（应用数学专业论文）拟线性双曲型方程组的精确能控性.pdf

拟线性双曲型方程组的精确能控性 摘要 本文对具零特征的一阶拟线性双曲组的混合初一边值问题研究了其半整体g 解 的存在唯一性及其精确能控性作为应用，研究了具四种不同类型边界条件的拟线性 波动方程的精确边界能控性，并进一步研究了二阶拟线性双曲组及高阶拟线性双曲方 程的精确边界能控性 本文的安排如下： 第一章，我们简单介绍了精确能控性的定义以及目前一些相关的研究现状，并简 要介绍了本文的主要结果及证明的大体步骤和方法 第二章，证明了具零特征且形式更广泛的一阶拟线性双曲组的具一般非线形边界 条件的混合初边值问题半整体c 1 解的存在唯一性 第三章，利用第二章的结果，对具零特征的一阶拟线性双曲组，通过作用在一个 或两个边界上的边界控制及作用在相应于零特征的部分方程上的内部控制，实现r 其 精确能控性+ 第四章，利用第二章得到的具零特征的一阶拟线性双曲组的混合初一边值问题半 整体( ? 1 解的存在唯一性结果，以统一的方式得到了具各种类型边界条件的一维拟线 性波动方程混合初边值问题的半整体c 2 解的存在唯一性，进而实现了相应的单侧 和双侧精确边界能控性 第五章，通过建立二阶拟线性双曲组半整体解c 2 解的存在唯一性，对具一般非 线性边界条件的二阶拟线性双曲组得到了单侧和双侧精确边界能控性，并将结果应用 到平面弦振动方程组 第六翥，仍旧利用第二章对具零特征的一阶拟线性双曲组的混合初一边值问题得 到的半整体c 1 解的存在唯一性结果，得到了高阶拟线性双曲方程的半整体经典解的 存在唯一性，并进一步实现了其单侧和双侧精确边界能控性 关键词：精确能控性，半整体经典解，拟线性双曲型方程组，拟线性波动方程， 高阶拟线性双曲方程 e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o r q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i c s y s t e m s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i - g l o b a lo 1 s o l u ! i o nt ( ) t h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rf i r s to r d e r q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hz e r oe i g e n v a l u e s ，a n do b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n ge x a c t c o n t r o l l a b i l i t y a sa p p l i c a t i o n s ，b ym e a n so fb o u n d a r yc o n t r o l sa c t i n go n o l ce n do ro n t w oe n d s ，w eg e tt h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h eq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t h b o u n d a r yc o n d i t i o n so fv a r i o u st y p e s ，f o rs e c o n do r d e rq u a s i l i u e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sa n d f o rh i g h e ro r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s t h ea r r a n g e m e n to ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o na n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o no nt h ee x a c t , c o n t r o l - l a b i l i t yf o rh y p e r b o l i cs y s t e m s ( e q u a t i o n s ) t h em a i nr e s u l t sa n dm e t h o d sw i t ht h es k e t c ho f p r o o f a r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i g l o b a l0 1s o l u i ，i o nt ot h e m i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hz e r o e i g e n v a l u e s i nc h a p t e r3 ，b yl l l e a n so ft h er e s u l to b t a i n e di nc h a p t e r2 ，w et e a ，l i z et h el o c a le x a c t c o n t r o l l a b i l i t yw i t hb o u n d a r y c o n t r o l sa c t i n go i lo n ee n do ro nt w oe n d sa n di n t e r n a lc o n t r o l s a c t i n go nap a r to fe q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt oz e r oe i g e n v a l u e sf o rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i c s y s t e m sw i t hz e r oe i g e n v a l u e s i nc h a p t e r4 ，b yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i - g l o b a lc 1s o l u t i o nt ot h em i x e d i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hz e r oe i g e n v a l u e so b t a i n e di nc h a p t e r2 ，b yl n e a n so fau n i f i e dm e t h o dw e g e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e h e s so fs e m i g l o b a lc 2s o l u t i o nt ot h en f i x e di n i t i a b b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h eq l a a i 。 l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n de s t a b l i s ht h ee x a c tb o u n d a r y c o u t r o l l a b i l i t yf o rq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n so fv a r i o u st y p e s i nc h a p t e r5 ，s t i l l u s i n gt h er e s u l to b t a i n e di nc h a p t e r2 ，w eg e tt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs e m i - g l o b a lc 2s o l u t i o nf o rs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s l ；e l t i sa n d o b t a i nt h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s w i t hg e n e r a ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r6 ，i nas i m i l a rw a y ，w eo b t a i nt h ee x a c tb o u n d a r ye o n t r o l l n b i l i t y o rh i g h e r o r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hg e n e r a ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s k e y w o r d s ： e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ，s e m i - g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ，q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，q u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，h i g h e ro r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s - u l 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果。1 其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意。 作者签名：崞日期：业 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公1 钉论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后 遵守此规定。 作者签名 蠹生敦 导师签名： 第一章引言 在空气动力学、弹性力学等学科中提出了带两个自变量和z 的一阶拟线性双曲 型方程组 垫o t + m ) 意叫( 毗 f 1 0 1 ) 其中“ ( h 一，u 。) t 是( ，z ) 的未知向量函数，a ( “) 是一1 1 x n 阵，其元素。巧( u ) ( z = 1 ，n ) 适当光滑，而f ：舻一舻为一向量值函数，其元素，t ( u ) ( i = 1 ，n ) 适当 光滑，且成立 f ( 0 ) = 0 ( 10 2 ) 由双盐性，对于所考察区域上任一给定的”，矩阵a ( u ) 有沌个实特征值k ( “) “= l ，n ) 及一组完全的左特征向量系h = 【k l ( u ) ，l 。( u ) ) ( i = 1 ，n ) ： 成立 d e t ( u ) i 0 ( 1 0 4 ) 本文我们将对具零特征的拟线性双曲觋方程组( 1 0 1 ) 的混合初边值问题考虑其 精确能控性，并给出其一些重要的应用所谓精确边界( 内部) 能控性是指，对于一个 给定的双曲型方程( 组) ，对任意给定的初态妒和终态妒，均可找到t o 0 及适当的边 界( 内部) 控制，使以妒为初值的相应混合初边值问题在时间区间 0 ，7 0 】上存在唯一 的经典解“= u ( t ，。) ，且在t = t o 时精确地满足终值u = 妒如果该边界( 内部) 能控性 只对妒及妒充分“小”时才能实现，则称为局部精确边界( 内部) 能控性；否则，称为 整体精确边界( 内部) 能控性 j 一l l i o n s ( 1 7 卜 1 8 1 ) 引入的h u m ( h i l b e r t 唯一性方法) 为波动方程的精确边界能 控性以及稳定性提供了一个一般的框架结合h u m 和s c h a u d e r 不动点原理，z u a z u a ( 2 2 卜 2 3 1 ) 对半线性波动方程给出了一些精确能控性的结果l a s i e c k a 和t r i g g i a n i ( 6 ) 通过使用一个整体的逆定理，对半线性波动方程的整体精确能控性给出了一个抽象的 结果对不具零特征的拟线性双睦组的精确边界能控性，一个较早的工作是由c i r i n b , ( f 1 h 2 】) 做的，在线性边界控制下，他本质上只对对角型的拟线性双曲组证明了局部零 控制( 即妒= o ) 李大潜和张秉钰( 1 6 1 ) ，李大潜、饶伯鹏和金逸( 【1 1j _ 【1 2 ) 对可化约的 1 拟线性双曲组建立了具非线性边界条件的精确边界能控性接着，这些结果被李大潜 和饶伯鹏( 9 卜 i o i ) 推广到不具零特征的一般拟线性双曲组 本文将对具零特征的一般拟线性双曲组( 1 0 1 ) 进行讨沦，为确定起见，假没存所 考察的区域上，方程组( 1 0 1 ) 的特征值满足 a p ( u ) 入q m ) 兰0 o ，在 区间【o ，t 0 】上的c 1 解) 的存在唯性m c i r i n a 在【2 j 中考虑了具有特殊边界条件的 情况，且对方程组有很强的假设( 系数为整体有界和整体李普希兹连续，且本质上只 考虑了对角型方程组) ，这对应用造成很大的限制李大潜和金逸在 8 】中对不具零特 征的拟线性双曲型方程组得到了具一般非线性边界条件的混合问题的半整体g 1 解的 存在唯一性，并已由李大潜、饶伯鹏在 9 】【1 0 】中加以应用，得到r j 比类方程组的精确 边界能控性在本文中，由于要在特征形式的方程组( 1 0 7 ) 对应于零特征值的那些方 程中加入相应的内部控制项，同时，为了在第四章考虑拟线性波动方程精确边界能控 性，在第五章考虑二阶拟线性双曲组的精确边界能控性以及在第六章考虑高阶拟线性 2 双盐方程精确边界能控性的需要，我们需要首先研究具零特征的拟线性双曲组的混合 初边值问题的半整体c 1 解的存在唯一性 在区域r 愉) = ( ( ，x ) l ost 茎南，o 。s1 ) 上考虑如下更为一般的特征形式的拟 线性双曲型方程组 势舭，c 甏蝴，u ，等，一舭，c 掣掣， + ( t ，。，u ) + 乞( t ，z ) ( i = l ，一，n ) ，( 10 9 ) 其中t 和z 是独立变量，= ( u ，i t n ) t 为未知向量函数，f 。( 。，u ) ，a 。( z ，札) ，a i ( ，。，“) b i ( t ，z ) ，a ( t ，z ，“) 及a ( ，z ) ( i ，j = 1 ，扎) 均为其变量的已知e 1 函数，且设在所考察 的区域上成立 d e t z 好( o ，) f 0 ，( 1 0 1 0 ) 五( ，0 ) ；0 ( i = 1 ，竹) ，【10 1 1 ) 及 如( 茹，扎) 0 ，要找到适当小的( 可能依赖于) 的初 值、边界控制函数及右端项b 和c ，使得问题( 1 0 9 ) ( 1 0 1 3 ) 及( 1 01 8 ) 一( 1 0 1 9 ) 在r ( t o ) 上存在唯一的c - 解换言之，对任意事先给定的t o 0 ，要找到c 1 模适当小( 可能依 赖于) 的初值、边界控制函数及右端项b 和c ，使得对任意给定的t ( 0 0 ，( 1 0 3 9 ) 而f = f ( u ，v ，) 为u ，v 及w 的给定c 1 函数，且满足 不失一般性，可以假设 k ( o ，0 ) = 0 在一个端点。= 0 ，给定任一下述类型的边界条件： u = h ( t )( d i r i c h l e t 边界条件) ， 。= h ( t )( n e u m a n n 边界条件) ， u 。一d u = h ( t )( 第三类边界条件) 8 ( 1 0 4 0 ) ( 1 2 4 1 ) ( 1 n 4 2 1 ) ( 1 0 4 2 2 ) ( 1 04 2 3 ) 或 一a 毗= h ( t )( 耗散边界条件) ，( 1 0 4 2 4 ) 其中d 和a 是给定的正常数，而 ( ) 为c 2 函数( 在情形( 1 0 4 2 1 ) ) 或c 1 函数( 在情 形( 1 0 4 2 2 ) 一( 1 0 4 2 4 ) ) 类似地，在另一个端点z = 1 ，边界条件为 u = h ( t )( d i r i c h l e t 边界条件) ，( 1 0 4 31 ) 。= h ( t )( n e u m a n n 边界条件) ，( 1 0 4 32 ) “。+ z u = h ( t )( 第三类边界条件) ( 1 0 4 3 3 ) 或 u 。+ 声毗= ( t )( 耗散边界条件) ，( 1 0 4 3 4 ) 其中卢和卢是给定的正常数， ( t ) 是g 2 函数( 在情形( 1 0 4 3 1 ) ) 或c 1 函数( 在情形 ( 1 2 4 32 ) - ( 1 0 4 3 4 ) ) 在方程( 1 0 3 8 ) 中的k 和f 与u 无关的特殊情形，若在一个端点( 例如x = 0 ) 已 给定d i r i c h l e t 边界条件( 1 0 4 2 1 ) ，利用不具零特征的拟线性双曲组的半整体c 1 解及 局部精确边界能控性理论，李大潜、饶伯鹏已在 1 0 1 中利用在另一个端点x = 1 处的 边界控制函数h ( t ) 建立了相应的精确边界能控性；而在一个端点( 例如g = 0 ) 已给定 第三类边界条件( 1 0 4 2 3 ) 时，利用具一类非局部边界条件的不具零特征的拟线性双曲 组的半整体c 1 解及局部精确边界能控性理论，李大潜、徐玉兰在【1 3 】中同样利用在 另一个端点z = 1 处的边界控制函数i ( t ) 对方程( 1 0 3 8 ) 建立了相应的精确边界能控 性然而【1 0 】及 1 3 】中的方法不能用于以下情形：( 1 ) 方程( 1 0 3 8 ) 中的k 及f 与u 有关，例如方程( 1 0 3 8 ) 是线性的或非线性的k l e i n g o r d o n 方程；( 2 ) 在一个端点( 如 z = 0 ) 给定n e u m a n n 边界条件或耗散边界条件；( 3 ) 在端点= 0 和。= 1 同时进行 边界控制 在本文中，对方程( 1 0 3 8 ) 具边界条件( 1 0 4 2 ) 一( 1 0 4 3 ) 的一般情况，利用方程 ( 1 _ 0 3 8 ) 的混合初边值问题半整体c 2 解的存在唯一性，用统一的方法分别得到单 侧精确边界能控性及双侧精确边界能控性，其主要结果为下述两个定理 定理1 , 0 4 r 双侧精确边界能控性j 设 丁 赢 ( 1 0 4 43 9 对任意给定的初态( 1 p ，妒) c 2 【o ，1 】a 1 o ，l 】和终态( 中，m ) g 2 o ，1 c 1 o ，l 】，其模 1 | ( 妒，妒) j l g 。m 】g ，l o ，x l 及f f ( 西，皿) | | 伊【0 ，1 1 c - m 】充分小，必存在边界控制h ( t ) g 2 o ，列r 在 情形( 1 0 4 2 1 ) ，或 ( t ) c 1 o ，t 】倍情形( 1 0 4 2 2 ) 一( 1 0 4 24 ) j ，及 ( t ) c 2 o ，t 】倍情 形( 1 0 4 3 1 ) ，或i ( t ) ) c 1 o ，t 】倍情形( 1 0 4 3 2 ) 一( 1 0 4 3 4 ) j ，其对应的模充分小，使 方程组( 1 0 3 8 ) 具初始条件 t 二0 ： u ：妒( z ) ，“t = 妒( ) ，0 曼髫1 ，( 1 0 4 5 ) 在z = 0 处的任一边界条件( 1 0 4 2 ) 及在z = l 的任一边界条件( 1 0 4 3 ) 的混合初一边 值问题在区域 r ( t ) = ( ( t ，) 1 0stsz0 2 兰1 ) 上存在唯一的e 2 解u = u ( t ，o ) ，且精确满足终端条件 t = t ： u = 圣( o ) ，u = ( 茹) ，0 os 1 ( 1 0 4 6 ) ( 1 0 4 7 ) 定理1 0 5 弹侧精确边界能控性j 令 t 赢( 1 o 4 s )、凰( o ，o ) 设 1 a 赢，( 1 o 4 9 ) 其中a 由( 1 , 0 4 2 4 ) 给定对任意给定的初态( 妒) a 2 o ，1 g 1 0 ，1 】和终态( 西，皿) c 2 【o ，l 】g 1 【o ，1 1 ，其模i l ( 妒，妒) 0 俨【0 ，1 1 。g ， 0 ，1 1 及i l ( 垂，皿) l l c 2 m 】g 1 1 0 ，l 】充分小，及任意给 定的函数h ( t ) c 2 o ，y l ，其模l i h l l o 。i o , t i 充分小倍情形( 1 0 4 2 1 ) j ，或h ( t ) g 1 【0 ，明， 其模l i h l l c - 【o ，r l 充分一1 、倍情形( 1 0 4 2 2 ) 一( 1 0 4 2 4 ) j ，并在点( 0 ，0 ) 和( t ，0 ) 分别满足 通常的g 2 相容性条件，必存在边界控制 ( t ) g 2 【o ，t 1 ，且模i l h l l c 。f 0 , t 1 充分小倍情 形( 1 , 0 4 3 1 ) ，或元( t ) c 1 【o ，t i ，且模i c l o ，t i 充分小倍情形( 1 0 4 3 2 ) 一( 1 0 4 3 4 ) j ， 使方程组( 1 0 3 8 ) 具初始条件( 1 0 4 5 ) ，在= 0 的任一边界条件( 1 0 4 2 ) 与在茹= 1 的 任一边界条件( 1 0 4 3 ) 的混合初一边值问题在区域r ( r ) l 见( 1 0 4 6 ) ，上存在唯一的g 2 解u = 札( t ，。) ，且精确满足终端条件( 1 0 4 7 ) 为证明上述两个定理，我们首先令口= 整，加= 甓，将方程( 1 0 3 8 ) 化成具有零特征 的一阶拟线性双曲组，其初边值条件也化为相应的初- 边值条件这样，方程( 1 0 3 8 ) 的定解问题等价于其对应的具零特征的一阶拟线性双曲组的定解问题在定理的假设 1 0 下，边界条件( 1 0 4 2 ) - ( 1 0 4 3 ) 可等价地改写为( 1 0 1 8 ) 一( 1 0 ，1 9 ) 的形式利用第二章中 得到的具有零特征的拟线性双曲组混合初。边值问题半整体c 1 解的存在唯一性定理 ( 定理1 0 。1 ) 可得到方程( 1 0 ，3 8 ) 的具有四种类型边界条件的混合初一边值问题半整体 c 2 解的存在唯一性 以此为基础，类似于1 9 1 ，令 丑 五1 瓦1 丽 第一步首先构造方程( 1 0 3 8 ) 在r ) 上的一个满足初始条件( 1 0 4 5 ) 的半整体g 2 解 u = u ( 1 ( ，嚣) ，从而可以确定( 珏( 1 g ) ，4 警( ，z ) ) 在茹= 上的值为( d ( ) ，a ( t ) ) 第二 步，在区域 ( ，z ) i t 一姐t t ，0 zs1 上构造方程( 1 0 3 8 ) 满足终端条件 ( 1 0 ，4 7 ) 的一个半整体c 2 解= 珏2 ) ( t ，) ，从而可以确定( ( 2 ( t ，z ) ) i 簪( ，。) ) 在z = 上的值为( 6 ( t ) ，6 ( t ) ) 然后在z = 上构造函数( c ( t ) ，5 ( t ) ) c 2 o ，t ) c 1 0 ，t i ，使得其 在区间 0 ，丑】和p 一噩 上分别等于( 8 ( ) ，a ( ) ) 和( 6 ( ) ，球) ) ，并交换方程( 1 0 3 8 j 中 t 和z 的顺序第三步和第四步又分别在蜀( t ) = ( t ，。) i o t 正0 。1 和 辱( ? ) = ( o ，x ) l ost t ，；。1 ) 分别构造了在盘= 满足初始条件( c ( 啦( ) ) 及满足相容性条件的某种边界条件的混合初边值问题的半整体c 2 解札= 讹( t ，z ) 和 “= 撕( ，。) ，使其满足初始条件( 1 0 4 5 ) 和终端条件( 1 0 4 7 ) 第五步，将 t = 毗豫茹) 和u = u r ( ，) 组成整个区域r ( r ) 上的c 2 解u = u ( t ，。) ，再将其分别代入边界条件 ( 1 , 0 4 2 ) 和( 1 0 4 3 ) ，即可得到在端点岔= 1 和g = 0 处的边界控制定理1 0 4 即得证 为证明定理1 0 5 ，令 t 17 i i 劢丽 其前两步与定理1 0 ，4 证明的前两步相似，只是解珏= u ( 1 ( ，z ) 和u ( 2 ( t ，z ) 不仅分别满 足初始条件和终端条件，还满足边界条件( 1 0 4 2 ) ，从而可以得到( “( 1 ) ( t ，2 ) ，2 娑( ，。) ) 和( ( 2 1 ( t ，z ) ，_ 百o u f ( 2 ) ( t ，茁) ) 在g = 0 上的值分别为( d ( f ) ，a ( t ) ) 和( 6 ( t ) ，5 ( t ) ) ，且( u ，毗，) = ( o ( ) ，n 沁) ，a ( t ) ) 与( 6 ( t ) ，6 ，( ) ，5 ( t ) ) 均满足在z = 0 的边界条件( 1 0 4 2 ) 再找( c ( ) ，e ( ) ) c 2 o ，t 】e 1 0 ，丁1 ，使得其在区间1 0 ，乃】和口一丑】上分别等于( o ( t ) ，a ( t ) ) 和( b ( ) ，5 ( t ) ) ， 且( “，毗，u 。) = ( c ( t ) ，c ，( t ) ，( t ) ) 在整个区间【o ，卅上满足边界条件( 1 0 4 2 ) 第三步，交换 方程( 1 0 3 8 ) 中t 和茁的顺序，以茹= 0 上的( c ( t ) ，o ( t ) ) 为初值，并分别在t = 0 及t = t 上辅以适当的边界条件，构造方程( 1 0 3 8 ) 在区域r ( t ) 上满足初始条件( 1 0 4 5 ) 和终 端条件( 1 0 4 7 ) 的半整体g 2 解u = 扎( t ，。) 显然，u = u ( t ，) 也满足边界条件( 1 0 4 2 ) 再把虬= u ( t ，z ) 代入边界条件( 1 0 4 3 ) 即可得鬈= 1 上的边界控制，从而证明了定理 1 0 5 在第五章中我们进一步考察具有一般非线性边界条件的二阶拟线性双曲型方程组 的精确边界能控性 考察如下二阶拟线性方程组 象叫帅，象 其中“= ( u l ，) t 为未知向量函数a ( u ， ，) 为一n n 阵，其元素a i j ( 札， ，) ( ，j = l ，n ) 为其变量的已知c 1 函数 f ( u ，”) = ( ，厶) t 为一向量函数，其元素 ( “，v ，训) = 1 ，n ) 为其变量的已知c 1 函数，且 ( 1 , 0 5 1 ) 设在所考察的区域上矩阵a ( u ，”，”) 有n 个正的实特征根k “= 1 ，礼) 及一组 线性无关的左特征向量以( u ， ， ) = ( 1 i l ( u ， ，) ，l i n ( 札，v ，们) 0 = l ，n ) ： k ( u ，u ，w ) a ( u ，u ，) = k ( u ，u ， ) 瓦( u ，u ，w )( i = 1 ，一，n ) ，( 1 0 5 2 ) 其中 d e tl l , j ( u ，口，) i 0 ，