（运筹学与控制论专业论文）带常利率的风险模型的破产概率.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 经典风险模型不考虑利率因素，然而带利率的风险模型更能客观地描 述保险公司的风险经营过程本论文以带常利率的风险模型的破产概率为 主线展开讨论，研究了带利率的离散风险模型和带利率的双p o i s s o n 模型， 给出了破产概率的近似解及其误差估计 第一章主要介绍研究背景和本文研究的主要内容 第二章研究了带常利率的一般离散风险模型的破产概率，将经典二项 分布离散风险模型拓广到带利率的一般离散风险模型在此基础上，给出 了破产概率的近似解和上下界的表达式，并对近似解的误差进行估计 第三章研究了带常利率的双p o i s s o n 风险模型的破产概率在保费的收 取和理赔都是复合p o i s s o n 过程的基础上，将双p o i s s o n 模型拓广到带利率 的双p o i s s o n 模型在保费收取量和理赔量都取整数值时，我们运用转移概 率导出了破产概率的近似计算公式及上下界，并给出了近似解的误差估计 式 第四章对论文的结果做了进一步的分析和讨论 关键词：风险模型，破产概率，利率 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t 1 1 坞c l a s s i c a lr u i nt h e o r yd o e sn o tt a k ec o n s i d e r a t i o no fi n t e r e s tr a t e s ，b u t t h er i s km o d e lw i t ht h ei n t e r e s tr a t ec a nm e e tw i t ht h er e a lc a s e s w et o o ka b o u t t h i st o p i ci nt h et h r e a do ft h er u i np r o b a b i l i t yo ft h er i s km o d e l 、析廿lc o n s t a n t i n t e r e s tr a t e i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d i e dt h ed o u b l e - p o i s s o nm o d e la n dt h e d i s c r e t er i s km o d e lw i t hi n t e r e s tr a t e s 。砀ee s t i m a t es o l u t i o no ft h er u i n p r o b a b i l i t ya n dt h ee r r o re s t i m a t ew e r eo b t a i n e d i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yi n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n c o n t e n to ft h ep a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d i e dt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h e g e n e r i c d i s c r e t er i s km o d e lw i t hi n t e r e s tr a t e s t h ec l a s s i c a lb i n o m i a ld i s t r i b u t i o no f d i s c r e t er i s km o d e lw i mi n t e r e s tr a t e sw a se x t e n d e dt ot h eg e n e r a ld i s c r e t er i s k m o d e l b a s e do ni t , t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yw a s o b t a i n e d t h e n , w ed e r i v e dt h ee x p r e s s i o no ft h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d s ，a n d g a i n e dt h ee l t o re s t i m a t e so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n i nt h et l l i r dc h a p t e r ，w es t u d i e dt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h ed o u b l e - p o i s s o n r i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s t 1 1 地d o u b l o - p o i s s o nr i s km o d e lw a se x t e n d e d t ot h ed o u b l e - p o i s s o nr i s km o d e lw i t hi n t e r e s tr a t e so nt h eb a s i so ft h e c o l l e c t i o no fp r e m i u m sa n dc l a i m sw e r ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s u s i n gt h e m e t h o do ft h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t y ，w ed e r i v e dt h ec a l c u l a t i o nf o r m u l aa n d e l t o re s t i m a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yw h e nt h ep r e m i u m sa n dc l a i m sw e r e i n t e g e r n eu p p e rb o u n da n dl o w e rb o u n dw e r ea l s od e r i v e dr e s p e c t i v e l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ea n a l y z e da n dd i s c u s s e dt h er e s u l t so ft h ep a p e r k e y w o r d s ：d s k m o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y ，i n t e r e s tr a t e s v i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工 作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 1 1 日期： 上海大学硕士学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 在保险数学的范畴内，破产论是风险论1 i - 1 3 1 的核心内容破产论的研究溯 源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g1 9 0 3 年发表的博士论文钉，至今已有近百年 的历史一百多年来，破产论得到了充分的发展破产论的研究既有其实际的 应用背景，也有其概率论上的兴趣事实上，一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次提出的不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的 严格标准它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上m 钉与此同时，c r a m 6 r 也 发展了严格的随机过程理论现已公认，l u n d b e r g 与c r a m 6 r 的工作为经典破 产论的基本定理 1 经典风险模型i l l - ” 经典模型基于以下几条基本假设： ( 1 ) 索赔额 五：后) 是具有非格点分布，的独立同分布的非负随机变量， 期望= 甄有限且方差仃2 = v a r ( x , ) 0 0 ( 2 ) 索赔发生的随机时刻满足： 0 五 互 o f 0 k = l 为此需要下述安全负载假定： 假定l ( 安全负载假定) 设 c = ( 1 + 力舡， 其中p 0 ，称为相对安全负荷( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 这并不排除在某一瞬时，盈余有可能取负值，这时称保险公司“破产以 下恒记r 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻( r u i nt i m e ) ，即令 t = i n f t ：u ( f ) 0 ) ，i n f = 称甲 ) = p r o o l u ( o ) = “) ，v u 0 为破产概率 假定2 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额( i n d i v i d u a l 2 上海大学硕士学位论文 c l a i m ) x 的矩母函数( m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n ) ： 峨( ，) = e e 埔】- j fe “担( 曲= 1 + ，f ? e “【l f ( x ) d x 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 m x ( ，) 1 + ；， 具有正解 在上述两个假定的前提下，我们有 定理1 1 1 若假定1 、2 成立，则对经典风险模型有 ( j ) 即) = 南； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 甲 ) e - 知，v u 0 ： ( 3 ) l u n d b e r g - g r a m 6 r 近似：存在正常数c ，使得 甲似) 一黜，“一， 即 i i m 兴：1 1 t - o oc e 一代“ 注意初始盈余为0 时，破产概率、玉，( 0 ) 的确切解仅依赖于相对安全负载p ， 而和个体索赔额分布的具体形式无关此外，( 2 ) 与( 3 ) 解释了：若初始盈余 很大，保险公司在经营“小索赔 情形的保险业务时，破产是不易发生的 c r a m 6 r 所采用的w i n n e r - h o p f 证明方法虽然在数学上是严格的，但分析方 法比较繁冗f e l l e r 的更新论证1 9 1 和g e r b e r 的鞅方法n 0 1 给予( 1 ) 一( 3 ) 式 以简洁的证明 1 2 课题研究的目的和意义 经典风险模型通常表述如下：给定保险公司一定的初始资本，允许它承保 具有某种统计分布的风险，并允许它根据风险的特点连续地( 或者离散地) 收 取相应的保费 3 上海大学硕士学位论文 风险理论是决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论风险理论主要 从定量的角度研究保险公司经营的安全性保险公司最终破产或在短期内破 产的概率有多大它广泛应用于投资和保险等行业，其主要研究对象是风险过 程对风险过程的研究有很多方面，其中对其进行稳定性分析- j 跛产概率的 研究， 形成了一个新的领域：破产理论破产理论主要预测经营者在最终或在有限时 间内破产的可能性在进行风险决策前，对将来的经营过程进行风险稳定性分 析，有极其重要的现实意义和理论意义经营者通过采用破产理论对破产概率 进行估计和预测，可决定是否对某个项目投资；保险集团通过对新险种将来经 营过程的稳定性分析，可以决定是否开发这一险种，同时对保费拟定也有指导 作用，这样他们可以通过调节保费来达到减小风险经营过程中的破产概率 经典风险模型不考虑利率因素，然而带利率的风险模型更能客观地描述保 险公司的风险经营过程，所以对它进行研究显得非常重要但由于破产概率的 明确分析表达式只有在极简单的情况下才能给出，带利率的风险模型的破产概 率的表达式会更复杂，所以对其进行估计或逼进尤其重要 1 3 国内外研究概况 继c r a m e r 之后，h a n su g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者他不仅 将鞅方法引入到破产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容他在2 0 年前写的数学风险论导引1 2 |书，已成为当今研究这一领域的经典著作 j u nc a i 已经有两篇文章1 1 卜1 2 1 对有关带随机利率的离散风险模型的破产 概率进行了讨论在这两篇文章中，他分别假设利率是独立同分布的随机序列 和自回归的时间序列，之后d i c k s o n t l a i 得到了带利率的s p a r r e a n d e r s e n 模型的 破产概率的上下界 当代破产论的研究方向主要集中在以下几个方面： ( 1 ) 完全离散的经典风险模型1 1 4 1 一t 2 0 | 考虑到实际中，保险公司对于一些重要的业务是按一定的时间段来收取保费 4 上海大学硕士学位论文 和支付索赔的这样，离散模型的重要性就突显出来在完全离散的经典风险模 型中，设盈余过程由下式给出： ( 露) u ( 刀) = u + n - 置，刀0 i = l 其中，初始盈余”为非负整数，保险公司在每单位时间区间的始端征收1 个货币 单位的保险费个体索赔额以是仅取正整数值的随机变量，假定似：刀l 是 相互独立同分布的随机变量序列n ( n ) 表示前n 个时段所发生的索赔次数，假定 ( 以) ：刀1 是以p ( o o ，使得( f ) 0 ) 当 ( f ) ：t 0 ) 是一个齐次p o i s s o n 过程时，s u n d t 和t e u g e l s 柚 钉1 运用更新技 巧对此类问题进行了系统的研究，得到了破产概率所满足的积分方程 y a n g 和 z h a n g 【4 2 _ 3 1 用类似的方法研究了破产前瞬间盈余的分布、破产时赤字的分布及两 者的联合分布，也得到了相应的结果吴荣和杜勇宏】在带利息的更新风险模 型下，将问题转化为离散情形，再利用马尔科夫链的性质，也得到了破产概率的 表达式 1 4 论文的主要研究内容 本文研究带常利率的风险模型的破产概率，对离散时间和连续时间的风险 模型分别进行讨论，最终破产概率的精确解是很难得到的，因此我们把目标转 向求它的近似解在这篇文章的第二部分得出了保险公司带常利率的离散时间 风险模型最终破产概率的一个近似表达式，并且估计破产概率的上下界，最后 7 上海大学硕士学位论文 对近似解的误差进行估计第三部分对带常利率的连续时间风险模型进行研 究在保费的收取和理赔都是复合p o i s s o n 过程的盈余过程的基础上，考虑盈余 产生利息的双p o i s s o n 模型，在保费收取量和理赔量都取整数值时，我们运用转 移概率导出了破产概率的近似计算公式及误差估计式，并且得到了破产概率的 一个上界和一个下界命题2 2 1 提出任意的实数都可以找到一个整数来逼进 它，这样使得计算简化了很多，本文的主要优点是得出的最终破产概率的表达 式和它的上下界都是矩阵的形式，可以进行计算机模拟 8 上海大学硕士学位论文 第二章带常利率的离散时间风险模型的破产概率 2 1 离散时间风险模型的介绍 按照对收取保费的方式的划分可以把风险模型分成连续模型和离散模型两 种离散模型呤引采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间， 在每一单位区间内只收取一次固定的保费讨论得最多的离散时间经典风险模型 是复合二项模型，复合二项模型假定在每一单位区间内索赔或者不发生，或者只 发生一次在本章中，我们就考虑一般性的离散时间风险模型 2 2 模型的描述 假设保险公司在第n 个时间区间的期末的盈余为虬，设以为保险公司在 第n 个时间区间的始端收取的保费，在第n 个时间区间的期末付出的索赔为匕， 设利率为常数，( ，0 ) ，则盈余由如下模型给出： q = ( u l + 以) ( 1 + ，) 一 0 = l ，2 ，3 ，) ( 2 1 ) 其中保费x 。，x 2 ，以，是一列i i d 的非负随机变量，索赔k ，匕，匕， 也是一列i i d 的非负随机变量 为了保证保险公司的正常运营，我们假设有如下的条件成立： e ( 0 + ，) _ 1y ) e ( x ) 佃其中x 与置同分布，y 与】i ：同分布 我们假设阢。 的分布为f ( x ) = p r 口x ，且f ( o ) - 0 ，傲 的分布为 g ( x ) = p r y 工) ，且g ( o ) = 0 ，其概率密度为g ( 力 令虿( x ) = l g ( 功，t = i n f t ：u ( o o ) 为破产时刻 命题2 2 i ：对任意的实数a ，都存在一个整数，记作a ，满足如下的式子： 9 上海大学硕士学位论文 口一- - 三a a + 三 晓2 ) 22 令u 。= 【( u 一+ 以x l + ，) 】一l ( 刀= 1 ，2 ，3 ) ，其中u o = u 舣儿= 髓篡1 2 确， 其中拧。= i n f m ：u m o ，且当k ：u 啊 o = 时，= 很显然，杪。，刀o 是一个齐次离散时间的m a r k o v ，我们可以把它作为新的 盈余过程我们定义它的状态空间为 - 1 ，0 ，1 ，2 ，) ，其中i 表示圪一1 的状态，它是一个吸收状态 进一步，我们定义r = i n f n ：v 。 o ，我们记口寥= p r t y d + 以) ( 1 + ，) 】= _ ，iy 纠= f j ， a = ( 口+ l f f ) 为转移概率矩阵 例2 2 1 ：若伍。，刀1 服从指数分布：，( x ) = 1 一e - 2 x , x 0 ，元0 ，则 其中， a = 一j 墨一- 三生 a o o e2 + 2 ，一e 2 + 2 7 0 a l l 00 卫一生 e2 + 2 r e2 + 2 r ，az3 工 e l + r 02 + 2 7 一p2 栅) a 2 2 。 ： c z = ：l - e 21+，j歹二，=c，-，：z， 2 ：。 ，。u ，l ，z 1 0 ( 2 3 ) 上海大学硕士学位论文 证明：若i ，显然a = 0 若i 歹，对v n 1 ，我们有 口舢郅+ 舢州印牛p r 鲁1 邢以 鲁1 一z ) ，。兰生阴型! 兰立二业 五( ，t ) 扎，丢)2 ( ，丢)名( ， l j 工l l = 1 - - e1 + 7 一l + p 1 + 7 = e , z 【e 1 一p i + r 】 当i = j 时， 口扩= p r _ ，o + 鼍) ( 1 + ，) j + 碧= p r o + 五) ( 1 + ，) j f + 封= p r 以 o ) 的一步转移概率矩阵为口发州五劫 其中b = ( 矾o ) ，万( 1 ) ，执2 ) ，) r 且 1 2 上海大学硕士学位论文 b = g ( 0 ) g ( 1 ) g ( 2 ) 0 g ( 0 ) g ( 1 ) 0 0 g ( o ) 定理2 3 3 ：盈余过程k ，刀o 的最终破产概率为 y “) = “，七) = ，( ( 删) ) ( 吞( o ) ，否( 1 ) ，否( 2 ) ，) r ( 2 6 ) k f f i lk f f i o 其中，为矩阵a 的第似+ 1 ) 行 证明：y 以) = l i l i l l c ，( “，刀) = 矽( “，七) ， 由定理2 3 2 知： 刀：。： 似，七) = ，似。1 口 ，石( j ) 所以， 。= 一 o o ：) p l 召 1 1 ) j k f f i l l f f i o办k f f i l c 胪么罔 l l ：，妻( 删) t ( 召( o ) 矗( 1 ) ，召( 2 ) ，) r 于是，我们就得到盈余过程n 。，f o 的近似解为： y 似) | ( 剐) ( 吞( o ) ，吞( 1 ) ，召( 2 ) ，) r 2 4 破产概率的上界和下界 对任意实数a ，我们分别用a 一和a + 来记整数【口】和 口】+ 1 令玑一= ( u - l 一+ t ) ( 1 + ，) 】一- y ,q = 1 ，2 ，3 ) ，且u o 一= “， 和玑+ = 【( 虬一l + + 以x 1 + ，) 】+ 一瓦 0 = 1 ，2 ，3 ，) ，且+ = “ 1 3 、u g 扩 k 仕 巴 。爿 。瑚。料 = 、，似少 上海大学硕士学位论文 我们定义过程形一，万0 ) 和 屹4 - ，刀o ) 类似于形，刀0 ) 的定义很明显， 这两个过程也都是齐次的离散时间的m a r k o v 链 定义t - = i n q n ：圪一 = p r 【o + x n ) ( 1 + ，) 】+ l = _ ，) = p r o + 以) ( 1 + ，- ) 】= 一1 ) = p r u - 1 o + 以x 1 + r ) j - 1 ，口；= 0 ， 若i 一1 ，对v n 1 ，我们有 若i = j f 一1 ， 吒珊辟郜鼍 专一0 ：一e饥一卫jle髓一地l+r：m【一业i+r-el+r1 el + r - 1e e e 】 = 一= “r1 瞄= p r j 一1 ( f + 鼍) ( 1 + ，) = p r ( i + x x l + r ) j f ) = p r 壬叫- p r 警) 所以，a d _ l ，+ = ( 2 ) l e 一幽l + r ， l + ! ， l e l + 二 0 ， 1 r j = o ，1 ，2 ， j 1 + 三 ， 嘞一= p r 【( y 一。一。+ t ) ( 1 + ，) 】- = iy 一。一= f ) = p r 【( f + 以) ( 1 + ，) 】= ) = p r j o + 以) ( 1 + ，) + 1 ) 1 5 l一，l一， j ，a g = 0 若f _ ，对v n 1 ，我们有： 丐= n 辟郴鼍 筹一寸 ：一卫一警一1+一=【丑-e1 l + r el + re 一警】= 一el + ，一1 + e= 4 r 1 + 7 1 若i - - + j ， 丐= p r ，o + 五) ( 1 + ，) j + 1 ) = p r ( f + 鼍) ( 1 + ，) j + 1 ) - p r 五 等q = p r x l l - r j ) 所以，口，一：p一_：三至：一，：。，2， 卜j 吉 r o ：i o i ? 1 2 一名e 一名一p - 2 工e l - 2 五e - 3 名 01 一e - 名e - 五一e - 2 五 00 1 一e 一丑 小f 彳虿 定理2 4 1 ：( 1 ) 盈余过程移( 万) ，万o 的最终破产概率的下界为 y 一似) = ，- ( a a 一) ( 吞( o ) ，召( 1 ) ，否( 2 ) ，) r ( 2 7 ) 其中，厂为一个向量，它是矩阵彳一的第( u + 1 ) 行 ( 2 ) 盈余过程矽。( 刀) ，以o 的最终破产概率的上界为 1 6 上海大学硕士学位论文 y + ( “) = ，+ e ( b a + ) ( 吞( o ) 万( 1 ) ，吞( 2 ) ，) r ( 2 8 ) 其中，z + 为一个向量，它是矩阵彳+ 的第似+ 1 ) 行 ( 3 ) y 似) 的估计值缈似) 满足下式： 陟一删懈 l 矿一矿i ，i 矿一矿l ( 2 9 ) 1 7 上海大学硕士学位论文 第三章带常利率的连续时间风险模型的破产概率 3 1 连续时间风险模型的介绍 连续时间风险模型采取连续收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位 区间，在每一单位区间内只收取一次固定的保费讨论得最多的连续时间经典 风险模型是复合泊松模型( c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ) 在保险风险理论研究中，经典连续时间风险模型为 u ( f ) = “+ c f s ( f ) 其中，“= u ( o ) 是初始盈余，c 是常数，为单位时间内的保费收取 率s ( f ) = x l + 置+ + k ( ，) ，x f o = 1 , 2 ，) 为个别理赔量，它们独立同分布， 用并泛指任一个墨，x 的分布函数为，( 功，期望为n ( t ) 为参数a 的p o i s s o n 过程，表示在( 0 f 】时间内的总理赔次数 3 2 模型的描述 对于经典连续时间风险模型，国内外已有不少的研究在本章节中，我们 主要是研究带常利率的双p o i s s o n 模型h 矧所谓的双p o i s s o n 模型即考虑 保费的收取为双p o i s s o n 过程的模型，该模型为 【厂o ) = “+ c m ( t ) 一s ( f ) ( 3 1 ) 其中，m o ) 为参数如的p o i s s o n 过程，表示在( 0 ，f 】时间内的总保单数c 为常 数，是每个保单收取的保费 如果模型( 3 1 ) 中每个保单的保费收取量不是常数c ，而是随机变量 o = 1 , 2 ，) ，并假定独立同分布，用y 泛指任一个巧，y 的分布函数为g ( x ) ， 期望为0 ，则可以进一步建立如下的模型 c 厂o ) = “+ c o ) 一s o ) ( 3 2 ) 1 8 上海大学硕士学位论文 其中c ( o = z + 艺+ + 匕，) ，显然，双泊松模型( 3 2 ) 包含了模型( 3 1 ) 对上述风险模型我们定义破产发生时刻为 t = i n f t ：u ( o 0 ，即( 1 + d = 魄 为了方便推导，盈余过程( 3 2 ) 根据如下的定理可简化变形 定理3 2 1 如果s ，c 是相互独立的随机变量，s 是参数为 ，分布函 数为f ( 功( 为理赔量x 的分布函数) 的复合p o i s s o n 变量，c 是参数为五，分 布函数g ( 功( 为保费y 的分布函数，并记g - ( = g ( x 一0 ) ) 的复合p o i s s o n 变 量；则d 净s c 是复合p o i s s o n 变量，参数为( + 如) ，分布函数为 日( 功2 丧荆+ 丧( 1 - g _ ( 删 证明：令r 净一】，的分布函数为k ( 功记( ，- ) ，鸭( ，) 分别为随机变量x ， 刁的矩母函数因为s ，c 相互独立，d 的矩母函数为 m o ( ，) = e e x p ( $ ，一c ，) = 【e e x p ( $ r ) 】【e e x p ( 一c ) 】 = e x p & m z ( r ) - 1 e x p a 2 m 野( ，) 一1 】) = e x p , 毛 m x ( ，) 一1 】 + a z m , i ( ，) 一1 】 = e x p + 毛) 【焘峨( ，) + 表( r ) 】- 1 ) ) 1 9 上海大学硕士学位论文 这就是参数为( 五+ 五) ，分布函数为 日( 功= 焘f ( 功+ 焘踯) 的复合p o i s s o n 变量的矩母函数，而k ( x ) = 1 一g - ( 叫，结论显然成立证毕 根据定理3 2 1 ，模型( 3 2 ) 可以改写成 u ( f ) = ”一d ( f ) ( 3 3 ) 其中d ( f ) 如定理3 2 1 所定义，d ( f ) 是一个复合p o i s s o n 过程设z l ，z 2 ，独 立同分布，且用z 泛指任何一个磊，z i ( i = 1 ，2 ，) 可理解为第i 次亏损量，其分 布函数为日( z ) ，则 ， d ( f ) = l o ) z i 这里的( f ) 服从参数为( a + 五弘的p o i s s o n 分布我们还能计算得出 酗= 焘一焘u 定义1 1 0 ) = 吃= p r z = z ) ，再定义霄( z ) = 1 一日( z ) 如果在模型( 3 ) 中再引 入常利率，利率强度为j 0 ，即盈余u ( t ) 产生利息即产生利息的盈余为 ( f ) 设第n 次亏损乙的时刻为互，并设e = 瓦- t , 一l ( = l ，2 ，) ，乃= 0 则 盈余( f ) 满足 ( o ) = u w a r , ) = u e a e t z l ( 3 4 ) v a t ) = ( 乙一1 ) p 峨一乙 事实上，上面这种带利率的模型j u nc a i 和d a v i dc m ( 2 0 0 3 ) 对s p a r r e a n d e r s e n 模型在文献【1 3 1 中提出过，并且得到了破产概率的鞅上界和递推上 界，而s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) ，v a z q u e z a b a d ( 2 0 0 0 ) 分别在文献 4 0 11 4 7 上海大学硕士学位论文 中对带利率的复合p o i s s o n 模型提出了与模型( 3 4 ) 类似的表达式由于模 型( 3 3 ) 是一个复合p o i s s o n 模型，所以巨相互独立，均服从参数为( 丑+ 五) 的 知识分布定义盈余过程 u s ( t ) ，t 0 ) 的破产时刻乃= i n f t w a t ) 0 当f = o 时，显然有嘞= a 0 ，= l ，如j = 0 ；a v - a 0 ，= 0 ， 如_ ，0 当i 1 且j i + 1 时， 嘞= p r ( ( 一) e 峨) 。= _ ，1 ( z 一) = 磅 = p r ，一圭把峨 + 圭阿( ) 卸 上海大学硕士学位论文 当i 1 且j = f 时， 珊；吉h 孚邹吉h 牟，珊t 吉h 竿巨 吉h 字， ：l p 一学h 竽- 1 4 - e 一学h 字= l p j e j 矿1 i 广五j 嘞= p r 沱峨 ，+ 丢) 珊鸺 2 萎否p r 仍= 瓦，( 互一- ) = f ，( ( 互一。) p 峨) = 爿。( 0 ) = 砧) = p r u j ( 互一。) = 4 ( 0 ) ：咖 i = 0j = i 。 = p r ( u 6 ( 瓦一- ) e 峨) = 歹i ( 互一。) 譬f ) p r 乃+ = 互l ( ( 互一。) e 甄) 。：) = 见。i 扣1 嘞p r + 1 ) 证毕 定理3 3 2 中的k - 1 步转移概率可由下述1 步转移概率计算出， 仇。，o = p r 职( 五) = 司( o ) ：“) = 善p r 织+ ( 墨) = f ，双( o ) p 喝) + = 卅( o ) ：， 、 2 荟p r ( ( 。( 啪码) 。= 卅( 0 ) = “) p r u 艿。( 石) = 习p r = 芝p r z l ：一f ) ：妻乃巾o o ) 由过程 。o ) ，刀= 1 ，2 ，) 的齐次性，同理可得p r ，( 1 ) ：妻口巧以刮( ，j o ) 因1 j = r 为吸收状态，所以n t ，一。n = 1 ；凡，j ( 1 = o ；而b ，一。1 1 ) ：妻嘞鼬) 1 6 f ：0 ，1 ，二 2 ) 因 j = o 此，我们可以得到如下的定理 定理3 3 3 盈余过程 ( 以) ，刀= 1 ，2 ，) 的一步转移概率矩阵为 f ，l o 丫l l o 么人6州五 上海大学硕士学位论文 其中b = ( 厅( 0 ) ，厅( 1 ) ，厅( 2 ) ，) r 且 f ，b 曰：巨乏 i ： ： 。 定理3 3 4 盈余过程 o ) ，f o ) 在有限时间内的破产概率为 、圪(。，f)=；耋：学一(i+j12)：耋(t，z)， ( 3 6 ) 最终破产概率为 匕( “) = g ( u ，七) = ，( ( 删) 七) ( 厅( o ) ，百( 1 ) ，厅( 2 ) ，y 其中，向量，为矩阵彳的第“+ 1 行 证明：用皿表示事件“在时间区间( o f 】内发生k 次亏损 ，则 甲占( “，t ) = p r t a f i ( o ) = “) = p r 乃f ，嘎i ( o ) = ) = o op r 反i ( o ) = “) p r 乃。fib ，+ ( 0 ) = “) ：主盟鲁吐也心壹她，d 厶一k = l 后! 厶一l = l 一 利用最终饭严日q 概翠- u 有限时l t 日j 内饭严的概率阴夭糸以及控制收敏足埋，找1 _ j 有 k 似) = l i m 。( “，f ) 、 t - - c o _ l t - i m - - ，o o 喜喜学舶锹刈)智智 觑 一 = 熙