（无线电物理专业论文）一种基于矩形波导的液体介电常数测量方法研究.pdf

摘要 一种基于矩形波导的液体介电常数测量方法研究 无线电物理专业 研究生钟淑蓉指导老师刘长军教授 摘要：在微波化学实验研究中，微波化学反应器是系统的核心部分。在使 用波导型微波化学反应器的实验研究中，多数液相化学反应都是在置于波导中 心的试管或烧杯中进行。在液相微波化学反应过程中，实时得到液体的复介电 常数对理解化学过程有重要的意义。 通常有很多基于波导的方法可以测量得到液体的复介电常数，例如：波导 终端短路法、谐振腔微扰法、波导微扰法等这些方法都各有优点，但用在需 要实时得到反应过程中液体的复介电常数时就有些不便，如采用谐振腔微扰法 就必须不断地取样以测量得到液体的复介电常数，而终端短路法和波导微扰法 较适合固体样品的复介电常数测量本文基于b j 2 2 波导系统，通过测量s 参数 来计算液体复介电常数的方法来解决这个问题。即先测量得到s 参数，然后用得 到的s 参数来计算液体的复介电常数。 首先，在理论上研究了盛满液体的试管加载的波导系统( 二维) s 参数的 计算，给出了三维情况下利用有限元方法求解电磁场从而获得s 参数的方法。 然后用基于有限元的数值模拟方法来研究实际波导系统中，s 参数随入射 波频率、液体介电常数、液体柱高度等的变化规律，得到了在这些情况下，试 管壁存在对s 参数的影响，并讨论了波导系统中宽边和窄边开口以及试管加载时 倾斜角等问题对s 参数的影响。在此基础上设计实验，可以减小这些问题引起的 s 参数的测量误差 用s 参数来计算液体的复介电常数，通常有迭代法和图解法。迭代法需要 c p u 时阃长、内存大而且可能出现不收敛的情况；而图解法需要得到几乎每个 频率点的s 参数值才能得到准确的介电常数 本文将a b d u l n o u r 提出的液体的复介电常数的实部和虚部在s 2 l 复平面的规 律和变化公式，应用在b j 2 2 波导系统中，通过数值模拟得到了该测量系统的频 率适用范围和盛装液体的试管内半径的适用范围。然后利用该系统测量计算了 几种液体的复介电常数并和理论值进行了比较。该方法本身的局限性，以及s 参数的测量误差，都会对液体复介电常数的计算结果产生较大的影响。通过对 系统误差和偶然误差的分析，表明该方法在测量稀溶液时，具有较好的准确性。 关键词：微波化学；有限元；s 参数；复介电常数 a b s t r a e t s t u d yo nam e a s u r e m e n tm e t h o do fl i q u i dp e r m i t t i v i t y b a s e do nr e c t a n g u l a rw a v e g u i d e m a j o r ：r a d i op h y s i c s g r a d u a t es t u d e n t ：z h o n gs h u r o n ga d v i s o r ：p r o f l i uc h a n 西u n a b s t r a c t ：t h em i c r o w a v e - c h e m i s t r yr e a c t o ri sac o r ep a r to ft h em i c r o w a v e c h e m i s t r ye x p e r i m e n ts y s t e m m o s to f t h el i q u i dc h e m i s t r yr e a c t i o nc o u l d b ep u ti n t o at u b eo rab e a k e ri n s i d et h em i c r o w a v ec h e m i s t r ye x p e r i m e n ts y s t e m i na m i c r o w a v ec h e m i s t r ye x p e r i m e n t , t oo b t a i nt h er e a l t i m ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yi so f g r e a ti m p o r t a n c et ou n d e r s t a n dt h er e a c t i o np r o c e s s t h e r ea l es e v e r a lm e t h o d st oa c h i e v et h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yo fl i q u i di na r e c t a n g u l a rw a v e g u i d es u c ha st h es h o r t - e n dw a v e g u i d em e t h o d ，t h er e s o n a n tc a v i t y p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，t h ew a v e g u i d ep e r t u r b a t i o nm e t h o d , a n ds oo i le a c hm e t h o d o w n ss o m ea d v a n t a g e si n m e a s u r i n gt h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t y , b u t i ti sn o t c o n v e n i e n tt oa c h i e v et h er e a l - t i m ec o m p l e xp e r m i t t i v i t ) ro ft h e l i q u i dd u r i n g c h e m i s t r yr e a c t i o np r o c e s s w h i l eu s i n gt h ew a v e g u i d ep e r t u r b a t i o nm e t h o dt o a c h i e v et h er e a l t i m ec o m p l e xp e r m i t t i v i t y , w eh a v et og e tt h es a m p l ef r o mt h e e x p e r i m e n ts y s t e mc o n t i n u a l l y b o t ht h es h o r t - a n dw a v e g u i d em e t h o da n dt h e w a v e g n i d ep e r t u r b a t i o nm e t h o da r es u i t a b l ef o rt h em e a s i l r e m e n to ft h ec o m p l e x p e r m i t t i v i t yo fs o l i d i nt h i st h e s i s ，a n o t h e rm e t h o di su s e dt or e c o n s t r u c tt h e c o m p l e xp e r m i t t i v i t yo fl i q u i di nt h ew a v e g u i d ef r o mt h em e a s i | r e dsp a r a m e t e r s t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o no fa w a v e g u i d ew i t hal i q u i df i l l e dt e s t t u b e ( t w od i m e n s i o n s ) i sd i s c u s s e dt h e o r e t i c a l l y , a n dt h esp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d t h e i x , t h ef i e l dd i s t r i b u t i o na n dt h esp a r a m e t e r sa r es i m u l a t e di nt h r e ed i m e n s i o n s b a s i n go nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ah u m e r i c a ls i m u l a t i o nb a s eo nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s e dt o g c qt h e p r i n c i p l et h a tsp a r a m e t e r sv a r i e sw i t hi n c i d e n tw a v ef r e q u e n c y , t h ep e r m i t t i v i t yo f l i q u i d , a n dt h eh e i g h to ft h el i q u i d n 豫i m p a c to ft h et e s tt u b eo ns c a t t e r i n g a b s t r a c t p a r a m e t e r si sp r e s e n t e d t h ei n f l u e n c eo fp o r e si nw a v e g u i d ew a l li sa l s od i s c u s s e d b a s i n g o i lt h e s e ，a l le x p e r i m e n ts y s t e mc o u l db eb u i l tw i t hb e t t e rp e r f o r m a n c c e w i t ht h em e a s u r e dsp a r a m e t e r s t h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yo fl i q u i dc a nb e r e c o n s t r u c t e d u s u a l l y , t h e r ea r et w om e t h o d sa v a i l a b l e ：o n ei st h ei t e r a t i v em e t h o d ； t h eo t h e ri st h eg r a p h i ct e c h n i q u e t h em a i ns h o r t c o m i n go f t h ei t e r a t i v em e t h o dl i e s i nar e l a t i v e l yl o n gc p ut i m ea n dv a r i o u sc o n v e r g e n c ep r o b l e m s i no r d e rt oa c h i e v e f i l la c c c e p m b ma c c u r yw i t ht h eg r a p h i ct e c h n i q u e ，ac o n s i d e r a b l en u m b e ro f c u r v e s p e rf r e q u e n c ys h o u l db ep l o t t e d w h i c hi sn o tp r a c t i c a l a c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eg i v e nb yja b d u l n o u rw h i c hs a y st h a tt h ep o i n ta r e l o c a t e do bs o m ea r c si nt h ec o m p l e xt r a n s m i s s i o np a r a m e t e rp l a n ew h e nt h er e a lp a r t o rt h ei m a g i n a r yp a r to ft h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yi sc o n s t a n t , i ti sa p p l i e dt ot h e b j 一2 2r e c t a n g u l a rw a v e g u i d es y s t e mt ov e r i 匆t h ep r i n c i p l ea n do b t a i nt h el i m i t a t i o n t h e na ne x p e r i m e n ti sd e s i g n e dt om e a s l 1 r et h ec o m p l e xp e r m i t t i v i t yo f s o m ek i n do f l i q u i d s t h es y s t e me r r o ra n d t h em e a s u r e m e n te r r o ra r ed i s e a s e d t h er e s u l tp r o v e s t h a tt h ep r i n c i p l ei sv a l i dw h e nt h el i q m di sak i n do fl o w - c o n c e n t r a t i o nw a t e r s o l u t i o n k e yw o r d s ：m i c r o w a v ec h e m i s t r y , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，sp a r a m e t e r s ， c o m p l e xp e r m i t t i v i t y 四川大学 爱十学位论文 第一章研究背景 微波化学是上世纪9 0 年代蓬勃发展起来的一个新兴交叉学科领域，它在人 们对微波场中物质的特性及其相互作用的深入研究基础上，不断得到完善和发 展。而液相微波化学反应系统作为研究微波化学的重要系统，主要包括：微 波功率源，微波传输系统、微波反应器及其附属系统和测试系统。而微波化学 反应器是整个反应系统中最核心的部分。 1 1 微波化学反应器 一般说来，微波反应器是这样一套装置，它将由微波功率源经微波传输系 统传输来的微波功率，以最佳的匹配或最小的反射耦合至该装置，并在其中形 成特定的电场分布，使之能与被加工物质产生最佳的相互作用效果l l l 。微波化 学反应器是微波化学实验研究和工业生产中的核心部分，也是该领域获得专利 技术保护最多的部分。 影响微波反应器类型选择的主要因素有：化学反应对微波的响应特性；化 学反应自身的物理特性：实验目的或要求的反应速度。此外还有一些诸如化学 反应过程所需的环境、反应器的使用环境等因素也应该考虑。从微波反应腔的 特点则可以分类为：多模腔式反应器、单模腔式反应器、波导型反应器以及特 种形式的微波反应器。下面简单介绍两种应用较为成熟的典型反应器。 1 i i 多模腔式微波化学反应器 多模腔式微波化学反应器是微波能应用 领域使用最为广泛、理论和实践最为成熟的一 种反应器。家用微波炉即为这种类型。多模腔 式反应器实际上是一个矩形微波谐振腔，如图 1 1 所示。 假设矩形腔的沿x ，y ，z 轴向的边长分别 为a ，b ，d ，按经典的微波理论，该谐振腔的 谐振频率和谐振波长分别为【2 l ： 图1 ，i 矩形微波谐振腔 四川大学硕士学位论文 2 凡2 而雨趸荔万丽尹 卜2 式中c 为光速，m ，n ，p 称为模式标号，为正整数。显而易见，这种谐振腔中可 能存在多种工作模式，因此也称为“多模谐振腔”。腔中的模式数与腔体三维尺 寸直接相关。 多模腔式微波化学反应器是微波能应用领域使用最为广泛、理论和实践最 为成熟的一种反应器。本实验室以前设计研制的一些微波化学反应器，如“蓝 田一i ”、“蓝田一i l ”，即为这种“多模谐振腔”式反应器，该类反应器的主要 优点是反应器内部的电磁场分布相对均匀。 1 1 2 波导型微波化学反应器 波导型微波反应器是根据最基本的波导传输理论，在特定的工作频段，于 相应的标准矩形或圆形波导中激励起单模传输的一种反应器。杯准矩形波导中 传输的基模是t e i o 模，其场分布如图1 2 所示。充分利用它的场分确特点，可以 设计出相应的单模谐振腔型反应器和行波型波导反应器。 如果将传输t e l o 模的矩形波导两端短接，则形成一个波导型单模谐振腔。 妊一二： 图1 2 标准矩形波导中基模t e - o 模的场结构分布图 波导的长度l 由( 1 - 3 ) 式决定： l = p 疋2 ( 1 3 ) 式中以为波导波长，p 为正整数。相应的谐振波长为： 磊= = = = 亍= 二：专；焉0 - 4 ) ( 历口) 2 十( n b ) 2 + ( p l 三) 2 m ，n ，p 分别为波导宽边a ，窄边b 和长度l 方向的半波长数。 在原理上，只要将化学反应置于单模腔中部电场最强的集中部位，就可以 2 四川丈学硕七学位论文 产生充分的相互作用，或快速被加热，或产生强的催化化学反应等。 行波型波导反应器就是在波导的一端馈入微波，而在波导管的另一端接匹 配负载，使t e l o 模能在波导内几乎无反射地进行单模传输。这种反应器的优点 是结构简单，容易制造。更重要的是通过使用定向耦合器，便于同时检测入射 功率、反射功率和透射功率，从而精确确定出化学反应吸收的微波功率，为微 波化学反应的机理研究提供可靠的依据。同时通过测量反射功率和透射功率还 可以求的s 参数的模值。 本实验室设计研制了一种低成本的行波型波导反应器“仰韶一i ”微 波化学实验系统，通过测量入射功率和透射功率可以对置入该反应器中的化学 反应系统吸收的功率进行精确的定量分析，为深入分析微波化学反应的机理提 供可靠依据。 本文基于波导行波型反应器，着重分析反应器的波导系统在矩形波导中心 放入盛有液体的试管时的散射特性，并由测量得到的s 参数来计算液体的介电常 数。 1 2 矩形波导中测量液体介电常数的方法 液体物质在微波场中的行为与其自身的极性有着密切的关系，从介电物理 学的观点来看，也就是与物质的偶极子在电场中的极化过程密切相关，而极化 程度可用介电常数加以表示”1 。 介质在微波场中的极化，表现为对电场电流密度的损耗，介质的复介电常 数为： t = sr j 8 tq 固 式中，t 为复介电常数的实部，其大小反映介质束缚电荷的能力，z 为复介电 常数的虚部，它反映了介质的损耗情况，故亦称为介电损耗因子，常用损耗角 表示： t 9 8 = 。- - 7 d0 - 6 ) 由于介质的复介电常数综合反映了介质在微波作用下的电极化行为，因此 测量介质的复介电常数对了解微波化学反应有很重要的作用 而测量物质的介电特性1 3 1 通常有反射法：包括终端短路法和开端同轴线反 3 四川大学硕十学位论文 射法；传输法：包括行波法和透射波法；谐振腔法：包括波导谐振腔，同轴谐 振腔和开放式腔体；以及空问波法。 由于本文研究的是波导型微波化学反应器，其主要组成部分是矩形波导。 因此下面介绍常用的使用波导测量介电常数的方法【l l ：终端短路法1 1 1 f 4 l 、波导谐 振腔微扰法p i - s l 及波导微扰法川l ”l 等。 1 2 1 终端短路法 终端短路法足将待测材料置于矩形波导的短路端，入射波正向传播和反 射波叠加在波导内形成驻波，根据填充待测材料后引起的驻波波节的偏移和驻 波比的变化，可以确定材料的相对介电常数和损耗因子。该方法测试设备简单， 概念明确，但是需要解复数超越方程，且解为多值p 】。 1 2 2 波导谐振腔微扰法 谐振腔微扰法【”，谐振腔的微扰现象可以源于多种因素，如腔壁几何形状 的微小变化，腔内引入小体积介质样品，腔内引入可移动螺钉之类导体等，这 些微小的变化将腔体中的场发生微小的扰动，从而导致谐振腔的某些参量( 如 谐振频率，品质因数等) 也相应地发生微小的变化。通常我们只要测得微扰前 后谐振频率和q 值的变化，就可以确定介质的复介电常数。 谐振微扰理论的基本假定包括【1 1 i ：l 、介质试样的放入引起谐振频率的相 对变化量很小。2 、除了在介质试样的附近外，试样的放入引起场结构的变化很 小通常样品与腔体体积之比要小于l ：5 0 0 0 ，而且对确定样品体积的精确性要 求也相当高，因为样品体积很小，样品体积测量的微小误差就能引起介电常数 测量值的巨大误差，对测量结果起着至关重要的影响。 在测量时必须在矩形波导顶部正中开了一个小孔，以便样品放入腔中由 于开孔，会造成电场分伟改变，并有少量能量外泄，这样会引入误差。另外， 当所测样品为液状体时，只能装置在玻璃管内，所以需要测量腔中载入空管时 的各项参数，以排除空管带来的偏移，但玻璃管仍不可避免地会引入误差。对 于平行于电场方向放置的圆柱状样品，微扰法要求样品在切向长度上与腔体高 度齐平，否则也会引入误差【1 2 l 。 1 2 3 波导微扰法 为了提高介电常数的测量精度，在谐振腔微扰法中通常采用高q 值的谐振 4 四j l f 大学颂 学位论文 腔，然而，谐振腔q 值越高，工作频带越掣1 1 因此，在有的情况下，也可采用 更为简便的波导微扰法 9 1 1 ”l 来测量介质的介电常数。 赵克玉【1 0 1 等人提出在矩形波导宽边中央处部分填充厚度为d 的有耗介质 片。当d a ，a 是波导的宽边长度。且微波输入系统工作在行波状态，根据微扰 理论，通过测量放入样品后该段波导的衰减常数和相移常数来求样品的复介电 常数。 上述方法中，终端短路法比较适合固体样品的介电常数的测量。而谐振腔 微扰法通常要采用高q 值的谐振腔，所以工作频带窄，同时在谐振点附近其他 因素容易对测量产生较大的误差，而且对样品的测量精度高，同时要实时得到 液体的复介电常数就必须不断地从实验系统中取出样品来测量。而波导微扰法 需要在矩形波导中央填充介质片，需要填充的长度等于波导传输方向的长度， 所以较适合固体样品。 1 2 4 图解规律法 本文将从另一种方法来实现复介电常数的求得，即在波导系统中放入盛有 液体的试管柱，首先用数值模拟的方法和实测的方法分别得到介质中心处的s 参数，然后用得到的s 参数来计算液体的介电常数 通常，要通过测量得到的s 参数来求解样品的介电常数的解析解是很困难 的，而一股有两种方法可以得到介电常数m l ：一种是迭代法1 1 4 1 l l q 。另一种是图 解法对迭代法，通常会耗费大量的c p u 的时间并且可能出现由于初值设定不 在合理的范围而出现的不收敛的情况；而对图解法，我们必须知道几乎每 个频率点的值以获得足够准确的解，但是这是不太可能的。 因此本文根据j a b d u l n o u r 提出的液体的复介电常数的实部为常数和虚部 为常数的点在透射参数的复平面形成一段圆弧的规律，首先验证在b j ，2 2 波导 情况下该规律的正确性，然后使用这个规律给出的公式来测量计算纯水在常温 下时不同频率的复介电常数，纯水在不同温度下的复介电常数和不同浓度n a c l 溶液的复介电常数，并和已有文献给出的理论计算值比较。 要得n s 参数与液体复介电常数的关系，首先应该得到在矩形波导中放入 盛有液体的试管时的散射特性。 5 四川大学硕卜学位论文 1 3 放入盛装液体的试管柱的矩形波导的散射特性 在矩形波导中放入导体和介质障碍物是研究波导型带通或带阻滤波器的 重要方法，同时在波导中放入样品来测得样品的介电常数也是常用的方法。而 要准确地设计滤波器及测量样品的介电常数，必须清楚这些障碍物的散射特性 对单个介质柱的情形，文献m j 阻1 分别用一阶近似变分法、高阶近似变分法、 点匹配法、格林函数法、模匹配法、有限元法以及有限元边界元祸合法等对矩 形波导中加载小直径、大直径的圆形介质柱、方形、矩形介质拄，任意截面形状 的介质柱进行了研究。 以上是用解析的方法，同时还可以用数值模拟的方法来得n s 参数，如常 用的使用基于有限元、时域有限差分、有限积分的数值模拟方法，都可以得n s 参数。 1 4 本文的研究内容 本文首先研究放入盛装液体的试管的矩形波导的散射特性，先从理论上得 到二维情况下，场的解析解和s 参数的求解过程。然后得到三维情况下使用有限 元方法对场和s 参数的求解。在基于有限元的数值模拟方法得n s 参数与介电常 数在不同情况下的值，并分析了波导系统中不同因素对s 参数的影响，以便在设 计实验测量时减小误差。 然后用上面得到的s 参数来计算液体的介电常数，先给出s 参数与液体介电 常数在各种情况下的图。然后在图解的基础上验证规律。最后设计实验来分别 测量计算纯水在常温下不同频率的复介电常数、纯水在不同温度下的复介电常 数和不同浓度n a c l 溶液的复介电常数，并和已有文献给出的结果进行比较。 由于测量的s 参数有误差，加上规律本身的系统误差，因此最后对复介电 常数的计算结果进行误差讨论。 6 四川大学硕士学位论文 第二章试管加载矩形波导的散射参数 2 1 二维问题的理论分析 本文研究的波导结构如图2 1 所示，在矩形波导中放入盛有液体( 或各向同 性的介质) 的圆形试管，考虑入射波为t e l 0 模式，液体圆柱的中心轴平行于电场 矢量的方向，液体和外壁都是均匀各向同性的线性介质，波导壁则视为良导体。 整个结构可分为三个部分，i 、表示结构中场不变的部分，而q 表示结 基模入射的 、峨 ，- 图2 2 波导结构的二维图 使用基本解和格林恒等式可得到瞄】【垌： 7 四川大学硕士学位论文 型2 = 警中咖； r 俐， t l 锄 ”“9 i 、 其中n 是边界r 的法向矢量，而和郇表示亥姆赫兹方程的格林函数解和其法 向导数。 当基模入射到区域i 且其幅度归一化，则在边界r j 的电场和其法向分量可 表示为： e y = 仍+ p 一“ ( 2 - 2 ) ；一誓= y b q ，l e r a - 茔如。一蹦(2固o n 出丙 而在边界r ：，有： ez 乙口1 0 ( 2 - 4 ) 要：一誓：釜瓦靠。一蚺 ( 2 - 5 ) 锄 出急” 、 其中乙和如分别是传输模和反射模值的未知的系数，而+ l 则是沿z 方向的不 连续区域的长度，这就意味着参考面置于z = - f l 和z = 如，l 和：分别是传输 模和反射模的数目，在矩形波导中 ：s i n ( m n 工) ( 2 - 6 )= 工j = 厮 ( 2 - 7 ) 应该注意的是，介质柱的存在会对q 区域的场有影响，因此在靠近介质柱 的区域的场的有效值应该进行调整，而由f i n c h 等人口7 1 实验结果表明，介质柱的 扰动对最终结果没有太大的影响，所以只需简单的校准就可以消除这个影响。 建立以介质柱中心为圆心的极坐标系( p ，口) ，则区域r 中的电场就可以用 未知系数4 展开如下： 髟= 4 乙p 胂 ( 2 8 ) 其中 8 四川大学硕士学位论文 乙2 i j - ( k 马) + y ( b 琏j ( 2 9 ) 吣粼一鲁粼小鲁粼一渊删一揪 和诺依曼函数，其中畸= u 沂丽万和屯= u 以丽万 在( 2 - 8 ) 式中的无限积分。一。可以通过4 = 2 n 一1 变为下面的有限积分： b = 只 ( 2 一l o ) 其中对疗s 。时，2 z _ , c o s o - 1 妒】， h 时，纯2 乙“- 3 m ( n - n - i ) p j ， 而( 2 - l o ) 的法向导数表示为： 鲁一考一* 其中是纯随p 的法向改变，将( 2 2 ) - ( 2 5 ) 和( 2 1 0 ) 代入( 2 1 ) 式，且在区域r 。中 取n 1 个点，在区域r ：中取n 2 个点，在区域r 中取n 4 个点，而电壁分为n 3 个单 元以使用边界元理论【2 8 】【2 9 1 ，因此就可以得多i 下面的线性表示式： 彳2 爿2 2 爿1 3 彳2 3 爿站 彳” p a a “ a ” a “ r r l r ， p n y 矿2 矿 ( 2 - 1 2 ) 其中子矩阵l a 印j ( 口，2 l ，2 ，3 ，4 ) 是n 。x n p 维矩阵，其矩阵的表达式： a 君= ( ) + r 力( 西+ 以z ) 出 e 。协( 脚，2 ) a a 。，4 = i i 蚂 ) 吃+ r ( 盯西+ 以西威p ( 2 1 4 ) 子矩阵 爿4 3 的元素依赖于选择的边界条件是电壁还是磁壁，在这罩我 们用常数元鲫，在矩形波导( 电壁) ，矢量 u r 1 是垂直与l 表面的法向的场量， 日 9 四川大学硕十学位论文 彳3 f 矿打 ( 2 - 1 5 ) i 同时矢量 矿 由( 2 1 6 ) 式给出 弘一阻( t ) 如+ f 识( 西- 7 1 一) 凼卜 ( 2 1 6 ) 矢量 p r 是由未知系数p n 组成，出现在( 2 l o ) 式中， r r i 及 丁 r 2 是分别 由在r 。和r ：界面的反射模r 。和透射模t 。的复数值组成。当入射波的大小是归 一化的，可根据( 2 一1 2 ) 式直接得到s t t = r i ，s 1 2 = t 1 。 f h ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式可得到在介质柱区域的电场与k 和r 有关。也就是介质区域的 场与分层介质柱的内外半径、内外介质柱的介电常数有关，以上分析仅针对二 维的情况，若试管中液体并未装满，该区域的场还应该和液体柱的高度有关。 对三维的情况，用以上的方法很难得到其解析解，因此需要采用基于有限 元的数值模拟方法来研究。 2 2 有限元方法介绍 2 2 1 有限元的概述 有限元方法最初是在应用在机械工程方面，后来逐渐在其它领域有了很 重要的应用。这些领域包括电磁场的模拟计算等。 有限元的基本理念是当求解对象看作是一个大的整个的区域时，其解是很 复杂的，但是对于一个子域，简单的近似就足够了，因此整个区域被分为很多 相互不重叠的子域，这些的区域就称为有限元。因此该方法的原理是用许多子 域来代替整个连续区域，在子域中，未知函数用带有末知系数的简单插值函数 来表示。因此，无限个自由度的原边值问题就转化成了有限个自由度的问题， 或者换句话说，整个系统的解用有限数目的未知系数近似 在二维的情况下通常用三角形或长方形作为分割单元，当然有时候也可以 使用三角形和长方形的组合。使用三角形的最大好处在于对于任意形状的区域 都可以很容易用三角形进行剖分。在三维求解中，区域可划分为四面体，三棱 柱或矩形块，其中四面体最简单。对于不同形状的单元，每个单元的场解是不 同的，但是对相邻的单元的边界重叠的地方，场的表达式必须满足场的连续性。 1 0 四川大学硕士学位论文 而求解的方程通常不是以场变量的方式而是以积分表示的能量形式表示这样 选择的原因是使方程有稳定解。总解是每个单元解的积分和。 2 2 2 有限元方法的基本步骤 2 2 2 1 区域离散 假设区域为q ，在有限元的分析中，区域离散是第一步，也是最重要的一 步，因为区域离散的方式将影响计算机内存需求、计算时间和数值结果的精确 度。在区域离散中，全域n 被分成许多小区域。用q 。( e = 1 ，2 ，3 ，m ) 表示，这里 m 表示子域总数。这些子域通常称为单元。对于是直线或曲线的一维区域，单 元通常是短直线段，它们连接起来组成原来的线域。对于二维区域，单元通常 是小三角形或矩形。当然，矩形单元最合适离散矩形区域，而三角形单元可用 来离散不规则区域。在三维求解中，区域可划分成为四面体、三棱柱或矩形柱， 其中四面体是最简单、最合适离散任何体积区域的单元。 在多数有限元解中，问题是用与单元有关的结点上的未知函数q 表达的。 例如线性线元有两个结点，每端点一个；线性三角形单元有三个结点，各项点 上一个；而线性四面体单元有四个结点。各角点上有一个。一个结点的完整描 述应包括它的坐标值、局部编码和全局编码。节点的局部编码表示它在单元中 的位置，而全局编码表示它在整个系统中的位置。标明坐标值是一项直截了当 的工作，而节点和单元的编码就需要一定的策略。我们将看到：有限元公式通 常是得到带状矩阵，其带宽由一个单元中两个结点的全局编码之差的最大值决 定。因此，如果用带状矩阵求解最终的矩阵方程，那么适当的结点编码使带宽 最小，就可大大减小计算机的存储量和运算时间。然而，当带宽不必最小时， 编码方案可以任取，通常选择使编程简单的方法。 2 2 2 2 插值函数的选择 有限元分析的第二步是选择能近似表达一个单元中未知解的插值函数。通 常，插值函数可选择为一阶、二阶、或高阶多项式尽管高阶多项式的精度较 高，但通常得到的公式也比较复杂。因此，简单且基本的线性插值仍被广泛采 用。一旦选定了多项式的阶数，我们就能导出一个单元中未知解的表达式，以e 单元为例，得到以下形式： 矿= 吖彤= j 。 1 。 = 。 1 n 。 ( 2 - i 7 ) 四川大学硕士学位论文 n 是单元中的结点数，彤是单元中j 节点的妒值，孵是插值函数，通常也称 展开函数或基函数。彤的最高阶被称为单元的阶，而函数吖的重要特征是： 它们只有在单元e 中才不为零，而在单元e 外均为零。 2 2 2 3 方程组公式的建立 第三步是导出方程组的公式，可用琴兹变分公式。里兹变分公式是一种变 分方法，其中边值问题用变分表达式( 也称泛函) 表示，泛函的极小值对应于 给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到 近似解，对电磁场问题是使能量最小的方程。现以二维为例介绍方程组的建立 过程1 。 其插值函数为： 3 矿( x ，y ) = 吖( x ，力谚 ( 2 1 8 ) i 其中 吖( y ) 2 亡( + 彰+ c ) 0 5 l ，2 ，3 ) 缸= w ，毛堕c 等2 + c 争州，q 一驴恤 筹= o ，磊一o ，嚣= o 而孑可表示为 1 2 聊 柳 娜 物 弘 陆 弘 供 四川大学硕七学位论文 崭m 一 其中 等) - 嚣，嚣，嚣沁。) = 群以菇 蟛= 箩i 【a 良n ；o 知n + 警+ 警+ n ：n ； a n b | = 髓d q 群 自 豺珊到 澍= 州矿) = 。 ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 2 2 2 4 方程组的求解 方程组的求解是有限元分析的最后一步，最终的方程组是下列两种形式， 对电磁场中的散射、辐射以及其它存在源或激励的情况，其结果为： 【q i q , - - b ( 2 - 2 8 ) 而对电磁场中波导中波传输和腔体中谐振等无源问题，则解为本征值型 的： 【a l i a , = a 例 妒 ( 2 - 2 9 ) 一旦解出 妒 的方程组，就能计算出所需要的参数，例如电容、电感、输 入阻抗和散射或辐射图。并能用曲线、图形或图片表示结果。 2 2 3s 参数的计算方法 波导可看作二端口网络嘲， 耻融：。 表示t 2 面接匹配负载时t 1 面上的电压反射系数。 1 3 ( 2 3 0 ) 四川大学顼十学位论文 驴觊 ( 2 - 3 i ) 表示t 2 面接匹配负载时，t - 面至t 2 面的电压传输系数。 在上面的定义中用的是等效意义下的归一化电压值 u ，搀一n = 老，v 广滏，v r z 一惫 于是有 u2“2巴(2-33) 这就使得微波领域中可实测的功率与仅作为记号的归一化电压、归一化电 流建立了量的对应关系。 其中复坡印亭矢量邮1 的定义为： s = e h ( 2 3 4 ) 假设波导中只传播t e i o 模，场分量e 和，的存在表明在z 方向能够有功率 流产生，因此在波导中x y 截面上计算坡印亭矢量的公式为： s = 圭r o e e x h = ；r e e ，一e h ， ( 2 3 5 ) jl 4 ， 4 j 、7 通过整个面上的功率可以用下式求得： p _ - i s - d s * s a s , ( 2 - 3 6 ) 若只为反射功率，圪为入射功率，只为透射功率，则反射系数和透射功率 与功率之间的关系为： i s , l l = 层 i s ，, l = 序 1 4 r 2 - 3 7 ) ( 2 3 8 ) 四川大学硕士学位论文 2 3 不同情况下，s 参数的变化规律 2 3 1 实验验证 本文使用基于有限元f f e m ) 的数值方法模拟了b j 2 2 型波导中心放入装液体 的圆形试管的反射系数。在波导 端口加上正弦激励波，波导内设 为真空，波导壁设为理想电壁。 液体柱由于相对介电常数较高， 需要对液体柱增加网格划分，以 提高计算精度并减少计算时间。 实验研究中使用b j 2 2 型波 导，使用内半径为8 8 9 m m ，外半 径为9 9 8 r a m 的相对介电常数为 = 5 5 的玻璃试管，将试管装满 水放置在波导的中央，使用 a g i l e n te 8 3 6 2 b 矢量网络分析仪通过 波导同轴转换器连接波导系统，在 2 o 3 o g h z 频率范围进行扫频测量。 实验系统如图2 3 所示 测量时的环境温度为2 4 0 c ，而数 值模拟时水的复介电常数采用德拜方 程p i 计算而得，测量得到的i s l i 闻通过 数值模拟得到的i s n l 如图2 4 所示。 由图2 4 可看出，测量的i s i i i 和数值 模拟的i s i 符合较好，由于测量时接入 了波导同轴转换器导致测量值和数值 模拟值存在一定误差，其平均误差小 于4 ，证明了数值模拟的正确性 2 3 2s 参数的谐振现象 先不考虑试管壁而将液体充满并 放在波导的中央，在r a = 0 0 5 和v a = 1 4 1 5 图2 3 实验系统图 2 0”2 42 2 j v r e q u e n 州o t t z ) 图2 4 l s “l 随频率的变化 _ 一 f， 、， ￥ 1 0 0 1 5 02 0 02 5 03 0 0 r e l a t i v ep e r m i t t i v i t y 图2 5i s ”i 随相对介电常数的变化 四川太学硕士学位论文 的条件下( 其中r 是液体柱的半径，a 是波导宽边的长度，l 是波在自由空日】的波 长、，取a = 1 0 9 2 0 r a m ，贝q r = 5 4 6 r a m ，k = 1 5 2 8 8 m m ，仅考虑液体的相对介电常 数的实部，数值模拟得到l s l i l 随相对介电常数的变化规律，如图2 5 所示。 由图2 5 可以看到，i s l l i 随相对介电常数的改变而变化，并存在谐振现象， 在图中的模拟范围中有两个谐振点，第1 个在c = 1 1 2 时，第2 个在= 2 9 2 时，该 结果和文献| 3 4 1 提供的谐振点数据= 1 1 2 8 和= 2 9 1 6 的相对误差分别为0 7 和 o 1 ，证明了数值模拟的正确性。 2 3 3 系统中其他因素对s 参数的影响 2 3 3 1 试管壁的影响 在做液相化学实验时，液体通常都是盛装在试管或者烧杯中。下面研究在 不同情况下，存在试管壁和不存在试管壁时s 参数的变化情况，如图2 6 所示。 f r e q m e a c y ( g h z ) 圉2 6 1l s ，i 随频率的变化 r c l a u v ep c r m t t t l v l t y 固2 6 21 s 1 随相对介电常数的变化 + w i t h o u tt e s tt u b e t h eh e i g h to fhqmd(cm)the r a d i u so f w a t e rr o d ( r a m ) 图2 6 3i s ，i 随试管中液体高度的变化图2 6 4i s ，i 随液体柱半径的变化 图2 6 考虑试管璧和不考虑试管壁时的s 参数 由图2 6 可以看到，在几种情况下试管壁的存在，在谐振点附近影响最大， 1 6 四川大学硕士学位论文 而在远离谐振点的地方，影响很小。 由图2 6 2 中可以看到当液体的介电常数小于2 0 ，由于试管中液体的相对介 电常数并没有远大于试管壁的相对介电常数，此时，在远离谐振点的地方试管 壁对s 参数的影响也是较大的。 在图2 6 3 中，当液体柱的高度小于波导窄边的一半时，试管壁的存在不仅 在谐振点附近，在其他点也很大的影 响着s 参数的值。因此要减少试管壁 的存在对s 参数的影响就应该使试管 中的液体大于波导窄边的i 2 ，这样才 能减少试管壁对s 参数的影响。 当使用塑料试管盛装满液体放 入波导中，考虑试管和不考虑试管时 的s 参数如图2 7 所示。 由图2 7 可以看到，塑料试管对系 统的s 参数的影响和玻璃试管一样， 都是在谐振点附近有很大的影响，而 一 t ，34s n 甘妒t d 旧- d ( a n ) 图2 7i s ，l 随试管中液体高度的变化 在远离谐振点的地方影响较小。和图2 6 3 中除试管材料不同其他都相同的情况 下，在小于l 2 窄边的高度时，差值更小，而在大于i 2 窄边高度时，由于塑料试 管的介电常数比玻璃试管更小，因此除谐振点外，其他点的值符合得更好，即 试管的存在对系统的s 参数的影响更小。 2 3 3 2 试管大小对s 参数的影响 在微波化学实验过