（运筹学与控制论专业论文）动态系统的互连控制.pdf

摘要 动态系统的行为化理论为建模与控制问题提供了个很好的框架，它不去假定系统 具有任何不必要的结构，核心目标是系统的行为，它突破了传统的传递函数与状态空间 法的局限性，为我们提供了一种更合乎自然规则的方法。它尤其适于研究控制问题，将 控制看作为系统的互连，克服了经典反馈控制理论的不足，同时，可将具有不同模型描 述的系统纳入到统一的框架中进行研究，使得这一课题在理论和应用上都具有重要的意 义，同时具有很大的挑战性。 本文在行为化框架下重点针对几种不同的期望行为从系统互连的角度出发研究了 其实现方法。首先介绍行为化理论发展的背景、研究现状以及动态系统互连控制的思想， 其次介绍线性微分系统的基本理论，这也是行为化理论的基石；接着首先研究了作为经 典系统理论中互连系统代表的缀合系统的行为化建模及其性质，体现了行为化方法的优 越性，然后主要对系统的极点配置问题与基于观测器的控制器构造问题进行了研究，并 以极点配置为例揭示了与经典反馈控制之间的关系。最后用行为化方法研究了连续时问 线性微分系统的二次型最优控制问题，采用了二次微分型性能指标，引入了初始条件， 得到了系统渐近稳定的最优行为，所举例子说明了行为化环境下的线性二次型问题是对 经典的状态空间环境下相应问题的推广。 关键词：行为化方法互连控制期望行为控制器线性二次型控制 a b s t r a c t i ti s g o o df o r u st o s t u d yt h em o d e l i n ga n d c o n t r o lo fd y n a m i cs y s t e m si n b e h a v i o r a lf r a m e w o r ki nw h i c hn ou n n e c e s s a r ys t r u c t u r ei sa s s u m e do fs y s t e m s t h e c e n t r a lo b j e c to fs t u d yo ns y s t e m si si t sb e h a v i o r u n d e rb e h a v i o r a la p p r o a c h ，t h e l i m i t a t i o ne x i s t si nt r a d i t i o n a lp a r a d i g mw a sb r o k e nt h r o u g h t h i sa p p r o a c hp r o v i d e sa s am o r en a t u r a lw a yt od or e s e a r c hp a r t i c u l a r l yt os t u d yo fc o n t r 0 1 t h ev i e w p o i n to f v i e w i n g c o n t r o la si n t e r c o n n e c t i o no v e r c o m e st h ed e f t c i e n c i e st h a te x i ti nt h ec l a s s i c a l f e e d b a c kc o n t r o lt h e o r y f u r t h e r m o r e ，t h es y s t e m st h d th a v ed i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n s c a nb es t u d i e di nau n i f o r mw a y f o rt h e s ea d v a n t a g e s ，t h et a s ko ff i n d i n gas o l u t i o nt o t h ep r o b l e mo fc o n t r o lf o rd y n a m i cs y s t e m si nb e h a v i o r a lf r a m e w o r kh a v es i g n i f i c a n c e i nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c ea n di sav e r yc h a l l e n g i n gp r o b l e ma sw e l l i nt h i sp a p e r , t h ee m p h a s i si st h a ts o m ed i f f e r e n tk i n d so fd e s i r e db e h a v i o r sa r e c o n s i d e r e df r o mt h e p e r s p e c t i v e o f i n t e r c o n n e c t i o n f i r s t l y , b a c k g r o u n d o ft h e d e v e l o p m e n to fb e h a v i o r a lt h e o r y a n dt h e h i s t o r y a n dc n i i e n ts i t u a t i o d so fi t a r e i n t r o d u c e d t h ei d e ao fc o n t r o la si n t e r c o n n e c t i o ni sa l s op r e s e n t e d s e c o n d l y , t h eb a s i c t h e o r yo f l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m si sg i v e nw h i c hi st h eb a c k b o n eo f b e h a v i o r a lt h e o r y f o l l o wi t ，a st h er e p r e s e n t a t i v ep a r a d i g mo fi n t e r c o n n e c t e ds y s t e m si nc l a s s i c a ls y s t e m t h e o r y , c o m p o s i t es y s t e m s i ss t u d i e da b o u t m o d e l i n g a n dt h em a i n p r o p e r t i e s f r o mt h e p r o c e s sw ec a ns e e t h e a d v a n t a g e s o ft h eb e h a v i o r a l a p p r o a c h s u b s e q u e n t l y , t h e p r o b l e m so ft h ep o l ep l a c e m e n ta n dt h ec o n s t r u c t i o no fo b s e r v e r - b a s e dc o n t r o l l e ra r e p a r t i c u l a r l yi n v e s t i g a t e d a n dt h e nt h er e l a t i o n sa r ec a r r i e do u t b e t w e e nt h e i n t e r c o n n e c t e dc o n t r o la n dc l a s s i c a lf e e d b a c kc o n t r o li nt e r m so ft h ep o l ep l a c e m e n t p r o b l e m f i n a l l y , t h ep r o b l e ma b o u tl i n e a rq u a d r a t i cc o n t r o li s d i s c u s s e df o rl i n e a r , t i m e i n v a r i a n ta n dc o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s a s s u m i n g t h a tt h ec o s tf u n c t i o ni s e x p r e s s e db y m e a n so faq u a d r a t i cd i f f e r e n t i a lf o r ma n dg i v i n gt h ei n i t i a lc o n d i t i o n ，t h e a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo p t i m a lb e h a v i o r i sf i n a l l ya c h i e v e d s o m ee x a m p l e sa r ep r o v i d e d t os h o wt h a tt h ep r e s e n ts t a t e m e n tw i t h i nt h eb e h a v i o r a ls e t t i n gi san a t u r a le x t e n s i o no f t h ec l a s s i c a ll i n e a rq u a d r a t i c p r o b l e m f o rs t a t e - s p a c em o d e l s k e y w o r d s ：b e h a v i o r a la p p r o a c h i n t e r c o n n e e t i o nd e s i r e db e h a v i o r c o n t r o l l e rl i n e a r q u a d r a t i cc o n t r o l 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：蜷 日期：- 二堕g 关于论文使用授权的声踢 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校 攻读学位期间的学位论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校 后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留 和送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文中的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印和其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期：鱼堕! ：培 日期：型：! ! ! 乎 第一章绪论 第一章绪论 本章第一节主要介绍动态系统行为化理论的发展背景与现状；第二节说明系 统互连控制的思想和方法；第三节介绍本文所研究的主要内容和所做的主要工作。 1 1 行为化理论的背景与现状 这篇论文属于“系统与控制”的大范畴。动态系统是几个世纪以来人们一直 研究的主题之一。一般地，系统理论所研究的主要对象是开放动态系统，换句话 说，是在与环境的相互作用与影响下发展变化的物理系统。这种观点是相对于那 些为数不多的领域o ”1 ，其所建楔的系统为封闭系统，即相对于环境来说是孤立的， 系统的演变仅与其初始条件有关。封闭系统的范例实际上只适用于某些特殊的模 型，例如行星的运动，对它来说，与外部宇宙相隔绝的假设是允许的，但当我们 想考虑一个行星与其它行星间的相互作用时就会出现困难。日常生活经验告诉我 们，大多数系统在本质上都是开放的，且其机能只能够由它们与外部世界以及与 其它系统间的相互作用来描述，举例来说，复杂的电网是由简单的基本部件组成， 然后与外部设备相连接而形成的；机械系统只有在来自于外界环境或其它系统如 发动机的外力的作用下才能运动；经济系统需要进行商品交换等等。所以系统理 论主要是描述系统之间及系统与环境之间是如何相互作用的。 在阐述系统的互连时，传统的系统理论中的大量工作是通过一种输入输出结 构来集中描述开放系统与环境间的相互作用的，它认为系统本质上是由外部刺激 ( 输入) 所驱动而产生某些结果( 输出) 的信号处理器。从英国物理学家海维赛 德最初的工作开始，接着在布莱克、奈奎斯特、波德、贝尔曼及卡尔曼等科学家 的工作中，这种观点几乎可以说占领了整个系统理论领域。输入输出的框架结构 当然很适合去描述系统与其环境间的相互作用，它之所以具有吸引力是因为我们 可以将其解释为一种因果关系，特别地，当状态变量也包括进来时，计算就方便 了许多。然而，把它作为描述开放系统的出发点就显得太严格了，因为大多数物 理系统并非信号处理器，且描述系统的变量间并没有因果的依赖关系，最重要的 是，系统间的相互作用并不总是通过将一个系统的输出作为另一个系统的输入， 即通过所谓的输入输出模型反映出来。建模与仿真程序包，如m a t l a b 仿真， 是一个典型的输入输出思想的产品，程序包实际上是完全基于方块图、串联、并 联及反馈互联的，然而，即使对于最基本的例子，s i m u l i n k 也不便于操作。一个简 单系统如电阻器需要与两个不同的s i m u l i n k 模块相连，这取决于它被认为是由电 2动态系统的互连控制 流驱动还是电压驱动。问题当然是我们不得不强加一种输入输出结构于本来并不 存在这种结构的对象上。 尽管输入输出的框架结构是主要的，但它并不是在系统理论领域及描述开 放系统的相关领域内发展的唯一模式。例如，最初的关于d i a k o p t i c s 的工作、电路 理论的形式体系及键合图语言等都是以不同的方式去描述并不依赖输入和输出的 系统互连。 d i a k o p t i e s 是由g 【k r o n 于1 9 5 0 s 提出的，这可能是历史上首次提供了一种将 复杂系统分解为简单的子系统的规范方法，并用单元件模型去生成一个较大的系 统模型并描述其互连情况。这样，主要思想就不再是系统如何将输入转换为输出， 而是它们的布局结构，即他们彼此问相互联系的方式。从这方面来看，这种观点 与本文研究问题所采用的框架是非常类似的。 三十年来，数学家和工程师们认为传递函数与状态空间的方法与“线性系统 理论”是等同的，究其原因，一方面，输入输出的模式符合工程技术的观点，即 把系统看作是对某种作用( 输入) 产生的某种反应( 输出) ；另一方面，在表达一 个系统的内部结构时，状态的概念显示出了重要作用，并且在许多应用领域，状 态空间方程比其它表示方式更有计算方面的优势，卡尔曼滤波、l q 控制、l o g 控 制、h 。控制等便是其中的例子。 不能否认，传递函数与状态空间法是研究系统非常有用的手段，并且极大地 推动了系统理论的发展，但也不能否认，输入输出和状态空间的模式具有许多 不容忽视的缺点。当描述系统的变量不能被划分为输入和输出时，输入一输出模 式就不适合于这种比较常见的情形了，即不允许有物理因果关系的假定了。状态 空间模式也具有限制性，因为在现实生活中，线性系统很少是直接用一阶微分方 程来描述的，所以状态空间描述必须要由刻酾系统的方程演绎而得到，而不是作 为出发点给出的。 事实上，这种模式最重要的缺点在于它们只能用来研究小范围内的物理系统 而不是任何物理系统。由相关的基本原理对一个物理系统建模并不能得到一个传 递函数描述或状态空间描述，而是得到一些高阶微分方程，包括一些代数方程及 隐变量。为了得到只含有显变量的模型，隐变量必须被消副5 0 1 。最终，如果需要， 状态空问或传递函数描述可以被计算出来。 无论在实际应用还是在理论发展方面，在系统与控制理论已取得重要成果的三 个领域中，传递函数和状态空间模式的局限性就变得更加明显，这三个领域分别 为：反馈控制、最优控制及l y a p u n o v 理论。 在经典的反馈控制理论中，控制输入一般是受控系统观测输出的函数，综合问 题相当于去设计一个能实现这个函数的控制器。控制器将对象的观测输出作为其 输入，将其所产生的控制信号作为输出。在很多情况下，对象与控制器的反馈互 第一章绪论 3 联会导致对系统变量的约束，某些变量在对象与控制器中是作为输入或输出的， 但在闭环系统中则不能再如此划分。许多情况下，将控制器的作用看作是反馈或 把它想象成信号流程图是不符合自然法则的。 在最优控制及l y a p u n o v 理论背景下，经典的系统与控制理论都集中于研究一 阶模型。例如，经典的最优控制理论是假定控制目标是由状态、输入及扰动变量 的二次型晒数的积分的最小化来刻画的，但由相关的基本原理得到的模型一般既 不是一阶模型，也不允许将变量明确划分为输入和输出，问露是能否发展一种直 接基于基本原理模型的最优控制和l y a p u n o v 理论呢? 这样的理论将会使建模者和 控制工程师能完全根据描述系统的变量去刻画控制目标以及研究稳定性性质。 在上个世纪八十年代初，比利时人j c w i l l e m s 创立并提出了描述系统的一种 新理论，它包含了传递函数及状态空间模式并克服了其不足，它对于系统的结构 及变量的本质并不作出未证明其正确性的人为的假设。这种方法的核心思想是将 系统看作是时间轨线的的集合，系统变量除了我们设法刻画其发展变化情况的变 量外，还包括建模过程中引入的隐变量，它们取值于某个信号空间，系统变量所 有可能的轨线集叫做系统的行为，这种方法叫做行为化方法。它平等地看待每一 个变量，因而不会有输入与输出的假定。此夕 ，在系统与描述它的方程组之间， 也即行为与系统描述之间是有很大区别的，同一个系统可以有许多不同的描述， 如用高阶微分方程来描述，或是一阶的微分方程组来描述，或是输入一状态一输 出方程来描述等，各自分别适用于不同的目的：分析、控制、仿真等等。 总之，与通常的输入一输出或状态空间环境相比，在行为化框架下，动态系统 的概念是从更为基本的层面去定义的。其主要特征是：在描述系统与环境间的 相互作用时，不是从输入一输出的观点出发，而是以系统的轨线集，即行为来刻 画。因此在建立数学模型时，不用明确区分输入和输出，而只是利用系统所有变 量之间的关系；没有状态构造。尽管线性状态空间理论很丰富，但状态构造 仍存在一些基本困难，行为化理论试图免去状态构造；行为化方法能把给定系 统的各种不同描述统一起来。它在对动态系统建模时，不需假定系统属于某类特 殊的参数化表示。 实际的建模问题在很大程度上推动了行为化方法的发展，在过去的十几年中， w i l l e m s 等人极大地发展了动态系统的行为理论，其中 3 6 3 8 用一种非常基础 的、准确的、极好的方式提出了系统建模的新观点； 3 提出了研究系统建模、综 合、控制及仿真等问题的行为化框架；在 1 1 中，c h e i i 进一步研究了线性系统的 准确建模及可识别性问题。此外，行为化控制理论也得到了较多研究。随着系统 与控制的行为化理论的不断发展，这种理论已逐渐得到了广泛的认可。相关研究 主要集中在荷兰、意大利、法国、美国等欧美国家，其中，在荷兰的g r o r d n g e n 大 学数学系的系统与控制小组成员中，有不少是专门从事系统的行为化理论研究的， 4动态系统的互连控制 他们代表着这一方向的最新动向，而在我国，目前从事行为化理论研究的人员还 比较少，加之行为化理论从创立到现在仅仅经历了二十年左右的时间，有很多问 题都值得进一步探索，因而这也是一个极富挑战性的课题。近年来，有关动态系 统的行为化理论研究已涉及到很多领域，如分布系统、耗散系统、耗散分布系统、 微分延迟系统、微分代数系统、离散事件系统、广义系统、随机系统、混杂系统 及n 维系统等等。行为化控制理论也在日益发展，其中既有从一般意义上对控制 理论的研究，同时不少也已涉及到具体的控制问题：如h 。控制、最优控制、自适 应控制等【1 9 , 4 4 , 1 s , a o , 4 3 a 8 , 2 4 , 2 4 , 3 5 1 。行为化方法在机械、电力、化工、生物、经济、航空 宇宙等系统领域内也有着广泛的应用 2 2 , 4 0 - 4 2 1 。作为在经典的传递函数及状态空间方 法的基础上发展起来的种新方法体系，行为化方法到目前为止，大多研究的是 线性时不变系统，对于非线性系统与时变系统的行为化理论的研究有待进一步发 展。 1 2 系统互连控制的思想与方法 对于控制，经典的方法是把系统看作是信号处理器，它通过某种方式适当改 变输入，从而控制系统的输出。现今，这通常是由一个智能反馈控制器来完成。 由传感器测量输出，由观测结果，控制输入被计算出来，再传达给执行器，执行 器产生的信号再施加于控制对象。把控制器看作是反馈信号处理器是很常见的， 一个熟悉的例子便是自动温度调节器，它感应出对象的实际温度并通过一个控制 器把这种信息反馈回去以决定加热或冷却。这种解决控制问题的方法即采用如图 1 1 所示“智能控制”，在此框架下，它对对象，一般也是对系统施加了一种输入 输出结构。实际上，对于控制理论，这种框架并不是最符合自然规则的。相代替 的是，把控制看作是受控对象与一个待设计的控制器的互连【5 2 0 , 3 0 l ，在这种环境下， 控制目标是设计一个被控对象与控制器恰当互连的整体的控制系统，性能目标通 过控制系统来体现，在控制系统中，控制器只是一个子系统。我们免除了输入输 出结构而使用所谓的“行为化方法”，因为这种方法不去假定系统具有任何不必要 的结构，它集中研究的是动态系统的行为，即系统模型所容许的轨线集，行为一 般是由建模时所建立的方程组来刻画的。 在这篇论文中，我们将希望改善其性能的已知受控系统，称为对象。 控制的行为化方法的主要思想是互连，它不再把控制器看作是信号处理器， 而是看作通过某些控制变量与对象相互连接的动态系统。在对象没有受控制之前， 对象的控制变量是由描述对象行为的动态法则所约束的，互连后，控制变量必须 也要满足控制器法则，这样，对象所有变量的动态行为就被改变，因为对象与控 制器的互连不仅仅影响了互连变量，而且通过它们的传递，也影响到了刻画对象 第一章绪论5 的其它变量。控制的目的是将对象的不满足给定性能目标的行为剔除掉，这种剔 除是通过对对象施加更多的法则使得对象行为被限制到一个适当的子集上，我们 称之为控制行为。因而，互连可被看作是为了使对象的行为变为期望的轨线集而 对变量所旌加的附加法则。所施加的这些法则自身就构成了一个系统，称之为控 制器系统。一旦对象系统与控制器系统进行了互连，变量就要同时满足两个系统 所遵循的法则，这样就将对象行为约束到了控制行为。 因此，在行为化方法下，控制器的设计问题即为对一个给定对象去设计系统 变量应服从的附加法则的问题，更具体地说，如果一个对象是由一组微分方程来 描述，那么控制器的设计便是创造出一个附加的方程组，使得控制系统满足给定 的控制目标( 或称期望行为) 。 本论文中所涉及到的控制问题针对的是一般情况，即对象有两种变量：待控 变量与控制变量。控制器只作用于控制变量，通过互连将这种作用通过对象传递 给待控变量，设计控制器的最终目的是使得待控变量满足给定的性能目标。在行 为化环境下，控制器的综合一般可分为四步： 1 建模：是指获得待控对象某种表示的一种系统的步骤。这个过程也包括对 以下变量的刻画： 待控变量：即我们真正想控制的变量 一 控制变量：那些可以与控制器相联系的变量 2 控制目标：在这一步骤中，目标是根据对被控变量的一种具体要求来表达 的。 3 控制行为：这一步骤是要确定出包括对象行为在内的满足控制目标的个 控制子行为。 4 控制器方程：根据对象的一种给定表示，最终我们需要得到控制器的方程， 使得此控制器与对象互连后，能够产生一个满足性能目标的控制系统。 本论文主要涉及上面方法中的2 、3 、4 步，考虑了几种不同的控制目标( 期 望行为) ，对于每一种都给出了当期望的控制行为存在时，对象行为所应满足的条 件，并求得了在此条件下控制目标得以实现的控制器方程。 图1 1 智能控制模式 6动态系统的互连控制 1 3 本文的主要工作 动态系统的行为化理论为建模与控制问题提供了一个很好的工具，它不去假 定系统具有任何不必要的结构，研究的核心目标是系统的行为，它突破了传统的 传递函数与状态空间法的局限性，为我们提供了一种更合乎自然规则的方法。对 一个较为复杂的系统进行建模时，往往是将系统看成若干个子系统的互连。而行 为化控制，也是从系统互连的角度出发，它不再把控制器看作是经典控制论中的 反馈信号处理器，而是看作通过某些控制变量与对象相互连接的子系统。它克服 了传统的传递函数与状态空间法的缺陷和不足，成为一种更具有广泛使用价值的 新方法体系。在这个方法体系下，一些有关动态系统建模与控制的问题已得到解 决h 1 3 , 1 4 , 3 6 - 3 s , 1 7 , 3 0 j 孤。本文所做的创新性工作主要在以下几个部分：1 由于在工程实 践中，一个控制系统往往是由两个以上予系统按一定规律联接而成的，因此本文 在研究控制问题之前，首先在行为化框架下对组合系统进行了建模与分析，给出 了组合系统的行为化模型及其能控性与能观性的判别条件。2 讨论了系统的互连 与控制并从互连控制的角度对系统的极点配置问题与基于观测器的控制器构造问 题进行了研究，并以极点配置为例揭示了互连控制与经典反馈控制之间的关系。 实现期望的极点配置作为一种期望行为，文中首先给出了此期望行为可正则实现 的条件，然后在此条件下设计了一种( 正则) 极点配置控制器；当一部分系统变 量不能观测时，论证了期望行为能通过对象与基于观测器的控制器的互连而实现 的充要条件，并在充分性的证明过程中，给出了一类基于观测器的控制器构造方 法。3 最后，当期望行为以系统的某种性能指标最优来刻画时，即变为最优控制 问题，其中很常见的一种类型即线性二次型最优问题，本文在行为化方法下对连 续时间线性微分系统进行了讨论，采用二次微分型的价值函数，引入了初始条件， 从求泛函极值的角度出发，得到了系统渐近稳定的最优行为。文中的问题描述很 具有一般性，自然地在行为化环境下推广了经典的状态空间环境下的线性二次型 问题，所举实例更好地说明了这一点。 本文是这样安排的：第二章主要介绍线性微分系统的基本概念及主要性质，这 也是行为化理论的基石，主要为后面的研究奠定理论基础；作为经典系统理论中 互连系统的代表，第三章研究了组合系统的行为化建模，并简要分析了其性质， 分析结果表明行为化方法有着适用面广、建模工具简单，结论及导出过程简捷等 优点；第四章讨论了系统的互连与控制并从互连控制的角度对系统的极点配置问 题与基于观测器的控制器构造问题进行了研究，以极点配置为例揭示了行为化框 架下的互连控制与经典反馈控制之间的关系；第五章用行为化方法研究了连续时 间线性微分系统的二次型最优控制问题，采用二次微分型性能指标，引入了初始 第一章绪论7 条件，得n t 系统渐近稳定的最优行为，并通过具体例子说明了行为化方法下的 线性二次型控制问题与经典的线性二次型控制问题之间的关系，最后指出了需要 进一步研究的问题。 8动态系统的互连控制 第二章线性微分系统 在用物理原理对动态系统建模时，得到的一般是用一组微分方程所描述的系 统模型，本文将研究一类由线性常系数微分方程所描述的动态系统，即线性微分 系统，这也是一类很常见的系统。在研究线性微分系统的表示时，采用的一个非 常有用的工具便是多项式矩阵代数。本章所介绍的系统性质及系统变量的输入、 输出的本质等都可以用与系统表示相关的多项式矩阵的性质有效地得到检测。 2 1 动态系统的行为理论 行为化方法下，一个动态系统被看作为轨线集。本节首先给出行为化框架下 动态系统的定义及其相关概念【l l 。 定义2 1 一个动态系统由如下的一个三元组来表示： = ( t ，w ，b ) 其中t r 表示时间轴，即与所研究的动态系统相关的时刻集( 例如：对于连 续时间系统t 为r 或r + ，离散时间系统t 为z 或z + ) ；w 为一个集合，称为信号 空间：b w 7 为系统的行为，即由系统模型所容许的时间轨线组成的集合。其中w 7 表示所有t w 的映射组成的函数空间。 实际上，一个系统即由取值于信号空间的时间轨线集组成。行为化方法下研 究的核心目标即系统的行为，故通常把系统称为系统b 。 行为化方法下的系统变量一般可划分为显变量和隐变量。建模的目标变量， 称为显变量，为了描述目标变量的行为，建模过程中往往还需引入辅助变量，称 这些变量为隐变量。例如在状态空间模型中，输入变量与输出变量可看作是显变 量，系统状态看作隐变量。 对定义2 1 稍做改变就得到系统变量被划分为显变量和隐变量情况下动态系 统的定义。 定义2 2 一个具有隐变量的动态系统是一个四元组。= ( t ，w , l ，b f ) ，其中 t r 表示时间轴，w 为显变量空间，l 为隐变量空间，b ，w 7 好为系统的全 行为。 相应地，具有隐变量的系统轨线为( w ，f ) ，其中w 为显轨线( 也称为外部轨线) ， f 为隐轨线。 由一个具有隐变量的动态系统可导出在定义2 2 意义下的如下动态系统： 第二章线性微分系统9 定义2 3 。= ( t ，w ，l ，b f ) 是一个具有隐变量的动态系统，由三。导出的显( 或 外部) 动态系统为= ( t ，w ，b ) ，其中b 定义为： b ：= w ：t w i l t ：t l 使得( m f ) b f ) 定义2 4 称= ( t ，w ，b ) 是线性的，如果w 是一个向量空间且b 是w r 的一 个线性子空间。 定义2 5 称= ( t ，w ，b ) 时不变，如果称t 是r 中的一个加法半群，且若对 v f t ，有w ( ) b = w ( + f ) b 。 在这篇论文中，我们只考虑连续时间系统( t 。琏) ，其显变量与隐变量分别 取值于w 一彤与l 一彬，许多情况下，这种系统由微分方程描述，即 w，idw，可dlw)=，磊dl，拶dl1fi( 2 ( 1 w i ，可) 2 ，磊，矿) 在线性时不变情况下函数五与矗是线性的且不依赖于时间的，称这种系统为线 性微分系统。下面就介绍一种具体形式的线性微分系统。 2 2 连续时间线性微分系统 2 2 1 系统的表示 在这篇论文中，主要研究的是线性时不变连续时间微分系统：( 琏，胖，b ) ， 一般地可由三种形式的微分方程来表示。 1 核表示 一般地，线性时不变连续时间微分系统由如下的常系数微分方程的解集描述： r 足警+ + 日害地 或简写为： r q d t ) w 一0 ( 2 1 ) 其中r 皓) r “9 亭 ( 这里瑰。” 宇 表示所有有q 列与任意( 有限) 行数的实多项式 矩阵组成的集合) ，表示为：r r + r 亭+ + b 亭”，其中亭表示未定元， r ，r ，r 为给定的实矩阵。 称( 2 1 ) 式为系统的核表示。系统的行为8 ，即方程( 2 1 ) 的解集，记为 b 2 k e r ( r p 出) ) ，方程的解有强解与弱解之分。 定义2 6 【1 l w 叫做方程的强解，如果w 的元素依方程所需总是可微的，且方程 ( 2 1 ) 对所有r r 都成立。 但从系统的观点来看，这种条件未免太严，往往难以满足，因为它排除了不 连续信号发生的可能性，故引入弱解的概念，弱解包括了方程的不连续解，故更 1 0动态系统的互连控制 具有广泛意义。 定义2 7 t 5 1 如果w 铲( r ，即) 且在分布意义下满足方程( 2 。1 ) ，即对所有具有 紧支撑的，c ”( r ，r , o “。) ，有 ( m 玳一争，) i o 其中( 五，2 ) 一c f f ( t ) f 2 ( t ) d t ，则称w 为方程( 2 1 ) 的弱解。 这里上1 k ( r ，r 9 ) 表示由局部可积函数w ：r r a 组成的空间，称w 为局部可积 函数，若对所有口，6 r ，f g ) 陋t m 。r o w d i m 指行维数，c ( 豫，r “m 舯) 表示 r r “( 。的无穷可微函数空间。 为简便起见，研究形如( 2 1 ) 的线性微分系统时，常假设它是最小核描述，下面 给出其含义。 定义2 8 t 5 1 称r 白w o 是b = k e t ( r ( a ) ) 的最小核表示，当存在b 的另一个核 d r“ 表示r 曰dw o ，且k c r 僻白) 一k e r 僻嗉) ) 时有下式成立： r o w d i m ( r ) sr o w d i m ( r ) 由定义2 8 可得如下推论： 推论2 1 r 向w 。o 是最小核表示胄为行满秩。 由方程( 2 1 ) 所描述的系统常表示为( r ) ( r ，科，k e r ( r ) ) ，其中k e r ( r ) 为方程 的弱解集，后面若不做特别说明，所研究的系统均指这种系统。这种系统组成的 集合记为口，若变量的个数为任意( 有限) ，则记为r 。 下面给出r ( d d t ) w 一0 的几个例子： i ) m i m o 系统： p ( 争y q 吃少。w t o ，y ) 7 ，r 略】一( q 信) 一p 停) ) ；其传递函数为p - 1 q ； i i ) 状态空间系统： 膏= d x + b u , y = q m 。w 叱，“，一f 4 7 7 。b 卦 i i i ) 奇异系统： 戤= 出十砌( e 为奇一q 勘一) f ，确。f 彳尹三卦 第二章线性微分系统 i v lp m d 描述的线性系统 鬈，a e 妒m w n 叫嚣需三) 等等，这些系统都是方程( 2 1 ) 所描述的线性微分系统的特例。 2 隐变量表示( 也称混合表示) 设一个数学模型含有q 个实值显变量w c o l ( w x ，w e ，k ) 及d 个实值隐变量 z - c o l ( 1 ，z ：，l ) ，这样就得到方程( 1 ) 的一个扩展： r w i m 白f ( 2 2 ) 这里w ：酞一r 9 为显变量，1 ：r 一孵为隐变量，r 皓) 、m ( 亭) 为相应维数 的多项式矩阵。c o l ( a ，b ) 表示由a , b 组成的列向量。 由方程( 2 2 ) 所表示的全行为b f 和显行为b 分别定义为： b f 2 ( w ，f ) 上p ( r ，酞9 酽) l ( m f ) 在分布意义下满足方程( 2 2 ) ) b 2 w e 铲( r ，r 9 ) i 存在f z ，( 腿，彬) ，使得( 毗f ) b f ) 3 像表示 在方程( 2 2 ) 中，若取r 售) ；，则方程变为 w - m e y ( 2 3 ) 其中m ( d r 州【射，把形如( 2 3 ) 的表示称为系统的像表示。 下面给出系统三( r ) 存在像表示的条件。 定理2 1 1 1 设r 倍) r ”瞎 ，则存在整数d 与矩阵m ( 宇) r “瞎】，使得b m = b ； 当且仅当b k 。，是能控的。( 能控的概念见下面定义2 9 ) 其中b k e r ：= ( w l 产 ，r 一) ir ( d d t ) w 一0 ，弱解j b i - ：= w e 上p ( r ，融) i 存在f 厶“( r ，r 。) ，使得w m ( d d t 2 2 2 系统的主要性质 1 能控性 定义2 9 【1 】称僻) ：= ( r ，r q , b ) 是能控的，如果对任意w l ，w 2 b ，都存在w b 与气0 使得： 啡，f 麓甚屯，： 命题2 1 1 1 对由r ( d d t ) w o 表示的系统三俾) 能控一对所有a c ，都有 r a n k ( r ( a ) ) 一r a n k ( r ) ，其中r a n k ( r ) 表示多项式矩阵r 皓) 的秩。 动态系统的互连控制 定义2 1 0 1 1 考虑动态系统：= ( r ，r ”n ，b ) ，b 中韵轨线被分为( 嵋，k ) ，其中 w l ：t - - * w ，( f - 1 , 2 ) ，如果对所有( w l ，w 2 ) 及( w l ，w 2 ) c a ，都有w 2 = w 2 成立，则称 w 2 可由w 1 观测。 命题2 2 啪设尺售) 科”瞎】，肘售) 尺s m 砖 ，并设b 是由方程( 2 2 ) 所描述 的，则f 可由w 观测* 对v a c ，r a n k ( m q ) ) = q 2 由命题2 2 ，若f 可由，观测，则存在一个多项式g 础。【刳，使得g m l ， 旦d 8 一h g 磋沁( 丢) w 。 例：对于动态系统 y c x + d u 可等价地写成 ( 矧( 州乏彳卜 由此得，x 可由。，y ) 观测一r 。c 一一1 列满秩，对所有a c 。 3 可检测性 定义2 h 【1 】设b 口，w - ( w l ，w 2 ) 是对w 的划分，则当 ( m ，w 2 ) ，( w 1 ，w 2 ”) b 一也! ( m 7 一屹”) - o 时，则称在8 中，w 2 可由w l 检测。 命题2 曩 设b 口，r 礤”【刳，r 嗉) w o 是b 的核表示，划分w z ( w l ，w 2 ) ， 相应地划分r - r r 】，使得b 表示为：足白w l + 恐嗉) w 2 一o ，r r ”2 瞎】， 则在b 中，可由w 1 检铡朋砒( r q ) ) 一吼对所有a c + 成立，其中 c + ：- a e c i r a ) o ) 。 4 稳定性 定义2 1 2 1 1 z ：= ( 琏，p j ，b ) 口称为是自治的，如果( w 1 ，w 2 ) b 且当f o ， m ( f ) 一( f ) 9 m 一屹。 一般，自治系统由p w - o 表示，其中p 传) 殿”【孝】且d e t 联亭) _ o 。 定义2 1 3 n 1 假定：= ( r ，础，b ) 是自治的，如果b 的所有元素在【o ，* ) 上均 第二章线性微分系统 1 3 有界，即若对v w b ，都存在m r ，使得0 w ( r ) 忙m ，t o ，则称系统是稳定的， 如果对v w e b ，有l i m w ( f ) - 0 ，则称是渐近稳定的。 一般，若无特别说明，稳定即指渐近稳定。 命题2 4 【1 1 对自治系统由p ( 要) w 一0 ，系统渐近稳定一d e t p ( 亭) 的所有根均具 有负实部。 5 可稳定化性 定义2 1 4 5 l 称b 口可稳定化，如果对所有w o ) b ，存在w ( o e b ，w o ) t w o ) 当t 在对象全行为p f u u 中，消去变量c ，即得对象显行为p ，即 p ：- - w 1 3 c ， ，c ) p 舢) 图4 5 对象显行为 其直观意义如图4 5 所示。 控制器系统。：= ( t ，w c ，f ) ，f 为控制器行为，即 b - ：= c i c 满足控制器方程) c c 量 图4 6 待控对象系统 图4 7 控制器系统 因为行为化方法下对系统的研究实质上是对其行为的研究，为能体现这种方 法下的本质含义，以后就称对象系统p 为对象p m ，同样，控制器系统。就称为 控制器f 。 受控对象与控制器通过控制变量c 互连，互连后的系统称为控制系统，如图 4 8 所示，记为： p 人。芝。：= ( t ，w x w , ，k i n ) 其中，l i i l l 表示控制系统的全行为，即 k f e l l = f ( w ，c ) i ( w ，c ) e p f i t u 且c f c 对象( p 。) 控制器( f ) 控制变量 图4 8 控制系统 我们般所关心的是系统的显控制行为，即从k h u 中消去c 所得的控制行为， 记为k ，即 k ：= w i 了c 如j ( w ，c ) p 劬) 在行为化控制中，还有一种行为经常会涉及到，即系统的隐藏行为n ，定义 为： n = wi ( w ，o ) p 劬) 其直观意义如图4 9 所示。 图4 9 对象隐藏行为 例4 1 设对象全行为p 叫由下式给出 足嗉) w + j r 2 o 与控制器行为f ： c = 0 得全控制行为k 。： r 白 0 恐嗉) c 白 阶。 捎去c 后得显控制行为 r 嗉) w o 例4 2 对象全行为p 舢： 要石；血+ 眈+ g d l 磊扣血+ 肌+ 1 y - + d 2 z 一融 控制变量：c 一 ，y ) ，待控变量w t 能，d 2 ，“，z ) ，设控制器行为由下式表示： 动态系统的互连控制 丢t a 4 t + 皿) l 一c - x 。+ d c y 全控制行为酶d l ：( m c ) 满足通常所说的闭环系统方程，消去c ，就可得到显 控制行为k 。 类似于定义4 3 ，定义对象p 虹n 与控制器f 的正则互连如下。 定义4 4 如果p ( 珞曲= p f p 砧+ “f ) ，即对象p t i i l l 与控制器f 的输出基数的和 等于控制系统k m u 的输出基数，则称p 舢与f 的互连是正则的。 设p f u n 由如下的最小核描述给出： 卜白r 白心。 其中，w ，c 分别表示变量w 与c 的维数。容易知道：p p 劬) = r o w d i m 旺凡r ) ， 设f p 由最小核表示c 嗉) c t o 给出，同样可知“f ) = 加