（应用数学专业论文）一类二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性分析.pdf

摘要 常微分方程振动性理论是微分方程理论中的一个十分重要的分支，它具有深刻的物 理背景和数学模型。近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的 重视。有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果。研究微分方程的 振动性理论有很好的发展前景，并有较高的实用价值。 本文综述了两种较典型的二阶非线性中立型时滞微分方程，对其解的振动性进行归 纳，作以深入的分析，并提出值得进一步研究的问题。 关键词：微分方程；非线性；中立型；时滞；振动性 a b s t r a c t 0 s c i l l a t i o nt l l e o 巧o fo r d i n a d rd i 虢r e n t i a l e q u a t i o n si nt h et h e o 巧o fd i f | 暗r e n t i a l e q u a t i o n si s a i lh n p o r t a n tb r a l l l c h ，i th a sap r o f o u n d b a c k 伊o u n do ft i l ep h y s i c a la n d m a t h e m a t i c a lm o d e l i i lr e c e my e a r s ，i nt h ea p p l i c a t i o n0 ft h i st h e o 巧i nt 1 1 ef i e l do f m a m e m a t i c sh a sb e e na c l l i e v e dr 印i dd e v e l o p m e n ta r l de x t e n s i v ea t t e n t i o n al a r g em m l b e ro f s c h o l a r si nt h i sf i e l do ft h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，a 1 1 dm a d eas e n e so fg o o dr e s u l t s o nm ev i b r a t i o nt l l e o r yo fd i f r e r e m i a l e 掣眦i o n sh a v eg o o dp r o s p e c t s f o rt t l e d e v e l o p m e n t ，a 1 1 d1 1 i g hp r a c t i c a lv a l u e b a s e do nm el a t e s tr e s e a r c hf i n d i i l g so nt ：h eb a s i so f 1 i s t st w om o r et y p i c a ls e c o n d o r d e rn o l l l i n e a rd i a e r e n t i a le q u a t i o n sn e 劬md e l a yi t ss o l u t i o n t ot l l ev i b r a t i o no fs u m m e d u pf o rt l l e 血- d e p t ha i l a l y s i sa n ds y 缸h e s i s ，i ti sw o m lm m l e rs t u d y a n dp u tf o 刑a mp r o b l e m s k e y w o r d s ： n o l l l i n e a r ；d i 仃e r e n t i a le q 删i o n s ；n e u 仃a l ； d e l a y ； o s c i l l a t i o n i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得 的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了 明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名_ 丕亥羞 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保鐾、使用学位论文的规定，邸：东 北拜范大学有权保留并向罄家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子舨，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀憾硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技术 信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盔玄差 日 期：庭础。皇歹 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：姓 因 期：趔壁：! 些 电话： 邮编； 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 作为本文的开篇部分，本章主要介绍了全文的历史背景、研究动态及其发展趋势和 本文的组织结构。 1 1 历史背景、研究动态及其发展趋势 微分方程包括常微分方程和偏微分方程，由于其在实际中的坚实背景，多样而深刻 的理论以及与其它数学的紧密关系，已经发展成一个壮大的数学分支，得到及广泛的应 用。常微分方程在历史上，它的出现甚至比微积分的发明还要早。纳泊尔发明对数、伽 利略研究自由落体运动、笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上都 需要建立和求解微分方程。然而，实际上人们能够用初等函数的积分表达解的微分方程 是很少的，大量的微分方程是无法用初等积分法求解的。在十九世纪早期，柯西给微积 分注入了严格性的要素，同时也为微积分理论奠定了一个基石解的存在性和唯一性 定理。s t u r m 的工作提出了对解进行定性研究的最初思想。微分方程的过去和现在都对 力学、天文、物理、化学、生物、各种技术科学( 如核能、火箭、人造卫星、自动控制、 无线电学等) 及若干社会科学( 如人口问题、经济预测、商业销售问题、运输调度问题 等) 提供了有利的工具。 这些研究实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而与过去的历史无 关。但是把微分方程应用到某些领域中去时，必须考虑到一个重要的现象时滞反馈 的影响。因为事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过 去的状态。在这种情况下，微分方程就不能够精确地描述客观事物了，代之而起的是带 时间滞后的微分方程即时滞微分方程。由于时滞微分方程能充分考虑到事物的历史( 即 时滞) 对现实状态变化的影响，与不具时滞的微分方程相比较，它能更深刻地、更准确 东北师范大学硕士学位论文 地反映事物的变化规律，揭示事物的本质。而随着现代科技的发展，在自然科学与社会 科学的许多学科中都提出了大量的时滞动力系统问题，如核物理学、电路信号系统、生 态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统。社会科学方面主要 是各种经济现象时滞的描述，如财富分布理论、资本主义周期性危机、工业生产管理等， 促使人们对这种困难的课题开始认真地分析。自1 9 5 9 年以来，时滞微分方程的发展是 相当迅速的，在解的基本理论、稳定性理论、周期解理论、振动理论等方面都出现了许 多重要的成果。 时滞微分方程的振动理论作为时滞微分方程定性理论的一部分具有广泛的应用背 景。众所周知，生物模型中出现大量的时滞微分方程。k l c o o k e 提出一个生物科学中 极为重要的方程瞳引，它与遗传现象密切相关 j ，”( f ) + 缈( 卜忍( 印( f ) ) ) = f ( f ) ，f 岛 在工业方面，电池开关系统，其方程为口6 3 y ”( ，) + 2 砂7 0 ) + ，2 y ( f ) + 砂( f 一) = o ( 1 2 ) 其中“，1 ，z 为常数，滞量= ( ，z ( ，) ) ，对r r 连续。在经济学中价值法则的作用， 也是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时滞过长，经济也会出现振荡现象，这也 为社会生活所证实。 第一本系统地叙述时滞微分方程振动理论的著作是s h e v e l o 啪3 ，其中包括参考文献 3 9 2 篇，他总结了直到1 9 7 7 年这一理论的发展。进入8 0 年代以来，国内外大量学者开 始对时滞微分方程振动理论进行深入地研究和分析，可见参考文献 7 3 2 ，开创了中 立型时滞微分方程解的振动性的研究，同时将时滞微分方程振动理论在生态模型上予以 应用。 在未来的发展中，以下问题有待进一步研究： ( 1 ) 时滞微分方程解的振动性与非振动性的深入研究； 2 东北师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 研究振动解的性质。即零点分布规律和振幅变化规律； ( 3 ) 振动理论的各种应用，特别是生物模型和经济模型上的应用。 1 2 本文的组织结构 本文列举了2 0 0 7 年邹杰涛、朱红霞、侯艳红、郭金花、郭芳、张建国等人最新研 究的两种不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程，可见参考文献 4 、5 、 6 对其解的振动性进行归纳，作以深入的分析和综述，并提出值得进一步研究的问题。 全文共分三章。第一章，引言部分，简单介绍了时滞微分方程及其振动理论的历史背景、 研究动态及本文的结构。参见文献 7 3 3 。在第二章中，第一节对形如 ，( r ) 少( r ) + p ( r ) y ( r f ) 2 m + 1 + g ( r ) ( y ( r r ) ) = 。( ， 岛) 的具有不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性进行分析，参见文 献 4 、5 、7 、8 、1 0 、2 7 。第二节讨论了形如 m ) 删儿叫 繁h 帅卜训- o ( ) ( 2 ) 的具有不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性，参见文献 6 、7 、 8 、9 、1 1 、1 2 。第三章，结论部分，对全文进行总结。第四章，展望，提出今后值得 进一步研究的问题。 东北师范大学硕士学位论文 2 具不变符号振动因子的 二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性 微分方程解的振动性研究在理论和实际应用中都有十分重要的意义，也是微分方程 定性理论的一个重要研究领域。对于二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性研究，已 有许多研究成果，参见文献 7 3 3 。 参考文献 1 0 研究了二阶非线性中立型时滞微分方程 r ( r ) y ( ，) + p ( r ) j ，( ，一f ) 7 ) + 9 ( r ) 厂 y ( r 一仃) = 。 ( ， ) ( 2 1 ) 给出了方程振动的若干充分条件。 2 0 0 7 年邹杰涛、朱红霞、侯艳红、郭金花、郭芳、张建国等人在参考文献 4 、5 、 6 中研究了更为一般的二阶非线性中立型时滞微分方程 r ( r ) y ( r ) + p ( r ) y ( r r ) 2 m + 1 + g ( f ) 厂( y ( r f ) ) = 。( r 岛) ( 2 2 ) 和m ) 叫嘶卅器) ，+ g ( r ) m ( ) ) = 。( ) ( 2 3 ) 的振动性。其中： m 、n 为非负整数，且毫等是既约分数，( f ) c ( 气，) ，【o ，佃) ) ， p ( f ) o ( “o ) 盯，f 为非负常数。 定义：若方程的非平凡解既不最终为正，也不最终为负，则称方程的非平凡解是振 4 东北师范大学硕士学位论文 2 1 方程 r ( r ) y ( ，) + p ( ，) 少( ，一f ) + 1 ) + g ( ，) 厂( y ( ，一f ) ) = 。( ， ，o ) 的振动性 分析 2 0 0 7 年邹杰涛、朱红霞、侯艳红等人在参考文献【4 、5 中研究了方程( 2 2 ) 振动的 以下三个充分条件。 定理2 1 1 ( 参见文献 4 ) 若厂( “) o ，甜o ，p ( f ) o ，且以下条件成立： ( 1 ) c 青 ( 2 ) l ：。g ( f 弦 。o ： f 南 o ，y ( r 一盯) o ，少( f 一2 f 一盯) o ， 记： z ( f ) = y ( f ) + p ( f ) y ( 卜f ) o ( f ，1 ) ( 2 4 ) 由方程( 2 2 ) 可知： ，( f ) z 2 m + 1 ( f ) = 一g ( f ) 厂 y ( ，一盯) o ( 2 5 ) 由条件( 1 ) 易知，当f 时，z ( f ) o 事实上，如果存在一个数乞，使z ( 乞) o ， 则由( 2 5 ) ，当r 乞时， i ： r ( j ) z 应肿1 ( j ) 幽o ， 东北师范大学硕士学位论文 z ，( ，) o ，z 7 ( ，一仃一f ) o ，由 y ( ，一仃) = z ( ，一仃) 一p ( f 一仃) j ，( ，一仃一f ) 及y ( f 一仃一r ) z ( ，一仃一f ) z ( f 一仃) 可得： y ( ，一仃) 口( f ) z ( ，一仃) 其中：口( r ) = l p ( r 一仃) ，定义：国( ，) = 7 黼，则有：缈( r ) 。， 州沪端耥一燮掣筠期产刨 一二量尘三：二二量尘号曼手笔；与云；兰秽一日o)。2 口( ，) z ( 卜仃) 一” 上式从 到，积分 p ( s p 一聃s p ， 有 o 国( f ) 彩( ) 一球( s p ， 可得 缈( ，) ，_ g ( s p ， 考虑到( 2 5 ) 有 从而 等糕崭耥叫啦胁胁“口( ，) z ( 卜仃) 。丌口( ，) z ( 卜仃) v 严j f 叭叫 东北师范大学硕士学位论文 丽篆南胁) 幽r ，：m 厂 口( r ) z ( ，一仃) 【- ，( ，一仃) 几1r ，j 再从，l 到，积分有 f 南胁) 幽卜r f 前崭爿 f f 丽新2 南，嬲南 上式当r 专时，由条件( 3 ) 可得 c 南胁) 凼卜o 。， 这与条件( 4 ) 矛盾。所以方程( 2 2 ) 的非平凡解y ( ，) 不能最终为正。即方程( 2 2 ) 振动。 定理2 1 2 ( 参见文献 5 ) 设p ，( f ) o ，记：g ( 甜) ：厂击( “) ，若下面条件成立： ( 1 ) g ( 材) 2 b o 5 ( 2 ) c 青一： ( 3 ) 盯g ( j ) 一肛( s ) e x pc 印( 甜) 鼬= 。， 其中： 口( f ) = l - p ( f 一盯) ，f ( f ) = 当，c = 七( 2 聊+ 2 ) ， 则方程( 2 2 ) 是振 ，- 2 朋+ lf r 一盯1 动的。 定理的内容由以下方法得到：假设方程( 2 2 ) 是非振动的，则方程( 2 2 ) 至少 存在一个最终正解或最终负解。不妨假设方程( 2 2 ) 存在一个最终正解y ( f ) ，则j ， 当r 时，有： y ( f ) o ，y ( f f ) o ，y ( f 一仃) o ，y ( f 一2 f 一盯) o ， 东北帅范大掌硕士掌位论文 记：z ( ，) 如定理2 1 1 ，则由定理2 1 1 的证明可知：存在，2 ，使得当f 乞时，有： z ( ，一f 一仃) o ，z ( ，一f 一仃) o ，故：y ( ，一盯) 口( ，) z ( ，一盯) ， 记：缈( ，) = ，( ，) z 门“( ，) 9 2 m + 1 口( r ) z ( f 一仃) ，则彩( f ) o ，且： 州沪一 ( 2 垅+ 1 ) ，( r ) z 也”+ 1 ( r ) 口( f ) z ( f 一仃) 9 2 ” 口( r ) z ( f 一仃) g 口( r ) z ( f 一仃) 9 4 附2p ( f ) z ( 卜盯) ( 2 聊+ 1 ) r ( f ) z 佗m “( f ) 口( f ) z 7 ( f 一盯) 9 2 ” 口( f ) z ( f 一仃) g 口( ，) z ( f 一盯) 9 4 卅2 口( f ) z ( 卜仃) 知( ，) 一垫型比芝塑型驾型型 9 2 2 口( r ) z ( 卜仃) ，丽( 卜盯) 由方程( 2 2 ) 可知： ) 7 2 m 1 ( ，) ， l ， 1 且妻+ 古= l 时，譬+ 等动成立，故 蒜 删筹+ 彘m 整理可得 r ，、 筹、缈( r ) ( 2 历+ 2 ) 一1 ( r ) 丽型笋， 由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可得 缈7 ( r ) + c f o ) 缈( f ) 一g ( r ) + 肛( f ) 东北师范大学硕士学位论文 则 缈( ，) e x p ，：c ，( s ) 凼 7 一( g ( ，) 一肛( r ) ) e x pt 印( s ) 出 上式从乞到f 积分可得 国( r ) e x pt 印( s ) 蕊缈( 乞) 一( g ( “) 一胆( “) ) e x pe 扩( j ) 舭 上式当r 专o 。时，由条件( 3 ) 可知 国( ，) e x pt 印( s 一锄， 而这与缈( f ) o 矛盾。所以方程( 2 2 ) 的非平凡解少( f ) 不能最终为正。即方程( 2 2 ) 振动。 定理2 1 3 ( 参见文献 5 ) 设p ( ，) o ，记：g ( 甜) = 厂2 m + 1 ( “) ，若下面条件成立： c 打 ( 2 ) g ( “) ”s o ； ( 3 ) ，p 川g ( s ) 口( s ) r f ( s ) e x p f ：印( f ) j f 凼= ， 其中：口( r ) = 1 一p ( 卜盯) ，f ( ，) = ，一丽( r 一仃) ，c = 2 m + 2 ，则方程( 2 2 ) 振动。 定理的内容由以下方法得到：假设方程( 2 2 ) 是非振动的，则方程( 2 2 ) 至少 存在一个最终正解或最终负解。不妨假设方程( 2 2 ) 存在一个最终正解j ，( f ) ，则了， 当，时，有： y ( f ) o ，y ( f f ) o ，y ( f 一仃) o ，y ( f 一2 f 一仃) o ， 记：z ( f ) 如定理2 1 1 ，则由定理2 1 1 的证明可知：存在乞 ，使得当f 乞时，有 y ( f 一仃) 口( f ) z ( f 一仃) ， 由该式子和条件( 2 ) 可得 ，( f ) z 2 m “( r ) 7 + g ( ，) 口2 册+ 1 ( ，) z 2 m + 1 ( f 一盯) s 2 m + l o 记叫归搿鬻删摊 9 东北师范大学硕士学位论文 r ( ，) z 瞳”1 ( ，) ( 2 聊+ 1 ) z 2 ”( 卜盯) z z 4 ”2 ( ，一盯) 一g ( ，) 口z m + ( ，) 占：m ”一二量尘坚三! 二j ! 上三! ! 二三! 三j 享二! 三型 z 2 ”2 ( 卜盯) r 丽( ，- 盯) 一g ( ，) 口z 辨+ - ( ，) s ：m “一蔓三竺尘；幽 ，丽( 卜仃) 根据不等式( 2 7 ) 可得 故有 ( ，) + 印( f ) ( ，) f ( ，) 一g ( ，) 口2 ”1 ( ，) s 2 ”“ 国( r ) e x p 印( j ) 西 ) 的振动性分 析 郭芳、张建国、朱红霞、傅希林、俞元洪等人在参考文献 6 、7 、8 、9 】中分析了方 程( 2 3 ) ，给出其振动的三个充分条件。 定理2 2 1 ( 参见文献 6 、8 ) 若7 ( “) o ，甜o ，p ( f ) 5o ，且以下三个条件 成立： 1 0 东北癖范大学硕士学位论文 ( 1 ) f _ 9 0 弦 o ，( 豁o ) ； ( 2 ) f ： g 等窜( s ) 口( s ) 筹一l ，e x p c ( s 一岛) 办嚣， ( 2 删g 丽窜( s ) 口( s ) 丽一1 e x p c ( s 一岛) 办嚣a o ， 其中：掰9 ) = l p 一万) ， 则方程( 2 3 ) 是振动的。 。2 ( 坍+ 挖+ 1 ) e = ， 2 掰+ l 东北师范大学硕士学位论文 3 结论 本文( 参见文献 4 、5 、6 ) 所讨论的方程( 2 2 ) 和方程( 2 3 ) 是文献 1 0 中所 讨论的方程( 2 1 ) 的另外两种更一般情形。主要利用反证法和h 6 l d e r 不等式研究了方 程( 2 2 ) 和方程( 2 3 ) 的振动性，并得到了所讨论方程振动的六个充分条件，所得结 论是对文献 1 0 所讨论的问题进一步完善和补充。 东北师范大学硕士学位论文 4 展望 在未来的研究工作中，我们还应致力于以下方面： ( 1 ) 具变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性研究； ( 2 ) 具变符号振动因子的高阶非线性时滞微分方程的振动性研究； ( 3 ) 具变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动理论应用的研 究。 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 王其如二阶非线性微分方程的振动准则数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ( 2 ) ：3 7 卜3 7 6 2 孙元功一类二阶非线性时滞微分方程的振动性定理南京师大学报( 自然科学版) ，2 0 0 2 ，2 5 3 燕居让常微分方程振动理论太原：山西教育出版社，1 9 9 2 4 邹杰涛，朱红霞，侯艳红某类二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性太原理工大学学报， 2 0 0 7 ，9 ( 5 ) ：4 5 8 4 6 0 5 邹杰涛，郭金花，侯艳红，朱红霞某类二阶非线性时滞微分方程的振动性数学的实践与认识， 6 郭芳，张建国，朱红霞某类二阶中立型微分方程的振动性北方工业大学学报，2 0 0 7 ，3 ( 1 ) ： 5 0 5 3 7 傅希林，俞元洪二阶非线性中立型微分方程的振动与渐进性 j 用数学，1 9 9 3 ，6 ( 2 ) ：2 2 8 2 3 0 8 傅希林，俞元洪二阶非线性中立型微分方程的振动性 j 应用数学与计算数学学报，1 9 9 4 ，8 9 邵孝湟，陈文灯，俞元洪非线性二阶微分方程的振动准则数学研究与评论，1 9 9 5 ，1 5 ( 4 ) ： 6 0 5 6l o 1 0 刘开恩二阶非线性中立型微分方程的振动性 j 应用数学，2 0 0 4 ，1 7 ( 增) ：1 9 0 一1 9 4 1 1 米玉珍，余秀萍二阶非线性中立型时滞微分方程振动准则河北师范大学学报( 自然科学版) ， 1 2 庄容昆，朱思铭，王其如二阶非线性中立型微分方程的s t u r m 比较定理中山大学学报( 自然 科学版) ，2 0 0 5 ，4 ( 1 ) ：5 1 2 1 4 东北师范大学硕士学位论文 1 3 席鸿建二阶非线性中立型微分方程的振动和渐近性广西大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 5 ，2 0 1 4 师文英，王培光二阶非线性中立型微分方程的振动准则河北大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ， 2 4 ( 3 ) ：2 2 9 2 3 3 1 5 项明寅，徐志庭一类二阶时滞微分方程解的振动性质安徽师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 2 ， 1 6 郭嫱，张炳根非线性中立型时滞微分方程解的振动性青岛海洋大学学报，2 0 0 3 ，3 3 ( 3 ) ： 4 8 3 4 8 8 1 7 林文贤一类二阶非线性中立型方程的振动准则纯粹数学与应用数学，2 0 0 4 ，2 0 ( 3 ) ：2 6 3 2 6 7 1 8 杨启贵，朱思铭二阶非线性中立型微分方程的振动性系统科学与数学，2 0 0 3 ，2 3 ( 4 ) ：4 8 2 4 9 0 1 9 米玉珍，余秀萍，王培光二阶非线性中立型时滞微分方程的振动定理河北师范大学学报( 自 然科学版) ，2 0 0 5 ，2 9 ( 1 ) ：1 4 1 7 2 0 李美丽二阶非线性时滞微分方程的振动准则山西大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ，2 7 ( 3 ) ： 2 2 6 2 2 9 2 1 陈明，谭琼华，唐清干一类非线性中立型微分方程的解的振动性桂林电子工业学院学报，2 0 0 5 ， 2 5 ( 1 ) ：5 9 6 1 2 2 孙元功，程龙一类二阶非线性微分方程的振动性烟台师范学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 2 ，1 8 2 3 燕居让，杨荃馨一类二阶线性微分方程的振动性及非振动性高校应用数学学报，1 9 9 5 ，1 0 ( 1 ) ： 8 7 8 9 2 4 吴玮，张炳根一类非线性中立型时滞微分方程的振动性中国海洋大学学报，2 0 0 6 ，3 6 ( 2 ) ： 2 3 3 2 3 5 2 5 c o o k ek l i n t e r n s y m p d i f f e q n s d y n a m i c a l s y s t e m p u r e t or i c o ，1 9 6 5 ，1 2 4 一1 4 5 1 5 东北师范大学硕士学位论文 2 6 h o p k h hc n o 带有实质变元的二阶微分方程哈雅，1 9 6 4 ，2 4 3 5 2 7 l iwt 0 s c i l l a t i o no fc e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a t h a n a l j a p p l 1 9 9 8 ，2 1 7 ( 1 ) ：1 一1 4 2 8 p h i l o se hg o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o r 1 i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n d o r d e r a r c hm a t h ( b e s e l ) ，1 9 8 9 2 9 g y o r ii o nt h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fc e r t a i nn o n l i n e a ra n dl i n e a rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n o n l i n e a ra n a l ，1 9 8 4 3 0 p e n gms ，g cwg ，h u a n glh ，e ta 1 ac o r r e c t i o no nt h eo s c i1 l a t o r yo e h a v i o ro fs 0 1 u t i o n s o fc e r t a i ns e c o n do r d