（运筹学与控制论专业论文）时滞抛物型微分方程最优控制问题的必要条件.pdf

摘要 、t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h en e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o ro p t i m a lc o n t l o l p r o b l e m sg o v e r n e db y s o m ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a yt h es l a t ec o n s t r a i n ti sc o n c e r n e d k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ，t i m ed e l a y ，s t a t ec o n s t r a i n t 厂 文章讨论了时滞抛物j 【l ! 微分方牲最优控制问题的必要条仆，州。考虑了状态控制 关键词：最优控制时滞状态控制 时滞抛物型微分方程最优控制问题的必要条件 1引言 时滞抛物删微分方科最优控制问题曾被升多0 者讨沦过( 她 4 ， 5 ， 6 ， 9 ， 1 0 ， 1 1 ) 然而，上述l 作均木考虑状态控制刘吕良( 1 ) 曾研究_ 州滞抛物喇微分方程最 优控制问题的必要条什其中时滞项是线j ：的 本文讨论了时滞抛物删微分方程最优控制m 题的必要条什，并考虑了状态控制新颖 之处在丁状态方科中时滞项是1 i ：线性的，hh 介 f 了+ 种处理状态控制的跚函数 引进这一罚函数的思想是受之1 。 3 的启发， ：j 讨论r 抛物删变分不等式的最优控制 问题，其中讨论了状态控制 必须说明的是本文讨论的状态控制是粘体m 内，井术考虑两点的状态控制对r 该类 型的状态控制的麻川，建议读者参看 3 ， 7 与【j2 本文的结构安排是：第一部分，阐明土要刚题；第一部分，给山九：i 止明土要结果：第 二部分，给出一些例子 殴h = l 2 ( f f 2 ) ，其中q cr “是具有光滑边外的有界区域，q = q ( 0 ，7 1 ) 我们将讨论如r 形式的抛物，弘微分方剃鹾优控制问题： y ( r ) + a y ( t ) + f ( y ( t h ) = b u ( t )a e 在q 上， ( 1 1 ) y ( t ) = y 。( ，) 1 ( 一h , o 】， 状态控制是 f ( y ) s ( 12 ) 性能指标是 ( y ，“) 2j ， g ( ，y ( ，) ) + m ( ，) ) m( 1 3 ) 对r ( 1 1 ) 一( i 3 ) ，有如f 假设： ( 。) v c h 是实h i l b e r t 空间，v 住h 巾制南，v c h c v 魁代数和i 拓扑i 投入的， 矿足矿的对偶空间而j i ，v 剑h t f i 的嵌入l 映f | f 足紧的 a ：v v 是线性连续的对称算f 满址似：| j | j 性条什 ( 爿y ，y ) o , l l y l l i a | | ，y | | ；，列丁所有的y v ， ( 14 ) 其中珊 0 ，a r ( h ! ) 厂：h h 是l i p s c h i t z 连续的，其1 1l i p s c h i t z 常数l 0 ( h 3 ) f ：l 2 ( 0 ，7 1 ；矿) jy 是c i 的，其r f y 足b a n a c h 空间，其对偶空间y 。是严格f l l ( h 。) b 是从实h i l b e r t3 e i 司u 剑h 的线性连续算子 ( h 5 ) h ：u 斗瓦= ( - o o ，o 。】是凸的r 、i 近续泛函而h ，存在常数c i 0 ，c ! r 满 足 ( “) c t l l “1 1 j 十c ：，其中“u ( h 6 ) g ： 0 ，7 1 h 斗r + 关丁：r 足, i n r i “j ，外h 对r 任意的， 0 ，存在与，无关的常 数三， 0 使得g ( t ，o ) r ( o ，7 1 ) ，j i ：| 1 刑j ：所仃的t o ，7 1 ，l l y 忆+ l l - = i l 。，t 小苜一 i g ( ，y ) 一g ( t ，z ) i l ，i l y z 0 。成土 ( h ，) y o ( s ) c ( 一h ，o 】；) n r ( h ，o ；矿) 定理1 1 若假设( h 。) ，( h ! ) 与( h ) 成_ ，州对_ 任意的 ( ) f ( o ，丁；，) ，y o ( f ) c ( 卜h ，0 ；h ) f i r ( 一h ，o ；y ) ，h - n ( 11 ) 有唯的解y ( ，) c ( o ，】；) n ( o ，丁；y ) n ”( ( o ，r 】：h ) 证明：令= m i n ”e v l 吾一 ，= 吾 易知方程j y i + 爿y u + 儿。一“= 口“。5 o ，1 有唯解y ( f )易知方程 。 我们考虑如r 逼近方程： y ( f ) + a y ( t ) + ：_ ( y ( ，一妇) ) = b u ( t ) ae ，( o ，7 1 ) ， y ( t ) = 虬( ，) ，( 一，7 ，o l i 刊定卫1 11 1 的讪川纠力泄i ，b i i i 力w ( 2 1 ) f j | | m 角fj ( ，) c 1 ( 【o ，】：h ) i g l - 【0 ，7 1 ；f ) w ( ( o ，7 1 】；) 引理22 s o 给定，蹬“。l 2 ( 0 ，7 1 ；，) ，j f 。j - 玎，f ：且y 。，夕分 j j 是方f b l ( 2 d ) 相廊t u 。，五的解，! j ! i j 存侄砂。 的，- f l j ，小妫f _ l j i _ 为 y 。 满足：在f ( f o ，t ；t t n l 2 ( o ， ，；v ) 中，j 斗歹 证明：令y 。，“。，分 j i j 取代力1 ；1 1 1 ( 2 4 ) 。0j ，l ，州 y ：，( f ) 十砂。，( ，) + ，：( y 。，( ，一 ) ) = b u 。，( ，) a e ，( o ，t ) ，( 一h ，0 】 ( 2 5 ) 方样( 25 ) 两端同乘以y 。爿：n ：( o ，) i ，| ：i ! 分，媸r 1 1 ，( o ， ，m ( h 1 ) ，( ! ) ，( 4 ) 与引理2 1 川得： k ，( ，) 旺+ 2 w 勘虻出c + 西刖| | ；，幽+ 艿刖乩忆出+ c 6 剧，旺凼 其中占 o 是任意的，c 0 0 ，百 0 ，( 0 h 1j i 似。， 足仃抖的，( ；r o n w ；- t 1 i 小等，州。 忱，( ，) | | ( ， 当”= k o 一1h 1 ，假i 殳 i i y 。，( ，) i 。1 0 。，+ i i y 。钮“c ( 2i ) ) ( 27 当 = k + 1 时：方样( 2 5 ) 两端同乘以y 。，j i ：在( o ，) j ：积分，其中，( 0 ，( 七+ 1 ) h o 】 由( h i ) ，( h ! ) ，( 4 ) ，( 2 7 ) ! - j 0 1 理2 i j f ：j 忱，( ，) 峨+ 2 w 刖盯办- o 是任意的，c - 0 ，a l o ，c 0 由r 缸。， 是有界的，r hg “) n w n i i 小书- 匕l 仲f 冈此，我们得剑 i i y 。，( ，) i ( h 【。+ ，+ | | y 。+ 。，c 帆( 圳| i 。+ l y 。忆，( ( 2 8 ) ( 2q ) 方程( 2 5 ) 两端分别同乘y ：，a y 。，j 1 亿( o ，7 1 ) 卜积分，由( h i ) ，( 2 ) ，( j ) ( 2 【) ) 利引理2 1 可得： 仙：j | | ：，加+ 枷砂。( 叫| ；，( i t ( ( 21 【) ) 山( 2 9 ) t ( 21 0 ) ta n c ( ，ii a l z e i ；j 正川。j i i l l 紧讹r j l 川! 知i ：仃n ： y 。) 的，列，小 妨仍i o 为 y 。) ，满足： 令 我们有 y 。_ j ，n ：( 0 ，7 1 ，) n c ( 1 0 ，】；，) i y 。，塑斗爿y 仃 ! ( 0 ，厂；) i 卜 l ：! _ j ，hr ( ( 、7 - 1 1 ) ，( 一h 0 】 j 0 斗j ，以：l 2 ( 一h ，7 1 ：) n ( ( 卜 ，7 1 】；h ) m i ，：( y 。( ，i ) ) 寸。( y ( ，一 ) ) ，1l - ( 0 ，r 厂；) r i t ，、1j 7 i o o | i 、|( 21 1 ) 方张( 25 ) 两端收极限，令斗o 。，j 知 从而y = 歹 定义i u 函数l ，：l 2 ( o ，7 ：u ) 寸r 为 y ( ) 趟方种( 2 5 ) 刘席丁玎的解 。( “) = f 【g 。( ，。) + ( ，) l 肌+ ；i i , - , , 1 1 1 。川，+ 矿卉i i h ”+ 扩叫+ o ， ( 21 2 ) 其中y 。y 5 分别足万槲( 2d ) 刈心jz , f ，1 1 9 胛g 。，也分) j | j 山( 22 ) ，( 23 ) 给 山文( ，( j ，。) ) j f 1 9 堪f ( j ，。) 剑s 的i 离 逼近埽仇控制f , j 题如r ： ( p 5 ) m i n l 。( 1 仉j 阱“l 2 ( 0 7 ； 首尢，我们证明( p ) 题最优解的耵化 定理21 ( p 。) 问题争少仃个胜优m f 证明：改s o 给定显然l 。( 叫 一 殴d = r n f l 。( “) ：“l 2 ( 0 ，7 1 ；己，) “。 址极小序列，满足 d 。( “。) d + 二 ， 由( h s ) ，( 6 ) 与( 21 2 ) ，：l 【：扛。 九1 2 ( o ，；u ) - i t 仃界不火 般性，不妨假设n l 2 ( o ，7 1 ；u ) 中，i l 。坐l 订( 必理时l 叮般j cj 州) 由引理2 2 知：存住 y 。) f 内f 列，仍址为 v 。 ，满址 m 。+ 歹住l 2 ( o ，7 1 ，v ) n ( ( ( 0 ，t i ；h ) 小 由丁f ：r ( o ，丁；矿) j y 是c 1 的，从m f ( y 。) 斗f ( 夕) d 。( f ( y 。，) ) 斗d 、( f ( 歹) ) 如( f 儿) d r 一似n n 另方而，h 。魁r 、r 连续的i j - 函数，从m i 址弱i i 、r 连续的，冈此 地一。f 吃( ) 折f 吃( f i ) d t 由( 21 2 ) ，( 21 3 ) ( 2 1 4 ) ，( 2 15 ) ，( 2 i n ) 矶l 。( 玎) = d ( 21 4 ) ( 21 5 ) ( 2 1 6 ) 引理23 改“。e ( 0 ，7 ；u ) ，j ，。盐斗f ，nl 2 ( o ，7 1 ；u ) r 卜，y 。址山f 键( 2 4 ) 1 应j + “。的解，则存在f 列 s 。， ，、1 1 占。寸0 时1 ，柚l - ( o ，t ，v ) i g ( 1 ( o ，丁 ；，) 叶】 y e ，斗y ，如 y 坫圳i ! ( 1 1 ) j | _ | 府h v 7 证明：令y 。，j f 。分刖嫩代( 2 4 ) n 1 的j ，“， y ：( ，) + a y 。( ，) + l ( y 。( ，一a ) ) = 口f ，。( ，) a e t ( o ，7 1 ) ， ( 217 ) 儿( ，) = y , i ( f ) ( - h ，0 1 方剧( 21 7 ) 伊, ij 7 , 1 同乘以y 。爿f i i ( o ，f ) j 杉! 分，其。1 ，( 0 ，h o 】，由( h i ) ，( h 二) ，( h 4 ) 与引理2l 可得： 1 i 儿( 叫i ；，+ 2 w f l l y 。虻出c + i l y , | | ；，幽+ 占刚儿眩幽+ ( 1 。刚虬旧c 出 其中占 o 胜f t 意的，1 2 o o ，( 0 0 ，( 0 利川( , r o n w a l 1 1 i ：9 = 式义 “。 址自7 f l , j ，, l i f u i l y 。 ) l l 。【0 “l 。+ l l y m 。“，( 1 ( 2 1 h ) 当”= k l n 一1 | | 寸：假设 忱( 刮| “i 。+ 忆。，c ( 2 1 9 ) 当”= k + 1 时：疗程( 21 7 ) 两端同乘以y j f 住( o ，f ) l ：积分，其c t ，( 0 ，( 七十1 ) h o ，由( 1 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) ( 2 1 9 ) l j , j i s b2l l j f 得： 叫n 2 w 胁斯幽c + d fu 州，肌( j 肌。舭时占f i l y 肌“， 其中占 o 是任意的，口 o ，巴 0 ，( 1 0 币o h 4g r o n w n 】1 刁i 等式。义 h 。 越f r 抖f 门，从l m 忱( 叫h 。m 。，+ i l y , i h 。肌j ，c ( 2 ，2 匹l 此 ( 2 2 方槲( 2 i7 ) 两端分) 川同乘以y ：a y 。，j i 九( o ，7 1 ) 卜积分tr h ( h 1 ) ，( ! ) ，( h j ) ，0 理2 1 与( 22 1 ) 【j ，得 满足 令 从而 闪此 仆“叫胁+ f i i a y ) 眩d t 0 由r s 灶i “1 川集从向f ( y ) = l i r a 一。，。1 ( j ，) s ( 歹，玎) a 川，l ( y ，万) 2l ( y ，i t ) m h l ( “) = ( j 一，f ，) 从而 “。 ? f 住r ( o ，7 1 ：u ) ( 2 2 8 根据引理2 3 ，y 。斗y 扯c ( 【o 、7 i ；h ) n l - 1 0 ，7 ；j i h 并儿歹= y _ 改堙是y 斗g ( 1 ，y ) 的j 义梯度，a 址 的次微分 没z + = ( h 、( q ) ) + v 是z = h 1 ( q ) n v f h 刈偶。一问，其中s n 2 r 丽我们给山关r 最优性必婴条什的卜蛆绀小 定理2 2 设( y ，+ ) 是 日题( j r ) ) 的最优刈f 1 5 设( h i ) 一( j 【，7 ) 均成、 ，那么存红函数 p c t ) r ( o ，7 1 ；h ) n l 2 ( o ，7 1 ；v ) 7 1 b v ( 0 ，7 】；z + ) ，苣，y ，掌( ，) 2 ( o ，7 1 ；) ， ，r ，其一 九0 ，满址 - _ - 一- p 一a p 一( f ( y ) ) 专，z ( o ，7 ；h ) p ( ，) 一a p ( t ) 一( f ( y ) ) 毒。一舌( ，) 丑，弛( ，j ，) a e t ( 0 ，t 一 ) p7 ( ，) 一a p ( ，) 一( f ( y ) ) 专， ，o g ( t ，j ，+ ) l e ，【t h ，7 ) p ( t ) = 0 o 其中甜s j 1 h ( 2 0 ， 。) 0 的解 口，( ，) 2 0 0 h ( u + ( f ) ) ，ae t ( 0 ，7 1 ) 证明：改“；是( p ) j 刈题的最优解，y 。址山f 、! ( 24 ) 相席j ：i ，。的解 对任意的v l 2 ( 0 ，7 1 ：u ) ，令“：= 材。+ 2 v ，h 叶五 o ，y ：是方剃( 24 ) 相应1 ：z f ： 引圳2 2 ，i l l ：1 1 丑一。州，：一j ，。仃( ( 1 0 ，7 1 】；h ) nl - ( o ，7 1 ；矿) 由丁i t 。是最优解，从而l 。( j ：) l 。( i q ) 刈任意的五 o ，v l - 1 ( 0 ，7 1 ：u ) 均成 f qj t l l 。( 甜：) 一。( f ( 22 9 ) 改v g 。( ，y 。) 地g 。对f - 筇个变址n y 。处n 1 梯度，v 也( “。) 是h 。以：2 ，。处的梯度，! j ! | j m 。，f 出譬型( ，= f c 嘲，研， ( 2 ，) j t t i z 。c ( o ，】；h ) n f ( o ，7 ；v ) n w ( 1 0 ，7 j ：，) 满址 z ：( ，) + a z 。( ，) + i ；( y 。( f 一 ) ) ：。( ，一h ) = b y ( t ) z 。( ，) = o ，( 一h oj i m a g of 业学世讲 ( 2 ： f d t ， ( 2 ： 2 f d t ， 3 3 ) n r n 塑盟墨糟糕半 2忐【以(f(yr)+iiy。一，忆。，】c乞，f(y。)乙 其中z 。是方科( 2 3 1 ) 的解，j 1 儿 r v d s ( f ( ) )f ( y 。) s ， 分l i o 州强 由丁s 足凸闭集，从而 蚓i ，= 1特f ( j 一。) s 令 由( 2 3 5 ) 与 冈此不妨假设 ，炒一y + i t ，。， 铲丽d s 面研芦雨= ( f ( 儿) ) + 杪叫仉 ( 2 3 6 ) 矢 一 1 五。+ j i 掌。i i ，2 ( 必要时可取f 州) 五一九，玺斗f 。弱n y + - 扣 ( 23 4 ) ( 21 5 ) ( 23 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 ： 8 ) 由( 22 9 ) 一( 2 3 4 ) 可得： 以f c 。( ，儿) ，乞，础+ fc v ( n ) ，v ，折 + 九f 加 ( 扒渤 令s = 7 0 ，己戋h 述问题 fp ：( ，) 一却。( ，) 一( ：( j ，。( ，) ) ) p 。( ，+ ) 一i f ( j 二) r 夤一五。v g 。( f ，y 。) = 0 ，( o ，t 一 ) ， p ：( ，) 一a p 。( ，) 一i f ( y ，) 善。一九旷g 。( ，y 。) = 0，【t h ，7 1 ) ， ( 2 d o ) ip 。( 7 1 ) = 0 有唯解p 。( ，) c 1 ( f 0 ，t i ；h ) n l - ( o ，7 1 ；矿) n w 。! ( i o ，7 1 1 ；) 为f _ t t j 、u p 。j 的收敛性，找仃j 与店i 、 1 ：l l l p a o a p 。( ，) 一 f 7 ( 儿) + # 。一五。v g 。( ，y 。) = 0 t i t 一 ，r ) ， p 。( 7 1 ) = 0 一 由引理2 4 知：y 。斗y + 在c ( 【o ，t i ；h ) 0 l 2 ( o ，；y ) 中，依据 8 中的证明与引理2 2 的方法，叮得存住p ( f ) b v ( t h ，7 1 ；z ) n l 2 ( t 一向，丁；y ) n r ( 7 1 一 ，7 _ ：h ) 0f 列 斟 ，满足 p 川、一p 1 在c ( r 一向，丁 ；h ) n f ( 7 一向，7 ；矿) 中，( 24 1 ) p 。斗p 1 弱+ 住r ( 7 1 一 ，7 1 ；h ) 中， 其中z + = ( h5 ( q ) ) + v 是z = h 、( q ) n v 的对偶空间，s n 2 ，并且 p “，( f ) 斗p l ( ，) 在z 中，其中， t 一 ，t ( 24 2 ) ft 令n o = m i n n n i 二- h l j 考虑如r 问题 p ：( f ) 一a p ”( ，) 一( 矗”( y 矗- ，) ) 。p 矗，q + ) 一 f ( y 。) 】龟”一t v g 。( f ，y 矗”) = o f 【t 一2 h ，t h 】 ( 24 3 ) 由丁| 已知p 。( f + 矗) 在【r 一2 h ，t h i 上的值， p 叫，( 7 1 一向) 在h 中是有界的，对厅 程( 2 4 3 ) 利用同样的方法可得：存在p 2 ( ，) b v ( t 一2 h ，t 一明；z + ) n l z ( t - 2 h ，t 一 ；v ) n l 。( t 一2 h ，t 一 ；日) 与慨2 c 扛 ，满足： p ；一p 2 4 e l 2 ( t 一2 h ，t h ；v ) f - c ( t 一2 h ，t 一明；h ) 中， ( 24 4 ) 弱+ 在。( 7 1 2 ，t 一 ；h ) 中， p m ，( r ) 斗p 2 ( f ) 在z 中，其中f t 一2 h ，t h 】 ( 24 5 ) 利川递推法，我们可得函数p 。b v ( 0 ，t 一( n o 1 ) 】；z + ) n l 2 ( 0 ，t 一( 一1 ) a ；y ) r z 。( o ，7 1 一( n o 一1 ) h ；h ) l j c 砖“。” ，满足： p 。一p 在r ( 0 ，丁一( 月。一i ) h ；v ) n c ( o t - ( 一1 ) 明；) 中( 24 刚 弱+ 在r ( 0 ，t - ( n o 一1 ) ；h ) 中 p 。，( f ) 儿( f ) 在z 中，其中， o ，t 一( ”o o h ， ( 24 7 ) 豫。( ，y 一，) 手叩弱+ 在u ( o ，丁；h ) 中，其中吁( ，) 堙( ，y ( f ) ) a e ，【0 ，7 1 】- ( 24 h ) 令 rn ( r )，【t n h ，t 一( 一1 ) ) ，1 s 月n o 一1 ， p ( r ) = j 1 只。( ，) ，【o ，t 一( n o 1 ) h 】 从而可得p ( f ) b v ( 0 ，r 】；z ) 1 - 1 r ( o ，7 t ；v ) n u ( o ，丁；h ) ，序列扛 满足： 4 ( 咖( 悔) ，。j 。( h ) _ l 删九! l 2 ( 0 ，7 1 ；h ) 中， p d ( f ) ，) ( ，) 往f ( o ，t ；v ) n c ( o 7 1 1 ：) 中，弱+ 住r ( o ，r ：h ) 中 p 廿。( ，) jj f ，( ，) ( 1 i z + 扎蚶i + ，【0 ，n 由 i f ：r ( 0 ，7 1 ；v ) y 是连续l j j 微的，从 ( 2 4 9 ) ( 25 0 ) ( 25 1 ) ( f 7 ( y 。，) ) 毒。，一( f ( y ) ) 夤，柙：l - ( 0 ，7 1 ；矿) 中 ( 2 5 2 ) 令方删( 24 0 ) 丽端， o ，由( 24 8 ) ，( 24 9 ) ，( 2 5 0 ) ( 25 1 ) 与( 2 5 2 ) 得：p ( t ) 满足方桦 r p ( ，) 一a p ( t ) 一 f ( y ) r g 。一g ( ，) 五。，p g ( ，y ) ae ，【0 ，t 一 ) p ( ，) 一a p ( t ) 一 f7 ( y ) r 氧，丑a g ( i ，j ，+ ) a e r 【7 1 一，7 1 ) ，( 2 5 ：” 【p ( 7 1 ) = 0 ， 井且 p ( ，) 一a p ( t ) 一【f ( y ) r f 。f ( o ，7 1 ；h ) ， 其中p 琏住v 值分布意义r 的导数 由( 2 3 1 ) ( 2 3 9 ) 与( 24 0 ) , i l 得 以f v 吃( 虬) ，v 财一f c n t f d t ， ( 2 5 4 ) 其中v ( o ，7 1 ；u ) 根据引理2 4 ，“，寸“1 刍：1 2 ( o ，t ；u ) 中，找们可以得剑( e 8 ) ) f v 吃( 虬) ，v 财斗f 莉，v 姗，舯o h ( u * ( ，) ) ae ，( o ，7 1 ) ，( 2 5 5 ) 其中v r ( o ，丁；u ) ，o h 指的是h 的次微分 令不等式( 2 5 4 ) 两端s i ”一o ，m ( 2 5 0 ) o ( 25 5 ) 可得： 厶f d t f d t o ， ( 2 其中v r ( 0 ，7 1 ；u ) 从而 b p ( ，) 九o h ( u + ( ) ) a p ，( o ，7 1 ) ( 25 7 ) 巾丁玺o d s ( f ( y 。) ) ，刚此对任意的似s ， 0 或 ，其中s ( 2 5 8 ) 从而 0 ，其中山s 可断定( 九，彘) o 否则。如果- z o = o ，由( h ，) ，s 有有限余维数，则s f ( y ) 有有限余维数 从而由( 2 5 8 ) 知：彘- - - ) 鲁j ( ) 弱九，h 一 3应用 往这喑i j 分，我仃j 将利川定罔122 圳究个削f 考虑最优控制问题 ( p ) m i nfk ( ，j 印) ) 十 ( “( f ) ) k ， 其中 y ( ，) + a y ( t ) + f ( y ( t 一 ) ) = b u ( t ) a e ( x ，) q ， y ( ，) = y o ( f ) t ( h o 】， 状态控制为 f ( y ) n n ：该例n h = f ( q ) ，v = ，。：( q ) ，u = f ( ( ) 、n t l ) a = 一，b = z ，j 7 = 月，玎7 c o 定义f ：l 2 ( o ，7 1 ；矿) 斗y 为： f ( y ) = ( y 啊，l y 如，j e h 6 1 一，6 。，】c r ， 其中 ，如，在r ( q ) 中是线性无关的，s = c 小6 。】【口。吮，】 假没f ，g ，h 与y o ( t ) 满足条什( h 2 ) ，( h ；) ，( 月。) 0 ( j 【，) 综上所述，条什( h i ) 一( h ，) 均满足，此我仃j “j ? o ) l j 定理22 得剑该问题的必要条 引 参考文献 】c ll i u ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ro p t i m a lc o n l lo lp r o b l e m sg o v e r n e db ys o m ep a r a b o l i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a ym a s t e rt h e s i s 2 jy o n g ，m a x i m u mp r i n c i p l eo fo p t i m a lc o n ho l f o lan o n s m o o t hs e m i l i n e a re v o l u t i o n s y s t e m ，l e c t u r en o t e si nc o n t r o la n di n f o t m a ti o ns c i e n c e ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 4 4 ( 1 9 9 0 ) ，5 5 9 。 5 6 9 【3 】g sw a n g ，o p t i m a lc o n t r o lo fp a r a b o l i cv m a t i o n a li n e q u a l i t y i n v o l v i n gs t a t ec o n s t r a i n t n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t oa p p e a r 【4 ji s s a d e k ，o p t i m a lc o n t r o lo f t i m e d e l a ys y s t e m sw i t hd i s t r i b u t e dp m a m e t e r s j o m n a lo f o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s w ) l6 7 i ) p5 6 7 5 8 5 i9 9 0 1 5 1k n o w l e s ，g ，t i m e o p t i m a lc o n t l o lo l p m a b o l i cs y s t e m sw i t bb o u n d a r yc o n d i t i o n si n v o l v i n g t i m ed e l a y s ，j o u r n a lo f o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，v o l2 i ，p p5 6 3 5 7 4 ，1 9 7 9 6 1l i o n s ，j l - o p t i m a lc o n t r o lo f s y s t e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e r 。 v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 7 1 【7 】x 乩j y o n g ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o lo fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s s i a mjc o n t r o lo p t i m2 9 ( 1 9 9 i ) 8 9 5 - 9 0 8 【8 】v b a r b n ，o p t i m a lc o n t r o lo fv a r a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，p i t m a nr e s e a r c hn o t e si nm a t h e m a t i c s 10 0 ，l o n d o n ，b o s t o n 19 8 4 9 w a n g ，r kc ，o p t i m a lc o n t r o lo