（应用数学专业论文）时标上具有正负项的非线性中立型动力方程非振动解的存在性.pdf

河北师范大学硕士学位论文 时标上具有正负项的非线性中立型动力 方程非振动解的存在性 中文摘要 本文中，我们考虑时标t 上的具有正负项的二阶非线性动力方程 ( x ( t ) 一p ( t ) z ( 7 - ( t ) ) ) + 0 ，x ( a t ( t ) ) 一，2 ( 亡，z ( 盯2 ( t ) ) ) = 0 ( 1 1 ) ( x ( t ) 一p ( t ) z ( r ( t ) ) ) + 0 ，x ( a l ( t ) ) 一厶0 ，z ( 观( t ) ) ) = 9 ( t )( 1 2 ) 和具有振动系数的中立型方程 n ( 茁( t ) 一p ( t ) z ( 7 ( t ) ) ) + 乏：a 。( t ) z ( 吼( t ) ) = 0 ，i = 1 ，2 ，一，扎 ( 1 3 ) i = 1 非振动解的存在性我们总假设如下条件成立： ( 凰) p ( t ) c r d ( t ，r ) ，下( t ) ，吼( t ) c r d ( t ，t ) ，规巩( t ) = o 。，i = 1 ，2 ； ( 三易) 2 骢r ( ) = o 。，r ( ) 严格增，且p _ 1 ( ) ) 。有界； ( 凰) 五d d ( t r ，r ) 且对让0 ，u y , c t ，让) 0 ，i = 1 ，2 ； ( h 4 ) a i ( t ) c r d ( t ，r ) 总是变号的 本文的主要目的是通过构造适当的映射，分别用b a n a c h 压缩映射原理与 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理得到方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 的非振动解存在性的一 系列充分条件 关键诃：时标，非线性动力方程，中立型项，正负项，非振动解 我们的主要结果如下t 定理3 1 对于方程f j n 条件( 凰) 一( 月j ) 成立，设 在 t o ，) t a ，6 】上 ( 0 a 6 ) ，满足l 枷曲泥条件 i 五( t ，缸) 一 ( t ， ) i q i ( t ) l u 一口l( 3 1 ) 其中吼c r d ( t ，r + ) 且 r 0 0 p ( s ) 一t ) q i ( s ) a s o oi = 1 ，2 ( 3 2 ) j t 河北师范大学硕士学位论文 且，如果下列条件之一成立： ( a ) 0 p ( t ) sp 1 ， ( c ) 一1 p s p ( t ) 0 ， 则方程f j j j 存在有界非振动解 ( b ) 1 p l p ( t ) 胁 ， ( d )一o o p l p ( t ) m 一1 推论3 2 在方程r 1 2 j 中，定理3 1 的条件成立，设g ( t ) g d ( t ，r ) 满足 。( 巾m 小胪s o o ， 则方程化2 存在有界非振动解 定理3 3 在方程j ) 中，条件( 既) 一( 日3 ) 成立，设五( t ， ) 关于u 非减，且 存在正常数b ，使得 ， ( 盯( 8 ) 一) ( s ，b ) a 8 。 ( 3 5 ) j t 其中t t ，i = 1 ，2 如果下列条件之一成立： 0 ) 0 p ( t ) p 1 ，( b )1 p l p ( t ) p 2 o o ， ( c )一l p p ( t ) 0 ，( d )一o o p l p ( t ) p 2 一1 则方程r j 存在有界非振动解 推论3 4 在方程f j 2 j 中，定理3 3 的条件成立，设g ( t ) g d ( t ，r ) 满足 f f f ( 盯( s ) 一d l ，( s ) i s o 。， 则方程f 1 2 j 存在有界非振动解 定理3 5 在方程r j 刃中，条件( 日1 ) ，( 凰) ，( 风) 成立，设 ，o 。 ( 仃( s ) 一t ) l a i ( s ) l a s 0 0 ，i = 1 ，2 ，n ( 3 8 ) j t 如果下列条件之一成立； 河北师范大学硕士学位论文 ( n ) 0 p ( t ) p 1 ， ( c ) 一1 p p ( t ) 0 ， 则方程r ，列存在有界非振动解 ( b ) 1 p l p ( t ) p 2 。o ， ( d )一o o 0 ，t = 1 ，2 ； ( 凰) a ( t ) c r d ( t ，r ) 总是变号的 本文的主要目的是通过构造映射，分别用b a n a c h 压缩映射原理与k r a s n o s e l s k i i 不动点定理得到方程“j ) ，“乃和“缈的非振动解存在性的一系列 充分条件 在此之前，如果一个实值函数z ( t ) 满足方程，我们就称z ( t ) 为方程的一 个解如果一个非平凡解z ( t ) 既不最终为正也不最终为负，则称x ( t ) 为振动 的。如果方程的所有解为振动的则称这个方程为振动的这里我们把方程的解 限制在k ，。o ) t 上且满足对任意t o t z ，s u p l z ( t ) l ：t t o 0 2 预备知识及相关引理 在本节我们给出时标上的一些基本定义及运算法则，并且给出了文章中 所需要的引理 时标t 为实数集的任意非空子集，所以r ，z ，n ，印实数集，整数集，自 然数集都是时标 定义2 1 设t 为时标，对t e 定义前跳算子仃：t t o ( t 1 = i n f s t ： s 味后移算子p ：t - + t ，p ( t ) = s u p s t ：s t 则称t 是右疏的，而如果p ( t ) 0 ，jt 的一个邻域( 即u = ( t 一正t + j ) n t ，其中j 0 ) 使得对所有 s u ，有| 【，( 盯( t ) ) 一，( s ) 】一，( t ) ( 盯( t ) 一s ) ls l a ( t ) 一8 i ，则称，( t ) 为， 在t 点的导数，我们说，如果对所有t t ，( t ) 存在则称，在t 上是 可导的( 简称可导) 。 引理2 4 1 4 1 设，：t - - + r ，t t 2 ，有下列结论成立； ( j ) 如果，在t 点可导，则，在t 点连续 ( 2 ) 如果，在t 点连续，且t 是右疏的，则，在t 点可导且 = 掣 ( 3 ) 如果t 是右稠的，则，在t 点可导当且仅当 l i m 塑二丝! 存在且为有限值，这时 ，( t ) = l i r a 等掣 ( 4 ) 如果，在t 点可导，则，p ( t ) ) = f ( t ) + p ( ) ，( t ) 引理2 5 4 】如果，g ：t - + r 在t t k 上可导，则 ( j ) ( f + 9 ) ( t ) = ，( t ) + 9 ( t ) ( 2 ) ( a f ) ( ) = a f ( t ) ( 3 ) ( f g ) ( t ) = ，( t ) g ( t ) + ，( 盯( t ) ) 夕( ) = f ( t ) g o ) + f ( t ) 9 ( 盯0 ) ) ( 4 ) ( 吾) = ! ：垒； 8 铲，其中9 ( t ) g ( 口( t ) ) 。 定义2 6 设f ：t - - 4 飓如果，在t 的右稠点连续，左稠点存在有限极限， 则称，是r d 连续的把所有r d 连续的函数组成的集合记成 g d = c r d ( t ) = g d ( t ，r ) 定义2 7 设f ：t - r ，f ：t r 如果对所有t t k ，有f ( t ) = ，( 0 ，则 称f 是，的一个原函数 定义2 8 设f ( t ) 的原函数为f ( ) ，7 , ，b t ，定义c a u c h y 积分如下： 一 。 f ( t ) a t = f ( b ) 一f ( n ) 河北师范大学硕士学位论文 4 如果s u p t = o o ，。，b e t ，且l i m 。c ，( t ) t 存在，定义广义积分如下： z ”，( 。= 。1 + i r a 。j f 。6 ，( 引理2 9 4 1 ( 链式法则) 设：t _ r 是严格增的，时标雷：= ( t ) 令 u ：雪叶r 如果对t 寸，王，( t ) 与u 厶( ( t ) ) 都存在，则 ( u o ) = ( “j 厶。) p 引理2 1 0 1 4 】设a t k ，b t ，f ：tx 俨叶r 在( t ，t ) 点连续，其中 t 俨，t n ，且，( t ，) 在【a ，盯( t ) 】t 上是r d 连续的如果对垤 0 ，存在t 的 一个与r ( 【a ，盯( t ) 】t ) 无关的邻域u ，使得对所有s 以有 l ，( 盯( t ) ，丁) 一，( s ，r ) 一，0 ，r ) o ( t ) 一s ) l e l a ( t ) 一s i 其中，表示，对第一个变量求导则 f f j a c t ) ：= f c t ，r ) 缸则严( t ) = f a ( t ，r ) l x r + s ( o c t ) ，t ) ? 傅，若坤) ：= ，6 ，帕l 舢邮) = ，6 耵) r 一他一 定义2 1 1 若连续函数，：t r 在d ( 可微区域) 上是准可徽的，是指如 果d c 吵，t k d 是可数集且没有t 的右疏点，同时f 在每一个t d 上可 微 引理2 1 2 1 4 f 中值定理) 设 g 在d 上是准可微的，如果u 是以r ，s t 为端点的紧区间。则 l ，c s ，一，p ，i 。矿s u 。p n 。i ，c t ，i ) i s r 1 3 主要结果 这一节，我们给出方程f j 纠，f j 矽和f j 动的非振动解的存在性定理，这 里我们总假设s u p t = o 。，即考虑t t o ，。o ) 口，t o t 定理3 1 对于方程f j ， 条件( 日1 ) 一( 日3 ) 成立，设 在【t o ，o o ) t 【a ，6 】上 f 0 s8 6 ) 满足l i p s c h i t z 条件 i ( t ，u ) 一 ( t ，口) i q , ( t ) l u v i( 3 1 ) 塑! ! 堑垄盎堂塑主堂堡垒主 ! 其中儡c , d ( v ，r + ) 且 ， ( o ( s ) 一t ) q i ( s ) a s o o i = 1 ，2 ( 3 2 ) j t 如果下列条件之一成立： ( a ) 0 p ( t ) s p 1 ， ( c ) 一1 p p ( t ) 0 ， 则方程r j j j 存在有界非振动解 ( b ) 1 p l p ( t ) p 2 o 。， ( d )一o 。 p l 墨p ( t ) p 2 一1 证明定理证明根据p ( t 1 的不同条件分为四部分 设b c 表示定义在【t o ，。o ) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集 q = 石b c ：舰sx ( t ) 尬，t t o c 字，警，弩， 由( 3 2 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， ， ( 盯( s ) 一t ) 吼( s ) 8 c ( 3 3 ) j t ( r z ) ( ：ln + p ( 亡) ( 丁( d ) + ，。( 盯( s ) 一”f ，2 ( s ，z ( c r 2 ( s ) ) ) 一，l ( 岛石( 盯“8 ”) 】s t t i(rz)(t)tott 河北师范大学硕士学位论文 6 对每个z q ，t t ，有 ( r x ) c t ) a c 尬尬，( r z ) ( t ) so r ：+ p 坞+ c 尬墨，因此r qc q 对任意z ，y q ，t z 利用( 3 1 ) ，( 3 3 ) 我们有 ( r x ) ( t ) 一( r g ) ( t ) f p l x ( r ( t ) ) 一可p ( t ) ) i 2 ，o o + ( 仃( s ) 一圳胞茹( 仉( s ) ) 一胞y ( a t ( s ) ) l a s k 1d i 2 p ( p + ! ( 仃( s ) 一t ) 吼( s ) s ) 拶| l 所以 i i r z r y l is0 + 2 c ) l l x 0 其中1 1 1 1 表示上确界模利用c 生产 生笋，知o p + 2 c 1 ，因此r 是压缩映射由b a n a c h 压缩映射原理，存在o q 使得f x = z 由引理2 ，d 直接计算，可知x ( t ) 为方程r j j j 的一个有界非振动解 情形2 1 p lsp ( t ) 曼p 2 0 0 设b c 表示定义在t o , 0 0 1 t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集合 令 f t = z b c ：m s x ( t ) m 4 ，t t o 其中m 3 ，m 4 为正常数，且( p 2 1 ) 慨 0 使 慨一1 ) 凸 p l 一1 ) 舰 c = m i 7 1 - p 1 3 1 a 一( p 2 1 ) 尬0 l 一1 ) a 厶一a m 4 j m i 由( 3 2 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， f o o ( 盯( s ) 一t ) 玑( s ) s c ( 3 4 ) 河北师范大学硕士学位论文 7 f 竺 + 兰匕： m ，- 篙震撼可舯州州s ”m 如z i(rz)(t)tott 显然r 连续， 对每个z q ，t 之z 有 ( 剐三+ 堕p 2 一i m 4c 之眠( m 云+ 等+ 等c 慨，因此 m现p ip lp l r q c q 对任意z ，剪q ，t z 利用( 3 1 ) ，( 3 4 ) 我们有 l l l z ) 婷j l 上y ) 【t j l ；石：二1 i 1 而i z ( 丁一1 0 ) ) 一g ( r 一1 0 ) ) i + 茄两萎丘 p ( s ) r 。) ) 瞻( s 慨扣) ) 。彬h ( 5 ” s 扣+ 善厶) p ( s 卜_ r 。”“s ) 1 1 1 叫。 所以 i i r z - r y l l _ _ 紫忙刊l 其中| | j j 表示上确界模由。 i 1 + 2 c 1 ，知r 是压缩映射由b a n a c h 压 缩映射原理，存在z q 使得r z = 茹由引理2 1 0 直接计算，可知z ( t ) 为方 程f j j ，的一个有界非振动解 情形王- 1 p p ( t ) 0 设b c 表示定义在 t o ，) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集合 令 q = z b c ：1 z c t ) n 2 ，t t o 其中l ，2 为正常数，且1 0 使 n l p n 2 n n 2 c 刊礼t 宇，掣，等， ov v o 由( 3 2 ) ，存在充分大的t t o ，使当t 2 t 时， ”( 盯( s ) 一功岱扣) s c 在q 上定义映射f ：q b g 如下： ( r z ) ( 。：jn + p ( t 扣( r ( t ) ) + ，”( 盯( s ) 一【，2 ( 毛石( 观( s ) ) ) 一 ( s ，z ( 口t ( s ) ) ) 】s t ? i(rz)(t)tott 下面证明同情形， 情形4 一o o p l p ( t ) 耽 一1 设b c 表示定义在【t o ，o o ) r 上具有上确界模的所有连续有界函数的集合 令 q = z b c ：n 3 z ( t ) 也，t 芝t o 其中 r 3 ，4 为正常数，且( 1 + r e ) n 4 0 使 4 一p 1 3 o 3 一忱m c n 二学，警，- p 2 n 可4 + n 一3 - a 由( 3 2 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， 厂o 。 z ( 盯( 5 ) 一。) 吼( 8 ) 8 。 河北师范大学硕士学位论文 9 r o x ( t - 1 ( t ) ) m ，：卜篙露船1 们蛐h 胪胁州删胪丁 证明设外( t ) = m a x d ( ) ，o ，弘( t ) = r a i n 9 ( ) ，o ) 则 g ( t ) = 乳( t ) + g - ( t ) 方程r j 2 j 等价于 ( x ( t ) 一p ( ) z ( 丁0 ) ) ) + ( f i ( t ，z ( 盯1 ( t ) ) ) 一g - ( ) ) 一( ，2 ( ，石( a 2 ( t ) ) ) + 9 + ( t ) ) = 0 ( 1 2 ) 易证( 1 2 7 ) 满足定理限j ，的所有条件，因此方程f 1 2 j 存在有界非振动解 证毕 口 定理3 3 在方程似 中，条件( 皿) 一( 日3 ) 成立，设 ( t ，“) 关于“非减，且 存在正常数6 使得 ( 仃( s ) 一t ) 五( 8 ，b ) a s o 。 ( 3 , 5 ) j t 其中t t ，i = 1 ，2 如果下列条件之一成立： ( 8 ) 0 p ( t ) p 1 ， ( c ) 一1 p p ( t ) 0 ， 则方程r j j j 存在有界非振动解 ( b ) 1 p l p ( t ) 抛 o o ， ( d )一o o p l p ( t ) 仇 - 1 河北师范大学硕士学位论文 证明定理证明根据p ( t ) 的不同条件分为四部分 情形j 0sp ( t ) p 1 设b c 表示定义在l t o ，o o ) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集 合 令 q = 。b c ： 缸x ( t ) s 尬，t ) 其中尬，尬为正常数，且尬 0 使 尬 o t ( 1 一p ) m 2 c = m i n c y 一尬，( 1 一p ) 一o 由( 3 5 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， g o o ( 盯( s ) 一t ) z ( s ，6 ) s c i = 1 ，2 ( 3 5 ) j t 在q 上定义映射r 1 ，f 2 如下； f i x f 2 z( t q + p ( t 扣( 7 - ( t ) ) t t ( r l x ) ( t ) t o s t t 厂o o ( 仃( 8 ) j ( f ：z ) ( t ) 一t ) 厶( s ，z ( a j 扣) ) ) 一 ( 毛z ( 矿l ( s ) ) ) 】s t2t t o t t 靖每对嚣。y q 截鼠t 3 6 j 奄 ( r l z ) ( t ) + ( r 2 y ) ( t ) o c q 一( o 一m 1 ) = 帆 ( r l 。) ( t ) 4 - ( r 2 y ) ( t ) o + p i 如+ c o + p a 如+ ( 1 一p ) m 2 一q = m 2 所以r l z - 4 - f 2 y q ，由假设0 v ( t ) p 0 ，存在r2z 使得当 ，ifl【，-l-jll 河北师范大学硕士学位论文 t t 时，有 ，。o p ( s ) 一圳 ( 毛一，2 ( s ，6 ) 1 s ； 所以当t t 时，有 r o 。 ( r 2 ) ( ) 一( r 2 9 ) ( f ) l p ( s ) 一t ) f 阮( s ，( c r 2 ( s ) ) 一 ( s ，( 盯l ( s ) ) 】 j t 一 ，2 ( 8 f ( c r 2 ( s ) ) 一 ( s ，9 ( 盯- ( s ) ) 】i 8 z 。p ( s ) 驯厶( s ，鲰( 观( s ) ) 一 ( s ，鲰( 口，( s ) ) l s + ，。( 巾) 叫似s ，如( s ) ) 一，1 ( s ，咖( 勘伽 占 互 当l st 0 r 对所有f l ，。2 【t o ，o 。) n 当i t l t 2 i 5 时，对v y q ，有 j r 。，如z ，一r ：z ，e 如，l 坨s u ，。p hi c r ：爹，c 力j ) l t z 一如j el 坨，o 。) tj 这就证明了r 2 y 等度连续最后我们很容易看出r 2 q 在t 上一致有界因此 r 2 全连续由k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，存在z q 。使r l z + r 2 z = z 所以 由引理2 1 0 直接计算，可知盯f j 是方程f j ，j 的一个有界非振动解 情形2 1 p l p ( t ) 墨p 2 0 0 设b c 表示定义在【t o ，o o ) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集合 令 q = z b c ：l x ( t ) n 2 ，t t o 其中1 ，2 为正常数，且溉一1 ) 1 0 使 锄一1 ) 1 d i 1 ) 魁 c = m i n a 一( 忱一1 ) i ，p 1 1 ) 一口) 由( 3 5 ) ，存在充分大的t2t o ，使当t t 时， p ( 盯( s ) 一t ) 五( s ，b ) a s c i = 1 ，2 ( 3 7 ) j t 在q 上定义映射r 1 ，r 2 如下； 河北师范大学硕士学位论文 f 1 z南+ 揣t 丁 p ( 7 - 。1 ( t ) ) p ( 丁一( ) ) 一4 ( r l x ) ( t ) t o t t ( 酬牡而1 h o o ) ( 巾卜叮- l ( 啪咖l ( s ) ) ) _ ，2 ( 邺( 咖) ) ) 幽t 【( r 2 z ) ( t ) t o t t 对每对z ，y q 利用伊力有r l z + r 2 剪q ，由假设1 o ，存在d 1 = 箦 o ，对所有 t l ，2 t o ，o o ) t ，当i t l 如f t ，使得当t 丑时，有 惭) ( f ) j 0 ，对任意t l ，t 2 t o ，r 】t 当l t l t 2 i 如时，有 i p ( r - 1 ( t t ) ) 一p ( r 一1 ( 蝴 0 ，取5 = m i n 5 l ，如) ，对任意y q ，t l ，t 2 t o ，只要 l t l t 2 l 7 ，、k 河北师范大学硕士学位论文1 4 ；i ：1 i 再j _ 【f p ( r 一1 。) ) r 。可( t ) 一p ( r 一1 ( t ：) ) r 2 可( t 。) + l 扣( r _ 1 ( t 2 ) ) p ( t _ 1 ( t 1 ) ) 】r z y ( t 2 ) i 】 如( r m ) ) 勋m ) - p ( r 。池) ) 助池) i + p _ 1 1 i pt - 1 ( t 2 ) ) 一p ( 7 - 一1 0 1 ) ) i ( r z 可) ( t z ) 这就证明了r 2 q 等度连续 由q 的定义易知f 2 d 一致有界，因而r 2 相对紧又因为r 2 连续，所以 r 2 全连续由k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，存在髫q 使得f l z + r 2 z = z 因 此由引理2 j 0 直接计算，可知x ( o 为方程f j j j 的一个有界非振动解 情形3 - 1 p p ( t ) 0 设b c 表示定义在 t o ，。) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集 合 令 q = z b c ：m 3 x ( t ) sm 4 ，t t o 其中慨，尬为正常数，且邕 0 使 m 3 一p m 4 o l t 河北师范大学硕士学位论文 1 5 ( r 。) ( 幻：l ，o 。p ( s ) 一t ) 五( s ，z ( a r 2 ( s ) ) ) 一 ( s ，z ( 吼( s ) ) ) s t t i ( f 2 x ) ( t )t o s t t 设b c 表示定义在【t o ，o o ) v 上具有上确界模的所有连续有界函数的集 q = z b c ：3 z 0 ) 4 ，t t o 由( 3 5 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， ，。( 盯( s ) 一曲 ，6 ) s c i = 1 ，2 在q 上定义映射r 1 ，r 2 如下； m 州归i 一南+ 揣幽 i ( r l x ) ( t ) t o t t ( 酬归l 志己s ) 一下_ 1 ( 瑚酬堋叫s 州删) 】s 咄 l(r2x)(t)tott 下面类似情形2 定理证毕 口 推论3 4 在方程r 力中，定理3 3 的条件成立，设g ( t ) g d ( e r ) 满足 p ( 8 ) 一t ) l g ( s ) l a s o 。， 河北师范大学硕士学位论文 1 6 则方程r j 2 j 存在有界非振动解 证明设外( ) = m a x g ( ) ，o ) ，g - ( t ) = m i n d ( t ) ，o ， 则 g ( t ) = 外( t ) + g - ( t ) 方程( 1 2 ) 等价亍 ( x ( t ) 一p ( t ) 石p ( t ) ) ) a a + ( a ( t ，x ( 0 1 ( t ) ) ) 一g 一( t ) ) 一( 丘( t ，z ( 口l ( t ) ) ) + 乳0 ) ) = 0 ( 1 2 7 ) 易证( 1 2 ) 满足定理p 引的所有条件，因此方程f j 2 j 存在有界非振动解 证毕口 定理3 5 在方程r j 到中，条件( 日1 ) ，( 丑2 ) ，( 丑4 ) 成立，设 p 0 0 ( 盯( s ) 一t ) l a i ( s ) l d s 。，i = l ，2 ，犯( 3 8 ) j t 如果下列条件之一成立z ( a ) 0 p ( t ) sp 1 ，( 6 )1 p l p ( t ) p 2 o 。， ( c )1 p p ( t ) 0 ，( d )一o o p 1sp ( t ) 耽 一1 则方程r ，别存在有界非振动解 证明设条件r 力成立，其它类似可证 设b c 表示定义在i t o ，o 。) t 上具有上确界模的所有连续有界函数的集 合 令 q = z b c ：尬x ( t ) m 2 ，t t o ) 其中尬，为正常数，且舰 0 使 m 1 o f 1 一p ) i 2 c 酬k i a - 尬m 1 ，警 河北师范大学硕士学位论文1 7 由( 3 8 ) ，存在充分大的t t o ，使当t t 时， ，o o 7p ( s ) 一t ) i a i ( s ) l s 墨c i = 1 ，2 ( 3 9 ) ， 在q 上定义映射r 1 ，r 2 如下： ( r l z ) ( 玲： 。+ p ( 亡) z p o ) ) r i ( f l x ) ( t ) t o t t ( r 。) ( 力： 一z 。( 盯( s ) 一t ) 喜a 。( s ) z ( 矾( s ) ) s t t l ( r 2 x ) ( t ) t o t t 对每对z ，y q 利用p 9 j 有 ( r t 州t ) + ( r 。酬t ) 。一礼c 一竹尬专等= m ( r l x ) ( t ) + ( r 2 y ) ( t ) + p m 2 + 札尬c = 所以r 1 茹+ f 2 y q ，由假设0 p ( t ) p 1 可得r 1 为压缩映射下面 我们证明r 2 全连续首先，r 2 关于y 连续，事实上，设 鲰 芒1cq ，使得 对y q 和每个固定的t 有l i ml l y k 一圳= o 利用( 3 8 ) ，得 i i ( r 2 y k ) t 一( r 2 y ) t l l s u pi i ( r 2 y k ) t 一( r 2 y ) t l i , , c l l y k y l i - - - ) 0 ， t e ，o o ) t 其次，如q 等度连续事实上，伊仃( s ) f a ( s ) f s 与r p ( s ) 一酬a ( s ) f s 有相同的收敛性，则利用旧9 j ，存在正常数e ，当t t 时，有 p o o i ( r z ”) ( t ) i = if a ( s ) g ( 吼( s ) ) s | o i = 1 ， m 2 a ( s ) l a i ( 8 ) i 8 一， i = 1 o o ，对所有 t l ，t 2 【t o ，。o ) t ，当i t l t 2 f 5 时，对v y q ，有 i r ：妙c t t ，一r 。c t 。，i 坨s u ，。p hl c r 。，c t ，i ) i t - 一t 。l 1 ，珏州，上，考愿一所非线性功力万萑 ( 坤) 一互1 z 百tj ，a a + 酾q + l 张孝) 一瓣q + lz 3 ( 嘉) = 。( t 坷) 其中，。 p ( ) = 互1 l ，仃( 幻= t ，国( = 嘉，r ( f ) = ； 肫乱) = 而q + lu 2 ，讹“) = 硒q 葡+ l i “3 对于u 【0 ，l 】，有 札) 州加) l 端i 钍刮 i a ( 柚) 咧枷胚蒜瑞卜训 f 蒜蒜c 4 皿= 薹等警茅”啦。 ，= 牮川。q k 研_ q a f 器等叫皿= 妻等警c 渺 = 学妻k = 4 窑g 0 ，k z ) 上，考虑二阶非线性动力方程 ( z ( ) 一2 0 + ) ) + q l ( t ) z 一九) 一9 2 ( ) z ；0 2 h ) = 9 0 ) 0 3 h ) ( 4 2 ) 她“牡而希 9 ( t ) = 两面雨- 2 疆砸 础) = 两器 肌m = 耳蒜矗 脚) = 而器淼矗 在时标上盯( t ) = t + h ，p ( t ) = h ，因此有 t + h - 3 h ) 一丽22 h ) ta t1- 一百而 p “， = f 高舞出2 以。面习丽了瓤出 = 。，、。2 ( k h - 2 h ) k h3 h ) ( k h2 一h ) k h | i l - 一! i 。 i h 妻龋 o o色 + 3 ) ( + 2 ) 七 f 3 ：( t + h - 3 h ，两黹高赢t 2 h ( k h 一 ) ( h 一2 h ) “ 一色( + 3 h ) ( k h + 2 危) ( 南 + ) ( 七 ) ” = 丢妻蒜黼1 ) k o 。 一 惫( 后+ 3 ) ( + 2 ) ( 七十 、“ 河北师范大学硕士学位论文 。( t + h - 3 h ，两器t 一l o h ( k h 一哟 ( 七是一2 ) 2 厶k 丽了了而n乞= 3 ( 七_ z + 3 h ) ( k h + 2 h ) ( k h + h ) k h ” = 嚣薹蒜龋 o 。 又因为( t - ! ( ) ) = 1 有界，这样就满足了推论3 4 中的条件，因此方程“乃 存在一个有界非振动解茹( t ) 事实上，茁( t ) = 就是这样的一个解 河北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 ，l h e r b e ，q k o n g , b g o z h a n g , o s c i l l a t o r y t h e o r y f o r f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a - t i o n ，d e k k e r , n e wy o r k , 1 9 9 5 2 y u a n h o n gy u ，h o n g z h o uw a n g , n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f s e c o n d o r d e rn o n l i n e a r n e u t r a l d e l a y e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p j 3 1 1 ( 2 0 0 5 ) 4 4 5 - 4 5 6 3 w z l i , p o s i f j v es o l u j o n s o f s e c o n d - o r d e r n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a d o n s j m a t h a n a l a p p l 2 1 1 ( 1 9 9 8 ) 3 2 6 - 3 3 z 4 m b o h n e r , a p e t e r s o n d y n a m i ce q u a a o n so nt i m es c a l e s a n 如d u d 伽 谢l la p p l i c a t i o n s , b i r k h i i u s