（应用数学专业论文）sobolev不等式中的最佳常数及其达到函数.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s s o b o l e v 不等式又称为s o b o l e v 嵌入不等式，在偏微分方程和变分学中起着 重要的作用本文考虑如下s o b o l e v 嵌入不等式，h a r d y s o b o l e v 不等式以及 c a a r e l l i n i r e n b e r g s o b o l e v 不等式： ( l u l 口出) ；s ( 死，q ) l ( - a ) 扎1 2 如，牡日詈( 职) ， ( 1 ) ，r n _ ，r 耳 其中：0 q 佗，q = 毪 ( 厶丛i x l 。蒯- , 蚓上。w d u 出疙u 倒p ( 峨 ( 2 ) 其中：1 p n ，0 s p 且p q = 焉p ( i x l 一岫l u l p d z ) ；g ，6 l x l 一缸l d 仳1 2 d x ， 牡( 守( r ”) ，( 3 ) 其中：一o o 口 孚，n b o + l ，p = i j 注：我们将在本文第二节给出算子( 一) 等的精确定义 借助于已有的文献，本文对上述几类不等式中的最佳达到函数的存在性及其 性质进行了系统的阐述和总结：利用球面对称重排( 又称为施瓦兹对称重排) 或平移 平面法证明了达到函数的径向对称性，并通过极坐标变换( 或傅利叶变换法) 得到了 达到函数以及最佳常数的具体表达式，更进一步得到了其对应偏微分方程的解在 讨论偏微分方程的解的存在性时，常常用到山路引理，而达到函数就常常用在验证 ( p s ) 。条件上在本文的最后，将举例说明达到函数的应用本文的主要结果主要源 于【1 1 【9 】，【6 】f 8 】，【1 5 】，( 1 s ，【5 】 关键词：s o b o l e v 不等式；最佳常数；达到函数；径向对称性；( p s ) 。条件 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t s o b o l e vi n e q u a l i t i e sa l s oc a l l e ds o b o l e vi m b e d d i n gt h e o r e m s ，a l ev e r yp o p u l a r a m o n gw r i t e r si np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ri nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s i n t h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs o b o l e vi m b e d d i n gi n e q u a l i t i e s ，h a r d y - s o b o l e v i n q u a l i t i e sa n dc a g a x e l l i - n i r e n b e r g - s o b o l e vi n e q u a l i t i e s ： ( l u l 譬出) ；s ( 磁q ) i ( - ) 鼍u i 2 如，t t 日詈( r n ) ， j r j r w h e r e0 0 f n ，q2 磊2 n ( 厶群删；c ( 厶1 驯p 如) ；，让舻啦， w h e r e1 p 佗，0 s pa n d p g = 元f g 二- - ；8 p ( l z | 一如i 训p 出) ；q 囊i x l 一2 n i d 让1 2 d z ，牡曙( r n ) ， ，r n，r “ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) w h e r e o o o ， z r ” 1 9 9 0 年，d e e d m u n d s ，d f o r t u n a t o 和e j a n n e l l i 【9 】又讨论了从日2 ( 渺) 到三；乌( p ) 的s o b o l e v 嵌入不等式，并得到了类似的结果 定理1 2 当n 5 时，设 k = i 1 1 f 0 进一步可知，( 1 3 ) 式中的牡0 ) 是如下偏微分方程的解： 竺 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 0 0 0 年，形x c h e n ，l m l d 和b o u 6 】讨论了积分方程： u ( 扣上。南u ( 可) 寰匆( 0 口 n ) ( 1 4 ) 的解的情况，并得出了该积分方程解的具体表达式，进一步得出了偏微分方程 ( 一) 考让= z g 血, * - a( 1 5 ) 与积分方程( 1 4 ) 的等价性 定理1 3 设n 为正整数，且0 a 0 且x o r ” ( 1 6 ) ( 2 ) 偏微分方程( 1 5 ) 与积分方程( 1 4 ) 是等价的，也就是说方程( 1 5 ) 的解也具 有( 1 6 ) 的形式 而后在2 0 0 4 年，a c o t s i o l i s ，n t a v o u l a r i s 8 】考虑了从日詈( p ) 到l 毒芝( 酞”) 的s o b o l e v 嵌入不等式，得到了最佳常数的具体表达式 定理1 4 当0 a q = 急时，对牡日考( p ) ，有： ( l 乱l a d z ) ：s ( n ，a ) l ( 一) 专仳1 2 如 ( 1 7 ) 其中 跏廿下詈黑【黟r ( 1 8 ) 且当u ( x ) 具有( 1 6 ) 的形式时，( 1 7 ) 式中的等号成立 1 9 7 6 年，g t a l e n t i 1 5 j 考虑了从1 ，p ( r n ) 到l 嚣( p ) 的s o b o l e v 嵌入不等 式，并得到了最佳常数以及达到函数的具体表达式 定理1 5 若 z 罐( r ”) ，则当1 0 进一步可知，通过选取常数a ，b ，( 1 1 1 ) 式中的u ( z ) 是如下拟线 性偏微分方程的径向解： 僻p 2 乳m 三塞 在2 0 0 0 年，c y 蝴和n g h o u s s o u b 1 8 】考虑了更一般的s o b o l e v - h a r d y 不 等式，并得到了达到函数的具体表达式， 定理1 6 设1 p n ，。s 0 ，g 为与n ，p ，s ，a 有关的常数迸一步可知，通过选取常数c ，( 1 1 2 ) 式 中的乱( z ) 是如下拟线性偏微分方程的径向解： 口z 吼) = 簪竺 在2 0 0 0 年，fc a t r i n a 和五q w a n g 5 】考虑了己a c a f f a r e u i ，r k o h n 和l n i r e n b e r g 在【3 】中提出的不等式：设佗3 ，则当乱c 富o ( r 勺时，有： ( i z i - 劬l 牡l p 如) ；瓯 6 i x l 一2 。l d 乱1 2 d x ， ，i pj r n 舯。 字艇坳“p ：高褊 一o o o 丐一，n 6s 口+ l ，。= = j = 弓而- = 鬲 并且讨论了不等式( 1 1 3 ) 的最佳常数以及达到函数的存在性 令d ：，2 ( r ”) 是c 铲( r “) 的完备化空间，其对应的内积为： 托秽) = 蚓嘞v 锃。v v d x ， 于是不等式( 1 1 3 ) 对一切u 一。1 , 2 ( r ”) 也成立 3 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 其中 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义最佳嵌入常数为： s ( a ，6 ) =，驶f既，b ( u ) ， ( 1 1 6 ) “d ：一( r n ) o 洲= ( 1 1 7 ) 定理1 7 ( 最佳常数和达到函数的不存在性) ( 1 ) s ( a ，6 ) 在区域( 1 1 4 ) 上是连续的 ( 2 ) 当6 = a + 1 时，s ( a ，凸+ 1 ) = ( r * - 2 2 - 2 a ，2 ，且s ( n ，n + 1 ) 是不可达到的 ( 3 ) 当n 0 ，且6 = a 时，s ( a ，a ) = s ( o ，o ) ( 由定理1 1 给出) ，且s ( a ，n ) 是不 可达到的 定理1 8 ( 最佳常数和达到函数的存在性) 当a 0 ， z q ， ( 1 2 1 ) - i iu = 0 ， z a q 的解的存在性这里f i , 3 ，p = 爱，且q 是酞“中的光滑区域，a l 为一的第一 特征值，入r 利用山路引理，并借助于定理1 1 中的达到函数，他们得到了些解 的存在性结果： ( 1 ) 设n 4 ，则当入( 0 ，入1 ) 时，方程( 1 2 1 ) 存在一个解； ( 2 ) 设佗= 3 ，l r 2 是一个球形区域，则当a ( a ，a ) 时，方程( 1 2 1 ) 存在一个 解 作为定理1 6 中达到函数的一个应用，本文将讨论带h a r d y s o b o l e v 临界奇 项的偏微分方程的正解的存在性 定理1 9f 1 8 1 设1 p q = 磊n - - $ p ，也就是说s p ，且q 是r ”中包含0 点 的有界光滑区域，入1 为一。的第一特征值考虑如下方程： 三兰薹l v 仳i p 一2 v t l ) = 入i u | r 一2 让+ p 号与；u z q z q ( 1 2 2 ) z 0 q ( 1 ) 如果r 矿= 恶，则只要下面三个条件中的任何一个成立，就可推出方 程( 1 2 2 ) 有一个在q 上严格本于。的解： g ) p = r 矿，且佗p 2 ，0 入 o ； ( 矾) p ， o ； ( 捌) p 0 ，p 0 ( 2 ) 如果r = 矿且q 是星形域，则对任意的入 + 0 ，p 0 ，方程( 1 2 2 ) 无解 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 二 定理1 3 5 n 定理1 4 的证明 在本节中，我们将要证明定理1 3 和定理1 4 其基本方法源于【6 】，【8 】 首先考虑如下的积分方程： 牡( 垆厶f 杀毯( u ) - - o d y ，( 2 1 ) 其中n 为正整数，0 0 ，使得对于a 一，有 钐( z ) t 氓( z ) ，z o ( 2 6 ) 引理2 3 【6 】设存在a o 0 ，使得在知 o ，上，有：v ( x ) 坝。 ) ，但 u 0 ) 刀沁( z ) ，则存在依赖于t , ，q ，y ( x ) 的，使得对所有的a f a o ，a o + e ) ，在 o ) 上，都有o 钉扛) 坝( z ) 定理2 1 的证明：我们只证( 1 ) 由u ( x ) l 吾( r “) ，容易证明”( z ) 在无穷远 处没有奇性，也就是说，对于任何离原点有一个正的距离的区域q 而言，有： 卜急( 掣) 匆 o o d n 事实上： 口釜( 可) 匆= 厶【赤u ( 静) 】惫匆 ，n 11 = 厶f 赤钍( 许) 】惫匆 = f o ，“( 秒) ；惫匆 知，则 2 a o 一生娑 2 a o y l 呦( 0 ) 令 嘶) = 击咖( 三+ n ) ，巾) = 阡1 “( i 1 刊 由于= 让( o ) 且( 咖) = 呦( o ) ，则由引理2 4 - - 失1 1 ： 呦( s z + o ) = 击坳( 斧+ 0 ) 川时惦阡1 牡( 爵+ o ) 因为护一口= 黹= 1 ，则易知： 铷 ) = 阡i 铷( 三) ，仳 ) = 同荔i 仳( 三) ( 2 8 ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 又因为秽( z ) = 南u ( 当+ a ) ，则： 锄( 品) = 言f 乱( 等+ 口) = ( 1 + a 2 ) ”n u ( 一a ) = ( 1 + c t 2 ) ”n 乱( n ) 钞( 晶) = ( 1 + 。2 ) 钍( 。) ， v o ( 一n l + a 2 容易证明如( z ) 的中心在再- - g 处事实上 如0 ) = 而1 k ；1 + a ) ) = ( 1 + a 2 ) ”一。t z 0 ( n ) ( 2 9 ) 南匈【南】警 2c d 【丽研蒜】罕 所以如( z ) 的中心在品处 令m 为秽0 ) 的中心，如果u ( a ) 铷( 口) ，贝j je h ( 2 9 ) 可知： 钐( m ) 3 ( 一n l + 舻) 如( 品) 另一方面，由 1 ) c o = 让( 凸) ，( 绚) o o = 铷( o ) ，可知： t ) o o ( v o ) o o ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 可知：秽( m ) 钉 如( 毒) h ) o o = 鼋这与引理2 5 矛盾因此， 我们可得到：对任意z 0 ，我们有：u ( x ) 咖( z ) 同理可证：对任意z 0 ，有 u ( z ) 蜘0 ) 即u ( z ) = 蜘 ) 又因为凹( o ) = 嘞( o ) ，则对任意的z r ”，有 加扛) = 奶0 ) 定理1 z o ) 得证 第三步：对任意实数q ，我们以分布的形式定义( 1 2 ) 的解，也就是说：若对任意 的( z ) c 铲( r ”) ，( z ) 0 ，u h g ( r ) 都满足： ( 一) 等牡( ) 詈拙= 让卷( z ) ( z ) 出， ，r nd r n 则称u ( x ) 为偏微分方程( 2 2 ) 的解 9 ( 2 1 2 ) 利用傅利叶变换及其性质可知： a ( 一) ，( ) ：胖氕) ，( 砰，( 9 ：詈氕) ( 一) 厂g ) = l 1 2 ， ) ，( 一) i ，( 9 。i i i ，( j 于是 上。( 一) 扎( 一) 等咖出2 上( 一) 等似一) 孙出2 上。悖r 议9 “自心 ，_ _ j ，、f 一 这里的砬和荔分别表示u 和的傅利叶变换通过求极限可知( 2 1 2 ) 式对任何 砂日考( r “) 也成立 定理1 3 ( 2 ) 的证明：一方面，设让日宝( p ) 是偏微分方程( 2 2 ) 的解对任何 c 铲( t “) ，爷( z ) 0 ，令 炸) = 上。耘匆， 则( 一) 暑妒：，进一步利用正则性可得砂日。( p ) c 日鼍( 舭) ，所以( 2 1 2 ) 对妒 也成立： “州一胁： 缸翮矽( z 皿( 一) 詈n ( 一) 等妒d z = f 缸詈鸶( z ) 矽o ) 出 ，酗 。k ” 对上式的左边进行分布积分，右边交换积分顺序，可得： 小郴如= 厶t 厶器蜊缸 因为咖是曙( 即) 中的任意非负函数，则推出u 满足积分方程( 2 1 ) 另一方面，设u l 惫( 舭) 是积分方程( 2 1 ) 的解对其两边迸行傅利叶变换， 可得： 讯) = 赤厶e 咆垆= 赤厶e 咄( 厶n 晕嘞如 = 赤丘。( 厶南每出) 苞鬻( 妨匆f 2 霄1 譬j k o - 。l 工一暑，i 。 。 = 赤厶( k 带出) u - 一- o “( y ) d u i 赤厶e 一谈t t 密( 可) 匆厶爵如 _ ，_ 1 、 ：u 詈鸳( ) c 一 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 即 j ，、 裂) = c 一鲁g ) 于是： ， ( 一) 譬乱( 一) 考纰= 丘。矧。矗( ) 及) ，r 竹 = 厶阱c 阱。u 鲁( ) 砥) = c k 仳n 一叫j 驴a ( ) 式 = c 厶。札鲁( z ) ( z ) 出 则容易验证：“1 = c 等u 满足方程( 2 1 2 ) ，即： z ( 一) ： u 1 ( 一) 詈拙：厂让1 密( z ) 咖( z ) 如， - ，r n j r - , 所以u l ( x ) 是方程( 2 2 ) 的解从而定理1 3 ( 2 ) 得证 接下来我们将求出从日墨泳”) 到己急( r “) 的s o b o l e v 嵌入不等式中的最佳 嵌入常数 定理1 4 的证明：由于霄( r “) 在日詈( r “) 中稠密，所以我们只需证明( 1 7 ) 对 于乱c 铲( r ”) 成立即可任取牡，钞c 铲( p ) ，则： ( 让，秒) = 功= 0 詈铽) 一詈 ( ) = 丘，。( ( 一) 詈) u ( ) ( ( 一) 一专扣( ) 逃 = ( ( 一) 等u ，( 一) 一詈御) 于是： i ( u ，口) i - i i ( 一) 詈仳1 1 2 i f ( 一) 一詈秽1 1 2 再由h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 1l j 不等式，可知： | | ( _ 户圳。g 肾2 ( 鬻内鬻孙f p ， 其中；1 + ；1 = l ，也就是说：p = 舞 联立( 2 1 3 ) 和( 2 1 ，4 ) 易知： i ( 札，口) l ( s ( n ，q ) ) i i ( 一) 等仳i i ：l | 口i i p 旬 印 1 l l q q 眨 现取g = ，q 一，则： i ( 牡，钞) l = l ( 乱，扩_ 1 ) | = 0u 婚| i vl l p = i l - 1i t p = l i 让咿1 于是( 2 1 5 ) 转化为： 0ui i ；s ( 扎，q ) | i ( 一) 等t 正l i ； 从而证得了( 1 7 ) n ( 1 8 ) 再由前面的证明可知，使得( 1 7 ) 式中的等号成立的u ( z ) 具有( 1 6 ) 的形式 注：当a = 2 时，即为定理1 1 ，s ( n ，q ) 的值由b l i s s g a 在 1 o e 给出，并给出 了相应的达到函数的具体表达式 当a = 1 时，s ( n ，o t ) 的值由e l i e b 和m l o s s 在 1 2 1 6 0 给出 当口：4 时，即为定理1 2 ，d e e d m u n d s 和e j a n n e l i i 在【9 】中给出了其达到 函数的具体表达式，而s ( q ) 的值x j w a n g 在1 1 6 d e 给出 当s 为正偶数时，z 秘和x x u 在 1 7 d o 给出了其达到函数的具体表达式， 而s ( n ，q ) 的值由c a s w a n s o n 在【1 4 】中给出 1 2 三定理1 5 和定理1 6 的证明 在本币中，我1 门将要让明足理1 5 和足理1 6 。冥基本万珐探十1 1 5 ，i l s l 当l 0 ，并定义： 让a ( z ) = t 正( 入z ) z r ， 把u a 代入( 3 1 ) 式中，得到： i 乱a 1 口如) ；g i d u a i p 如疹 ( 3 2 ) j r ”j r ” 又因为： z。i蚶ir如= 厶m 糊i 口如= 击上m 训q 妣j n ，r n - ，r n 上。i 。乱a i p 如= 上。i 。牡( a z ) i p 出= 。三i d u ( 硎p 匆， 把上述结果代入( 3 2 ) 式中，得到： 再1 牡i i i ii n e ( 即p c 窘i id u 怯( 吣 i 牡e ( 即) c l l p ( r n ) ， 口a p 所以 i i 让| i l 。( r 。1 c a l 一；+ 号i id 牡i l p f l p 、，( 3 3 ) 如果1 一詈+ 号0 ，则我们可取a 无穷小或者无穷大来导出( 3 3 ) 式的矛盾，所 以若要( 3 1 ) 成立，则必须有l 一；+ 詈= 0 ，即q = 嚣 定理1 5 的证明分为两个步骤： 第一步：利用球面对称重排证明达到函数u ( x ) 是径向对称的； 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二步：证明最佳常数c 具有( 1 1 0 ) 的形式，且达到函数u ) 具有( 1 i i ) 的形 式 第一步：考虑 。 舆粤， ，(34)di i u 怯( r n ) 、7 我们将证明( 3 4 ) 式的最大值在球面对称函数处达到一方面，当u 是一个 l i p s c h i t z 函数时，若把u 换成i u l ，则( 3 4 ) 式的值是不会改变的，因此在求( 3 4 ) 式 的上确界时，我们可以去掉那些变号的函数，只考虑非负的函数即可另一方面，我 们可以证明，当u 换成让+ 后，( 3 4 ) 式的值递增，其中 i t 为u 的球面对称重排，即 矿的水平集仁r “：札+ 扛) z ) 是球且与u 的水平集扛珏p ：“扛) ) 有着 相同的测度 引理3 1 【1 5 】若乱谚( 酞“) 是一个实可测函数，定义孔的分布函数为： p ( ) = m e a s x 1 1 陀“：t 上( z ) ) ( 3 5 ) 定义u 的递减重排为： 面( s ) = s u p t ：p ( ) 5 ) ，( 3 6 ) 让的球面对称重排( 又称为施瓦兹对称重排) 为： 牡+ ( z ) = 面( c 1 x l ”) ， ( 3 7 ) 其中q = 褊为佗维空间的单位球的测度 进一步，不妨设u 是非负的，则对任意的p 1 ，t 0 ，有： ( 1 ) k 0 + ) p d x = 丘。u p c l x ， ( 2 ) 厶l d u + i p d x 厶i d u l p d x ， 引理3 1 的证明：我们只给出主要步骤，详细的过程可参考 1 5 】 ( 1 ) 容易证明如下两个集合是相等的： 扛r n ：矿( z ) t ) ：伽舯：h t = p o ) 于是，t l 的水平集与仳的水平集有着相同的测度再由b o n a v e n t u r ac a v a l i e r i 原 理可知： 厶矿出= o 佃此) d ( 啦扣胁d x 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 于是引理3 1 ( 1 ) 得证 ( 2 ) 我们先给出一个恒等式：对任何实可积函数，( z ) ，有 厶m ) 胁i 如= j f 。o + d t 厶( 埘 ( 3 8 ) 其中巩一l 表示佗一1 维的h a u 5 d d r 厂，测度则可得到如下对t 几乎处处成立的 不等式： 厂i d 让i p 一一1 陋) 卜( ) p 【日n 一p 瞅：牡( z ) = t ) 】p ( 3 9 ) ，“( z ) = o 事实上，由h s l d e r 不等式，我们可以得到： 去厶。( 。) 。+ hi 。仳l d z 。i 驯如= 悱舻( 扣4 厶珍。胁l = 厶珍。附。1 砧 对t 几乎处处成立于是( 3 9 ) 式成立又由等周不等式叫矢口： 一掣巩一。缸r n ：乱( z ) ：t ) 再由( 3 8 ) 式可知： 厶胁i p 扣f o 。d tf 。( 栌。i 驯一鼬( 妨 因此由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 弄t 1 ( 3 1 1 ) ，我们得到如下估计： (。l。仳ip出(丌曲pr(1+善)一嚣o+pj i j ( ) p ( 1 一去) i ( ) 1 1 一p d r n 一 ( 3 1 0 ) ( 3 1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 易知，当心是一个球回对称函数时，( 3 1 2 ) 中的等号成立于是，由( 1 ) 证明司知， 上。i 叫如外铆r ( 1 + 扩厂此批呼”呻出厶m 如 于是引理3 1 ( 2 ) 得证 注：通过引理3 1 的证明易知，u 是l i p s c h i t z 函数事实上，m ( 3 8 ) 可知： 上脚。i d = i 如= 砧， x e r n ：u 二n 彬 然后利用等周不等式( 3 i o ) m 及p 的单调性可知： 啪“h ) 褊俐嘞 ( 3 t 1 3 ) 对所有的t h 0 成立，其中l 为u ( x ) 的l i p s c h i t z 常数，即： l = i n g x i d u ( x ) 1 由( 3 1 3 ) 式以及乱+ 0 ) 的定义易知： u + ( z ) 一矿( 夕) i l l l x l i 可 由引理3 1 可知： i i 牡i i n - ( p ) | iu + ij l q ( r n ) | id u 怯) 二l ld u 4 怯) 也就是说，当让换成u + 时，( 3 4 ) 式的值递增，因此我们在讨论( 3 4 ) 式的上确界时， 不妨把范围缩小到球面对称函数 第二步：若牡仅依赖于r = ，则利用极坐标变换可知： 牡；= ( r ) 等，r = 1 州2 一，n d u = ( 魄。，乱蚴，。) ，i d u i = 百f 砸= m r ) i 即( 3 4 ) 式转化为： 2 一i 1 丌一 【r ( 罢) 】景j ( 仳) ，( 3 1 4 ) 其中： m 卜黔嵩蒜 埘 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理3 2 1 5 1 设1 p 0 经过简单的计算可知： 讹) 耵；( 署) 专 刍口( ；，扩丢 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 事实上，引理3 2 给出了j ( 乱) 的最大值和达到函数的具体表达式，且j ) 的极 值函数对应的欧拉一拉格朗日方程为： ( ，”1 l ( r ) i p u ，( r ) ) ：+ 篾? ”1 l 让j q = 0 将牡= ( n + b r ，) 1 一詈代入上式可知： ，c = n ( 筹) p - 1 a 一1 口一 且如果“0 ) 是如上欧拉方程的解，则，c 南乱扛) 是方程d i 口( i d = l p 一2 d u ) = 舻一1 的 解，所以该方程的解的形式为： ( 筹) p - - 1 a 6 p 一1 ) 爷o + 6 l 引南) 1 一； 定理1 5 的证明= 引理3 1 + 引理3 2 注：( 1 ) 定义b y ( p ) = 仳( z ) ：u ( z ) 在r q p 可积且厶。i d 0 d z 1 时，对牡b y ( r ”) ，相应的s o b o l e v 不等式为： 上r 。川贵州罂v 学j 厶胁 ( 3 1 8 ) ，n ，i ， p g ( 3 1 8 ) 式中的不等式是严格不等式事实上，通过计算易知： ( j ( 。i i 者d z ) t 一丢( j ( 。l d 让。l 如) 一= 掣v 【1 + d ( 三) 】，( 佗一+ o o ) r n酗 “， 硕士学位论文 m a s t e r st h e 8 1 8 其中： f1 ，0 1 ( z ) = 1 + n n l z l ，1 l z l 1 + i 1 【0 ，蚓1 + 熹 ( 2 ) 当n = 1 时，类似的s o b o l e v 不等式为： 【上ll 牡1 9 如】；l ：+ 专蔫【o l i u 7 i p 如】；，( 3 1 9 ) 其中：1 g o o ，1 p 。o ，p 7 = 占，仳为 0 ，l j 上绝对连续的任意实值函数 进一步可知，( 3 1 9 ) 式中的常数是最佳常数，且可达，达到函数扎0 ) 由下述关 系定义 f 烈卜盯= 错奄峻鲁 ( 3 2 。) 、 l 让( z ) = 札( 三一z ) ， 或达到函数为c u 0 ) ，其中c 为常数，u 0 ) r t ( 3 2 0 ) 所定义 n g h o u s s o u b 和c y u a n 1 8 1 考虑了更一般的s o b o l e v h a r d y 不等式，并得 到了达到函数的具体表达式。 首先，我们归纳几个需要的h a r d y s o b o l e v 不等式 引理3 3 f 4 】设1 p 佗且“彤1 巾( r ”) ，则： ( 1 ) 南汐( 舯) ； ( 2 ) ( h a r d y 不等式) 厶雠如c 如丘。l d 乱i p d x ，其中c 品= ( 南) p ； ( 3 ) 常数繇，p 是可达到的 引理3 4 【3 】( s o b o l e v h a r d y 不等式) 设1 p 0 ，使得对任意的 1 , 月百 “) ，有： ( 厶然i x l s 舯- , 蚓上。i 驯p 础 ( 3 2 1 ) 证明：当3 = 0 时，上式为s o b o l e v 不等式；当s = p 时，上式为h a r d y 不 等式由q p ，可知0 s p ，于是我们只需证明0 3 p 的情况利用 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s h a r d y ，s o b o l e v 和h 6 l d e r 不等式，可得： 上。d x = 厶酗州出 ( 厶。雠d z ) ；( 丘。州) 毒出) 等 ；( 厶两l u p 呲，( 丘。 u l p 如) 孚 q ( kl d u l p 如) ；( 丘。i d 乱i p 如) 譬) 。字 q ( 厶。i d 牡i p 出) 焉 其中p = 卫n - - p 从而引理2 4 得证 注：易知p q = 筹p 是( 2 1 3 ) 成立的必要条件一方面，与定理1 5 类 v a ， q2 而n - - s p 另一方面，取 f 0 ， i x 1 “( z ) = 宁l o g 曰1 ， 吲 1 i 学l o g ；， i x 则 掣：弦；) p - ；l o g 一一，嚣 l ，q = 。q o 一1 且o 0 注：引理3 5 类似于引理3 2 定理1 6 的证明：对任意的仳( z ) ，令牡+ 是u ( x ) 的球面对称重排，类似于引 理3 1 可知： 上。f d u * t p d z f r 。附d ud x ，厶皆如上。群出 所以我们可以把研究的范围缩小到径向对称函数假设u ( x ) 仅依赖于r = 吲，则 通过极坐标变换可知： i d “l p 一2 d “= j “，( r ) f p 一2u ，( r ) 了x l ，。( r ) 7 x 2 ，( r ) 孚) 则： d i v ( id u l p - 2 d u ) = 墨，( i 牡，( r ) i p _ 2 u ，( r ) 警) = 0 2 ) l 乱7 ( t ) i p _ 2 + i ( r ) i p _ 2 p ) + 学l o ( r ) i p _ 2 ( r ) 又因为 等：r 一钳一- p ) ， 两爿龟一 于是d i v ( i d u l p - 2 d u ) = 管转化为： 白一2 ) i ( r ) l p 一2 + f ( r ) i p - 2 ( r ) + ! ；i p ) i p 一2 ( r ) = o 也就是说： ( r n - 1 1 0 ( r ) l p _ 2 p ) ) ：+ r n - $ - il u l q = 0 因此我们不妨考虑如下的变分问题：当j ( u ) = fi ( r ) i p r 舻1 d r = c 时，求 i ( u ) = j fl u ( r ) l 。r 铲5 - 1 d r 的最大值其极值函数对应的欧拉也格朗日方程为： ( r ”1i ( r ) i 卜2 ( r ) ) ：+ ，c r 肛”1l u l 州= 0 ( 3 2 2 ) 在引理3 5 中，利用变换z = r 嚣，我们可以得到： h ( z ) = ( o , 3 7 口+ 1 ) 一半， 乱( z ) = h ( t ) d t = ( 凸+ x - a ) 一， j 0 且如果g = 而n - - $ p ，则o t = ；一1 = 盥n - - p 将z = r 必p - 1 代入u ) 的表达式即得 “( z ) = ( o + i x l 一- k ) 嚣，其中0 5 0 也就是说，( 札) 在u ( z ) = ( n + h ，p 一- - a - ) 一业p - - , a 处取得最大值，将仳仁) 的值代 入( 3 2 2 ) d 0 进行计算，于是得到： ，c = n ( 佗一5 ) ( 筹) 一 易知，若乱 ) 是( 3 2 2 ) 的解，则k 再1 札o ) 是方程d i v ( i d u p 一2 d 仳) = 管的解，所以 该方程的解的形式为： ( n ( 礼一s ) ( 筹) p 一1 ) 耥( 口+ h 嚣) 一 于是定理】6 得证? 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 四定理1 8 的证明 f l o r i nc a t r i n a 和z h i q i a n gw a n g l 5 j 考虑了c a f f a r e l l ik o h n 和n i r e n b e r g 在【3 j 中提出的不等式：设死3 ，则当u c 字( p ) 时；有： ( i z j _ 印f u i p d r ) ；c 乞，6 l z i 一2 。| d u j 2 d x ， ( 4 1 ) ，- t “ - ，r 7 1 , 其中 一c o a 字，n 6 口“p = i ( 4 2 ) 注：( 1 ) 当a = 0 ，b = 0 时，( 4 1 ) 为经典的s o b o l e v 嵌入不等式 ( m 莉2 n 出j - i 一2 q ，6 i d 乱 2 d x ， ，r nr n 其最佳常数和达到函数已经在定理1 1 中给出： ( 2 ) 当a = 0 ，b = 1 时，( 3 1 ) 为h a r d y 不等式 ( l z l 一2j 训2 d x ) 以，6 l d 训2 d x ， j r n，r 几 其最佳常数和达到函数已经在定理1 6 和引理3 3 中给出，o ( 3 ) 在 1 1 1 中，l i e b 考虑了a = 0 ，0 b l 的情况，并给出了最佳常数和达到 函数的表达式： ( 4 ) 在f 7 l 中，c h o u 和c h u 考虑了整个a 0 ，a b a4 - 1 的区域，并给出 了最佳常数和达到函数的表达式 定理1 8 的证明分三个步骤： 第一步：证明达到函数的存在性： 第二步：利用平移平面法和伸缩变换证明达到函数具有修正反演对称性： 第三步：证明达到函数具有( o 1 8 ) 的形式，最佳常数具有( 0 1 9 ) 的形式 在证明定理1 8 之前，我们先做一些准备工作： 对于在职上的问题( 4 1 ) 和方程( 1 2 0 ) ，我们要导出一个对等的极小化问题和 个对应在rx 酽_ 1 上的欧拉方程令c = 酞s n ，且定义毗为c 中的体积 元素，用可来表示酞“+ 1 中的点或用( t ，0 ) 来表示r 酽_ 1 中的点 若让是一 o 上的具有紧支集的光滑函数，我们通过如下变换得到一个在c 上同样具有紧支集的光滑函数口 。 缸( z ) = 下n - - 2 - - 知口( 一l nm 高) ， ( 4 3 )