 “i i ) 因此 f t ，t j c 虬c 打忙c 川u 圳打 c ( i l p ，1 i + h 2 - 6 k o i l d i v p l | l + h l l 珏2 i l + | | u 。 i 一1 + lj u - 1 ) d 下 利用g r o n w a l l 引理我们得到 l i “1 ij c ( hl i p l | j + h 2 - 6 k o d i v p l + l i 札2 | | + | “2 【| 一1 ) 打， o t t 证毕。 由引理1 3 1 我们可以得到下列定理； 定理13 2 令 p ，”) 和 p ，“ ) 分别是( 1 13 ) 和( 1 1 9 ) 的解。假设 p ，u ) 充分光滑并且q 是2 一正则的，则对满足0 0 使得当k 0 时有 i d i v ( p p ) 1 1 c h i l p i l ，+ l ，0 r k + 1 ， 一 | | p u 一? l h | | 曼c h 7 + 1 6 。( ( 1 1 p l l ，+ l l u i i ，) c 打) ， 1 r k4 - l ， j 0 当= 0 时有 ，0 0 p p b i i c h l l p - + 1 | l l + ( i l p l l l + l l u l l l ) d t ) ， j o i i u 一 i i c h l l u il 1 - i - ( i l p l 1 + l i u i i - ) 。h ) ， j 0 当k 1 时有 一 0 p p h | | c h 7 0 p i l ，+ i i u l l ，+ ( i l p i i ，一1 + 1 1 u l i ，一，) d 丁) ， 2 r 茎七+ 1 ， j o r i i u u i i c h 7 l l “l l ，+ ( 1 1 p 一1 + l i u ) d f ，2 r + 1 山东师范大学硕士学位沦文 证明：对满足0 t t 的任意t ，证明过程分为三步： ( i ) 我们首先考虑 d i v ( p p h ) l 的估计。注意到( 1 3 1 a ) ， ( d i v p l ，d i v p l ) = ( d i v p l ，d i v ( p 一7 r h p ) ) i i d i v p l i l l l d i v ( p 一7 r h p ) l l ， 因而由( 1 1 8 ) 有 l i d i v ( p p ) | | = j i d i v p i l c h 7 i l p l l ，+ i ，o r k + 1( 1 31 0 ) ( i i ) 其次我们考虑i i m u u 圳和旧一p h | 1 的估计。在( 1 , 3 1 ) 中取v = n p p h 和w = d i v v ，并利用( 1 _ 1 4 ) 我们首先得到d i v ( r c h p m ) ；0 。所以 c f l i | 7 r p p i | 2 ( a ( 订h p p ) ，7 r p p h ) = 一( c ( “l + u 2 ) 十a ( p 一7 r p ) ，7 r p p h ) c ( i i u i i + 8 “2 | | + l i p 一讯p f ) f | 7 哺p p 玑 注意到( 1 16 ) 一( 1 1 7 ) 则有 l i ，r h p p 1 1 c h ( 1 l p l l ，+ 1 1 u l l ，) 十l i u l l l ) ，1 r 兰k + 1 ，( 1 3 1 1 ) 因此 i i p p h i i c h ( 1 i p h ，+ i l n ) + i i u l l l ，l 墨r + 1 ( 1 31 2 ) 联合引理1 3 1 ，( 1 1 5 ) 以及( 1 3 1 0 ) ，( 1 3 1 2 ) ，并使用g r o n w a l l 引理则可 得到 l 旧h u 一“ i l = i l u l | 1 c h + 1 一缸。( 1 i p l l ，+ 1 i 钍盼) d r ， l 曼r 曼恕+ 1 ( 3 1 3 ) j 0 和当= 0 时 p i l p p n | j = l i p ，i i 冬。 i i p l l t + i l “0 1 + j o ( i l p i l - + l j u ) d r ) ， 当k 1 ，2 r 女+ 1 时 f t i i p p l | ! c h 7 l l p l l ，+ i i 让i | ，+ ( | | p 一- + l u | | ，一- ) d r ) ， ( i i i ) 最后我们考虑l i u u i l 的估计。当= 0 时，由( 1 1 6 ) 和( 1 3 1 3 ) 可 得 ，e i i ? t - - 1 t h 怄i l u - - p u u 曼c 忡”上( 1 l p l l - + ，) 8 r ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 一1 薹豪， n 驵a ， f n g 。+ v a 。一磅 t n q ， i 8 e 。v 。g 2 三：。i n 。三j ， ( 1 3 - 1 5 ) 定理1 3 3 假设定理1 3 2 的条件成立，则当0 t t 和0 0 使得当= o 时有 l l u - u h l l 。矗c n 印训u 一z 。( 1 1 圳- + i i u 忆一吣 1 3 +七 一 0 v s ( 一o o ，+ o 。)( 213 ) 和“o c 4 ( 0 ，1 】) ，u l c 2 ( 【o ，l 】) 的假设下，文【1 5 第一次得到了问题( 2 1 1 ) 当 t o o 时收敛于零的唯一光滑解的存在性；文 1 6 】引入了方程( 212 ) 的有限 逼近，在( 2 13 ) 的假设下，应用g a l e r k i n 方法得到了s o b o l e v 空间w 1 , ”( o ，1 ) 内的全局弱解；在函数，( s ) 满足局部l i p s c h i t z 条件和单调性条件( ，( s - ) 一 f ( s z ) ) ( s ，一8 2 ) 0 的假设下，文 17 】得到了问题( 2 1 1 ) 全局弱解的存在唯一 性；文【1 8 用g a l e r k i n 方法，研究了方程( 2 1 2 ) 的初边值问题、周期边值问 题和初值问题，并在函数，( 8 ) 下方有界的假设下得到了全局强解的存在唯一 性；文【1 9 在有限区域【0 ，1 】 0 ，丁 f 0 ) 上研究了问题( 211 ) 的有限差分方 法，用离散泛函分析方法和先验估计技巧得到了差分格式的收敛性；文【2 0 】研 究了问题( 2 11 ) 的有限元方法，给出了有限元解的误差估计和数值例子； 2 1 研究了同题( 2 11 ) 的广义差分法，给出了广义差分解的误差估计 1 7 山东师范大学硕士学位论文 有限体积元方法( 或称广义差分方法) 是上个世纪八十年代提出的一种新的 微分方程数值解法 2 2 , 2 3 ，该方法具有格式简单，需要的工作量小，可以在不规 则网格上进行计算，局部守恒等优点因此二十多年来得到了飞速发展与应用， 详可参见文献f 2 2 2 8 1 等。基于有限体积元方法的上述优点，本章研究了问题 ( 2 1 1 ) 的有限体积元方法2 2 节中，在非线性函数，( s ) 满足0 f f ( s ) ， 初值函数 u 0 w j 。( nu ，明( ，) ( 其中，一【0 ，1 ) 的假设下( 由【1 7 】知问题 ( 2 1 1 ) 存在唯一全局弱解) ，导出了问题( 2 11 ) 的有限体积元弱形式，提出了 问题( 21 1 ) 的线性全离散有限体积元格式，并证明了