（应用数学专业论文）广义时滞系统的无源控制.pdf

摘要 近年来，广义系统在电网，经济，航天和生物工程等领域取得了广泛应 用，而滞后足客观世界和工程中普遍存在的现象，广义系统中也包含了大量具 有滞后的广义系统，其深刻的实际背景已引起了国内外学者的广泛关注，并 在多方面取得了突破性的进展耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要作 用，而无源性则是耗散性的一个主要方面，是稳定性的一种更高层次的抽象 本文针对线性系统和非线性系统中的双线性系统，考虑了广义时滞系统的无 源控制；针对系统中的不确定参数，又讨论了不确定系统的鲁棒无源控制主 要内容如下； ( 一) 针对线性广义时滞系统，研究了其无源控制问题，在一定条件下， 获得了其通过静态状态反馈后的闭环系统无源且零解渐近稳定的充分条件 ( 二) 研究了一类双线性广义时滞生态系统无源控制问题，利用广义l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式，得到了双线性广义时滞系统容许且无源的充分 条件，并且在一定条件下，设计静态状态反馈无源控制器，使得闭环系统容许 且无源 ( 三) 研究了广义时滞不确定系统的鲁棒无源控制问题，利用广义l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式理论，给出了自治系统广义二次稳定且无源的充分条 件，然后设计出状态反馈鲁棒无源二次镇定器，使得闭环系统是二次稳定且 i 无源的 本论文始终围绕广义时滞系统的无源控制展开讨论，体现了泛函微分方 程的特点及其在控制理论中的应用 关键词广义系统； 时滞系统；双线性系统；不确定微分系统； 无源控制； 鲁棒稳定； 二次稳定； 零解渐近稳定；李雅普诺夫方 程；静态状态反馈；线性矩阵不等式 a b s t r a c t d u r i n gt h er e c e n ty e a r ，t h e i n g u l a rs y s t o m sb a v oa b t a i n e dt h ( ，w l d “p r p a ( 1 a p p h e a t l o ni ne l e c t r m a ln s t w o r k ，e c o n o m y a n t r o n a u t l e sa j l di nb m - e n g m e e n n gd o - m a i n h o w e v e r ，t i m e - d e l a yi st h eu n i v e r s a le x i s t e n c ep h e n o m e n o ni nt h eo b j e c t i v e w o r l da n dt h ep r o j o c t t h es i n g u l a rs y s t e m sa l s oc o n t a i nl o t so ft h es y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y ag r e a td e a lo fi n t e r e s th a sb e e nd e n o t e dt ot h es t u d yo fs i n g u l a rs y s - t e r n sa n dt i m e - d e l a ys y s t e m sd u et ot h e i ra p p l i c a t i o n si nr e p r e s e n t i n ga n dr e s o l v i n g p r o b l e m sc o n c e r n i n gm a n yn a t u r a l l yo c c u r i n gs y s t e m s ，s u c ha sc o n t r o ls y s t e m s ，e c o - n o n l “s y s t e m s ，n l a l l a g e n l e l l ts y s t ( 。i n sa n ds oo i l t i l ed l t f u s i o nt t u - r o r yi sp l a n g t h ei m p o r t a n tr o l e i nt h es y s t e mi n v e s t i g a t i o ni n t os t a b i l i t y n o to n l yp a s s i v i t yi s ap r n w l l r a la s t ) ( r ti l lt h ( t h f l u , q o n ，b u ta l i s i i ck m do fh i g h ( rh w ，1 a b s t r to f s t a b i l i t y t h i sp a p e rc o n c e r n st h ep a s s i v ec o n t r o lp r o b l e mo fs i u g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a yi nt h el i g h to fl i n e a rs y s t e ma n dt h en o n l i n e a rb i l i n e a rs y s t e m ；a l s oi t d i s c u s s e st h er o b u s tp a s s i v ec o n t r o lp r o b l e mo fu n c e r t a i ns y s t e m si nt h el i g h to f u n c e r t a i n t y t h em a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep r o b l e m so fp a s s i v ec o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a ya r e s t u d i ( d u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s t h em f f l i d r n t ( n n ( h t i o ni sd p r i w y ts u d tt h a tt h e , d o s e d - l o o ps y s t e mi sp a s s i v ea n di t sz e r os o l u t i o ni sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ev i as t a t i c m 8 t a t ef e e db a c k 2f o rb l h n e a r l n g u l a rs y s t e m sw i t ht n n e - d e l a y t h ep a l v ec o n t r o lp r o b l e l r l s a r ei n v e s t i g a t e d b ym e a n so fg e n e r a h z e dl y a u n o vf u n c t i o na n dh n e a rm a t r i xl n 一 ( q u a l i t y ，as u t h ( ic n tc o n d i t i o ni sd e r i v ( 、d s l i c ht h a tdp z t * ( r i b c ，db i l i m ，a rs i n g u l a r s y s t e mi sa d m i s s i b l ea n dp a s s i v em o r e o v e r u n d e rc e r t m nc o n d i t i o n sa ，t a t l f ，t a r p f e e db a c kc o n t r o ll a wi sd e s l g u e ds u c ht h a tt h er e h u l t m gc l o s e d l o o p 、y s t e ml s b e t h a d m m s i b l ea n dp a s s i v e 3 t h ep r o b l e m so fr o b u s tp a s s i v ec o n t r o la r ea d d r e s s e df o ru n c e r t a i ns i n g u - l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y u s i n gt h em e t h o do fg e n e r a l i z e dl y a u n o vf u n c t i o na n d l i n e a rm a t r i xi n - e q u a l i t y , am l t f i i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e df o rt l ml m f o r e e ds y s t e m t ob eg e n e r a l i z e dq u a d r a t i c a l l ys t a b l ea n dp a s s i v e t h e nt h es t a t ef e e db a c kr 0 - b u s tp a s s i v ec o n t r o u e ri sg i v e ns u c ht h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d - l o o ps y s t e mi sb o t h q u a d r a t i c a l l ys t a b l ea n dp a s s i v e o b v m u s l yf r o mt h ep r e v i o u sd i s c v “s m o n ，t h ep a s s i v ec o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m s w l t ht i m e - d e l a yi st h ec l u eo f t h i sp a p e r ，w h i c hr e f l e c t st h ef e a t u r eo ff u n c t i o n a l d i f f e r e u t i a le q u a t i o n sa n dt h ea p p l i c a t i o nt ot h ee x m t r o lt h e o r y k e yw o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ；t i m e - d e l a ys y s t e m ；b i l i n e a rs y s t e m ；u n c e r t a i n d i f f e r ( 1 t l t i a ls y s t ( i i l ；p a & s i v e ( x m t r o l ；r o b u s ts t a b i l i t y ；q u n s t r a t i cs t a b i l i z a t i o n ；a s y m p - t o t i e a ls t a b i l i t y ，l y a p u n o ve q u a t i o n ；s t a t i cs t a t ef e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位黼槲：蒿勇勇 槲期：2 , 巾- o6 , 3 月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阗。本人授权可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作槲：蒿勇勇 签字日期：加6 年j 月；日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名 签字日期 电话： 邮编： 日 第一章绪论 第一章绪论 1 7 5 0 年e u l e r l l j 提出r 一个古典的几何学问题：足否存在一种曲线，它经 过平移，旋转运动以后能与其渐缩线重合? 这个问题导出了已知的，历史上 第一个泛函微分方程从此，人们对泛函微分方程逐渐有所认识特别是近 3 0 年，随着对诸如管理系统，生态系统，电力系统，预防医学等实际系统的建 模，设计分析和应用的深入发展，人们已取得了实质的全面的进展 在系统科学和控制领域内，线性系统是基本的研究对象，它是最为简单和 最为基本的一类动态系统在社会发展需求的推动下。从解决相应时代重大生 产和工程问题的需要中产生和发展起来的线性系统理论是系统控制论中研究 最为充分，发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支线性系统理论中的很多 概念与方法，对于研究如非线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论， 鲁棒控制理论，无源控制理论，随机控制理论等，是不可缺少的基础因此， 对于线性系统的研究是非常有关键意义的 随着科学技术的迅速发展，工程技术各个学科，如机械，电工，电机，能 源。土木，光科，通讯，生物，自动控制，材料等领域都提出了大量的非线性 模型，传统的线性模型在高科技发展的今天已显示出种种弊端例如，一台复 杂的机床，往往涉及到很多结合面，由于结合面之间的油阻尼及微观不平度 1 广义时滞系统的无源控制 引起的非线性恢复力使得线性模型不仅存在很大误差，甚至根本不能应用 我们在研究最优控制时，即使对于最简单的线性定常系统，其最优控制也需 要求解非线性的r l c ( m 1 方程在非线性系统模型中，双线性系统足最接近线 性系统的一类非线性系统，它可以对物理，化学，生态，生物等过程中的许多 许多现象进行描述因此对于非线性系统模型中的双线性系统模型的研究具 有重要的实际意义 首先提出研究广义系统问题的是h h 1 l o s e n b r o c k 2 “，他于1 9 7 4 年在讨论 复杂的电网系统中建立了广义的微分系统，并对此作了比较系统的研究数 学模型的一般形式为： e ( 。) 【t ( a ) 。( ) 】= ， ( 。) ，“( 。) ，。) ， ( 1 ) y ( t ) = k ( z ( t ) ，“( t ) ，t ) 这里e ( t ) 是n 阶时变矩阵；t ( a ) x ( t ) 表示z ( t ) 的微分，。， 是z ( ) ，( ) 及t 的 矩阵函数；显然，当e ( ) ( 对协r ) 非奇异时，系统( 1 ) 即通常所说的线性系统 ( 也称为正常系统) ；当e ( t ) 奇异时，则称系统( 1 ) 为广义( 退化) 系统；广义系统 在文献中又称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，描述系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) ，隐 式系统( i m p l i c i ts y s t e m s ) ，广义状态系统( g e n e r a l i z e ds t a t e - s p a c es y s t e m s ) ，半 状态系统( s e m i s t a t es y s t e m s ) 及微分代数系统( d l f f e r e n t i a l - a l g c b r a i cs y s t e m s ) 等广义系统可分为用微分方程描述的连续系统和用差分方程描述的离散系 统两类连续广义系统的状态方程通常描述如下； e ( t ) ) i ：c ( t ) u ( tg i g 叫( t ) ( 2 ) ) =，u ( t ) ，亡】 一 第一章绪论 其中， e ( t ) r “一般为奇异矩阵， ，陋( t ) ，“( t ) ，t 】和g 【z ( t ) ，“( t ) ，t 】分别为 z f t ) ，“( t ) ，t 的n 维和m 维向量函数；z f t ) “( t ) 和”( t ) 分别为适当维数的状态， 输入和输出向量，t 为时间变量特别地，当r a n k l e ( t ) in 时，它表示一个 连续的正常系统 相应地，离散广义系统的状态方程通常描述如下： e ( 七) z ( 七+ 1 ) = ， z ( 七) ，“( 尼) t 膏】 ( 3 1 y ( k ) = 9 k ( ) ，“( ) ，叫 一 其中，e ( k ) 形“一般为奇异矩阵；f 和g 如上所述； z ( ) ，u ( k ) 和”( k ) 分别为适当维数的状态，输入和输出向量，n 为时间变量特别地，当 r a n k 旧( ) 1 n 时，它表示一个连续的正常系统同样，当r a n k l e ( k 1 = n 时， 它表示一个离散的正常系统 广义系统与正常系统相互对应，既存在内在联系又有本质区别正则性是 保证广义系统对给定的允许初始状态有惟一解的充要条件，因而是广义系统 设计的最基本的要求正则的广义系统更是普遍存在的广义系统是一类比正 常系统更具有广泛形式的动力系统，存在于社会生产的诸多领域中人们熟知 的l e o n t i e f 动态投入产出模型，h o p f i e l d 神经网络模型，多个机器人立体协调 作业的动力学模型以及具有非线性负载的电力系统模型都是用广义系统模型 来刻画的因此对广义系统理论的研究具有深远的实际意义 此外，时滞现象是客观世界及工程实际中普遍存在的现象，严格地说，在客 观世界中。时滞- 通常是不可避免的所以，在自然科学，社会科学和工程技术 的研究中的许多现象，仅用微分方程作为它们的数学模型就不能精确地反映出 广义时滞系统的无源控制 这些现象的本质，甚至将会导致错误这就需要带有时滞的微分方程来充当这 些现象的数学模型事实上，由于科学技术的发展，近百年来，自然科学，社会科 学提出了大量时滞动力学系统的问题：如自动控制，生态遗传，流行病学，人口理 论，经济危机周期，工业生产管理等等，这就促使人们去研究各种各样的时滞微 分方程下面给出的例子就说明了滞后现象在传染病动力学中的存在，比如麻 疹传播的l o n d o n 与y o r k e t “oj 模型为5 ( ) = 。j ( f ) s ( t ) 【s ( t 一1 2 ) 一s ( t 一1 4 ) 一2 r 1 十r 其中8 ( ) 表示时刻t 无免疫力的个体数目，r ( ) 是这种个体在人口中所占的 比例，p ( t ) 是人1 ：3 特征函数，两个滞量n = 1 2 ，仡一1 4 分别为麻疹传染的潜 伏期上，下限近年来，随着研究的深入开展，人们越来越重视时滞广义系统 理论的研究，并取得了一定的成果1 2 “9 1 1 x 5 “1 v 1 1 3 5 “3 9 l ， 同时，在工程实际中不可避免地存在着许多受控系统本身的不确定性， 如建模误差，降维误差，广义系统运行误差等及外界不确定性诸如不可知干扰 输入，环境噪声，因而研究广义滞后不确定系统的理论已经成为当经广义系 统理论中的一个重要分支当今控制理论的一个研究热点足鲁棒控制陬3 8 ，4 0 1 ，它是针对控制系统中的不确定性而提出的，是指受控系统存在内部不确定性 和( 或) 外部干扰的情况下。设计静态或动态的反馈控制器，使闭环系统满足 预定的某项或几项性能指标 在系统的各种性能中，稳定性足广义滞后系统最重要的品质之一，也是广 义泛函微分方程理论中的一个重要分支耗散性理论 1 1 1 在系统稳定性研究中 起着重要作用，。耗散。即是一种能量耗散，是由利用效率高的能量转化为利 用效率低的能量，耗散结构是系统存在的一个状态结构，是一个远离平衡态 4 第一章 绪论 的开放系统，通过不断地与外界进行物质，能量和信息的交换，系统内各要素 存在着复杂的非线性相于效应时形成一种时问上，空间上和功能上的有序状 态，这中非线性平衡f 的有序结构，成为耗散结构研究表明，人类社会生态 系统和自然生态系统都足耗散结构而无源性是耗散性的一个重要方面，它 是稳定性的一种更高层次的抽象，它将输入输出的乘积作为能量的供给率， 体现了系统在确界条件下能镀的衰减特性由于在实际研究中，人口模型，生 态平衡模型等很多生态模型都可以转化为线性或非线性广义动态系统，因而 研究广义系统的无源性质是很有意义的有关无源性理论方面，近年来，许多 学者已做了大量工作，冯纯伯等1 1 3 “1 a 1 讨论了非线性系统的无源性，俞立 等讨论了不确定线性系统的鲁棒无源控制问题，董心壮f 2 2 】讨论了离散广义系 统的无源控制问题文献吲研究了时滞广义系统的状态反馈三k 控制问题， 给出了控制器的设计方法我们研究的稳定性主要足渐近稳定性，一般通过构 造l y a p u n o v v - 泛函来研究滞后广义系统解的稳定性由于无源性是系统稳定 性中更高级的一种，因而研究广义滞后系统的无源性是非常重要而且有实际 意义的【2 5 “2 7 j 本文始终围绕时滞，在线性系统和非线性系统中，结合退化和参数摄动展 开讨论，不仅体现了泛函微分方程的特点，而且涉及在控制理论各领域的广泛 应用 5 广义时滞系统的尢源控制 第二章线性广义时滞系统 的无源控制 2 1 引言 耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要的作用无源性是耗散性的一 个重要方面，是稳定性的一种更高层次的抽象广义系统具有深刻的实际应用 背景，许多实际系统如机器人，核反应堆等都必须用广义系统来刻化；而时间 滞后现象经常出现在系统模型中，它常常是导致系统不稳定的根源因此关于 线性广义时滞系统的无源性研究就有了十分重要的实际价值，文【2 3 j 研究了 线性广义系统在有界能量外部作用下的无源控制问题，给出广义系统容许且 有严格无源性的充分条件，并且在一定条件下设计一个状态反馈控制器使得 闭环系统容许同时且有严格无源性 本文作者根据广义时滞系统的稳定性及l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式 理论，讨论了一类线性广义时滞系统的无源控制问题在一定条件下，获得了 其通过静态状态反馈后的闭环系统无源且零解渐近稳定的充分条件 6 第二章线性广义时精系统的无源控制 2 2 预备知识 考察如下形式线性广义时滞控制系统 e i ( t ) = a x ( t ) + b x ( t r ) + c u ( t ) + f w ( t ) z ( t 1 = d x ( t ) + h u ( t ) ， 。( ) = p ( t j ，t 【一r ，o l ， 其中。( t ) r ，l 是系统状态向量；u ( t ) j p 是控制输入向量； u ( t ) 彤是干扰输入向量；且u ( t ) l 2 0 ，o 。) ；z ( t ) 彤是系统实际输出向量； e ，a ，b ，a d ，f i h 为适当维数已知矩阵，且r a n k e = r 0 为时滞常 数；咖( t ) 是( 1 ) 的初始状态，为【一一o 】上连续向量函数，记为( t ) c - r ，o 】 假设系统( 1 ) 的解满足相容初始条件 引理l 【6 l对所有的具有时滞的广义微分系统 e 2 ( t ) = ( t ，x t ) 若存在一个定号的v - 泛函y ( 妒) ，妒c ，使得畋2 ) ( 妒) 是一个与y ( 妒) 符号相反 的半定号泛函或恒等于零，则系统( 2 ) 的零解是稳定的 记a t 为矩阵a 的转置；i i = l l = t 。，z x ，霉形 7 广义时滞系统的无源控制 引理2 8 】 设m ( t ) ，( t ) 和p ( t ) 是具有适当维数已知矩阵，m ( ) ，n ( t ) 是 对称矩阵，对任意叭聃嚣烈 0 0 = 1 ，”) ，这里u u = j ，故我们可取r = u d l a g t 历，一，瓜u + ，就有r = ( r ) 2 证毕 定义21 9 】对于系统( 1 ) 的自治系统，如果存在一个可微非负定函数y ( z ( t ) ) 使得无源不等式v ( z ( 6 ) ) n 7 ( t ) z ( ) v t 0 对一切输入u ( t ) l 2o 一) 恒成 立，则称系统( 1 ) 的自治系统是无源的 当不考虑系统( 1 ) 的输入部分”( t ) ，u ( t ) ，则系统( 1 ) 的参考系统为 e 圣( t ) = a x ( t ) + b z ( t f ) 定义3 【2 9 l系统( 5 ) 称为是零解渐近稳定的，如果它的每一个由相容初始 条件所确定的解z ( t ) 均满足 l i mz ( t ) = 0 2 3 主要结果 在下文中，我们始终假设( e ，a ) 正则，渐近稳定，无脉冲 定理1 如果存在正定矩阵r ，w 和半正定矩阵y 和正实数p ，使得系统 ( 5 ) 满足： 9 广义时滞系统的无源控制 ( i ) 对于( 5 ) 的解z ( t ) ，if , - 如( t ) 0 p l l e x ( t ) l l ， ( i i ) w p 2 i v b r - 1 8 1 v 0 ，且彬y 为满足l y a p u n o v 方程( 4 ) 的矩阵 则( 5 ) 零解渐近稳定 证明取 y 扛( ) ) = ( e z ( t ) ) 7y ( e 0 ) ) + x t 0 + o ) n z ( t + o ) d 8 0 一 r j t r 为正定矩阵，y 为半正定矩阵我们知道 y ( z ( t ) ) 0 沿( 5 ) ： 矿 ( t ) ) = ( e 士( t ) ) t v ( e x ( t ) ) + ( e 。( t ) ) t y ( e 圣( ) ) + z t 0 ) f b ( t ) 一x t ( t r ) p c ( t r ) = z t ( t ) 【a t v e + e 7 v a + 嗣z ( t ) + x t ( t r ) ( b t v e ) x ( t ) + z 丁( t ) ( 刀7 v b ) x ( t r ) 一g g t 一r ) r z 一r ) x t ( t ) a 7 v e - i - e 7 v a + e 7 ( p 2 i ) e x ( t ) + 。7 一r ) m 一r ) + x t ) ( e 7 v b ) r 一1 ( b 7 v e ) x ( t ) 一x t 0 一r ) r x ( t r ) = ( e z ( t ) ) t 【一w + p 2 i + v b r 一1 b t y 】( e z 0 ) ) 所以当定理1 成立时，由引理1 和定义3 ，文献【9 】知系统( 5 ) 的零解是渐近稳 定的 定理2 对于系统( 1 ) 的自治系统，在日+ 日t 0 时，存在正定矩阵 r ，w 半正定矩阵y 和正实数p ，使得其满足 ( i ) 对于( 5 ) 的解z ( t ) ，1 1 4 - 砌( t ) l l p l l e z ( t ) l l ， 1 0 第二章线性广义时滞系统的无源控制 ( i i ) 一e t t 矿一p 2 f v b r 一1 b t e + ( e t v c d t ) ( 日+ 日t ) 一1 ( c t v e d ) s0 且彬y 为满足l y a p u n o v 方程( 4 ) 的矩阵 则系统( 1 ) 的自治系统是无源且零解渐近稳定的 证明取 y l ( 酬= ( 酬圳7 y ( 酬瑚+ 仁以h 岫删枷 r 为正定矩阵，矿为半正定矩阵，经计算得 啦( z ( t ) 一u t ( ) z ( t ) 一z t ( t ) “( t ) 陋7 。) t ( t ) 】- e v w - 矿i - v b r - 1 占t 1 明f e t 日v c 一- - 日d t t 所以当定理2 成立时，由引理及s c h u r 补性质知 访( z ( t ) ) 2 u t ( t ) z ( t ) 取 y ( 雄) ) = ；h ( 邢) ) 可使系统( 1 ) 的自治系统是无源且零解渐近稳定的 对于线性广义时滞控制系统( 1 ) ，”( t ) j p 是控制输入向量，要寻找静态 状态反馈控制器”( t ) = k z ( t ) ，使得闭环系统 e ( t ) = ( a + f k ) x ( t ) + b x ( t r ) + ( ? u ( t ) ， z ( t ) = d x ( t ) + h u ( t ) ， z ( t ) = 庐 ) ，t 【一r ，0 】 1 1 ( 6 ) 广义时滞系统的无携f 控制 是无源且零解渐近稳定的 定理3 对于系统( 1 ) ，在h + 日7 0 时，存在正定矩阵r ，w ，半正定矩 阵v 和正实数p ) 满足： ( i ) 当“( ) = 0 时，对( 6 ) 的解x ( t ) ，i ix - r x ( t ) l i p l l e x ( t ) f l ， f 1 】) 一e 7 w p 2 ，一v b r 一1 8 7 v 一( v f f 7 v ) e + ( e t v c d t ) ( 日+ h t ) 一1 ( c t v e d ) 0 ， 且彬y 为满足l y a p u n o v 方程( 4 ) 的矩阵则系统( 1 ) 存在状态反馈控制器使 得闭环系统( 6 ) 是无源且零解渐近稳定的，而且控制器构造为 ”( ) = ；f t v e x ( t ) 证明取 ( 球) ) = ( 眈( 啪t y ( 眈( 踟+ z 7 0 + 口) 觑( 蚪口) 础 沿( 6 ) 经计算得； 吃( z ( t ) ) 一u t ( t ) z ( t ) 一z t ( t ) “( t ) 陋7 c 缸t c 圳- e t w - i f l i - v b r - 1 b t 矿一e y f f 7 卅e e t 日v c 一- - 日d t 7 ：留 所以当定理2 成立时，由引理及s c h u r 补性质知 奶( 。( t ) ) 一2 u t ( t ) 4 t ) 0 故取 1 - y ( z ( t ) ) 。；( z ( t ) ) 第二章线性广义时滞系统的无源控制 就可满足定义使系统( 1 ) 的闭环系统( 6 ) 无源且零解渐近稳定，并且系统( 1 ) 的静态状态反馈无源控制器为 ”( t ) = ；f 7 v e 婀 广义时滞系统的无源控制 第三章一类双线性广义时滞 生态系统的无源控制 3 1 引言 由于广义系统更自然更一般地描述客观系统，近年来广义系统的研究受 到广泛关注，并取得了丰硕的成果1 1 “6 1 但由于存在信息收集整理的延迟，物 理器件不灵敏性因素，实际系统往往受到滞后的影响，因而研究广义滞后系 统是非常必要的种群生态学是生态学的一个重要分支，也是迄今数学在生态 学中应用得最广泛，发展地最为系统和成熟的分支，其中包含了许多含有广义 时滞系统的模型双线性系统是接近线性系统的一类非线性系统，它可以对物 理，化学，经济，生态，生物等过程中的许多现象进行描述人类社会生态系 统和自然系统都是耗散性结构，而无源性是耗散性的一个重要方面，它将输入 输出的乘积作为能量的供给率，体现了系统在有界条件下能量的衰减特性 有关无源性理论，许多学者已做了大量工作，取得了许多成果【2 0 2 3 1 本文研究了一类双线性广义时滞生态系统的无源控制问题，利用广义l y a - p u n o v 函数和线性矩阵不等式理论得到了双线性广义时滞生态系统容许且无 源的充分条件，在此基础上设计出状态反馈控制器，使得闭环系统容许且无 1 4 第三章一类双线性广义时滞生态系统的无源控制 源。 3 2 预备知识 考虑如下形式的双线性广义时滞控制系统 e 圣( t ) = a x ( t ) + b x ( t r ) + c u ( t ) + 仁p1 m z 0 ) 。 ) + f ) ， z ( t ) = d x ( t ) + 日“( t ) ， ( 1 ) z ( t ) = 0 ) ，卜- 吼 其中x ( t ) r n 是状态向量；u ( t ) r p 是干扰输入且“( t ) l 2 0 ，o 。) ； w ( t ) e 冗“是控制输入；z ( t ) r p 是被调输出；乏名1 兢( t 池( 力是系统双线 性部分；e ，a r a ”，r a n k e = r 0 时，如果存在正定矩阵 r ，半正定矩阵y 和正实数p ，a ，满足： ( i ) 对于( 2 ) 的解z ( t ) ，i i v - - m r ( t ) l l p l l e z ( t ) l l ， ( i i ) i i 0 1m ( 咖。( t ) | l a i i e x ( t ) l l ， ( i i i ) a x v e + e t v a + e 7 v b n 一1 8 1 v + ( 矿- t - a 2 ) i + v 2 】e + ( e t v c d t ) ( 日+ h t ) 一1 ( e t v e d ) 0 1 7 广义时滞系统的无源控制 则系统( 3 ) 称为是容许且无源的 证明取 f o u ( z ( ) ) = ( e x ( t ) ) v ( e x ( t ) ) + z ( t 十o ) r z ( t 十o ) d o j r 其中r 为正定矩阵，y 为半正定矩阵 沿( 3 ) ，有 k ( z ( t ) j = l a x ( t ) 十b x ( t rj 十c “( tj 十| | 2 ln , z ( t ) u 。( t ) ij 矿( e c ( ) ) + ( e z 0 ) ) 1 v a x ( t ) + b x ( t r ) + c u ( t ) + l | p ：1 l z ( t ) 地( t ) + z 丁0 ) r z ( t ) 一。1 ( t f ) 鼢0 一r ) x t ( t ) 【a t v e + e t v a + r + e t v 2 m l z ( t ) + z t ( t ) ( e t v b ) r - 1 ( b 7 v e ) x ( t ) + ( 1 1 ：1m z ( t ) u ；( o l d t ( 1 1 ：1 川。( ) 地( t ) j i ) + z t ( e 7 v o ) u + u t ( e 7 y e 净 sz t 0 ) a t y e + e t v a 十e t ( v b r 一1 b t v + 矿j + a 2 j + v 2 ) 司z ( t ) + z t ( e t v c ) u + u t ( g 7 y e 净 令 e 7 ( v b n 一1 b v + p 2 i + a 2 f + y 2 ) e = m 晓( z ( t ) ) 一u t ( t ) z ( t ) 一z t ( f ) ( t ) 印下c 幻缸t c 纠a t v e + e t v a + m e t 日v c 一- - 日d t t ：器 取 y ( ) ) = ；h ( 球) ) 1 8 第三章一类双线性广义时滞生态系统的无源控制 就可满足定义使系统( 1 ) 的自治系统( 3 ) 容许且无源 对于双线性广义时滞生态控制系统( 1 j ，w ( ) r “足控制输入，静态扶态 反馈w ( t ) = k x ( t ) 后的闭环系统为 e 未( t ) = ( a + f k ) x ( t ) + b x ( t r ) + c u ( t ) + p ；1m z ( t ) 0 ) ， z ( t ) = d z ( t ) + h u ( t ) f 4 ) x ( t ) = 妒( ) ，t 【一r ，o 】， 定理3 在日+ h 1 0 时，如果存在正定矩阵r ，半正定矩阵y 和正实 数p ，e 使得系统( 1 ) 满足， ( i ) 当干扰输入“( t ) = 0 时，对( 4 ) 的解z ( t ) ，i l f f - 励( t ) l l p l l e x ( t ) l l ， ( i i ) lj p - 1 t $ ( t ) “。( t ) 0 a i i e x ( t ) l l ， ( i i i ) a t y e + e t v a + e t v b n 一1 b t v + e v f f t v + ( 矿+ a 2 ) j + v 2 】e + ( e t v c d t ) ( 日+ 日t ) 一1 ( c t v e d ) s0 则系统( 1 ) 存在静态状态反馈使得闭环系统( 4 ) 是容许且无源的，而且控 制器可构造为 ( t ) = ；f x v e z ( t ) 证明取 o ( t ) ) ；( e z o ) ) t v ( e z ( t ) ) + - 。t o + 8 ) r x ( t + 8 ) d o j t 其中r 为正定矩阵，y 为半正定矩阵令 e t w b r 一1 b t v + e v f f t v + ( 矿+ a 2 ) ，+ v 2 】e = m 1 9 广义时滞系统的无源控制 经计算得 f 1 2 ( x ( t ) ) 一“7 ( t ) z ( t ) 一z t ( t ) u ( t ) 外飞h - 嚣州e v v c - d 当定理3 成立时，由上及s c h u r 补性质知 取 y ( z ( f ) ) = 互1 ( z ( t ) ) 可使系统( 1 ) 经过状态反馈后的闭环系统( 4 ) 是容许且无源的，而且静态状 态反馈控制器可构造为 ”( t ) = ；f r v e z ( t ) 第四章时变不确定广义时滞系统的鲁棒无源控制 第四章时变不确定广义时滞 系统的鲁棒无源控制 4 1 引言 人类社会生态系统和自然生态系统都是耗散结构，耗散性理论f 1 1 】在系统 稳定性研究中起着重要作用，其本质含义是存在一个非负的能量函数( 即存储 函数) ，使得系统的能量损耗总小于能量的供