（应用数学专业论文）二值噪声作用下线性系统随机共振现象的研究.pdf

二值噪声作用下线性系统随机共振现象的研究 摘要 随机共振可以理解为有噪声存在的系统中，系统输出信号是噪声或周期激励信 号的某个参数( 噪声强度、噪声相关率、频率、激励信号的幅度等) 的非单调函数。 人们研究随机共振现象时，可以利用系统的信噪比、输出幅值增益对噪声参数和系统 参数的非单调依赖关系。对噪声作用的一阶、二阶系统的信噪比、输出幅值增益的研 究引起广大研究工作者的极大兴趣。 本文主要从两个方面来研究系统的随机共振现象。大多数的研究表明有色 g a u s s i a n 乘性噪声、p o i s s o n 乘性噪声等作用下一阶线性系统中出现随机共振 现象，而仅仅是加性g a u s s 白噪声作用的一阶线性系统未发现随机共振现象。 然而，加性噪声和乘性噪声共同作用下的线性系统是否出现随机共振现象，目 前还未见研究。我们通过研究受到外部周期力、乘性和加性二值噪声共同作用下的 一阶线性系统，数值结果表明信噪比作为加性和乘性噪声强度、输入信号频率、外部 力振幅的函数时，有随机共振现象出现。另一方面，对二阶的线性系统，已有研究表 明电感受到单个二值噪声扰动、系统固有频率受n - - 值噪声作用系统的随机共振现 象，但对两个不同二值噪声作用于多个系统参数的情况却未给出结论。因此，我们对 阻尼率受n - 值噪声扰动，激励信号受到另一二值噪声调制时二阶过阻尼线性系统， 基于线性系统理论、信号与系统理论，得到了系统平均输出幅值增益的精确表达式。 数值模拟表明，输出幅值增益是关于系统固有频率、阻尼率、激励信号频率、噪声相 关率及耦合噪声强度的非单调函数；在系统参数和噪声参数分别变化时，输出幅值增 益出现峰值，即发现随机共振现象；适当的噪声参数和系统参数可使有噪声情况下的 输出幅值增益大于无噪声时的输出幅值增益。 关键词：随机共振；二值噪声：噪声强度；信噪比：输出幅值增益 s t o c h a s t i cr e s o n a n c eo fl i n e a rs y s t e md r i v e nb y d i c h o t o m i cn o i s e a b s t r a c t i ng e n e r a l ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) o c c u r sw h e na no u t p u ts i g n a li sa n o n - m o n o t o n i cf u n c t i o no ft h ep a r a m e t e r so fn o i s eo rp e r i o d i cs i g n a li nas y s t e m w i t hn o i s e t h es i g n a l t o - n o i s er a t e ( s n r ) ，t h eo u t p u ta m p l i t u d eg a i n ( o a g ) a r e a l w a y su s e dt os t u d ys r ，b e c a u s et h e i rt h en o n m o n o t o n i cd e p e n d e n c eo f t h en o i s e p a r a m e t e r sa n ds y s t e mp a r a m e t e r s t h e r e f o r e ，m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sa r e i n t e r e s t e di nt h es n ra n do a go faf i r s t - o r d e rs y s t e ma n das e c o n d o r d e rs y s t e m w i t hn o i s e t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e st w oa s p e c t so fs r o no n eh a n d ，s rh a sb e e n i n v e s t i g a t e d i nt h ef i r s t o r d e rl i n e a r s y s t e m ，w h e r e d r i v e n b y g a u s s i a n m u l t i p l i c a t i v en o i s eo rp o i s s o n i a nm u l t i p l i c a t i v en o i s e ，b u tt h ea d d i t i v en o i s ei s i g n o r e d s rd i dn o to c c u rw h e nt h ef i r s t - o r d e rl i n e a rs y s t e mo n l yd r i v e nb ya n a d d i t i v eg a u s s i a nw h i t en o i s e w ei n v e s t i g a t es ri nt h ef i r s t o r d e rl i n e a rs y s t e m d r i v e nb ya d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v ed i c h o t o m o u sn o i s e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w t h a ts ro c c u r sw h e nt h en o i s ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t 名 fp 年呼月fb 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字b 努 测c 每乇其l 户 电话： 邮编： 致谢 时间飞逝，转眼在合肥工业大学三年的研究生学习即将结束，但这段经历 将会影响我的一生。首先要把我特别的感谢和敬意献给我的导师焦贤发教授! 两年多来，本人在课程学习和撰写论文的过程中，焦老师都给我悉心指导和帮 助，无论是课程学习，还是论文收集资料，都倾注了大量心血。焦老师教会我 怎样从一个只会看书做题的学生转变为一个可以提出问题到解决问题的思考 者，怎样阅读文献，怎样获得自己想要的知识，这些也是我研究生求学阶段的 最主要的收获，我相信这样的收获对我以后的学习也会产生深远的影响。在此， 我真诚地感谢焦老师! 同时，论文的顺利完成，离不开数学学院多位老师、同学和朋友的关心和 帮助。在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个 论文。另外，要感谢在求学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使 我有了专业课知识，这也是论文得以完成的基础。在此一并表示我真诚的谢意! 作者：邱勤伟 2 0 1 0 年4 月 第一章引言 1 1 动力系统随机共振的研究现状 随机共振的概念最早是由b e n z i t 卜6 】等在解释周期性冰期的气候力学研 究中提出的：地球运行轨道的周期性变化不能引起气候在两种状态之间变 动，同样，地球内部的随机力( 如大气和海洋循环所引起的波动，可看作 是噪声) 也不能引起两种状态的切换。但当周期力和随机力同时作用时， 弱周期力会被放大，从而引起冷暖气候交替出现，这时就产生了随机共振 现象，即噪声对响应的影响，在某一强度下，能使响应增强，在强度很大 时使响应变差，中间有一最佳噪声强度能产生最佳响应，这就是所谓的随 机共振。 随机共振提出后沉寂了多年，直到九十年代才再次引起关注【7 】。十多年 过去了，随机共振已经包含了各种不同的机制【8 五引，并且所涉及的研究范围 还在不断的扩大。如：q u a n t u m w e l ls e m i c o n d u c t o rl a s e r s 【z 引，o p t i c a l 3 0 l ，觚 e x c i t a b l eo p t i c a ls y s t e m ( 3 1 1 。q u a n t u m m a n y b o d ys y s t e m s l 3 2 1 ，以及神经功能： 注意力的控制系统等1 3 3 1 ，形成了一个个新的研究方向，即认为随机共振在 不同的各个层次，以及无生命、有生命的系统都能产生。动力系统的随机 共振有关理论正是在这种应用的广泛性要求下逐渐建立起来。因此，深入 研究动力学系统的随机共振不仅对认识这些系统本身具有重要的意义，也 会对物理学、生物、神经网络、燃烧动力学、电子与信息科学、机械工程、 化学工程和经济等研究领域的研究起到促进作用p 引。 众所周知，现实世界中一切随时间变化的过程，往往都要受到某些不 确定因素的作用。这些不确定的因素往往又服从某种统计规律，把这种具 有统计规律的不确定因素称为“随机因素 。所谓随机系统，就是指用以 描述这类受随机因素作用的时间过程的一些数学模型。这类数学模型一般 是某些含随机过程的差分方程或微分方程。因此，往往通过研究微分方程 来研究随机系统。在物理、化学、生物学中，系统的随机性往往通过噪声 的形式来反映，特别是近十年来，化学与生物学界的科学家逐渐体会到， 噪声在动力系统中可起积极的作用【3 5 1 。关于一阶非线性双稳或多稳系统的 研究已近比较透彻【3 6 训】。近年来的一些研究表明，在一阶线性系统中也会 出现随机共振现象。a v b a r z y k i n 和k s e k i 研究在有色高斯乘性噪声下的一 阶线性系统，发现了随机共振现象【4 引。v b e z a k 和j c z e e h 在泊松乘性噪声作用 下的线性系统中也得到随机共振现象【4 引。最近，在调制信号噪声作用下的线性 系统中发现了随机共振，而在加性高斯白噪声作用下的线性系统中却没有发现随 机共振现象【4 4 】；在乘性噪声作用下的线性系统中，如乘性的有色噪声，特别是 在短相关时间下的有色噪声中发现随机共振【4 5 1 ，以及相继研究表明随机共振在 以下乘性噪声中也出现：介于二值和高斯噪声之间的合成噪声作用下的线性系 统，相关噪声作用下的线性系统【4 6 , 4 7 】，等等。这些研究表明，在乘性的有色噪 声驱动下线性系统中有随机共振现象出现，并多采用信噪比关于噪声参数或系统 参数函数的非单调性来描述。然而，需要强调的是，之前诸多文章中，更多地仅 仅考虑只有乘性噪声，而忽略加性噪声4 6 , 4 8 】。也有研究在加性和乘性噪声共同 作用下一阶线性系统的随机共振现象，选取的噪声是常见的高斯噪声【4 9 1 。 最近，相对于研究比较深入的一阶系统而言，二阶系统正越来越受到人们的 关注，并且更多的趋向于用输出幅值增益来描述随即共振现象。郭峰等考虑在电 感受到单个二值噪声扰动的二阶线性系统中，基于信号与系统的理论，得到了输 出幅值增益的精确表达，从输出幅值增益随噪声强度、激励信号频率的演化曲线 分析了随机共振现象【5 0 1 。郭立敏等又在系统固有频率受到噪声扰动的二阶线性 系统中，描述了输出幅值增益随系统频率、噪声相关时间变化的函数关系，并发 现随机共振现象垆。 二值噪声是现实中的随机电报噪声，对于不同噪声同时作用的一阶系统 和二阶过阻尼系统随机共振现象的研究仍然是不成熟的。因此，本文主要 研究加性和乘性二值噪声作用的一阶线性系统的随机共振现象；研究不同 二值噪声作用两个系统参数二阶过阻尼线性系统的随机共振。 1 2 本文的结构 在本文中，我们主要是通过研究一阶系统和二阶过阻尼系统在不同二 值噪声作用下系统的信噪比和输出幅值增益函数的非单调性来描述系统的 随机共振现象。 第二章，主要阐述随机过程的矩和f o u r i e r 变换，以及功率谱和信噪比定 义等相关基本理论。 第三章，我们主要是研究对于受到外部周期力、乘性和加性的二值噪声共 同作用下的一阶线性系统，通过运用s h a p i r o 1 0 9 i n o v 公式，计算出一阶矩和信噪 比的表达式，从而信噪比成为研究系统随机共振的一个重要特征量。 第四章，考虑到有噪声存在的系统中，随机共振可以理解为系统输出信号 是噪声或周期激励信号的某个参数( 噪声强度、噪声相关率、频率、激励信号的 幅度等) 的非单调函数。之前郭峰等考虑在电感受到单个二值噪声扰动的二阶线 性系统的随机共振，及郭立敏等又在系统固有频率受到噪声扰动的二阶线性系统 中发现随机共振，他们考虑的是单个噪声作用一个系统参数或单个噪声作用两个 系统参数，并没有考虑两个不同噪声作用不同的系统参数时系统的随机共振现 象。因此本章从这个角度出发，研究二阶过阻尼线性系统的随机共振现象。 2 第五章，总结了本文的主要工作以及未尽的工作。 第二章有关的基本理论 随机共振现象可以通过信噪比或输出幅值增益关于系统若干参数( 噪声强 度、噪声相关率、频率、激励信号的幅度等) 的非单调性来表征和描述。为了得 到系统的信噪比及输出幅值增益，我们必须掌握随机过程的矩和f o u r i e r 变换， 以及功率谱和信噪比定义等相关基本理论。 2 1 随机过程的矩 一些随机过程可以通过它们依赖时间的矩来定义，而随机过程的矩完 全可以由给出的大量独立参数来确定。例如，g a u s s 过程可以通过一阶矩 和二阶矩来刻画，e x p o n e n t i a l 和p o i s s o n 过程的高阶矩都可以通过一阶 矩来表达。 设x ( f ) 是一随机过程，由随机微分方程：赡= 厂( t ，孝( f ) ) 描述的是一个随机 动力系统，其中善) 是随机扰动力。x ( r ) 在时刻f l ，乞，乙对应得状态分别是 五，x 2 ，矗，定义联合概率密度为p ( 五，l ；吃，乞；毛，乙) ，转移概率密度的条件 一阶矩由下式给出： ( 鼍( f ) ) 蛳卜而= k ( x ，f i 而，t o ) d x ( 2 1 ) 当t o 专咱，转移概率密度在该极限处收敛：p 2 ( x ，l 而，t o ) - p ( x ，t ) ，它便失去了 对初始时间的依赖性，则： ( 专( f ) ) 掣= 息曼( 咯( f ) k 。岛卜而 ( 2 2 ) 对于平稳过程也不失一般性，这个极限关于时间是独立的，我们可以假设 ( x ) 卿= o 。 在不同的两个时刻，随机过程一个重要的特征量就是二阶矩。在初始 条件x # ( t o ) = ：c o t ，随机过程x p ) 的自相关函数为： ( x f ( t ) x 4 ( t + r ) ) 露( 岛) ，而= n 恐仍( 而，+ r k ，f ) 仍( 而，r l ，t o ) ( 2 3 ) 它可以通过条件一阶矩来表达： ( ( r + f ) ) 删。而x , p 2 ( x , ，t ；x 2 ，hf ) 奶 ( 2 4 ) 4 当t o 棚时，自相关函数就是其渐近极限： ( x f ( t ) x c q + f ) ) 卿= n 而p 2 ( 而工艺，f + f ) 如如 ( 2 5 ) 当f = o 时，其值等于二阶矩( x 2 ( f ) ) 。另一方面，若f 趋于无穷大时，( 2 5 ) 式 可分解为： ( 誓( ，) p + f ) ) 叫= ( - ( f ) ) 卿( o + f ) ) 哪 ( 2 6 ) 对于平稳过程，这个极限值并不依赖于某个确定的时间，它的平稳自相关函 数仅仅是关于时间差的一个函数： q ，( f ) = n 屯p ：( 毛，f i 吃) p ( 而) 幽呶 ( 2 7 ) 这个平稳过程的自相关函数在微小的时间变化，专r f 上是不变的，并具有偶函 数性质q j ( r ) = 巳。，( 一f ) 。它给出了自相关函数的一个重要量，相关时间l 。一般有多 种方法可以定义0 ，最常见的形式如下： 乙2 去肌陋 ( 2 8 ) 一个多维的随机过程这种自相关函数的定义是可以直接推广的。为方便起见， 我们考虑一个二维的随机过程 x ( r ) ，y ( ，) 。在联合概率密度见，y ( x ，；y ，r + f ) 基础 上同样引入互相关定义q 。，( f ) 。对于这种平稳过程立即得到q ( f ) = 勺，( 一f ) 。互 相关的绝对值满足i 巳，y ( f ) 1 2 ( x 2 ) ( y 2 ) ，这就是众所周知的c a u c h y - s c 砒不等 式。特别地，由它得到的自相关函数也满足这个性质i q j i 仁2 ) 。 2 2 相关函数的f o u r i e r 变换 相关函数的f o u r i e r 变换为： g o ( 国) = e q 一( f 弦一栅d r = 2j c o 巳，0 9 c 。s ( c o f ) d f ( 2 9 ) 且q j 0 。对于多维的随机过程我们可以引入互相关函数的f o u r i e r 变换： g o ( 彩) = e 巳( f 弦一栅d f ( 2 1 0 ) 在自相关函数绝对可积及相应的逆变换条件下，我们可以得到下面两个表达 式： 5 q ，( 国= o ) = 亡( r m ( 仁o ) = ( x 2 ) = 芴1c 吆( 彩跏 ( 2 1 1 ) 2 3 随机过程的求导与积分 随机过程x o ) 的导数定义如f ： 勘= 百a x ( t ) = 娥( 半) ( 2 1 2 ) 然而，导数的存在性与这个极限的存在性具有不同的意义。在这个极限的定义下， 对于均方，我们得到： 譬妥 = 。 c 2 3 ， 均方收敛的必要条件是相关函数在和f 2 时的二阶导存在或这个平稳过程的相 关函数巳j ( f ) 二阶可微。于是得到x o ) 自相关函数的导数为： 嘲“一r 2 幽如 ( 2 2 2 ) 在丁寸时，即使，( 力) 存在，随机函数夥( 彩) 在均方收敛的条件下也不一定收 敛，在任意频率范围内，方差有限情况下，它仍将是随机变量。 ( 2 2 2 ) 式在平稳过程条件下，积分可以进行简化 p r ( 国) ：2 ( 1 一等h 一( f ) p - 蛔r 如 ( 2 2 3 ) 在时间趋于无穷条件，p r ( 缈) 就是平均功率密度，叫做赡o ) 的功率谱，此o c a a , 消失 p ( c o ) = r l i 。r a 。尸r ( 国) = 2 二c x j ( f 弦一切7 办 ( 2 2 4 ) 从平稳过程可以看出，功率谱是相关函数q j ( 缈) f o u r i e r 变换的两倍，这正是 w i e n e r 和k h i n c h i n 理论所提到的。 现在我们用信噪比( s n r ) 来定义整个信号功率与噪声功率的比，它是刻画 随机共振现象的一个重要特征量： s n r 2 赤2 e 刚国 ( 2 2 5 ) 这里础是信号频率国= q 时的噪声背景。 8 3 1 模型 第三章对称二值噪声作用下线性系统的随机共振 考虑由外部周期力及二值噪声作用下的线性随机系统，系统由下面随机微分 d _ x ( - t ) = 一b x ( t ) + 孝o ) x o ) + 可( f ) + 口s i n ( r o t ) ( 3 1 ) d t 这里乡( t ) ，1 7 ( t ) 是对称二值噪声，分别取两个对称值c ，d ( c ，d 0 ) ，a s i n ( c o t ) 是 外部输入信号，口和彩分别是该信号的振幅和频率，并有如下均值和相关形式： ( 孝( f ) ) = ( ，7 ( ，) ) = o ( 3 2 ) ( f o ) 剐) ) = d r , te x p - 2 ql t - t 1 1 ( 3 3 ) ( r l ( t ) r l ( t 。) ) = 岛如e x p 【一五卜f i 】 ( 3 4 ) ( ，7 ( ，。) ) ：2d 厕l d 22 3e x p - 2 3 t - t | 】 ( 3 5 ) 其中丑( 江1 ，2 ，3 ) 是噪声相关时间的倒数，五( - 1 五1 ) 是噪声相关系数，d l ，d 2 分别是孝o ) ，叩( r ) 的噪声强度，定义为： q = 鲁加鲁 慨6 ， 为了计算一阶矩，我们把方程( 3 1 ) 关于x 进行平均： 掣= - b ( ) + ( 胁) i n ( 卅 ( 3 7 ) ( 3 7 ) 中出现了新相关量( 善( f ) x ( r ) ) ，运用s h a p i r o - l o g i n o v 公式5 2 1 得到： 驾掣叫仅蛳州乳，警 8 ， 自( 3 7 爝( 舯) = 掣+ 咖) ) 咄卅 ( 3 9 ) 把( 1 ) 代入( 3 8 ) 2 塑掣= - ( ) ( 蝴) ( 删+ 旯丽 ( 3 1 0 ) 9 把( 3 9 ) 代入( 3 1 0 ) 得： 型d t 2 + ( 2 m ) 掣+ 【( 州】( m ) ) = a c o c o s ( c o t ) + a ( a 1 + 6 ) s i n ( 研) + 力丽 方程( 3 1 1 ) 的解为： ( x ( ，) ) = 彳s i n ( c o t + 缈) + 等 这里，a = 彳= a 6 + 6 2 一c 2 ，石= 口【6 3 + 2 a 6 2 + ( 五2 + 缈2 一c 2 ) 6 一 c 2 】， 石= 口国( a 2 + 2 a l b 2 + 6 2 + 缈2 + c 2 ) ， 五= 6 4 + 2 a i b 3 + ( 2 + 2 缈2 - 2 c 2 ) 6 2 + 2 q b ( c 0 2 一c 2 ) + a 2 国2 + ( 国2 + c 2 ) 2 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 盯= 名丽 ( 3 1 4 ) 3 2 相关函数和信噪比( s n r ) 一股采说，佰噪比( s n r ) 司以用采描述系统的随机共振( s r ) 现象，因此 必须计算出s n r ，但首先须获得系统的自相关函数。把方程( 3 1 ) 两边同乘以 x ( t ) ： 掣：一b x ( r ) x ( r ) + 孝( f ) x 9 ) x o 。) + 刁( f ) x ( ，) + 口s i n ( c o t ) x ( f ) ( 3 1 5 ) a t 再关于x 平均得到： ! ! i ! ! 掣：一6 ( x ( ，) x ( r ) ) + ( 孝o ) x ( f ) x ) ) + ( 刁( r ) x ( f ) ) + 口s i i l ( 优吁) ( x o ) ) ( 3 1 6 ) 这里出现了新相关因子( 7 7 ( f 弦( ，) ) 、( 善( r ) x ( ，) x ( f ) ) ，对于因子( 孝( ，) x ( f ) x ( r ) ) ，由 s h a p i r o - l o g i n o v 公式得： 掣= 学) _ ( 乳m 啦，) 1 0 由( 3 1 6 ) 得： ( 孝o ) x o ) x ( f ) ) ：! ! ! ：! ! ! 掣+ 6 ( x o ) x ( r ) ) 一( 叩o ) x ( f ) ) 一口s i n ( 睨矿) ( x ( f ) ) ( 3 1 8 ) 把( 3 1 5 ) 代入( 3 1 7 ) 。 ! 型型型1 2 d t = 一( + 6 ) ( 孝o ) x o ) x o ) ) + c 2 ( x o ) x ( r 。) ) + ( f 9 ) 7 7 0 ) x ( f ) ) + 口s i n ( 国f ) ( 孝o ) x o ) ) ( 3 1 9 ) 把( 3 1 8 ) 代入( 3 1 9 ) 得： 掣+ ( 2 6 + 五) 兰玉三笔竽墨生堕+ ( + 6 ) 6 一c z 】( x o ) x o ) ) = 塑掣m + 6 ) ( 祀m r ) ) 懈觚研姆m r ) ) + 【口( oc o s ( c o t ) + 口( + 6 ) s i i l ( 耐) 】( x ( f ) ) + ( 孝( ，) 刁( f ) x ( r ) )( 3 2 0 ) 其中，( 孝( f ) x ( r ) ) 、( 刁o ) x ( ，) ) 、( 孝( f ) 刁( f ) x ( f ) ) 是新出现的相关因子，这里对 ( 孝o ) x ( f ) ) 给出算法， s h a p i r o - l o g i n o v 公： ! j 圭芋墨二立：一 ( 孝o ) x o ) ) 对( 3 2 1 ) 在t 。到f 上进行积分得到：( 善( f 弦( r ) ) = e x p ( - a 1 t - t i ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 运用同样方法可以计算出( ，7 ) x o ) ) 、( 孝( r ) 刁( ，) x ( ，) ) ，代入( 3 2 0 ) 可得： ! ! j j 兰：；墅二立+ ( 2 6 + 五) 竺! ( 三；掣+ 【( + 6 ) 6 一c ：】( x ( ，) x ( r ) ) = a s i n ( c o t ) e x p ( 一 h t - t 。1 ) + ( 五+ 6 一如) e x p ( - 五i t - t 。i ) + 唧( 一仃卜r i ) “口国c o s ( 国r ) + 口( 五+ 6 ) s i n ( 国r ) 】( x ( f ) ) 方程( 3 2 3 ) 的解为： g ( f ) x ( f ) ) = 喾【彬s 酞研+ 仍) e x p ( 一2 a t - t 1 ) + 去彤形形( 五+ b a z ) e x p ( 一五i ，一r | ) + ( x ( ，) ) 形吸s i i l ( 研+ 仍) 】 口 。 + ( x ( f ) ) 呢s 眦研+ 仍) 】 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) m = ( 2 6 + 五一厄2 + 4 c 2 - 2 a ) ( 2 b 2 2 a 6 2 b 厢+ 矸+ a 厢+ 2 c 2 + 2 缈2 ) ( 2 b 2 + 2 a 。b 一2 b 厢+ 矸一 厢+ 2 c 2 + 2 6 0 2 ) ( 2 b 2 - 2 2 l b + 2 b 厢+ 矸一2 1 ：a , 2 + 4 c 2 + 2 c 2 + 2 6 0 2 ) ( 2 6 2 + 2 6 + 2 b 厢+ 彳+ 五厕+ 2 , 2 2 + 2 国z 肿6 一五一厢+ 2 盯) = b 4 + 2 2 l b 3 + ( 五2 + 2 彩2 - 2 c 2 ) 6 2 + 2 b ( c 0 2 一c 2 ) + 缈4 + ( 五2 + 2 c 2 ) 缈2 + c 4 ， = 6 2 + ( 丑一2 a ：) b - c 2 + 五2 一a 五，= 6 2 + ( 五一2 0 ) b c 2 一以+ 盯2 ， 呢= b 4 2 五6 3 + ( 2 + 2 缈2 - 2 c 2 ) 6 2 + 2 五b ( c 2 - 6 0 2 ) + 国4 + ( a 2 + 2 c 2 ) 国2 + c 4 ，( 3 2 5 ) 仍= 一t 耥，7 2 = a r c t a ：n 者器粉m 2 6 ) 舻咖【而石毒耐，= 菇薏乞暑罴耥】( 3 在方程( 3 2 4 ) 中，令f = h f ， r i 0 ，则有： ( x ( ，) x ( ，。) ) = 百2 5 6 暇s i n ( c o t + 仍) e x p ( 一五帅+ 三a 彤彬呢( 五+ 6 一五) e x p ( 一五l f j ) + 呢e x p ( 一盯帅+ ( x o + f ) ) s i n ( 研+ 仍) 】( 3 2 7 ) 对方程( 3 2 7 ) ，自相关函数( x ( f ) x o ) ) 关于，在一个周期罟上平均： ( ( x ( f ) z ( ，+ f ) ) ) ，- 一旦2 z 去u ，, x 9 ) x ( r + r ) ) 衍 = 面2 5 6 彤嵫呢( 五+ 6 一五) e x p ( t 帅+ 2 m 5 6 w , w 。w 。e x p ( 一盯帅 + 1 1 2 f 8 a 彬嵫c o s f + 缈一伤) ( 3 2 8 ) 这里的彳，彬，呢，m ，妒，仍如前文所定义。 系统的功率谱s ( q ) 是关于自相关函数的f o u r i e r 变换，我们首先获得的是 单边平均功率谱： ( s ( q ) ) ，= e ( ( x o ) x ( f + f ) ) ) ，p 瑜如 = 百2 5 6 1 t i w 3 ( a + 6 一五) 乏髦+ 孑警卜1 m 2 8 形。w ，w 。s 畎矽一仍) 万( q ) 1 2 2 5 m 6 # w 。w 。t 矿4 , c 。s ( 伊一, p o 8 ( n 一缈) + 8 ( n + 国) 】 类似可求解( s ( 一q ) ) ，；因此，整个功率谱s ( q ) 为： s ( q ) = ( s ( q ) ) ，+ ( s ( q ) ) ，= m 艿( q 一缈) + 乞艿( q ) + 毛 其中，m = 2 5 朋6 n w ) 矿3 w 4c 。s ( 伊一仍) ，鸠= 2 m 5 6 w 。w 。w 4s i n ( 缈一仍) ， 坞= 詈唰鲁( 卅格+ 吸南】 最后，我们获得的信噪比( s n r ) 为： 一志2 币篇一 3 3 数值结果 叱 z 图3 1 信噪比s n r 是对不同的噪声相关系数名，关于加性噪声强度d l 的函数。其它参数值为a = 1 2 ，b = c = 1 ，a = 五= 0 2 5 ，国= 0 5 1 3 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 叱 z 0 j 比 z 图3 2 函数。 信噪比s n r 是对不同的乘性噪声强度d 1 ，关于加性噪声强度d 2 的 其它参数值为a = 1 2 ，b = c = 1 ，见= - 0 9 ，厶= 0 2 5 ，缈= 0 0 5 图3 3 信噪比s n r 是对不同的加性噪声强度见，关于乘性噪声强度d 1 的 函数。其它参数值为a = 1 2 ，b = c = 1 ，a = - 0 9 ，如= 0 2 5 ，国= 0 5 1 4 芷 z c o 叱 z c ， 图3 4信噪比s n r 是对不同的噪声相关系数允，关于信号频率( - 0 的 函数。其它参数值为a = 1 2 ，b = c = 1 ，q = o 1 ，d 2 = 4 ，以= 0 2 5 图3 5 信噪比s n r 是对不同的外部力振幅a = 1 2 ，1 6 ，1 8 和2 ，关于信号频率国 的函数。其它参数值为b = c = 1 ，名= - 0 9 ，d i = o 1 ，d 2 = 4 。如= 0 2 5 。 1 5 3 1 、图3 2 描述信噪比s n r 与加性噪声强度d 的关系。图3 1 表明在非负 相关区域( 0 旯1 ) ，没有随机共振现象出现，s n r 随着强度4 的增大而减小： 在负相关区域( 一1 旯 o ) 却有共振现象出现，它的变化特征如图中所示。在图 3 1 中，可以看出曲线的峰值高度随着噪声相关系数的增大而减小，最高点的位 置也左移。图3 2 显示峰值高度随着d 1 的增大而增大，最高点的位置右移，这 里考虑的五为负值，经过进一步数值作图，我们发现在非负相关区域( 0 五1 ) 信 噪比s n r 关于加性噪声强度n 的函数曲线没有峰值，即没有随机共振现象出现。 图3 3 描述信噪比s n r 与加性噪声强度d l 的关系。图3 3 曲线中，当把加 性噪声强度d 作为s n r 的参数时，曲线的峰值高度会随着d 的增大而增大， 而且位置右移。当我们取不同的相关系数时，仍有结论：在正相关区域( o 元1 ) 没有共振现象出现，s n r 随着皿的增大而减小；然而在负相关区域( 一1 元 国。当系统的 阻尼翠受剑一个噪声孝 ) 扰动，i 一时激励信号也受到另一个噪声r ( t ) 的调制时， 则方程( 4 1 ) 为： 了d 2 x ( t ) 砌【1 + 删警材m 闱( f ) 翩s ( q ) ( 4 2 ) 其中，孝p ) 和玎( ，) 是二值噪声，其均值和相关函数为： ( 孝o ) ) = ( 刁o ) ) = o ( 孝( f ) 劓) ) = qe x p - & t - t i 】 ( r l ( t ) r l ( t ) ) = 吒c x p 【卜，| 】 ( 孝( ，) ，7 0 。) ) = 妇( f ) 划) ) = 吧e x p 【一五卜f i 】 ( 4 3 ) q 、吒、气分别为参( f ) 、r ( t ) 的噪声强度和耦合噪声强度，五、五、也分别是 孝( f ) 、r l ( t ) 相关率和耦合噪声相关率。 ( 4 2 ) 式激励时的稳态输出是刁( f ) 彳c o s ( q ) 一2 ，孝( f ) 堕婴，是这个激励与系 d t 统冲激响应的卷积积分，x ( t ) 的形式解为： 删= 去p ) 舻( f 训】【帕) 胁s ( 砌熟) 鲁( 训咖 ( 4 4 ) 其中，q = ：霜，q = 一，+ q ，乞= 一，一q( 4 5 ) ( 4 4 ) 式对t 微分得： 百a x ( t ) = 去f 脚啪圳一驴0 。1 咖( 州州砌熟) 妄( 训咖 ( 4 6 ) ( 4 6 ) 式代入( 4 2 ) 式，整理得： 了d 2 x ( t ) + 2 ，警耐m ) 刊伽c 。s ( 云f 【q g 州f - 。一c 2 驴( f 叫) 】 乳) 玎( 材) 肌。s ( q “) 一2 ，乳) 孝( “) 妄( 训幽 ( 4 7 ) 1 9 对二值噪声孝o ) ，由s h a p i r o - l o g i n o v 公式【5 2 1 、r e l a t e dd e l e t i n gm e t h o d 6 1 1 ，可得： 嘲顺妫掣 8 ， 对( 4 7 ) 式求平均，并把( 4 8 ) 式代入得： 掣砌掣耐( 删) = 一云f k p 水卜引一c 2 e 以r 町】【( 乳) 7 7 ( 甜) ) 彳c o s ( q “) 一2 ，( 乳) 孝( 甜) ) 妄( 蝴幽 ( 4 9 ) 对( 4 9 ) 式进行l a p l a c e 变换，用x ( 刀) 、日( 厅) 分别表示( x o ) ) 和系统( 4 2 ) 激励信 号a c o s ( f 2 t ) 的l a p l a c e 变换，并把( 4 3 ) 式代入得： 【刀6 + 刀5 石+ 六+ 刀3 石+ 刀2 厶+ 须+ f o l x ( n ) = i n 3 9 3 + 胛2 9 2 + ，强+ 岛】日( 珂) ( 4 1 0 ) 其中： f o = ，吃缈2 ，石= ( 2 r m l + 2 c 0 2 ( 五+ ，) ) + 2 m a c 0 2 ( + ，) 正= ( + 4 ，( 五+ ，) + 国2 ) m 2 + 2 ( a + r ) ( 2 r m l + 2 国2 ( 乃+ r ) ) + m l c 0 2 石= ( 2 乃+ 4 r ) m 2 + 2 ( 五+ ，) ( + 4 ，( 乃+ r ) c 0 2 ) + 2 r m a + 2 缈2 ( 五+ ，) 五= m a + m 2 + 2 ( 2 乃+ 4 ，) ( a + ，- ) + 4 ，( 五+ ，) + 国2 石= 2 ( 4 + ，) + ( 2 五+ 4 r ) = r c r 3 m 2 ，= r 仃3 m 2 - ( 2 4 - r ) l g or c r 3 m 2g lr 仃3 t m 2- r ) 1 ，9 2 = r 仃3 1 2 + r 一五) 2 ， 2 ，9 22 + 一如) 9 3 = ，码，= ( q 一乃) ( 乞一五) ，m 2 = ( q 一 ) ( 乞- 4 ) ( 4 1 1 ) 对( 4 1 0 ) 式进行l a p l a c e 逆变换，可得到一个六阶微分方程，这就是系统平均输 出( x ( r ) ) 满足的方程： 掣+ 工学+ 六掣+ 石掣+ 五丁a si f ( o ) + 石掣+ 石( x ) ) = 彳( q 3 9 3 一q 9 1 ) s 试皿) + 4 ( g o q 2 9 2 ) c o s ( q r ) ( 4 1 2 ) 设方程( 4 1 2 ) 的稳态解为：( x ( t ) ) = a c o s ( d + q o ( 4 1 3 ) 将( 4 1 3 ) 式代入( 4 1 2 ) 式可得到系统( 4 2 ) 平均输出幅值增益的表达式： g = 阱藤 ( 4 1 4 ) 其中： 啊= q 3 9 3 一鸥，n 2 = g o - g 2 2 ， a = q 6 - c 2 4 五+ q 2 六+ 石，n = q 5 以一q 3 石+ 颐， t a n 驴：p 2 n 2 + p l n l ( 4 t s ) p 2 啊+ p l n 2 4 2 数值模拟 系统输出幅值增益g 是关于阻尼率，、系统固有频率c o 、激励信号频率q 、 耦合噪声强度玛以及噪声相关率 、五的非单调函数，如图4 1 - 4 5 所示。图 中星号线是无噪声时的输出幅值增益曲线，在系统( 4 2 ) 中，有噪声时的输出 幅度增益可以大于没有噪声时的输出幅值增益，有适当的噪声强度，不但不会 降低系统的输出幅值增益，反而更有利于幅值增益的提高，可以利用该特性在 噪声环境检测和弱信号估计。 图4 1 输出幅值增益g 关于激励信号频率q 的变化。 其它参数值为 = 0 4 ，乃= 1 ，吧= 2 ，r = 0 4 2 1 o q 图4 2 输出幅值增益g 关于激励信号频率q 的变化。 其它参数值为五= 0 4 ，五= 1 ，吒= 2 ，国= 0 2 图4 3 输出幅值增益g 关于噪声相关率 的变化。 其它参数值为乃= 1 ，o - 3 = 0 7 ，= 0 2 4 ，q = 0 5 。 图4 4 输出幅值增益g 关于噪声相关率a 的变化。 其它参数值为五= 1 ，吧= 0 7 ，国= 0 2 ，q = 0 5 图4 5 输出幅值增益g 关于激励信号频率q 的变化。 其它参数值为 = 0 4 ，乃= 1 ，= 2 4 ，国= 2 图4 1 、4 2 分别为系统固有频率国、阻尼率，取不同值时，输出幅值增益g 与激励信号频率q 的函数关系曲线。从图4 1 中可以看出，g 随着q 的增大出 现了一个峰值，即发生了随机共振，并且g 随着彩的增大，峰值高度下移，但峰 值的位置却不随着( - 0 的变化而变化。图4 2 表明，随着阻尼率，的增大，输出幅 值增益g 峰值减小，其峰值位置也未随着激励信号频率q 和阻尼率，的变化而变 化。故较小的阻尼率和系统固有频率有利于输出幅值的提高。这里，输出幅值增 益g 与系统固有频率缈、阻尼率，都成非单调函数关系。